初三数学中考复习专题方程及不等式的应用51306
中考数学复习攻略 专题6 方程与不等式的实际应用(含答案)
专题六 方程与不等式的实际应用解决方程与不等式的实际应用题的一般步骤：①认真审题，理解题意，弄清题中的已知量、未知量以及它们之间的关系；②设未知数(合理地选择未知数是解题的关键)；③列方程(组)或不等式；④解方程(组)或不等式(注意：解分式方程时必须要有“验根”这一步)；⑤检验，对所求结果进行检验，看是否符合题意；⑥作答．解决方程与不等式的实际应用题时，首先要认真审题，从题中找出已知量与未知量之间的关系，然后根据题意列出关系式，进而解决相关问题．在解决问题的过程中要注意方程与不等式的解是否符合题意，涉及函数要检验自变量的取值范围，当题干中出现方案设计问题或最值问题时，往往需要根据题干中的已知条件和函数的增减性来解决方案设计或最值问题．中考重难点突破一次方程(组)的实际应用【例1】(2021·陕西中考)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【解析】设这种服装每件的标价是x 元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”列出方程，然后解方程即可求解．【解答】解：设这种服装每件的标价是x 元．根据题意，得10×0.8x ＝11(x －30).解得x ＝110.答：这种服装每件的标价为110元．1．现有一条长度为359 mm 的铜管料，把它锯成长度分别为39 mm 和29 mm 的两种不同规格的小铜管(要求没有余料)．每锯一次损耗1 mm 的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39 mm 的小铜管__6__段，29 mm 的小铜管__4__段．2．某中学组织七年级全体学生参加社会实践，若只调配45座客车若干辆，则有15人没有座位；若只调配30座客车，则用车数量将增加3辆，且空出15个座位．(1)该学校七年级总共有多少学生？(2)若同时调配45座和30座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？解：(1)设只调配45座客车x 辆，则该学校七年级共有学生(45x ＋15)人，只调配30座客车需要(x ＋3)辆．由题意，得30(x ＋3)－(45x ＋15)＝15.解得x ＝4.∴45x ＋15＝45×4＋15＝180＋15＝195.答：该学校七年级共有学生195人；(2)设需要调配45座客车m 辆，30座客车n 辆，由题意，得45m ＋30n ＝195.∴n ＝13－3m 2. 又∵m ，n 均为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 答：需调配45座客车1辆，30座客车5辆或调配45座客车3辆，30座客车2辆．分式方程的实际应用【例2】(2021·常州中考)为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20 t 水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【解析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t ，根据“20 t 水可以比原来多用5天”列出方程并解答．【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t.根据题意，得20x －202x＝5. 解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意．答：该景点在设施改造后平均每天用水2 t ．3．(2021·徐州中考)某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？解：设该商品打折前每件x 元，则打折后每件0.8x 元．根据题意，得400x ＋2＝4000.8x. 解得x ＝50.经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．答：该商品打折前每件50元．方程与不等式的综合应用【例3】某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．(1)求每副围棋和象棋各是多少元？(2)若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？【解析】(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元，根据“420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量”列出方程求解即可；(2)设购买围棋m 副，则购买象棋(40－m )副，根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元．根据题意，得420x －8＝756x .解得x ＝18. 经检验，x ＝18是原方程的解，且符合题意．∴x －8＝10.答：每副围棋18元，每副象棋10元；(2)设该校购买m 副围棋，则购买(40－m )副象棋．根据题意，得18m ＋10(40－m )≤600.解得m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的最大值是25.答：该校最多可再购买25副围棋．4．(2021·玉林中考)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A ，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100 t ，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50度，A ，B 焚烧炉每天共发电55 000度．(1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉各发电多少度？(2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉的发电量分别增加a %和2a %，则A ，B 焚烧炉每天共发电至少增加(5＋a )%，求a 的最小值．解：(1)设焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电m 度，B 焚烧炉发电n 度．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝50，100（m ＋n ）＝55 000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝300，n ＝250.答：焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电300度，B 发焚烧炉发电250度；(2)由题意，得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A 焚烧炉发电300(1＋a %)度，则B 焚烧炉发电250(1＋2a %)度，由题意，得100×300(1＋a %)＋100×250(1＋2a %)≥55 000[1＋(5＋a )%].整理，得5a ≥55.解得a ≥11.∴a 的最小值为11.一元二次方程的实际应用【例4】(2021·烟台中考)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？【解析】(1)根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)设该商品需要打a 折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件． 由题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20.整理，得x 2－110x ＋3 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝60(舍去).答：每件售价应定为50元；(2)设该商品需要打a 折销售．由题意，得62.5×a 10≤50. 解得a ≤8.答：该商品至少需打8折销售．5．列方程(组)解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m 2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一面靠墙，墙长35 m ，另外三面用69 m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m 宽的门(不包括篱笆)．求这个茶园的长和宽．解：设茶园AB 边的长为x m ，则BC 边的长为(69＋1－2x ) m ．根据题意，得x (69＋1－2x )＝600.整理，得x 2－35x ＋300＝0.解得x 1＝15，x 2＝20.当x ＝15时，70－2x ＝40＞35，不符合题意，舍去；当x ＝20时，70－2x ＝30＜35，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30 m ，20 m ．6．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1 200 m 2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为50 m ，宽为40 m.(1)求四周通道的宽度；(2)某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．解：(1)设四周通道的宽度为x m ，则停车场的长为(50－2x ) m ，宽为(40－2x ) m.由题意，得(50－2x )(40－2x )＝1 200.整理，得x 2－45x ＋200＝0.解得x 1＝5，x 2＝40.当x ＝5时，40－2x ＝40－2×5＝30，符合题意；当x ＝40时，40－2x ＝40－2×40＝－40＜0，不符合题意，舍去．答：四周通道的宽度为5 m ；(2)设每次降价的百分率为a .由题意，得80(1－a )2＝51.2.解得a 1＝0.2＝20%，a 2＝1.8(不合题意，舍去).答：每次降价的百分率为20%.中考专题过关1.(2021·吉林中考)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55 km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，y ＝9x －4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.9，y ＝49.1. 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1 km 和5.9 km.2．(2021·郴州中考)“七·一”建党节前夕，某校决定购买A ，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A 奖品比B 奖品每件多25元，预算资金为1 700元，其中800元购买A 奖品，其余资金购买B 奖品，且购买B 奖品的数量是A 奖品的3倍．(1)求A ，B 奖品的单价；(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A 奖品的资金不少于720元，A ，B 两种奖品共100件，求购买A ，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？解：(1)设A 奖品的单价为x 元，则B 奖品的单价为(x －25)元．由题意，得800x ×3＝1 700－800x －25. 解得x ＝40.经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意．∴x －25＝15.答：A 奖品的单价为40元，B 奖品的单价为15元；(2)设购买A 奖品的数量为m 件，则购买B 奖品的数量为(100－m )件．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40×0.8×m ≥720，40×0.8×m ＋15×0.8×（100－m ）≤1 700. 解得22.5≤m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的值为23，24，25.∴有三种方案：①购买A 奖品23件，B 奖品77件；②购买A 奖品24件，B 奖品76件；③购买A 奖品25件，B 奖品75件．3．(2021·朝阳中考)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？(3)设商场销售这种商品每天获利w (元)，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0).由所给函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝70，35k ＋b ＝50. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋120(20≤x ≤38)；(2)根据题意，得(x －20)(－2x ＋120)＝600.整理，得x 2－80x ＋1 500＝0.解得x ＝30或x ＝50(不合题意，舍去).答：每件商品的售价应定为30元；(3)∵y ＝－2x ＋120，∴w ＝(x －20)y＝(x －20)(－2x ＋120)＝－2x 2＋160x －2 400＝－2(x －40)2＋800.∵－2<0，20≤x ≤38，∴当x ＝38时，w 最大＝792.∴当每件商品的售价定为38元时，每天销售利润最大，最大利润是792元．。
中考数学专题06 方程与不等式的实际运用【考点精讲】(解析版)
题型1：工程问题【例1】（2021·辽宁丹东市·中考真题）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米． 【分析】根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天改造的道路长度是x 米， 列方程得：， 解得：x =80． 80-20=60．答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米． 【例2】（2021·山东泰安市·中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂． （1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？ 【答案】（1）30人；（2）39天 【分析】（1）设当前参加生产的工人有人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于的方程，求解即可；（2）设还需要生产天才能完成任务．根据前面4天完成的工作量＋后面天完成的工作量＝760列出关于的方程，求解即可． 【详解】40030020x x =-x x y y y 专题06 方程与不等式的实际运用解：（1）设当前参加生产的工人有x 人，依题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：当前参加生产的工人有30人．（2）每人每小时的数量为（万剂）． 设还需要生产y 天才能完成任务，依题意得：， 解得：，（天） 答：该厂共需要39天才能完成任务．．（2021·北京中考真题）某企业有两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为______________． 【答案】2∶3 【分析】设分配到生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5-x ）吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．【详解】解：设分配到生产线的吨数为x 吨，则分配到B 生产线的吨数为（5-x ）吨，依题意可得：，解得：，∴分配到B 生产线的吨数为5-2=3（吨），16158(10)10x x=+30x =30x =168400.05÷÷=41540100.05760y ⨯+⨯⨯⨯=35y =35439+=,A B A a ()41a +B b ()23b +,A B A B A m B n mn12A ()41253x x +=-+()()421233m n ++=++A ()41253x x +=-+2x =∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料， ∵加工时间相同，∴， 解得：， ∴； 故答案为，．题型2：行程问题【例3】（2021·湖南中考真题）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的． （1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；（2）千米． 【分析】（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，从而可得某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟，再根据“路程速度时间”、“开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得；（2）先求出甲、乙两个工程队每天对其施工的长度，再设甲工程队后期每天施工千米，根据“整个工程提早3天以上（含3天）完成”建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，则某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟， A B A ()2m +B ()3n +()()421233m n ++=++12m n =12m n =2:31213300.85x 1330x =⨯y x 1330x由题意得：， 解得，则（千米），（千米）， 答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米； （2）由题意得：甲工程队每天对其施工的长度为（千米）， 乙工程队每天对其施工的长度（千米）， 设甲工程队后期每天施工千米， 则， 解得， 即，答：甲工程队后期每天至少施工千米．【例4】（2021·内蒙古中考真题）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍． （1）求小刚跑步的平均速度；（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．【答案】（1）小刚跑步的平均速度为150米/分；（2）小刚不能在上课前赶回学校，见解析 【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较即可． 【详解】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x 米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x 米/分， 根据题意，得， 解这个方程，得，1360164030x x ⨯-=4x =16464⨯=1313606041043030x ⨯=⨯⨯=7647794010⨯=+9649794010⨯=+y 979(4053)(64(5101010y --+≥-+⨯1720y ≥0.85y ≥0.85180018004.51.6x x+=150x =经检验，是所列方程的根， 所以小刚跑步的平均速度为150米/分．（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分， 则小刚跑步所用时间为（分）， 骑自行车所用时间为（分）， 在家取作业本和取自行车共用了3分，所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要（分）． 因为，所以小刚不能在上课前赶回学校．1．（山东省淄博市2021年中考数学试题）甲、乙两人沿着总长度为10km 的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为km/h x ，则下列方程中正确的是（ ）A ．1010121.2x x -= B ．10100.21.2x x -= C ．1010121.2x x -= D ．10100.21.2x x-= 【答案】D 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】 解：由题意得：10100.21.2x x-=； 故选D ．题型3：历史文献问题【例5】（2021·四川成都市·中考真题）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x ，y ，则可列方程组为（ ）150x =180012150=12 4.57.5-=127.5322.5++=22.520>A．15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．15022503x yy x⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．2502503x yx x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩D．2502503x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩【答案】A【分析】根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：依题意，得：15022503x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故选：A．【例6】（2021·浙江宁波市·中考真题）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（）A．510330x yx y+=⎧⎨+=⎩B．531030x yx y+=⎧⎨+=⎩C．305103x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩D．305310x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩【答案】A【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：依题意，得：5 10330 x yx y+=⎧⎨+=⎩．故选：A．1．（2021·湖南永州市·中考真题）中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数､物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（）A ．9465x y y x -=⎧⎨-=⎩B ．9465x y x y -=⎧⎨-=⎩C ．9465y x y x -=⎧⎨-=⎩D ．9465y x x y -=⎧⎨-=⎩【答案】A 【分析】设组团人数为x 人，物价为y 元，根据等量关系“每人出9元，则多了4元；每人出6元，则少了5元”列出方程组即可． 【详解】设组团人数为x 人，物价为y 元，由题意可得，9465x y y x -=⎧⎨-=⎩． 故选A ．2．（2021·辽宁大连市·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹每人六竿多十四，每人八竿恰齐足”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知与多少人和竹竿每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”若设有牧童x 人，根据题意，可列方程为__________． 【答案】6x +14=8x 【分析】设有牧童x 人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，竹竿的总数不变，列出方程，即可． 【详解】解：设有牧童x 人， 根据题意得：6x +14=8x ， 故答案是：6x +14=8x ．3．（2021·湖北中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为_______尺．（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺．） 【答案】20 【分析】设绳索长x 尺，根据两种量竿的方法建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设绳索长x 尺， 由题意得：552xx -=+，解得20x =， 即绳索长20尺， 故答案为：20． 题型4：数字问题【例7】（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m ，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m 为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n ，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n ． 【答案】（1）是“共生数”， 不是“共生数”． （2）或 【分析】（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 可得：＜ 且为整数，再由“共生数”的定义可得：而由题意可得：或 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案． 【详解】解：（1）是“共生数”，不是“共生数”．（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为＜ 且为整数，所以： 由“共生数”的定义可得：3507m =372(50)+=⨯+4135m =452(13)+≠⨯+()3nF n =()F n 531364372148n =3069.n =n ,a 2,a ,b ,c 1a ≤5,09,09,b c ≤≤≤≤,,a b c 32,c a b =+9b c +=18,b c +=()5+3=21+3=8,⨯ 5313∴()6+7=1324+3=14,≠⨯ 6437∴n ,a 2,a ,b ,c 1a ∴≤5,09,09,b c ≤≤≤≤,,a b c 1000100201020100,n a b a c a b c =+++=++()22,a c a b +=+32,c a b ∴=+1023102,n a b ∴=+百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，或或当 则 则 不合题意，舍去， 当时，则当时， 此时： ，而不为偶数，舍去， 当时， 此时： ，而为偶数， 当时， 此时： ，而为偶数， 当时，则 而则不合题意，舍去，综上：满足各数位上的数字之和是偶数的或题型5：增长率问题【例8】（2021·福建中考真题）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，那么，符合题意的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】设年平均增长率为x ，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘，据此即可列方程求解． 【详解】()34134,3nF n a b ∴==+ 0b c ∴+=9b c +=18,b c +=0,b c +=0,b c ==0,a =9b c +=339,a b +=3,a b ∴+=1a =2,7,b c ==1227,n =()12274093F n ==4+0+9=132a =1,8,b c ==2148,n =()2148716,3F n ==7+1+6=143a =0,9,b c ==3069,n =()30691023,3F n ==1+0+2+3=618b c +=9,b c ==3318,a b +=3a=-()F n 2148n =3069,n =()0.6310.68x +=()20.6310.68x +=()0.63120.68x +=()20.63120.68x +=()21x +解：设年平均增长率为x ，由题意得：，故选：B ．【例9】（2021·湖南张家界市·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 【答案】（1）10%；（2）13.31万 【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x ，根据题意列出等式解出x 即可； （2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x ， 由题意得：210(1)12.1x +=， 解得：110%x =，22110x =-（不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%． （2）12.1(110%)13.31⨯+=（万人）， 答：六月份的参观人数为13.31万人．1．（2021·江苏盐城市·中考真题）劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x ，则可列方程为________． 【答案】2300(1)363x += 【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x ，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程． 【详解】解：设平均每年增产的百分率为x ；()20.6310.68x +=第一年粮食的产量为：300（1+x ）；第二年粮食的产量为：300（1+x ）（1+x ）＝300（1+x ）2； 依题意，可列方程：300（1+x ）2＝363； 故答案为：300（1+x ）2＝363．2．（2021·湖北襄阳市·中考真题）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可. 【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为x ，根据题意得：故选：C.题型6：几何图形问题【例10】如图，一幅长、宽的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的．求彩条的宽度．【答案】水平彩条宽度为，竖直彩条的宽度为． 【解析】解：设水平彩条宽度为，则竖直彩条的宽度为， 由题意得：， 整理得：，x ()2500014050x +=()2405015000x +=()2500014050x -=()2405015000x -=()25000-x =405018cm 6cm 381cm 2cm xcm 2xcm 38622868x x x x +⨯-⨯=⨯⨯21090x x -+=解得：，或 （不合题意舍去）， ∴， ，答：水平彩条宽度为，则竖直彩条的宽度为．1．《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP 15）将于2021年10月11日至24日在云南省昆明市举办．昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长35米、宽20米的矩形场地上要开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），其余部分种植草坪，草坪面积为627平方米．设小道的宽为x 米，则可列方程为________．【答案】（35−2x ）（20−x ）＝627 【详解】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35−2x ）米，宽为（20−x ）米， ∴可列方程为（35−2x ）（20−x ）＝627， 故答案为（35−2x ）（20−x ）＝627． 题型7：方案问题【例11】某制纸厂生产A 型、B 型两种不同规格的纸，需用甲、乙两种不同的原料．若甲原料成本为0.5元/m 3，乙原料成本为1元/kg ，其它相关数据如下表所示：甲原料/m 3乙原料/kg售价/元 每百张A 型纸 1 2 4 每百张B 型纸1.235（1）若生产这两种纸需用甲原料108m 3、乙原料240kg ，则这两种规格的纸各多少百张？ （2）若该厂生产A 型纸a 百张，则生产这种A 型纸的利润是多少元（用含a 的代数式表示）？（利润＝售价﹣成本）（3）该厂发现，当制纸总量超过10000百张时，需额外支出8800元的设备维护费，现该厂接到一笔订单，要求生产A 型纸的数量是B 型纸数量的2倍，若该厂希望获得13200元的利润，则有哪几种生产方案？ 【分析】（1）列方程组求解即可；（2）用代数式表示售价和成本，利用利润＝售价﹣成本得出结果；1x =9x =1x =22x =1cm 2cm（3）设未知数，利用方程，求解即可．【解答】解：（1）设生产A型纸x百张，B型纸y百张，由题意得，x+1.2y=1082x+3y=240，解得，x=60 y=40，答：生产A型纸60百张，B型纸40百张；（2）4a﹣（0.5×a×1+1×a×2）＝1.5a，答：生产这种A型纸的利润是1.5a元；（3）设生产B型纸m百张，则生产A型纸2m百张，由题意得，每百张A型纸的利润为4×2m﹣（0.5×2m×1+1×2m×2）＝3m，每百张B型纸的利润为5m﹣（1.2×m×0.5+3×m×1）＝1.4m，①当m+2m＜10000时，有3m+1.4m＝13200，解得m＝3000，则2m＝6000，即生产A型纸6000百张，则生产B型纸3000百张；②当m+2m＞10000时，有3m+1.4m＝13200+8800，解得m＝5000，则2m＝10000，即生产A型纸10000百张，则生产B型纸5000百张；因此有两种生产方案，A型纸6000百张，B型纸3000百张或A型纸10000百张，B型纸5000百张．【例12】雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆） 5 8 10汽车运费（元/辆）400 500 600 （1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆来运送．（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（3）已知三种车的总辆数为14辆，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种运费最省？【分析】（1）根据需要丙型车的辆数＝（需要运送物质的总重量﹣甲型汽车运送货物的总重量﹣丙型汽车运送货物的总重量）÷每辆丙型车的运载量，即可求出结论；（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，根据“用甲、乙两种车型运送120吨物质，共需运费8200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14﹣m﹣n）辆，根据一次正好运送货物120吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，（14﹣m﹣n）均为非负整数，即可得出各运送方案，再分别求出各运送方案所需费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）（120﹣5×8﹣8×4）÷10＝4（辆）．故答案为：4．（2）设需甲型车x辆，乙型车y辆，依题意，得：5x+8y=120400x+500y=8200，解得：x=8y=10．答：需要甲型车8辆、乙型车10辆．（3）设安排甲型车m辆、乙型车n辆、则安排丙型车（14﹣m﹣n）辆，依题意，得：5m+8n+10（14﹣m﹣n）＝120，∴n＝10−52 m．又∵m，n，（14﹣m﹣n）均为非负整数，∴m=0n=10或m=2n=5或m=4n=0，∴共有3种安排方案，方案1：安排10辆乙型车，4辆丙型车；方案2：安排2辆甲型车，5辆乙型车，7辆丙型车；方案3：安排4辆甲型车，10辆丙型车．方案1所需运费为500×10+600×4＝7400（元）；方案2所需运费为400×2+500×5+600×7＝7500（元）；方案3所需运费为400×4+600×10＝7600（元）．∵7400＜7500＜7600，∴选择方案1所需运费最省，即安排10辆乙型车，4辆丙型车所需运费最省．1．（2021·四川泸州市·中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少．【分析】（1）设1辆A 货车和1辆B 货车一次可以分别运货x 吨和y 吨，根据“3辆A 货车与2辆B 货车一次可以运货90吨，5辆A 货车与4辆B 货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得； （2）设货运公司安排A 货车m 辆，则安排B 货车n 辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m ，n 均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据． 【详解】解：（1）1辆A 货车和1辆B 货车一次可以分别运货x 吨和y 吨，根据题意可得：，解得：，答：1辆A 货车和1辆B 货车一次可以分别运货20吨和15吨； （2）设安排A 型车m 辆，B 型车n 辆， 依题意得：20m +15n =190，即， 又∵m ，n 均为正整数，∴或或， ∴共有3种运输方案，方案1：安排A 型车8辆，B 型车2辆； 方案2：安排A 型车5辆，B 型车6辆； 方案3：安排A 型车2辆，B 型车10辆． 方案1所需费用：5008+4002=4800(元)； 方案2所需费用：5005+4006=4900(元)； 方案3所需费用：5002+40010=5000(元)； ∵4800＜4900＜5000，∴安排A 型车8辆，B 型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元． 题型8：利润问题【例13】（2021·黑龙江绥化市·中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖329054160x y x y +=⎧⎨+=⎩2015x y =⎧⎨=⎩3834nm -=82m n =⎧⎨=⎩56m n =⎧⎨=⎩210m n =⎧⎨=⎩⨯⨯⨯⨯⨯⨯A B A B ,A B A B品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元． 【答案】330 【分析】设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据“购买2个A 种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个种奖品共需130元”，即可得出关于A ，B 的二元一次方程组，在设购买A 种奖品m 个，则购买B 种奖品(20-m )个，根据购买A 种奖品的数量不少于B 种奖品数量的，即可得出关于m 的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果． 【详解】解：设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元， 依题意，得：，解得： ∴A 种奖品的单价为20元，B 种奖品的单价为15元．设购买A 种奖品m 个，则购买B 种奖品 个，根据题意得到不等式： m ≥(20-m )，解得：m ≥，∴≤m ≤20， 设总费用为W ，根据题意得： W =20m +15(20-m )=5m +300， ∵k =5>0，∴W 随m 的减小而减小， ∴当m =6时，W 有最小值， ∴W =5×6+300=330元则在购买方案中最少费用是330元． 故答案为：330．【例14】（2021·山东威海市·中考真题）六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．（1）求第一次每件的进价为多少元？25B B 252410052130x y x y +=⎧⎨+=⎩2015x y =⎧⎨=⎩(20)m -25407407（2）若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？ 【答案】（1）第一次每件的进价为50元；（2）两次的总利润为1700元． 【分析】（1）设第一次每件的进价为x 元，则第二次进价为（1+20%）x ，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）根据总利润=总售价-总成本，列出算式，即可求解． 【详解】解：（1）设第一次每件的进价为x 元，则第二次进价为（1+20%）x ，根据题意得：，解得：x =50， 经检验：x =50是方程的解，且符合题意， 答：第一次每件的进价为50元；（2）（元）， 答：两次的总利润为1700元．1．（2021·山东济宁市·中考真题）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元． （1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元． 【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利（x -5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；（2）设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值． 【详解】解：（1）设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利（x -5）元，根据题意得：()300030001200%1x x +-=()706000120%5030003000170050⎛⎫⨯- ⎪ ⎪+⨯⎝=⎭+， 整理得：x 2-18x +45=0， 解得：x =15或x =3（舍去），经检验，x =15是原分式方程的解，符合实际， ∴x -5=15-5=10（元），答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，由题意得： w =（15-a ）（100+20a ）=-20a 2+200a +1500=-20（a -5）2+2000， ∵a =-20，当a =5时，函数有最大值，最大值是2000元，答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元． 题型9：一般问题【例15】（2021·江苏苏州市·中考真题）某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架．根据题意可列出的方程组是（）A ．()()111,3122x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩B ．()()111.3122x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩C ．()()111,2123x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩D ．()()111,2123x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩【答案】D 【分析】分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可． 【详解】设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架 ∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架， ∴()1112x x y =++ ∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架9004001005x x +=-。
九年级数学中考复习专题——方程与不等式(附答案)
知识点一 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤知识点二 二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．知识点三分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：第一步：，将分式方程转化为整式方程；第二步：解整式方程；第三步：．（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。
知识点四一元二次方程及其解法1．一元二次方程：只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
【中考复习】中考数学知识考点：方程与不等式的应用
【中考复习】中考数学知识考点：方程与不等式的应用中考数学知识测试场：方程式和不等式的应用1、方程与方程组一元线性方程：① 在一个等式中，只有一个未知数，该未知数的指数为1。
这种方程称为一元线性方程。
② 在方程两边同时加或减、乘或除（不是0）一个代数公式，结果仍然是一个方程。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元基本方程：一个包含两个未知数且未知数项数为1的方程称为二元基本方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适用于二元一次方程的一组未知数的值称为二元一次方程的解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
二元线性方程组的求解方法：代换消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程一）一元二次方程的二次函数关系大家已经学过二次函数(即抛物线)了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与x轴的交点。
也就是该方程的解了2）一元二次方程的求解大家知道，二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a)，这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解（1）匹配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解（2）因子分解法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解（3）公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根x1={-b+[b2-4ac)]}/2a，x2={-b-[b2-4ac)]}/2a3）求解一个变量的二次方程的步骤：(1)配方法的步骤：首先将常数项移到方程右侧，然后将二次项的系数变为1，然后同时将二次项系数的平方加上一半，最后形成完整的平方公式(2)分解因式法的步骤：将等式的右侧变为0，然后查看是否可以使用提取公因子、公式方法（此处指分解因子中的公式方法）或交叉乘法。
中考总复习方程与不等式综合复习--知识讲解
中考总复习方程与不等式综合复习--知识讲解方程和不等式是数学中的重要内容，也是中考数学考试中经常出现的题型。
掌握方程和不等式的解法和应用，对于提高中考数学成绩至关重要。
下面将对方程和不等式的知识进行讲解，帮助同学们更好地复习和理解。
一、一元一次方程一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数，x是未知数。
解一元一次方程的基本步骤如下：1. 移项：将方程中的常数项移到方程的另一侧，得到ax = -b。
2.化简：将方程中的系数和常数进行运算和化简，得到x的系数为1，b的相反数为其常数项。
3.消元：将方程两边同时除以系数a，得到x=-b/a。
二、一元二次方程一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b 和 c 是已知数，x 是未知数。
解一元二次方程的基本步骤如下：1. 判别式：计算判别式D = b² - 4ac。
2.判断解的情况：a.当D>0时，方程有两个不相等的实根。
b.当D=0时，方程有两个相等的实根。
c.当D<0时，方程没有实数解。
3.求解实根：根据判别式的情况，应用二次根式公式x=(-b±√D)/2a求得方程的实根。
三、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0 或 ax + b < 0的不等式，其中a、b 是已知数，x 是未知数。
解一元一次不等式的基本步骤如下：1.移项：根据不等式的符号，将常数项移到不等式的另一侧。
2.化简：将不等式中的系数进行运算和化简。
3.计算不等号的符号：根据不等式的规则，计算出x的取值范围。
四、一元一次不等式组一元一次不等式组是形如{ax + by > 0, cx + dy < 0}的不等式组，其中a、b、c、d 是已知数，x、y 是未知数。
解一元一次不等式组的基本步骤如下：1.分别解出两个不等式的解集。
2.将解集进行交集操作，得到不等式组的解集。
2024年九年级中考数学专题复习+课件++含参方程(组)、不等式(组)+
C.m>
3
3
1
D.m≥
3
变式
1.(2021·南充)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k²+h=0.
(1)求证:无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根;
1
(2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且k与 都为整数,求K所有可能的值.
2
2.若关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0无实数根,则关于x方程
8m + 9n = 10.
(1)试选择其中一名同学的思路,解答此题.
x + 3y
=4−α
(2)试说明在关于x,y的方程组
中,不论a取什么实数,x+y的值始终不
x − 5y = 3a
变，
变式:
mx − y = 47
1.如果关于x,y的二元一次方程组
的解是
nx + 3y = −39
x=5
,不求 m,n.的值,你能否求关于x,y的二元一次方程组
y=3
m(x + y) − (x − y) = 47
的解?如果能,请求出方程组的解.
n(x + y) + 3(x − y) = −39
2.若相异的实数a，b满足
则 ab =
.
22−1
= 2
2 −1
,
类型三 分式方程的解的问题
例3:若关于x的分式方程
2
−1
=
3
无解,则m=
2
−1
3
2或2
件的所有整数a.
2
− 2
4−
+
=
中考数学复习之方程与不等式的应用
中考复习之方程与不等式的应用【一元一次方程的应用】1、互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，人科获利20元，则这件商品的进价为元。
2、商店销售意见商品，按照成本价提高40%后作为标价出售，节日期间促销，按标价打8折后售价为1232元，则这件商品的成本为元。
3、某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这批服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是元。
4、小明国庆期间在某服装点买了一件服装，次服装点挂牌标明全场八折优惠出售，小明购买的衣服标价是a元，店主又给小明让利20元，则小明购买这件衣服实际售价是元。
5、一件商品进价为a元，在进价的基础上提高40%后再打八折出售，现在售价是元。
6、某种书包原价每个x元，第一次降价打九折，第二次每个降价10元，经两次降价后售价为80元，则可以列出方程为。
7、已知A、B两地相距160km,一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是km/h。
8、某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件.商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？（1）某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨？（2）若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43.2元，该用户2月份实际应交水费多少元？10、居民用电实行阶梯式递增电价，可以提高能源效率，某市居民阶梯电价：第一档为年用电量再2700及以下部分，每度0.53元；第二档为年用电量在2700至4800度，超出2700度的部分，每度0.58元；第三档为年用电量4800度，超过4800度的部分，每度0.83元。
【精选推荐】中考数学复习第二单元方程(组)与 不等式(组)(分式方程的解法及应用)全新完整版
全新完整版
第二单元 方程(组)与 不等式(组)
（六）分式方程的解法及应用
知识梳理
目
知识过关
录
课堂检测
第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
知识梳理
一、分式方程的概念 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 二、分式方程的解法
返回目录
第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
例 解方程：21x＝x－2 3. 解：方程两边乘2x(x－3)，得x－3＝4x. 解得x＝－1. 检验：当x＝－1时，2x(x－3)≠0. ∴原分式方程的解为x＝－1.
用3
700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的
3 2
倍，但进价比第一批每件多了5元．
(1)第一批仙桃每件进价是多少元？
返回目录
第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
(2)原定以每件225元的价格销售第二批仙桃，但为 了 尽 快 售 完 ， 决 定 打 折 促 销 ． 要 使 得 销 售 利 润 为 350 元，则第二批仙桃每件应打几折出售？(利润＝售价－ 进价)
返回目录
第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
3．解分式方程： (1)x＋1 2＝x－3 1； (2)xx＋ －22－2－4 x＝2. 解：(1)方程两边乘(x＋2)(x－1)，得x－1＝3(x ＋2)． 解得x＝－72. 检验：当x＝－72时，(x＋2)(x－1)≠0. ∴x＝－27是原分式方程的解．
(2)工程问题
基本数量关系：工作时间＝工工作作效总率量 常量见关等系注则原甲甲工工意工的的作作：作工工总1时题效作作量间干率总效＝中量率－未工－改告作乙乙善工诉效的的后作工率工工工总作作作作量总总效效量量率率时＝＝工提时作前间总完差量成可的以时看间作整体“1”，
中考总复习：方程与不等式综合复习知识讲解
中考总复习：方程与不等式综合复习知识讲解方程与不等式综合复考纲要求：1.判断方程（组）类型，解方程（组），研究分式方程的增根情况。
2.掌握解方程（组）的方法，实质是“消元降次”，“化分式方程为整式方程”，“化无理式为有理式”。
3.理解不等式的性质，掌握一元一次不等式（组）的解法，在数轴上表示解集，求特殊解集。
4.列方程（组），列不等式（组）解决社会关注的热点问题。
5.解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式（组）解决实际问题是中考的难点和热点。
知识网络：考点一、一元一次方程1.方程是含有未知数的等式。
2.方程的解是能使方程两边相等的未知数的值。
3.等式有两个重要性质：两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，仍是等式；两边乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），仍是等式。
4.一元一次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数是1的整式方程，标准形式为ax + b = 0（a ≠ 0），其中a是未知数x的系数，b是常数项。
5.一元一次方程解法的一般步骤为整理方程，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验方程的解。
6.列一元一次方程解应用题有两种方法：读题分析法和画图分析法。
其中，读题分析法多用于“和，差，倍，分问题”，画图分析法多用于“行程问题”。
要点诠释：列方程解应用题的常用公式：1.行程问题：距离 = 速度 ×时间，速度 = 距离 ÷时间。
2.工程问题：工作量 = 工效 ×工时，工效 = 工作量 ÷工时。
3.比率问题：部分 = 全体 ×比率，比率 = 部分 ÷全体。
任何一个有实数根的一元二次方程，其两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。
虽然直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，但并不是所有的一元二次方程都能用这两种方法解决。
普通方法包括配方法和公式法，适用于所有的一元二次方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A. B. C. 且 D. 且
例2 已知 ， ， ，其中 .
(1)求证： ；
(2)试比较 、 、 三者之间的大小关系，并说明理由.
【同类变式】 已知 ，其中 .
假设通过收费站的车流量（每分钟通过的汽车数量）保持不变，每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的
若开放一个收费窗口，则需20分钟才可能将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，则只需8分钟也可将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过
若要求在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问至少要同时开放几个收费窗口？
（1）求证： ；
（2）指出 与 哪个大？说理由.
◆当堂反馈
1、下列关于 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）.
A. B. C. D.
（2007年成都市中考题）
2001年中央财政用于支持这项改革试点的资金约为180亿元，预计2003年将达到304.2亿元
求2001年到2003年中央财政每年投入支持这项改革资金的平均增长率
（参考数据：）
例4. 已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套
乙同学说："四环路比三环路车流量每小时多2000辆"；
丙同学说："三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍"
请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少
例3. （南宁市）2003年我国政府工作报告指出：为解决农民负担过重问题，在近两年的税费改革中，我国政府采取了一系列政策措施
（2）设此次外销活动的利润为W（百元），求W与x的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案
苹果品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 2.2 2.1 2 每吨苹果获利（百元） 6 8 5
3. 为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费，超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为x（立方米），应交水费为y（元）
（1）设出发x小时后，汽车离A站y千米，写出y与x之间的函数关系式
（2）当汽车行驶到离A站150千米的B站时，接到通知要在中午12点前赶到离B站30千米的C站，汽车若按原速能否按时到达？若能是在几点几分，若不能，车速最少应提高到多少？
例7. （湖州市2005）某高速公路收费站，有辆汽车排队等候收费通过
若生产高科技药品，1kg该植物可提炼出0.01kg的高科技药品，将产生污染物0.1kg；若生产保健食品，1kg该植物可制成0.2kg的保健食品，同时产生污染物0.04kg
已知每生产1kg高科技药品可获利润5000元，每生产1kg保健食品可获利润100元
要使总利润不低于410000元，所产生的污染物总量不超过880kg，求用于生产高科技药品的该植物重量的范围
23.读书百遍，其义自见
——陈遇
（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议
1. （乌鲁木齐2005）一本科普读物共98页，王力读了一周（7天）还没有读完
问王大伯一共获纯利多少元？
例2. （北京市）列方程或方程组解应用题：
在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
甲同学说："二环路车流量为每小时10000辆"；
而张勇不到一周就读完了
张勇平均每天比王力多读3页，王力平均每天读多少页（答案取整数）？
2. 辽南素以"苹果之乡"著称，某乡组织20辆汽车装运三种苹果42吨到外地销售
按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车
（1）设用x辆车装运A种苹果，用y辆车装运B种苹果，根据下表提供的信息求y与x之间的函数关系式，并求x的取值范围；
5. 今春以来，在党和政府的领导下，我国进行了一场抗击"非典"的战斗
为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只加浓抗病毒口罩的任务，为使抗毒口罩早日到达防疫第一线，开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务
该厂原计划每天加工多少万只口罩？
例1 若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围是 .
例5. 荆门火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元
（1）设运输这批货物的总运费为y（万元），用A型货厢的节数为x（节），试写出y与x之间的函数关系式；
4、某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠. 一名同学为班级买奖品，准备买6本影集和若干支钢笔，已知影集每本15元，钢笔每支8元，问他至少买多少支钢笔才能打折？ （2007年吉林省中考题）
??
??
??
??
用心 爱心 专心 119号编辑 1
（1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，y与x之间的函数关系式；
（2）如果某单位共有用户50户，某月共交水费514.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？
4. （连云港市2005）光明农场现有某种植物10000 kg，打算全部用于生产高科技药品和保健食品
23.读书百遍，其义自见
——陈遇
初三数学中考复习专题 方程及不等式的应用
一. 本周教学内容：
中考复习专题--方程及不等式的应用
【典型例题】
例1. （安徽省）王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元
其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元
2、关于 的方程 的解是负数，则 的取值范围是 .
（2007年山西省中考题）
3、已知 ，且 ，求 的取值范围.
（2007年南通市中考题）
（2）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来
（3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？
例6. 公路上有A、B、C三站，一辆汽车在上午8时从离A站10千米的P地出发向C站匀速前进，15分钟后离A站20千米
例8. 光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台
现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区
两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：
每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 1800元 1600元 B地区 1600元 1200元 （1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；
已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元
若设生产N种型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y元
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？