高一数学强化重点练习5
高一数学压轴题强化训练题学生版
高一数学压轴题强化训练题1.已知集合P={x|x 2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a 的取值范围是()A.(-∞,-1]B.[1,+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)2.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是()A ．－3≤m ≤4B ．－3<m <4C ．2<m <4D ．2<m ≤43.已知非空集合A,B 满足以下两个条件：（i）A∪B={1,2,3,4,5,6},A∩B=∅(ii)若x∈A,则x+1∈B.则有序集合对（A,B）的个数为（）A.12B.13C.14D.154.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“好元素”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()．A ．6个B ．12个C ．9个D ．5个5.如果具有下述性质的x 都是集合M 中的元素,其中:),,(2Q b a b a x ∈+=则下列元素中不属于集合M 的元素的个数是由（）①.,0=x ②,2=x ③,223π-=x ④,2231-=x ⑤246246++-=x .A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.已知集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是()A ．x 0∈NB ．x 0∉NC ．x 0∈N 或x 0∉ND ．不能确定7.已知z y x ,,是非零实数,代数式xyz z z y y x x +++的值所组成的集合为M,则下列判断正确的是（）A.M ∉0B.M ∈2C.M ∉-4D.M∈48.已知集合M ＝{x |x x －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于()A ．∅B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x ≥1或x <0}9.设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是()A ．－1<a ≤2B ．a >2C ．a ≥－1D ．a >－110.对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e ∈A ，使得对任意a ∈A ，都有e ⊕a ＝a ⊕e ＝a ，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素．例如：A ＝R ，运算“⊕”为普通乘法：存在1∈R ，使得对任意a ∈R 都有1×a ＝a ×1＝a ，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A ＝R ，运算“⊕”为普通减法；②A ＝R ，运算“⊕”为普通加法；③A ＝{X |X ⊆M }（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集．其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③11.已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是．12.设全集{1,2,3,4,5,6}U =，用U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.①若}6,3,2{=M ，则C U M 表示的6位字符串为；②若{1,3}A =,集合A B 表示的字符串为101001，则满足条件的集合B 的个数是.13.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.14.设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意，P b a ∈,都有P b a ab b a b a ∈-+,,,（除数),0≠b 则称P 是一个数域.例如有理数Q 是数域，有下列命题:①数域必含有0,1两个数;②整数集是数域;③数域必为无限集.其中正确的命题的序号是（把你认为正确的命题的序号都填上）15.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种;②这三天售出的商品最少有种.16.已知集合{1,2,,}U n = ，n *∈N ．设集合A 同时满足下列三个条件：①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x C A ∈，则2U x C A ∉．（1）当4n =时，一个满足条件的集合A 是；（写出一个即可）（2）当7n =时，满足条件的集合A 的个数为.17.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数的两倍多于男学生人数。
高一数学(必修一)《第五章-对数函数的图象和性质》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 对数函数的图象和性质》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．函数()()2log 1f x x =-的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知对数函数()f x 的图像经过点1,38A ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点则（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c b a <<3．函数1()ln f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=- D ．21xy =--5．函数f （x ）＝|ax －a |(a >0且a ≠1)的图象可能为（ ）A． B ． C ． D ．6．下列函数中是减函数的为（ ） A ．2()log f x x = B ．()13x f x =- C ．()f x = D ．2()1f x x =-+7．设0.30.50.514,log 0.6,16a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<8．已知函数2(43)3,0()log (1)2,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩ (a >0且a ≠1)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，对于1x ∀，2R x ∈当12x x <时，则都有()()()12122f x f x x x -<-则不等式()222log 1log f x x +<的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．()0,2C ．1,2D ．()2,+∞10．函数y ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[]1,211．记函数2log 2x y x=-的定义域为集合A ，若“x A ∈”是关于x 的不等式()22200x mx m m +-<>成立”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞ C ．()0,2D ．(]0,212．下列函数在(),1-∞-上是减函数的为（ ）A ．()ln f x x =-B ．()11f x x =-+ C ．()234f x x x =--D ．()21f x x =13．下列函数是偶函数且值域为[)0,∞+的是（ ）①y x =；②3y x =；③||2x y =；④2y x x =+ .A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④14．已知函数22,2()log ,2x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．[)1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞-15．已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>16．已知集合{}1,0,1,2A =-和2{|1}B x x =≤，则A B =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,217．已知22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数()1()xf x a=与()log b g x x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．18．设123a -=，1312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭和21log 3c =，则（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．b c a << D ．a b c <<19．已知函数212()log (3)f x x ax a =-+ 在[)2,+∞上单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．(,4]-∞B ．(4,4]-C ．[4,4]-D ．(4,)-+∞20．函数22log (2)y x x =-的单调递减区间为（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(0,1)D ．[)0,121．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞二、解答题22．比较下列各数的大小： （1）12log 3与12log π；（2）4log 3与5log 3； （3）5log 2与2log 5.23．已知函数()()()ln 1ln 1f x ax x =++-的图象经过点()3,3ln 2.(1)求a 的值，及()f x 的定义域； (2)求关于x 的不等式()()ln 2f x x ≤的解集.24．已知函数()()9log 91xf x x =++.(1)若()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立，求a 的取值范围； (2)若函数()()9231f x xx g x m -=+⋅+和[]90,log 8x ∈，是否存在实数m ，使得()g x 的最小值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.25．已知函数()ln f x x =.(1)在①()21g x x =-，②()21g x x =+这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知函数___________，()()()=h x f g x 求()h x 的值域. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.(2)若1x ∀∈R ，()20,x ∈+∞和()1122421ln x xa x x -+<-，求a 的取值范围.26．已知______，且函数()22x bg x x a+=+.①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.在①，②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题. (1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围. 27．定义：若函数()y f x =在某一区间D 上任取两个实数12x x 、，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭则称函数()y f x =在区间D 上具有性质L ．（1）写出一个在其定义域上具有性质L 的对数函数（不要求证明）． （2）判断函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上是否具有性质L ？并用所给定义证明你的结论． （3）若函数21()g x ax x=-在区间(0,1)上具有性质L ，求实数a 的取值范围．三、填空题28．函数()ln(4)f x x =+-的定义域是___________. 29．()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，则a 的范围是_________．30．已知函数211,0()2,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，则函数12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为__． 31．已知函数2(12)0()log (1)0a x a x f x x x +-<⎧=⎨+≥⎩，，的值域为R ，则实数a 的范围是_________32．已知函数()log (23)1(>0a f x x a =-+且1)a ≠，且的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为_________.33．已知函数()2log 081584，，⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩x x f x x x ，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是____．34．若0x >和0y >，且111x y+=，则22log log x y +的最小值为___________.四、多选题35．已知函数()f x 和()g x 的零点所构成的集合分别为M ，N ，若存在M α∈和N β∈，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点伴侣”．若函数()1e 2xf x x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．436．已知函数()()2lg 1f x x ax a =+--，下列结论中正确的是（ ）A ．当0a =时，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞B ．()f x 一定有最小值C ．当0a =时，则()f x 的值域为RD ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4a a ≥-参考答案与解析1．A【分析】根据函数的定义域为(),1-∞可排除B 、D.再由单调性即可选出答案.【详解】当0x =时，则()()20log 10=0f =-，故排除B 、D. 当1x =-时，则()()21log 1110f -=+=>，故A 正确. 故选A.【点睛】本题考查函数的图像，属于基础题.解决本类题型的两种思路：①将初等函数的图像通过平移、伸缩、对称变换选出答案，对学生能力要求较高;②根据选项代入具体的x 值，判断y 的正负号. 2．C【分析】根据对数函数可以解得2a =，4t =再结合中间值法比较大小． 【详解】设()()log 0,1a f x x a a =>≠，由题意可得：1log 38a =-，则2a = ∴log 164a t ==0.1log 40a =<，()40.20,1b =∈和0.141c =>∴a b c << 故选：C ． 3．A【分析】利用函数的奇偶性排除选项D ，利用当01x <<时，则()0f x >，排除选项B ，C ，即得解. 【详解】解：∵函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，1()ln f x x xx ⎛⎫-=-+⋅- ⎪⎝⎭1ln ()x x f x x ⎛⎫--⋅=- ⎪=⎝⎭ ∴()f x 为奇函数，排除选项D ．当01x <<时，则2110x x x x--=<和ln 0x < ∴()0f x >，排除选项B ，C ． 故选：A ． 4．A【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，则1y =-，故排除B 、D 两项； 当1x >时，则函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，则12x y -=-单调递减，故排除C项. 故选：A. 5．C【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可.【详解】当>1a 时，则,1()=,<1x xa a x f x a a x -≥-⎧⎨⎩显然当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减 函数图象的渐近线为=y a ，而>1a ，故AB 不符合； 对于CD ，因为渐近线为=2y ，故=2a ，故=0x 时，则=1y 故选项C 符合，D 不符合；当0<<1a 时，则,<1()=,1x xa a x f x a a x --≥⎧⎨⎩当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减 函数图象的渐近线为=y a ，而0<<1a ，故ABD 不符合； 故选：C 6．B【分析】利用对数函数单调性判断选项A ；利用指数函数单调性判断选项B ；利用幂数函数单调性判断选项C ；利用二次函数单调性判断选项D.【详解】选项A ：由21>，可得2()log f x x =为增函数.判断错误； 选项B ：由31>，可得3x y =为增函数，则()13x f x =-是减函数.判断正确； 选项C ：由12-<，可得12y x -=是减函数，则()f x =为增函数.判断错误；选项D ：2()1f x x =-+在(),0∞-上单调递增. 判断错误. 故选：B 7．B【分析】计算可得2a =，再分析()0.5log 0.60,1b =∈，0.3116c a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭即可判断【详解】由题意0.542a ==，()()0.50.50.5log 0.6log 1,log 0.50,1b =∈=和0.30.30.2511616216c a -⎛⎫==>== ⎪⎝⎭，故b ac <<故选：B 8．C【分析】根据二次函数和对数函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可.【详解】二次函数2(43)3y x a x a =+-+的对称轴为：432a x -=-因为二次函数开口向上，所以当0x <时，则该二次函数不可能单调递增 所以函数()f x 是实数集上的减函数则有01432302343log 122a a a a a <<⎧⎪-⎪-≥⇒≤≤⎨⎪≥+=⎪⎩故选：C 9．B【分析】由题设知()()2h x f x x =-在R 上递增，将不等式转化为2(log )(1)h x h <，利用单调性求解集即可. 【详解】由题设12x x <时1122()2()2f x x f x x -<-，即()()2h x f x x =-在R 上递增又(1)(1)21h f =-=-，而()222log 1log f x x +<等价于()22log 2log 1f x x -<-所以2(log )(1)h x h <，即2log 1x <，可得02x <<. 故不等式解集为()0,2. 故选：B 10．C【分析】依题意可得21log 0x +≥，根据对数函数的性质解不等式，即可求出函数的定义域. 【详解】解：依题意可得21log 0x +≥，即221log 1log 2x ≥-=，所以12x ≥ 即函数的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C 11．B【分析】求出函数2log 2x y x=-的定义域得集合A ，解不等式()22200x mx m m +-<>得m 的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案. 【详解】函数2log 2xy x =-有意义的条件为02x x>-，解得02x << 所以{}02A x x =<<，不等式()22200x mx m m +-<>，即()()20x m x m +-<因为0m >，所以2m x m -<<，记不等式()22200x mx m m +-<>的解集为集合B所以A B ⊆，所以220≥⎧⎨-≤⎩m m ，得2m ≥.故选：B ． 12．C【分析】根据熟知函数的图象与性质判断函数的单调性.【详解】对于选项A ，()ln f x x =-在(),1-∞-上无意义，不符合题意； 对于选项B ，()11f x x =-+在(),1-∞-上是增函数，不符合题意； 对于选项C ，2234,? 4134,? 14x x x x x x x ⎧--≥≤-⎨-++-<<⎩或的大致图象如图所示中由图可知()f x 在(),1-∞-上是减函数，符合题意；对于选项D ，()21f x x =在(),1-∞-上是增函数，不符合题意. 故选：C. 13．C【分析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案. 【详解】对于①，y x =是偶函数，且值域为[)0,∞+； 对于②，3y x =是奇函数，值域为R ； 对于③，2xy =是偶函数，值域为[)1,+∞；对于④，2y x x=+是偶函数，且值域为[)0,∞+所以符合题意的有①④ 故选：C. 14．D【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是()21f =，则根据指数函数的性质，列式求实数a 的取值范围.【详解】2x <时，则()2,4xa a a -∈--，2x ≥时，则2log 1x ≥若要使得()f x 存在最小值，只需要2log 2a -≥，即1a ≤-. 故选：D. 15．A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m > 所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=- 令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b >又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)mf x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．16．A【分析】根据一元二次不等式的求解得{}11B x x =-≤≤，根据集合的交运算即可求解. 【详解】因为{}1,0,1,2A =-和{}11B x x =-≤≤，所以{}1,0,1A B =-故选：A ． 17．B【分析】由对数的运算性质可得ab ＝1，讨论a ，b 的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．【详解】22log log 0a b +=，即为2log 0ab =，即有ab ＝1. 当a ＞1时，则0＜b ＜1函数()1()xf x a=与()log b g x x =均为减函数，四个图像均不满足当0＜a ＜1时，则b ＞1函数数()1()xf x a=与()log b g x x =均为增函数，排除ACD在同一坐标系中的图像可能是B 故选：B ． 18．B【分析】结合指数函数，对数函数的单调性，以及临界值0和1，判断即可 【详解】由题意201313a -<==，故(0,1)a ∈ 1130312212b -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭2231log log 10c =<= 故c a b << 故选：B 19．B【分析】转化为函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果. 【详解】因为函数212()log (3)f x x ax a =-+在[)2,+∞上单调递减所以函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立 所以2222230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，解得44a -<≤.故选：B 20．A【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果【详解】由220x x ->，得02x <<令22t x x =-，则2log y t=22t x x =-在(0,1)上递增，在(1,2)上递减因为2log y t=在定义域内为增函数所以22log (2)y x x =-的单调递减区间为(1,2)故选：A 21．A【分析】由()f x 是R 上的奇函数求出a 值，并求出0x <时，则函数()f x 的解析式，再分段讨论解不等式作答.【详解】因函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+则()0004322220f a a =-⨯+=-=，解得1a =，即当0x ≥时，则()4322x xf x =-⨯+当0x <时，则0x ->，则()()(4322)x x f x f x --=--=--⨯+而当0x ≥时，则()2311(2)244xf x =--≥-，则当()6f x ≤-时，则0(4322)6x xx --<⎧⎨--⨯+≤-⎩，即0(24)(21)0x xx --<⎧⎨-+≥⎩变形得024x x -<⎧⎨≥⎩，解得2x -≤所以不等式()6f x ≤-的解集为(,2]-∞-. 故选：A22．（1）1122log 3log π>.（2）45log 3log 3>.（3）52log 2log 5<. 【分析】（1）根据12()log f x x=，在定义域内是减函数，即可比较二者大小；（2）根据3log y x =，在定义域内是增函数，可得330log 4log 5<<，故3311log 4log 5>，即可比较二者大小； （3）根据5log 21<，2log 51>即可比较二者大小. 【详解】（1）设12()log f x x =.3π<且()f x 是减函数 ∴(3)()f f π>即1122log 3log π>.（2）3log y x =是增函数∴330log 4log 5<<. ∴3311log 4log 5> 即45log 3log 3>. （3）55log 2log 51<=且22log 5log 21>=∴52log 2log 5<.【点睛】本题主要考查了比较对数的大小，解题关键是掌握对数的单调性和对数的运算性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 23．(1)1a =，定义域为()1,+∞ (2){112}x x <+∣【分析】（1）直接将()3,3ln 2代入函数解析式，即可求出参数a 的值，从而求出函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得()()2ln 1ln 2x x -，再根据对数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； （1）解：由题意可得()()ln 31ln 313ln2a ++-=，即()ln 312ln2a +=，所以314a += 解得1a =则()()()ln 1ln 1f x x x =++-.由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得1x >.所以()f x 的定义域为()1,+∞. （2）解：由（1）可得()()()()2ln 1ln 1ln 1,1f x x x x x =++-=->不等式()()ln 2f x x 可化为()()2ln 1ln 2x x -因为ln y x =在()0,+∞上是增函数所以20121x xx ⎧<-⎨>⎩ 解得112x <+.故不等式()()ln 2f x x 的解集为{}|112x x <+. 24．(1)(],0-∞(2)存在 m =【分析】（1）利用分离参数法得到()9log 91x a x <+-对于任意x 恒成立，令()()9log 91xh x x =+-，利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到()9232x xg x m =+⋅+令3x t =， t ⎡∈⎣研究函数()()222222p t t mt t m m =++=++-，t ⎡∈⎣根据二次函数的单调性对m 进行分类讨论，即可求出m . （1）由题意可知，()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立代入可得()9log 910x x a +-->所以()9log 91xa x <+-对于任意x 恒成立令()()()99999911log 91log 91log 9log log 199x xxxx xh x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭因为1119x +>，所以由对数的图像与性质可得：91log 109x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以0a ≤. 即实数a 的范围为(],0-∞. （2） 由()()9231f x xx g x m -=+⋅+，[]90,log 8x ∈且()()9log 91x f x x =++代入化简可得()9232x xg x m =+⋅+.令3x t =，因为[]90,log 8x ∈，所以t ⎡∈⎣则()()222222p t t mt t m m =++=++- t ⎡∈⎣①当1m -≤，即1m ≥-时，则()p t 在⎡⎣上为增函数所以()()min 1230p t p m ==+=，解得32m =-，不合题意，舍去②当1m <-<1m -<-时，则()p t 在[]1,m -上为减函数，()p t 在m ⎡-⎣上为增函数所以()()2min 20p t p m m =-=-=，解得m =m =③当m ≤-，即m ≤-()p t 在⎡⎣上为减函数所以()(min 100p t p ==+=解得m =综上可知m =【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性. 25．(1)答案见解析 (2)1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据复合函数的性质即可得到()h x 的值域；（2）令()()1ln F x x x =-，求出其最小值，则问题转化为1142x x a <-恒成立，进而求1142x xy =-最小值即可.（1）选择①，()()2ln 1h x x =-令21t x =-，则()0,t ∈+∞，故函数ln y t =的值域为R ，即()h x 的值域为R .选择②，()()2ln 1h x x =+，令21t x =+，则[)1,t ∈+∞因为函数ln y t =单调递增，所以0y ≥，即()h x 的值域为[)0,∞+. （2）令()()1ln F x x x =-.令12x m =，则()0,m ∈+∞，所以112211142244x x m m m ⎛⎫-=-=--≥- ⎪⎝⎭故14a <-，即a 的取值范围为1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.26．(1)选择条件见解析，a ＝2，b ＝0；()g x 为奇函数，证明见解析； (2)77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数,a b ； 若选择②，利用单调性得到关于,a b 的方程，求解即可；将,a b 的值代入到()g x 的解析式中再根据定义判断函数的奇偶性； （2）将题中条件转化为“()g x 的值域是()f x 的值域的子集”即可求解. （1） 选择①.由()()224f x x a x =+-+在[]1,1b b -+上是偶函数得20a -=，且()()110b b -++=，所以a ＝2，b ＝0. 所以()222xg x x =+.选择②.当0a >时，则()f x ax b =+在[]1,2上单调递增，则224a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩ 所以()222xg x x =+.()g x 为奇函数.证明如下：()g x 的定义域为R . 因为()()222xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数.（2） 当0x >时，则()122g x x x=+，因为224x x +≥，当且仅当22x x =，即x ＝1时等号成立，所以()104g x <≤； 当0x <时，则因为()g x 为奇函数，所以()104g x -≤<；当x ＝0时，则()00g =，所以()g x 的值域为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.因为()2h x x c =--在[]22-,上单调递减，所以函数()h x 的值域是[]22,22c c ---. 因为对任意的1x R ∈，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立 所以[]11,22,2244c c ⎡⎤-⊆---⎢⎥⎣⎦，所以12241224c c ⎧--≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩,解得7788c -≤≤. 所以实数c 的取值范围是77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.27．（1）12log y x =；（2）函数1()f x x x =+在区间(0,)+∞上具有性质L ；答案见解析；（3）(,1]-∞．【分析】（1）由于底数在(0,1)上的对数函数满足题意，故可得答案； （2）任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，对()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭作差化简为因式乘积形式，判断出与零的大小，可得结论； （3）函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离求出最值，可得参数的范围． 【详解】（1）如12log y x=（或底在(0,1)上的对数函数）；（2）函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ．证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠()()12121212121211122222f x f x x x x x f x x x x x x +⎛⎫⎛⎫++⎛⎫-=+++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2212121212121212121241112222x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫=+-== ⎪+++⎝⎭ 因为12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠所以()()21212120,20x x x x x x ->⋅+>，即()()1212022f x f x x x f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭． 所以函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ． （3）任取12,(0,1)x x ∈，且12x x ≠，则()()21222121212121211122222g x g x x x x x g ax ax a x x x x ⎡⎤+⎛⎫++⎛⎫⎛⎫-=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()()()()2221212121212121212122244ax x x x x x x x a x x x x x x x x x x -+⎡⎤--⎣⎦=-⋅=-++ 因为12,(0,1)x x ∈且12x x ≠，所以()()21212120,40x x x x x x ->⋅+> 要使上式大于零，必须()121220a x x x x -⋅⋅+>在12,(0,1)x x ∈上恒成立 即()12122a x x x x <+()212124x x x x +< ()()()()231212*********8x x x x x x x x x x +∴++>=+ 令()()3120,8x x t +=∈，则38y t =在()0,1上单调递减，即()()()()2331212121212228148x x x x t x x x x x x ∴>=++=>++ 所以1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞．【点睛】关键点点睛：本题考查函数新概念，考查不等式的恒成立问题，解决本题的关键点是将函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离后转化为求最值问题，并借助于基本不等式和幂函数的单调性得出参数的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 28．(3,4)【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域【详解】由题意可得260,40,x x ->⎧⎨->⎩解得34x <<，即()f x 的定义域是(3,4).故答案为：(3,4) 29．413a <<【分析】使复合函数()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，需内增外减或外增内减，讨论a 求解即可 【详解】由题可得，根据对数的定义，0a >且1a ≠，所以4y ax =-是减函数，根据复合函数单调性的“同增异减”特点，得到1430a a >⎧⎨->⎩，所以413a <<.故答案为：413a <<30．2⎛ ⎝⎭[1,)+∞ 【分析】先根据题意求出()g x 的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可 【详解】由12log 0x ≤，得1≥x ，由12log 0x >，得01x <<所以当1≥x 时，则12log 1()112xg x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()g x 在[1,)+∞上递增当01x <<时，则21122()loglog g x x x =-+则121212log 11()2log 111lnlnln222x g x x x x x -'=-⋅+=由()0g x '>，得1212log 0x -<，解得0x <<所以()g x在⎛ ⎝⎭上递增 综上得函数()g x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭ [1,)+∞故答案为：⎛ ⎝⎭，[1,)+∞ 31．1(,0]2-【分析】先求出分段函数中确定的一段的值域，然后分析另一段的值域应该有哪些元素．【详解】当0x ≥时，则2()log 0f x x =≥，因此当0x <时，则()(12)f x a x a =+-的取值范围应包含(,0)-∞ ∴1200a a +>⎧⎨-≥⎩，解得102-<≤a ． 故答案为1(,0]2-． 【点睛】本题考查分段函数的值域问题，解题时注意分段讨论．32．()2,1【解析】根据对数函数的性质求解．【详解】令231x -=，则2x =，(2)1f =即()f x 图象过定点(2,1)．故答案为：(2,1)33．()820，【分析】利用函数图像，数形结合进行分析.【详解】不妨设a b c <<，画出函数()f x 图像：()()()f a f b f c ==221log log 54a b c ∴==-+－ ()2log 0ab ∴= 10534c <-+< 解得1ab = 820c <<820abc ∴<<．故答案为：()820，34．2【分析】由均值不等式求出xy 的最小值，再由对数的运算及性质即可求解.【详解】因为0x >，0y >且111x y+=所以111x y ≥+=4xy ≥，当且仅当11x y =，即2x y ==时等号成立 即xy 的最小值为4所以2222log log log log 42x y xy +=≥=故答案为：235．AD【分析】首先确定函数()f x 的零点，然后结合新定义的知识得到关于a 的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数a 的取值范围即可.【详解】因为函数()1e 2x f x x -=+-是R 上的增函数，且()10f =，所以1α=，结合“零点伴侣”的定义得11β-≤，则02β≤≤又函数()23g x x ax a =--+在区间[]0,2上存在零点，即方程230x ax a --+=在区间[]0,2上存在实数根 整理得2232122411x x x x a x x +++--+==++()4121x x =++-+ 令()()4121h x x x =++-+，[]0,2x ∈所以()h x 在区间[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增 又()03h =，()723h =和()12h =，所以函数()h x 的值域为[]2,3 所以实数a 的取值范围是[]2,3．故选：AD ．36．AC【分析】A 项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B 项为最值问题，问一定举出反例即可；C 项代入参数值即可求出函数的值域；D 项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.【详解】对于A ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-，令210x ->，解得1x <-或1x >，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，故A 正确；对于B 、C ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则21y x ax a =+--在[)2,+∞上单调递增，且当2x =时，则0y >则224210aa a⎧-≤⎪⎨⎪+-->⎩，解得3a>-，故D错误．故选：AC．。
高中数学(人教A版)必修5能力强化提升及单元测试1-1-2
1.1.2 余弦定理双基达标(限时20分钟)1．在△ABC 中，已知a ＝9，b ＝23，C ＝150°，则c 等于( )．A.39B ．8 3C ．10 2D ．7 3解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝92＋(23)2－2×9×23cos 150°＝147＝(73)2，∴c ＝7 3. 答案 D2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )．A.π3B.π6C.π4D.π12解析 ∵c <b <a ，∴最小角为角C . ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32.∴C ＝π6，故选B.答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC( )．A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析 ∵c 2－a 2－b 22ab>0，∴c 2－a 2－b 2>0.∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．故选C. 答案 C4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac . ∴原式为0. 答案 05．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )，则A ＝________. 解析 ∵(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )， ∴a 2－c 2＝b 2＋bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc . ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.∵0°<A <180°，∴A ＝120°. 答案 120°6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝14，a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b ，c 的值．解 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝(b ＋c )2－2bc －12bc∴bc ＝8，又∵b ＋c ＝6，b <c ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6，bc ＝8，得b ＝2，c ＝4或b ＝4，c ＝2(舍)． ∴b ＝2，c ＝4.综合提高(限时25分钟)7．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则三角形一定是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 解析 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c . ∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°.最新整理故△ABC 为等边三角形． 答案 B8．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·A C →等于 ( )．A.152 B ．－152 C.1532D ．15 解析 ∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝5×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－152，故选B. 答案 B9．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________． 解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝1＋4－4cos C ＝5－4cos C . 又∵0<C <π2，∴cos C ∈(0,1)．∴c 2∈(1,5)．∴c ∈(1，5)． 答案 (1，5)10．已知等腰△ABC 的底边BC ＝2，腰AB ＝4，则腰上的中线长为________． 解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝42＋42－222×4×4＝78.设其中一腰中线长为x ，则x 满足：x 2＝42＋22－2×4×2cos A ＝20－16×78＝6.∴x ＝ 6.答案611．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．解 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a . 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714.最新整理∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114. ∴tan A ＝sin A cos A ＝35.法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a . 由正弦定理，得sin B ＝7sin A . ∵B ＝π3，∴sin A ＝2114.又∵b ＝7a >a ，则B >A ， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35.12．(创新拓展)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由已知，根据正弦定理得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12.又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)由(1)中a 2＝b 2＋c 2＋bc 及正弦定理，可得 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 即⎝⎛⎭⎫322＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12，又0<B ，C <π3，∴B ＝C ，∴△ABC 为等腰的钝角三角形．。
专题05 函数：定义域归类大全-2023学年高一数学培优练(人教A版2019第一册)(解析版)
专题5函数：定义域归类大全目录【题型一】开偶次方根函数定义域............................................................................................................................2【题型二】解绝对值函数不等式求定义域................................................................................................................3【题型三】抽象函数定义域1：(x)→f(g(x))型.........................................................................................................4【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型........................................................................................................6【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h （x ）)型..............................................................................................7【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）).............................................................................8【题型七】抽相与具体函数混合型............................................................................................................................9【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域......................................................................................................11【题型九】恒成立含参型..........................................................................................................................................12【题型十】对数函数定义域......................................................................................................................................14【题型十一】定义域：解指数函数不等式..............................................................................................................15【题型十二】正切函数定义域................................................................................................................................16【题型十三】解正弦函数不等式求定义域..............................................................................................................17【题型十四】解余弦函数不等式求定义域..............................................................................................................18【题型十五】求分段函数定义域..............................................................................................................................20【题型十六】实际应用题中的定义域应用..............................................................................................................21培优第一阶——基础过关练......................................................................................................................................23培优第二阶——能力提升练......................................................................................................................................26培优第三阶——培优拔尖练.. (30)综述：常考函数的定义域：1.()()00f x f x ⇒≠⎡⎤⎣⎦；②.()()10f x f x ⇒≠；③()0f x ⇒≥；④.()()log 0a f x f x ⇒>；⑤.()()tan ,2f x f x k k Z ππ⇒≠+∈；⑥.实际问题中，需根据实际问题限制范围.【题型一】开偶次方根函数定义域【典例分析】（2021·福建·厦门市海沧中学高一期中）函数()f x =的定义域为（）A ．[]0,3B ．[]1,3C ．[)3,+∞D ．(]1,3【答案】D【分析】根据二次根式的性质及二次不等式的解法即可得出结果.【详解】解：由题意可得()3010x x x ⎧-≥⎨->⎩，解得13x <≤.1.（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x =(,1]-∞，则实数a 的取值集合为（）A ．{1}B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞⋃+∞【答案】A【分析】求出函数的定义域，对比即可得出.【详解】由0a x -≥可得x a ≤，即()f x 的定义域为(,]a -∞，所以1a =，则实数a 的取值集合为{}1.故选：A.2.（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数31y x =的定义域是（）A ．(],1-∞B ．()()1,00,1-U C ．[)(]1,00,1- D ．(]0,1【答案】C【分析】函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，求解即可【详解】由题，函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得[)(]1,00,1x ∈- .故选：C3.（2022·全国·高一专题练习）函数()0(1)f x x =-的定义域为（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭C ．()2,11,3∞⎡⎫⋃+⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，以及零次幂的底数不等于0，建立不等式组，求解即可.【详解】解：由已知得32>010x x -⎧⎨-≠⎩，解得2>3x 且1x ≠，所以函数()0(1)f x x =-的定义域为()2,11,3∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭，故选：B.【题型二】解绝对值函数不等式求定义域【典例分析】.（2022·江苏·高一）函数y =）A ．()0,∞+B ．(),0∞-C ．()()0,11,+∞ D ．()()(),11,00,-∞-⋃-⋃+∞【答案】C【分析】根据0次幂的底数不等于0，偶次根式的被开方数非负，分母不等于0列不等式，解不等式即可求解.【详解】由题意可得：1000x x x x x ⎧-≠⎪+≥⎨⎪+≠⎩，解得：0x >且1x ≠，所以原函数的定义域为()()0,11,+∞ ，1.（2022·广东·广州六中高一期末）函数y ___________.【答案】[2,0)-【分析】利用根式、分式的性质求函数定义域即可.【详解】由解析式知：240||0x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，则220x x -≤≤⎧⎨<⎩，可得20x -≤<，∴函数的定义域为[2,0)-.故答案为：[2,0)-.2.（2021·江苏·常州市第二中学高一期中）函数()f x =________．【答案】13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦##1322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【分析】根据解析式的形式得到关于x 的不等式，解不等式后可得函数的定义域.【详解】解：由题设可得2120x --≥，即122x -≤，故2122x -≤-≤，所以1322x -≤≤，故答案为：13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.3.（2021·北京市第九中学高一期中）函数y =________．【答案】(,1][2,)-∞⋃+∞【分析】满足函数有意义的条件，即2310x --≥，解得定义域.【详解】由题知，2310x --≥，解得2x ≥或1x ≤，故函数的定义域为：(,1][2,)-∞⋃+∞故答案为：(,1][2,)-∞⋃+∞【题型三】抽象函数定义域1：(x)→f(g(x))型【典例分析】（2022·江西·修水中等专业学校模拟预测）已知函数()y f x =的定义域为[]1,5-，则函数()221y f x =-的定义域为（）A ．[]0,3B ．[]3.3-C ．[D ．[]3,0-【答案】C【分析】由题可知解21215x -≤-≤即可得答案.【详解】解：因为函数()y f x =的定义域为[]1,5-，所以，21215x -≤-≤，即203x ≤≤，解得x ≤≤所以，函数()221y f x =-的定义域为[故选：C基本规律已知()f x 的定义域为[,]a b ，求(())f g x 的定义域：解不等式()a g x b ≤≤即可得解【变式训练】1.（2022·全国·高一专题练习）已知()()013x f x x-=-，则()1f x +的定义域为（）A ．()(),11,3-∞⋃B ．()(),22,4-∞⋃C ．()(),00,2-∞ D ．(),2-∞【答案】C【分析】先求得()f x 的定义域，然后将1x +看作一个整体代入计算即可.【详解】由题可知：10330x x x -≠⎧⇒<⎨->⎩且1x ≠所以函数定义域为{3x x <且}1x ≠令13x +<且11x +≠，所以2x <且0x ≠所以()(),00,2x ∈-∞ ，所以()1f x +的定义域为()(),00,2-∞ 故选：C2.（2015·上海·闵行中学高一期中）已知函数()1y f x =+的定义域为[]23-，，则函数()21y f x =-的定义域为（）A ．502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]14-，C ．5522⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．3722⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【答案】C【分析】先求1x +取值范围，再根据两函数关系得21x -取值范围，解得结果为所求定义域.【详解】因为函数()1y f x =+的定义域为[]23-，，所以1[1,4]x +∈-，因此55[1,4]02||51222x x x ∈-∴≤≤∴≤≤--即函数()21y f x =-的定义域为5522⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：C3.（2018·江西·南康中学高一期中）已知函数()f x 的定义域为[3,)+∞，则函数1(1)f x+的定义域为（）A ．4(,]3-∞B ．4(1,]3C ．1(0,]2D ．1(,]2-∞【答案】C【分析】由已知函数定义域，可得113x+≥，求解分式不等式得答案．【详解】解：∵函数()f x 的定义域为[3,)+∞，∴由113x +≥，得12x ≥，则102x <≤．∴函数1(1)f x +的定义域为1(0,]2．故选：C ．【题型四】抽象函数定义域2：f(g(x))→f(x)型【典例分析】（2023·全国·高一专题练习）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【分析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，f x ∴的定义域为(]1,21,21.（2019·陕西·渭南市尚德中学高一阶段练习）若函数(1)f x -的定义域为[1,2]-，那么函数()f x 中的x 的取值范围是________.【答案】[2,1]-【分析】根据函数(1)f x -的定义域求出()f x 的定义域即可．【详解】解： 函数(1)f x -的定义域为[1-，2]，即12x -≤≤211x ∴-≤-≤1[2x ∴-∈-，1]，故函数()f x 的定义域为[2,1]-，故答案为：[2,1]-.2.（2020·山西·太原五中高一阶段练习）若函数(21)f x -的定义域为[0,1]，则函数()f x 的定义域为（）A ．[1,0]-B ．[3,0]-C ．[0,1]D ．[1,1]-【答案】D【解析】由函数(21)f x -的定义域为[0,1]，可求出1211-≤-≤x ，令x 代替21x -，可得11x -≤≤，即可求出函数()f x 的定义域.【详解】因为函数(21)f x -的定义域为[0,1]，由01x ，得1211-≤-≤x ，所以()y f x =的定义域是[1,1]-，故选：D3.（2023·全国·高一专题练习）已知()21f x -的定义域为⎡⎣，则()f x 的定义域为（）A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．⎡⎣【答案】C【分析】由x ≤≤2x -.【详解】因为2(1)f x -的定义域为[，所以x ≤≤所以2112x -≤-≤，所以()f x 的定义域为[1,2]-．故选：C【题型五】抽象函数定义域3：f(g(x))→f(h （x ）)型【典例分析】（2022·全国·高一课时练习）函数()3=-y f x 的定义域为[]4,7，则()2y f x =的定义域为（）A ．()1,4B ．[]1,2C ．()()2,11,2--⋃D ．[][]2,11,2-- 【答案】D【分析】利用抽象函数的定义域解法结合一元二次不等式的解法即可求解.【详解】解：因为函数()3=-y f x 的定义域为[]4,7所以47x ≤≤即134x ≤-≤所以214x ≤≤解得：[][]2,11,2x ∈--⋃所以()2y f x =的定义域为[][]2,11,2-- 故选：D.1.（2021·辽宁·沈阳市第一中学高一期中）函数()1f x +的定义域为[]1,2-，则函数()2f x 的定义域为（）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】当[]1,2x ∈-得到[]1,13x +∈，根据123x ≤≤解得答案.【详解】函数()1f x +的定义域为[]1,2-，即[]1,2x ∈-，故[]0,2x ∈，[]1,13x +∈.123x ≤≤，解得13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：D.2.（2022·全国·高一课时练习）若函数()22f x -的定义域为[]1,3-，则函数()f x 的定义域为______；若函数()23f x -的定义域为[)1,3，则函数()13f x -的定义域为______.【答案】[]2,7-22,33⎛⎤-⎥⎝⎦【分析】根据抽象函数定义域求解即可.【详解】因为函数()22f x -的定义域为[]1,3-，即13x -≤≤，所以209x ≤≤，2227x -≤-≤，故函数()f x 的定义域为[]2,7-.因为函数()23f x -的定义域为[)1,3，即13x ≤<，所以1233x -≤-<，则函数()f x 的定义域为[)1,3-，令1133x -≤-<，得2233x -<≤，所以函数()13f x -的定义域为22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为:[]2,7-，22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦3.（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一阶段练习）(21)f x -的定义域为[0,1)，则(13)f x -的定义域为（）A ．(2,4]-B ．12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,6⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【分析】先由[0,1)x ∈，求出21x -的范围，可求出()f x 的定义域，而对于相同的对应关系，21x -的范围和13x -相同，从而可求出(13)f x -的定义域.【详解】因为01x ≤<，所以022x ≤<，所以1211x -≤-<，所以()f x 的定义域为[1,1)-，所以由1131x -≤-<，得203x <≤，所以(13)f x -的定义域为20,3⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C 【题型六】抽象函数定义域4：f(x)→f(g（x）)+f(h（x）)【典例分析】（2021·全国·高一单元测试）已知函数()f x 的定义域为()0,1，若10,2c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()()g x f x c f x c =++-的定义域为（）A ．(),1c c --B ．(),1c c -C ．()1,c c -D ．(),1c c +【答案】B【分析】由已知函数的定义域有0101x c x c <+<⎧⎨<-<⎩，即可求复合函数的定义域.【详解】由题意得：0101x c x c <+<⎧⎨<-<⎩，即11c x c c x c-<<-⎧⎨<<+⎩，又10,2c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1c x c <<-．故选：B1.（2021·安徽蚌埠·高一期末）已知函数()f x 的定义域是[]0,2，则函数()1122g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域是（）A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,2【答案】A【解析】根据函数定义域的性质进行求解即可.【详解】因为函数()f x 的定义域是[]0,2，所以有：102132122022x x x ⎧≤+≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪≤-≤⎪⎩.故选：A2.（2020·安徽·繁昌皖江中学高一期中）已知函数()f x 的定义域为[0,4]，求函数2(3)()y f x f x =++的定义域为（）A ．[2,1]--B ．[1,2]C ．[2,1]-D ．[1,2]-【答案】C【分析】根据抽象函数的定义域得到关于x 的不等式组，解出即可【详解】函数()f x 的定义域为[0,4]，所以函数2(3)()y f x f x =++的定义域满足：203404x x ≤+≤⎧⎨≤≤⎩解得3122x x -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，即21x -≤≤所以函数2(3)()y f x f x =++的定义域为[2,1]-故选：：C3.（2021·江西·黎川县第一中学高一阶段练习）若函数()y f x =的定义域是[0,1]，则函数()()(2)(01)F x f x a f x a a =+++<<的定义域是（）A ．1,22a a -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,12a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[,1]a a --D ．1,2a a -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】根据抽象函数定义域的求法列不等式组，解不等式组求得()F x 的定义域.【详解】依题意101102122a x a x a a a x a x ⎧-≤≤-⎧≤+≤⎪⎪⇒⎨⎨-≤+≤-≤≤⎪⎪⎩⎩，由于01a <<，所以111101222a a a a a -----=>⇒->，0222a a a a a ⎛⎫---=-<⇒-<- ⎪⎝⎭，所以由1122a x aa a x -≤≤-⎧⎪⎨--≤≤⎪⎩解得122a a x --≤≤.所以()F x 的定义域为1,22a a -⎡⎤-⎢⎣⎦.故选：A【题型七】抽相与具体函数混合型【典例分析】（2022·黑龙江·铁人中学高一期末）已知函数()22f x -的定义域为{}|1x x <，则函数()211f x x --的定义域为（）A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．()(),11,0-∞--U D ．()(),11,1-∞-- 【答案】D【分析】先求出()f x 的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域.【详解】因为函数()22f x -的定义域为{}|1x x <，故220x -<，所以()f x 的定义域为(),0-∞，故函数()211f x x --中的x 需满足：21010x x -<⎧⎨-≠⎩，故1,1x x <≠-，故函数()211f x x --的定义域为()(),11,1-∞-- ，故选：D.1.（2021·河南·高一期中）已知函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，则y =是（）A ．[]2,5-B ．(]2,3-C ．[]1,3-D ．(]2,5-【答案】D【分析】根据给定复合函数求出()f x 的定义域，再列式求解作答.【详解】因函数()21y f x =-的定义域是[]2,3-，即()21f x -中[]2,3x ∈-，则21[5,5]x -∈-，因此，y =5520x x -≤≤⎧⎨+>⎩，解得25x -<≤，所以y =(]2,5-.故选：D2.（2022·全国·高一专题练习）设()f x 22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为．A ．（－4,0)∪（0,4)B ．（－4，－1)∪（1,4)C ．（－2，－1)∪（1,2)D ．（－4，－2)∪（2,4)【答案】B【详解】试题分析：要使函数有意义，则2>02x x +-解得22x ∈-（，），22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有意义，须确保两个式子都要有意义，则222{222x x-<<-<<⇒4114x ∈--⋃（，）（，），故选B .考点：1.函数的定义域；2.简单不等式的解法.3.2021·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习）若函数()1f x +的定义域为[]1,15-，则函数()2f x g x =）A ．[]1,4B ．(]1,4C ．[]1,14D ．(]1,14【答案】B【分析】首先根据函数()1f x +的定义域求出函数()y f x =的定义域，然后再列出()2f x g x =x 所满足的条件，从而可求出函数()2f x g x =.【详解】因为函数()1f x +的定义域为[]1,15-，所以115x -≤≤，所以0116x ≤+≤，所以函数()y f x =的定义域为[]0,16，所以要使函数()2f x g x =201610x x ⎧≤≤⎨->⎩，解得14x <≤，所以函数()2f x g x =(]1,4.故选：B ．【题型八】嵌入型（内外复合）函数型定义域【典例分析】（2021·全国·高一课时练习）已知()11f x x =+，则()()f f x 的定义域为（）A ．{}|2x x ≠-B ．{}|1x x ≠-C ．{1x x ≠-且}2x ≠-D ．{0x x ≠且}1x ≠-【答案】C【分析】利用分母不为0及复合函数的内层函数不等于0求解具体函数定义域【详解】因为1()1f x x =+，所以1x ≠-，又因为在(())f f x 中，()1f x ≠-，所以111x ≠-+，所以2x ≠-，所以(())f f x 的定义域为{1x x ≠-且}2x ≠-.故选：C1.（2020·江西省临川第二中学高一阶段练习）已知函数()f x 的定义域为(0,1]，()g 2x x =+，那么()()f g x 的定义域是（）A ．(2,3]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(2,1]--【答案】D【解析】本题首先可根据题意得出()01g x <≤，然后通过计算即可得出结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为(0,1]，()g 2x x =+，所以函数()()f g x 需要满足()01g x <≤，即021x <+≤，解得21x -<≤-，()()f g x 的定义域是(2,1]--，故选：D.2.（2020·全国·高一）设()11f x x-＝，则()f f x ⎡⎤⎣⎦＝________.【答案】1x x-(0x ≠，且1x ≠)【分析】将()f x 的解析表达式中的x 用()f x 替换，然后化简整理即得，注意根据原函数的定义域确定复合函数()()f f x 的定义域【详解】∵()11f x x=-，∴()()1111111111x 1x f f x x f x x x-⎡⎤===⎣⎦------＝.由于()11f x x =-中1x ≠，∴()f f x ⎡⎤⎣⎦中()1f x ≠，即111x≠-，∴0x ≠，且1x ≠，故答案为：1x x-(0x ≠，且1x ≠)【题型九】恒成立含参型【典例分析】（2022·全国·高一专题练习）若函数()f x =的定义域为R ，则a 的范围是（）A ．[0,4]B ．[0,4)C ．D ．(0,4)【答案】A【分析】根据给定条件，可得210ax ax ++≥，再分类讨论求解作答.【详解】依题意，R x ∀∈，210ax ax ++≥成立，当0a =时，10≥成立，即0a =，当0a ≠时，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤，因此得04a ≤≤，所以a 的范围是[0,4].故选：A1.（2021·四川·遂宁中学高一阶段练习）已知函数()f x =的定义域是R ，则m的取值范围是（）A ．04m ≤<B ．01m ≤≤C ．4m ≥D ．04m ≤≤【答案】A【分析】对m 分0,0m m =≠两种情况讨论得解.【详解】解：由题得210mx mx ++≠的解集为R .当0m =时，10≠，符合题意；当0m ≠时，240,04m m m ∆=-<∴<<.综合得04m ≤<.故选：A2.（2022·全国·高一专题练习）已知y =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是()A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．33,22⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭D．3322⎛-+ ⎝⎭【答案】D【分析】结合函数特征和已知条件可得到21(1)04ax a x +-+>解集为R ，当0a =时，可得到与已知条件矛盾；当0a ≠时，结合一元二次函数图像即可求解.【详解】由题意可知，21(1)04ax a x +-+>的解集为R ，①当0a =时，易知211(1)044ax a x x +-+=-+>，即14x <，这与21(1)04ax a x +-+>的解集为R 矛盾；②当0a ≠时，若要21(1)04ax a x +-+>的解集为R ，则只需21(1)4y ax a x =+-+图像开口向上，且与x 轴无交点，即判别式小于0，即20(1)0a a a >⎧⎨∆=--<⎩a <<综上所述，实数a的取值范围是33,22⎛+ ⎝⎭.故选：D.3.（2021·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高一阶段练习）若函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,4B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(]0,4【答案】B【分析】由题意可知224mx mx ++>0的解集为R ，分0m =，0m <，0m >三种情况讨论，即可求解.【详解】解：函数的定义域为R ，即不等式的解集224mx mx ++>0的解集为R 当0m =时，得到40>，显然不等式的解集为R ；当0m <时，二次函数224y mx mx =++开口向下，函数值y 不恒大于0，故不等式的解集不可能为R ；当0m >时，二次函数224y mx mx =++开口向上，由不等式的解集为R ，等到二次函数与x 轴没有交点，24160m m ∆=-<，解得04m <<；综上所述，实数m 的取值范围[)0,4.故选：B【题型十】对数函数定义域【典例分析】（2020·黑龙江哈尔滨·高一阶段练习（理））函数y =R ，则实数a 的取值范围是A ．[0,)+∞B ．[1,0)(0,)-⋃+∞C ．(,1)-∞-D ．[1,1)-【答案】A【详解】当0a =时，y =R ;当0a ≠时，函数的值域为R ，则221ax x +-的开口向上，且判别式大于等于零，即0{440a a >+≥，解得0a >.故实数a 的取值范围是[0,)+∞.故选：A.1.（2022·山东·枣庄市第三中学高一开学考试）已知函数()f x 的定义域为()0,1，则()12log 21y f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的定义域为___________.【答案】3,14⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据()f x 的定义域，求得()12log 21x -的取值范围，由此求得x 的取值范围，也即求得函数()12log 21y f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的定义域.【详解】由于函数()f x 的定义域为()0,1，所以()12log 2011x <-<，即()111222log log 21lo 112g x -<<，由于12log y x =在定义域上递减，所以12112x <-<，解得314x <<.所以函数()12log 21y f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的定义域为3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：3,14⎛⎫⎪⎝⎭2.（2021·山东省实验中学高一阶段练习）函数()f x =的定义域为___________.【答案】(]1,3##{|13}x x <≤【分析】由函数的解析式中含有二次根式和对数式，可由二次根式的被开方数非负及对数式的真数大于零联立不等式组，解之即可.需注意不等式的定义域须写成集合或区间形式.【详解】解：由题意可得，自变量x 须满足不等式组：41log (1)0210x x ⎧--≥⎪⎨⎪->⎩41log (1)210x x ⎧-≤⎪⇔⎨⎪->⎩1210x x -≤⎧⇔⎨->⎩13x ⇔<≤所以函数()f x ={|13}x x <≤.故答案为：{|13}x x <≤.3.（2019·黑龙江·哈九中高一阶段练习（文））已知集合{}10A x x =->，22log 1x B x y x ⎧⎫-==⎨⎬+⎩⎭，则()A B =R ð（）A ．[)0,1B ．()1,2C ．(]1,2D ．[)2,+∞【答案】C【分析】求出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义可求出集合()R A B ð.【详解】{}()101,A x x =->=+∞ ，()()222log 0,12,11x x B x y xx x ⎧⎫⎧⎫--===>=-∞-⋃+∞⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭，则[]1,2R B =-ð，因此，()(]1,2R A B = ð.故选：C.【题型十一】定义域：解指数函数不等式【典例分析】（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x =[)2,+∞，则=a _________．【答案】4【分析】由已知可得不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，可知2x =为方程20x a -=的根，即可求得实数a 的值.【详解】由题意可知，不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，则220a -=，解得4a =，当4a =时，由240x -≥，可得2242x ≥=，解得2x ≥，合乎题意.故答案为：4.1.（2023·全国·高一专题练习）已知函数()ln f x x =()2f x 的定义域为（）A ．()01，B ．()12，C ．(]04，D ．(]02，【答案】D【分析】通过求解f (x )的定义域，确定f (2x )的中2x 的范围，求出x 范围，就可确定f (2x )定义域【详解】要使函数()ln f x x =+01620xx >⎧⎨-≥⎩，解得04x <≤，()f x 的定义域为(]0,4，由024x <≤，解得02x <≤，()2f x 的定义域为(]0,2，故选D.2.（2022·全国·高一专题练习）函数()f x =___________.【答案】(,0]-∞【分析】根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.【详解】解：由1102x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得011122⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，所以0x ≤，所以函数的定义域为(,0]-∞，故答案为：(,0]-∞3.（2022·全国·高一专题练习）函数y ________.【答案】(－∞，－2]∪[2，＋∞)【分析】根据开偶数次方根号里的数大于等于零，结合指数函数的单调性解之即可得解.【详解】由题意有22390x --≥，即22233x -≥，所以222x -≥，即24x ≥，所以2x ≥或2x -≤，故所求函数的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞).故答案为：(－∞，－2]∪[2，＋∞).【题型十二】正切函数定义域【典例分析】（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）函数()f x 的定义域为___________.【答案】|,Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【分析】根据开偶数次发，根号里的数大于等于零，解正切函数不等式即可得解.【详解】解：由21tan 0x -≥，有1tan 1x -≤≤，可得ππππ44k x k -+≤≤，k ∈Z ，所以函数()f x 的定义域为|,Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为：|,Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.1.（2022·云南昭通·高一期末）函数3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域为___________.【答案】5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先得到使函数有意义的关系式32,Z 42x k k πππ-≠+∈，求解即可.【详解】若使函数有意义，需满足：32,Z 42x k k πππ-≠+∈，解得5,Z 82k x k ππ≠+∈；故答案为：5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭2.（2022·全国·高一课时练习）函数tan(6)4y x π=+的定义域为________．【答案】{|,Z}624k x x k ππ≠+∈【分析】由6,Z 42x k k πππ+≠+∈，即得.【详解】由题意，要使函数tan(6)4y x π=+的解析式有意义，自变量x 须满足：6,Z 42x k k πππ+≠+∈，解得,Z 624k x k ππ≠+∈，故函数tan(6)4y x π=+的定义域为{|,Z}624k x x k ππ≠+∈，故答案为：{|,Z}624k x x k ππ≠+∈【题型十三】解正弦函数不等式求定义域【典例分析】（2022·北京八中高一期中）函数()2()lg 14sin f x x =-的定义域为________.【答案】,,66k k k Zππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭【分析】根据对数的真数大于0，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得：214sin 0x ->，所以sin 1122x <-<，所以,66k x k k Z ππππ-+<<+∈，函数()f x 的定义域为：,,66k k k Zππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭1.（2023·全国·高一专题练习）函数y =___________.【答案】5(2,2Z)66k k k ππππ++∈【分析】根据给定条件，列出不等式，解正弦不等式即可作答.【详解】依题意，1sin 02x ->，即1sin 2x >，解得522,Z 66k x k k ππππ+<<+∈，所以所求定义域为5(2,2Z)66k k k ππππ++∈.故答案为：5(2,2Z)66k k k ππππ++∈2.（2023·全国·高一专题练习）函数()f x =________________．【答案】(][]4,0,ππ-- 【分析】根据f(x )解析式列出不等式组，解不等式组即可得到定义域﹒【详解】()f x = 2sin 0160x x ⎧∴⎨->⎩ ，解得22,44k x k k Zx πππ+∈⎧⎨-<<⎩ ，对于22,k x k k Z πππ+∈ ，当0k =时，0x π ，当1k =时，23x ππ ，当1k =-时，2x ππ-- ，当2k =-时，43x ππ-- ，∴不等式组的解为：4x π-<- 或0.x π ()f x ∴的定义域为][(4,0,.ππ⎤--⋃⎦故答案为：][(4,0,.ππ⎤--⋃⎦3..（2023·全国·高一专题练习）函数()f x =的定义域为__________.【答案】5{|22,}44x k x k k Z ππππ-≤≤+∈【分析】由二次根式中被开方数非负，结合正弦函数性质可得．【详解】由题意10x ≥，sin 2x ≤，所以52244k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈．故答案为：5{|22,}44x k x k k Z ππππ-≤≤+∈．【题型十四】解余弦函数不等式求定义域【典例分析】（2022·陕西省安康中学高一期末）函数1()ln cos 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为_______________．【答案】ππ2π,2π,33⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭k k k Z【分析】由题可知，解不等式1cos 2x >即可得出原函数的定义域.【详解】对于函数1()ln cos 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，有1cos 02x ->，即1cos 2x >，解得()ππ2π2π33-<<+∈k x k k Z ，因此，函数1()ln cos 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为ππ2π2π,33x k x k k ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .故答案为：ππ2π,2π,33⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭k k k Z .【提分秘籍】基本规律余弦函数定义域是全体实数，本身没有限制。
人教A版数学必修一河北省衡水中学高一数学强化作业：指数函数习题课.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．化简［32)5(-］43的结果为 A ．5B ．5C ．－5D ．－52．将322-化为分数指数幂的形式为 A ．212- B ．312- C ．212-- D ．652-3．下列等式一定成立的是 A ．2331a a ⋅=a B ．2121a a ⋅-=0C ．329()a a=D ．613121a a a =÷4．下列命题中，正确命题的个数为 ①nna =a ②若a ∈R ，则20(1)1a a -+= ③y x y x +=+34334 ④623)5(5-=-A ．0B ．1C ．2D ．35．若a 2x=2－1，则xx xx a a a a --++33等于A ．22－1B ．2－22C ．22+1D ．2+1 6．使代数式（|x |－1）31-有意义的x 的取值范围为A ．|x |≥1B ．－1<x <1C ．|x |>1D ．x ≠±1 二、填空题.7．若103,104x y==，则210x y-=__________．8.+-+----1432313256)71(027.0 1=__________．9.321132132)(----÷ab b a bab a =__________．10．设α、β为方程2x 2+3x +1=0的两个根，则（41）α+β=______________． 11．已知31x a -+=（a 为常数），则2362a ax x---+=______________．三、解答题.12.化简111113131313132---+++++-x xx x x x xx ．13.已知,32121=+-x x 求3212323++++--x x x x 的值．14．（10分）已知x =)55(2111n n --，n N *∈，求2(1)n x x ++值．15．（1）已知m x f x +-=132)(是奇函数，求常数m 的值； （2）画出函数|13|-=xy 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无解？有一解？有两解？指数函数习题课 一、1．B 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 二、7．498．30479147/10 9．6561-b a 10．8 11．1三、12．解：原式=313131313231)1(11x x x x x x -=+-+-+-13．解：由,9)(22121=+-xx可得x +x －1=7∵27)(32121=+-xx∴23121212333---++⋅+xx x x x x =27∴2323-+xx =18，故原式=214．解：由已知得1+x 2=n n y22525(1-++）=211)55(41n n -+ 5)5()]55(21)55(21[)1(111112==++-=++--n n n n n n n nx x15．解： （1）常数m =1（2）当k <0时，直线y =k 与函数|13|-=xy 的图象无交点,即方程无解;直线y =k 与函数|13|-=xy 的图当k =0或k ≥1时, 象有唯一的交点，所以方程有一解;y =k 与函数|13|-=xy 的图象 当0<k <1时, 直线有两个不同交点，所以方程有两解。
高一数学强化训练五
高一数学强化训练五 一、选择题 1. 若α是第二象限的角，且sinα=23，则cosα=（ ）A. 13B. −13C. √53D. −√53 2. 函数y =sin2x •cos2x 的最小正周期是（ ）A. 2πB. 4πC. π4D. π2 3. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）A. y =3−xB. y =x 3C. y =lnxD. y =|x| 4. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗C. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BA ⃗⃗⃗⃗⃗D. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗5. 已知平面向量a ⃗ =(1，−3)，b ⃗ =(4，−2)，λa ⃗ +b ⃗ 与a⃗ 垂直，则实数λ的值为（ ） A. −1 B. 1 C. −2 D. 26. 设a ⃗ =（32，sin a ），b ⃗ =（cos a ，13）且a ⃗ ∥b ⃗ ，则锐角a 为（ ） A. 30∘ B. 60∘ C. 45∘ D. 75∘7. a ⃗ =（2，1），b ⃗ =（3，4），则向量a ⃗ 在向量b ⃗ 方向上的投影为（ ）A. 2√5B. √5C. 2D. 10 8. 若x log 34=1，则4x +4-x =（ ）A. 1B. 2C. 83D. 1039. 函数y =sin x +cos 2x 的值域是（ ）A. [−1,54]B. [−1,1]C. [1,45]D. (−∞,45] 10. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A. y =x +sin2xB. y =x 2−cosxC. y =2x +12x D. y =x 2+sinx11. 若2x －5－x ≤2－y －5y ，则有（ ）A. x +y ≥0B. x +y ≤0C. x −y ≤0D. x −y ≥0 12. 已知函数f （x ）=ln （√1+9x 2-3x ）+1，则f （lg2）+f （lg 12）=（ ）A. −1B. 0C. 1D. 2二、填空题13. lg20+lg5=______．14. 若向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为150°，|a ⃗ |=√3，|b ⃗ |=4，则|2a ⃗ +b ⃗ |=______．15. 已知α，β都是锐角，sinα=45，cos （α+β）=513，则sinβ的值等于______．16. 已知函数f （x ）=sin2x -k cos2x 的图象关于直线x =π8对称，则k 的值是______．三、解答题17. 已知函数f(α)=cos(π2+α)cos(2π+α)sin(−α+32π)sin(α+7π2)sin(−3π−α)．（1）化简f （α）；（2）若α是第三象限角，且tanα=34，求f （2α）．18. 已知函数f （x ）=sin 2x +2sin x cosx+3cos 2x ，x ∈R ．求：（1）函数f （x ）的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； （2）求函数f （x ）在[0，π2]上的值域．19.设向量a ⃗ =(4cosα，sinα)，b ⃗ =(sinβ，4cosβ)，c ⃗ =(cosβ，−4sinβ)（1）若a ⃗ 与b ⃗ −2c ⃗ 垂直，求tan （α+β）的值；（2）求|b ⃗ +c ⃗ |的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：a ⃗ ∥b ⃗ ．。
高一数学课时同步练习第5课全集,补集及综合应用
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第一单元集合与常用逻辑用语第5课全集，补集及综合应用一、基础巩固1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝() A．{2，6}B．{3，6}C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}【答案】A【解析】由题知A∪B＝{1，3，4，5}，所以∁U(A∪B)＝{2，6}．故选A.2．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B＝()A．{x|x是菱形}B．{x|x是内角都不是直角的菱形}C．{x|x是正方形}D．{x|x是邻边都不相等的矩形}【答案】B【解析】由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁A B＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．3. 若全集U＝{0,1,2,3}且∁U A＝{2}，则集合A的真子集共有()A．3个B．5个C．7个D．8个【答案】C【解析】A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7个．4．设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}【答案】A【解析】阴影部分表示的集合为N∩(∁U M)＝{x|－2≤x<1}，故选A.5．设全集U＝{0，1，2，3}，集合A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1，2}，则实数m＝________．【答案】－3【解析】由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0，3}，即0，3为方程x2＋mx＝0的两根，所以m＝－3.6．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁U A＝{x|x<1或x≥2}，则实数b＝________．【答案】2【解析】因为∁U A＝{x|x<1或x≥2}，所以A＝{x|1≤x<2}．所以b＝2.7．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是________．(填序号)①Z∪∁U N；②N∩∁U N；③∁U(∁U∅)；④∁U Q.【答案】①【解析】结合常用数集的定义及交、并、补集的运算，可知Z∪∁U N＝R，故填①.8．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．【答案】见解析【解析】如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}，∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．二、拓展提升9．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁U A＝________.【答案】{2}【解析】[若x＝2，则x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，则∁U A＝{2}．10. 已知集合M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩∁R M≠∅(R为实数集)，则a的取值范围是________．【答案】a≥－2【解析】由题意知∁R M＝{x|－2≤x＜3}，N＝{x|x≤a}．因为N ∩∁R M ≠∅，所以a ≥－2.11．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．【答案】a ＝87，b ＝－127【解析】由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合中的方程得⎩⎪⎨⎪⎧22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0. 解得a ＝87，b ＝－127即为所求． 12．已知全集U ＝{不大于20的质数}，若M ，N 为U 的两个子集，且满足M ∩(∁U N )＝{3，5}，(∁U M )∩N ＝{7，19}，(∁U M )∩(∁U N )＝{2，17}，则M ＝________，N ＝________．【答案】{3，5，11，13} {7，11，13，19}【解析】法一：U ＝{2，3，5，7，11，13，17，19}，如图所示，所以M ＝{3，5，11，13}，N ＝{7，11，13，19}．法二：因为M ∩(∁U N )＝{3，5}，所以3∈M ，5∈M 且3∉N ，5∉N .又因为(∁U M )∩N ＝{7，19}，所以7∈N ，19∈N 且7∉M ，19∉M .又因为(∁U M )∩(∁U N )＝{2，17}，所以∁U (M ∪N )＝{2，17}，所以M ＝{3，5，11，13}，N ＝{7，11，13，19}．。
高一数学(必修一)《第五章 任意角》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 任意角》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．喜洋洋从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是（ ）A ．30°B ．﹣30°C ．60°D ．﹣60°2．将880-︒化为360k α+⨯︒（0360α︒≤<︒，Z k ∈）的形式是（ ）A ．()1603360︒+-⨯︒B ．()2002360︒+-⨯︒C ．()1602360︒+-⨯︒D ．()2003360︒+-⨯︒3．下列角中终边在y 轴非负半轴上的是（ ）A ．45︒B ．90︒C ．180︒D ．270︒4．下列说法中正确的是（ ）A ．锐角是第一象限的角B ．终边相同的角必相等C ．小于90︒的角一定为锐角D ．第二象限的角必大于第一象限的角 5．在0°到360范围内，与405终边相同的角为（ ）A ．45-B ．45C ．135D ．2256．若750︒角的终边上有一点(),3P a ，则a 的值是( )AB ．C ．D ．-7．下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，则时针转过的角度为60；⑥若 4.72α=-，则α是第四象限角.其中正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．角296π-的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．下列命题中正确的是（ ）．A ．第一象限角一定不是负角B ．小于90°的角一定是锐角C ．钝角一定是第二象限角D ．第一象限角一定是锐角 10．已知α为第三象限角，cos 02α>和tan 3α=，则tan 2α的值为（ ）A ．13-B ．13C ．13-D ．13-+13-11．下列与94π的终边相同的角的集合中正确的是（ ） A ．(){}245Z k k ααπ=+︒∈ B ．()9360Z 4k k ααπ⎧⎫=⋅︒+∈⎨⎬⎩⎭C ．(){}360315Z k k αα=⋅︒-︒∈D ．()5Z 4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭12．已知集合{}9045,M x x k k ==⋅︒+︒∈Z ，集合{}4590,N x x k k ==⋅︒+︒∈Z ，则有（ ）A ．M NB ．N MC ．M ND ．M N ⋂=∅13．若角α的终边与函数()1f x x =-的图象相交，则角α的集合为（ ）A ．π5π|2π+2π,Z 44k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭B ．3π7π|2π+2π,Z 44k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭C ．3ππ|2π2π,Z 44k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭D ．5ππ|2π2π,Z 44k k k αα⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭二、双空题14．与角-2021°终边重合的最大负角是__________，与角2022°终边重合的最小正角是__________.三、填空题15．如图，终边落在阴影部分（不含边界）的角的集合是________.16．若角α的终边在函数y x =-的图象上，试写出角α的集合为_________．四、多选题17．如果2θ是第四象限角，那么θ可能是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角参考答案与解析1．D【分析】根据分针旋转方向结合任意角的定义即可求出【详解】因为分针为顺时针旋转，所以10分钟时间钟表的分针走过的角度是 360606︒-=-︒. 故选：D ．2．D【分析】根据给定条件直接计算即可判断作答.【详解】880200()3360-︒=︒+-⨯︒.故选：D3．B【分析】求出以x 轴的非负半轴为始边，终边在y 轴非负半轴上的一个角即可判断作答.【详解】因x 轴的非负半轴绕原点逆时针旋转90°即可与y 轴非负半轴重合因此，以x 轴的非负半轴为始边，y 轴非负半轴为终边的一个角是90°于是得：终边在y 轴非负半轴上的角的集合为{|36090,Z}k k αα=⋅+∈显然，A ，C ，D 不满足，符合条件的是B.故选：B4．A【分析】根据锐角的定义，可判定A 正确；利用反例可分别判定B 、C 、D 错误，即可求解.【详解】对于A 中根据锐角的定义，可得锐角α满足090α︒<<︒是第一象限角，所以A 正确； 对于B 中例如：30α=与390β=的终边相同，但αβ≠，所以B 不正确；对于C 中例如：30α=-满足90α<，但α不是锐角，所以C 不正确；对于D 中例如：390α=为第一象限角，120β=为第二象限角，此时αβ>，所以D 不正确.故选：A.5．B【分析】根据终边相同角的概念判断即可；【详解】解：因为40536045=+，所以在0°到360范围内与405终边相同的角为45；故选：B6．B【分析】结合已知条件可求得750与30的终边相同，然后利用三角函数值的定义即可求解.【详解】因为750236030=⨯+所以750与30的终边相同从而223cos750cos3023a a ===+，解得a =故选：B.7．A【分析】利用任意角的定义逐项判断可得出合适的选项. 【详解】①因为大于90小于180的角为钝角，所以钝角的终边在第二象限，钝角是第二象限的角对； ②小于90的角包含负角，负角不是锐角，所以小于90的角是锐角错；③330-是第一象限角，所以第一象限角一定不是负角错；④120是第二象限角，390是第一象限角120390<，所以第二象限角一定大于第一象限角错； ⑤因为时针顺时针旋转，所以针转过的角为负角23060-⨯=-，⑤错； ⑥3 4.7124 4.722π-≈->-，且 4.722π->-，即32 4.722ππ-<-<-，所以α是第四象限角错. 故正确的命题只有①故选：A.8．C 【分析】将角化为k πα+（k Z ∈）的形式，由此确定正确选项.【详解】29566πππ-=-+，在第三象限. 故选：C9．C【分析】明确锐角、钝角、象限角的定义，通过举反例排除错误的选项，得到正确的选项．【详解】解：A 不正确，如330-︒就是第一象限角．B 不正确，如30-︒是小于90︒的角，但30-︒并不是锐角．C 正确，因为钝角大于90︒且小于180︒，它的终边一定在第二象限．D 不正确，如330-︒就是第一象限角，但330-︒并不是锐角．故选：C ．10．A 【分析】利用正切的二倍角公式可得23tan 2tan 3022αα+-=，求出tan 2α，再根据α的范围可得答案.【详解】∵tan 3α=，∴22tan231tan 2αα=- 即23tan2tan 3022αα+-=∴1tan 23α=-1tan 23α=-α为第三象限角，所以()3ππ2π2π2k k k α+<<+∈Z ()π3πππ224k k k α+<<+∈Z ∵cos02α>，∴2α为第四象限角 ∴tan 02α<，∴1tan23α=-故选：A.11．C【分析】由任意角的定义判断 【详解】94057203154rad π︒=︒=-︒，故与其终边相同的角的集合为9{|2,}4k k Z πααπ=+∈或{|315360,}k k Z αα=-︒+⋅︒∈角度制和弧度制不能混用，只有C 符合题意故选：C12．CN ∴中存在元素x M ∉；M N ∴．故选：C ．13．C【分析】只有当角α的终边与在直线y x =上时，则与函数()1f x x =-的图象无交点，其余情况一直有交点，结合选项可得答案．【详解】当角α的终边与直线y x =重合时，则角α的终边与函数()1f x x =-的图象无交点.又因为角α的终边为射线 所以3ππ2π2π44k k α-<<+ k ∈Z . 故选：C14． -221° 222°【分析】根据终边相同的角相差360︒的整数倍，利用集合的描述法可写出符合条件的集合，给k 赋值进行求解即可．【详解】解：根据终边相同的角相差360︒的整数倍故与-2021°终边相同的角可表示为：{|3602021k αα=︒-︒ }k Z ∈则当4k =时，则53602021221α=⨯︒-︒=-︒，此时为最大的负角．与角2022°终边相同的角可表示为：{|3602022k αα=︒+︒ }k Z ∈当5k =-时，则53602022222α=-⨯︒+︒=︒，此时为最小的正角．故答案为：-221°，222°15．{}|36045360120,k k k Z αα︒︒︒︒⋅-<<⋅+∈ 【解析】写出与OA 终边相同的角的集合和与OB 终边相同的角的集合，根据区域角的表示方法即可得解.【详解】由题图可知与OA 终边相同的角的集合为{}|360120,k k Z αα︒︒=⋅+∈与OB 终边相同的角的集合为(){}|36045,k k Z αα︒︒=⋅+-∈，故终边落在阴影部分（不含边界）的角的集合是{}|36045360120,k k k Z αα︒︒︒︒⋅-<<⋅+∈.故答案为：{}|36045360120,k k k Z αα︒︒︒︒⋅-<<⋅+∈ 【点睛】此题考查区域角的表示方法，关键在于准确找准区域边界所对应的角的表示方式.16．{|180135,}k k αα=⋅︒+︒∈Z【解析】函数y x =-的图象是第二、四象限的平分线，可以先在0︒～360︒范围内找出满足条件的角，再进一步写出满足条件的所有角，并注意化简．【详解】解：函数y x =-的图象是第二、四象限的平分线，在0︒～360︒范围内，以第二象限射线为终边的角为135︒，以第四象限射线为终边的角为315︒∴α的集合为{|360135k αα=⋅︒+︒或360315,}k k Z α=⋅︒+︒∈{|180135,}k k Z αα==⋅︒+︒∈故答案为：{|180135,}k k Z αα=⋅︒+︒∈【点睛】本题考查终边相同角的表示，角的终边是以原点为顶点的一条射线，因此当只有角的终边在直线上时，则要分类讨论．由原点把直线分成两条射线．17．BD【解析】依题意求出2θ的取值范围，从而得出θ的取值范围，即可判断θ所在的象限； 【详解】解：由已知得2222k k ππθπ-<<，k Z ∈所以4k k ππθπ-<<，k Z ∈当k 为偶数时，则θ在第四象限，当k 为奇数时，则θ在第二象限，即θ在第二或第四象限．故选：BD ．。
高一数学复习考点知识专题提升练习5--- 函数的概念及其表示(解析版)
高一数学复习考点知识专题提升练习精练05函数的概念及其表示1．【广东省深圳市红岭中学2019-2020学年高一期末】下列各组函数中，表示同一函数的是() A ．()() ln xf x eg x x ＝，＝B ．()()24,22x f x g x x x -+＝＝－C ．()()sin 2,sin 2cos xf xg x x x＝＝D ．()()f x x g x ＝，【答案】D 【详解】选项A:函数()f x 的定义域是0x >，函数()g x 的定义域是全体实数，故这两个函数不是同一函数； 选项B:函数()f x 的定义域是2x ≠-，函数()g x 的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数； 选项C: 函数()f x 的定义域是()2x k k Z ππ≠+∈,函数()g x 的定义域是全体实数，故两个函数不是同一函数；选项D:函数()f x 和()g x 的定义域都是全体实数，且()g x x =，对应关系相同，所以是同一函数，故本题选D.2．【浙江省杭州市学军中学（学紫）2019-2020学年高一上学期期中】下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（）A ．()4ln f x x =，()4ln g x x =B ．()2f x x =，()g x =C ．()1f x x =-，()g x =D ．()f x x =，()2g x =【答案】B对于A 选项，函数()4ln f x x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，函数()4ln g x x =的定义域为()0,∞+，故()4ln f x x =与()4ln g x x =不是同一函数；A 排除对于B 选项，函数()2f x x =与()g x =R ，且()2==g x x ，所以()2f x x =与()g x =B 正确；对于C 选项，函数()1f x x =-的定义域为R ，函数()1g x x ==-,定义域为R ，因此()1f x x =-与()g x =C ；对于D 选项，函数()f x x =的定义域为R ，函数()2g x =的定义域为[)0,+∞，因此()f x x=与()2g x =不是同一函数，排除D.故选B3．与函数()f x x =相等的是（）A ．()2x f x x=B ．()2ln ln x f x x =C ．()22xf x =D ．()22xf x =【答案】C 【详解】()f x x =的定义域为R,而A 中0x ≠，B 中0x >，C 中x ∈R ，D 中x ∈R ， 又C 中()22x f x x ==，D 中()22xf x x =≠， 故选：C.4．【山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末】下列哪个函数的定义域与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（） A ．2x y =B ．1y x x=+C ．12y x =D ．ln y x x =-【详解】指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是(0,)+∞ A 选项定义域是R ； B 选项定义域是{}|0x x ≠； C 选项定义域是{}|0x x ≥；D 选项定义域是{}|0x x >，满足题意。
高一数学集合知识点及练习题
第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇()A C B UA A U U U ==∅=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法0)例题讲解1.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 ( )答案 B解析 由{}2|0N x x x =+=，得{1,0}N =-，则N M ⊂,选B.2.设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U AB =ð( )A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x > 答案 B解析 对于{}1U C B x x =≤，因此U A B =ð{|01}x x <≤3.（北京文）设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （ ） A ．{12}x x -≤< B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤<答案 A解析 本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运 算的考查∵1{|2},2A x x =-<<{}2{1}|11B x x x x =≤=-≤≤， ∴{12}AB x x =-≤<，故选A.4.(山东卷理)集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 ( )A.0B.1C.2D.4 答案 D解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题. 5.（全国卷Ⅱ文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C u ( M N )=( ) A.{5，7} B.{2，4} C. {2.4.8} D. {1，3，5，6，7} 答案 C6.已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 答案 B解析 由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个，选B. 7．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -= （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-答案 C8．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝（ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3｝C ．｛x |1＜x ＜3｝D ．｛x |2＜x ＜3｝答案 D解析 {}{}2log 12N x x x x =>=>,用数轴表示可得答案D 。
高中数学必修一高一数学第五章(第课时)平面向量的坐标运算()公开课教案课件课时训练练习教案课件
课 题: 平面向量的坐标运算（1）教学目的:（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标, 判断向量是否共线教学重点: 平面向量的坐标运算教学难点: 向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型: 新授课课时安排: 1课时教 具: 多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1 向量的加法：求两个向量和的运算, 叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则2. 向量加法的交换律: + = +3. 向量加法的结合律: ( + ) + = + ( + )4．向量的减法向量a 加上的b 相反向量, 叫做a 与b 的差 即: a ( b = a + ((b)5. 差向量的意义： = a, = b, 则 = a ( b即a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量6. 实数与向量的积: 实数λ与向量 的积是一个向量, 记作: λ（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =07. 运算定律 λ(μ )=(λμ) , (λ+μ) =λ +μ , λ( + )=λ +λ8. 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是: 有且只有一个非零实数λ, 使 =λ9．平面向量基本定理：如果 , 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量 , 有且只有一对实数λ1, λ2使 =λ1 +λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一, 关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时, 分解形式惟一 λ1, λ2是被 , , 唯一确定的数量二、讲解新课:1. 平面向量的坐标表示如图, 在直角坐标系内, 我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 , 由平面向量基本定理知, 有且只有一对实数 、 , 使得yj xi a +=…………○1我们把 叫做向量 的（直角）坐标, 记作),(y x a =…………○2其中 叫做 在 轴上的坐标, 叫做 在 轴上的坐标, 式叫做向量的坐标表示与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x 特别地, , ,如图, 在直角坐标平面内, 以原点O 为起点作 , 则点 的位置由 唯一确定 设 , 则向量 的坐标 就是点 的坐标；反过来, 点 的坐标 也就是向量 的坐标 因此, 在平面直角坐标系内, 每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示2. 平面向量的坐标运算（1） 若 , , 则 ,b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为 、 , 则即 , 同理可得（2） 若 , , 则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)（3）若 和实数 , 则实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为 、 , 则 , 即三、讲解范例:例1已知平面上三点的坐标分别为A((2, 1), B((1, 3), C(3, 4), 求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点解: 当平行四边形为ABCD 时, 由 得D1=(2, 2)当平行四边形为ACDB 时, 得D2=(4, 6)当平行四边形为DACB 时, 得D3=((6, 0)例2已知三个力1F (3, 4), 2F (2, -5), 3F (x, y)的合力1F +2F +3F =0 求3F 的坐标解: 由题设 + + = 得: (3, 4)+ (2, (5)+(x, y)=(0, 0)即: ∴ ∴ ((5,1)四、课堂练习:1. 若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P 点的坐标；解: 设P(x, y) 则(x-3, y+2)= (-8, 1)=(-4, )⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-21243y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=231y x ∴P 点坐标为(-1, -23) 2. 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则 (2 =(-3,-3)3. 已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD 是梯形解: ∵ =(-2, 3) =(-4, 6) ∴ =2 ∴AB ∥DC 且 |AB |≠|DC | ∴四边形ABCD 是梯形五、小结 1. 向量的坐标概念 2. 向量坐标的运算六、课后作业:七、板书设计（略）八、课后记:活动目的: 教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的, 每个人都要保护它, 做到节约每一滴水, 造福子孙万代。
高一数学暑假强化练习10套及答案
高一数学暑假强化练习一组题人：使用时间：7.7 用时：50分钟家长签字：一、选择题1．(河南安阳一中月考试题)如果集合A＝{x|ax2－2x－1＝0}只有一个元素则a的值是()A．0B．0或1C．－1 D．0或－12．(广东惠州调研)集合M＝{4,5，－3m}，N＝{－9,3}，若M∩N≠∅，则实数m的值为()A．3或－1 B．3C．3或－3 D．－13．设A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有()A．A⊆C B．C⊆AC．A≠C D．A＝∅4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则∁U(M∪N)＝()A．{5,7} B．{2,4}C．{2,4,8} D．{1,3,5,6,7}5．(胶州三中高一期末测试)设全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x<3}，N＝{x|－1≤x≤4}，则N∩∁U M＝()A．{x|－4≤x≤－2} B．{x|－1≤x≤3}C．{x|3≤x≤4} D．{x|3<x≤4}6．集合M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩∁R M≠∅(R为实数集)，则a的取值范围是()A．{a|a≤3} B．{a|a>－2}C．{a|a≥－2} D．{a|－2≤a≤2}7．设P＝{3,4}，Q＝{5,6,7}，集合S＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则S中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．68．(陕西模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为() A．1 B．2C．3 D．4二、填空题9．设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，且A∩B≠∅，则实数a的取值集合为________．10．(河北孟村回民中学月考试题)U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}，∁U A＝{1}，则p＋q＝________.11．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x－1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若m ∈A，m∈B，则m为________．12．已知A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋4x＋p＝0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是________．三、解答题13．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}，求：(1)(∁R A)∩(∁R B) (2)∁R(A∪B)(3)(∁R A)∪(∁R B) (4)∁R(A∩B)14．(山东鱼台一中月考试题)集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若A∩B≠∅，A∩C＝∅，求实数a的值．15．设全集U＝R，集合A＝{x|－5<x<4}，集合B＝{x|x<－6或x>1}，集合C＝{x|x－m<0}，求实数m的取值范围，使其分别满足下列两个条件：①C⊇(A∩B)；②C⊇(∁U A)∩(∁U B)．16．设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．(1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6<x<6}，求A－(A－B)和B－(B－A)．高一数学暑假强化练习一答案 7.7号1[答案]D[解析] 若a ＝0则方程只有一根－12若a ≠0则方程只有一根应满足Δ＝0即4＋4a ＝0.∴a ＝－1故选D.2[答案]A[解析] ∵M ∩N ≠∅，∴－3m ＝－9或－3m ＝3，∴m ＝3或－1，故选A.3[答案]A[解析] ∵A ∪B ＝B ∩C ⊆B ， 又B ⊆A ∪B ，∴A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ， 又B ⊆A ∪B ＝B ∩C ，且B ∩C ⊆B ， ∴B ∩C ＝B ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C . 4[答案] C[解析] ∵M ∪N ＝{1,3,5,6,7}，U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U (M ∪N )＝{2,4,8}．5[答案]C[解析] ∁U M ＝{x |x <－2或x ≥3}，N ∩∁U M ＝{x |3≤x ≤4}．6[答案]C[解析] ∁R M ＝{x |－2≤x <3}．结合数轴可知．a ≥－2时，N ∩∁R M ≠∅.7[答案]D[解析] S ＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D.8[答案]B[解析] 因为集合A ＝{1,2}，B ＝{2,4}，所以A ∪B ＝{1,2,4}，所以∁U (A ∪B )＝{3,5}．9[答案]{a |a ≥－1}[解析] 利用数轴标出两集合可直接观察得到．10[答案][解析] 由∁U A ＝{1}，知A ＝{2}即方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等根2，∴p ＝－4，q ＝4， ∴p ＋q ＝0.11[答案](4,7)[解析] 由m ∈A ，m ∈B 知m ∈A ∩B ，由⎩⎨⎧y ＝2x －1y ＝x ＋3，得⎩⎨⎧x ＝4y ＝7，∴A ∩B ＝{(4,7)}．12[答案]p >4[解析] A ＝{－1,2}，若B ＝A ，则2＋(－1)＝－4矛盾；若B 是单元素集，则Δ＝16－4p＝0∴p＝4∴B＝{－2}A.∴B＝∅，∴p>4.13[分析]在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A、B，然后求出A∩B，A∪B，∁R A，∁R B，最后可逐一写出各小题的结果．[解析]如图所示，可得A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}．∁R A＝{x|x<2或x≥5}，∁R B＝{x|x<3或x≥7}．由此求得(1)(∁R A)∩(∁R B)＝{x|x<2或x≥7}．(2)∁R(A∪B)＝{x|x<2或x≥7}．(3)(∁R A)∪(∁R B)＝{x|x<2或x≥5}∪{x<3或x≥7}＝{x|x<3或x≥5}．(4)∁R(A∩B)＝{x|x<3或x≥5}．[评注]求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现．14[解析]B＝{x|x2－5x＋t＝0}＝{x|(x－2)(x－3)＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{x|(x－2)(x＋4)＝0}＝{2，－4}，∵A∩B≠∅，A∩C＝∅，∴3∈A，将x＝3代入x2－ax＋a2－19＝0得：a2－3a－10＝0解得a＝5或－2当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6}＝{2,3}与A∩C＝∅矛盾当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}符合题意综上a＝－2.15[解析]∵A＝{x|－5<x<4}，B＝{x|x<－6或x>1}，∴A∩B＝{x|1<x<4}．又∁U A＝{x|x≤－5或x≥4}，∁U B＝{x|－6≤x≤1}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|－6≤x≤－5}．而C＝{x|x<m}，∵当C⊇(A∩B)时，m≥4，当C⊇(∁U A)∩(∁U B)时，m>－5，∴m≥4.16[解析](1)如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A－B＝{1}．(2)不一定相等，由(1)B－A＝{4}，而A－B＝{1}，故A－B≠B－A.又如，A＝B＝{1,2,3}时，A－B＝∅，B－A＝∅，此时A－B＝B－A，故A－B与B－A不一定相等．(3)因为A－B＝{x|x≥6}，B－A＝{x|－6<x≤4}，A－(A－B)＝{x|4<x<6}，B－(B－A)＝{x|4<x<6}．高一数学暑假强化练习二组题人： 使用时间：7.8号 用时：50分钟 家长签字：一、选择题1．下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是( )2．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3D ．g (x )＝2x ＋73．(河南扶沟高中高一月考试题)函数f (x )＝x ＋|x |x 的图象是( )4．(鱼台一中月考试题)已知f (1x )＝1x ＋1则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝11＋xB ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝x1＋xD ．f (x )＝1＋x5．(武安中学周测题)若f (x )满足关系式f (x )＋2f (1x )＝3x ，则f (2)的值为( )A ．1B ．－1C ．－32D.326．已知f (x )是一次函数，若2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3x ＋2B ．f (x )＝3x －2C ．f (x )＝2x ＋3D ．f (x )＝2x －37．某同学离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d 轴表示该学生离学校的距离，t 轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是( )8.某工厂八年来产品累积产量C (即前t 年年产量之和)与时间t (年)的函数图象如图，下列四种说法：①前三年中，产量增长的速度越来越快； ②前三年中，产量增长的速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产； ④第三年后，年产量保持不变． 其中说法正确的是( ) A ．②与③ B ．②与④ C ．①与③ D ．①与④ 二、填空题9．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f (g ． 10.(沧州市2012～2013学年高一期末质量监测)已知集合M ＝{－1,1,2,3}，N ＝{0,1,2,3,4}，下面给出四个对应法则，①y ＝x 2；②y ＝x ＋1；③y ＝x ＋32x －1；④y ＝(x －1)2，其中能构成从M 到N 的函数的序号是________．11．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )的解析式为________． 12．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F (13)＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________．三、解答题 13．求解析式：(1)已知f (x )为二次函数，且f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝16x 2－4x ＋6，求f (x )．(2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．(3)如果函数f (x )满足方程f (x )＋2f (－x )＝x ，x ∈R ，求f (x )． 14．已知函数f (x )的图象如图，其中y 轴左侧为一条线段，右侧为一段抛物线，求f (x )的解析式．15．作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y ＝⎩⎨⎧1x0<x <1x ， x ≥1；(2)y ＝－x 2＋2x ，x ∈[－2,2]；(3)y ＝|x ＋1|.16．(孟村回中月考题)某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间适合关系式：y ＝ax ＋bx .且当x ＝2时，y ＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件．(1)写出函数y 关于x 的解析式；(2)用列表法表示此函数．高一数学暑假强化练习二答案 7.8号1[答案] B 2[答案]B[解析] g (x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，∴g (x )＝2x －1，选B.3[答案] C[解析] 对于y ＝x ＋|x |x ， 当x ＞0时，y ＝x ＋1； 当x ＜0时，y ＝x －1.即y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ＞0，x －1，x ＜0.故其图象应为C.4[答案] C[解析] ∵f (1x )＝1x ＋1＝1x1＋1x. ∴f (x )＝x1＋x 故选C.5[答案] B[解析]⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＋2f (12)＝6①f (12)＋2f (2)＝32②①－②×2得－3f (2)＝3， ∴f (2)＝－1，选B.6[答案] B[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由已知得⎩⎨⎧2(2a ＋b )－3(a ＋b )＝52b －(－a ＋b )＝1即⎩⎨⎧a －b ＝5a ＋b ＝1解得⎩⎨⎧a ＝3b ＝－2，故选B.7 [答案] D[解析] t ＝0时，学生在家，离学校的距离d ≠0，因此排除A 、C ；学生先跑后走，因此d 随t 的变化是先快后慢，故选D.8[答案]A[解析] 由于纵坐标表示八年来前t 年产品总产量，故②③正确，其余错误9[答案] 1 2 [解析] ∵g (1)＝3， ∴f (g (1))＝f (3)＝1.∴f (g (x ))＞g (f (x ))的解为x ＝2.10[[解析] 对于①当x ＝3时，y ＝9，集合N 中不存在，对于③当x ＝－1时y ＝－23集合N 中不存在，而②④符合函数定义．11[答案] f (x )＝x 2＋2[解析] f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x )2＋2，∴f (x )＝x 2＋2. 12[答案] F (x )＝3x ＋5x[解析] 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0)，则F (x )＝kx ＋m x .由F (13)＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16k ＋m ＝8，解得⎩⎨⎧k ＝3m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x .13[分析](1)待定系数法．(2)这是含未知数f (x )的等式，比较抽象，在函数的定义域和对应法则不变的条件下，自变量变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响．(3)因为当x ∈R 时，都有f (x )＋2f (－x )＝x ，所以利用方程思想解得f (x )．[解析] (1)待定系数法：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋cf (2x －1)＝a (2x －1)2＋b (2x －1)＋c ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝8ax 2＋4bx ＋2a ＋2c ＝16x 2－4x ＋6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8a ＝164b ＝－42a ＋2c ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－1c ＝1，∴f (x )＝2x 2－x ＋1. (2)方法一：配凑法∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 方法二：换元法令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)， ∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)∵f (x )＋2f (－x )＝x ，当x ∈R 时成立， 用－x 替换x 得，f (－x )＋2f (x )＝－x .得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f (－x )＝x ， ①f (－x )＋2f (x )＝－x . ②②×2－①，得3f (x )＝－3x ，∴f (x )＝－x .[方法点拨] (2)配凑法简便易行，但对变形能力、观察能力要求较高，换元法易掌握，但利用这种方法时要注意自变量取值范围的变化情况，否则得不到正确的解析式．(3)本题是利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，而得到f (x )的表达式，此种方法称为消去法，也称为解方程法．14[解析] 当－2≤x ≤0，设y ＝kx ＋b (k ≠0)，代入(－2,0)与(0,2)，得⎩⎨⎧0＝－2k ＋b ，2＝b ，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝2.故y ＝x ＋2，当0＜x ≤3时，设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，代入(0,2)，(2，－2)，(3，－1)得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝－2，9a ＋3b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，∴y ＝x 2－4x ＋2.c ＝2.综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，－2≤x ≤0，x 2－4x ＋2，0＜x ≤3.15[分析] 列表→描点→用平滑的曲线连成图象→观察图象求值域[解析](1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x 0<x <1x ， x ≥1，列表：当0<x <1时，函数图象是双曲线y ＝1x 的一部分；当x ≥1时，函数图象为直线y ＝x 的一部分，所以函数图象如图(1)所示，(2)y ＝－x 2＋2x ＝1－(x －1)2，x ∈[－2,2]． 列表：画图象，图象是抛物线y ＝－x 2＋2x 在－2≤x ≤2之间的部分如图(2)所示．由图(2)，可得函数的值域是[－8,1]． (3)当x ＋1≥0， 即x ≥－1时，y ＝x ＋1；当x ＋1<0，即x <－1时，y ＝－x －1.∴y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x <－1.作该分段函数图象如图(3)．16[分析] 由已知数据→求出a ，b →写出解析式→列表法表示函数[解析](1)将⎩⎨⎧x ＝2y ＝100，⎩⎨⎧x ＝7y ＝35代入y ＝ax ＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b 2＝1007a ＋b 7＝35⇒⎩⎨⎧4a ＋b ＝20049a ＋b ＝245⇒⎩⎨⎧a ＝1b ＝196.∴所求函数解析式为y ＝x ＋196x (x ∈N *,0<x ≤20)． (2)当x ∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：[点评] 在表示函数时，要根据函数的具体特点，在解析法、列表法、图象法中选择恰当的表现形式．高一数学暑假强化练习三组题人： 使用时间：7.8号 用时：50分钟 家长签字： 一、选择题1．下列所给的四个图象中，可以作为函数y ＝f (x )的图象的有( )A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(4)C ．(1)(3)(4)D ．(3)(4)2．(河北正定中学高一月考试题)设集合A 、B 都是自然数集N ，映射f ：A →B 是把A 中的元素n 映射到B 中的元素2n ＋n ，则在f 映射下，B 中元素20在A 中的对应的元素是( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(河北衡水中学高一月考试题)函数y ＝2x ＋1＋3－4x 定义域为( )A ．(－12，34)B ．[－12，34]C ．(－∞，12]∪[34，＋∞) D ．(－12，0)∪(0，＋∞)4．从甲城市到乙城市的电话费由函数g (t )＝1.06(0.75[t ]＋1)给出，其中t >0，[t ]表示大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5 min 的电话费为( )A ．5.04元B ．5.56元C ．5.83元D ．5.38元5．(山东潍坊一中月考题)图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1| (0≤x ≤2) B ．y ＝32－32|x －1| (0≤x ≤2) C ．y ＝32－|x －1| (0≤x ≤2) D ．y ＝1－|x －1| (0≤x ≤2)6．设a ，b 为实数，集合M ＝{－1，ba ，1}，N ＝{a ，b ，b －a }，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．＋17．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )8．若函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图，则不等式f (x )g (x )≥0的解集是( )A ．(－1,1]∪(2,3]B ．(－1,1)∪(2,3)C ．(2,3]∪(4，＋∞)D ．(－1,1]∪(2,3]∪(4，＋∞) 二、填空题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1， x ≤1，－x ，x ＞1.若f (x )＝2，则x ＝________.10．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则对x ∈R ，函数f (x )＝1*x= .11．设函数f(n)＝k(其中n∈N*)k是π的小数点后的第n位数字，π＝3.141 592 653 5…，则{f…f[f(10)]}＝________.12．(2012～2013重庆市风鸣山中学月考试题)若f(x)＝ax＋b(a＞0)，且f[f(x)]＝4x＋1则f(3)＝________三、解答题13（山东冠县武训中学月考试题)已知a、b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根，求f(x)的解析式．14．A、B两地相距150 km，某汽车以50 km/h的速度从A地到B 地，在B地停留2 h之后，又以60 km/h的速度返回A地，写出该汽车离开A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数关系式，并画出图象．15．某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下表所示的关系.(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？16．(教材改编题)《国务院关于修改〈中华人民共和国个人所得税法实施条例〉的决定》已于2008年3月1日起施行，个人所得税税率表如下：余额．(1)若某人2008年4月份的收入额为4 200元，求该人本月应纳税所得额和应纳的税费；(2)设个人的月收入额为x元，应纳的税费为y元．当0<x≤3 600时，试写出y关于x的函数关系式．高一数学暑假强化练习三答案7.9号1[答案] D[解析] 利用函数定义判断．2[答案]C[解析] 当n ＝2时对应B 中22＋2＝6， 当n ＝3时对应B 中23＋3＝11， 当n ＝5时对应B 中25＋5＝37， 故选C. 3[答案] B [解析]函数有意义应满足⎩⎨⎧2x ＋1≥03－4x ≥0，∴－12≤x ≤34，故选B.4[答案]C[解析] [5.5]＝6，∴g (5.5)＝1.06(0.75×6＋1)＝5.83(元)．5[答案]B[解析] 0≤x ≤1，y ＝32x,1<x ≤2，y ＝3－32x .6[答案]D[解析] 由题知，b ＝0，a ＝±1，则a ＋b ＝±1.7[答案]A[解析] 开始加速时路程增加快图象向上弯曲，匀速行驶时路程增加相同，图形呈直线型，减速行驶时，路程增加慢，向下弯曲．8[答案] D[解析] 由y ＝f (x )图象知x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时f (x )>0，x ∈(1,3)时f (x )<0；由y ＝g (x )图象知x ∈(－∞，－1)∪(2,4)时，g (x )<0，x ∈(－1,2)∪(4，＋∞)时，g (x )>0.故x ∈(－1,1]时f (x )≥0，且g (x )>0，x ∈(4，＋∞)时f (x )>0，g (x )>0，x ∈(2,3]时f (x )≤0且g (x )<0，因此不等式f (x )g (x )≥0的解集为(－1，1]∪(2,3]∪(4，＋∞)． 9[答案] 13[解析] 依题意得，当x ≤1时，3x ＋1＝2，∴x ＝13， 当x ＞1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)，故x ＝13.10[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥1，x ， x <111[答案] 1[解析] f (10)＝5，f [f (10)]＝f (5)＝9，f (9)＝3，f (3)＝1，f (1)＝1，…，原式的值为1.12[答案] 193[解析] f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ，∴⎩⎨⎧a 2＝4ab ＋b ＝1，又a ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝13∴f (x )＝2x ＋13，∴f (3)＝2×3＋13＝193.13[解析] 由f (2)＝0得：4a ＋2b ＝0，即2a ＋b ＝0，对f (x )＝x 有两个相等实根即Δ＝0， (b －1)2＝0，∴b ＝1，∴a ＝－12，∴f (x )＝－12x 2＋x .14[解析] 由50t 1＝150得t 1＝3，由60t 2＝150得t 2＝52.∴当0≤t ≤3时，s ＝50t ，当3<t ≤5时，s ＝150， 当5<t ≤7.5时，s ＝150－60(t －5)＝450－60t . 故函数关系式为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t ， t ∈[0，3]150， t ∈(3，5]450－60t . t ∈(5，7.5]图象如图所示：15[解析](1)由表作出点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)．如图，它们近似地在一条直线上，设它们共线于直线y ＝kx ＋b ，∴⎩⎨⎧50k ＋b ＝0，k ＋b ＝15，解得⎩⎨⎧k ＝－3，b ＝150， ∴y ＝－3x ＋150，(x ∈N )．经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上． ∴所求函数解析式为y ＝－3x ＋150，(x ∈N )；(2)依题意P ＝y (x －30)＝(－3x ＋150)(x －30)＝－3(x －40)2＋300， 当x ＝40时，P 有最大值300，故销售价为40元时，才能获得最大利润．16[解析] (1)本月应纳税所得额为4 200－2 000＝2 200元；应纳税费由表格得500×5%＋1 500×10%＋200×15%＝205元．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤2 000，(x －2 000)·5%，2 000<x ≤2 500，25＋(x －2 500)·10%，2 500<x ≤3 600.高一数学暑假强化练习四组题人： 使用时间：7.10号 用时：50分钟 家长签字 一、选择题1．若函数f (x )＝x (x ∈R )，则函数y ＝－f (x )在其定义域内是( ) A ．单调递增的偶函数 B ．单调递增的奇函数 C ．单调递减的偶函数D ．单调递减的奇函数2．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是( ) A ．f (x )＝x ＋1x B ．f (x )＝x 2－1x C ．f (x )＝1－x 2D ．f (x )＝x 33．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )上的表达式为( )A ．y ＝x (x －2)B ．y ＝x (|x |＋2)C ．y ＝|x |(x －2)D ．y ＝x (|x |－2)4．(泉州高一检测)f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且f (3)>f (1)，则下列各式一定成立的是( )A ．f (0)<f (6)B ．f (3)>f (2)C ．f (－1)<f (3)D ．f (2)>f (0)5．已知奇函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．(－∞，23) B ．[13，23) C ．(12，23)D ．[23，＋∞)6.已知函数f (x )和g (x )均为奇函数，h (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h (x )在(－∞，0)上的最小值为( )A ．－5B ．－1C ．－3D ．57．函数y ＝f (x )对于任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，当x ＞0时，f (x )＞1，且f (3)＝4，则( )A ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)＝3B ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)＝3C ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)＝2D ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)＝28．(胶州三中高一模块测试)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)二、填空题9．(大连高一检测)函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2]上是减函数，则m ＝________.10．(上海大学附中高一期末考试)设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________.11．(山东冠县武训中学月考试题)对于函数f (x )，定义域为D ＝[－2,2]以下命题正确的是________(只填命题序号)①若f (－1)＝f (1)，f (－2)＝f (2)则y ＝f (x )在D 上为偶函数②若f (－1)＜f (0)＜f (1)＜f (2)，则y ＝f (x )在D 上为增函数③若对于x ∈[－2,2]，都有f (－x )＋f (x )＝0，则y ＝f (x )在D 上是奇函数④若函数y ＝f (x )在D 上具有单调性且f (0)＞f (1)则y ＝f (x )在D 上是递减函数12．偶函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，若x 1<0，x 2>0，且|x 1|>|x 2|，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是______．三、解答题13．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数(a 、b 、c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a 、b 、c 的值．14．已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．15．设f (x )为定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ；当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在图中的直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3)写出函数f (x )的值域和单调区间．16．已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x >1时，f (x )>0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )．(1)求f (1)；(2)证明f (x )在定义域上是增函数；(3)如果f (13)＝－1，求满足不等式f (x )－f (x －2)≥2的x 的取值范围．高一数学暑假强化练习四答案7.10号1[答案]D 2[答案] D[解析] ∵对于A ，f (－x )＝(－x )＋1(－x )＝－(x ＋1x )＝－f (x )；对于D ，f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，∴A 、D 选项都是奇函数．易知f (x )＝x 3在(0,1)上递增．3[答案] D[解析] 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋2x .又f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.∴f (x )＝x (|x |－2)．故选D.4[答案]C 5[答案] A[解析] 由图象得2x －1<13，∴x <23，选A.6[答案] B[解析] 解法一：令F (x )＝h (x )－2＝af (x )＋bg (x )，则F (x )为奇函数．∵x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤5，∴x ∈(0，＋∞)时，F (x )＝h (x )－2≤3.又x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴F (－x )≤3⇔－F (x )≤3⇔F (x )≥－3.∴h (x )≥－3＋2＝－1，选B.7[答案] D[解析] 设任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，f (x 2)－f (x 1)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1.∵x 2－x 1＞0，又已知当x ＞0时，f (x )＞1，∴f (x 2－x 1)＞1.∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴f (x )在R 上是增函数．∵f (3)＝f (1＋2)＝f (1)＋f (2)－1＝f (1)＋[f (1)＋f (1)－1]－1＝3f (1)－2＝4，∴f (1)＝2.8[答案] D[解析] 奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，f (x )－f (－x )x＝2f (x )x <0.由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．9[答案]－8 10[答案] －1[解析] f (x )＝1x (x ＋1)(x ＋a )为奇函数⇔g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，故g (－1)＝g (1)，∴a ＝－1.11[答案] ③④[解析] 虽然①②不正确，③④正确．12[答案] f (x 1)>f (x 2)[解析] ∵x 1<0，∴－x 1>0，又|x 1|>|x 2|，x 2>0，∴－x 1>x 2>0，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (－x 1)>f (x 2)，又∵f (x )为偶函数，∴f (x 1)>f (x 2)．此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然． 13[解析] 由条件知f (－x )＋f (x )＝0，∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx＝0，∴c ＝0又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b ，∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3， 解得：－1<a <2，∴a ＝0或1，∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1、b ＝1、c ＝0.14[分析] (1)题需分情况讨论．(2)题用定义证明即可．[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x (a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0， 即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设2≤x 1<x 2，则有f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2·[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，要使函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，则需f (x 1)－f (x 2)<0恒成立．∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4，∴只需使a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又∵x 1＋x 2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，故a的取值范围是(－∞，16]．15[解析](1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4. ∵f(x)的图象过点A(2,2)，∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.设x∈(－∞，－2)，则－x>2，∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．(2)图象如图所示．(3)由图象观察知f (x )的值域为{y |y ≤4}．单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．16[分析] (1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f (x ·y )＝f (x )＋f (y )的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f (x ·y )＝f (x )＋f (y )进行适当配凑，将所给不等式化为f [g (x )]≥f (a )的形式，再利用f (x )的单调性来求解．[解析] (1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)证明：令y ＝1x ，得f (1)＝f (x )＋f (1x )＝0，故f (1x )＝－f (x )．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1)＝f (x 2x 1)． 由于x 2x 1>1，故f (x 2x 1)>0，从而f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)由于f (13)＝－1，而f (13)＝－f (3)，故f (3)＝1.在f (x ·y )＝f (x )＋f (y )中，令x ＝y ＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2.故所给不等式可化为f (x )＋f (x －2)≥f (9)，∴f (x )≥f [9(x －2)]，∴x ≤94又⎩⎪⎨⎪⎧x >0x －2>0，∴2<x ≤94 ∴x 的取值范围是(2，94]．规律总结：本题中的函数是抽象函数，涉及了函数在某点处的值、函数单调性的证明、不等式的求解．在本题的求解中，一个典型的方法技巧是根据所给式子f (x ·y )＝f (x )＋f (y )进行适当的赋值或配凑．这时该式及由该式推出的f (1x)＝－f (x )实际上已处于公式的地位，在求解中必须依此为依高一暑假强化练习五组题人： 使用时间：7.11用时：50分钟 家长签字： 一、选择题1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)xB ．y ＝e x (e ＝2.718 28…)C ．y ＝－4xD ．y ＝a x ＋2(x >0且a ≠1)2．函数f (x )＝(x －5)0＋(x －2) －12的定义域是( )A ．{x |x ∈R ，且x ≠5，x ≠2}B ．{x |x >2}C ．{x |x >5}D ．{x |2<x <5或x >5}3．(曲阜一中月考试题)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝(13)x ，那么f (12)的值是( )A.33 B.3 C ．－3 D ．94．函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)满足f (4)＝81，则f (－12)的值为( )A.13 B ．3 C.33 D. 35．212，⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1,313的大小顺序为( )A ．313<212<⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1B ．212<313<⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1<212 <313D ．212 <⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1<3136．若2x ＋2－x ＝5，则4x ＋4－x 的值是( ) A ．29 B ．27 C ．25 D ．23 7．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝413－x B ．y ＝(14)1－2xC ．y ＝(14)x－1D ．y ＝1－4x 8．当0<a <1时，函数y ＝a x 和y ＝(a －1)x 2的图象只能是下图中的()二、填空题9．a m ＝3，a n ＝2，则a m －2n ＝________.10．右图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数y ＝a x 的图象，而a ∈{22，12，3，π}，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是______、________、________、________.11．若函数y ＝f (x )的定义域是(1,3)，则f (3－x )的定义域是________． 12．已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b，则下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式为______________． 三、解答题13．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －1 ； (2)y ＝31－x；(3)y ＝5－x －1.因为5－x >0，所以5－x －1>－1，所以函数的值域为(－1，＋∞)． 14．解下列不等式：(1)2x >8；(2)(12)x >2；(3)0.32－x >1.15．(四川省双流中学高一上学期期中测试)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝－x 2＋2x ＋b ，(b ∈R )，h (x )＝f (x )－1f (x ).(1)判断h (x )的奇偶性并证明．(2)对任意x ∈[1,2]，都存在x 1，x 2∈[1,2]，使得f (x )≤f (x 1)，g (x )≤g (x 2)，若f (x 1)＝g (x 2)，求实数b 的值．16．(聊城高一期中检测)设函数f (x )＝12－12x ＋1.(1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数； (3)求函数f (x )在[1,2]上的值域．高一数学暑假强化练习五答案7.11号1[答案] B 2[答案] D [解析]由题意得：⎩⎨⎧x －5≠0x －2>0，∴x >2且x ≠5.3[答案] C[解析] f (12)＝－f (－12)＝－(13)－12＝－ 3.4[答案] C[解析] f (4)＝a 4＝81 ∵a >0，∴a ＝3 f (－12)＝3－12＝33，故选C. 5[答案] B[解析] ∵3<278∴313<32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1，又(212 )6＝23＝8<9＝(313 )6，∴212 <313∴选B.6[答案]D[解析] 4x ＋4－x ＝(2x ＋2－x )2－2＝23.7[答案]B[解析] y ＝413－x 的值域为{y |y >0且y ≠1}； y ＝(14)x －1的值域为{y |y ≥0}； y ＝1－4x 的值域为{y |0≤y <1}，故选B. 8[答案]D[解析] 0<a <1，y ＝a x 单调递减排除A ，C ，又a －1<0开口向下，∴排除B ，∴选D. 9[答案] 34 [解析]a m －2n ＝a m ·a －2n＝a m a2n＝34.10[答案]22、12、π、 3[解析] 由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C 2的底数<C 1的底数<C 4的底数<C 3的底数．11[答案](－1,0)[解析] 因为函数y ＝f (x )定义域是(1,3)，所以要使函数y ＝f (3－x )有意义，应有1<3－x <3，即1<(13)x <3，又因为指数函数y ＝(13)x 在R 上单调递减，且(13)0＝1，(13)－1＝3，所以－1<x <0.12[答案]③④[解析]在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝(12)x 和y ＝(13)x的草图，如右图所示，由图可得①②⑤可能成立，不可能成立的关系式为③④. 13[解析] (1)要使函数y ＝21x －1 有意义，只需x －1≠0，即x ≠1， 所以函数的定义域为{x |x ≠1}．因为1x －1≠0，所以y ≠1，所以函数的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)要使函数y ＝31－x有意义，只需1－x ≥0，即x ≤1.所以函数的定义域为{x |x ≤1}． 设y ＝3u ，u ＝1－x ，则u ≥0，由函数y ＝3u 在[0，＋∞)上是增函数，得y ≥30＝1，所以函数的值域为{y |y ≥1}．(3)函数y ＝5－x －1对任意的x ∈R 都成立，所以函数的定义域为R .14[解析](1)因为8＝23，则原不等式可化为2x >23，由函数y ＝2x 在R 上是增函数，得x >3. 故原不等式的解集为{x |x >3}．(2)因为2＝212＝(12)－12，则原不等式可化为(12)x>(12)－12，由函数y ＝(12)x 在R 上是减函数，得x <－12.故原不等式的解集为{x |x <－12}．(3)因为0.30＝1，则原不等式可化为0.32－x >0.30.由函数y ＝0.3x 在R 上是减函数，得2－x <0，解得x >2.故原不等式的解集为{x |x >2}．15[解] (1)函数h (x )＝2x－12x 为奇函数，现证明如下： ∵h (x )定义域为R ，关于原点对称，又h (－x )＝2－x－12－x ＝12x －2x＝－h (x )，∴h (x )＝2x －12x 为奇函数． (2)由题意知f (x 1)＝f (x )max ， 由f (x )＝2x 在[1,2]上递增∴f (x 1)＝4，又∵g (x 2)＝g (x )max 且g (x )＝－x 2＋2x ＋b 在[1,2]递增，g (x 2)＝g (1)＝1＋b ，∴f (x 1)＝g (x 2)， ∴1＋b ＝4，∴b ＝3.16[解析](1)由题意，得x ∈R ，即函数的定义域关于原点对称，f (－x )＝12－112x ＋1＝12－2x2x ＋1＝1－2x2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1 ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(2)设x 1，x 2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝12－12x 1＋1－12＋12x 2＋1＝2x 1－2x 2(2x 1＋1)(2x 2＋1) ∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0， ∴函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数． (3)∵函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数， ∴函数f (x )在[1,2]上也是增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝16，f (x )max ＝f (2)＝310，∴函数f (x )在[1,2]上的值域为[16，310]．高一数学暑假强化练习六组题人： 使用时间7.12 用时：50分钟 家长签字： 一、选择题1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log 3(x ＋1)B ．y ＝log a (2x )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln x2．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值是( )A ．5 B.15 C.1e D.123．函数f (x )＝log a x (0<a ≠1)对于任意正实数x 、y 都有( ) A ．f (xy )＝f (x )f (y ) B ．f (xy )＝f (x )＋f (y ) C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y )。
【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题05 直线的倾斜角与斜率(学生版+解析版)
专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30B ．45C ．60D ．902．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0B ．3πC ．2π D ．π3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ）A ．4πB ．34π C ．54π D ．2π 4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6B ．-7C ．-8D ．-95．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3）B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ） A ．-1B ．-2C ．2D ．18．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ）A ．0B ．2π C ．56π D ．π10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．⎡⎢⎣⎦D．,⎛-∞ ⎝⎦⎫+∞⎪⎪⎣⎭二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D ．坐标平面上所有的直线都有斜率．13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____．15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限.16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________.17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒． 19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α. （1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α. （1）写出α关于m 的函数解析式； （2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围.22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围； （2）直线l 倾斜角α的范围；23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.专题05 直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2020·四川省高二期末（理））直线x =( ) A ．30 B ．45C ．60D ．90【答案】D 【解析】直线x ∴其倾斜角为90. 故选：D .2．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））若直线1x =的倾斜角为α，则α=（ ） A ．0 B ．3πC ．2π D ．π【答案】C 【解析】直线1x =与x 轴垂直，故倾斜角为2π. 故选：C.3．（2020·江苏省丹徒高中高一开学考试）直线10x y ++=的倾斜角为（ ） A ．4π B ．34π C ．54π D ．2π 【答案】B 【解析】由题意，直线10x y ++=的斜率为1k =- 故3tan 14k παα==-∴= 故选:B4．（2019·江苏省扬州中学高一期中）如果()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 在同一直线上，那么k 的值是( ) A ．-6 B ．-7C ．-8D ．-9【答案】D 【解析】(3,1)A 、(2,)B k -、(8,11)C 三点在同一条直线上，∴直线AB 和直线AC 的斜率相等， ∴11112383k --=---，解得9k =-．故选：D ．5．（2019·山东省高二期中）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】由题意知，直线的斜率k =即直线的倾斜角α满足tan α=， 又0180α︒︒≤<，120α︒∴=，故选：C6．（2019·浙江省高三期中）以下哪个点在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上（ ） A ．（﹣2，3） B ．（0，1）C ．（3，3）D ．（3，2）【答案】B 【解析】由直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan 451k ==，则过点()2,3-与点（1，2）的直线的斜率为321213-=---，显然点()2,3-不满足题意；过点()0,1与点（1，2）的直线的斜率为12101-=-，显然点()0,1满足题意； 过点()3,3与点（1，2）的直线的斜率为321312-=-，显然点()3,3不满足题意； 过点()3,2与点（1，2）的直线的斜率为22031-=-，显然点()2,3-不满足题意； 即点()0,1在倾斜角为45°且过点（1，2）的直线上， 故选：B.7．（2020·四川省高二期末（理））已知一直线经过两点(2,4)A ，(,5)B a ，且倾斜角为135°，则a 的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．2D ．1【答案】D 【解析】由直线斜率的定义知,tan1351AB k ==-, 由直线的斜率公式可得,542AB k a -=-， 所以5412a -=--,解得1a =. 故选:D8．（2019·浙江省高二期中）直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B ．3[0,][,)44πππ⋃ C ．[0,]4πD ．[0,][,)42πππ⋃ 【答案】B 【解析】直线xsinα+y +2＝0的斜率为k ＝﹣sinα， ∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k ≤1 ∴倾斜角的取值范围是[0，4π]∪[34π，π） 故选：B ．9．（2019·内蒙古自治区高二期末（文））已知直线l 的倾斜角为α，若tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭α=（ ） A ．0 B ．2π C ．56π D ．π【答案】A 【解析】tan 3πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭tan 0α=，0απ≤<，0α∴=.故选:A10．（2019·浙江省镇海中学高一期末）已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣B．(,-∞)+∞ C．,33⎡-⎢⎣⎦D．,3⎛-∞-⎝⎦3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B 【解析】因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,又直线的斜率tan k α=,,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故tan tan3πα≥=2tan tan3πα≤=故(,k ∈-∞)+∞. 故选：B 二、多选题11．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤< B ．若k 是直线l 的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 【答案】ABC 【解析】A. 若α是直线l 的倾斜角，则0180α≤<,是正确的；B. 若k 是直线l 的斜率，则tan k α=∈R ，是正确的；C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率. 故选：ABC12．（2020·江苏省苏州实验中学高一月考）有下列命题：其中错误的是（ ） A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；D ．坐标平面上所有的直线都有斜率． 【答案】BD 【解析】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率 当倾斜角为90︒时，斜率不存在 故选：BD13．（2018·全国单元测试）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论错误．．的是（ ） A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90° B ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点 C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合 D ．对任意的k ，1l 与2l 都不垂直．．．【答案】AC 【解析】逐一考查所给的选项：A .存在0k =，使得2l 的方程为0x =，其倾斜角为90°，故选项不正确．B 直线1:10l x y --=过定点()0,1-，直线()()()2:1010l k x ky k k R k x y x +++=∈⇒+++=过定点()0,1-，故B 是正确的．C .当12x =-时，直线2l 的方程为1110222x y --=，即10x y --=，1l 与2l 都重合，选项C 错误；D .两直线重合，则：()()1110k k ⨯++-⨯=，方程无解，故对任意的k ，1l 与2l 都不垂直，选项D 正确． 故选：AC. 三、填空题14．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知点P (1)，点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则点Q 的坐标为_____． 【答案】(0，－2) 【解析】因为Q 在y 轴上，所以可设Q 点坐标为()0,y ，又因为tan120︒==2y =-，因此()0,2Q -，故答案为()0,2-.15．（2020·浙江省温州中学高三月考）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限. 【答案】0, 0，2，3【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3．16．（2019·浙江省效实中学高一期中）若直线斜率k ∈(－1,1)，则直线倾斜角α∈________. 【答案】[0°，45°)∪(135°，180°) 【解析】直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大由于斜率有正也有负，且直线的斜率为正时，斜率随着倾斜角的增大而增大，故α∈(0°，45°)；又直线的斜率为负时，斜率也随着倾斜角的增大而增大，故α∈(135°，180°)；斜率为0时，α＝0°.所以α∈[0°，45°)∪(135°，180°) 故答案为[0°，45°)∪(135°，180°) 17．（2018·山西省山西大附中高二期中（文））已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ，()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____． 【答案】3[0,][,)44πππ 【解析】当直线l 过B 时，设直线l 的倾斜角为α，则3tan 14παα=-⇒=当直线l 过A 时，设直线l 的倾斜角为β，则tan 14πββ=⇒=综合：直线l 经过点()P 1,0且与以()A 2,1，()B 3,2-为端点的线段AB 有公共点时，直线l 的倾斜角的取值范围为][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭四、解答题18．（2019·全国高一课时练习）已知点()1,2A ，在y 轴上求一点P ，使直线AP 的倾斜角为120︒．【答案】(0,2P 【解析】设(0,)P y ，201PA y k -=-，tan120︒∴＝201y --，2y ∴=P ∴点坐标为(0,2.19．（2019·全国高一课时练习）点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围. 【答案】15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】1(1)1(1)y y x x +--=+--的几何意义是过(,),(1,1)M x y N --两点的直线的斜率，点M 在线段28,[2,5]y x x =-+∈上运动，易知当2x =时，4y =，此时(2,4)M 与(1,1)N --两项连线的斜率最大，为53； 当5x =时，2y =-，此时(5,2)M -与(1,1)N --两点连线的斜率最小，为16-.115613y x +∴-+,即HF 的取值范围为15,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．（2020·广东省恒大足球学校高三期末）已知直线l ：320x y +-=的倾斜角为角α.（1）求tan α；（2）求sin α，cos2α的值.【答案】（1）13-；（2）10；45 【解析】（1）因为直线320x y +-=的斜率为13-，且直线的倾斜角为角α， 所以1tan 3α=- （2）由（1）知1tan 3α=-， 22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==-⎪∴⎨⎪+=⎩解得sin 10cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩sin 10cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩224cos 22cos 1215αα⎛∴=-=⨯-= ⎝⎭21．（上海市七宝中学高二期中）已知直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α.（1）写出α关于m 的函数解析式；（2）若3,34ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求m 的取值范围. 【答案】（1）3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩；（2）3,3m .【解析】（1）直线l 的方程为320x my -+=，其倾斜角为α，当0m =时，2πα=当0m >时，则斜率3tan k m α==，3arctan m α=， 当0m <时，则斜率3tan k m α==，3arctan mαπ=+， 所以3arctan ,0,023arctan ,0m m m m m παπ⎧>⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎪⎩； （2）当,32ππα时，33,,0,3k m m ，当2πα=时，0m =， 当3,24ππα时，3,1,3,0k m m ， 综上所述：3,3m .22．（2019·全国高一课时练习）经过点(0,1)P -作直线l ，若直线l 与连接(1,2)(2,1)A B -、的线段总有公共点.（1）求直线l 斜率k 的范围；（2）直线l 倾斜角α的范围；【答案】（1）11k -≤≤（2）3044ππααπ≤≤≤<或 【解析】（1）2(1)110pA k --==-- 1(1)120pB k --==- l 与线段AB 相交pA pB k k k ∴≤≤11k ∴-≤≤（2）由（1）知0tan 11tan 0αα≤≤-≤<或由于tan 0,2y x π⎡⎫=⎪⎢⎣⎭在及(,0)2π-均为减函数3044ππααπ∴≤≤≤<或 23．（上海位育中学高二期中）直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM t AB =（t ∈R ）.(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围.【答案】(1) 15t =；(2) k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈ 【解析】(1)由题意可得()42,30(6,3)AB =+-=，(6,3)AM t AB t t ==， ()12,30(3,3)AC =+--=-，所以(63,33)CM AM AC t t =-=-+， ∵CM AB ⊥，则CM AB ⊥，∴()()6633334590CM AB t t t ⋅=-++=-=， ∴解得15t =； (2)由01t ≤≤，AM t AB =，可得点M 在线段AB 上，由题中A 、B 、C 点坐标，可得经过A 、C 两点的直线的斜率11k =-，对应的倾斜角为34π，经过C 、B 两点的直线的斜率22k =，对应的倾斜角为2arctan ,则由图像可知(如图所示)，直线CM 的斜率k 的取值范围为：1k ≤-或2k ≥，倾斜角的范围为：3[arctan 2,]4πθ∈.。
专题3.12 解答(30道)冲刺篇(期末篇)高一数学单元强化练习册(人教A版2019必修第一册)
专题3.12 解答（30道）冲刺篇（期末篇）1．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()2f x f x -=-，则称“局部中心函数”.（1）已知二次函数()2241f x ax x a =+-+（a R ∈），试判断()f x 是否为“局部中心函数”，并说明理由； （2）若()12423xx f x m m +=-⋅+-是定义域为R 上的“局部中心函数”，求实数m 的取值范围.【答案】(1) ()f x 为“局部中心函数”，理由详见解题过程；（2）1m -≤≤ 解：（1）由题意，()2241f x ax x a =+-+（a R ∈），所以()2241f x ax x a -=--+，()2222241124f x ax x a ax x a -=--+-=--+，当()()2f x f x -=-时，22241124ax x a ax x a --+=--+解得：2(4)0a x -=， 由于a R ∈，所以2x =±， 所以()f x 为“局部中心函数”. （2）因为()12423xx f x m m +=-⋅+-是定义域为R 上的“局部中心函数”，所以方程()()2f x f x -=-有解，即12124232423x x x x m m m m --++-⋅+-=-+⋅-+在R 上有解， 整理得：2442(22)280xxx x m m --+-⋅++-=，令22x x t -+=，[2,)t ∈+∞，故题意转化为2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解，设函数22()2210g t t m t m =-⋅+-，当(2)0g ≤时，2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解， 即2442100m m -+-≤， 解得：13m -≤≤； 当(2)0g >时，则需要满足(2)002g m >⎧⎪∆≥⎨⎪>⎩才能使2222100t m t m -⋅+-=在[2,)t ∈+∞上有解，解得：3m <≤综上：1m -≤≤2．设2,1()1,12,2x x f x x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩．（1）在图的直角坐标系中画出()f x 的图像； （2）若()2f t =，求t 值； （3）求函数()f x 的最小值．【答案】（1）答案见解析；（2）2t =-或t =2t =；（3）-1. （1）()f x 的图像如下边：（2）当1t ≤-时，()2f t t =-=，∴2t =-； 当12t -<<时，()212f t t =-=，解得：t =当2t ≥时，()2f t t ==，∴2t =， 综上所述：2t =-或t =，或2t =．（3）由图可知：当(1,2)x ∈-时，2()11f x x =-≥-，所以函数()f x 的最小值为1-． 3．已知函数23(5)y x a a x b =-+-+.（1）当关于x 的不等式23(5)0x a a x b -+-+>的解集为1(2，3)2时，求实数a ，b 的值；（2）若对任意实数a ，2x =时，23(5)0x a a x b -+-+<恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）26a b =⎧⎨=-⎩或36a b =⎧⎨=-⎩；（2）1{|}2b b <-.解：（1）由题意可得，一元二次方程23(5)0x a a x b -+-+=的两根为1213,22x x ==， 结合韦达定理可得：13(5)22313223a a b -⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得：26a b =⎧⎨=-⎩或36a b =⎧⎨=-⎩. （2）由题意可得：122(5)0a a b -+-+<恒成立， 即：2210(12)0a a b -++-<恒成立，结合二次函数的性质可得：()1008120b =+-<，求解不等式可得实数b 的取值范围是1{|}2b b <-.4．已知集合()(){}221,2,21A m m m i =++-，{3,5}B =，若{3}A B ⋂=，求实数m 的值. 【答案】1解：由{3}A B ⋂=，()()22213m m m i ++-=，所以222310m m m ⎧+=⎨-=⎩.解方程组，得1m =. 5．已知函数()()()()log 2,log 2a a f x x g x x =+=-，其中(0a >且1)a ≠，设()()()h x f x g x =-．(Ⅰ)求函数()h x 的定义域，判断()h x 的奇偶性，并说明理由； (Ⅱ)若()22f =，求使()0h x <成立的x 的集合．【答案】(Ⅰ) 定义域为()-2,2；()h x 为奇函数；(Ⅱ){}|20x x -<<. (1)∵f (x )＝log a (2＋x )的定义域为{x |x >－2}， g (x )＝log a (2－x )的定义域为{x |x <2}，∴h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为{x |x >－2}∩{x |x <2}＝{x |－2<x <2}． ∵h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (2＋x )－log a (2－x )，∴h (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x )＝－[log a (2＋x )－log a (2－x )]＝－h (x )， ∴h (x )为奇函数．(2)∵f (2)＝log a (2＋2)＝log a 4＝2，∴a ＝2. ∴h (x )＝log 2(2＋x )－log 2(2－x )， ∴h (x )<0等价于log 2(2＋x )<log 2(2－x )，∴ 222020x x x x +<-⎧⎪+>⎨⎪->⎩，解得－2<x <0.故使h (x )<0成立的x 的集合为{x |－2<x <0}． 6．（1）已知()1x f x x =+，求1(2)+()2f x f x（2）已知2(1)21f x x x +=++，求()f x 的解析式．【答案】(1) 1 ；（2）2()f x x =(1) ()x f x x 1因为=+ ，所以()1f 2x +f 2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ =12212112x x x x+++ =2112121x x x +=++. （2）f （x+1）＝x 2+2x+1＝（x+1）2∴f （x ）＝x 2.7．已知集合{|015}A x ax =<+≤，函数()f x =B . (I)求集合B .(II)当1a =-时，若全集{|4}U x x =≤，求U C A 及()U A C B ⋂； (III)若A B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】(I) 1{|2}2B x x =-<≤(II) {|414}U C A x x x 或=<-≤≤，()1{|4}2U A C B x x ⋂=-≤≤-(III)a <-8或2a ≥ 【解析】(I)要使函数f(x)有意义，只需满足20210x x -≥⎧⎨+>⎩ ，解得122x -<≤，即集合1{|2}2B x x =-<≤；(II)当a=-1时，0<-x+1≤5,解得集合{|41}A x x =-≤<，全集{|4}U x x =≤，则{|414}U C A x x x 或=<-≤≤，1{|24}2U C B x x x =≤-<≤或,()1{|4}2U A C B x x ⋂=-≤≤-(III) A 中不等式的解集应分三种情况讨论: ①若a=0,则A=R,若A ⊆B ,此种情况不存在. ②若a<0,则41{|}A x x a a=≤<-;若A ⊆B,如图,则41212a a⎧>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩ ,812a a <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩ ,则a<-8,③若a>0,则14{|}A x x a a=-<≤,若A ⊆B,如图,则11242a a⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,则22a a ≥⎧⎨≥⎩，即2a ≥，综上知,此时a 的取值范围是a<-8或2a ≥. 8．已知函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， （1）求()f x 的最大值和最小值； （2）若不等式()2f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）函数最小值为2，最大值为3;（2）(1,4). 【解析】 （1）由题意,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则22,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，得1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，进而得到函数的最大值与最小值；（2）由不等式()2f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即31sin 2232m m x π-+⎛⎫<-< ⎪⎝⎭在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，利用三角函数的值域，得到关于m 的不等式，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析：（1）∵函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭， ∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴当236x ππ-=时，函数取得最小值为2，当232x ππ-=时，函数取得最大值为3.（2）若不等式()2f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即31sin 2232m m x π-+⎛⎫<-< ⎪⎝⎭在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴3122m -<，且112m +>，由此求得1m >，或4m <， 故实数m 的取值范围为()1,4.9．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果函数y =f （x ）满足：①T ={f （x ）|x ∈S }；②对任意x 1，x 2，当x 1＜x 2时，恒有f （x 1）＜f （x 2），那么称函数y =f （x ）为集合S 到集合T 的“保序同构函数”．（1）试判断下列函数f （x ）=111x x --，f （x ）=tan （πx -2π）是否是集合A ={x |0＜x ＜1}到集合R 的保序同构函数；请说明理由．（2）若f （x ）=21xx +是集合[0，s ]到集合[0，t ]是保序同构函数，求s 和t 的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）s 的最大值为1，t 的最大值为12【解析】解：（1）由②知，函数为增函数即可． 若f （x ）=111x x--， 当0＜x ＜1时，-1＜-x ＜0，函数y =11x -为增函数，同时y =1x-为增函数， 即f （x ）=111x x--增函数，满足条件． 若f （x ）=tan （πx -2π），当0＜x ＜1时，0＜πx ＜π，-2π＜πx -2π＜2π，此时函数f （x ）为增函数，满足条件．即两个函数都是集合A ={x |0＜x ＜1}到集合R 的保序同构函数． （2）函数f （x ）为f ′（x ）=()222121x x xx +-⨯+=()22211x x -+，当x ＞0时，由f ′（x ）＞0得1-x 2＞0得x 2＜1，得0＜x ＜1，由f ′（x ）＜0得1-x 2＜0得x 2＞1，即x ＞1，即函数f （x ）在[0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数， 则s 的最大值为1，t 的最大值为f （1）=12． 10．已知函数9()3x xaf x -=是奇函数. （1）求实数a 的值；（2）用定义证明函数()f x 在(),-∞+∞上的单调性；（3）若对于任意的x ∈R 不等式22()(2)0f x x f x k -+->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1) 1a =;(2)单调增函数,证明见解析;(3)112k <-. (1)由函数9()3x xaf x -=是奇函数,且在0x =处有定义, 则()00f =解得1a =,当1a =时,()()911991333x x x x x x f x f x ------===-=-为奇函数满足题意,所以1a =; (2)单调递增函数,证明如下:设12x x R <∈,则由()()121212919133x x x x f x f x ---=-化简得()()()()1212121233313x x x x x x f x f x ++-+-=,因为12xx R <∈,所以1233x x <,即12330x x -<,所以()()()()12121212333103x x x x x x f x f x ++-+-=<即()()12f x f x <,所以函数()f x 在定义域上为单调递增函数;(3)由(2)得函数()f x 在定义域上为单调递增函数,且为奇函数,则不等式22()(2)0f x x f x k -+->可转化为: ()()()22222f x x f x k f k x->--=-,所以有222x x k x ->-在x R ∈上恒成立,即230x x k -->恒成立,则由1120k =+<解得112k <-. 11．某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x （元/件）与每天销售量y （件）之间满足如图所示的关系．（1）求出y 与x 之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）170y x =-+；（2）售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 根据题意得1205014030k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1170k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为170y x =-+；（2）()()90170W x x =--+226015300x x =-+-，()22260153001301600W x x x =-+-=--+，∴当130x =时，W 有最大值1600．答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．12．已知某企业生产某种产品的年固定成本为200万元，且每生产1吨该产品需另投入12万元，现假设该企业在一年内共生产该产品x 吨并全部销售完.每吨的销售收入为()R x 万元，且()21112,0153108009570,151x x R x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪+⎩. （1）求该企业年总利润y （万元）关于年产量x （吨）的函数关系式；（2）当年产量为多少吨时，该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大？【答案】（1）31100200,015310800103012,151x x x y x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪+⎝⎭⎩（2）年产量为10吨（1）由题意()()31100200,01532001210800103012,151x x x y xR x x x x x ⎧--<≤⎪⎪=-+=⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪+⎝⎭⎩. （2）当015x <≤时，311002003y x x =--，2100y x '=-， ∵()0,10x ∈时，0y '>，(]10,15x ∈时，0y '<， ∴函数在()0,10递增，在()10,15递减， ∴当且仅当10x =时，y 有最大值14003； 当15x >时，108001030121y x x ⎛⎫=-+⎪+⎝⎭，∵()1080010800121211211x x x x +=++-++12708≥=， ∴1080010301210307083221y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪+⎝⎭，当且仅当()108001211x x =++，即29x =时，y 取最大值322. ∵14003223<，∴当且仅当10x =时，y 有最大值14003. 故当年产量为10吨时，该化工厂在这一产品的生产中所获年利润最大， 最大利润为14003万元. 13．已知函数()()()sin 0,0f x x b ωϕωϕπ=++><<的图象两相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得图象关于y 轴对称且经过坐标原点. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()210f x af x a -++≤⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；（2）1a ≤- （1）()()()sin 0,0f x x b ωϕωϕπ=++><<，22T ππ=⨯=，故2,2T ππωω==∴=.向右平移3π个单位长度，再向上平移2个单位长度得到y=sin 223x b πϕ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即2sin 223x b πϕ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭，故232k ππϕπ-=+，即7,6k k Z πϕπ=+∈， 1k =-时满足条件，即6π=ϕ，2sin 203b πϕ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，故1b =-. 故()sin 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（2）0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1,02f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 设()1,02t f x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，即210t at a -++≤恒成立. 即()21g t t at a =-++的最大值小于等于零即可.故满足：()10200g g ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩， 即11104210a a a ⎧+++≤⎪⎨⎪+≤⎩ ，解得1a ≤- 14．已知函数()11f x x a x =++-，a R ∈.（1）若函数()f x 在区间[1,)-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）当1a <-时，求函数()f x 的最大值；（3）若不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(1,1)-；(2) 2；（3）[1,)+∞. 【解析】(1)1,(1),()11(1)1,(11),(1)1,(1).a x a x f x x a x a x a x a x a x -++-<-⎧⎪=++-=-++-≤≤⎨⎪++->⎩因为函数()f x 在区间[1,)-+∞上单调递增，且函数()f x 是连续不间断的，所以1010a a ->⎧⎨+>⎩，解得11a -<<，故所求实数a 的取值范围是(1,1)-.(2) 当1a <-时，函数()f x 在(,1)-∞-上单调递增，(1,1)-上单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以，当1x =时()f x 取得最大值(1)2f =.由不等式()2f x ≥恒成立知，(1)22f a -=≥，所以1a ≥，当1a =时，2,(1),()2,(11),2,(1).x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩故()2f x ≥恒成立；当1a >时，函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，(1,1)-上单调递减，在(1,)+∞单调递增， 所以，当1x =-时()f x 取得最小值(1)22f a -=>成立， 综上所述，实数a 的取值范围是[1,)+∞.15．已知22sin sin 21tan 42k ααππαα+⎛⎫=<< ⎪+⎝⎭试用k 表示sin cos αα-的值.【答案】sin cos αα-=由222sin sin 22sin 2sin cos 2sin (sin cos )2sin cos sin cos sin 1tan 1cos cos αααααααααααααααα+++===+++， 所以2sin cos k αα=.又由2(sin cos )12sin cos 1k αααα-=-=-， 又因为42ππα<<，于是sin cos 0αα->，所以sin cos αα-=16．求函数(1)log (164)xx y +=-的定义域．【答案】{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2} 【解析】因为164012,010,11x x x x x ⎧->∴-<<≠⎨+>+≠⎩ 即定义域为：{x | –1＜x ＜0或0＜x ＜2}. 17．已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ； （2）设不等式20x a x a+-≤-的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭；（2）94a ≥或14a <-． 【解析】（1）由题意知，方程20x x m --=在()1,1-上有解，即m 的取值范围就是函数2y x x=-在()1,1-上的值域，易得1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭． （2）因为x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，所以M N ⊆且M N ≠ 若M N ⊆，分以下几种情形研究；①当1a =时，解集N 为空集，不满足题意，②当1a >时，2a a >-，此时集合{}|2N x a x a =-≤<，则12{42a a -≤-≥解得94a ≥，且94a =时，M N ≠，故94a ≥满足题意， ③当1a <时，2a a <-，此时集合{}|2N x a x a =<≤-，则1{422a a <--≥，解得14a <-． 综上，94a ≥或14a <-时x N ∈是x M ∈的必要不充分条件． 18．已知()y f x =（x D ∈，D 为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数()f x 在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[,]ab D ⊆，使函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()y f x =，x D ∈为闭函数（1）判断函数2()1((0,))f x x x x =+-∈+∞是否为闭函数？并说明理由； （2）求证：函数3y x =-（[1,1]x ∈-）为闭函数； （3）若0)y k k =+<是闭函数，求实数k 的取值范围【答案】（1）见解析；(2)见解析；（3）1(,0)4-（1）函数f （x ）在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数． （2）先证y ＝﹣x 3符合条件①：对于任意x 1，x 2∈[﹣1，1]，且x 1＜x 2，有331221y y x x -=-＝()()22212121x x x x x x -++＝()222121113024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴y 1＞y 2，故y ＝﹣x 3是R 上的减函数．又因为y ＝﹣x 3在[﹣1，1]上的值域是[﹣1，1]． 所以函数y ＝﹣x 3（x ∈[﹣1，1]）为闭函数； （3）易知y k =+是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，则有a k b k ⎧=⎪⎨=⎪⎩故a ，b是x k =+22(21)00x k x k x x k ⎧-++=⎪⎨⎪⎩有两个不等非负实根；设x 1，x 2为方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0的二根，则2212212(21)402100k k x x k x x k k ⎧∆=+->⎪+=+>⎪⎨=⎪⎪<⎩，解得：104-<<k ∴k 的取值范围：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭． 19．函数1()26x f x x -=-，(3,2)x ∈-（1）用定义证明()f x 在(3,2)-上单调递减； （2）若(2)(21)0f a f a +--<，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）10a -<< （1）任取12,(3,2)x x ∈-，且12x x <，则()()()()211212033x x f x f x x x --=>--()f x 在(3,2)-上单调递减（2）3223212221a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩解得10a -<<20．已知函数2()(21)1f x ax a x a =-+++.（1）若1a =，直接写出关于x 的不等式()0xf x ≥的解集； （2）若0a ≠，求关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】（1）{|01x x ≤≤或2}x ≥；（2）当0a >时，不等式的解集为1|11x x a ⎧⎫<<+⎨⎬⎩⎭； 当0a <时，不等式的解集为1{|1x x a<+或 1}x >. （1）当1a =时，函数2()32(1)(2)f x x x x x =-+=--，由()0xf x ≥，可得(1)(2)0x x x --≥， 所以原不等式的解集为{|01x x ≤≤或2}x ≥.（2）由()0f x <，可得2()(21)1(1)[(1)]0f x ax a x a x ax a =-+++=--+<，令()0f x =，解得1x =或1ax a =+， 因为0a ≠，所以1x =或11x a=+， 当0a >时，可得111a +>，原不等式的解集为1|11x x a ⎧⎫<<+⎨⎬⎩⎭；当0a <时，可得111a+<，原不等式的解集为1{|1x x a <+或 1}x >.21．记函数()2()lg 1f x ax =-的定义域、值域分别为集合A ，B .（1）当1a =时，求A B ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(1,0]-；（2）(,0]-∞． （1）1a =时，()2()lg 1f x x=-，由210x->得11x -<<，即(1,1)A =-，由2011x <-≤得(,0]B =-∞， ∴(1,0]AB =-；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，若0a >，则由210ax ->得x <<(A =，与（1）类似得(,0]B =-∞，不合题意，若0a =，则()lg10f x ==，即,{0}A R B ==，满足题意， 若0a <，则211ax -≥，A R =，[0,)B =+∞，满足题意． 综上a 的取值范围是(,0]-∞．22．设函数()()1xxf x a k a-=--()01a a >≠且是定义域为R 的奇函数.（1）求k 的值；（2）若223(1),()2()2x x f g x a a f x -==+-，求()g x 在[1,)+∞的最小值. 【答案】（1）k =2；（2）54(1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数,∴f (0)=0， ∴1−(k −1)=0，∴k =2. (2)由13(1),2=f a a -=-得a =2（负值舍去）， 则22()222(22)xx x x g x --=+--，令22,x x t -=-由x ≥1可得t ≥32， 则函数()222211y t t t =-+=-+， 且在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增，可得g (x )在[1,+∞)上的最小值为2351124⎛⎫ ⎪⎝⎭-+=. 23．如图，点0,2A P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数2()sin (0,0)3f x A x A πϕϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象与y 轴的交点，点,Q R 是该函数图象与x 轴的两个交点.（1）求ϕ的值；（2）若PQ PR ⊥，求A 的值.【答案】（1）6π=ϕ （2）2A = （1）∵()f x 的图象经过点(0,)2AP ，∴1sin 2ϕ=， ∵点P 在()f x 的递增区间，∴2,6k k Z πϕπ=+∈，∵0ϕπ<<,∴6π=ϕ. （2）由（1）可知2()sin()36f x A x ππ=+， 令0y =，得2sin()=036x ππ+，∴236x k πππ+=，解得31,24k x k Z =-∈， ∴1(,0)4Q -,5(,0)4R ，又(0,)2A P ，则1(,)42A PQ =--，5(,)42APR =-，∵PQ PR ⊥,∴0PQ PR ⋅=,即15()()04422A A ⎛⎫-⨯+--= ⎪⎝⎭，解得A =，又0A >,∴2A =. 24．我们知道对数函数()log (1)a f x x a =>有如下性质：①过定点(1,0)；②()*(),n f x nf x n =∈N ；③()log (1)a f x x a =>是增函数.已知函数(),y g x x +=∈R ，若对任意的,x y +∈R 都有()()()g xy g x g y =+，并且1x >时，()g >0x ，研究函数()y g x =是否具有与对数函数类似的性质，如果有，请给予证明.【答案】证明见解析性质一：把1x y ==代入()()()g xy g x g y =+ 得(1)0g =，所以必过点(1,0)； 性质二：()2()()()2()g xg x x g x g x g x =⋅=+=，()()32()2()3()g x g x x g x g x g x =⋅=+=，类似可得：()*(),n g x ng x n =∈N ；性质三：()g x 在+R 上是增函数，设12>0x x >，依题()()()g xy g y g x -= 令1122,1x xy x y x x x ==⇒=>， 所以()()11220x g x g x g x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以()()12g x g x >， 所以()g x 在+R 上是增函数. 25．定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值，则称之为函数的长距；若模存在最小值，则称之为函数的短距.(1)分别判断函数与是否存在长距与短距，若存在，请求出;(2)求证：指数函数的短距小于1;(3)对于任意是否存在实数，使得函数的短距不小于2且长距不大于4.若存在，请求出的取值范围；不存在，则说明理由？【答案】（1）短距为，长距不存在，短距为，长距为5；（2）证明见解析；（3）151,,522a⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（1）设（当且仅当取得等号）短距为，长距不存在．+2分设+3分短距为，长距为5．+5分（2）设的短距不大于1 +7分与单位圆存在两个交点当1a>时，存在使得当时，存在使得指数函数的短距小于1; +10分（3）设函数的短距不小于2且长距不大于4 即对于始终成立+11分对于始终成立： 当时：对于始终成立当时：取即可知显然不成立 当时：对于始终成立+14分对于始终成立， 即对于始终成立：+17分综上151,,522a ⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+18分26．已知函数()3sin(2)3f x x π=-.（1）用“五点法”作出函数()y f x =在一个周期闭区间上的图象（请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为12π）；（2）请根据图象写出函数()f x 在7[]66ππ，上的单调区间及在区间3[]44ππ，上的值域.【答案】（1）详见解析；（2）增区间是5117,,,612126ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；值域是3[3]2-，. （1）列表如下：描点函数图象如图所示：（2）函数()f x 的增区间是5117,,,612126ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 因为3[]44x ππ∈，， 所以72[]366x πππ-∈，， 所以 1sin 2[1]32x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， 所以()f x 在区间3[]44ππ，上的值域3[3]2-，. 27．设二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若1a =-，()0f x >的解集为()0,4，求函数()g x =的值域；（2）若不等式()2f x ax b ≥+对任意x ∈R 恒成立，求222b a c+的最大值.【答案】（1）[]0,2；（2）2.（1）由题意()2f x x bx c =-++，且120,4x x ==是方程20x bx c -++=的两个根，所以01640c b c =⎧⎨-++=⎩，解得04c b =⎧⎨=⎩， 所以()g x =因为()[]224240,4x x x -+=--+∈，所以函数()g x 的值域为[]0,2；（2）若不等式()2f x ax b ≥+即()()220ax b a x c b +-+-≥对任意x ∈R 恒成立， 则()()20240a b a a c b >⎧⎪⎨∆=---≤⎪⎩，即()2040b a c a a ⎧≤≤-⎨>⎩，易知0c a ≥>， 当c a =时，0b =，2220b a c =+； 当c a >时，设10c t a =->，则1c t a=+ 则()()222222241444221121c a c a b t a a c a c t c t t a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤===≤=++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当1c t a=-=()24b a c a =-时，等号成立， 所以222b a c+的最大值为2. 28．已知函数，()2020sin ()4f x x x R ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的所有正数的零点构成递增数列{}n a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设324n n n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）()*34n a n n N =-∈；（2）1(1)22n n T n +=-+. （1）1()2020sin 0()()444f x x x k k Z x k k Z πππππ⎛⎫=-=⇒-=∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，这就是函数()f x 的全部零点，已知函数()f x 的全部正数的零点构成等差数列{}n a ， 则其首项等于14，公差等于1，{}n a 的通项公式就是()*34n a n n N =-∈. （2）3224n n n n b a n ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则()1231122232122n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，①()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，②①-②：()()31121122122222221212n n n n n nT n n n +++--=++++-⋅=-⋅=⋅---， 所以，()1122n n T n +=-⋅+，因此，数列{}n b 的前n 项和为()1122n n T n +=-+.29．二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的零点是－2和3，当x ∈(－2，3)时，f （x ）<0，且f (－6)＝36，求二次函数的解析式．【答案】f （x ）＝x 2－x －6.二次函数的零点是－2和3，所以－2和3是函数的两根，又x ∈(－2，3)时，f （x ）<0，可知f （x ）开口向上.所以设f （x ）＝a (x ＋2)(x －3)且a >0∵f (－6)＝a (-6＋2)(-6－3)=36，∴a ＝1∴f （x ）＝(x ＋2)(x －3)满足条件－2<x <3时，f （x ）<0．∴f （x ）＝x 2－x －6．30．记关于x 的不等式()01a x a x -+＜的解集为P ，不等式|x ﹣1|≤1的解集为Q ．（1）若a ＝3，求P ；（2）若a ＞﹣1且Q ⊆P ，求a 的取值范围．【答案】（1）P ＝{x |﹣1＜x ＜3}．（2）（﹣1，0）∪（2，+∞）【解析】（1）若a＝3，由31xx-+＜，得P＝{x|﹣1＜x＜3}．（2）Q＝{x||x﹣1|≤1}＝{x|0≤x≤2}．当a＞0，得P＝{x|﹣1＜x＜a}，又Q⊆P，结合图形所以a＞2，即a的取值范围是（2，+∞）．当﹣1＜a＜0时，()1a x ax-+＜⇔﹣a（x﹣a）（x+1）＞0，P＝（﹣∞，﹣1）∪（a，+∞），满足Q⊆P．综上所述，a的取值范围是：（﹣1，0）∪（2，+∞）。
人教A版高中数学必修五第一轮复习强化训练等差数列新人教
5.2等差数列【考纲要求】1、理解等差数列的概念.2、掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 【基础知识】1、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 就叫做这个数列的公差。
即1(2,)n n a a d n n N *--=≥∈ 2、等差中项若,,a A b 成等差数列，那么A 叫做,a b 的等差中项。
两个实数,a b 的等差中项只有一个，就是这两个数的算术平均数2a b+。
3、等差数列的性质①等差数列的通项公式*1(1)()()n m a a n d a n m dn N =+-=+-∈，n ma a d n m-=-。
1()n a dn a d =+-当0d ≠时，它是一个一次函数。
②等差数列的前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+. 2211(1)()222n n n d dS na d n a n An Bn -=+=+-=+，当0d ≠时，它是一个二次函数，由于其常数项为零，所以其图像过原点。
③等差数列{}n a 中，如果m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项。
④等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,n n n n nS S S S S --成等差数列。
4、等差数列的性质的判断和证明方法一：定义的方法，1(2,)n n a a d n n N *--=≥∈⇔{}n a 是等差数列 方法二：中项的方法，11(2,)2n n n a a a n n N *+-+=≥∈{n a ⇔}是等差数列5、等差数列有5个基本量，1,,,,n n a d n a S ，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。
高一数学必修4(新人教)课后强化训练(含详解)：3.1.5
3.1.5一、选择题1．已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] D[解析] f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 22x ＝1－cos4x 4，故选D. 2.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为( )A.14B.12C ．2D ．4 [答案] C[解析] 原式＝sin(30°－20°)＋sin(30°＋20°)sin35°·cos35°＝2sin30°·cos20°12sin70°＝cos20°12sin70°＝2.3．(2010·河南南阳调研)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．60°或120° [答案] A[解析] 两式平方后相加得sin(A ＋B )＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>12，∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°. 4．(2010·广东惠州一中)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π [答案] B [解析] ∵y ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴周期T ＝π.5．(2010·鞍山一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A.17 B ．－17C.27 D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)， ∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17.6．(2010·温州中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b |的值为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2 [答案] D[解析] ∵|a －b |2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b |＝2.7．(2010·河南许昌调研)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. 8．(2010·盐城调研)若将函数y ＝cos x －3sin x 的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] y ＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3向左移m 个单位得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3为偶函数，∴m ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴m ＝k π－π3，∵k ∈Z ，且k >0，∴m 的最小值为2π3.9．若tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ的值为( )A ．－65B ．－45C.45D.65 [答案] D[解析] cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝65. 10．(2010·重庆南开中学)已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B.32C ．1 D.12 [答案] A[解析] ∵2tan αsin α＝3，∴2sin 2αcos α＝3，即2(1－cos 2α)cos α＝3，∴2cos 2α＋3cos α－2＝0， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝12，∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝12×32－32×12＝0.二、填空题11．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝______. [答案] 78[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π6－2α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝78.12．(2010·全国卷Ⅰ理，14)已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝____________.[答案] －17[解析] 因为α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2，(k ∈Z )，∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π，∴sin2α>0， 又cos2α＝－35，∴sin2α＝45，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17. 13．求值：3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________. [答案] －4 3 [解析]3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin12°－3cos12°cos12°2(2cos 212°－1)·sin12° ＝23(12sin12°－32cos12°)2cos24°·sin12°·cos12° ＝23(sin12°·cos60°－cos12°·sin60°)sin24°·cos24°＝23sin(12°－60°)12sin48°＝43(－sin48°)sin48°＝－4 3.三、解答题14．(2010·北京理，15)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cos x 的二次函数，求值即可．(1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以当cos x ＝－1时，f (x )取最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取最小值－73.15．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．[解析] 由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α] ∴tan(α＋β)＝2tan α① 由4tan α2＝1－tan 2α2得tan α＝2tanα21－tan 2α2＝12②由①②得tan(α＋β)＝1， 又∵0<α<π4，0<β<π4，∴0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4.16．(2010·苏北四市模考)在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos 2θ在角α的终边上，点Q (sin 2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12.(1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值． [解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin 2θ－cos 2θ＝－12，即12(1－cos 2θ)－cos 2θ＝－12，所以cos 2θ＝23， 所以cos2θ＝2cos 2θ－1＝13.(2)因为cos 2θ＝23，所以sin 2θ＝13，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23在角α的终边上， 所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 17．(2009～2010·浙江嵊泗中学高一期末)已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，2π3上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3时，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，2π3上的表达式； (2)求方程f (x )＝22的解． [解析] (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3时，由图象知，A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，∴ω＝1.又f (x )＝sin(x ＋φ)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，则2π3＋φ＝k π，k ∈Z ， ∵－π2<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3当－π≤x <－π6时，－π6≤－x －π3≤2π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π3＋π3＝－sin x 而函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，则f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π3∴f (x )＝－sin x ，－π≤x <－π6，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3－sin x x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π6.(2)当－π6≤x ≤2π3时，π6≤x ＋π3≤π，∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝22，∴x ＋π3＝π4或3π4，∴x ＝－π12或5π12，当－π≤x <－π6时，∵f (x )＝－sin x ＝22，∴sin x ＝－22，x ＝－π4或－3π4， ∴x ＝－π4，－3π4，－π12，或5π12即为所求．。
高一数学加强复习题
高一数学加强复习题高一数学加强复习题近年来，高中数学的难度逐渐增加，对学生的数学基础要求也越来越高。
为了应对这一挑战，高一学生需要加强数学的复习和练习。
本文将从几个方面介绍一些高一数学加强复习题，帮助学生提高数学水平。
首先，我们来看一下函数的复习题。
函数是高中数学的重要内容，也是后续学习的基础。
在复习函数时，学生可以通过解析式、图像和性质等多个角度来进行练习。
例如，给定一个函数的解析式，要求画出其图像，并分析其特点和性质。
又或者给定一个函数的图像，要求写出其解析式，并讨论其定义域、值域和单调性等。
通过这样的练习，学生可以更加深入地理解函数的概念和性质。
其次，我们来看一下几何的复习题。
几何是高中数学的另一个重要内容，也是考试中经常出现的题型。
在复习几何时，学生可以通过解题和证明来提高自己的能力。
例如，给定一个几何问题，要求证明某个性质成立。
学生可以通过运用几何定理和推理来进行证明，从而加深对几何知识的理解。
此外，学生还可以通过练习画图和计算几何等技巧，提高解题的准确性和速度。
再次，我们来看一下概率与统计的复习题。
概率与统计是高中数学的一大难点，也是考试中的重要内容。
在复习概率与统计时，学生可以通过解题和分析数据来提高自己的能力。
例如，给定一组数据，要求计算其均值、方差和标准差等统计指标。
学生可以通过计算和分析数据，进一步理解这些统计指标的概念和应用。
又或者给定一个概率问题，要求计算某个事件发生的概率。
学生可以通过运用概率公式和思维方法，解决这类问题，并加深对概率的理解。
最后，我们来看一下数列与数学归纳法的复习题。
数列与数学归纳法是高中数学的另一个重要内容，也是考试中的常见题型。
在复习数列与数学归纳法时，学生可以通过解题和分析数列的规律来提高自己的能力。
例如，给定一个数列，要求写出其通项公式，并计算其前n项和。
学生可以通过观察数列的规律和运用数学归纳法，解决这类问题，并加深对数列的理解。
又或者给定一个数列的前几项，要求推测其通项公式。
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2008-2009学年度下学期四校期中联考
高二数学（理科）试题
命题人：鄢陵县二高 赵红凯
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分） 1、下列命题中，真命题的个数为（ ）
○
1如果两个平面有三个不同的公共点，那么这两个平面重合； ○
2两条相交直线的直观图可能平行； ○
3一个角一定是平面图形； ○
4过直线外一点可以作无数个平面平行于已知直线； ○
5平行于同一平面的两直线互相平行。
A 2 B 3 C 4 D 5 2、18×17×16×…×9×8等于（ ）
A 818A
B 918A
C 1018A
D 11
18A
3、下列各式中，不等于n!的是（ ） A n n A B
1
11
1+++n n A n
C n n A 1+
D 11--n n nA
4、对两条不相交的空间直线a ，b ，必定存在平面α，使得（ ）
A αα⊂⊂b a ,
B b a ,α⊂∥α
C αα⊥⊥b a ,
D αα⊥⊂b a ,
5、已知)1 ,0 ,1(),1 ,1,1(-=--=b a
，则两向量夹角的余弦值为（
）
A
3
3 B 0 C
3
6 D 3
1
6、已知)4 ,1,6( ),3 ,2 ,4( ),11 ,2,1(--C B A ，则△ABC 为（ ）三角形 A 等腰 B 直角 C 等腰直角 D 以上都不对
7、平行六面体ABCD —''''D C B A 中，AB=4，AD=3，'AA =5， 90=∠BAD ，
60
''=∠=∠DAA BAA ，则'AC =（ ）
A 85
B 9
C 27
D 54
8、用一个平面截半径为25cm 的球，截面面积是2 49cm π,则球心到截面的距离
学校 班级 考号 姓名_________________
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为（ ）cm
A 1114
B 18
C 23
D 24 9、平面的一条斜线和它在平面内射影的夹角为 45，又知平面内一条直线和斜线在平面内射影的夹角也为 45，则平面的斜线与平面内的直线所成的角为（ ） A 60 B 30 C 45 D 90
10、点A(3,3,1)，B(1,0,5)，则与A 、B 距离相等的点P （z y x ,,）的坐标z y x ,,满足的条件是（ ）
A 07864=-++z y x
B 07864=+-+z y x
C 071264=+++z y x
D 071264=-++z y x
11、在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=8，△ABC 是边长为4的正三角形，则该三棱锥体积的最大值为（ ） A 332 B
3
3
32 C 58 D 524
12、要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午（前4节），体育课排在下午（后2节），不同排法有（ ）种
A 720
B 120
C 480
D 192 二、填空（每小题5分，共20分）
13、有5种不同的书，要买三本送给3名同学，每人各一本，共有______种不同的送法。
14、三个平面OAB 、OBC 、OCA 相交于点O ， 60=∠=∠=∠COA BOC AOB ,则交线OA 与平面OBC 所成的角为_________。
15、设地球半径为R ，在北纬 30纬线上有甲、乙两地，它们的经度差为 120，则这两地间的纬线长为_________。
16、一块三角板ABC ，
90,30=∠=∠C A ,BC 边在桌面上，当三角板和桌面成
45角时，AB 与桌面所成角的正弦值是__________。
2008－2009学年下学期四校期中联考
高二数学答题卷
题 号
一
二
三
总 分
17
18 19 20 21
22
座号：
第Ⅰ卷答题卡：
一、选择题：每小题5分，共12题，计60分。
）
得分
评卷
人
二、填空题：（每空5分，计20分，） 13、 14、
15、 16、
第Ⅱ卷
三、解答题（共70分） 17、（10分）正四面体OABC 的棱长为1，D 、E 分别为OA 、BC 之中点，连结DE
○
1求证：DE 是异面直线OA 与BC 的公垂线段； ○2求O 到平面ABC 的距离OH 。
18、（12分）○
17个人站成一排，如果甲必须站在正中间，有多少种排法？ ○
27个人站成一排，如果甲、乙两人必须站在两端，有多少种排法？ ○37个人站成两排，其中三个女孩站在前排，4个男孩站在后排，有多少种排法？
○47个人站成两排，其中前排站3人，后排站4人，有多种排法？
得 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
19、（12分）如图，△ABC 为正三角形，ABC EC 平面⊥,BD ∥CE ，且CE = 2BD ，M 为EA 之中点。
求证：○
1DM ∥平面ABC ○2平面ADE ⊥平面ACE 20、（12分）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
M C E
A
D
B
21、（12分）用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的6位数
○
1若为奇数，有多少种不同的6位数？ ○
2若小于230000，有多少种不同的6位数？ ○3若要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1与2相邻，有多少种不同的6位数？ 22、（12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA=PD=
2，底面ABCD 是直角梯形，其中BC ∥AD ，
AD
AB ⊥,AD=2AB=2BC=2，O 为AD 之中点
○
1求异面直线PB 与CD 所成角的大小； ○
2求二面角C —PD —A 的大小； ○3线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD 的 距离为
2
3？若存在，求出
QD
AQ 的值；若不存
在，请说明理由。
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B
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