平面几何的几个重要定理--塞瓦定理第二讲

平面几何的几个重要定理
――――塞瓦定理 塞瓦定理：
1:
=⋅⋅∆RB
AR
QA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设；
相交于一点点、、重合，故必与上，所以都在线段和因为＝
于是：，
由塞瓦定理有：，
于交，且直线相交于与，设再证充分性：若＝以上三式相乘，得：同理：，则：
相交于点、、证：先证必要性：设’’‘’‘’
‘
M CR BQ AP R R AB R R RB AR
B R AR B
R AR QA CQ PC BP R AB CM M BQ AP RB AR QA CQ PC BP RB AR
QA CQ PC BP S S RB AR S S QA CQ S S S S S S PC BP M CR BQ AP BCM
ACM
ABM
BCM
ACM ABM CMP BMP ACP ABP
111
=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=
====∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆交于一点；：证明：三角形的中线例1 交于一点；成立，即
而显然有：我们只须证明
，
，，的中线证明：记ABC A
B CB
C A BA B C AC A B CB C A BA B C AC A
B CB
C A BA B C AC CC BB AA ABC ∆∴=⋅⋅====⋅⋅∆1,,111
111111111111
1111111
分线交于一点；】证明：三角形的角平【练习1
P BM AN N M BC AC L L AB C ABC ∠∆，证明：的交点是和，设和足分别是的垂线，垂和作边，从于的平分线交于中，角：在锐角例2
AB
CP P AN BM CK BL
BC
AC AL BL
BC
AC AL BL
BC
NB BK BKC BNL AC
AL
AK AM AKC AML NB
BK
AK AM CN
MC AK
BK
NB CN MC AM AN BM CK P AN BM CK AB
CK ⊥∴∴=⋅=⋅=⇒
∆≅∆=
⇒∆≅∆=⋅==⋅⋅⊥点三线共点，且为、、理可知：依三角形的角平分线定即要证即要证明：又即要证：、、要证点，三线共点，且为、、下证证：作1
1
1
1
FDA
EDA F E AB AC CP BP AD P BC D ABC AD ∠∠∆＝，则和交于、分别与、上任一点，是边上，若在的高，且是设例.3AN
AM FDA EDA N M DF DE AD A =∠=∠可以转化为证明，。

欲证、交于的延长线分别、的垂线，与作证：过
FDA
EDA AN AM BF BD AF CE CD AE FB
AF
EA CE DC BD P CF BE AD BF
BD
AF AN CE CD AE AM BF AF BD AN CE AE CD AM BDF
ANF CDE AME BC MN BC
AD ∠=∠∴=∴⋅=
⋅∴=⋅⋅⋅=⋅===∴
∆≅∆∆≅∆⊥1,,,//，根据塞瓦定理可得：共点于、、于是，可得，故
于一点；
也相交、、直线分线对称于这些直线的一点，证明，关于角平相交于
、、，使、、上取点、、的边】在【练习2221111114CC BB AA CC BB AA C B A AB CA BC ABC ∆
三线共点；
、、，证明：，且、、外有三点】已知【练习CR BN AM BCM ACN ABR CBM CAN BAR R N M ABC γβα=∠=∠=∠=∠=∠=
∠∆,,
3BA
B CBB A
C A BAA CB C ACC A B CB C A BA B C AC C B A AB CA BC ABC 11
1111111111111sin sin sin sin sin sin .4∠∠⋅
∠∠⋅∠∠=⋅⋅∆证明：，
、、上取点、、的边在
例BA
B CBB A
C A BAA CB C ACC A B CB C A BA B C AC C A
BA B CBB A B CB B
C AC A BAA C A BA A B CB C ACC B C AC CB
C B
B C CC A
ACC C C AC BCC ACC 11
11111111111111111111111111
1111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ∠∠⋅
∠∠⋅∠∠=⋅⋅∠∠⋅
∠∠=∠∠⋅
∠∠=∠∠⋅
∠∠=∠∠=
∠∠=∆∆从而
同理：即：应用正弦定理，可得：
和证：如图对
课外作业：
三线共点；
、
、
直线
的切点，证明
、
、
的内切圆与边
是
、
、
设
1
1 1
1
1
1:
.1 CC
BB
AA
AB
CA
BC
ABC
C
B
A∆
；
过点
，证明，直线
相交于点
和
，
相交于
和
，直线
和
弧上取点。

在
引切线，相交于点
、
从圆上的点
S
PQ
Q
CD
AB
P
BD
AC
C
B
AD
S
D
A
.2
相交于一点；
、
、
证明，直线
的对边的中点，
、
、
是正方形的边
、
、
的边上向外作正方形，
在
1
1
11
1
1
.3
CC
BB
AA
AB
CA
BC
C
B
A ABC
∆。