抛物线的几何性质(2)
抛物线的简单几何性质(2)
时，它们没有交点.
时，它们有两个交点.
(3)当k∈
时，它们有一个交点.
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定 点 P (2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
2
1 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 ,1 . 点 4
2 当k 0 时, 方程①的判别式为
1 1 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或k 时 , 方程 ①只有一个解, 从 2 而方程组只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只 有一个公共点 . 1 0 2 2 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 1 k . 2 1 于是,当 1 k 且k 0时, 方程 ①只有两个解, 2 从而方程组只有两个解.这时, 直线 l 与抛物线 有两个公共点 .
高二数学抛物线的简单几何性质2
| AB | 2 p
方程
图 形 范围
y2 = 2px
y2 = -2px （p＞0） y l
x
x2 = 2py （p＞0） y
F x
x2 = -2py （p＞0） y
x l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
抛物线的简单几何性质(2)
一、抛物线的几何性质：
性质
方程
设抛物线方程为： y 2 2 px, ( p 0)
l
y
d
M
图形
K
O
F
x
范围 对称性
顶点坐标
x 0, y R 关于 x轴对称 坐标原点(0,0)
e 1
p | MF | x0 , 2 M ( x0 , y0 )
离心率 焦半径 通径
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线，垂足分别为A1、B1、P 1，依据 抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP1是梯形AA1BB1的中位线， 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此，我们容易得到
p1
2P 的 | AB | 2 sin
y
A
F1 O F2
y
l
x
F1 O
l
A
F2
d1 d2
B
B
x
y
y
F1
.
抛物线的简单几何性质(2)
抛物线的简单几何性质（2）
教学目的：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化
教学重点：抛物线的几何性质及其运用
教学难点：抛物线几何性质的运用
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
1．抛物线定义：
2．抛物线的标准方程：
二、讲解新课：
2、通径：
三、讲解范例：
例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
例2 汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线，灯口直径197mm ，反光曲面的顶点到灯口的距离为69mm ，由抛物线的性质可知，当灯泡按装载抛物线的焦点处，经反光曲面反射后的光线是平行光线，为了获得平行光线，应怎样安装灯泡（精确到1 mm ）
例3 过抛物线px y 22
=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点， 求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．
四、课堂练习：课本47页 练习 1，2，3
五、小结 ：抛物线、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等。
抛物线的简单几何性质(第2课时焦点弦)-高二数学教材配套教学课件(人教A版2019选择性必修第一册)
2
1
1
2
(2)
＋
＝ ；
|FA| |FB| p
(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
抛物线的简单几何性质
p
，0
p
证明：(1)抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F 2
，准线方程为 x＝－ .
2
p
设直线 AB 的方程为 x＝my＋ ，把它代入 y2＝2px，
2
化简，得 y2－2pmy－p2＝0.
上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段 AB 的垂直平分线恒
经过点 Q(6，0)，求抛物线的方程．
解：设抛物线的方程为
y2＝2px(p>0)，则其准线方程为
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，
p
p
∴x1＋ ＋x2＋ ＝8，
2
2
p
x＝－ .
1
则|CC1|＝ (|AA1|＋|BB1|)
2
1
1
＝ (|AF|＋|BF|)＝ |AB|.
2
2
∴以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．
抛物线的简单几何性质
2. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐
标原点,则其方程为(
)
A.y2=8x
C.y2=8x或y2=-8x
2p
p
y0
2
y1 y2 p
p
y0
2
( y1 y2 ) p
02抛物线的简单的几何性质
P
A
R
T
O
N
E
抛物线的简单几何性质
2020高中数学 14 抛物线的几何性质(二)(含解析)
课时分层作业（十四) 抛物线的几何性质（二）(建议用时：60分钟）[基础达标练］1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则｜AF ｜·|BF |的最小值是( )A ．2B ． 2C ．4D ．2错误!C ［设直线AB 的倾斜角为θ，可得｜AF ｜＝错误!，｜BF |＝错误!，则｜AF |·|BF |＝错误!×错误!＝错误!≥4。
]2．已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( ）A ．x 2＝错误!yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3yD ［设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由错误!消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝错误!＝3，即a ＝3,因此所求的抛物线方程是x 2＝3y .]3．已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为错误!，则｜AB ｜的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4D[设A(x1,y1），B（x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，｜AF|＋|BF｜＝x1＋x2＋1＝4，由图可知｜AF|＋｜BF|≥｜AB｜⇒｜AB｜≤4,当且仅当直线AB过焦点F时，｜AB｜取得最大值4。
]4．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A,B两点，若|AB｜＝4，则弦AB的中点到直线x＋错误!＝0的距离等于( ) A．错误!B．2 C．错误!D．4C［易知直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点错误!，∴|AB｜为焦点弦．设A（x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点N错误!，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4。
∴错误!＝错误!.∴AB中点到直线x＋错误!＝0的距离为错误!＋错误!＝错误!。
]5．已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2错误!,则抛物线的方程为（）A．y2＝3x或y2＝－3x B．y2＝－3xC．y2＝6x D．y2＝6x或y2＝－6xA［设所求抛物线的方程为y2＝2mx（m≠0)，设交点A（x1,y1），B（x2，y2)(y1〉0,y2〈0)，则|y1｜＋|y2｜＝2错误!，即y1－y2＝2错误!，由对称性知y2＝－y1，∴y1＝错误!。
高二数学抛物线的几何性质2
目标
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、
离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;
类比探索
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质: (1)范围 x≥0,y∈R
y
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点
结论
抛物线y2=2px(p>0)的轴上有三个点: (1)焦点F:有许多关于焦点弦有关的结论; (2)点(2p,0):过该点的直线与抛物线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),有
x1x2=4p2;y1y2=-4p2;
OA ⊥ OB (3)点M(p,0):P为抛物线上任一点, 在轴上M点左侧的点,有|PM|的最小值为|OM| 在轴上M点右侧的点, 到顶点的距离不是最小.
作业
1.P47 习题5,6,7
2.抛物线y2=2x上距点A(a,0)距离最近的点恰好 是抛物线的顶点,求a的取值范围.
3.一抛物线形拱桥跨度为52m,拱顶离水面6.5m, 一竹排上有一长、宽均为4m，高为6m的大木 箱，问能否安全通过拱桥？
点与抛物线
点与圆、椭圆、双曲线的位置关系及判断方法. 点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p>0)的位置关系及 判断方法.
y∈R
(0,0) 1 y≥0 x∈R y轴 y≤0
y
O
F
l
y
O F
= -2py F (0, p ) y p 2 x（p>0） 2
l
x∈R
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线 ; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔
§2.4.2抛物线的几何性质(2)
【练习3】过抛物线 的顶点做互相垂直的二弦 .
（1）求 中点的轨迹方程;（2）证明: 与 轴的交点为定点.
【练习4】求抛物线 上的点到到直线 的距离的最小值,并求取得最小值时抛物线上点的坐标.
【练习5】经过抛物线 的焦点且和抛物线的对称轴成 的直线交 两点,求 的值.
二次总结栏
五.本节内容个人掌握情况反思,疑问
编号:X2-1010
§2.4.2抛物线的几何性质（2）
一.滚动复习
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在三棱柱 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 是侧面 的中心,则 与平面 所成角的大小是.
2.若正四棱柱 的底面边长为 , 与底面 成 角,则 到底面 的距离为.
二.今日作业
3.设斜率为 的直线 过抛物线 的焦点 ,且和 轴交于点 ,若 为坐标原点)的面积为 ,求抛物线方程.
编号:X2-1010
§2.4.2抛物线的几何性质（2）
学习
目标
(1)掌握抛物线的简单几何性质,
(2)能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.
二次总结栏
一.课前复习
1.提问:回顾一下抛物线的定义,抛物线的标准方程,抛物线的几何性质?
2.抛物线 上与焦点的距离等于 的点的坐标.
二.知识点总结
7.已知直线 与抛物线 相交与 两点,若 ( 为坐标原点),且 ,求抛物线的方程.
8.设抛物线 的焦点为 ,过点 的直线与抛物线相交于 两点,与抛物线的准线相交于 ,求 与 的面积之比.
纠错、总结栏
直线与抛物线的位置关系
三.典型例题
【例1】斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点,且与抛物线相交于 两点,求 的长.
第2课时抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的简单几何性质一、抛物线的性质1．抛物线2y ＝2px(p>0)的简单几何性质(1)对称性：以－y 代y ，方程2y ＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.(5)范围：由y2＝2px ≥0，p>0知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p 值越大，它开口越开阔． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3.p 表示焦点到准线的距离，p >0.p 值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄。
4．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋p ；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝42p ，y 1·y 2＝2p.题型一、抛物线的对称性例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[解析] 如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2， 由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°.∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p . 于是|AB |＝2y 1＝43p . 例2、等腰Rt △ABO 内接于抛物线2y ＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是()A ．82pB ．42p C ．22pD ．2p[答案] B题型二、抛物线焦点弦的性质例3、斜率为2的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 解∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5. 例4、过抛物线2y ＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|的值为_____________．[答案] 10 题型三、最值问题例5、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[解析] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P 点，故最小值为22＋12，即 5. (2)如图把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1.此时，由抛物线定义知： |P 1Q |＝|P 1F |.那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4. 即最小值为4. 例6、定点M ⎪⎭⎫⎝⎛310,3与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,81 [答案] C例7、设抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．[正解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，当p >0时，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p ，由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝2，所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. 当p <0时，同理可得p ＝－2，∴F (－1,0)， ∴圆F 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°，由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p 6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形的对称性可知，坐标原点到m ，n 的距离的比值为3. 课后作业一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )A.214pB.212pC.136p D.1336p [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，直线F A 的方程为y ＝3(x －p 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝3(x －p 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32p y 1＝3p. ∴|OA |＝x 21＋y 21＝94p 2＋3p 2＝212p . 3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.4．抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( ) A.102B ．2 C. 5 D.52[答案] A[解析] F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32，∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102. 5．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0 B ．4x －3p ＝0 C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1， 即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.二、填空题6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是__________________．[答案] π4或3π4[解析] 设直线的倾斜角为θ，由题意得12＝2p sin 2θ＝6sin 2θ，∴sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22，∵θ∈[0，π)，∴θ＝π4或3π4.7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________________.[答案] 8[解析] 如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题8．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．9．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.。
3.3.2抛物线的简单几何性质(二)课件高二上学期数学人教A版选择性
①
p
p
2
则F , 0 , 设直线AB的方程为x my , 将其代入y 2 px , 得
(2)当AB垂直于对称轴时,焦点弦最短;
(3)A,B 两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值,即
1
(4)
||
+
1
||
=
2
x1x2= ,y1y2=-p2;
4
2
;
(5)以AB为直径的圆必与准线相切,以AF为直径的圆必与y轴相切.
2.做一做:(1)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,
2
2
因为焦点F的坐标是 , 0 , 当y0 p 时,
2
2 py0
p
直线AF的方程为y 2
x
④
2
y0 p
2
y
A
联立①④ , 消去x ,
可得y0 y 2 ( y02 p 2 ) y y0 p 2 0,
即( y y0 )( y0 y p ) 0.
程,联立方程组求解.
(2)①设出直线方程,直线方程与抛物线方程联立,根据焦点弦长公式求解.
②根据①求出点 A,B 的坐标,设出点 C 的坐标,由 = +λ,可用 λ 表
示点 C 的坐标,根据点 C 在抛物线上求出 λ 的值.
解:①直线 AB 的方程是 y=2 2
从而有 4x -5px+p =0,所以
(1)当a+1=0,即a=-1时,方程①是关于x的一元一次方程,解得x=-1,
= -1,
这时原方程组有唯一解
= -1.
(2)当a+1≠0,即a≠-1时,方程①是关于x的一元二次方程.
抛物线的简单几何性质(二)
课题：8．6抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x p p x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x p p x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y p p y PF +=+= 抛物线)0(22>-=p py x ，0022y p p y PF -=-= 2．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） 下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22>=p px y当直线为0y y =，即0=k ，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点 当0≠k ，设b kx y l +=:将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到关于x 的二次方程2=++c bx ax （*） 若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离综上，得：联立⎩⎨⎧=+=pxy b kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点）0<∆，无公共点 （相离）（2）相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=，其中a 和∆分别是02=++c bx ax （*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kx y l +=:的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02=++c by ay ，此时弦长公式相应的变为：d =（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
抛物线的简单几何性质时
则 y1 y2 p2 .
M
这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.
K
几何解释,就是
•
N
MK NK KF 2
思考: “一条直线和抛物线 y2 2 px( p 0) 相交,
两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 .则 这条直线过焦点.”成立吗?
例3.(抛物线的焦点弦问题)
有关y轴对称
有关y轴对称
顶点
焦半径
•焦 点
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一种交点，
两个交点）
与双曲线旳
y
另解：设直线4x 3y m 0与抛物线相切
y2 4x
64x 3y
m
0
y2 16
3y
m
0
由 0得 : m 36
例2 过抛物线焦点 F 的直线 交抛物线于A, B两点,通过点A
ly A
和 抛 物线顶点的直线交抛物
o F
x
线的准 线 于点 D , 求 证 : 直线 D B
DB平行于抛物线的对称轴.
即 (x 2)2 ( y 3)2 | y 5 | 化简得：(x 2)2 4( y 4)
题型二：抛物线旳最值问题
练习: 已知抛物线y=x2,动弦AB旳长为2，求AB中点纵坐标旳最小值
解法1： 设lAB : y kx b
y kx b
高二数学抛物线的简单几何性质2(新编201910)
另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组， l y
我们还可以推得以下结论：
(1)若直线的倾斜角为，则| AB | 2P .
A1
A
sin2
(2) A、B两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为 p1
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y2 2 px( p 0)的焦点F， 设A(x1, y1)、B(x2, y2 )，弦AB的中点为P(x0,y0 ).
从点A、B、P分别向抛物线的准线作
ly
垂线，垂足分别为A1、B1、P1，依据
A1
A
抛物线的定义，|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
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| AB | 2 p
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|,
抛物线的几何性质(二)
•
三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。——马克思
•
三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知
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三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。——萧绛
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三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。——佚名
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三十六、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。——佚名
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三十七、一块砖没有什么用，一堆砖也没有什么用，如果你心中没有一个造房子的梦想，拥有天下所有的砖头也是一堆废物；但如果只有造房子的梦想，而没有砖头，梦想也没法实现。——俞敏洪
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三十八、如意算盘，不一定符合事实。——奥地利
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二、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。——林语堂
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三、多少事，从来急；天地转，光阴迫。一万年太久，只争朝夕。尊敬的，也让人羡慕。当大多数人碌碌而为为现实奔忙的时候，坚持下去，不用害怕与众不同，你该有怎么样的人生，是该你亲自去撰写的。加油！让我们一起捍卫最初的梦想。——柳岩
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五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪
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六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙
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七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏
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八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名
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二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。——鲁迅
抛物线的性质2
5、过抛物线y 2 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, 例7. (1)求AB中点的轨迹方程； (2)证明AB与x轴的交点为定值.
y
（2）设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 ).l AB : y kx b
A
O F M y k x b 联立 2 k 2 x 2 (2kb 2) x b 2 0 B y 2x
.
x
b2 2b x1 x2 2 同理y1 y2 k k
b 2 2b 由OA OB x1 x2 y1 y2 0 即 2 0 b 2k k k
l AB : y kx 2k 与x轴交点(2,0)
变式1: 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 y =2px(p>0)交于A、B 两点，求证：OA⊥OB.
a4 2 1 由 AB (1 2 )[( ) 4 ] 15, 解得a 12或a 4, 4 4
2
均满足 4 a 16 0.所以抛物线方程为y 2 12x或y 2 4x.
2
直线与抛物线的位置关系
例5：已知抛物线y2=4x, 直线l过定点P(-2,1)，斜
y
A 1 解：(1)设lOA : y kx, 则lOB : y x k . x O F M 2 2 y kx y A , xA 2 联立 2 k k y 2x B 1 y x 联立 k yB 2k , xB 2k 2 y2 2x x A xB 1 1 2 k 2 ( k )2 2 x k 2 k 轨迹方程：y 2 x 2 y y A yB 1 k 2 k
顶点
焦半径
3.2抛物线的简单几何性质2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
例 2 已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)，过点(2，0)的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，O
为坐标原点，且―O→A ·―O→B ＝2.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)点 M 坐标为(－2，0)，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k11＋k12为定值．
解：(1)设 l 的方程为 x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， (2)证明：因为 M 坐标为(－2，0)，
(1)求p
（2）若点p在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，
PAB面积的最大值
y
x 2
1x 2 4y
x0
y 0
得 x2 2x0x 4 y0
0
4x02
16 y0
由韦达定理可得 xA xB 2x0, xAxB 4 y0
AB 1 K 2AB
(xA xB )2 4xAxB
＝y21y2＋y22y1＋y1y22（y1＋y2）＝（y1y2＋2y）1y（2 y1＋y2）， 由(1)可得 y1＋y2＝m，y1y2＝－2，
所以 p＝12，所以抛物线 C 的方程为 y2＝x.
所以k11＋k12＝0 为定值．
背景分析 题目展示 解法分析 拓展延伸 大胆猜想 感悟数学
定量到定性分析 数形结合思想 遵循逻辑推理
背景分析 题目展示 解题思路 大胆猜想 拓展延伸 感悟数学
本题中，1、过抛物线x2 2 py 外点 x0, y0 抛物线切点弦方程：x x0 p( y0 y)
过椭圆
外点 x2
a2
y2 b2
1
x0, y0
椭圆切点弦方程：xa02x
y0 y b2
1
过圆 x2 y2 r2 外点 x0, y0 切点弦方程：x0 x y0 y r 2
抛物线的几何性质 (2)
抛物线的几何性质抛物线是数学中一种重要的曲线形式。
它具有许多有趣的几何性质，是数学研究和应用领域中的常见对象。
本文将介绍抛物线的基本定义、性质和应用。
1. 抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。
在数学上，我们可以通过以下方式定义抛物线：•定义焦点为F，准线为直线L。
•抛物线是到焦点F的距离等于到准线L的距离的所有点的轨迹。
2. 抛物线的基本性质抛物线具有以下几何性质：对称性抛物线具有关于准线的对称性和焦点的对称性。
即，对于抛物线上的任意一点P，将其关于准线L作垂线交准线于M，焦点F在准线上的垂线下的点O，那么点M和点O关于准线L对称。
焦点与准线的关系对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离等于到准线L的距离。
此外，焦点F与准线L的距离称为抛物线的焦距。
顶点抛物线的顶点是抛物线的最高（或最低）点，位于准线与对称轴的交点，记为V。
顶点V是抛物线的对称中心，所以对于任意一点P，连结顶点V和点P的直线都与准线L垂直。
焦直线抛物线的焦点F到抛物线上任意一点P的连线与准线L垂直，这条垂线称为焦直线。
焦准直线焦点F和准线L的连线称为焦准直线，它垂直于抛物线的轴线。
曲线的标准方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。
3. 抛物线的应用抛物线的几何性质在现实世界中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：物体运动轨迹当物体受到一个竖直向下的恒力作用时，它的运动轨迹往往是一条抛物线。
例如，抛出的物体，如炮弹、子弹等，它们的运动轨迹可以用一条抛物线来描述。
天然天体许多天然天体的形状和运动也可以用抛物线来描述。
例如，行星的运动、小行星的轨道等都可以近似为抛物线。
镜面反射在光学中，抛物面反射镜被广泛应用于望远镜、车灯、卫星天线等设备中。
抛物面反射镜具有将光线聚焦到一个点的特点，故而能起到放大和聚焦的作用。
抛物线拱门抛物线也经常用于建筑中的拱门设计。
抛物线的几何性质2
F
(0,
p) 2
y p 2
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
y≤0 x∈R
y轴
2、通径： y
通过焦点且垂直对称轴的直线，
P( x0 , y0 )
与抛物线相交于两点，连接这 OF
x
两点的线段叫做抛物线的通径。
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
2p yA yB
(x xA)即
y
2p yA yB
(x
yA yB ) 2p
而因为OA⊥OB ，可知 xAxB yA yB 0 推出 yA yB 4 p2 ，代入
即：x12 x22 2 px1 2 px2 0， y
（x1 x2）（x1 x2 2 p） 0.
A
x1 0，x2 0，2 p 0，
O
x
x1 x2 .
B
由此可得 | y1 || y2 |，即线段AB关于x轴对称.
设A( x1, y1 )因为x轴垂直于AB，且AOx 30o，
y
A
y2=2px
O
C(2p,0) x
B
L:x=2p
证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 KOA =1，KOB =-1 因此OA⊥OB
变题1 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A、B
两点，求证：OA⊥OB.
证明（1）当直线l斜率存在时设 其方程为y=k(x-2p)
由已知条件可得点A的坐标是 （40，30），代入方程可得
《抛物线的几何性质》2
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的 对称轴平行（重合）
计算判别式Biblioteka >0 =0 <0
相交（一个交点）
相交 相切 相离
讲
课
人
：
邢
启 强
6
例题讲评
已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过定点 P(2,1) ,斜 率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 y2 4x :
⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?
相离:直线与抛物线无公共点.
⑵直线与抛物线的位置关系的判断.
把直线的方程和抛物线的方程联立得一方程组,于是:
①方程组有一组解 直线与抛物线相交或相切(1 个公
共点;
②方程组有两组解 直线与抛物线相交(2 个公共点);
讲 课 人 ：
③ 方程组无解 直线与抛物线相离
邢
启 强
15
F
O
x
B ( x2, y2 )
变中有不变,动中有不动.
讲
课
人
：
邢
启 强
10
例题讲评 关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考:
例3:(课本第136页例5)
ly
过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于
A
A、B 两点,通过点 A 和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点 D,
O
F
x
求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴. D B
分析:用坐标法解决这个问
题,只要讨论直线的方程与
抛物线的方程组成的方程
组的解的情况,由方程组的
•
解的个数判断直线与抛物
线的公共点个数.
讲
课
人
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抛物线的几何性质（2）
本课重点：
直线与抛物线的位置关系、交点、弦长等问题的解法预习引导：
1．抛物线y2=2x上两点A、B到焦点的距离之和为5，则线段AB中点的横坐标是
2．已知圆x2y2-6x-7=0与抛物线y2=2px (p>0)的准线相切，则p=
3．过抛物线x2+y=0的焦点且与对称轴垂直的弦长为4．过点(0,2)与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线有
条。
三基探讨
典例练讲：
例1．一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2x-y-4=0
所得弦长为35，求抛物线的方程。
例2．已知A(2,8)，B(x1,y1)、C(x2,y2)在抛物线y2=2px (p>0)上，△ABC的重心与此抛物线的焦点重合。
求：（1）线段BC中点M的坐标；（2）直线BC的方程。
例3．过抛物线y2=2px (p>0)的顶点作互相垂直的两条直线分别交抛物线于A、B两点。
（1）求证：直线AB恒过定点，并求定点坐标；（2）过原点O作OH垂直于AB，垂足为H，求点H的轨迹方程。
例4．定长为5的线段AB的两个端点在抛物线y2=4x上
移动，试求线段AB 中点M 到y 轴的最短距离。
课后检测：
1． AB 是抛物线y 2=x 的一条焦点弦，|AB|=4，则AB 中
点C 到直线x=2
1-
的距离为 2． 直线x-2y-2=0与抛物线x=2y 2交于A 、B 两点，F 是
抛物线的焦点，则△ABF 的面积为 3． 已知 抛物线x 2=4y ，则以），（25
,1-为中点的弦所在直
线方程为
4． 斜率为2的直线过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线交
于A 、B 两点，则|AB|=
5． 过抛物线y+2x 2=0的焦点的直线交抛物线于A 、B 两
点，则x A x B =
6． 若动圆的圆心在抛物线x 2=12y 上，且与直线y+3=0
相切，则此动圆恒过定点
7． 已知抛物线y 2=4x 上点P 到抛物线的准线的距离为d 1，
到直线3x-4y+9=0的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值是
8． 已知抛物线y 2= -x 与直线y=k(x+1)相交于A 、B 两点，
求证：OA ⊥OB 。
9． 若直线L ：y=kx-2交抛物线y 2= 8x 于A 、B 两点，且
AB 的中点为M(2,y 0)，求y 0及弦AB 的长。
10．设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点在抛物线y=2x 2上，L 是AB 的垂直平分线
（1）当且仅当x 1+x 2取何值时，直线L 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论
（2）当直线L 的斜率为2时，求L 在y 轴上截距的取值范围。
求证：321||16
1y y S PQR -=∆。