《一元一次不等式组的应用》典型例题(最新整理)
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《一元一次不等式组的应用》典型例题
例题 1 车站有待运的甲种货物 1530 吨，乙种货物 1150 吨，原计划用 50 节 A, B 两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节 A 型货箱的运费为 0.5 万 元，每节 B 型货箱的运费为 0.8 万元，甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨可装满一 节 A 型货箱，甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨可装满一节 B 型货箱，按此要求 安排 A, B 两种货箱的节数，共有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的 运费最少？
例题 6 某工厂现有甲种原料 360kg，乙种原料 290kg，计划利用这两种原料 生产 A、B 两种产品共 50 件．已知生产一件 A 种产品需甲种原料 9kg、乙种原料 3kg； 生产一件 B 种产品需甲种原料 4kg、乙种原料 10kg．
（1）设生产 x 件 A 种产品，写出 x 应满足的不等式组； （2）如果 x 是整数，有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计．
林的次数最多，为 13 次．
（2）设至少超过 x 次时，购买 A 类年票比较合算，则有不等式组
60 2x 120, 40 3x 120, 10x 120,
x 30,
解得
x
26
2 3
,
x 12,
其公共解集为 x 30 ．
所以，一年中进入该园林至少超过 30 次时，购买 A 类年票比较合算．
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用 80 元花在 该园林的门票上，试通过计算，找出进入该园林的次数最多的购票方式．
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买 A 在年票比较合算．
例题 10 有两个学生参加四次测验，他们的平均分数不同，但都是低于 90 分
2/9
的整数．他们又参加了第五次测验，测验后他们的平均成绩都提高到 90 分．问 在第五次测验时，这两个学生的分数各是多少？（满分 100 分，得分都是整数）
找出符合题意的答案．
例题 6 解答 （1）根据题意，x 满足不等式组：
（2）解不等式组，得
9x 4(50 x) 360 3x 10(50 x) 290 30 x 32 ．
因为 x 是整数，所以 x 30,31,32 ．
因此生产方案有三种：生产 A 种产品 30 件、B 种产品 20 件；或生产 A 种产 品 31 件、B 种产品 19 件；或生产 A 种产品 32 件、B 种产品 18 件．
1000＋1500×12＝28000（只），
6/9
共可装配自行车的辆数为
28000÷2＝14000（辆）．
（2）该厂全年生产自行车的辆数范围是：
100012 全年生产自行车辆数 120012 ，
即12000 全年生产自行车辆数 14400 ．
（3）今年订购自行车 14500 辆，可知供不应求，以最快生产速度也不能满
4/9
x y 10, （1） 3.5x 8y 70. （2） 由（1）得 x 10 y ，（3） 将（3）代入（2）得 3.5(10 y) 8y 70 ，解得 y 70 ．
9 又 y 是正整数，所以 y 的最大值是 7，即至多能买 7 支钢笔．
例题 4 解答 设底楼有 x 间客房，则二楼有( x +5)间客房，
解答 设这列火车行驶至 DE 这段铁路线上任意一处（不包括 D, E ）所经过
的时间为 x ，则相应所经过的路程为 80(x 0.2) km．
依题意，得
80(x 0.2) (80 50 70 60), 80(x 0.2) (80 50 70).
（1） （2）
解不等式（1），得 x 3.45 ．
5x 48 根据题意，得 4x 48 ，
∴9＜ x ＜12．
3(x 5) 48 依题意，又可得 4(x 5) 48 ，
∴ 7＜ x ＜11．
故 x =10．
答：底楼有 10 间客房．
说明 本题是列不等式解应用题，在确定设未知数后，关键是找出不等式关
系和列出不等式，为此须认真斟酌关键词语如“不够”和“没住满”的含义．
例题 11 大小盒子共装球 99 个，每个大盒装 12 个，小盒装 5 个，恰好装完， 盒子个数大于 10，问：大小盒子各多少个？
3/9
参考答案 例题 1 分析 这是一道方案设计优化问题，要将货物运至北京，车厢的总 装载重量必须大于或等于货物的总量，由此可列不等式。 解答 设需要 A 型车厢 x 节，
例题 2 幼儿园大班分苹果，若每人分 3 个，则余 8 个，若前面每人分 5 个， 则最后一个小朋友得到的苹果数不足 3 个，求有多少个小朋友和多少个苹果？
例题 3 某班需要买一些笔记本和钢笔以表扬在数学竞赛中获奖的 10 名学 生，已知笔记本的单价是 3.5 元，钢笔的单价是 8 元，且购买奖品的金额不超过 70 元．问至多能买几支钢笔？
例题 7 分析 如果设这列火车行驶至 DE 这段铁路线上任意一处（不包括 D, E ）所经过的时间为 x ，那么就能用 x 的一次式表示列车所经过的路程．根据
这个路程应大于（80＋50＋70）km，且小于（80＋50＋70＋60）km，就可列出 不等式组，解出 x 的取值范围．再根据列车出发的时间，就能求出列车何时行驶 在 DE 这段铁路线上．
例题 9 某园林的门票每张 10 元，一次使用．考虑人们的不同需求，也为了 吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种购买个人年票 的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分 A, B,C 三类：A 类年票每张 120 元，持票者进入园林时，无需再买门票；B 类年票每张 60 元， 持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 2 元；C 类年票每张 40 元，持票者 进入该园林时，需再购买门票，每次 3 元．
较是否花费最少，故本题（2）要转化为用不等式组的知识求解．
解答 （1）因为 80 120 ，所以不可能选 A 类年票．
若选 B 类年票，则 80 60 10 （次）； 2
若选 C 类年票，则 80 40 13 （次）； 3
若不购买年票，则 80 8 （次）． 10
所以计划用 80 元花在该园林的门票上时，选择购买 C 类年票的方法进入园
说明 本例展示的是生活中的一件小事，但暗示我们，生活中无处不存在数
学的身影，渗透在生活中的一个个细节中．
例题 10 分析 此例中的未知量较多（如两学生前四次的平均分数，第五
7/9
次测验的分数等），且没有足够的等量关系，难以列方程组求解．但题中蕴含两 个不等关系：平均分低于 90 分；满分 100 分，即测验分数不超过 100 分．于是 考虑利用不等式的有关知识求解．
此时 3x 59 149,152.
答：幼儿园有小朋友 30 人，玩具 149 件；幼儿园有小朋友 31 人，玩具 152 件．
说明 利用一元一次不等式组解应用题的步骤与列一元二次方程组解应用
5/9
题大体相同，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的是不
等关系，列出的是不等式，并且解不等式组所得结果通常为一解集，需从解集中
1/9
例题 7 一条铁路线上 A, B,C, D, E 各站之间的路程如图所示，单位为千 米．一列火车 7：30 从 A 站开出，向 E 站行驶，行驶速度为 80km/h，每站停车 时间约 4min，问这列火车何时行驶在 D 站与 E 站之间（不包括 D 站、E 站）的 铁路线上．
例题 8 某自行车厂今年生产销售一种新自行车，现向你提供以下有关信息： （1）该厂去年已备有这种自行车的车轮 10000 只，车轮车间今年平均每月 可生产车轮 1500 只，每辆自行车需装配 2 只轮； （2）该厂装配车间（自行车生产最后一道工序的生产车间）每月至少可装 配这种自行车 1000 辆，但不超过 1200 辆； （3）今年该厂已收到各地客户订购这种自行车共 14500 辆的订货单； （4）这种自行车出厂销售单价为 500 元/辆． 设该厂今年这种自行车的销售金额为 a 万元，请你根据上述信息，判断 a 的 取值范围．
解不等式（2），得 x 2.7 ．
∴不等式组的解集是 2.7 x 3.45 ．
7.5＋2.7＝10.2（时），7.5＋3.45＝10.95（时）．
答：这列火车行驶在 DE 这段铁路线上的时间是 10：12 至 10：57．
说明 列不等式组时，要注意单位的统一，否则会影响表达式的正确性．
例题 8 解答 （1）去年备有和今年生产的车轮共有
例题 4 某宾馆底楼客房比二楼少 5 间，某旅游团有 48 人，若全安排在底楼， 每间 4 人，房间不够，每间 5 人，有房间没有住满，又若安排住二楼，每间 3 人， 房间不够，每间 4 人，又有房间没有住满，问宾馆底楼有客房几间？
例题 5 幼儿园有玩具若干件，分给小朋友，如果每人 3 件，那么还余 59 件， 如果每人分 5 件，那么最后一个小朋友少几件，来这个幼儿园有多少玩具？多少 个小朋友？
35x 25(50 x) 1530 由题意得 15x 35(50 x) 1150 解得 28 x 30 ， 因为 x 为整数，所以 x 取 28，29，30， 即有 3 种方案： （1）A 型 28 节，B 型 22 节；（2）A 型 29 节，B 型 21 节；（3）A 型 30 节，B 型 20 节， 由题意知，运费 y 0.5x 0.8(50 x) 0.3x 40 ，当 x 30 时，y 取最小值， 即 A 型车厢 20 节，B 型车厢 20 节时运费最少． 例题 2 分析 设有 x 个小朋友，则苹果数为 3x 8 ．如果每人分 5 个，因为 最后一个小朋友的苹果数不足 3 个，所以 3x 8 应在 5(x 1) 和 5(x 1) 3 之间， 可得不等式组． 解答 设幼儿园大班共有 x 个小朋友，根据题意得 5(x 1) 3x 8, （1） 3x 8 5(x 1) 3. （2） 由（1）得 5x 5 3x 8,2x 13, x 13 ；
足社会要求，得扩大生产能力．
（4）由上分析可知12000 500 a 14000 500 ，
∴600（万元） a 700 （万元）．
说明 本例中 14400 辆是可以生产出，但实际上原料供应只能保证生产
14000 辆，故计算 a 的范围时只能用 14000 辆参与计算．
例题 9 分析 讨论某次经济行为是否合算，即要看这种方式与其他方式比
解答 设其中某个学生前 4 次的平均分为 x 分，第 5 次测验的成绩为 y 分， 依题意有 4x y 90 ，即 y 450 4x ．
5 由第 5 次测验的成绩高于 90 分，而又不大于 100 分，得 90 450 4x 100 ， 解得 87.5 x 90 ， 因为 x 为整数，故 x 88 或 89． 又已知两个学生平均分数不等，故前 4 次的平均分一个为 88 分，另一个为 89 分，第 5 次测验一个学生的成绩为 98 分，另一个的成绩为 94 分． 说明 利用不等式（组）解应用题，其步骤与列方程（组）解应用题大体相 同．不同的是，后者探求等量关系，列出的是等式，而前者寻求不等关系，列出 的是不等式，并且解不等式（组）得到的结果通常为一解集，需从解集中找出符 合题意的答案． 例题 11 分析 问题中有两个未知量，只有一个等量关系，另外还有一个 附加条件，这是一个求有条件的不定方程整数解的问题，求不定方程整数解的一 种方法是观察系数特征，用试验的办法求解．
2 由（2）得 3x 8 5x 5 3,2x 10, x 5 ． 所以不等式组的解集为 5 x 13 ．
2 又因为 x 为整数，故 x 6 ． 所以，有 6 个小朋友，共有苹果 3×6＋8＝26（个）． 例题 3 分析 因为每人只获 1 件奖品，源自文库笔记本和钢笔的数量和是 10，总 金额不超过 70 元．根据题意，可列出下列由方程和不等式组成的式子． 解答 设购买 x 本笔记本， y 支钢笔，依题意可得
例题 5 分析 此问题中有两个未知数，且没有等量关系，有不等关系，因
此可考虑用不等式组来解．
3x 59 5(x 1) (1)
解答 设小朋友 x 人，则有 3x 59 5x
(2)
解（1），得 x 32 ， 解（2），得 x 29.5 ， ∴ 29.5 x 32.
∵ x 为整数，∴ x 30,31.
例题 1 车站有待运的甲种货物 1530 吨，乙种货物 1150 吨，原计划用 50 节 A, B 两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节 A 型货箱的运费为 0.5 万 元，每节 B 型货箱的运费为 0.8 万元，甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨可装满一 节 A 型货箱，甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨可装满一节 B 型货箱，按此要求 安排 A, B 两种货箱的节数，共有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的 运费最少？
例题 6 某工厂现有甲种原料 360kg，乙种原料 290kg，计划利用这两种原料 生产 A、B 两种产品共 50 件．已知生产一件 A 种产品需甲种原料 9kg、乙种原料 3kg； 生产一件 B 种产品需甲种原料 4kg、乙种原料 10kg．
（1）设生产 x 件 A 种产品，写出 x 应满足的不等式组； （2）如果 x 是整数，有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计．
林的次数最多，为 13 次．
（2）设至少超过 x 次时，购买 A 类年票比较合算，则有不等式组
60 2x 120, 40 3x 120, 10x 120,
x 30,
解得
x
26
2 3
,
x 12,
其公共解集为 x 30 ．
所以，一年中进入该园林至少超过 30 次时，购买 A 类年票比较合算．
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用 80 元花在 该园林的门票上，试通过计算，找出进入该园林的次数最多的购票方式．
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买 A 在年票比较合算．
例题 10 有两个学生参加四次测验，他们的平均分数不同，但都是低于 90 分
2/9
的整数．他们又参加了第五次测验，测验后他们的平均成绩都提高到 90 分．问 在第五次测验时，这两个学生的分数各是多少？（满分 100 分，得分都是整数）
找出符合题意的答案．
例题 6 解答 （1）根据题意，x 满足不等式组：
（2）解不等式组，得
9x 4(50 x) 360 3x 10(50 x) 290 30 x 32 ．
因为 x 是整数，所以 x 30,31,32 ．
因此生产方案有三种：生产 A 种产品 30 件、B 种产品 20 件；或生产 A 种产 品 31 件、B 种产品 19 件；或生产 A 种产品 32 件、B 种产品 18 件．
1000＋1500×12＝28000（只），
6/9
共可装配自行车的辆数为
28000÷2＝14000（辆）．
（2）该厂全年生产自行车的辆数范围是：
100012 全年生产自行车辆数 120012 ，
即12000 全年生产自行车辆数 14400 ．
（3）今年订购自行车 14500 辆，可知供不应求，以最快生产速度也不能满
4/9
x y 10, （1） 3.5x 8y 70. （2） 由（1）得 x 10 y ，（3） 将（3）代入（2）得 3.5(10 y) 8y 70 ，解得 y 70 ．
9 又 y 是正整数，所以 y 的最大值是 7，即至多能买 7 支钢笔．
例题 4 解答 设底楼有 x 间客房，则二楼有( x +5)间客房，
解答 设这列火车行驶至 DE 这段铁路线上任意一处（不包括 D, E ）所经过
的时间为 x ，则相应所经过的路程为 80(x 0.2) km．
依题意，得
80(x 0.2) (80 50 70 60), 80(x 0.2) (80 50 70).
（1） （2）
解不等式（1），得 x 3.45 ．
5x 48 根据题意，得 4x 48 ，
∴9＜ x ＜12．
3(x 5) 48 依题意，又可得 4(x 5) 48 ，
∴ 7＜ x ＜11．
故 x =10．
答：底楼有 10 间客房．
说明 本题是列不等式解应用题，在确定设未知数后，关键是找出不等式关
系和列出不等式，为此须认真斟酌关键词语如“不够”和“没住满”的含义．
例题 11 大小盒子共装球 99 个，每个大盒装 12 个，小盒装 5 个，恰好装完， 盒子个数大于 10，问：大小盒子各多少个？
3/9
参考答案 例题 1 分析 这是一道方案设计优化问题，要将货物运至北京，车厢的总 装载重量必须大于或等于货物的总量，由此可列不等式。 解答 设需要 A 型车厢 x 节，
例题 2 幼儿园大班分苹果，若每人分 3 个，则余 8 个，若前面每人分 5 个， 则最后一个小朋友得到的苹果数不足 3 个，求有多少个小朋友和多少个苹果？
例题 3 某班需要买一些笔记本和钢笔以表扬在数学竞赛中获奖的 10 名学 生，已知笔记本的单价是 3.5 元，钢笔的单价是 8 元，且购买奖品的金额不超过 70 元．问至多能买几支钢笔？
例题 7 分析 如果设这列火车行驶至 DE 这段铁路线上任意一处（不包括 D, E ）所经过的时间为 x ，那么就能用 x 的一次式表示列车所经过的路程．根据
这个路程应大于（80＋50＋70）km，且小于（80＋50＋70＋60）km，就可列出 不等式组，解出 x 的取值范围．再根据列车出发的时间，就能求出列车何时行驶 在 DE 这段铁路线上．
例题 9 某园林的门票每张 10 元，一次使用．考虑人们的不同需求，也为了 吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种购买个人年票 的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分 A, B,C 三类：A 类年票每张 120 元，持票者进入园林时，无需再买门票；B 类年票每张 60 元， 持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 2 元；C 类年票每张 40 元，持票者 进入该园林时，需再购买门票，每次 3 元．
较是否花费最少，故本题（2）要转化为用不等式组的知识求解．
解答 （1）因为 80 120 ，所以不可能选 A 类年票．
若选 B 类年票，则 80 60 10 （次）； 2
若选 C 类年票，则 80 40 13 （次）； 3
若不购买年票，则 80 8 （次）． 10
所以计划用 80 元花在该园林的门票上时，选择购买 C 类年票的方法进入园
说明 本例展示的是生活中的一件小事，但暗示我们，生活中无处不存在数
学的身影，渗透在生活中的一个个细节中．
例题 10 分析 此例中的未知量较多（如两学生前四次的平均分数，第五
7/9
次测验的分数等），且没有足够的等量关系，难以列方程组求解．但题中蕴含两 个不等关系：平均分低于 90 分；满分 100 分，即测验分数不超过 100 分．于是 考虑利用不等式的有关知识求解．
此时 3x 59 149,152.
答：幼儿园有小朋友 30 人，玩具 149 件；幼儿园有小朋友 31 人，玩具 152 件．
说明 利用一元一次不等式组解应用题的步骤与列一元二次方程组解应用
5/9
题大体相同，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的是不
等关系，列出的是不等式，并且解不等式组所得结果通常为一解集，需从解集中
1/9
例题 7 一条铁路线上 A, B,C, D, E 各站之间的路程如图所示，单位为千 米．一列火车 7：30 从 A 站开出，向 E 站行驶，行驶速度为 80km/h，每站停车 时间约 4min，问这列火车何时行驶在 D 站与 E 站之间（不包括 D 站、E 站）的 铁路线上．
例题 8 某自行车厂今年生产销售一种新自行车，现向你提供以下有关信息： （1）该厂去年已备有这种自行车的车轮 10000 只，车轮车间今年平均每月 可生产车轮 1500 只，每辆自行车需装配 2 只轮； （2）该厂装配车间（自行车生产最后一道工序的生产车间）每月至少可装 配这种自行车 1000 辆，但不超过 1200 辆； （3）今年该厂已收到各地客户订购这种自行车共 14500 辆的订货单； （4）这种自行车出厂销售单价为 500 元/辆． 设该厂今年这种自行车的销售金额为 a 万元，请你根据上述信息，判断 a 的 取值范围．
解不等式（2），得 x 2.7 ．
∴不等式组的解集是 2.7 x 3.45 ．
7.5＋2.7＝10.2（时），7.5＋3.45＝10.95（时）．
答：这列火车行驶在 DE 这段铁路线上的时间是 10：12 至 10：57．
说明 列不等式组时，要注意单位的统一，否则会影响表达式的正确性．
例题 8 解答 （1）去年备有和今年生产的车轮共有
例题 4 某宾馆底楼客房比二楼少 5 间，某旅游团有 48 人，若全安排在底楼， 每间 4 人，房间不够，每间 5 人，有房间没有住满，又若安排住二楼，每间 3 人， 房间不够，每间 4 人，又有房间没有住满，问宾馆底楼有客房几间？
例题 5 幼儿园有玩具若干件，分给小朋友，如果每人 3 件，那么还余 59 件， 如果每人分 5 件，那么最后一个小朋友少几件，来这个幼儿园有多少玩具？多少 个小朋友？
35x 25(50 x) 1530 由题意得 15x 35(50 x) 1150 解得 28 x 30 ， 因为 x 为整数，所以 x 取 28，29，30， 即有 3 种方案： （1）A 型 28 节，B 型 22 节；（2）A 型 29 节，B 型 21 节；（3）A 型 30 节，B 型 20 节， 由题意知，运费 y 0.5x 0.8(50 x) 0.3x 40 ，当 x 30 时，y 取最小值， 即 A 型车厢 20 节，B 型车厢 20 节时运费最少． 例题 2 分析 设有 x 个小朋友，则苹果数为 3x 8 ．如果每人分 5 个，因为 最后一个小朋友的苹果数不足 3 个，所以 3x 8 应在 5(x 1) 和 5(x 1) 3 之间， 可得不等式组． 解答 设幼儿园大班共有 x 个小朋友，根据题意得 5(x 1) 3x 8, （1） 3x 8 5(x 1) 3. （2） 由（1）得 5x 5 3x 8,2x 13, x 13 ；
足社会要求，得扩大生产能力．
（4）由上分析可知12000 500 a 14000 500 ，
∴600（万元） a 700 （万元）．
说明 本例中 14400 辆是可以生产出，但实际上原料供应只能保证生产
14000 辆，故计算 a 的范围时只能用 14000 辆参与计算．
例题 9 分析 讨论某次经济行为是否合算，即要看这种方式与其他方式比
解答 设其中某个学生前 4 次的平均分为 x 分，第 5 次测验的成绩为 y 分， 依题意有 4x y 90 ，即 y 450 4x ．
5 由第 5 次测验的成绩高于 90 分，而又不大于 100 分，得 90 450 4x 100 ， 解得 87.5 x 90 ， 因为 x 为整数，故 x 88 或 89． 又已知两个学生平均分数不等，故前 4 次的平均分一个为 88 分，另一个为 89 分，第 5 次测验一个学生的成绩为 98 分，另一个的成绩为 94 分． 说明 利用不等式（组）解应用题，其步骤与列方程（组）解应用题大体相 同．不同的是，后者探求等量关系，列出的是等式，而前者寻求不等关系，列出 的是不等式，并且解不等式（组）得到的结果通常为一解集，需从解集中找出符 合题意的答案． 例题 11 分析 问题中有两个未知量，只有一个等量关系，另外还有一个 附加条件，这是一个求有条件的不定方程整数解的问题，求不定方程整数解的一 种方法是观察系数特征，用试验的办法求解．
2 由（2）得 3x 8 5x 5 3,2x 10, x 5 ． 所以不等式组的解集为 5 x 13 ．
2 又因为 x 为整数，故 x 6 ． 所以，有 6 个小朋友，共有苹果 3×6＋8＝26（个）． 例题 3 分析 因为每人只获 1 件奖品，源自文库笔记本和钢笔的数量和是 10，总 金额不超过 70 元．根据题意，可列出下列由方程和不等式组成的式子． 解答 设购买 x 本笔记本， y 支钢笔，依题意可得
例题 5 分析 此问题中有两个未知数，且没有等量关系，有不等关系，因
此可考虑用不等式组来解．
3x 59 5(x 1) (1)
解答 设小朋友 x 人，则有 3x 59 5x
(2)
解（1），得 x 32 ， 解（2），得 x 29.5 ， ∴ 29.5 x 32.
∵ x 为整数，∴ x 30,31.