方程与不等式的实际应用
中考数学复习攻略 专题6 方程与不等式的实际应用(含答案)
专题六 方程与不等式的实际应用解决方程与不等式的实际应用题的一般步骤：①认真审题，理解题意，弄清题中的已知量、未知量以及它们之间的关系；②设未知数(合理地选择未知数是解题的关键)；③列方程(组)或不等式；④解方程(组)或不等式(注意：解分式方程时必须要有“验根”这一步)；⑤检验，对所求结果进行检验，看是否符合题意；⑥作答．解决方程与不等式的实际应用题时，首先要认真审题，从题中找出已知量与未知量之间的关系，然后根据题意列出关系式，进而解决相关问题．在解决问题的过程中要注意方程与不等式的解是否符合题意，涉及函数要检验自变量的取值范围，当题干中出现方案设计问题或最值问题时，往往需要根据题干中的已知条件和函数的增减性来解决方案设计或最值问题．中考重难点突破一次方程(组)的实际应用【例1】(2021·陕西中考)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【解析】设这种服装每件的标价是x 元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”列出方程，然后解方程即可求解．【解答】解：设这种服装每件的标价是x 元．根据题意，得10×0.8x ＝11(x －30).解得x ＝110.答：这种服装每件的标价为110元．1．现有一条长度为359 mm 的铜管料，把它锯成长度分别为39 mm 和29 mm 的两种不同规格的小铜管(要求没有余料)．每锯一次损耗1 mm 的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39 mm 的小铜管__6__段，29 mm 的小铜管__4__段．2．某中学组织七年级全体学生参加社会实践，若只调配45座客车若干辆，则有15人没有座位；若只调配30座客车，则用车数量将增加3辆，且空出15个座位．(1)该学校七年级总共有多少学生？(2)若同时调配45座和30座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？解：(1)设只调配45座客车x 辆，则该学校七年级共有学生(45x ＋15)人，只调配30座客车需要(x ＋3)辆．由题意，得30(x ＋3)－(45x ＋15)＝15.解得x ＝4.∴45x ＋15＝45×4＋15＝180＋15＝195.答：该学校七年级共有学生195人；(2)设需要调配45座客车m 辆，30座客车n 辆，由题意，得45m ＋30n ＝195.∴n ＝13－3m 2. 又∵m ，n 均为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 答：需调配45座客车1辆，30座客车5辆或调配45座客车3辆，30座客车2辆．分式方程的实际应用【例2】(2021·常州中考)为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20 t 水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【解析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t ，根据“20 t 水可以比原来多用5天”列出方程并解答．【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t.根据题意，得20x －202x＝5. 解得x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意．答：该景点在设施改造后平均每天用水2 t ．3．(2021·徐州中考)某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？解：设该商品打折前每件x 元，则打折后每件0.8x 元．根据题意，得400x ＋2＝4000.8x. 解得x ＝50.经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．答：该商品打折前每件50元．方程与不等式的综合应用【例3】某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．(1)求每副围棋和象棋各是多少元？(2)若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？【解析】(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元，根据“420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量”列出方程求解即可；(2)设购买围棋m 副，则购买象棋(40－m )副，根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元．根据题意，得420x －8＝756x .解得x ＝18. 经检验，x ＝18是原方程的解，且符合题意．∴x －8＝10.答：每副围棋18元，每副象棋10元；(2)设该校购买m 副围棋，则购买(40－m )副象棋．根据题意，得18m ＋10(40－m )≤600.解得m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的最大值是25.答：该校最多可再购买25副围棋．4．(2021·玉林中考)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A ，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为100 t ，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50度，A ，B 焚烧炉每天共发电55 000度．(1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉各发电多少度？(2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉的发电量分别增加a %和2a %，则A ，B 焚烧炉每天共发电至少增加(5＋a )%，求a 的最小值．解：(1)设焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电m 度，B 焚烧炉发电n 度．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝50，100（m ＋n ）＝55 000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝300，n ＝250.答：焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电300度，B 发焚烧炉发电250度；(2)由题意，得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A 焚烧炉发电300(1＋a %)度，则B 焚烧炉发电250(1＋2a %)度，由题意，得100×300(1＋a %)＋100×250(1＋2a %)≥55 000[1＋(5＋a )%].整理，得5a ≥55.解得a ≥11.∴a 的最小值为11.一元二次方程的实际应用【例4】(2021·烟台中考)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？【解析】(1)根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)设该商品需要打a 折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．【解答】解：(1)设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5＝(140－2x )件． 由题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20.整理，得x 2－110x ＋3 000＝0.解得x 1＝50，x 2＝60(舍去).答：每件售价应定为50元；(2)设该商品需要打a 折销售．由题意，得62.5×a 10≤50. 解得a ≤8.答：该商品至少需打8折销售．5．列方程(组)解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m 2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一面靠墙，墙长35 m ，另外三面用69 m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m 宽的门(不包括篱笆)．求这个茶园的长和宽．解：设茶园AB 边的长为x m ，则BC 边的长为(69＋1－2x ) m ．根据题意，得x (69＋1－2x )＝600.整理，得x 2－35x ＋300＝0.解得x 1＝15，x 2＝20.当x ＝15时，70－2x ＝40＞35，不符合题意，舍去；当x ＝20时，70－2x ＝30＜35，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30 m ，20 m ．6．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1 200 m 2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为50 m ，宽为40 m.(1)求四周通道的宽度；(2)某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．解：(1)设四周通道的宽度为x m ，则停车场的长为(50－2x ) m ，宽为(40－2x ) m.由题意，得(50－2x )(40－2x )＝1 200.整理，得x 2－45x ＋200＝0.解得x 1＝5，x 2＝40.当x ＝5时，40－2x ＝40－2×5＝30，符合题意；当x ＝40时，40－2x ＝40－2×40＝－40＜0，不符合题意，舍去．答：四周通道的宽度为5 m ；(2)设每次降价的百分率为a .由题意，得80(1－a )2＝51.2.解得a 1＝0.2＝20%，a 2＝1.8(不合题意，舍去).答：每次降价的百分率为20%.中考专题过关1.(2021·吉林中考)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55 km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，y ＝9x －4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.9，y ＝49.1. 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1 km 和5.9 km.2．(2021·郴州中考)“七·一”建党节前夕，某校决定购买A ，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A 奖品比B 奖品每件多25元，预算资金为1 700元，其中800元购买A 奖品，其余资金购买B 奖品，且购买B 奖品的数量是A 奖品的3倍．(1)求A ，B 奖品的单价；(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A 奖品的资金不少于720元，A ，B 两种奖品共100件，求购买A ，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？解：(1)设A 奖品的单价为x 元，则B 奖品的单价为(x －25)元．由题意，得800x ×3＝1 700－800x －25. 解得x ＝40.经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意．∴x －25＝15.答：A 奖品的单价为40元，B 奖品的单价为15元；(2)设购买A 奖品的数量为m 件，则购买B 奖品的数量为(100－m )件．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40×0.8×m ≥720，40×0.8×m ＋15×0.8×（100－m ）≤1 700. 解得22.5≤m ≤25.∵m 为正整数，∴m 的值为23，24，25.∴有三种方案：①购买A 奖品23件，B 奖品77件；②购买A 奖品24件，B 奖品76件；③购买A 奖品25件，B 奖品75件．3．(2021·朝阳中考)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间符合一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？(3)设商场销售这种商品每天获利w (元)，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0).由所给函数图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝70，35k ＋b ＝50. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋120(20≤x ≤38)；(2)根据题意，得(x －20)(－2x ＋120)＝600.整理，得x 2－80x ＋1 500＝0.解得x ＝30或x ＝50(不合题意，舍去).答：每件商品的售价应定为30元；(3)∵y ＝－2x ＋120，∴w ＝(x －20)y＝(x －20)(－2x ＋120)＝－2x 2＋160x －2 400＝－2(x －40)2＋800.∵－2<0，20≤x ≤38，∴当x ＝38时，w 最大＝792.∴当每件商品的售价定为38元时，每天销售利润最大，最大利润是792元．。
二次函数的方程与不等式的应用
二次函数的方程与不等式的应用在数学中，二次函数是一个常见且重要的函数类型。
它的方程和不等式在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨二次函数方程和不等式的一些常见应用。
一、最值问题二次函数的图像是一个抛物线，它通常有一个最值点，即极值点。
通过求解二次函数的方程，可以找到这个最值点的横坐标。
具体步骤如下：1. 设二次函数的方程为f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0；2. 求解方程f'(x)=0，得到x的值；3. 将这个x代入原方程中，计算出对应的y的值。
例如，考虑二次函数f(x)=2x^2-3x+1。
首先，求解f'(x)=0，得到x=3/4。
然后，将x=3/4代入原方程，计算得到f(3/4)=5/8。
因此，二次函数f(x)的最小值为5/8。
二、零点问题在解决实际问题中，常常需要找到一个函数的零点，即使得函数等于零的横坐标。
对于二次函数，求解零点的方法是通过解方程f(x)=0来实现。
以下是具体步骤：1. 设二次函数的方程为f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0；2. 求解方程f(x)=0，得到x的值。
例如，考虑二次函数f(x)=x^2-2x-3。
求解方程f(x)=0，可以分解成(x-3)(x+1)=0，得到x=3或x=-1。
因此，二次函数f(x)的零点为x=3和x=-1。
三、不等式问题除了求解方程，二次函数的方程和不等式还可以用来解决不等式问题。
通过找到二次函数的图像与x轴的交点，可以确定二次函数的零点，进而求解不等式。
具体步骤如下：1. 设二次函数的方程为f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0；2. 将f(x)进行因式分解，得到f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)，其中x_1和x_2为函数的零点；3. 根据二次函数的图像特性，确定f(x)在x_1和x_2之间的正负变化情况；4. 根据不等式的符号，解决不等式问题。
例如，考虑二次函数f(x)=x^2-2x-3。
首先，找到函数的零点，即x=3和x=-1。
数学应用教案：解决实际问题的方程与不等式
数学应用教案：解决实际问题的方程与不等式一、引言数学应用是数学教育的重要组成部分，通过解决实际问题，将数学知识应用于现实生活中的各种场景，培养学生的实际问题解决能力。
在数学应用中，方程和不等式是常用的数学工具，可以帮助我们建立模型、预测结果、解决实际问题。
本文将针对解决实际问题的方程与不等式展开讨论。
二、方程与不等式的基本概念方程是一个等式，其中包含一个或多个未知数，我们需要找到未知数的值使得等式成立。
不等式是一个不等式关系，其中包含一个或多个未知数，我们需要确定未知数的取值范围使不等式成立。
三、方程与不等式在实际问题中的应用1. 使用方程解决实际问题方程在实际问题解决中起到了至关重要的作用。
以线性方程为例，我们可以通过建立方程表达式来解决与比例、速度、利润等相关的问题。
例如，在应用问题中，我们可以通过建立线性方程求解出商品折扣、速度、利润等信息，帮助我们做出合理决策。
2. 使用不等式解决实际问题不等式同样在实际问题解决中具有重要作用。
不等式可以帮助我们确定一些限制条件，通过将问题转化为不等式的形式，可以求解出符合条件的解集。
例如，在优化问题中，我们可以将问题转化为不等式约束条件，并通过求解不等式来获得最优解。
四、方程与不等式解决实际问题的步骤1. 理解问题并建立模型首先，我们需要仔细阅读问题，理解问题的背景和要求。
然后，针对问题中的未知量和条件，建立方程或不等式模型。
在建立模型时，需要将问题转化为数学语言。
2. 求解方程和不等式在建立好模型后，我们就可以求解方程和不等式来得到问题的解集。
这可以通过代数运算的方法进行，包括化简、配方、整理等操作。
3. 验证解集合的可行性求得解集后，我们需要验证解集合是否符合原始问题的要求。
这一步是非常重要的，可以避免由于数学计算上的错误而得到错误的解。
4. 给出问题的解释最后，我们需要将解释结果，将解集合转化为问题所需的具体值。
这样，我们就可以得到与实际问题相对应的答案。
方程与不等式的应用
方程与不等式的应用一、方程的应用方程是代数学中重要的概念，在实际生活和工作中有着广泛的应用。
方程可以描述不同变量之间的关系，通过求解方程，我们可以得到这些变量的具体取值，从而解决实际问题。
1. 物理学中的方程应用物理学中，方程的应用十分广泛。
以牛顿第二定律为例，力的大小与物体的质量和加速度之间满足方程F=ma。
通过求解这个方程，可以计算得到物体所受到的力的大小。
在工程实践中，通过方程的应用，可以预测建筑物在不同荷载下的变形情况，从而保证建筑物的结构安全性。
2. 经济学中的方程应用方程在经济学中也有着重要的应用。
例如，经济学家可以通过建立供求方程来预测市场的平衡价格和数量。
通过求解这些方程，可以了解市场供求关系的变化，从而制定相应的经济政策。
3. 生物学中的方程应用生物学中，方程的应用主要体现在数理生态学和生物统计学中。
通过方程的建立和求解，可以揭示生态系统中不同物种之间的相互关系，从而对生态系统的稳定性和可持续性进行评估与预测。
二、不等式的应用不等式是数学中另一个重要的概念，比方程更加灵活，可以描述变量之间的大小关系。
不等式的应用范围广泛，在各个领域都有实际的应用。
1. 经济学中的不等式应用在经济学中，不等式常常用于描述资源的分配关系。
例如，通过解决不等式组来确定生产要素的最佳分配方案，以达到最大化利润或最小化成本的目标。
2. 最优化问题中的不等式应用最优化问题涉及到求解一个目标函数在给定约束条件下的最大值或最小值。
这些约束条件通常以不等式的形式存在，通过求解不等式约束下的目标函数，可以得到最优解。
3. 几何学中的不等式应用在几何学中，不等式经常用于描述图形的性质和关系。
例如，三角不等式可以描述三角形中任意两边之和大于第三边的关系。
通过求解不等式，可以判断一个三角形是否存在，从而解决与三角形相关的实际问题。
总结：方程和不等式作为数学中的重要概念，在实际生活和工作中都有着广泛的应用。
通过方程的求解，我们可以解决物理、经济、生物等领域中的实际问题；而不等式则可以帮助我们解决经济学中的资源分配问题、最优化问题以及几何学中的图形性质问题。
方程与不等式的应用如何利用方程和不等式解决实际问题
方程与不等式的应用如何利用方程和不等式解决实际问题方程和不等式是数学中非常重要的概念，它们的应用远不止于纸上的计算，更可以帮助我们解决实际生活中的问题。
通过运用方程和不等式，我们可以建立模型，分析问题，找到问题的解决方法。
本文将通过一些实际例子，来探讨方程与不等式的应用，以及如何利用它们解决实际问题。
一、方程的应用方程是用于表示两个量之间相等关系的数学表达式。
在实际中，我们常常会遇到各种各样需要求解的问题，而方程就是帮助我们求解这些问题的工具之一。
举例来说，假设小明有10个苹果，他和小红一起分享这些苹果。
如果小明和小红每人分得的苹果个数相同，我们可以建立如下方程来求解每人分得的苹果个数：10 = 2x其中，x代表每人分得的苹果个数。
解这个方程，我们可以得到x=5，表示每人分得5个苹果。
通过方程的求解，我们得到了问题的解决方法，即每人分得5个苹果，这样就能平均分享。
方程在实际问题中的应用是非常广泛的，无论是物理学、经济学还是工程学，方程都扮演着重要的角色。
通过建立合适的方程模型，我们可以分析问题，找到问题的解决方法。
二、不等式的应用不等式是用于表示两个量之间大小关系的数学表达式。
在实际问题中，有些情况不能简单地用等号表示，而是需要考虑大小关系，这时就需要使用不等式来解决问题。
比如，某公司每月的固定成本为5000元，每个产品的生产成本为10元，售价为20元。
公司希望通过卖出产品来覆盖固定成本，并获得利润。
为了求解该问题，我们可以建立以下不等式：20x ≥ 5000 + 10x其中，x代表销售的产品数量。
通过解这个不等式，我们可以得到销售的产品数量至少需要250个，才能覆盖固定成本并获得利润。
这样，我们就找到了问题的解决方法。
同样地，不等式在实际问题中的应用非常广泛。
比如在优化问题中，我们常常需要考虑资源的有限性和成本的限制，这时就需要使用不等式来求解问题。
三、方程与不等式在实际问题中的综合应用在实际生活中，方程和不等式往往是同时存在的，通过综合运用它们，我们可以更全面地分析问题并找到解决方法。
一元一次方程和不等式相结合的实际应用题
一元一次方程和不等式相结合的实际应用题
1.某高速公路收费站，有m（m＞0）辆汽车排队等候收费通过。
假设通过收费站的车流量（每分钟通过的汽车数量）保持不变，每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的。
若开放一个收费窗口，则需20分钟才可能将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口，则只需8分钟也可将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过。
(1)若要求在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过，并使后来到站的汽车也随到随时收费通过，请问至少要同时开放几个收费窗口？
(2)如果开放5个窗口，几分钟可以随到随走?
2. 某校饭堂在开晚餐前有a名学生在饭堂排队等候就餐，开始卖晚餐后，仍有学生前来排队买晚餐。
设学生前来排队买晚餐的人数按固定的速度增加，饭堂每个窗口卖晚餐的速度也是固定的。
若开放一个窗口，则需要40分钟才使排队等候的学生全部买到晚餐；若同时开放两个窗口，则需15分钟就可使排队等候的学生全部买到晚餐。
（1）写出开放一个窗口时，开始卖晚餐后窗口卖晚餐的速度y（人/分钟）与每分钟新增加的学生人数x（人）之间的关系式。
（2）饭堂为了提高服务质量，减少学生排队的时间，计划在8分钟内让排队等候的学生全部买到晚餐，以使后到的学生能随到随买，求至少要同时开放几个窗口？
3 . 山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流人池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？。
线性方程与不等式的解法总结与应用分析
线性方程与不等式的解法总结与应用分析线性方程和不等式是数学中常见的两种基本形式，它们在实际生活、经济学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将总结线性方程和不等式的解法，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、线性方程的解法1. 利用加减法消元解方程。
当线性方程中含有未知数的系数相等或相反时，可通过加减法消元将方程化简为一元一次方程。
例如，对于方程3x + 2 = 7x - 4，可通过将2移项并合并同类项得到5x = 6，进而解得x = 6/5。
2. 利用乘除法消元解方程。
当线性方程中含有未知数的系数相等或是一个是另一个的倍数时，可通过乘除法消元将方程化简为一元一次方程。
例如，对于方程2(x - 1) = 3(x + 2)，可通过将方程两边展开、移项并合并同类项得到2x - 2 = 3x + 6，进而解得x = -8。
3. 利用代入法解方程。
当线性方程是一个未知数的表达式等于另一个未知数的表达式时，可通过代入法将方程转化为一元一次方程。
例如，对于方程2x - 3 = x+ 2，将x + 2代入2x - 3中得到2(x + 2) - 3 = x + 2，进而解得x = 5。
二、线性不等式的解法1. 利用加减法解不等式。
对于一元一次线性不等式，可以使用加减法消元的方式来求解。
例如，对于不等式2x + 3 > 7，可通过将3移项并合并同类项得到2x > 4，进而解得x > 2。
2. 利用乘除法解不等式。
当不等式中含有未知数的系数是负数时，需要将不等号方向反转。
例如，对于不等式-3x + 2 ≥ 5，可通过将2移项并合并同类项得到-3x ≥ 3，再除以-3，即可解得x ≤ -1。
3. 利用绝对值解不等式。
对于含有绝对值的线性不等式，可以根据绝对值的性质进行分类讨论，并分别解出不等式的解集。
例如，对于不等式|2x - 5| ≤ 3，可以分为两种情况来求解，即2x - 5 ≤ 3和2x - 5 ≥ -3，解得x ≤ 4和x ≥ 1。
简单方程与不等式的运用
简单方程与不等式的运用简单方程与不等式是数学中比较基础的知识点，但它在现实生活中的应用却是十分广泛的。
本文将以实际例子为基础，探讨简单方程与不等式的运用。
一、方程的运用方程是用符号表示的等式，在实际运用中，很多问题都可以用方程来描述和解决。
下面分别从几个生活中的例子进行探讨。
1、电费的计算电费的计算是我们生活中必不可少的一项费用，一般情况下，电费的计算是按照电表读数来计算的。
所以我们需要知道每个月的起始电表读数和终止电表读数，并且要知道电费的单价，才可以计算出电费。
电费的计算可以用以下的方程式进行计算：电费=（终止电表读数-起始电表读数）×单价。
如果我们现在知道了终止电表读数和起始电表读数分别是5000和4000，单价为0.5元/度，那么根据以上的公式，我们可以得出以下的简单方程式：电费= (5000-4000）×0.5 = 500元。
通过以上的方程，我们可以方便快捷的进行电费的计算。
2、速度的计算很多时候，我们需要知道一辆车的速度，那么如何计算车辆的速度呢？速度的计算公式是移动的路程÷用时。
例如，如果一辆车行驶了100公里，用时是2小时，那么根据上述公式，可以计算出该车的速度为 100 ÷ 2 = 50公里/小时。
在现代交通运输中，不仅有汽车，还有高铁、飞机等运输途径。
例如，一列高铁从北京到上海的总长度为1318公里，行驶时间为4小时40分钟，那么根据以上的公式，我们可以得出以下的简单方程式：速度= 1318 ÷（4*60 + 40）=393.65km/h。
通过以上的方程，我们可以方便快捷的计算高铁的速度。
二、不等式的运用不等式是数学中另一个重要的知识点，它和方程一样，在生活中也具有广泛的应用。
下面，我们同样以实例进行解释。
1、食品安全的保障在食品加工和储存过程中，温度的控制非常关键。
温度过高或过低都会影响食品的质量，甚至会导致食品变质。
因此，在食品储存或运输过程中，我们要通过不等式的方式来控制温度。
方程、不等式的实际应用问题
方程和不等式在实际应用中广泛用于解决各种问题。
以下是一些实际应用问题的示例，涉及方程和不等式的解决：1. 费用问题（线性方程）：问题：一家公司生产一种产品，每个产品的生产成本为100美元，销售价格为150美元。
公司希望知道需要卖多少个产品，才能达到盈亏平衡。
解决方法：设销售的产品数量为x，那么公司的总成本为100x美元，总收入为150x美元。
要实现盈亏平衡，总成本应等于总收入，即100x = 150x。
解这个线性方程可以得到x的值，即需要卖多少个产品才能盈亏平衡。
2. 距离、时间、速度问题（一元一次方程）：问题：一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，开了3小时后，它离起点多远？解决方法：使用速度=距离/时间的公式，我们可以得到距离=速度×时间。
将速度60公里/小时和时间3小时代入方程，计算出距离=60公里/小时×3小时= 180公里。
3. 增长与衰减问题（指数方程）：问题：一种细菌在每小时分裂成两倍，如果开始有100个细菌，多少小时后会有1000个细菌？解决方法：设t小时后有x个细菌，我们可以建立指数方程2^t = x，其中2表示细菌数量翻倍的速度。
解这个方程，我们可以得到t的值，即多少小时后会有1000个细菌。
4. 成本效益问题（不等式）：问题：一家工厂可以生产两种产品A和B，产品A的生产成本为5美元，产品B的生产成本为8美元。
如果工厂每天最多能生产100个产品，且希望最小化生产成本，应该生产多少个产品A和产品B？解决方法：设产品A的数量为x，产品B的数量为y。
我们可以建立以下不等式：5x + 8y ≤100（生产成本不超过100美元）x ≥0（产品A数量为非负数）y ≥0（产品B数量为非负数）通过解这组不等式，可以确定应该生产多少个产品A和产品B，以实现最小化生产成本的目标。
这些示例展示了方程和不等式在各种实际应用中的用途，从财务决策到物理问题和生产规划等。
方程和不等式是解决复杂问题的有力工具，可以用来优化决策、解决工程问题和预测趋势。
方程与不等式应用题及答案
方程与不等式应用题及答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（方程与不等式应用题及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为方程与不等式应用题及答案的全部内容。
方程与不等式应用题及答案1.（2012湖北省恩施市）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10％，假设不计超市其他费用,如果超市想要至少获得20％的利润,那么这种水果在进价的基础上至少提高（ ）A ．40%B ．33.4%C ．33.3%D ．30%【解析】根据关系式：售价≥进价×（1+20％）进行计算．设超市购进大樱桃P 千克，每千克Q 元，售价应提高x ％，则有P （1—10％）•Q(1+x%)≥PQ （1+20％），即（1-10％）（1+x%）≥1+20％，∴x%≥33.3％． 【答案】B2。
( 2012年浙江省宁波市)为了鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费下表是该市居民“[说明：①]已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元（1)求a,b 的值（2)随着夏天的到来用水量将增加，为了节约开支，小王计划把6月份水费控制在家庭月收入的2 ％，若小王家月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？【解析】（1）由题意，得错误!用加减法解此方程组,得a=2.2，b=4.2（2）当用水量为30吨时,水费为:17×3+13×5=116元，9200×2％=184元,∵116﹤184,∴小王家六月份的用水量超过30吨，设小王家6月份用水量为x 吨，由题题,得17×3+13×5+6。
解方程与不等式的应用的综合运用
解方程与不等式的应用的综合运用在数学中，解方程和不等式是我们经常会遇到的问题。
它们在各种实际场景中都具有广泛的应用。
本文将综合运用解方程和不等式的知识，通过一些例子来展示它们在实际问题中的应用。
例子1：购买商品打折小明在商店看到一件原价为100元的商品，商店正在进行打折活动，折扣为x（0 ≤ x ≤ 1）。
假设小明买了这件商品后只需要支付70元，请问打几折？解法：设原价100元打x折后的价格为P，则有P = 100 * x。
根据题意可知 P = 70，即100 * x = 70。
将方程改写为不等式形式：100 * x ≥ 70。
通过计算得到x ≥ 0.7，即小明至少可以打7折购买该商品。
例子2：求解速度与时间的关系某车从A地到B地的直线距离为100公里，假设车以V公里/小时的速度行驶。
已知车从A地出发后，行驶t小时到达B地。
如果将速度提高20%，所需时间将减少多少？解法：车的速度V与到达时间t之间存在着一定的关系。
设从A地到B地所需的时间为T，则有 T = 100 / V。
如果将速度提高20%，则新速度为V' = V + 0.2V = 1.2V。
设达到新速度所需的时间为T'。
根据题意可得 T' = 100 / (1.2V)。
求解时间的差值为ΔT = T - T'，即ΔT = T - 100 / (1.2V)。
通过简化和合并同类项，得到ΔT = 100V / (1.2V) - 100 / (1.2V)。
进一步化简，得到ΔT = 100 / (1.2V) * (1 - 1 / 1.2)。
计算 1 - 1 / 1.2 ≈ 0.167，所以ΔT 约等于 100 / (1.2V) * 0.167。
由此可知，如果增加速度20%，所需时间将减少约0.167小时。
通过以上两个例子，我们可以看到解方程和不等式在实际中的应用。
无论是购物打折还是计算速度与时间的关系，解方程和不等式都能够帮助我们准确地找到问题的解决办法。
二元一次方程组与不等式实际问题结合
二元一次方程组与不等式实际问题结合二元一次方程组是高中数学中的重要内容之一，它可以帮助我们解决各种实际问题。
在此，我们将通过几个实际问题来结合二元一次方程组和不等式的内容，来说明它们的应用。
问题一：小明去超市购买香蕉和苹果。
已知香蕉的价格是每斤2元，苹果的价格是每斤3元。
小明共购买了10斤水果，总共花费了24元。
问小明购买了多少斤香蕉和苹果？解答：设小明购买的香蕉的斤数为x，购买的苹果的斤数为y。
根据题意，可以得到如下二元一次方程组：x + y = 10 （方程一）2x + 3y = 24 （方程二）我们可以通过解这个方程组来求得x和y的值。
首先，我们可以从方程一中得到x = 10 - y；然后，我们将x的值代入方程二中，得到2(10 - y) + 3y = 24；化简得到20 - 2y + 3y = 24；继续化简得到y = 4；将y的值代入方程一中可以求得x = 10 - 4 = 6。
因此，小明购买了6斤香蕉和4斤苹果。
问题二：一条钢筋工厂共生产两种规格的钢筋，每根重量为x 千克和y千克。
已知钢筋工厂每天生产的重量总和为1000千克，共生产了300根。
已知钢筋的总价值为10000元，且每根x千克的钢筋价格为20元，每根y千克的钢筋价格为30元。
问x和y的值分别是多少？解答：设每根重量为x千克的钢筋的数量为a，每根重量为y千克的钢筋的数量为b。
根据题意可以得到如下二元一次方程组：a +b = 300 （方程三）20ax + 30by = 10000 （方程四）由于每天生产的钢筋的重量总和为1000千克，所以可以得到方程：x*a + y*b = 1000。
为了求得x和y的值，我们可以先解方程三，得到b = 300 - a；将b的值代入方程四中，得到20ax + 30(300 - a)y = 10000；化简得到20ax + 9000y - 30ay = 10000；继续化简得到y = (10000 - 20ax)/(9000 - 30a)。
方程与不等式的应用
方程与不等式的应用方程和不等式是数学中常见的概念，它们在现实生活和科学领域中有着广泛的应用。
本文将介绍方程与不等式在实际问题中的具体应用，并探讨它们的解决方法和意义。
一、方程的应用方程是一个含有未知数的等式，通过求解方程，我们可以找到未知数的值。
方程在物理学、化学、经济学等领域中有广泛的应用。
1. 物理学中的方程应用物理学研究的是自然界中各种物理现象，而这些现象往往可以用方程来描述。
例如，牛顿第二定律F=ma（其中F代表力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度），可以通过解方程来求解物体的加速度或力的大小。
2. 化学中的方程应用化学反应也可以用方程来描述，通过方程我们可以了解各种物质之间的相互转化关系。
例如，化学方程式2H2+O2→2H2O表示了氢气和氧气反应生成水蒸气的反应。
通过解方程，我们可以确定反应物的摩尔比和生成物的数量。
3. 经济学中的方程应用经济学研究的是资源的分配和利用方式，方程在经济学中有广泛的应用。
例如，成本方程可以用来计算生产某种商品所需的材料成本、人工成本等。
另外，供求方程可以用来分析市场的供给和需求关系。
二、不等式的应用不等式是数学中比较大小关系的一种表达方式，通过求解不等式，我们可以找到使不等式成立的值。
不等式在经济学、生活中的各种决策问题中发挥着重要的作用。
1. 经济学中的不等式应用经济活动中，往往存在着资源的有限性和多个目标的冲突。
例如，一个生产厂家要最大化利润，但生产成本又是有限的。
这时候就需要建立相应的不等式模型，通过求解不等式可以得到最优解，如最大化利润的生产量。
2. 生活中的不等式应用不等式在日常生活中也有许多应用。
例如，我们希望在有限的时间内完成一项任务，需要合理安排时间。
这时候可以通过建立时间分配的不等式模型，来优化时间的利用，实现任务的最佳完成。
三、方程与不等式的解决方法解方程和不等式的方法有很多，常见的有图像法、代数法和数值法等。
1. 图像法对于简单的一元一次方程或一元一次不等式，可以通过绘制图像来求解。
实际问题中的方程与不等式模型
实际问题中的方程与不等式模型1. 引言在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的问题，这些问题可以通过方程和不等式来建模和解决。
方程和不等式模型是数学中重要的工具，它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题。
本文将介绍实际问题中方程和不等式模型的应用，并通过具体例子来说明其解题方法。
2. 方程模型方程是一种数学语句，其中包含未知数和已知数之间的关系。
通过构建方程模型，我们可以将实际问题转化为数学问题，并通过求解方程得到问题的解。
2.1 线性方程模型线性方程是一种最简单且常见的方程类型，其中未知数的最高次数为1。
线性方程模型适用于描述线性关系的实际问题。
例子1：小明买苹果小明去超市买苹果，他买了一些苹果后发现自己还剩下20元钱。
已知每个苹果的价格为3元，请问小明买了多少个苹果？解：设小明买了x个苹果，则总花费为3x元。
根据题意可得出以下线性方程：3x + 20 = x将方程化简为：2x + 20 = 0解这个方程可以得到x的值，进而知道小明买了多少个苹果。
2.2 二次方程模型二次方程是一种常见的方程类型，其中未知数的最高次数为2。
二次方程模型适用于描述抛物线形状的实际问题。
例子2：汽车行驶问题一辆汽车以60km/h的速度行驶，经过t小时后与另一辆以80km/h的速度行驶的汽车相遇。
已知两辆汽车之间的距离为200km，请问t等于多少小时？解：设t小时后两辆汽车相遇，根据题意可得出以下二次方程：60t + 80t = 200化简该方程可得：140t = 200解这个二次方程可以得到t的值，从而知道两辆汽车相遇时所经过的时间。
3. 不等式模型不等式是一种数学语句，其中包含未知数和已知数之间的大小关系。
通过构建不等式模型，我们可以将实际问题转化为数学问题，并通过求解不等式得到问题的解。
3.1 线性不等式模型线性不等式是一种最简单且常见的不等式类型，其中未知数的最高次数为1。
线性不等式模型适用于描述线性关系的大小关系。
一元一次方程及不等式解实际应用题
疫情期间某药店购进一批N95口罩，其中10只/包与20只/包的口罩共有500包，已知10只/包的N95口罩进价为30元/包，20只/包的N95口罩进价为55元/包．（1）若购进这两种规格的N95口罩共花了2万元，请分别求出购进10只/包与20只/包口罩的包数．（2）该药店计划将10只/包的口罩销售价定为45元/包，20只/包的口罩销售价定为85元/包，若购进的500包这两种规格的N95口罩全部售完，且至少盈利9000元，求购进的20只/包的口罩至少多少包?【答案】【小问1】购进10只/包N95口罩300只，购进20只/包N95口罩200只 【小问2】购进的20只/包的口罩至少100包【解析】【分析】（1）根据题意，设购进10只/包N95口罩x 只，则购进20只/包N95口罩()500x -只，从而由购进这两种规格的N95口罩共花了2万元列出方程()305550020000x x +-=求解即可得到答案；（2）根据题意，设购进20只/包N95口罩m 只，则购进10只/包N95口罩()500m -只，从而由购进的500包这两种规格的N95口罩全部售完，且至少盈利9000元，列出不等式()()()453050085559000m m --+-≥求解即可得到答案．【小问1详解】解：设购进10只/包N95口罩x 只，则购进20只/包N95口罩()500x -只，则()305550020000x x +-=，即257500x =，解得300x =，∴购进20只/包N95口罩500200x -=只，答：购进10只/包N95口罩300只，购进20只/包N95口罩200只；【小问2详解】解：设购进20只/包N95口罩m 只，则购进10只/包N95口罩()500m -只，则()()()453050085559000m m --+-≥，即151500m ≥，解得100m ≥，答：购进的20只/包的口罩至少100包．【点睛】本题考查一元一次方程及一元一次不等式解实际应用题，读懂题意，找准相应关系是解决问题的关键．。
方程与不等式的综合运用
方程与不等式的综合运用在数学中，方程和不等式是两种常见的数学模型，它们在实际问题中具有广泛的应用。
通过将方程和不等式综合运用，可以帮助我们解决各种实际问题。
本文将探讨方程与不等式的综合运用，并通过一些例子来说明其实际应用。
一、线性方程与不等式的综合运用线性方程和不等式是最简单的数学模型之一，在各个领域中经常会遇到。
例如，在商业领域中，我们通常会遇到成本、收入、利润等与数量成正比的关系。
假设某公司生产的产品每件成本为C元，每件的售价为P元，每月销售量为S件，则其成本与收入的关系可以表示为以下方程和不等式：成本：C = S * C收入：R = S * P利润：P = R - C在实际问题中，我们可能需要求解某一项具体的数值，比如：当销售量为100件时，该公司的成本、收入和利润是多少？通过联立这些方程和不等式，可以解得具体数值，进而得出结论。
二、二次方程与不等式的综合运用二次方程和不等式是一类更复杂的数学模型，应用范围更为广泛。
在物理学中，牛顿第二定律常常用到二次方程，可以描述物体的运动。
假设某物体的质量为m千克，受力F牛顿，加速度为a米每秒的平方，则根据牛顿第二定律可以得到以下方程和不等式：F = m * a在工程中，二次方程也有广泛的应用。
例如，在设计一座拱桥时，我们需要考虑拱桥的自重、荷载和支持力等因素。
这些因素之间的关系可以用到二次方程。
三、指数方程与不等式的综合运用指数方程和不等式是在金融、生物学、环境科学等领域中常见的数学模型。
例如，在金融投资中，复利的计算往往使用指数方程。
假设某笔投资的年利率为r，本金为P元，投资年限为t年，则该笔投资在t 年后的价值可以表示为以下方程和不等式：价值：V = P * (1 + r)^t在生物学中，指数方程可以用来描述生物种群的增长和衰退。
例如，某种细菌以每小时翻倍的速度增长，初始细菌数量为N个，则t小时后的细菌数量可以表示为以下方程和不等式：数量：N = N0 * 2^(t/k)其中，k为细菌的翻倍时间。
同步方程及不等式在高考数学中的应用
同步方程及不等式在高考数学中的应用高考数学中，同步方程和不等式是两个比较重要的概念。
它们可以用于解决很多实际问题，在高考数学中占有重要地位。
一、同步方程同步方程通常可以描述两个物体在不同的速度下距离的关系。
其一般形式为：S1 = S2 + k其中，S1，S2 表示两个物体的距离，k 表示它们的初位置之差。
当两个物体同时开始移动时，它们的距离差就是初位置之差 k。
在同步方程中，我们通常需要求得的是两个物体移动了多长时间，或者它们移动的平均速度是多少。
例题一：火车 A 和火车 B 同时从相距 500 千米的 A、B 两地相向而行，火车 A 的速度是 60 千米／小时，火车 B 的速度是 75 千米／小时．求两列火车相遇所需的时间及距离．解：设相遇时间为 t 小时，则：60t + 75t = 500解得：t = 5因此，两车相遇的距离为：60 × 5 = 300 （千米）两车相遇的时间为：5 小时例题二：有两只船从两岸同时出发，其中一只船的速度是5 千米／小时，另一只船的速度是 7 千米／小时．它们相遇在河的中间，此时河宽 300 米．求两岸的距离．解：设相遇时间为 t 小时，则：5t + 7t = 300解得：t = 25因此，两岸的距离为：5 × 25 = 125 （千米）同步方程在高考数学中通常出现在“运动学”和“复合函数”等知识点中。
掌握同步方程不仅有助于解决实际问题，还能提高我们解题的思维方式。
二、不等式不等式可以表示一组数之间的大小关系，如 x > y，x ≤ y 等。
在高考数学中，不等式通常会出现在像“不等式组”、“二次不等式”、“绝对值不等式”等知识点中，考查学生对不等式的理解和应用能力。
例题三：已知 x，y 属于实数集合，满足x + y ≥ 5, x - y ≤ 7，求 x 和 y 的取值范围．解：将不等式化为等式：x + y ＝ 5, x - y ＝ 7解得：x ＝ 6, y ＝ -1因此，x 在 6 的附近取值，y 在 -1 的附近取值。
方程与不等式的应用总结
方程与不等式的应用总结方程与不等式是数学中常见的概念和工具，广泛应用于各个领域。
它们不仅可以帮助我们解决实际问题，还能够说明数学和现实世界之间的联系。
本文将总结方程与不等式的应用，以及它们在不同领域中的实际运用。
一、经济领域中的方程与不等式应用经济学是方程与不等式应用的一大重要领域。
在经济学中，我们常常会遇到诸如成本、收入、价格等变量，而这些变量通常会通过方程和不等式来描述和计算。
例如，在成本方面，我们可以根据生产成本的方程来确定一个产品的成本，这有助于企业评估生产能力和盈利能力。
另外，不等式则可以用来表示价格的范围，帮助消费者做出最佳购买决策。
二、自然科学中的方程与不等式应用方程与不等式在自然科学中也有着广泛的应用。
无论是物理学、化学学还是生物学，方程与不等式都是解决问题的重要工具。
物理学中的方程应用非常广泛，可以用来描述物体的运动、力学、光学等等。
例如，通过牛顿第二定律的方程F=ma，我们可以计算出物体的加速度。
而对于化学反应来说，我们往往会遇到化学方程式，通过这些方程式可以计算反应物的摩尔比例，进而确定反应的量和产物的生成量。
生物学中的方程与不等式也非常常见，例如用来描述人口增长的方程、遗传学中的基因组合的方程等等。
这些方程与不等式的应用，使得我们能够深入理解和研究生物学中的各种现象和规律。
三、工程领域中的方程与不等式应用工程领域是方程与不等式应用的重要领域之一。
建筑、电子、通信等各种工程都涉及到方程与不等式的运用。
在建筑工程中，方程与不等式被用于计算结构的承重能力、温度变化对建筑材料的影响、土壤的稳定性等。
另外，在电子领域，方程与不等式被广泛应用于电路设计、电流传输的计算等方面。
四、数学与教育领域中的方程与不等式应用方程与不等式是数学中的基础概念，其在数学和教育领域中的应用也非常重要。
在数学学科中，方程和不等式的运用是数学解题的核心内容。
数学题目中的方程和不等式可以让学生锻炼逻辑思维和分析能力。
一元一次方程与不等式的解法与应用归纳
一元一次方程与不等式的解法与应用归纳一元一次方程与不等式是初中数学必学的重要内容，它们在实际生活中的应用也非常广泛。
本文将对一元一次方程与不等式的解法进行归纳，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、一元一次方程的解法一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的基本思路是通过移项和合并同类项，将方程化为形如x = c的简单形式。
1. 直接移项法直接移项法即将已知数移至方程的另一侧。
例如，对于方程2x + 3= 7，我们可以通过将3移至等号右侧得到2x = 7 - 3，进而得到x的值。
2. 合并同类项法合并同类项法即将方程中相同类型的项合并。
例如，对于方程3x -5 + 2x = 4x - 1，我们可以将x的系数合并得到5x - 5 = 4x - 1，然后通过移项可以得到x的值。
3. 代入法代入法即通过将已知数代入方程，求解未知数的值。
例如，对于方程3x - 4 = 2(x - 1)，我们可以将x - 1替换为已知数的值，然后通过解简单的一元一次方程得到x的值。
二、不等式的解法不等式是数学中的一种比较关系，也是实际问题中常见的表达方式。
解不等式可以通过绘制数轴、考虑数的正负等方法来实现。
1. 绘制数轴法绘制数轴法适用于解线性不等式。
通过将不等式转化为数轴上的点的区间来表示，从而确定不等式的解集。
例如，对于不等式3x - 2 > 0，我们可以绘制数轴，找到使不等式成立的数的范围。
2. 考虑数的正负法考虑数的正负法适用于解含有二次项或分式的不等式。
通过考虑方程中各部分的正负情况来确定不等式的解集。
例如，对于不等式(x -1)(x + 2) < 0，我们可以考虑(x - 1)和(x + 2)的正负情况，并确定使不等式成立的数的范围。
三、一元一次方程与不等式的应用一元一次方程与不等式在实际生活中有着广泛的应用，例如在经济学、物理学和生活中的问题求解等方面。
方程与不等式实际应用
方程（组）与不等式（组）的实际应用•演练例1 （2012 •桂林李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会,到学校时发现演出道具还放在家中 此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了 1分钟，然后立即匀速骑自 行车返回学校•已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少 20分钟，且骑自行车的速度是步 行速度的3倍.（1）李明步行的速度（单位:米/分）是多少？ （2） 李明能否在联欢会开始前赶到学校？考点训练: 1. （2012 •内江）甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同,已知乙车每小时比甲车多行驶15 千米,设甲车的速度为x 千米/小时,依据题意列方程正确的是（ ）2. （2013 •福州质检）一艘轮船在静水中的最大航速为 20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千 米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？知识考点02工程冋题例2 （2010 •泉州中考某蔬菜公司收购到一批蔬菜计划用15天加工后上市销售•该公司的加工能 力是:每天可以精加工3吨或者粗加工8吨,且每吨蔬菜精加工后的利润为 2 000元,粗加工后为1 000 元.已知公司售完这批加工后的蔬菜，共获得利润100 000元. 请你根据以上信息解答下列问题：（1）如果精加工x 天,粗加工y 天，依题意填写下列表格:A. 30 40 x x -15B. 30 40 x -15 xC.30 40 D. x x 15 30 40x 15 x（2）求这批蔬菜共多少吨3. (2012 •莆田)甲、乙两班学生参加植树造林.已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用 天数与乙班植70棵树所用天数相等.若设甲班每天植树x 棵,则根据题意列出方程正确的是( ) A 60 _70 B 60 70 C 60 _70 D 60 70x+2 x x 一x+2 x-2 x x 一x_24. (2012 •厦门)工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需用x 小时，乙车床需用 (x 2-1)小时,丙车床需用(2x-2)小时.单独加工完成这种零件,甲车床所用的时间是丙车床的-倍. 3(1) 求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间；(2) 加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同 ？请说明理由.知识考点03经济问题例3 (2012 •福州质检某文化用品商店计划同时购进一批 A 、B 两种型号的计算器,若购进A 型计算 器10只和B 型计算器8只,共需要资金880元;若购进A 型计算器2只和B 型计算器5只,共需要资金 380 元. (1) 求A 、B 两种型号的计算器每只的进价各是多少元 ？(2) 该经销商计划购进这两种型号的计算器共 50只,而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过2 520元.根据市场行情,销售一只A 型计算器可获利10元,销售一只B 型计算器可获利15元.该经销 商希望销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于620元.则该经销商有哪几种进货方案？哪种方案 获利最大？最大利润是多少？5. （2011 •厦门九上质检）某药品经过两次降价,每瓶零售价由58元降为43元.已知两次降价的百分率均为x,则第一次降价后的零售价是 ________________ 元（用含x的代数式表示）；若要求出未知数x,则应列出方程 _______________ （列出方程即可,不要解方程）.6. 在商品市场经常可以听到小贩的叫卖声和顾客的讨价还价声：“ 10元一个的玩具赛车打八折，快来买啊！”“能不能再便宜2元”，如果小贩真的让利（便宜）2元卖了，他还能获利20%,求一个玩具赛车进价是多少？7. （2012 •龙岩中考）已知:用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨;用1辆A型车和2 辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨货物,计划同时租用A型车a辆,B型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金100元/次,B型车每辆需租金120元/次,请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.探究拓展：列方程解决几何问题（1）在解决涉及线段的黄金分割，相似三角形，图中的成比例线段，图形的面积、体积问题时，常利用列方程的方法，这类问题体现了方程思想的具体应用.（2）体积问题常用公式：Array V长方体=abh（长x宽x咼）；V正方体=a （a为棱长）;V圆柱= n Rh（底面积X高）.1⑶面积问题常用公式:S △ = ah a=- bh b=^c x h c;2 2 22 ¥ 1S矩形=ab;S正方形=a ;S圆=冗R; S 梯=一（a+b）h;S平行四边形=ah.2例小王购买一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示.根据图中数据（单位:m）,解答下列问题：（1）用含x、y的代数式表示地面总面积；⑵已知客厅面积比卫生间面积多21 m2,且地面总面积是卫生间面积的15倍.若铺1 m2地砖的平均费用为80元,那么铺地砖的总费用为多少元？真题演练： 一、选择题 1. （2012 •铜仁）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两 端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等.如果每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵;如果每隔6米栽1棵， 则树苗正好用完.设原有树苗x 棵，则根据题意列出方程正确的是（ ） A.5（x+21-1）=6（x-1） B .5（x+21）=6（x-1） C.5（x+21-1）=6x D.5（x+21）=6x 2. （2013 •乐山）甲、乙两人同时分别从A,B 两地沿同一条公路骑自行车到 C 地,已知A,C 两地间的距 离为110千米,B,C 两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时 到达C 地，求两人的平均速度.为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意列出方程， 110 = 110 C 110 = 110 D 110 = 110x x+ 2 x- 2 V x x- 23. 有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900 kg和1 500 kg.已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第 二块少300 kg,求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克 ？设第一块试验田每亩收获蔬菜x kg,根据题意, 可得方程（ ）4.（2010 •綦江中考）2010年“地球停电一小时”活动的某地区烛光晚餐中 ，设座位有x 排，每排坐30人，则有8人无座位;每排坐31人，则空26个座位,则下列方程正确的是（ ）A.30x-8=31x+26B.30x+8=31x+26C.30x-8=31x-26D.30x+8=31x-265. （厦门中考）小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为69千克,坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端 ，这时爸爸的一端仍然着地.后来小宝借来一副 质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地.小宝的体重可能是（ ）A.23.2千克B.23 千克C.21.1 千克D.19.9 千克二、 填空题6. （2012 •龙岩中考）为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度,2011年该县政府在 这项建设中已投资3亿元，预计2013年投资5.88亿元,则该项投资的年平均增长率为 ___________ .7. 某学校把学生的期末测试、实践能力两项成绩分别按 60% 40%勺比例计入学期总评成绩.王刚实践 能力这一项成绩是81分,若想学期总评不低于90分,则期末测试的成绩至少是 ___________ 分.8. （2013 •凉山州）购买一本书,打八折比打九折少花2元钱,那么这本书的原价是 _________ 元.9. （2013 •嘉兴中考）杭州到北京的铁路长1 487千米.火车的原平均速度为x 千米/时,提速后平均速其中正确的是（A 110= 110 x+ 2x)B.A 900 = 1500 x +300 xB 900 = 1500 xx-300C. 900 = 1500 x x 300D.900 = 1500 x- 300 x度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程_______ .三、解答题10. 要把1 000 g浓度为80%勺酒精配制成浓度为60%勺酒精,某同学未加考虑先加了300 g水.（1）试通过计算说明该同学加水是否过量；（2）如果加水不过量，则还应加入浓度为20%勺酒精多少克？如果加水过量，则需要再加入浓度为95%勺酒精多少克？11. 近年来，由于受国际石油的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮助小明计算今年5月份每升汽油的价格.12. (2010 •龙岩中考)某校为迎接县中学生篮球比赛,计划购买A B两种篮球共20个供学生训练使用.若购买A种篮球6个,则购买两种篮球共需费用720元;若购买A种篮球12个,则购买两种篮球共需费用840元.(1) A、B两种篮球单价各多少元？(2) 若购买A种篮球不少于8个,所需费用总额不超过800元,请你按要求设计出所有的购买方案供学校参考,并分别计算出每种方案购买A、B两种篮球的个数及所需费用.【探究创新】13. (2013 •龙岩质检)龙岩市某中学2013届九年级⑴班学生为四川雅安灾区人民开展募捐活动,募捐活动共收得募捐款2 200元.班委会决定拿出不少于850元但不超过900元的募捐款直接汇给灾区红十字会,其余募捐款直接用于为灾区某校九年级(1)班50名同学每人购买一个文具盒或一个书包，并邮寄给他们.假定邮费共计30元;已知每个书包的单价比每个文具盒多12元,用176元恰好可以买到4个文具盒和3个书包.(1) 求每个文具盒和每个书包的价格分别为多少元；(2) 有几种购买文具盒和书包的方案？。
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答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的 单价为10万元；
（2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得： 220a+190（8﹣a）≥1565， 解得：a≥1.5， ∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高， ∴A型污水处理设备买越少，越省钱， ∴购进2台A型污水处理设备，购进6台B型污水处理设备最 省钱．
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． 【分析】（1）根据题意结合购买A型2台、B型3台需54万，购 买A型4台、B型2台需68万元分别得出等式求出答案； （2）利用该企业每月的污水处理量不低于1565吨，得出不等 式求出答案．
【解答】解：（1）设A型污水处理设备的单价为x万元，B型 污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：
中考专题
—方程与不等式的实际应用
——南薰九义校代昆宏
中
考
真
规
考
点
题
律
情
梳
演
探
报
理
练
究
结合近三年来资阳中考试题分析，方程与不等式的 实际应用有以下特点：
列方程或不等式解决生活中的实际问题是我
们资阳中考的必考点，且应用题材丰富，常与社会 热点、焦点问题相关联、命题形式以解答题为主， 通常出现在我们资阳中考数学解答题的19题，分值 为8分。近三年中考题，少有出现选择题和填空题 的考试形式。根据对近三年的中考数学成绩分析， 方程与不等式的实际应用的得分率较高，但是该考 点的满分率却不尽人意，往往学生在做题的过程过 程中会忽略不等式在实际生活中的应该有的取值范 围，从而产生不必要的的失误性丢分。
考点： 二次函数的应用；一元一次不等式组的应用． 分析： （1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20－x） 台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据 空调台数是正整数确定进货方案； （2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W 与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出 最大值即可．
(资阳.2014）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空 调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1＝－20x1＋ 1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购 数量x2（台）满足y2＝－10x2＋1300（0＜x2≤20，x2为整数）． （1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空 调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？ （2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰 箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最 大？并求最大利润．
解答： 解：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采
购数量为（20－x）台，
由题意得
解不等式①得，x≥11，解不等式
②得，x≤15， 所以，不等式组的解集是11≤x≤15， ∵x为正整数，∴x可取的值为11、12、13、14、15，所以， 该商家共有5种进货方案 （2）设总利润为W元，y2＝－10x2＋1300＝－10（20－x） ＋1300＝10x＋1100， 则W＝（1760－y1）x1＋（1700－y2）x2， ＝1760x－（－20x＋1500）x＋（1700－10x－1100）（20 －x）， ＝1760x＋20x2－1500x＋10x2－800x＋12000， ＝30x2－540x＋12000， ＝30（x－9）2＋9570， 当x＞9时，W随x的增大而增大， ∵11≤x≤15，∴当x＝15时，W最大值＝30（15－9）2＋ 9570＝10650（元）， 答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为 10650元．
解题基本步骤
壹
陆
审 清
贰
检 验
题找伍Βιβλιοθήκη 答意出 关叁
肆
解
案
系
设
未
列
知
出
出 答 案
数
式
子
（资阳.2016）19．某大型企业为了保护环境，准备购买A、B两种型号的污水 处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台、B型3台需54 万，购买A型4台、B型2台需68万元． （1）求出A型、B型污水处理设备的单价； （2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可 处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业 设计一种最省钱的购买方案．
牛刀小试：
（资阳.2015）19．（本小题满分8分）学校需要购买一批篮球和足 球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足 球一共需要510元． （1）求篮球和足球的单价； （2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球 购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的 资金最多为10500元.请问有几种购买方案？ （3）若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y （元），在（2）的条件下，求哪种方案能使y最小，并求出y的最 小值．
1、解：（1）设一个篮球x元，则一个足球（x﹣30） 元，由题意得： 2x+3（x﹣30）=510， 解得：x=120， ∴一个篮球120元，一个足球90元．
2）设购买篮球x个，足球（100﹣x）个， 由题意可得：， 解得：40≤x≤50， ∵x为正整数， ∴x=40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50， ∴共有11种购买方案． （3）由题意可得y=120x+90（100﹣x）=30x+9000 （40≤x≤50） ∵k=30＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x=40时，y有最小值，y最小=30×40+9000=10200 （元）， 所以当x=40时，y最小值为10200元．
规律探究：
1.列方程解应用题，应将应用题分类，熟练掌握各种类型的数 量关系，如行程问题、数字问题、打折营销问题、储蓄问题等 所包含的相等关系。
2.列不等式组解应用题应该特别注意题目中的不等关系，如不超 过、不少于、不足等
3.应用题是近几年中考的热点，因此取材相当的丰富，常常从 国情国策、生产生活、环保生态、市场营销、规划策略等取材， 平时应该加强训练，适应新的题型。