第五节空间曲线
高等数学下册第八章 向量代数与空间解析几何
离.因为
PA 32 ( y 1)2 (z 2)2 ， PB 42 ( y 2)2 (z 2)2 ，
PC 02 ( y 5)2 (z 1)2 ，
所以 32 ( y 1)2 (z 2)2 42 ( y 2)2 (z 2)2 02 ( y 5)2 (z 1)2 ，
零向量: 模为 0 的向量,
向量相等、向量平行向量共线、负向量、向量共面.
DMU
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系
向量线性运算的几何表达 ➢加法
平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
三角形法则: a ab
a (b c) ab b
b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
解 4u 3v 4 2a b 2c 3 a 4b c 5a 16b 11c.
例 如果平面上一个四边形的对角线互相平分试用向量证明
这是平行四边形
证 ABOBOA , DC OCOD 而 OC OA OD OB
所以
DC OA OB OB OA AB
这说明四边形 ABCD 的对边 AB CD 且 AB // CD 从而四边形
第八章
向量代数与空间解析几何
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
DMU
第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量的线性运算与空间直角坐标系 第二节 数量积 向量积 混合积 第三节 平面及其方程 第四节 空间直线及其方程 第五节 曲面方程 第六节 空间曲线方程
微分几何
第二章曲线的概念4学时
第三章空间曲线12学时
第四章曲面的概念4学时
第五章曲面的第一基本形式8学时
第六章曲面的第二基本形式12学时
第七章直纹面和可展曲面6学时
第八章曲面论的基本定理8学时
第九章曲面上的测地线10学时
第十章常高斯曲率的曲面4学时
如果总课时数少于70，可以只讲授第一至第八章。
第八节高斯曲率的几何意义
教学要求
领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。
掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。
第一章向量函数4学时第二章曲线的概念4学时第三章空间曲线12学时第四章曲面的概念4学时第五章曲面的第一基本形式8学时第六章曲面的第二基本形式12学时第七章直纹面和可展曲面6学时第八章曲面论的基本定理8学时第九章曲面上的测地线10学时第十章常高斯曲率的曲面4学时如果总课时数少于70可以只讲授第一至第八章
教学目的
引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。
主要内容
第一节简单曲面及其参数表示
第二节光滑曲面曲面的切平面和法线
第三节曲面上的曲线族和曲线网
教学要求
掌握：简单曲面的参数表示；简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；曲面的法线、切面的求法。
第五章曲面的第一基本形式
第二节空间曲线的基本三棱形
第三节空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
第四节空间曲线在一点邻近的结构
高等数学上册第七章第五节 曲面及其方程
0z 3
在
yOz面上的投影
z
3y2 ,
xOy面上的圆 x 2 y 2 R2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为: x 2 y 2 R. 即
x2 y2 R2.
9
P11
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l形成的轨迹
方程 Fx, y 0, 在空间 z
Fx, y 0,
直角坐标系中表示：
o 母线平行于 z 轴的柱面,
其准线是 xOy 面上的曲线
y
C : Fx, y 0.
x
C
方程 Gx,z 0, 在空间
直角坐标系中表示：
方程中缺哪个字母，母线 平行于相应的轴。
母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。
1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z0 ,
半径为 R 的球面 S 的方程.
解：Mx, y, z S M0M R
M0 M x x0 2 y y0 2 z z0 2 ,
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念
2.球面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 作业:习题7-5
4.旋转曲面
作业纸P50
设 C : f y, z 0 yoz面
下次交P49-50
第五节曲面及其方程
1. 一个几何图形的方程应满足什么条件？ 2. 平面、直线的一般方程分别是什么？
一、曲面方程的概念
课前 准备
如果曲面 S 上任意一点的坐标 都满足方程 F( x ,y ,z)=0，同时 不满足方程 F( x ,y ,z)=0的点都
z F x, y, z 0
S
不在曲面 S 上，则称三元方程
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R z
即 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
——称为球面方程的标准形式。 o
M M0
y
x
2、旋转曲面
一平面曲线绕着该平面内一定直线L旋转一周而成的曲面
叫做旋转曲面，其中定直线L叫做旋转曲面的轴。 z
如：XOY面内的椭圆
过点M作垂直于x轴的平面, 交x轴于点Q，交曲线C于点P，则有
Q x,0,0, Px, y1,0, QM PQ ,
M
o
y
Q
x
•
P
C
小结旋转曲面方程的规律
1 xoy面内的曲线
f
x,
y
0 ,
z 0
绕x轴旋转而成旋转曲面的方程为 f x, y2 z2 0；
绕y轴旋转而成旋转曲面的方程为 f x2 z2 , y 0.
转曲面、母线平行于坐标轴的柱面等曲面方程 的建立方法
Exercises
1. P192 1，3，4 2. 复习第一章
柱面
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x2 a2
y2 b2
1
绕Y轴旋转一周而形成的曲面。
XOY面内的曲线C： f x, y 0 绕Y轴旋转
z 0
x
o
空间几何导数证明
空间几何导数证明一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握空间几何导数的定义及其相关性质，理解导数在几何图形中的应用。
2. 使学生能够运用空间几何导数证明相关几何问题，如曲线、曲面的切线与法线等。
技能目标：1. 培养学生运用空间几何导数解决实际问题的能力，提高他们的几何直观和逻辑思维能力。
2. 培养学生通过团队合作，共同探讨和解决复杂几何问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对空间几何导数证明的兴趣，激发他们探索几何奥秘的热情。
2. 培养学生面对困难时，保持积极向上的心态，勇于克服挑战。
课程性质分析：本课程为高中数学课程，以空间几何为基础，重点探讨导数在空间几何中的应用和证明。
学生特点分析：高中学生已具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力，但对空间几何导数证明可能仍感到陌生，需要引导和启发。
教学要求：1. 注重理论与实践相结合，引导学生通过具体实例理解空间几何导数的概念。
2. 鼓励学生积极参与讨论，培养他们的团队协作能力和创新意识。
3. 注重培养学生的几何直观，提高他们运用导数解决几何问题的能力。
二、教学内容本章节教学内容依据课程目标，结合教材《高中数学》相关章节，组织如下：1. 空间几何导数的定义与性质：讲解空间曲线、曲面的切线与法线概念，引入空间几何导数，阐述其相关性质。
2. 空间几何导数的计算方法：通过具体实例，教授空间几何导数的计算方法，包括求导法则、链式法则等。
3. 空间几何导数在几何问题中的应用：运用空间几何导数解决实际问题，如求曲线、曲面的切线方程、法线方程等。
4. 空间几何导数的证明方法：引导学生掌握空间几何导数证明的基本方法，包括直接证明、反证法、归纳法等。
教学大纲安排如下：第一课时：空间几何导数的定义与性质第二课时：空间几何导数的计算方法第三课时：空间几何导数在几何问题中的应用第四课时：空间几何导数的证明方法教学进度安排：第一周：第一、二课时第二周：第三课时第三周：第四课时教学内容关联教材章节：《高中数学》第四章 空间几何第四节 空间几何导数的概念与性质第五节 空间几何导数的计算与应用第六节 空间几何导数的证明方法三、教学方法针对本章节内容，采用以下多样化的教学方法，以激发学生学习兴趣和主动性：1. 讲授法：教师以清晰、生动的语言，系统讲解空间几何导数的定义、性质、计算方法和证明方法，为学生奠定坚实的理论基础。
高等数学教学大纲
《高等数学》课程教学大纲一、《高等数学》课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Advanced Mathematics（三）开课对象：非数学专业专科学生（理科）（四）课程的性质：高等数学是高等教育专科重要的基础理论课之一。
通过本课程的学习，使学生获得微积分、空间解析几何、级数及常微分方程的基础知识和常用的运算方法。
通过各教学环节逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
为学习后继课程及今后的专业工作奠定必要的数学基础。
（五）教学目的：通过本课程的教学，提高学生的逻辑推理的能力，空间想象的能力，使学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力。
（六）教学内容：1 要正确了解和理解以下概念：函数、极限、连续性、导数、微分、偏导数、全微分、函数的极值。
不定积分、定积分、二重积分、三重积分、无穷级数的敛散性、有关空间解析几何及常微分方程的基本概念。
2 要了解和掌握下列基本理论、基本定理和公式：基本初等函数的性质及图形，基本初等函数的导数公式，微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理），不定积分基本公式，变上限积分及其求导定理、牛顿－莱伯尼兹公式，偏导数的几何意义，极值存在的必要条件，几何级数和P级数的收敛性，级数敛散性的判定条件，直线与平面的方程，典型的二次曲面、二阶线性常微分方程解的结构。
3掌握下列运算法则和方法：求函数和数列极限的方法与运算法则，导数和微分的运算法则，复合函数求导法，初等函数一阶、二阶导数的求法，用导数判断函数的单调性及求极值方法，多元函数复合函数的偏导数求法，不定积分、定积分的换元与分部积分法，正项级数的比值审敛法，求幂级数的收敛半径和收敛区间，函数展开成幂级数的间接展开法，一阶变量可分离变量微分方程的求解，二阶常系数线性微分方程的解法。
4 应用方面：用定积分和常微分方程方法求解一些简单的几何和物理问题，用极值方法求解最大值最小值的应用问题。
（七）教学时数教学时数：136学时教学时数具体分配：（八）教学方式课堂讲授,课外习作及批改.（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
高数讲义第五节 曲面及其方程(二)
椭球面也可由下面方法伸缩变形而来
（1）将球面 x2 y2 z2 a2
沿 z 轴方向伸缩 c 倍：z a z, 得旋转椭球面：
a
c
x2
y2
a2 c2
z2
a2,
或
x2 a2
y2向伸缩 b 倍： y a y,
a
b
即得椭球面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
x2 a2
y2 b2
z
其图形不可由旋转曲面伸缩变形而来
可用截痕法讨论其图形的形状。
（三）双曲面
（1）单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
可由旋转单叶双曲面伸缩变形得到
（2）双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
可由旋转双叶双曲 面伸缩变形得到
（四）椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
又称二次锥面
倍而得到平面曲线 C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
F(x, y) 0
结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩
倍而得到平面曲线C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
F(x, y) 0
结论2：将平面曲线C ：F ( x , y ) = 0 沿 x 轴方向伸缩
倍而得到平面曲线C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
第五节 曲面及其方程（2）
四、二次曲面
了解一般空间曲面形状的两种常用方法： （1）截痕法
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
例4 方程 解 根据题意有
的图形是怎样的？
第八章 向量代数与空间解析几何(2)
在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以
z
原点O为圆心, 半径为R的圆.
曲面可以看作是由平行 于 z 轴的直线L沿xoy面上的 圆x2 + y2 = R2 移动而形成, 称 该曲面为圆柱面.
l
oo
y
x
9
画出下列柱面的图形:
y x2
z
y x
z
o x
y
o
y
x
抛物柱面
平面
10
方程F (x, y) = 0 表示:
点的轨迹.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA | | MB | ,
( x 2)2 ( y 1)2 (z 3)2
( x 4)2 ( y 1)2 (z 2)2 ,
化简得所求方程 4x 4 y 2z 7 0 .
这是一个平面方程，可知所求的轨迹是一个平面. 称此平面为线段的垂直平分面．
x
y
那末, 方程F (x, y, z) = 0叫做曲面S的方程, 而曲面 S叫做方程F (x, y, z) = 0的图形 .
2
研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知曲面方程，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
3
例1 求到空间两点 A(2,1,3) 和B(4,1,2) 距离相等的
4
以下给出几种常见的曲面.
1、球面
建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、
半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 | R ，
M R
M0
即 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R ，
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
一方向向量s(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s(m, n, p)的直线的方 程.
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量:
从而有
(xx0, yy0, zz0)//s ,
>>>注
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
第六章-多元函数微分学基础
z
V
O
y
V
V
V
x
图6-3 八卦限示意图
下面将平面上两点间的距离公式推广到空间（证明从略）
设M
1
(
x1
,
y1
,
z1
)和M
2
(
x2
,
y2
,
z2
)为空间两点,
则点M
1与M
间的
2
距离为
M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 (6-1)
例1 在x轴上求一点P,使它到点A(3,2, 2)的距离为3.
0和G(x, y, z) 0是两个曲面方程,它们交线上的每一点的坐标
都同时满足上述两个曲面方程;反过来,曲时满足上述两个曲面
方程的点都在这条交线上.因此,联立方程组
z
F(x, y, z) 0
L
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
G(x, y, z) 0
叫做空间曲线L的一般方程
由两点距离公式知
M1M (x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 M 2M (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2 又因为 M1M M 2M ,故知
(x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2
称上式为平面的一般方程,式中,A, B,C, D分别为变量x, y, z的系数; D为常数 Nhomakorabea.z
p3 c
例2 求过点P1(a, 0, 0), P2 (0,b, 0),
P3 (0, 0, c)的平面方程(其中a,b, c 0)
(见图6 5)
p1 a
空间曲线直线及方程
5. 直线的平面束方程
x y z 1 0
例9 求L : x y z 1 0在Π : x y z 0的投影直线
解：分析：关键是找过L且垂直于Π的平面Π0
由平面束方程, 设 Π0： y z 1) ( x y z 1) 0 (x
即： (1 ) x (1 ) y ( 1) z ( 1) 0 Π0 Π n0 n n0 n 0
1 (1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 0 1
即：Π0 : y z 1 0
x 1 y 2 z L: 0 1 1
例 7
2 x y z 4 0 Π1 将L： 化为对称式、参数式 x y z 1 0 Π2
x 1 或： y 2 t —参数式 z t
例 7 2： 由原式消去z得：x 1 0 解法
第五节
空间曲线及其方程 空间直线及其方程
一、一般方程
空间曲线的一般方程为：
F ( x, y, z ) 0 是一条空间曲线 (7) G( x, y, z ) 0
即：可以看成是空间两条曲 面的交线： S1：F ( x, y, z ) 0, S2：G( x, y, z ) 0
*
注：空间曲线的方程不 唯一！
二、直线及其方程
1. 直线的一般方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 — Π1 L： A2 x B2 y C2 z D2 0 — Π2
注：同一条直线可以用不同的相交平面得到。
—相交平面族
图略！
设直线L // s ，且过点M 0 ( x0 , y0 , z0 ), s (m, n, p)
空间曲线
4、两直线的交点,两平面的交线；
5、椭圆与其一切线的交点,椭圆柱面x2 y2 1 与 49
其切平面y 3 的交线；
6、 x2 y2 4, y2 z 4, x2 z 4.
x
三、 y
3 cos t 2
3 cos t ,(0 t 2) .
xoz平面上的投影方程是_______________；
4、方程组
y y
5 2
x x
1 3
在平面解析几何中表示______；
x2 5、方程组 4
y2 9
1在平面解析几何中表示_______
y 3
______，在空间解析几何中表示_______________；
（2）消去y 得投影
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去x 得投影
y2
z2
2y z
0 .
x 0
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
例6 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2 和 z 3( x2 y2 )锥面所围成,求它在 xoy 面上的投影.
t
o
M
•
x A M y
x acost y a sint
z vt
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
( t,
螺旋线的重要性质：
b v)
上升的高度与转过的角度成正比．
初中数学空间曲线教案反思
初中数学空间曲线教案反思在本次教学中，我以新课程标准为指导，以学生为主体，注重培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力。
通过空间曲线的教学，使学生掌握空间曲线的基本概念、性质和应用，提高学生解决实际问题的能力。
在教学过程中，我充分运用了多媒体教学手段，以直观、生动的方式展示了空间曲线的形象，激发了学生的学习兴趣，提高了教学效果。
然而，在教学过程中也存在一些不足之处，以下是我对本次教学的反思。
首先，在教学内容的设计上，我按照教材的顺序，从简单到复杂，由易到难地安排了教学内容。
在教学过程中，我注重让学生通过观察、思考、讨论、实践等方式，自主探索空间曲线的性质，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
然而，在实际教学中发现，部分学生在掌握基本概念和性质时，仍然存在一定的困难。
针对这一问题，我认为在今后的教学中，应适当增加一些直观的教学手段，如模型展示、动画演示等，以帮助学生更好地理解空间曲线的形象和性质。
其次，在教学方法上，我采用了启发式教学法、讨论式教学法和实践教学法等多种教学方法。
在教学过程中，我注重引导学生主动发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的创新能力。
同时，我还注重让学生通过实际操作，亲身体验空间曲线的性质，提高学生的实践能力。
然而，在教学过程中发现，部分学生在参与讨论和实践时，积极性不高，表现出一定的被动性。
针对这一问题，我认为在今后的教学中，应进一步激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度，可以采取分组合作、竞赛等方式，激发学生的学习积极性。
再次，在教学评价方面，我采用了过程性评价和终结性评价相结合的方式。
在教学过程中，我注重对学生的学习过程进行观察和记录，对学生的学习成果进行评价。
然而，在评价过程中发现，部分评价指标过于单一，不能全面反映学生的学习情况。
针对这一问题，我认为在今后的教学中，应增加评价指标的多样性，注重对学生综合素质的评价，以更全面地了解学生的学习状况。
最后，在教学反思中，我认识到自己在教学过程中还存在一些不足，如对学生的关注不够，对学生的学习需求把握不准等。
第七章第5节几种常见的二次曲面
x a
z c
0
,
x a
z c
0
.
y b
y b
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得双曲线.
35
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
36
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
解 设 M ( x, y, z) 是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程
2x 6 y 2z 7 0.
6
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1 的图形是怎样的？
（1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F(x, y, z) 0 就叫做曲面 S 的方程，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
注:
(1)平面是曲面的特例; x
z
F(x, y, z) 0
s
o
y
(2)任一曲面都可由F( x, y, z) 0表示
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
26
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为椭圆.
x2
2
pz1
y2 2qz1
1
z z1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
高等数学-偏导数
(y
0
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
(z
0
z0
)
例 2 求曲线 x2 y2 z2 6，x y z 0在 点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
解 1 直接利用公式;
解 2 将所给方程的两边对x 求导并移项，得
y
dy dx
z
dz dx
x
dy
dz
xz0
解：点M与此曲线 既在1 : x2 y2 z2 6 0
又在2 : x y z 0
所以此曲线 在M的切线既垂直于曲面1在此点
的法向量，又垂直于曲面
在此点的法向量．
2
n1 2x,2y,2z 1,2,1 2,4,2 n2 1,1,1 1,2,1 1,1,1
特殊地：
1.空间曲线方程为
y z
( (
x) ,
x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处,
切线方程为 x x0 y y0 z z0 ,
1 ( x0 ) ( x0 )
法平面方程为
( x x0 ) ( x0 )( y y0 ) ( x0 )(z z0 ) 0.
设曲面方程为
F(x, y,z) 0
n
T
在曲面上任取一条通
M
过点M的曲线
x (t)
:
y
(t
),
z (t)
曲线在M处的切向量 T {(t0 ), (t0 ), (t0 )},
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例如,
z
x2 y2 z 2 1 C: 2 x ( y 1) 2 ( z 1) 2 1
在xoy 面上的投影曲线方程为
x
C
o
1 y
解: 先求两方程消去z而得的母线平行于z轴
的交线C，关于xOy面的投影柱面方程为：
x2 2 y2 2 y 0
M ( x, y, z )
L
称它为空间曲线的参数方程.
o
y
x 当给定t 时，就得到曲线上的一个点；随着参 数的变化，可得到曲线上全部的点。
例 1 如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度ω绕 z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上 升(其中ω、ν都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋 线.试建立其参数方程. 解：取时间t为参数，动点从A点出发，经过t，运 z 动到M点，M点在xoy面上的投影为M’
x 2 2 y 2 2 y 0 故xoy 面上的投影曲线方程为 z0
又如,
上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
C
x
例如,方程组
2 2
表示怎样的曲线？
x y 1表示母线平行于z轴的圆柱面
2 x 3z 6表示一个平面,
x2 y 2 1 表示了平面与圆柱面的交线. z 2 x 3 z 6
2
C
o
x
1 y
又如,方程组
z
a 2 a2 (x ) y2 2 4 表示上半球面与圆柱面的交线C.
z 4 x 2 y 2 , C: z 3( x 2 y 2 ) ,
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x 2 y 2 1, z 0.
所求立体在 xoy 面上的投影为
o x
y
x 2 y 2 1.
四、小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
o
1
y
x2 y2 z2 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2
x y z 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z 2 z
2 2 2
解 （1）消去变量z后得
3 x y , 4
2 2
在 xoy面上的投影为
ห้องสมุดไป่ตู้
o x
y
第五节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
第八章
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组:
G( x, y, z ) 0 L F ( x, y, z ) 0
S2
S1
特点： 曲线上的点都满足方程，满足方程的点都 在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.
F ( x , y, z ) 0 求空间曲线：L G ( x , y, z ) 0
在 xoy 面上的投影曲线方程的一般步骤
（1）消去变量z后得 xoy 面上的投影柱面：
H ( x, y) 0
（1）
（2）确定投影柱面与 xoy 面的交线
H ( x, y) 0 z 0
3 2 2 x y 4, z 0
x y z 1 例4 求曲线 在坐标面上的投影. 1 z z 2 1 解 （2）因为曲线在平面 z 上， 2
2 2 2
所以在 yoz 面上的投影为线段.
1 z 2, x 0
3 | y| 2
备用题 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
x y z 1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为 z x 2 y 2 ,它与所给平面的
z x 2 y 2 交线为 x y z 1 此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 x y x 2 y 2 1 z 0
观察下列曲线的形成：
x 1 (1) y2
z 4 x y (2) yx0
2
2
z
z
1
o o
2 y
o x
2y
x
(3)
x z a
2 2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
z
x2 y2 1 4 9 y3
x
2
3
y
高数A
z
C
y
H ( x, y ) 0 z0 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 R( y, z ) 0 x x0 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 T ( x, z ) 0 y0
C
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
解 截线方程为
y2 z2 x x 2y z 0
（3）消去 x 得 yoz 面上的投影
y2 z2 2 y z 0 . x 0
四、空间曲面或立体在坐标面上的投影.
z
称区域 D 为 空间曲面 S 在 xoy 面上 的投影。
M
( x, y, z )
点 M1绕 z 轴旋转,
这就是旋转曲面满足的参数方程 .
例如, 直线
绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
又如, xoz 面上的半圆周
绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x , y, z ) 0 设空间曲线的一般方程： L G ( x , y, z ) 0 z
令 t , b
v
上升高度 h 2 b
称为螺距 .
t
x A
o
M
M
y
例2. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
例3. 求空间曲线 : 时的旋转曲面方程 . 解: 转过角度 后到点 则
绕 z 轴旋转
S
o
M ( x,
y
y,0)
x
D
上述概念可推广到空间立体在坐标面上投影的情形.
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
例6
设一个立体,由上半球面 z 4 x 2 y 2 和
z 3( x 2 y 2 )锥面所围成, 求它在 xoy 面上的投影.
z
解 半球面和锥面的交线为
（1）消去 z 得 xoy 面上的投影
x 2 5 y 2 4 xy x 0 , z 0
（2）消去 y 得 xoz 面上的投影
x 2 5 z 2 2 xz 4 x 0 , y 0
例 5 求抛物面 y 2 z 2 x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
o x
1 z 2, y 0 3 | x | . 2
y
（3）同理在 xoz 面上的投 影也为线段.
例 5 求抛物面 y z x 与平面 x 2 y z 0
2 2
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 解 截线方程为
y2 z2 x x 2y z 0
ay x
x2 y2 z2 1 再如曲线 x 2 y 2 ( z 1)2 1表示怎样的曲线？
z z y y x z
x
3 2 2 化简： x y 4 1 z 2 y
x
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点M坐标x, y, z表示成参数t 的函数: z
F ( x, y , z ) 0 G ( x, y, z ) 0
x x(t ) y y (t ) z z (t )
空间曲线在坐标面上的投影．
H ( x, y ) 0 z 0
R( y, z ) 0 x 0
T ( x, z ) 0 y 0
消去变量z后得：H ( x , y) 0
（1）
C
y
曲线关于 xoy的投影柱面 注意：曲线L上的所有点都在该柱面上。 投影柱面的特征：
x
C 以此空间曲线L为准线，母线垂直于所投影的坐标面.
投影柱面与xoy面的交线称为曲线L在xoy面上的投 影曲线，简称投影。
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为