关于垂直与平行的问题

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空间中的平行与垂直例题和知识点总结

空间中的平行与垂直例题和知识点总结

空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中,空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。

理解和掌握这些关系,对于解决相关的几何问题具有关键作用。

下面我们通过一些例题来深入探讨,并对相关知识点进行总结。

一、平行关系(一)线线平行1、定义:如果两条直线在同一平面内没有公共点,则这两条直线平行。

2、判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行。

例 1:在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,求证:EF∥A₁C₁。

证明:连接 AC,因为 E,F 分别是 AB,BC 的中点,所以 EF∥AC。

又因为正方体中,AC∥A₁C₁,所以 EF∥A₁C₁。

(二)线面平行1、定义:如果一条直线与一个平面没有公共点,则称这条直线与这个平面平行。

2、判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。

例 2:已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形,M 是 PC 的中点,求证:PA∥平面 MBD。

证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 MO。

因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 O 是 AC 的中点。

又因为 M 是 PC 的中点,所以MO∥PA。

因为 MO⊂平面 MBD,PA⊄平面 MBD,所以 PA∥平面MBD。

(三)面面平行1、定义:如果两个平面没有公共点,则称这两个平面平行。

2、判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

例 3:在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中,求证:平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

证明:因为 A₁B∥D₁C,A₁D∥B₁C,且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线,D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线,所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

二、垂直关系(一)线线垂直1、定义:如果两条直线所成的角为 90°,则这两条直线垂直。

空间几何中的平行与垂直

空间几何中的平行与垂直

空间几何中的平行与垂直在空间几何中,平行和垂直是两个重要的概念。

它们用来描述线、面和空间中的关系,帮助我们理解和解决各种几何问题。

本文将介绍平行和垂直的定义、判定方法,以及它们在空间几何中的应用。

一、平行的定义和判定在平面几何中,我们知道两条直线要想平行,它们的斜率必须相等。

但是在空间几何中,直线不再只有斜率这一个属性,因此平行的定义也有所不同。

在空间中,我们把两条直线称为平行线,当且仅当它们处于不同平面上,且不相交。

也就是说,两条平行线可以看作是两个相互平行且不相交的平面上的交线。

判定平行的方法有以下几种:1. 通过判断两条直线的方向向量是否平行。

如果两条直线的方向向量相等或成比例,那么它们是平行的。

2. 通过判断两条直线上的一点到另一条直线的垂足距离是否为0。

如果两条直线上的所有垂足距离都为0,那么它们是平行的。

3. 通过判断两个平面的法向量是否平行。

如果两个平面的法向量相等或成比例,那么它们是平行的。

二、垂直的定义和判定在空间几何中,垂直用来描述直线、平面和空间中的相互关系。

两条直线、两个平面或一条直线与一个平面之间的垂直关系都具有重要意义。

在空间中,我们把两条直线称为垂直线,当且仅当它们在某个平面上相交,并且互相垂直。

也就是说,两条垂直线可以看作是相互垂直的平面上的交线。

判定垂直的方法有以下几种:1. 通过判断两条直线的方向向量的数量积是否为0。

如果两条直线的方向向量的数量积为0,那么它们是垂直的。

2. 通过判断直线上的一点到另一条直线的垂足是否在另一条直线上。

如果两条直线上的所有垂足都在另一条直线上,那么它们是垂直的。

3. 通过判断一条直线的方向向量是否与一个平面的法向量垂直。

如果一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直,那么它们是垂直的。

三、平行和垂直的应用平行和垂直在空间几何中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景:1. 平行线的应用:平行线可用于构建平行四边形、矩形等各种图形。

有关平行和垂直的例子

有关平行和垂直的例子

有关平行和垂直的例子
平行和垂直是几何学中常用的概念,用来描述线或面之间的关系。

平行指的是两条线或面在空间中永远不会相交,而垂直指的是两条线或面在某一点上相交,形成一个直角。

下面将给出一些关于平行和垂直的例子,以帮助更好地理解这两个概念。

首先,让我们来看一个平行的例子。

假设有一条直线AB,我们通过另一条直线CD来判断它们是否平行。

如果CD与AB在任何一点上都不相交,那么CD就是平行于AB的。

例如,铁路上的平行铁轨就是一个常见的平行例子。

两条铁轨始终保持平行,永远不会相交。

接下来,我们来看一个垂直的例子。

设想有一条直线AB和一条直线CD,我们通过判断它们在某一点上是否相交来确定它们是否垂直。

如果在点E处,AB与CD相交,且相交角为90度,则可以说AB垂直于CD。

例如,墙上的直角交叉线是常见的垂直示例。

两面墙壁相互交叉形成的角就是垂直的。

除了直线外,平行和垂直的概念也适用于平面。

例如,在建筑工程中,我们经常会使用平行和垂直来确定建筑物中的墙壁、楼梯和地板的相对方向。

平面上平行的例子可以是两面没有任何交叉点的墙壁,而垂直的例子可以是楼梯的踏步与楼梯的扶手之间形成的直角。

总结一下,平行和垂直是几何学中常用的概念,用于描述线或面之间的关系。

平行指的是两者永远不会相交,而垂直指的是形成直角的相交。

通过铁轨、墙壁、楼梯等例子,我们可以更好地理解和应用这两个概念。

了解平行与垂直形的平行和垂直关系

了解平行与垂直形的平行和垂直关系

了解平行与垂直形的平行和垂直关系平行和垂直关系是几何学中的重要概念,用以描述两条直线或两个平面之间的相对位置关系。

了解平行和垂直形的平行和垂直关系对于几何学的学习和应用具有重要意义。

一、平行关系平行关系是指两条直线或两个平面之间没有交点,并且始终保持相同的距离。

在平面几何中,平行关系由平行线来描述。

如果两条直线的任意两个点相互连接的线段始终平行,则这两条直线被称为平行线,记作$l_1 \parallel l_2$。

平行线之间的距离始终保持相等,这个距离被称为平行线间的距离。

在立体几何中,两个平面如果没有交点,并且保持相同的距离,则被称为平行平面。

平行关系在几何学中有广泛的应用。

在平面几何中,平行线之间的性质包括:平行线上的任意一对内角相等、平行线之间的外角相等、平行线与横截线所夹的内角相等等。

平行关系也被应用于解决实际问题,如建筑设计中的平行墙面或公路设计中的平行车道等。

二、垂直关系垂直关系是指两条直线或两个平面之间的交角为90度(直角)。

在平面几何中,垂直关系由垂直线来描述。

如果两条直线的交角为90度,则这两条直线被称为垂直线,记作$l_1 \perp l_2$。

在立体几何中,两个平面如果通过一条直线交于直角,则被称为垂直平面。

垂直关系在几何学中也有广泛的应用。

垂直关系可以用于求解直角三角形的边长和角度。

在建筑设计中,垂直关系用于垂直墙面的设计以及地面与墙面之间的垂直关系。

在物理学中,垂直关系用于描述物体受力情况中的垂直方向分量。

三、平行和垂直关系的判断如何判断两条直线或两个平面之间的平行和垂直关系呢?在平面几何中,常用的方法包括:1. 通过线段的斜率来判断。

如果两条直线的斜率相同,则它们是平行线;如果两条直线的斜率互为倒数,则它们是垂直线。

2. 通过线段的方程来判断。

如果两条直线的方程中的系数满足一定的条件,则可以判断它们是平行线或垂直线。

在立体几何中,判断平行和垂直关系的方法也是基于对交线的角度关系的判断。

平行线与垂直线的判断方法

平行线与垂直线的判断方法

平行线与垂直线的判断方法在几何中,平行线和垂直线是两个基本的概念。

正确判断平行线和垂直线的位置关系对于解决几何问题非常重要。

本文将介绍平行线和垂直线的定义,以及几种常见的方法来判断它们之间的关系。

一、平行线的定义平行线是指在同一个平面上,永远不会相交的直线。

两条平行线之间的距离保持相等,无论延长多远,它们也不会相交。

判断两条直线是否平行,我们可以使用以下方法:1.方法一:角度判断法角度判断法是用角度来判断两条直线是否平行。

如果两条直线有相同的斜率(斜率是指直线上一点的函数关系),那么它们是平行的。

例如,有两条直线y = 2x + 1和y = 2x + 3。

这两条直线的斜率都是2,因此它们是平行的。

2.方法二:距离判断法距离判断法是用两条平行线上的点的距离来判断它们是否平行。

如果两条平行线上的任意两点之间的距离相等,那么它们是平行的。

例如,有两条平行线l1和l2,它们上面分别有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2),C(x3, y3)和D(x4, y4)。

如果AB的距离等于CD的距离,那么l1和l2是平行的。

二、垂直线的定义垂直线是指两条直线之间的夹角为90度。

两条垂直线相交时,互相垂直的两个角度之和为180度。

判断两条直线是否垂直,我们可以使用以下方法:1.方法一:斜率乘积法斜率乘积法是用两条直线的斜率之积来判断它们是否垂直。

如果两条直线的斜率之积为-1,那么它们是垂直的。

例如,有两条直线y = 2x + 1和y = -1/2x + 3/2。

这两条直线的斜率分别为2和-1/2,且它们的斜率之积为-1/2,因此它们是垂直的。

2.方法二:判断互为倒数另一种判断两条直线是否垂直的方法是通过判断它们的斜率是否互为倒数。

如果两条直线的斜率互为倒数,那么它们是垂直的。

例如,有两条直线y = 3x + 2和y = -1/3x + 1/3。

这两条直线的斜率分别为3和-1/3,它们互为倒数,因此它们是垂直的。

三角形的垂直与平行定理

三角形的垂直与平行定理

三角形的垂直与平行定理在几何学中,三角形是最基本的平面图形之一。

它由三个边和三个角组成,具有许多有趣的性质和定理。

本文将介绍三角形的垂直与平行定理,探讨它们的定义、证明和应用。

1. 垂直定理在三角形ABC中,若AB垂直于BC,即∠ABD=90°,则称线段AB垂直于线段BC。

根据垂直定理,我们可以得出以下结论:结论1:垂直定理的逆命题也成立,即如果∠ABD≠90°,则AB不垂直于BC。

结论2:如果∠ABD=∠CBD,那么线段AB与线段BC垂直。

结论3:如果AB与BC垂直,并且BC与CD垂直,则AB与CD平行。

通过证明和应用这些结论,我们可以更好地理解和应用垂直定理。

2. 平行定理在三角形ABC中,若AB与CD平行,即AB∥CD,根据平行定理,我们可以得出以下结论:结论1:平行定理的逆命题也成立,即如果AB与CD不平行,即AB∥CD不成立,则AB与CD交于一点。

结论2:如果AB与CD平行,且BC与DE平行,那么AC与DE平行。

结论3:如果两组平行线段AB∥CD, BC∥DE 交于一点E,那么AE与AC平行,AD与DE平行。

平行定理提供了判断和应用两条平行线段的方法,帮助我们解决各种与平行线段相关的几何问题。

垂直与平行定理的应用举例:例1:在三角形ABC中,AB垂直于BC,且AD为AB的高,求证AD平行于BC。

证明:设O为AB的中点。

连接CO并延长交于点E。

由于AO=BO,同时∠OAB=∠OBA=90°,根据等腰三角形的性质,可以得出AO=BO=CO。

又因为∠COB=∠COE=90°,所以BC平行于AD。

例2:在平行四边形ABCD中,AC垂直于BD,求证AC平分BD。

证明:连接AC,BD,并设AC与BD的交点为E。

由于平行四边形的性质,AB∥CD,所以根据平行定理可知AC∥BD。

又因为AC垂直于BD,所以AC平分BD(即AB=BC,CD=DA)。

通过以上两个例子,我们可以看到垂直与平行定理在解决几何问题中的重要性和实用性。

空间几何的平行与垂直判定

空间几何的平行与垂直判定

空间几何的平行与垂直判定空间几何是数学中的一个重要分支,涉及到直线、平面、点等概念的研究。

其中,平行和垂直是空间几何中常见的关系,本文将对平行和垂直的判定方法进行详细介绍。

一、平行的判定方法在空间几何中,平行是指两个线(线段)或两个平面永远不会相交的关系。

下面将介绍几种常见的平行判定方法。

1. 直线的平行判定给定两条直线l1和l2,如果它们的斜率相等且不相交,则可以判定l1与l2平行。

即若直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,且k1≠k2时,则l1和l2平行。

2. 平面的平行判定对于两个平面P1和P2,如果它们的法向量相等或平行,则可以判定P1与P2平行。

二、垂直的判定方法在空间几何中,垂直是指两个线(线段)或两个平面之间的相互垂直关系。

下面将介绍几种常见的垂直判定方法。

1. 直线的垂直判定给定两条直线l1和l2,如果它们的斜率互为倒数且不相交,则可以判定l1与l2垂直。

即若直线l1的斜率为k1,直线l2的斜率为k2,并且k1·k2=-1时,则l1和l2垂直。

2. 平面的垂直判定对于两个平面P1和P2,如果它们的法向量互为倒数且不平行,则可以判定P1与P2垂直。

三、平行与垂直的应用举例平行和垂直关系在实际问题中经常被应用。

以下是几个应用举例。

1. 平行线与垂直线的交点问题当两条平行线相交时,它们的交点无穷多个;而当两条垂直线相交时,它们的交点只有一个。

这一性质在导弹拦截等领域具有重要意义。

2. 平行四边形及其性质平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

它们的特点是相对边相等、对角线相交于对角线的中点、对角线互相平分等。

平行四边形的性质在建筑设计等领域有广泛应用。

3. 垂直投影与三视图在工程绘图中,垂直投影是指将物体在垂直方向上的投影。

根据垂直投影可以得到物体的平面图、前视图、左视图、右视图等,这些视图通常用于工程设计、建筑规划等领域。

4. 共线与共面条件若一条直线与一个平面相交,那么这条直线上的任意一点与该平面上的任意一点以及该平面上的任意一条直线都共线。

(简化)七年级数学平行线与垂直线练习题

(简化)七年级数学平行线与垂直线练习题

(简化)七年级数学平行线与垂直线练习题七年级数学平行线与垂直线练题
本文档旨在提供一些关于平行线和垂直线的练题,以帮助七年级数学学生巩固这方面的知识。

练题一:平行线问题
1. 请画出以下每组直线中的平行线对:
- 直线1: y = 2x + 3
- 直线2: y = 2x + 5
- 直线3: y = -3x + 2
- 直线4: y = -3x - 1
2. 若直线l与直线m平行,直线m与直线n平行,是否可以得出直线l与直线n平行的结论?请解释并给出一组例子。

练题二:垂直线问题
1. 请画出以下每组直线中的垂直线对:
- 直线1: y = 2x + 3
- 直线2: y = -1/2x + 5
- 直线3: y = -3x + 2
- 直线4: y = 1/3x - 1
2. 若直线a与直线b垂直,直线b与直线c垂直,是否可以得
出直线a与直线c垂直的结论?请解释并给出一组例子。

练题三:平行线和垂直线问题
1. 请画出以下直线组合中的平行线和垂直线对,并判断其关系:
- 直线1: y = 2x + 3
- 直线2: y = -1/2x + 5
- 直线3: y = 2x + 3
- 直线4: y = -2x - 1
2. 若直线d与直线e平行,直线e与直线f垂直,是否可以得
出直线d与直线f的关系?请解释并给出一组例子。

以上是关于平行线和垂直线的练习题,希望能帮助你巩固相关知识。

如果有任何问题,请随时向老师或同学寻求帮助。

两条直线平行与垂直的判定题型总结及习题测试含答案

两条直线平行与垂直的判定题型总结及习题测试含答案

两条直线平行与垂直的判定题型总结及习题测试含答案两条直线平行与垂直的判定一、基础知识1.两条直线平行的判定(1)l1∥l2,说明两直线l1与l2的倾斜角相等,当倾斜角都不等于90°时,有k1=k2;当倾斜角都等90°时,斜率都不存在.(2)当k1=k2时,说明两直线l1与l2平行或重合.2.两直线垂直的判定(1)当两直线l1与l2斜率都存在时,有k1·k2=-1⇔l1⊥l2;当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,也有l1⊥l2.(2)若l1⊥l2,则有k1•k2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线的斜率为零.3.如何判断两条直线的平行与垂直判断两条直线平行或垂直时,要注意分斜率存在与不存在两种情况作答.二、典例剖析题型一直线平行问题例1:下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等,则两直线平行.②若l1∥l2,则k1=k2.③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.规律技巧:判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如两直线重合,斜率不存在等.一般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题. 变式训练1:已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )A.-8B.0C.2D.10题型二直线垂直问题例2:已知直线l1的斜率k1= ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2, 34求实数a 的值.变式训练2:已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11).求证:AB ⊥CD. 题型三 平行与垂直的综合应用例3:已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标.规律技巧:利用图形的几何性质解题是一种重要的方法. 易错探究例4:已知直线l 1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l 2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.错因分析:只有两条直线的斜率都存在的情况下,才有l 1⊥l 2k 1•k 2=-1,本题中直线l 2的斜率存在,而l 1的斜率不一定存在,因此要分l 1的斜率存在与不存在两种情况解答. 正解:三、基础强化训练1.下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等;121122:l l ,k k 1.35k ,,53351,53a a k a a a a --==-⊥∴⋅---∴⋅=---=-错解又③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直;④如果两直线垂直,则它们斜率之积为-1.2.已知点A(1,2),B(m,1),直线AB与直线y=0垂直,则m的值为( )A.2B.1C.0D.-13.以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形4.已知l1⊥l2,直线l1的倾斜角为45°,则直线l2的倾斜角为( )A.45°B.135°C.-45°D.120°5.经过点P(-2、-1)、Q(3,a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直.则a=________.6.试确定m的值,使过点A(2m,2),B(-2,3m)的直线与过点P(1,2),Q(-6,0)的直线(1)平行;(2)垂直.7.已知A(1,5),B(-1,1),C(3,2),若四边形ABCD是平行四边形,求D点的坐标.8.如果下列三点:A(a,2)、B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上,试确定常数a的值.9.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a 的值等于____.10. l 1过点A(m,1),B(-3,4),l 2过点C(0,2),D(1,1),且l 1∥l 2,则m=_______.题组练习一、选择题1、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by-c=0,则ab=1是l 1||l 2的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是 A m=1 B m=±1 C ⎩⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 3、直线xsin α+ycos α+1=0与xcos α-ysin α+2=0直线的位置关系是A 平行B 相交但不垂直C 相交垂直D 视α的取值而定4、已知P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a ≠b-1)是轴对称的两点,那么对称轴方程是A x+y=0B x-y=0C x+y-1=0D x-y+1=05、已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,垂足坐标为(1,p),则m-n+p=A 24B 20C 0D -46、由三条直线3x-4y+12=0,4x+3y-9=0,14x-2y-19=0所围成的三角形是 A 锐角不为450的直角三角形 B 顶角不为900的等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形7、已知△ABC 中,A (2,4),B (-6,-4),C (5,-8),则∠C 等于 A 2740arctanB -2740arctanC +π2740arctan D -π2740arctan8、直线3x+3y+8=0直线xsin α+ycos α+1=0)24(παπ<<的角是A 4πα-B απ-4C 43πα-D απ-45 二、填空题1、与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上截距之和为10/3的直线的方程为________;2、与直线2x-y+4=0的夹角为450,且与这直线的交点恰好在x 轴上的直线方程为_____;3、直线过点A (1,)33且与直线x-y 3=0成600的角,则直线的方程为__ 三、解答题1、直线过P (1,2)且被两条平行直线4x+3y+1=0和4x+3y+6=0截得的线段长为2,求这条直线的方程。

平行与垂直

平行与垂直

运动垂直
01
在运动学中,两个运动方向垂直意味着它们的速度向量垂直。
磁场垂直
02
在电磁学中,磁场方向与通电导线垂直时会产生安培力。
重力垂直
03
在重力场中,重力方向与物体所在位置的重力加速度方向垂直

05
特殊情况下的平行与垂直
平面中的平行与垂直
平行线的定义
在平面中,两条线段或直线,如果它们 永不相交,则称这两条线段或直线是平 行的。
平行的性质有哪些?
答案
平行是指在平面内,直线a与直线b无限延伸后永不相交 的现象。
答案
平行的性质包括传递性、同位角相等、内错角相等、同旁 内角互补等。
垂直的常见问题与解答
问题
垂直的定义是什么?
问题
垂直的性质有哪些?
答案
垂直是指在平面内,直线a与直线b相交 成90度角的现象。
答案
垂直的性质包括点斜式、斜截式、两点 式和截距式等方程形式。
垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
平行的等价命题
01
两直线平行,同位角相等。
02
两直线平行,内错角相等。
两直线平行,同旁内角互补。
03
垂直的判定方法
一个角为直角时,它所在的直线与另外一条直线互相垂直。 一个角为锐角时,它所在的直线与另外一条直线互相平行。
垂直的等价命题
两直线垂直,其中一个角是直角。 两直线垂直,其中一个角是锐角。
THANKS
谢谢您的观看
在空间中,如果两条线段或直线相交成90 度的角,则称这两条线段或直线是空间垂直 的。
空间平行线的性质
空间垂直线的性质
空间平行线之间的距离是相等的,而且平行 线段长度相等。

小学平行与垂直练习题

小学平行与垂直练习题

小学平行与垂直练习题1. 平行线与垂直线是几何中常见的概念,我们经常在各种图形中遇到。

为了帮助同学们更好地理解和掌握平行线与垂直线的性质,以下是一些小学平行与垂直线的练习题。

请同学们仔细阅读每道题,并按照题目要求回答。

题目一:判断平行线与垂直线在下面的图形中,找出垂直线和平行线。

题目二:判断垂直线长度在下面的图形中,判断AB和CD两条线段的垂直关系。

如果它们是垂直线,请计算它们的长度。

题目三:找出平行线在下面的图形中,找出与给定线段平行的线段。

题目四:平行线交角问题在下面的图形中,AB和CD是平行线,找出BC与这两条平行线的交角。

题目五:平行线交点问题在下面的图形中,有4条平行线,找出它们的交点。

题目六:垂直线的特殊情况在下面的图形中,找出垂直线与水平线段的特殊情况。

题目七:判断线段平行在下面的图形中,判断以下线段是否平行。

题目八:平行线的应用在下面的图形中,找出平行线的应用场景,并简要描述其用途。

2. 练习题答案:题目一答案:垂直线为AC和BD,平行线为AD和BC。

题目二答案:AB和CD是垂直线段,长度分别为5cm和8cm。

题目三答案:EF与给定线段AB平行。

题目四答案:交角为90度。

题目五答案:4条平行线只有一个交点,表示它们在同一平面内。

题目六答案:垂直线与水平线段的特殊情况是水平线段与自身垂直。

题目七答案:线段AB和线段CD是平行线。

题目八答案:平行线的应用场景很多,例如建筑设计中的水平线、电路中的平行导线等。

水平线用于保证建筑物的水平度,平行导线用于确保电路的正常运行。

以上是关于小学平行与垂直练习题的内容。

希望以上练习题能够帮助同学们更好地理解和掌握平行线与垂直线的概念和性质。

通过不断的练习与思考,同学们将能够更加熟练地应用这些概念解决实际问题。

祝愿同学们在几何学习中取得优异的成绩!。

平行与垂直的练习题

平行与垂直的练习题

平行与垂直的练习题平行与垂直的练习题在数学学科中,平行和垂直是两个基本的几何概念。

它们在几何形状和线条之间的关系中起着重要的作用。

为了加深对这两个概念的理解,我们可以通过练习题来巩固知识。

下面将给出一些关于平行和垂直的练习题,帮助读者更好地掌握这两个概念。

1. 平行线的判断问题:判断下列线段是否平行。

a) AB = (3, 4) 和 CD = (6, 8)b) EF = (2, 5) 和 GH = (4, 10)c) IJ = (1, 2) 和 KL = (1, 4)解答:a) AB = (3, 4) 和 CD = (6, 8) 不平行,因为它们的斜率不相等。

b) EF = (2, 5) 和 GH = (4, 10) 不平行,因为它们的斜率不相等。

c) IJ = (1, 2) 和 KL = (1, 4) 平行,因为它们的斜率相等且都为无穷大。

2. 平行线的性质问题:已知直线AB // CD,线段EF ⊥ AB,求证线段EF ⊥ CD。

解答:由于AB // CD,我们可以得到两条平行线的斜率相等。

设AB的斜率为k1,CD 的斜率为k2。

又因为EF ⊥ AB,所以EF与AB的斜率的乘积为-1,即k1 * k3 = -1,其中k3为EF的斜率。

由此可得k3 = -1 / k1。

由于AB // CD,所以k1 = k2,代入得k3 = -1 / k2。

即EF与CD的斜率的乘积为-1,所以EF ⊥ CD。

3. 垂直线的判断问题:判断下列线段是否垂直。

a) AB = (2, 3) 和 CD = (-3, 2)b) EF = (1, 4) 和 GH = (-4, -1)c) IJ = (0, 5) 和 KL = (5, 0)解答:a) AB = (2, 3) 和 CD = (-3, 2) 不垂直,因为它们的斜率乘积不为-1。

b) EF = (1, 4) 和 GH = (-4, -1) 不垂直,因为它们的斜率乘积不为-1。

平行线与垂直线的性质及应用

平行线与垂直线的性质及应用

平行线与垂直线的性质及应用平行线和垂直线是几何学中常见的概念,它们具有不同的性质和应用。

本文将探讨平行线和垂直线的性质,并介绍它们在实际生活中的应用。

一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上永不相交的线段。

平行线具有以下性质:1. 平行线具有相同的斜率。

斜率是指线段在坐标系中的倾斜程度。

如果两条线段的斜率相等,那么它们就是平行线。

2. 平行线之间的距离是恒定的。

对于两条平行线,任意一点到另一条线的距离都是相等的。

3. 平行线具有相同的方向。

无论平行线如何延长,它们的方向始终保持一致。

平行线的性质在几何学和实际生活中都有广泛的应用。

在建筑设计中,平行线常用于确定墙壁、地板和天花板的布局。

在道路规划中,平行线可以用于确定车道的宽度和车道之间的距离。

此外,在电子设备的设计中,平行线也被用于布线和电路连接的规划。

二、垂直线的性质垂直线是指在同一个平面上与另一条线段成直角的线段。

垂直线具有以下性质:1. 垂直线的斜率是互为相反数的。

如果两条线段的斜率乘积为-1,那么它们就是垂直线。

2. 垂直线之间的夹角为90度。

无论垂直线如何延长,它们的夹角始终保持为直角。

3. 垂直线与平行线之间不存在交点。

垂直线的性质在几何学和实际生活中也有广泛的应用。

在建筑设计中,垂直线常用于确定墙壁和地板之间的垂直关系。

在城市规划中,垂直线可以用于确定建筑物之间的间隔和高度。

此外,在电子设备的设计中,垂直线也被用于布线和电路连接的规划。

三、平行线和垂直线的应用除了在建筑设计和城市规划中的应用,平行线和垂直线还有许多其他实际应用。

1. 在地理学中,平行线和垂直线可以用于确定地球上不同地点之间的位置关系。

经线是地球表面上的垂直线,纬线是地球表面上的平行线,它们帮助我们确定地球上的经度和纬度。

2. 在物理学中,平行线和垂直线可以用于描述光线的传播。

光线在真空中传播时是直线,而在介质中传播时会发生折射,形成平行线或垂直线。

3. 在数学中,平行线和垂直线是解决几何问题的重要工具。

平行线与垂直线的关系

平行线与垂直线的关系

平行线与垂直线的关系在几何学中,平行线与垂直线是两种基本的线性关系。

它们在空间中起着重要的作用,不仅在数学领域有着广泛的应用,而且在日常生活中也时常会遇到。

本文将讨论平行线与垂直线的概念、性质以及它们之间的相互关系。

一、平行线的概念与性质平行线是指在同一个平面内永远不相交的直线。

简单来说,它们不存在交点。

根据平行线的定义,我们可以得出以下性质:1. 同一平面内的两条直线,要么相交于一点,要么平行。

2. 如果两条直线平行,并且分别与一条横截线相交,则这两个交点分成的两个内角相等。

3. 平行线的斜率相等,即斜率互为相反数的直线必然平行。

二、垂直线的概念与性质垂直线是指两条直线相交时,彼此之间的夹角为90°的直线。

简单来说,它们形成正方形的直角。

我们可以从以下性质中了解更多关于垂直线的特点:1. 垂直线分成的两个内角相等,并且每个角为90°。

2. 如果两条直线互相垂直,则它们的斜率的乘积为-1。

3. 如果两条直线是垂直的,它们的斜率为互为相反数。

三、平行线与垂直线之间存在一定的关系,可以通过以下几个方面进行探讨:1. 垂直线的定义中,两条互相垂直的线段与平行线没有交点。

也就是说,如果两条线段与同一直线垂直,它们之间一定不会有交点。

2. 平行线的定义中,永远不相交的直线与垂直线也不存在交点。

也就是说,如果两条直线平行,它们与同一直线垂直的线段也不存在交点。

3. 平行线与垂直线的关系可以通过平行线的斜率与垂直线的斜率的乘积来判断。

如果两条直线的斜率互为相反数,那么它们互相垂直;如果两条直线的斜率相等,且不为零,则它们互相平行。

4. 平行线和垂直线在建筑学、制图学和工程学等领域中有着重要的应用。

例如,在设计建筑物的时候,我们需要确保墙壁之间是平行的,地板与墙壁相交的地方是垂直的,这样才能保证结构的稳定性和美观性。

总结:平行线与垂直线是几何学中的两种重要线性关系。

它们分别具有自己的定义和性质,同时也存在一定的关系。

认识平行和垂直线的关系

认识平行和垂直线的关系

认识平行和垂直线的关系在数学中,平行和垂直线是重要的概念。

它们是直线之间特殊的关系,对于几何学和应用数学有着广泛的应用。

在本文中,我将介绍平行和垂直线的定义以及它们之间的关系。

1. 平行线的定义平行线是指在同一平面上,永远不相交的直线。

这意味着平行线之间的距离是恒定的,无论它们有多长。

要判断两条直线是否平行,我们可以使用两种方式:- 圆规法:使用两个固定的直线将圆规的两只脚放置在其中一条直线上,然后固定住,再转动圆规,如果另一只脚的位置正好与另一条直线相切,那么这两条直线就是平行的。

- 角度法:如果两条直线被一条横穿它们的第三条直线所截,形成的相对内角相等(锐角对应锐角,直角对应直角,钝角对应钝角),那么这两条直线是平行的。

2. 垂直线的定义垂直线是指两条直线相交时,所形成的等于90度(直角)的角。

两条垂直线相交后,会形成四个相互垂直的直角。

判断两条直线是否垂直的方法有:- 角度法:如果两条直线形成的相对内角之和等于90度,那么它们是垂直的。

- 斜率法:如果两条直线的斜率的乘积为-1,那么它们是垂直的。

斜率是指直线上两点之间的纵坐标差与横坐标差之比。

3. 平行线和垂直线的关系平行线和垂直线是互斥的概念,即两条直线只能是平行的或垂直的,不能既平行又垂直。

具体关系如下:- 平行线之间没有交点,而垂直线在交点处形成直角。

- 如果两条直线同时与第三条直线平行,那么这两条直线也是平行的。

- 如果两条直线分别与第三条直线垂直,那么这两条直线也是垂直的。

- 平行线和垂直线可以在平面几何中应用到各种问题中,例如求解三角形的性质、计算线段的长度等。

总结:平行线和垂直线是几何学中重要的概念。

平行线指的是在同一平面上不相交的直线,垂直线指的是形成直角的两条交叉直线。

通过角度和斜率的方法,可以准确地判断两条直线之间的关系。

平行线和垂直线在数学和应用数学中有广泛的应用,对于解决各种几何问题非常有帮助。

熟练掌握平行线和垂直线的概念以及它们之间的关系,有助于提高数学问题的解题能力。

平行和垂直线的关系和应用

平行和垂直线的关系和应用

平行和垂直线的关系和应用在几何学中,平行和垂直线是两个基本的概念,并且它们在现实生活中有着广泛的应用。

在本文中,我们将探讨平行和垂直线的定义、性质以及它们在几何学和实际问题中的具体应用。

一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内永不相交的直线。

形式上,假设有两条直线l₁和l₂,如果l₁和l₂之间没有共同的点,那么我们可以称它们为平行线,记作l₁ // l₂。

平行线有以下几个重要性质:1. 平行线之间的距离是始终相等的。

也就是说,设有一条平行线l₃与l₁、l₂分别相交于点A和B,那么点A到l₂的距离等于点B到l₁的距离。

2. 平行线对应的内角相等,即对于平行线l₁ // l₂,当一条直线与l₁和l₂相交时,对应的内角相等。

3. 平行线之间不存在交点。

这是平行线定义的基本特点。

二、垂直线的定义和性质垂直线是指在同一个平面内成直角的两条线段,也可以理解为互相垂直的直线。

形式上,如果有两条直线l₃和l₄,当l₃和l₄的夹角为90°时,我们可以称它们为垂直线,记作l₃⊥l₄。

垂直线的重要性质如下:1. 垂直线之间的夹角为90°。

这是垂直线的定义特点,无论两条直线在何种交叉形式下,只要它们的夹角等于90°,就可以称之为垂直线。

2. 垂直线上的任意两条相交线段互相垂直。

也就是说,在同一条垂直线上的两个线段,无论它们在何种形式下相交,都满足互相垂直的条件。

三、平行线和垂直线的应用1. 平行线的应用:平行线在几何学中有着广泛的应用,特别是在计算几何和图形的设计中。

以下是一些常见的应用场景:- 制作等距离线:在地图的绘制和工程设计中,我们经常使用平行线来表示等距离线,以便更好地展示地形或者设计的特定尺寸。

- 各种线段的相似性判断:利用平行线的性质,我们可以判断两个或多个线段是否相似,并进一步应用到比例计算和图形设计中。

- 判断角的关系:通过分析平行线和交叉线的角关系,我们可以判断角的相等、不等和大小关系。

平行线与垂直线的关系

平行线与垂直线的关系

平行线与垂直线的关系平行线与垂直线是几何学中十分重要的概念,它们在我们的日常生活中起着重要的作用。

了解平行线和垂直线之间的关系是理解几何学的基础,也是解决各种几何问题的关键。

本文将详细介绍平行线和垂直线的概念以及它们之间的关系。

一、平行线的概念平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。

换句话说,平行线之间的距离始终保持相等,可以永远保持平行关系。

平行线的符号表示为“||”。

二、垂直线的概念垂直线是指两条直线相交且相交处的角度为90度的线。

两条直线相交的点称为垂足。

垂直线的符号表示为“⊥”。

三、平行线和垂直线的关系1. 平行线和平行线之间的关系平行线之间不存在任何夹角,它们始终保持固定的平行距离。

通过这一特点,我们可以得到平行线的一些性质:(1)平行线具有相等的斜率。

斜率是指直线上各点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

因此,如果两条直线的斜率相等,则它们是平行线。

(2)平行线具有相等的倾斜角。

倾斜角是指与水平线之间的夹角,因此如果两条直线的倾斜角相等,则它们是平行线。

(3)平行线具有相同的方向。

根据线的方向,我们可以判断两条线是否平行。

如果两条线沿着相同的方向延伸,则它们是平行线。

2. 平行线和垂直线之间的关系垂直线是指两条直线相交且相交处的角度为90度的线。

根据垂直线的性质,我们可以得到平行线和垂直线之间的关系:(1)如果两条直线互相垂直,则它们不能同时是平行线。

换句话说,如果两条直线中有一条直线是平行线,那么它们之间不可能存在垂直关系。

(2)若一条直线与平行线中的一条相交而另一条垂直于这条直线,则这两条直线互相垂直。

这就是垂直线的定义。

(3)如果两条直线互相垂直,并且一条直线与平行线中的一条相交,那么它与另一条平行线也垂直。

通过上述论述,我们可以看出平行线和垂直线之间存在着一种相互排斥的关系。

平行线不会相交,垂直线则是会相交的,相交的角度为90度。

了解平行线和垂直线的关系对于解决几何学问题十分重要。

平行与垂直认识平行和垂直线的关系

平行与垂直认识平行和垂直线的关系

平行与垂直认识平行和垂直线的关系平行与垂直: 认识平行和垂直线的关系在几何学中,平行和垂直是两个重要的概念,它们描述了线之间的关系。

平行是指两条线在平面上永不相交,而垂直则是指两条线交于直角。

本文将深入探讨平行和垂直线的关系,并解释它们在几何学和实际生活中的应用。

一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面上,永远不会相交的两条直线。

根据平行线的定义,我们了解到以下几个性质:1. 平行线的斜率相等:斜率是用来描述线的倾斜程度的数值。

当两条线的斜率相等时,它们就是平行的。

2. 平行线的内角和对应角相等:当一条直线与两条平行线相交时,对应的内角和内角和对应角是相等的。

这个性质在解题中经常被用到。

3. 平行线的转角和外角也相等:两条平行线之间的转角和外角也是相等的。

这个性质可以帮助我们解决很多关于平行线的问题。

二、垂直线的定义和性质垂直线是指两条线交于直角的现象。

观察下面的例子:(示意图省略)在这个图中,线段AC和线段BD交于直角,因此我们可以说线段AC垂直于线段BD。

根据垂直线的定义,我们可以得出以下几个性质:1. 垂直线的斜率互为倒数:当两条直线互相垂直时,它们的斜率是互为倒数的关系。

2. 垂直线的内角和为180度:当两条直线相互垂直时,它们的内角和为180度。

这个性质是解决垂直线问题时常用的推理方法。

三、平行和垂直的应用平行和垂直的概念在几何学和实际生活中都有着广泛的应用。

1. 平行线的应用:平行线的概念在建筑设计、道路规划等方面起着重要的作用。

例如,在建造房屋时,我们需要确保墙壁是平行的,以保证房屋的结构稳定。

在道路设计中,我们也需要保证车道是平行的,以确保车辆安全通行。

2. 垂直线的应用:垂直线的概念同样在建筑和测量领域中非常重要。

例如,在建造高楼大厦时,我们需要确保墙壁和地板之间是垂直的,以保证建筑物的稳定性。

在测量中,我们使用垂直仪器来确定垂直方向,以确保测量结果的准确性。

总结起来,平行和垂直线的关系在几何学以及日常生活中都扮演着重要的角色。

线段和直线的垂直与平行关系

线段和直线的垂直与平行关系

线段和直线的垂直与平行关系在几何学中,线段和直线是最基本的几何概念之一。

线段指的是两个端点之间的有限长度的线段,而直线则是没有端点且延伸无限远的线段。

在几何学中,线段和直线之间存在着垂直和平行的关系,这些关系在解决几何问题和实际应用中非常重要。

本文将探讨线段和直线之间的垂直与平行关系,以及它们的性质和特点。

一、垂直关系垂直关系指的是线段和直线之间形成90度角的情况。

在几何学中,两个线段或直线垂直的充分必要条件是它们的斜率之积为-1。

斜率是指直线的倾斜程度,可以表示为两点之间纵坐标差与横坐标差的比值。

当两个线段或直线的斜率之积等于-1时,它们互为垂直关系。

例如,考虑直线y = 2x和直线y = -1/2x + 3。

第一条直线的斜率为2,第二条直线的斜率为-1/2。

它们的斜率之积为2*(-1/2) = -1,因此这两条直线垂直。

当我们绘制这两条直线时,它们形成90度的角度。

垂直关系可以应用于许多几何问题中。

例如,在平面几何中,判定两条线段是否垂直可以帮助我们确定一个点是否在另一条线段的垂足上。

此外,在建筑设计中,垂直线段和直线常被用于确定建筑物的垂直高度和水平长度。

二、平行关系平行关系指的是线段和直线在同一平面上永远不会相交的情况。

在几何学中,平行关系的充分必要条件是两个直线或线段的斜率相等且不相交。

当两个线段或直线的斜率相等且没有交点时,它们互为平行关系。

例如,考虑直线y = 2x和直线y = 2x + 3。

这两条直线具有相同的斜率(都为2),且它们永远不会相交。

因此,这两条直线是平行的。

当我们绘制这两条直线时,它们始终保持相同的间隔和方向。

平行关系也在实际应用中起着重要作用。

在建筑设计中,平行线段和直线常常被用于确定建筑物的平行边界和方位。

在电路设计中,平行导线的安排可以减少电流干扰和信号衰减。

此外,在航空航天领域,平行的轨道和航线可以确保航行安全和轨迹控制。

综上所述,线段和直线之间的垂直与平行关系在几何学和实际应用中具有重要意义。

平行、垂直的综合问题

平行、垂直的综合问题

平面图形折叠成空间几何体问题
[典例引领] (2016· 高考全国卷Ⅱ ) 如图,菱 形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E、F 分别在 AD,CD 上,AE =CF, EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置. (1)证明:AC⊥HD′; 5 (2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD′=2 2,求五棱锥 4 D′­ABCFE 的体积.
从而 P PABCD 的侧面积为 1 1 1 1 2 PA· PD+ PA· AB+ PD· DC+ BC sin 60°=6+2 3. 2 2 2 2
(1)几何体的体积 柱体的体积 V=S 底·h. 1 锥体的体积 V= S 底·h. 3 (2)几何体的表面积 直棱柱的侧面积 S 侧=C 底· l, 其他几何体一般要对各个侧面、 底面逐个分析求解面积,最后求和.
由(1)知,AC⊥HD′, 又 AC⊥BD,BD∩HD′=H, 所以 AC⊥平面 BHD′, 于是 AC⊥OD′. 又由 OD′⊥OH,AC∩OH=O, 所以 OD′⊥平面 ABC.
EF DH 9 又由 = 得 EF= . AC DO 2 1 1 9 69 五边形 ABCFE 的面积 S= ×6×8- × ×3= . 2 2 2 4 1 69 23 2 所以五棱锥 D′­ABCFE 的体积 V= × ×2 2= . 3 4 2
立体几何中的探索性问题
[典例引领] 如图, 直三棱柱 ABCA1B1C1 中, D, E 分别是棱 BC,AB 的中点,点 F 在棱 CC1 上,已知 AB=AC,AA1=3,BC= CF=2. (1)求证:C1E∥平面 ADF. (2)设点 M 在棱 BB1 上,当 BM 为何值时,平面 CAM⊥平面 ADF.
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学法指导: 立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来,高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养 题目起点低,步步升高,给不同层次的学生有发挥能力的余地 大题综合性强,有几何组合体中深层次考查空间的线面关系 因此,高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上,以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手,突出数学思想方法在解题中的指导作用,并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法一、领悟解题的基本策略思想高考改革稳中有变 运用基本数学思想如转化,类比,函数观点仍是考查中心,选择好典型例题,在基本数学思想指导下,归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的,学生通过熟练运用,逐步内化为自己的经验,解决一般基本数学问题就会自然流畅二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托,点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来 在具体的问题中,证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面 这个辅助平面的获取正是解题的关键所在,通过对这个平面的截得,延展或构造,纲举目张,问题就迎刃而解了三、重视模型在解题中的应用学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系,从而培养空间想象能力 而数学问题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系 它引导我们以模型为依据,找出起关键作用的一些关系或数量,对比数学问题中题设条件,突出特性,设法对原图形补形,拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型,利用其特征规律获取优解关于垂直与平行的问题高考要求垂直与平行是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样 本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质,并能利用它们解决一些问题 一.重难点归纳垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系 1 平行转化 线线平行 线面平行 面面平行2 垂直转化 线线垂直 线面垂直 面面垂直每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的例如 有两个平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直二.典型题例示范讲解例1两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ,M ∈AC ,N ∈FB ,且AM =FN ,求证 MN ∥平面BCE 命题意图 本题主要考查线面平行的判定,面面平行的判定与性质,以及一些平面几何的知识 知识依托 解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行,即线(内)∥线(外)⇒线(外)∥面 或转化为证两个平面平行错解分析 证法二中要证线面平行,通过转化证两个平面平行,正确的找出MN 所在平面是一个关键 技巧与方法 证法一利用线面平行的判定来证明 证法二采用转化思想,通过证面面平行来证线面平行 证法一 作MP ⊥BC ,NQ ⊥BE ,P 、Q 为垂足,则MP ∥AB ,NQ ∥AB ∴MP ∥NQ ,又AM =NF ,AC =BF , ∴MC =NB ,∠MCP =∠NBQ =45°∴Rt △MCP ≌Rt △NBQ∴MP =NQ ,故四边形MPQN 为平行四边形 ∴MN ∥PQ ∵PQ ⊂平面BCE ,MN 在平面BCE 外, ∴MN ∥平面BCE证法二 如图过M 作MH ⊥AB 于H ,则MH ∥BC ,∴ABAH AC AM = 连结NH ,由BF =AC ,FN =AM ,得ABAHBF FN =∴ NH//AF//BE由MH//BC, NH//BE 得:平面MNH//平面BCEP∴MN ∥平面BCE例2在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中,底面是等腰三角形,AB =AC ,侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC (1)若D 是BC 的中点,求证 AD ⊥CC 1;(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ,若AM =MA 1,求证 截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ; (3)AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗?请你叙述判断理由 命题意图 本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质 知识依托 线面垂直、面面垂直的判定与性质错解分析 (3)的结论在证必要性时,辅助线要重新作出技巧与方法 本题属于知识组合题类,关键在于对题目中条件的思考与分析,掌握做此类题目的一般技巧与方法,以及如何巧妙作辅助线(1)证明 ∵AB =AC ,D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC ∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ,∴AD ⊥侧面BB 1C 1C∴AD ⊥CC 1(2)证明 延长B 1A 1与BM 交于N ,连结C 1N∵AM =MA 1,∴NA 1=A 1B 1∵A 1B 1=A 1C 1,∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1∴C 1N ⊥C 1B 1∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ,∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C(3)解 结论是肯定的,充分性已由(2)证明,下面证必要性 过M 作ME ⊥BC 1于E ,∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ,又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ∥AD ,∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ,∴AM ∥DE ∵CC 1⊥AM ,∴DE ∥CC 1∵D 是BC 的中点,∴E 是BC 1的中点∴AM =DE =21211=CC AA 1,∴AM =MA 1 例3 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,A 1C 1=B 1C 1=2,D 、D 1分别是AB 、A 1B 1的中点,平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1,异面直线AB 1和C 1B 互相垂直(1)求证 AB 1⊥C 1D 1; (2)求证 AB 1⊥面A 1CD ;(3)若AB 1=3,求直线AC 与平面A 1CD 所成的角(1)证明 ∵A 1C 1=B 1C 1,D 1是A 1B 1的中点, ∴C 1D 1⊥A 1B 1于D 1,又∵平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1, ∴C 1D 1⊥平面A 1B 1BA , 而AB 1⊂平面A 1ABB 1,∴AB 1⊥C 1D 1 (2)证明 连结D 1D ,∵D 是AB 中点,∴DD 1CC 1,∴C 1D 1∥CD ,由(1)得CD ⊥AB 1,又∵C 1D 1⊥平面A 1ABB 1,C 1B ⊥AB 1, 由三垂线定理得BD 1⊥AB 1,又∵A 1D ∥D 1B ,∴AB 1⊥A 1D 而CD ∩A 1D =D ,∴AB 1⊥平面A 1CD (3)解 由(2)AB 1⊥平面A 1CD 于O ,连结CO 1得∠ACO 为直线AC 与平面A 1CD 所成的角,∵AB 1=3,AC =A 1C 1=2,∴AO =1,∴sin OCA =21=AC AO , ∴∠OCA =π 三.学生巩固练习1 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A 1到截面AB 1D 1的距离是( )A38 B83 C34 D 43 2 在直二面角α—l —β中,直线a ⊂α,直线b ⊂β,a 、b 与l 斜交,则( )C11A a 不和b 垂直,但可能a ∥bB a 可能和b 垂直,也可能a ∥bC a 不和b 垂直,a 也不和b 平行D a 不和b 平行,但可能a ⊥b 3 设X 、Y 、Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是_________(填序号)①X 、Y 、Z 是直线 ②X 、Y 是直线,Z 是平面 ③Z 是直线,X 、Y 是平面 ④X 、Y 、Z 是平面 4 设a ,b 是异面直线,下列命题正确的是_________ ①过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 ②过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 ③过a 一定可以作一个平面与b 垂直 ④过a 一定可以作一个平面与b 平行5 如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是矩形,侧棱P A 垂直于底面,E 、F 分别是AB 、PC 的中点 (1)求证 CD ⊥PD ;(2)求证 EF ∥平面P AD ;(3)当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时,直线EF ⊥平面PCD ?6 如图,在正三棱锥A —BCD 中,∠BAC =30°,AB =a ,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H(1)判定四边形EFGH 的形状,并说明理由(2)设P 是棱AD 上的点,当AP 为何值时,平面PBC ⊥平面EFGH ,请给出证明7 如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等,D 、E 分别是CC 1和AB 1的中点,点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3 (1)若M 为AB 中点,求证 BB 1∥平面EFM ; (2)求证 EF ⊥BC ;(3)求二面角A 1—B 1D —C 1的大小8 如图,已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°, (1)证明 C 1C ⊥BD ;(2)假定CD =2,CC 1=23,记面C 1BD 为α,面CBD 为β,求二面角α—BD —β的平面角的余弦值;(3)当1CC CD 的值为多少时,可使A 1C ⊥面C 1BD ?参考答案1 解析 如图,设A 1C 1∩B 1D 1=O 1,∵B 1D 1⊥A 1O 1,B 1D 1⊥AA 1,∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1,故平面AA 1O 1⊥AB 1D 1,交线为AO 1,在面AA 1O 1内过A 1作A 1H ⊥AO 1于H ,则易知A 1H 长即是点A 1到平面AB 1D 1的距离,在Rt △A 1O 1A 中,A 1O 1=2,AO 1=32,由A 1O 1·A 1A =h ·AO 1,可得A 1H 4 答案 C2 解析 如图,在l 上任取一点P ,过P 分别在α、β内作a ′∥a ,b ′∥b ,在a ′上任取一点A ,过A 作AC ⊥l ,垂足为C ,则AC ⊥β,过C 作CB ⊥b ′交b ′于B ,连AB ,由三垂线定理知AB ⊥b ′,∴△APB 为直角三角形,故∠APB 为锐角 答案 C3 解析 ①是假命题,直线X 、Y 、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例,②③是真命题,1A1C1D1④是假命题,平面X 、Y 、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例 答案 ②③ 4 ④5 证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ,∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影,∵CD ⊂平面ABCD 且CD ⊥AD ,∴CD ⊥PD (2)取CD 中点G ,连EG 、FG ,∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点,∴EG ∥AD ,FG ∥PD ∴平面EFG ∥平面P AD ,故EF ∥平面P AD(3)解 当平面PCD 与平面ABCD 成45°角时,直线EF ⊥面PCD 证明 G 为CD 中点,则EG ⊥CD ,由(1)知FG ⊥CD ,故∠EGF 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角 即∠EGF =45°,从而得∠ADP =45°,AD =AP由Rt △P AE ≌Rt △CBE ,得PE =CE又F 是PC 的中点,∴EF ⊥PC ,由CD ⊥EG ,CD ⊥FG ,得CD ⊥平面EFG ,CD ⊥EF 即EF ⊥CD ,故EF ⊥平面PCD6 (1)证明 ∵AD//面EFGH,面ACD ∩面EFGH =HG ,,AD ⊂面ACD ∴ AD//HG.同理EF ∥FG ,∴EFGH 是平行四边形∵A —BCD 是正三棱锥,∴A 在底面上的射影O 是△BCD 的中心, ∴DO ⊥BC ,∴AD ⊥BC ,∴HG ⊥EH ,四边形EFGH 是矩形(2)作CP ⊥AD 于P 点,连结BP ,∵AD ⊥BC ,∴AD ⊥面BCP∵HG ∥AD ,∴HG ⊥面BCP ,HG ⊂面EFGH 面BCP ⊥面EFGH ,在Rt △APC 中,∠CAP =30°,AC =a ,∴AP =23a 7 (1)证明 连结EM 、MF ,∵M 、E 分别是正三棱柱的棱AB 和AB 1的中点,∴BB 1∥ME ,又BB 1⊄平面EFM ,∴BB 1∥平面EFM(2)证明 取BC 的中点N ,连结AN 由正三棱柱得 AN ⊥BC , 又BF ∶FC =1∶3,∴F 是BN 的中点,故MF ∥AN , ∴MF ⊥BC ,而BC ⊥BB 1,BB 1∥ME∴ME ⊥BC ,由于MF ∩ME =M ,∴BC ⊥平面EFM , 又EF 平面EFM ,∴BC ⊥EF(3)解 取B 1C 1的中点O ,连结A 1O 知,A 1O ⊥面BCC 1B 1,由点O 作B 1D 的垂线OQ ,垂足为Q ,连结A 1Q ,由三垂线定理,A 1Q ⊥B 1D ,故∠A 1QD 为二面角A 1—B 1D —C 的平面角,易得∠A 1QO =arctan 15 8 (1)证明 连结A 1C 1、AC ,AC 和BD 交于点O ,连结C 1O ,∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,BC =CD又∵∠BCC 1=∠DCC 1,C 1C 是公共边,∴△C 1BC ≌△C 1DC ,∴C 1B =C 1D ∵DO =OB ,∴C 1O ⊥BD ,但AC ⊥BD ,AC ∩C 1O =O ∴BD ⊥平面AC 1,又C 1C ⊂平面AC 1,∴C 1C ⊥BD (2)解 由(1)知AC ⊥BD ,C 1O ⊥BD ,∴∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角在△C 1BC 中,BC =2,C 1C =23,∠BCC 1=60°,∴C 1B 2=22+(23)2-2×2×23×cos60°413∵∠OCB =30°,∴OB =21,BC =1,C 1O =23,即C 1O =C 1C作C 1H ⊥OC ,垂足为H ,则H 是OC 中点且OH =23,∴cos C 1OC =33(3)解 由(1)知BD ⊥平面AC 1,∵A 1O ⊂平面AC 1,∴BD ⊥A 1C ,当1CC CD=1时,平行六面体的六个面是全等的菱形,同理可证BC 1⊥A 1C ,又∵BD ∩BC 1=B ,∴A 1C ⊥平面C 1BD。

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