江苏省泰兴中学高二10月阶段检测数学试题
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二(上)10月阶段性测试(三)数学试卷(有答案)
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试（三）数学试卷一、选择题1. 若无穷等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d <0，{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A.S n 单调递减 B.S n 单调递增 C.S n 有最大值 D.S n 有最小值2. 设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 若数列{a n }的通项公式是a n =(−1)n (3n −2)，则a 1+a 2+⋯+a 10=( ) A.15 B.12 C.−12 D.−154. 椭圆x 2+2y 2=4的以(1, 1)为中点的弦所在直线的方程是（ ） A.x −4y +3=0 B.x +4y −5=0 C.x −2y +1=0 D.x +2y −3=05. 若不等式x 2+ax +4<0的解集为⌀，则a 的取值范围是( ) A.[−4, 4]B.(−4, 4)C.(−∞, −4]∪[4, +∞）D.(−∞, −4)∪(4, +∞)6. 已知x >2，则函数y =4x−2+4x 的最小值是( ) A.6 B.8 C.12 D.167. 已知a =30.3,b =(12)π,c =log 5√6，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c8. 数列{a n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，称为斐波那契数列，它是由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例子引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第3项开始，每项等于其前相邻两项之和，即：a n+2=a n+1+a n ，即该数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中正确的是( ) A.S 2019=a 2020+2 B.S 2019=a 2021+2 C.S 2019=a 2020−1D.S 2019=a 2021−1二、多选题已知P 是椭圆C:x 26+y 2=1上的动点，Q 是圆D ：(x +1)2+y 2=15上的动点，则( )A.C 的焦距为√5B.C 的离心率为√306C.圆D 在C 的内部D.|PQ|的最小值为2√55设有下面四个命题，其中假命题的选项是( ） A.“若a →⋅b →>0，则a →与b →的夹角为锐角”为真命题 B.若p:∀x ∈R,2x >0,则p 的否定为：∃x ∈R,2x <0 C.“ab ≤1”是‘a ≤1或b ≤1”的充分不必要条件 D.△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B下列有关命题的说法正确的是( ) A.∃x ∈(0,π)，使得2sin x +sin x =2√2成立B.命题p:∀x ∈R ，都有cos x ≤1，则¬p:∃x ∈R ，使得cos x >1C.函数f (x )=√x +1⋅√x −1与函数g (x )=√x 2−1是同一个函数D.若x ，y ，z 均为正实数，且3x =4y =12z ，x+y z∈(n,n +1)(n ∈N )，则n =4定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f(a n )}仍是等比数列，则f(x)称为“保等比数列函数”．现有定义在 (−∞, 0)∪(0, +∞)上的下列函数中，是“保等比数列函数”的是( ) A.f (x )=x 3 B.f (x )=e xC.f (x )=√|x|D.f (x )=log 2|x|三、填空题方程kx 2+4y 2=4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________．已知−1，a ，x ，b ，−4成等比数列，则实数x 的值是________.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有Sn T n=2n−34n−3，则a 3+a 152(b 3+b 9)+a 3b 2+b 10=________.命题“∃x ∈[−1,4]，x 2−(a +2)x +5+a <0”为假命题，则实数a 的范围为________. 四、解答题已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 1,a 3,a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .设集合A ={x|x 2−2x +1−m 2≤0,m >0}，集合B ={x|12x+2≥1}.(1)求出集合A 和集合B ；(2)设p:x ∈A,q:x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w 万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x 万元之间的函数关系为w =x+32（其中推广促销费不能超过5万元）．已知加工此农产品还要投入成本3(w +3w )万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为(4+30w)元/件．(1)试将该批产品的利润y 万元表示为推广促销费x 万元的函数；（利润=销售额−成本−推广促销费）(2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？已知椭圆L:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2． (1)求椭圆L 的标准方程；(2)过点Q (0,2)的直线l 与椭圆L 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l 的方程及|AB|的大小．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列， a 1=1，其前n 项和为S n ，S 4=S 22. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证： a n a n +1<a n +1a n +2;(3)若b n =a n a n+1，数列{b n }的前n 项积为H n ，求证H n <√2n+1.设函数y =ax 2+x −b (a ∈R,b ∈R ).(1)若b =a −54，且集合{x|y =0}中有且只有一个元素，求实数a 的取值集合；(2)求不等式y <(2a +2)x −b −2的解集；(3)当a >0,b >1时，记不等式y >0的解集为P ，集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠⌀，求1a−1b 的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试（三）数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】数列的函数特性【解析】化简可得{a n}是递减数列，且先正值，后负值；从而判断出S n有最大值．【解答】解：∵无穷等差数列{a n}的首项a1>0，公差d<0，∴{a n}是递减数列，且先正值，后负值；∴{a n}的前n项和为S n先增加，后减小；∴S n有最大值.故选C.2.【答案】D【考点】充分条件、必要条件、充要条件等比数列的性质【解析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：例如等比数列−1，−2，−4，…，满足公比q=2>1，但{a n}不是递增数列，所以充分性不成立．)n−1为递增数列，若a n=−1⋅(12<1不成立，所以必要性不成立，但q=12故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.3.【答案】A【考点】数列的求和【解析】【解答】解：∵a n=(−1)n(3n−2)，∴a1+a2+⋯+a10=−1+4−7+10−⋯−25+28=(−1+4)+(−7+10)+⋯+(−25+28)=3×5=15．故选A.4.【答案】D【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题直线的一般式方程中点坐标公式【解析】设直线l的方程为y−1=k(x−1)，代入椭圆的方程化简，由x1+x2=4k2−4k1+2k2=2解得k值，即得直线l的方程．【解答】解：由题意得，斜率存在，设为k，则直线l的方程为y−1=k(x−1)，即kx−y+ 1−k=0，代入椭圆的方程化简得(1+2k2)x2+(4k−4k2)x+2k2−4k−2=0，∴x1+x2=4k2−4k1+2k2=2，解得k=−12，故直线l的方程为x+2y−3=0.故选D．5.【答案】A【考点】一元二次不等式的解法【解析】利用一元二次函数图象，分析不等式解集为空集的条件，再求解即可．【解答】解：∵不等式x2+ax+4<0的解集为⌀，∴Δ=a2−16≤0⇒−4≤a≤4．故选A.6.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】y=4x−2+4x=4x−2+4(x−2)+8，利用基本不等式zhij求解即可.【解答】解：∵ x >2， ∴ x −2>0，∴ y =4x−2+4x =4x−2+4(x −2)+8 ≥2√4x−2⋅4(x −2)+8=16，当且仅当4x−2=4(x −2)，即x =3时等号成立，∴ 函数y =4x−2+4x 的最小值是16. 故选D . 7.【答案】 C【考点】指数式、对数式的综合比较 对数值大小的比较 对数的运算性质 【解析】【解答】解：∵ a =30.3>30=1， b =(12)π<(12)1=12，c =log 5√6>log 5√5=12，且c =log 5√6<log 55=1,∴ a >c >b . 故选C . 8.【答案】 D【考点】 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为S n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n =(a 3−a 2)+(a 4−a 3)+(a 5−a 4)+ (a 6−a 5)+⋯(a n+2−a n+1) =a n+2−a 2=a n+2−1， 所以S 2019=a 2021−1， 故选D .【答案】 B,C【考点】 椭圆的离心率 点与圆的位置关系 点到直线的距离公式【解析】由椭圆的方程可得a ，b ，c 的值，可得A ，D 不正确，可得圆D 的圆心离左顶点最近，进而可得C 正确，B 正确 【解答】解：由椭圆方程可得，a 2=6，b 2=1，则c 2=a 2−b 2=5，则焦距2c =2√5，A 不正确； 离心率e =ca =√5√6=√306，B 正确； 设P(x, y)(−√6≤x ≤√6)，D(−1, 0)，r 2=15， 则|PD|2=(x +1)2+y 2 =(x +1)2+1−x 26=56(x +65)2+45≥45>15，所以圆D 在C 的内部，且|PQ|的最小值为√45−√15=√55，故C 正确，D 不正确. 故选BC . 【答案】 A,B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用 命题的否定【解析】A ，利用向量的数量积判断其真假；B ，根据全称命题的否定形式判断；C ，根据充分条件与必要条件的概念判断；D ，利用正弦定理判断． 【解答】解：A ，若a →⋅b →>0，则a →与b →的夹角为锐角”，当a →与b →的夹角为0时，也满足题意，所以该命题为假命题，故A 错误；B ，若p:∀x ∈R ，2x >0，则¬p ：∃x 0∈R ，2x 0≤0，故B 错误；C ，若ab ≤1成立，则a ≤1或b ≤1成立；反之，若a ≤1或b ≤1成立，则ab ≤1成立不正确，故“ab ≤1”是“a ≤1或b ≤1”的充分不必要条件，故C 正确；D ，命题△ABC 中，若A >B ，则a >b ，由正弦定理可得sin A >sin B ，故D 正确. 故选AB ．B,D【考点】全称命题与特称命题 命题的真假判断与应用 基本不等式在最值问题中的应用 对数的运算性质判断两个函数是否为同一函数【解析】利用三角函数的定义，全称命题的否定，函数的定义，以及对数的运算性质判断即可. 【解答】 解：A ，由于2sin x+sin x =2√2，解得：sin x =√2∉(0,1]，所以不存在x ∈(0,π)，使得sin x =√2. 故选项A 错误；B ，由全称命题的否定为特称命题可知： 命题p:∀x ∈R ，都有cos x ≤1， 则¬p:∃x ∈R ，使得cos x >1. 故选项B 正确；C ，由于函数f(x)的定义域为：{x +1≥0，x −1≥0，解得：x ≥1，函数g(x)的定义域为：x 2−1≥0， 解得：x ≥1或x ≤−1，则函数f(x)与函数g(x)的定义域不同. 故选项C 错误；D ，令3x =4y =12z =k(k >1)， 则x =lg klg 3，y =lg klg 4，z =lg klg 12， 所以x+y z =lg k lg 3+lg klg 4lg k lg 12=1lg 3+1lg 41lg 12=lg 12lg 3+lg 12lg 4 =lg 3+lg 4lg 3+lg 3+lg 4lg 4=lg 4lg 3+lg 3lg 4+2∈(n,n +1)，n ∈N . 因为1<lg 4lg 3<2，0<lg 3lg 4<1， 所以3<x+y z <5.又lg 4lg 3+lg 3lg 4>2， 所以4<x+y z<5，所以n =4. 故选项D 正确. 故选BD . 【答案】 A,C【考点】等比数列的性质 【解析】根据新定义“保比等比数列”，结合等比数列中项的定义a n ⋅a n+2=a n+12，逐一判断四个函数，即可得到结论． 【解答】解：由等比数列性质知a n ⋅a n+2=a n+12， ①当f(x)=x 3时，f(a n )f(a n+2)=a n 3a n+23=(a n+12)3=(a n+13)2=f 2(a n+1)， 故A 正确；②当f(x)=e x 时，f(a n )f(a n+2)=e a n ⋅e a n+2=e a n +a n+2≠e 2a n+1=f 2(a n+1)， 故B 不正确；③当f(x)=√|x|时，f(a n )f(a n+2)=√|a n |⋅|a n+2|=√a n+12=f 2(a n+1)， 故C 正确；④当f(x)=log 2|x|时，f(a n )f(a n+2)=log 2|a n |log 2|a n+2| ≠log 2|a n+1|2=f 2(a n+1)， 故D 不正确； 故选AC . 三、填空题【答案】 (0, 4) 【考点】椭圆的标准方程 【解析】将方程化为标准方程，由焦点在x 轴上可得k 的取值范围． 【解答】解：方程化简为：x 24+y 2k=1，由于椭圆的焦点在x 轴上， 所以k ∈(0, 4). 故答案为：(0, 4). 【答案】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵−1，a，x，b，−9成等比数列，∴实数x=−√(−1)×(−4)=−2.故答案为：−2.【答案】1941【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质【解析】利用等差数列的通项公式性质可得：a3+a152(b3+b9)=2a92(b3+b9)，可得a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=a9 b1+b11+a3b1+b11，再进行转化利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵等差数列中，若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q；等差数列的前n项和为：S n=(a1+a n)n2．∴a3+a152(b3+b9)=2a92(b3+b9)=a9b3+b9,∴a3+a152(b3+b9)+a3b2+b10=a9b3+b9+a3b2+b10=a9b1+b11+a3b1+b11=a3+a9b1+b11=a1+a11b1+b11=11(a1+a11)211(b1+b11)2=S11T11=2×11−34×11−3=1941.故答案为：1941.【答案】[−4,4]【考点】不等式恒成立问题命题的真假判断与应用基本不等式解：∵对任意的x∈[−1,4]，x2−(a+2)x+5+a≥0恒成立，即a(x−1)≤x2−2x+5恒成立．当x=1时，不等式为0≤4恒成立；当x∈(1,4]时，a≤x 2−2x+5x−1=x−1+4x−1.∵1<x≤4，∴0<x−1≤3，∴x−1+4x−1≥4，当且仅当x−1=4x−1时，即x=3时取$`` = "$,∴a≤4，当x∈[−1,1)时，a≥x 2−2x+5x−1=x−1+4x−1=−(1−x+41−x)，∴0<1−x≤2令t=1−x，则t∈(0,2]，∵函数y=−(t+4t)在t∈(0,2]上单调递增，∴当t=2，即x=−1时，函数y=−(t+41)取到最大值−4，∴a≥−4.综上所述，a的取值范围是[−4,4]．故答案为：[−4,4].四、解答题【答案】解：(1)由题设知公差d≠0，由a1=1,a1，a3，a9成等比数列，得1+2d1=1+8d1+2d，解得d=1或d=0（舍去），故{a n}的通项a n=1+(n−1)×1=n．(2)b n=1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，T n=b1+b2+b3+⋯+b n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1 n+1=nn+1．【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式【解答】解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1=1,a 1，a 3，a 9成等比数列， 得1+2d 1=1+8d1+2d ，解得d =1或d =0（舍去），故{a n }的通项a n =1+(n −1)×1=n ． (2)b n =1an a n+1=1n (n+1)=1n −1n+1，T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n +1=1−1n +1=nn+1．【答案】解：(1)由x 2−2x +1−m 2≤0得， [x −(1−m )][x −(1+m )]≤0，再结合m >0，所以集合A ={x|1−m ≤x ≤1+m}， 由12x+2≥1得，10−xx+2≥0， 则{(10−x )(x +2)≥0,x +2≠0.所以集合B ={x|−2<x ≤10}.(2)由题意得，集合B 真包含于集合A ， 所以{1−m ≤−2,1+m ≥10,解得m ≥9.所以实数m 的取值范围{m|m ≥9}. 【考点】集合的包含关系判断及应用 元素与集合关系的判断 【解析】【解答】解：(1)由x 2−2x +1−m 2≤0得， [x −(1−m )][x −(1+m )]≤0，再结合m >0，所以集合A ={x|1−m ≤x ≤1+m}， 由12x+2≥1得，10−xx+2≥0，所以集合B ={x|−2<x ≤10}.(2)由题意得，集合B 真包含于集合A ， 所以{1−m ≤−2,1+m ≥10,解得m ≥9.所以实数m 的取值范围{m|m ≥9}. 【答案】解：(1)由题意知,y =(4+30w)w −3(w +3w )−x =w +30−9w−x =632−x2−18x+3(0≤x ≤5)．所以y =632−x 2−18x+3(0≤x ≤5).(2)∵ y =632−x2−18x+3=632−12(x +36x +3) =33−12(x +3+36x +3)≤33−12⋅2√(x +3)⋅36x+3=27(0≤x ≤5)．当且仅当x =3时，上式取“=”∴ 当x =3时，y 取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 根据实际问题选择函数类型 函数最值的应用【解析】（1）根据利润公式得出y 关于x 的函数； （2）利用基本不等式得出最大利润 【解答】解：(1)由题意知,y =(4+30w)w −3(w +3w )−x =w +30−9w−x =632−x2−18x+3(0≤x ≤5)．所以y =632−x 2−18x+3(0≤x ≤5).(2)∵ y =632−x 2−18x+3=33−12(x +3+36x +3)≤33−12⋅2√(x +3)⋅36x+3=27(0≤x ≤5)．当且仅当x =3时，上式取“=”∴ 当x =3时，y 取最大值27．答：当推广促销费投入3万元时，利润最大，最大利润为27万元． 【答案】解：(1)由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2=34得a 2=4b 2，又∵ 短轴长为2，可得b =1，a 2=4， ∴ 椭圆L 的标准方程为：x 24+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，直线l 的方程为：y =kx +2，则联立{y =kx +2,x 2+4y 2−4=0,消元得：(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=16×16k 2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 即k 2>34．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，∴ x 1+x 2=−16k4k 2+1，x 1⋅x 2=124k 2+1，∴ y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1⋅x 2+2k(x 1+x 2)+4 . 由题意可知OA →⊥OB →，OA →⋅OB →=0即：x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=(1+k 2)x 1⋅x 2+2k (x 1+x 2)+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k 2=4>34， ∴ k =±2 ,|AB|=√1+k 2|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2=4√6517． 综上：直线l 的方程为：y =±2x +2，|AB|=4√6517． 【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的离心率向量的数量积判断向量的共线与垂直待定系数法求直线方程 直线的一般式方程 【解析】 【解答】 解：(1)由e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a2=34得a 2=4b 2，又∵ 短轴长为2，可得b =1，a 2=4， ∴ 椭圆L 的标准方程为：x 24+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为k(k ≠0)，直线l 的方程为：y =kx +2，则联立{y =kx +2,x 2+4y 2−4=0,消元得：(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=16×16k 2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 即k 2>34．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， ∴ x 1+x 2=−16k 4k 2+1，x 1⋅x 2=124k 2+1，∴ y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1⋅x 2+2k(x 1+x 2)+4 . 由题意可知OA →⊥OB →，OA →⋅OB →=0即：x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=(1+k 2)x 1⋅x 2+2k (x 1+x 2)+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，解得k 2=4>34， ∴ k =±2 ,|AB|=√1+k 2|x 1−x 2| =√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2=4√6517． 综上：直线l 的方程为：y =±2x +2，|AB|=4√6517． 【答案】(1)解：设公差为d ,∵ S 4=S 22，∴ 1+1+d +1+2d +1+3d =(1+1+d)2, 解得，d =2或d =0(舍去)， ∴ a n =2n −1.22∴2n−12n <2n2n+1，∴a na n+1<a n+1a n+2.(3)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2．即由(2)得b n=2n−12n <2n2n+1，∴(12×34×⋯×2n−12n)2<12×34×⋯×2n−12n×23×45×⋅⋅⋅×2n2n+1=12n+1，∴12×34×…×2n−12n<√2n+1n∈N∗)，∴H n<√2n+1．【考点】数列的求和等差数列的性质等差数列的通项公式【解析】【解答】(1)解：设公差为d,∵S4=S22，∴1+1+d+1+2d+1+3d=(1+1+d)2, 解得，d=2或d=0(舍去)，∴a n=2n−1.(2)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2，∴2n−12n <2n2n+1，∴a na n+1<a n+1a n+2.(3)证明：∵4n2−1<4n2，即(2n+1)(2n−1)<(2n)2．即由(2)得b n=2n−12n <2n2n+1，∴(12×34×⋯×2n−12n)2<1×3×⋯×2n−1×2×4×⋅⋅⋅×2n=1，∴ 12×34×…×2n−12n<√2n+1n ∈N ∗)，∴ H n <√2n+1．【答案】解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时Δ=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(2)由题意，y <(2a +2)x −b −2， 可得ax 2−(2a +1)x +2<0， 化简即(ax −1)(x −2)<0，所以①当a >0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)<0， 1∘当0<a <12时，1a >2，此时不等式的解集为(2,1a )；2∘当a =12时，则不等式化为(x −2)2<0，此时不等式的解集为⌀；3∘当a >12时，1a<2，此时不等式的解集为(1a,2)．②当a =0时，不等式可化为−x +2<0，此时不等式的解集为(2,+∞). ③当a <0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)>0.此时不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞).综上所述：当a <0时，不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞)；当a =0时，不等式的解集为(2,+∞); 当0<a <12时，不等式的解集为(2,1a )； 当a =12时，不等式的解集为⌀; 当a >12时，不等式的解集为(1a ,2)．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }，即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a−1b ≤4b+2−1b=3b−2b (b+2)， 令t =3b −2，则t >1，此时b =t+23，所以1a−1b ≤4b+2−1b=3b−2b (b+2)=9tt+16t+10≤12，当且仅当t =16t，即t =4时，此时a =1，b =2，1a−1b有最大值为12．【考点】集合关系中的参数取值问题 基本不等式在最值问题中的应用 一元二次不等式的解法 【解析】解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时△=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }，对于任意正数t ，−2∈Q . 又因为P ∩Q ≠⌀，所以满足当x =−2时，函数y ≥0， 即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)， 令t =3b −2，则t ＞1，此时b =t+23， 所以1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)=9tt+16t+10≤12，当且仅当t =16t，即t =4时，此时a =1，b =2，1a −1b 有最大值为12．解：(1)当b =a −54时，y =ax 2+x −a +54， 由题意集合{x|y =0}中有且仅有一个元素，则：①当a =0时，x +54=0，解得x =−54，满足题意；②当a ≠0时，可令y =0，得ax 2+x −a +54=0， 此时Δ=1+4a (a −54)=0，解得a =1或14．综上所述，a 的取值集合为{0,14,1}．(2)由题意，y <(2a +2)x −b −2， 可得ax 2−(2a +1)x +2<0， 化简即(ax −1)(x −2)<0，所以①当a >0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)<0，1∘当0<a <12时，1a >2，此时不等式的解集为(2,1a )；2∘当a =12时，则不等式化为(x −2)2<0，此时不等式的解集为⌀； 3∘当a >12时，1a <2，此时不等式的解集为(1a ,2)．②当a =0时，不等式可化为−x +2<0，此时不等式的解集为(2,+∞). ③当a <0时，不等式可化为(x −1a )(x −2)>0.此时不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞).综上所述：当a <0时，不等式的解集为(−∞,1a )∪(2,+∞)；当a =0时，不等式的解集为(2,+∞); 当0<a <12时，不等式的解集为(2,1a )； 当a =12时，不等式的解集为⌀; 当a >12时，不等式的解集为(1a ,2)．(3)由题意集合Q ={x|−2−t <x <−2+t }， 对于任意正数t ，−2∈Q .又因为P ∩Q ≠⌀，所以满足当x =−2时，函数y ≥0， 即4a −2−b ≥0，所以4a ≥b +2>3， 则1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2)，试卷第21页，总21页 所以1a −1b ≤4b+2−1b =3b−2b (b+2) =9tt+16t +10≤12， 当且仅当t =16t ，即t =4时，此时a =1，b =2，1a −1b有最大值为12．。
江苏省泰州市泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含解析)
泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学（考试时间：120分钟；总分：150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，1.经过两点的直线的倾斜角为（ ）A.B.C.D.2.若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）A. B.CD.3.平面内一点到两定点的距离之和为10，则的轨迹方程是（）A. B.C. D.4.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（）A.米B.米C.米D.米5.若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.或6.已知点在圆上，点，则满足点的个数为（ ）A.3B.2C.1D.07.设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交()()0,3,P Q -30 60 120 1502224240x y mx y m m ++-+-=m 0m <12m <1m >-2m ≥M ()()120,3,0,3F F -M 2212516x y +=2212516y x +=2212516y x -=2212516x y -=y x m =+x =m m =m ≥m ≤m <<11m -<≤m =P 22:(2)(1)4O x y -+-=()()1,2,2,2A B --6AP BP ⋅=P :10l x y +-=O ()0y kx x =≥l l x于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（ ）A.B. C. D.8.已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最小值为（ ）A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的德6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知中，，则关于下列说法中正确（ ）A.某一边上的中线所在直线的方程为B.某一条角平分线所在直线的方程为C.某一边上的高所在直线的方程为D.某一条中位线所在直线的方程为10.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角的取值范围是B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.过点且在轴，轴截距相等的直线方程为D.设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是11.已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（）A.若点在直线上，则直线过定点M x y N MN =k 3223121322:16O x y +=12,2F ⎛-+ ⎝E :2160l x y -+=E O ,A B AB EO M MF ∣32ABC V ()()()1,2,1,0,3,4A B C -ABC V 2y =2y =20x y +=210x y -+=sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-210a x y -+=20x ay --=()1,2P x y 30x y +-=()()2,3,3,2A B ---(),P x y AB 11y x --(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭O 224x y +=O (),P a b O A B OP AB D P 40x y ++=AB ()1,1--B.当取得最小值时，点在圆上C.直线，关于直线对称D.与的乘积为定值4三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出过点且与圆相切的直线方程__________.（写出一条直线即可）13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________.14.已知为圆上任意一点，，则的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）已知点和直线.（1）求过点与直线平行的直线的方程；（2）求过的中点与垂直的直线的方程.16.（15分）已知以点为圆心的圆与__________，过点的动直线与圆相交于两点.从①直线相切；②圆关于直线对称.这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.（1）求圆的方程；（2）当的方程.17.（15分）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为.PA PB ⋅P 2232x y +=PA PB 22ax by a b +=+OP OD ()1,4A -22:(2)(3)1C x y -+-=22112x y m m+=--y m P 22(1)(1)1x y -+-=()()0,0,2,0O B PO ()()1,3,5,7A B --:34200l x y +-=A l 1l ,A B l 2l ()1,2A -()2,0B -l A ,M N270x y ++=22(3)20x y -+=210x y --=A MN =l ABO 1AB OB ==AB OB ⊥11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭P MN AMN V MN k（1）用表示出直线的方程，并求出的坐标；（2）求锯成的的面积的最小值.18.（17分）如图，圆C ：.（1）若圆与轴相切，求圆的方程；（2）当时，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）.问：是否存在圆，使得过点的任一条直线与该圆的交点，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.19.（17分）已知为圆上三点.（1）若直线过点，求面积的最大值；（2）若为曲线上的动点，且.试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.k MN M N ､AMN V ()2210x a x y ay a -++-+=C y C 4a =C x ,M N M N 222:O x y r +=M ,A B ANM BNM ∠∠=()0,3,,A B C 22:9O x y +=BC ()0,2ABC V D ()22(1)43x y y ++=≠-AD AB AC =+AB AC数学学科答案（考试时间：120分钟；总分：150分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.【答案】C【解析】由题意知，经过的直线的斜率为设该直线的倾斜角为，则，所以，即直线的倾斜角为.故选：C 2.【答案】C 3.【答案】B【解析】平面内一点到两定点的距离之和为，所以的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且，椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为.故选：B.4.【答案】C【解析】如图建立平面直角坐标系，则圆心在轴上，设圆的半径为，则圆的方程为，拱顶离水面3米，水面宽12米，圆过点，圆的方程为，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，当水面下降1米后，水面宽度为.PQ k ==()0180θθ≤<tan k θ==120θ=120 M ()()120,3,0,3F F -106>M 5,3,4a c b =====y 2212516y x+=y r 222()x y r r ++= ∴()6,3-221536(3),,2r r r ∴+-+=∴=∴221522524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭(),4t -244,t t =∴=±∴故选：C.5.【答案】D【解析】因为曲线，即，表示圆心为原点，半径为1的半圆，如图，当直线，即与曲线相切时，圆心到直线的距离，解得或（舍去）当直线，即与曲线相交且只有一个交点时，，综上可得，或，故选：D 6.【答案】B【解析】设点，则，由，得，即，故点的轨迹为一个圆心为､半径为的圆，又点在圆上，，半径差为，有，所以两圆相交，满足这样的点有2个.故选：B.7.【答案】B0x =≥()221,0x y x +=≥y x m =+0x y m -+=1d m =m =y x m =+0x y m -+=11m -<≤11m -<≤m =(),P x y ()()1,2,2,2AP x y BP x y =+-=+-AP BP ⊥()()22212(2)3466AP BP x x y x y x y ⋅=+++-=++-+= 22325(2)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭P 3,22⎛⎫-⎪⎝⎭52P 22:(2)(1)4O x y -+-=59222+=51222-=1922<<P【解析】如图，设点关于直线的对称点为：则得，即，由题意知与直线不平行，故，由，得，即为入射点，故直线的斜率为，直线的直线方程为：，令得，故，令得，故由对称性可得，由得，即，解得，得或，若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件.故，O l ()11,A x y ()1111102211x y y x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪⨯-=-⎪⎩1111x y =⎧⎨=⎩()1,1A ()0y kx x =≥l 1k ≠-10y kx x y =⎧⎨+-=⎩111x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1,,11k P P k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭AP 111111APkk k k k -+==-+AP ()111y x k-=-0y =1x k =-()1,0M k -0x =11y k =-10,1N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN =22113(1)136k k ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭21113236k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1136k k +=23k =32k =32k =y 23k =故选：B.8.【答案】B【解析】如图，设，由题可知，则，即，所以，所以点，将点的坐标代入，化简得（不同时为0，故点的轨迹是以为半径的圆，又，点在该圆外，所以的最小值为，故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AD【解析】对于A ，线段的中点为，又，所以边上的中线所在直线的方程为，故A 正确；对于B ，由A 知，只能为的角平分线，假设为的角平分线，在上任取一点，直线的方程为：，即.(),M x y :AOE MOA V V OA OM OEOA=2||OA OE OM =⋅2222||16||OEOA OM OM x y ==+22221616,x y E x y x y ⎛⎫ ⎪++⎝⎭E :2160l x y -+=2215(1)24x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,x y )M 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭22115(21)20224⎛⎫-+++-=> ⎪⎝⎭F MF =-=BC ()2,2()1,2A -BC 2y =2y =A ∠2y =A ∠2y =(),2M a AB 1y x =-+10x y +-=直线的方程为：，即，则到直线的距离为：则到直线的距离为：因为，故B 错误；对于C ，因为，而直线的高所在直线的方程为：，故C 错误；对于D ，线段的中点为，线段的中点为，线段的中点为，直线的方程为：，即，所以D 正确；故选：AD.10.【答案】AD【解析】对于A ：直线的倾斜角为，则，因为，所以，故A 正确.对于B ：当时，直线与直线的斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线与直线互相垂直”，则，故或，所以得不到，故必要性不成立，故B 错误.对于C ：截距为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，当截距不为0时，设直线方程为，又直线过点，所以可得，所以直线方程为，AC ()1212y x -=+250x y -+=(),2M a AB 1d (),2M a AC 2d 12d d ≠()4212040,1,23121131AC AB CB k k k ---====-==-----AC ()2122y x x =--=-+BC ()2,2E AC ()1,3F AB ()310,1,210FD D k -==-FD 12y x -=210x y -+=θ[]tan sin 1,1θα=-∈-0πθ≤<π3π0,,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-10x y -+=20x y +-=1,1-1-210a x y -+=20x ay --=20a a +=0a =1a =-1a =-y kx =()1,2P 2k =2y x =1x ya a+=()1,2P 3a =30x y +-=所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C 错误；对于D ：如图，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，Q 点，点是线段（含端点）上任一点，，或的取值范围是.故D 正确.故选：AD.11.【答案】ACD 【解析】【分析】根据垂直关系可得四点共圆，进而可得以为直径的圆的方程，两圆相减可得直线的方程，即可得定点坐标，根据数量积的运算律，结合基本不等式即可求解最值，进入可得点的轨迹，根据直线关于直线对称，而与直线垂直，即可判断C ，根据锐角三角函数即可求解D.【详解】设，由四点，，，共圆，且以为直径，可得圆的方程为，化简得，联立圆，可得直线的方程为，即，令，且，解得，即直线恒过定点，故A 正确，，()1,2P x y 30x y +-=2y x =()1,1Q 11y x --PQ k ()()2,3,3,2A B ---(),P x y AB 13123Q 4,12134AQ BQ k k ++==-==-+34k ∴≥14,1y k x -≤-∴-(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭OP AB P ,PA PB OP 22ax by a b +=+0OPbx ay -=(,4)P m m --P A O B OP 2222442222m m m m x y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2240x y mx m y +-++=224x y +=AB ()440mx m y -++=()440m y x y -++=y x =440y +=1x y ==-AB ()1,1--()()2222PA PB OA OP OB OP OA OB OP OA OP OB OP OA OB OP OA OB⋅=-⋅-=⋅+-⋅-⋅=⋅+-- ()2222232cos 2842cos 1812OA OB AOP OP AOP OP OP OP=⋅∠+-=∠-+-=+-由于，当且仅当时，即时等号成立，故此时点在圆上，故B 错误，由于直线，关于直线对称，而方程为，由于直线与垂直，故直线，关于直线对称，C 正确，设，则，，所以，故D 正确，故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】或，答案不唯一13.【答案】14.【解析】设，取四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.2232OP OP +≥ 2232OP OP = 2OP = P 22x y +=PA PB OP OP 0bx ay -=22ax by a b +=+0bxay -=PAPB 22ax by a b +=+AOP θ∠=cos OA OP θ=cos OD OA θ=2cos 4cos OA OP OD OA OA θθ===4(y =34130x y +-=)31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(),,C m n PO =22222()()x y x m y n ⎡⎤⇒+=-+-⎣⎦()22224420x mx y ny m n ⇒-+-++=1111,,,2222m n C ⎛⎫==⇒ ⎪⎝⎭)PO PC PB =+≥=15.解析：（1）的斜率为，因为，所以，代入点斜式，得，化简，得.（2）的中点坐标为，因为，所以，代入点斜式，得，化简，得.16.【解析】（1）选①：因为圆与直线相切，所以圆，因此圆的方程为；选②：因为圆与圆关于直线对称，所以两个圆的半径相等，因此圆的半径为所以圆的方程为.（2）两种选择圆的方程都是，当过点的动直线不存在斜率时，直线方程为，把代入中，得显然当过点的动直线存在斜率时，设为，直线方程为，因为，所以有，即方程为：.34200x y +-=34-1l l ∥134k =-()3314y x -=-+3490x y +-=,A B ()2,2-2l l ⊥243k =()4223y x +=-43140x y --=A 270x y ++=A A 22(1)(2)20x y ++-=A 22(3)20x y -+=210x y --=A A 22(1)(2)20x y ++-=A 22(1)(2)20x y ++-=()2,0B -l 2x =-2x =-22(1)(2)20x y ++-=2y =(22+--=()2,0B -l k ()220y k x kx y k =+⇒-+=MN =22132024k ⎛+⨯=⇒= ⎝3460x y -+=综上所述：直线的方程为或.17.【答案】（1）.（2）.【解析】【小问1详解】设直线，因为直线过点，所以，即，所以，又因为，易得直线，直线，联立，解得；联立，解得，故.【小问2详解】因为，所以，所以，因为，设到直线的距离为，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.18.【答案】（1）或（2）存在，【解析】（1）因为由，可得由题意得l 3450x y -+=2x =-()()1212121:,,,1,4241414MN k k k k l y kx M N k k ⎛⎫--+⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭14:MN y kx b =+MN 11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1142k b =⋅+142k b =-1:42MN k l y kx =+-()()1,1,1,0A B :OA y x =:1AB x =142k y kx y x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩()()21412141k x k k y k -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩1421k y kx x ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩1214x k y =⎧⎪⎨+=⎪⎩()()212121,,1,41414k k k M N k k ⎛⎫--+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11,22OP BP k k ==-1122k -≤≤131,22k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2132144k k AN +-=-=M AN d ()()212314141k k d k k --=-=--()()2113223(23)22441321k k k S AN d k k ---=⋅=⨯⨯=--()()()()21414(1)111111132184184k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-+-==+-+≥+=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦()1141k k =--12k =S 14225440x x y y -+-+=220x x y -+=224x y +=()22010x x a x y ay a =⎧⎨-++-+=⎩20,y ay a -+=，所以或，故所求圆的方程为或.（2）Q 令，得，即，求得，或，所以.假设存在圆，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，代入得，设，从而.因为的斜率之和为而因为，所以，的斜率互为相反数，即，所以，即.当直线与轴垂直时，仍然满足，即的斜率互为相反数.综上，存在圆，使得.19.解：（1）方法一设直线的方程为将代入得，令，则当，即时，方法二直线过点面积等于面积的一半设到直线的距离为，则2Δ()40a a =--=4a =0a =C 225440x x y y -+-+=220x x y -+=4a =∴0y =2540x x -+=()()140x x --=1x =4x =()()1,0,4,0M N 222:O x y r +=AB x AB ()1y k x =-222x y r +=()22222120k x k x k r +-+-=()()1122,,,A x y B x y 2221212222,11k k r x x x x k k-+==++NA NB ､()()()()()()122112121214144444k x x x x y y x x x x ⎡⎤--+--⎣⎦+=----()()()()()2222122112212222821414258258111k r k r x x x x x x x x k k k ----+--=-++=⨯-⨯+=+++ANM BNM ∠∠=NA NB ､1212044y y x x +=--228201r k-=+24r =AB x ANM BNM ∠∠=NA NB ､22:4O x y +=ANM BNM ∠∠=BC ()()11222,,,,y kx B x y C x y =+2y kx =+229x y +=()221450k x kx ++-=12112ABC S x x =⋅⋅-==V 21k t +=1ABC S t ==≥V 1t =0k =ABC V BC ()0,2,ABC ∴V OBC V O BC d (]0,2d ∈设，则当，即时，（2）设直线和直线的斜率之积为，设，则①，因为为圆上，所以化简得整理得②因为，所以从而，又因为为曲线上的动点所以，展开得，将①代入得，化简得，将②代入得1124ABC OBC S S BC d d ==⋅==V V (]20,4t d =∈ABC S =V 4t =2d =ABC V AB AC ()0m m ≠()()()112200,,,,,B x y C x y D x y 121233y y m x x --⋅=()()1212133x x y y m =--()()22122221233y y m x x --=,B C 222:O x y r +=222211229,9x y x y +=+=()()()()22122221233,99y y m y y --=--()()()()122123333y y m y y --=++()()2121223191m y y y y m +=-+--AD AB AC =+ ()()()112200,3,3,3x y x y x y -+-=-()1212,3D x x y y ++-D ()22(1)43x y y +-=≠-()()22121224x x y y +++-=()()()2222112212121222444x y x y x x y y y y +++++-++=()()()12121229933240y y y y y y m++--+-+=()()()()1212123910m y y m y y m +-++++=，整理得因为，所以，从而又，所以()()()()()()2121223119239101m m y y m y y m m ⎡⎤+⎢⎥+-+--++++=-⎢⎥⎣⎦()212501m m y y m +⋅+=-1233y y +-≠-120y y +≠250m m +=0m ≠15m =-。
高二数学10月阶段检测试题
江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测一．填空题（共14题，每题5分，共70分；请将答案写在答题纸指定区域） 1.命题“2,80x Q x ∃∈-=”的否定是 .2.椭圆22110064x y +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为7，则点P 到右焦点的距离为 .3.双曲线22221124x y m m -=+-的焦距为 . 4.抛物线2y x =的准线方程为 .5.“四边形四条边相等”是“四边形是正方形”的 条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个填写)6.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的离心率为 . 7.已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是____________．9.已知0,1a a >≠，命题p ：函数log (1)a y x =+在(0，+∞)上单调递减，命题q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是 ．10.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为____ __.11.已知点(0,2)A ，抛物线22,(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则p ＝__________.12.已知椭圆E ：22142x y +=，直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为1(1,)2-，则l 的方程为 .13.已知直线10x y -+=上有两点,A B ，且2AB =，动点P 在抛物线22y x =上，则PAB ∆面积的最小值是 .14．在椭圆2214x y +=中，12,F F 为椭圆的左右焦点，P 是直线4x =上的一个动点．则∠APB 取得最大值时线段OP 的长为 ．二．解答题（共6题，90分.每题都应写出必要的计算过程） 15.（本题14分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1) 6,1a b ==，焦点在x 轴上的椭圆；（2）与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点(32,2)的双曲线.16.（本题14分）设命题:p 方程22191x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线2214x y k-=的离心率()1,2e ∈．（1）若“p 且q ”为真命题，求k 的取值范围； （2）当6k =时，求双曲线的焦点到渐近线的距离.17.（本题14分）已知抛物线C 以直线2360x y -+=与坐标轴的交点为焦点， （1）求抛物线C 的标准方程；（2）设（1）中焦点在x 轴上的抛物线为1C ,直线l 过点(0,2)P 且与抛物线1C 相切，求直线l 的方程.18.（本题16分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点(0,1)M ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若=2，求直线l 的方程．19.（本题16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ． （1）求椭圆的方程；（2）若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．xyOPQA20.（本题16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点)0,1(F ，离心率为22，过F 作两条互相垂直的弦CD AB ,，设CD AB ,的中点分别为N M ,.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦CD AB ,的斜率均存在，求FMN ∆面积的最大值.江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测参考答案18：解：（1）设椭圆方程为，因为，所以，所求椭圆方程为…（5分）（2）由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y=kx+1则由得（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8=0，且△＞0．（8分）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由=2得x 1=﹣2x 2…..又，（12分）所以消去x 2得解得所以直线l 的方程为，即x ﹣2y+2=0或x+2y ﹣2=0…（16分）19．解： ⑴因为ca ＝22，a 2c = 2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝１．故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． ………………………………………………4分 ⑵解法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1， – y 1)．因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1．令y = 0，解得m ＝－x 1y 1－1. ………………………………………………8分因为k AQ ＝ －y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1．令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1． ………………………………………………12分所以mn ＝－x 1y 1－1x 1y 1＋1＝x 211－y 21． ………………………………………………14分又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22+ y 2 = 1上，所以x 212 + y 21= 1，即1－y 21=x 212， 所以x 211 – y 21＝2，即mn ＝2． 所以mn 为常数，且常数为2． ………………………………………………16分解法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y = kx +1， 令y = 0，得m ＝－1k． ………………………………………………6分联立方程组⎩⎨⎧y = kx + 1，x 22+ y 2＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P =－4k 1 + 2k 2， ……………8分所以y P ＝k ×x P ＋1＝1－2k 21＋2k 2，则Q 点的坐标为(－4k1 + 2k 2，－1－2k 21＋2k 2)．………………………………………10分所以k AQ ＝－1－2k 21＋2k 2－1－4k 1 + 2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12k x ＋1．令y ＝0，得n ＝－2k ， …………………………………………14分 所以mn ＝(－１k)(－2k )＝2．所以mn 为常数，常数为2．…………………………………………16分 20. 解：（1）由题意：21,c c a ==，则2,1,1a b c ==，（每个1分） ……3分 椭圆的方程为2212x y += ……4分（2）,AB CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：(1)y k x =-，12121122(,),(,),(,(1))22x x x xA x yB x y M k ++-， 22(1),220,y k x x y =-⎧⎨+-=⎩ 得2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……5分212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故2222(,)1212k k M k k -++， ……6分 将上式中的k 换成1k -，则同理可得：222(,)22kN k k ++， ……8分 如22222122k k k =++，得1k =±，则直线MN 斜率不存在， 此时直线MN 过点2(,0)3，下证动直线MN 过定点2(,0)3P . ……9分（法一）若直线MN 斜率存在，则 22224222(33)3122222221122MNk kk k k k k k k k k k k ---+-++===⨯---++， 直线MN 为22232()2212k k y x k k k --=⨯-+-+，……11分 令0y =，得222222212312232323k k x k k k -+-=+⨯=⨯=+++， 综上，直线MN 过定点2(,0)3. ……12分（法二）动直线MN 最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x 轴上，设23x =与x 轴交点为2(,0)3P ，下证动直线MN 过定点2(,0)3P .当1k ≠±时，PMk =22223122221123kkkk k k -+=⨯--+，……10分 同理将上式中的k 换成1k-，可得221()3312211PMk k k k k -==⨯--， ……11分则PM PN k k =，直线MN 过定点2(,0)3P . ……12分（3）由第（2）问可知直线MN 过定点2(,0)3P ，故S △FMN =S △FPM +S △FPN 221111||||2322312k kk k -=⨯+⨯++2222421||(33)1||(1)6(2)(12)2252k k k k k k k k ++==⨯++++ ……13分 221(||)1||2225k k k k +=++，令1||[2,)||t k k =+∈+∞，S △FMN 21()22(2)5t f t t ==⨯-+21221t t =⨯+ ……14分则()f t 在[2,)t ∈+∞单调递减， ……15分当2t =时()f t 取得最大值，此时S △FMN 取得最大值19，此时1k =±. ……16分。
江苏省泰州中学2020-2021学年高二10月月度质量检测数学试题【含答案】
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通项公式为
一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一
已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则
．若，则．以为直径的圆与准线相切
．设，则
．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有
已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为
一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是,在凹槽内放入一
设半径为，圆心为，圆方程为：代入双曲线方程，得，要使清洁球到达底部，.
二、多项选择题：本题共4
已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则
．若，则．以为直径的圆与准线相切
．设，则
．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有
已知，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于顶点的任意一点，点是内切圆的圆心，过作于，为坐标原点，则的取值范围为。
高二数学10月月考试题 23(共5页)
高二10月月考数学试题一、选择题(本大题一一共(y īg òng)10小题，每一小题5分，一共50分)1．在以下四个命题中，正确的命题一共有( ) ①坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率； ②直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°]；③假设一条直线的斜率为tan α，那么此直线的倾斜角为α； ④假设一条直线的倾斜角为α，那么此直线的斜率为tan α. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．过P (4，－3)且在坐标轴上截距绝对值相等的直线有( ) A ．4条 B ． 3条 C ．2条 D ．1条3．直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0(k∈R)所经过的定点是( ) A ．(5,2) B ．(2,3) C ．(－12，3) D ．(5,9)4．过点〔1，0〕且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是〔 〕 A. x-2y+1=0 B. x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 5．直线对称的直线方程是 〔 〕A ．B ．C ．D ．6．设a 、b 、c 分别为 ABC 中∠A 、∠B 、∠C 对边的边长，那么直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系〔 〕7．假如直线交于M 、N 两点，且M 、N关于直线对称，那么直线l 被圆截得的弦长为〔 〕A. 2B. 3C. 4D.8．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 相交，那么l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或者(huòzhě)k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对表示的曲线是 ( )A.两条射线和一个圆B.一条直线和一个圆 10．假如圆上总存在两个点到原点的间隔 为，那么实数的取值范围是〔 〕 Ａ．Ｂ. Ｃ. Ｄ.二、填空题(本大题一一共7小题，每一小题4分，一共28分) 11．圆，经过点P(－1,2)作圆的切线，那么其切线方程为______________.12．假设直线与圆相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120° (其中O为原点)，的值是 ．13．假如三条直线mx +y +3=0, x -y -2=0, 2x -y +2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m 的取值构成的集合是___ __ __.14．两圆 (x ＋1)2＋(y －1)2＝和 (x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，假设点P的坐标为(1,2)，那么点Q 的坐标为____________．15. 直线与曲线有且只有一个交点，那么的取值范围是 .16．在圆内，过点有n条弦的长度成等差数列(děnɡ chā sh ù liè)，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，假设公差，那么n的取值集合为___________ .17．假设实数x、y满足等式，那么的最大值为 .三、解答题(本大题一一共5小题，解答时，写出必要的计算步骤、推理、证明过程，5本大题满分是一共72分)18． (此题满分是14分) 两直线，当为何值时，与〔1〕相交；〔 2〕平行；〔3〕重合.19. (此题满分是14分) 求与x轴相切，圆心在直线3x – y = 0上，且被直线x – y = 0 截下的弦长为的圆的方程.20．〔本小题满分(mǎn fēn)是15分〕圆：.〔1〕直线过点，且与圆C交于、两点，假设，求直线l的方程；〔2〕过圆C上一动点作平行于轴的直线，设m与轴的交点为，假设向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.21. 〔本小题满分是14分〕有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格一样，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，假设A、B两地相距10公里，顾客选择A地或者B地购置这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购置此商品的地点？内容总结（1）高二10月月考数学试题一、选择题(本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分) 1．在以下四个命题中，正确的命题一共有()①坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率。
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二(上)10月月考考试数学试卷(有答案)
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月月考考试数学试卷一、选择题1. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1>0”是“S2021>0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. 已知函数f(x)=x2−2x对任意的x∈R，不等式f(x)>−mx−1恒成立，则m的取值范围是（）A.[−2,1]B.(−1,0)C.(0,4)D.[1,5)3. 《周碑算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（）A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺4. 已知a>0,b>0，且3a+4b=7，则9a+3b +42a+b的最小值为（）A.43 12B.4112C.257D.2375. 已知F1，F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是()A.(√22, 1) B.(12, 1) C.(0, √22) D.(0, 12)6. 已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n为数列{a n}的前n项和，则2S n+16a n+3的最小值为()A.3B.4C.2√3−2D.92二、多选题若椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的离心率相同，且a1>a2，则下列结论正确的是（）A.椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点B.a1 a2=b1b2C.a12−a22<b12−b22D.a1−a2<b1−b2对于数列{a n}，若存在正整数k(k≥2)，使得a k<a k−1，a k<a k+1，则称a k是数列{a n}的“谷值”，k是数列{a n}的“谷值点”，在数列{a n}中，若a n=|n+9n−8|，则数列{a n}的“谷值点”为( )A.2B.3C.5D.7三、填空题已知“x2−x−2>0”是“2x+p>0”的必要条件，则实数p的取值范围是________．已知关于x的不等式x2−3ax+2a2<0的解集为{x|1<x<2}，则实数a的值为________.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=12(a n+1a n)，则S10=________.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)恒过定点A(1, 2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．四、解答题已知两个等差数列{a n}，{b n}，其中a1=1，b1=6，b3=0，记{a n}前n项和为T n，T n=n22+n2．(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)记c n=a n+b n，设S n=|c1|+|c2|+|c3|+⋯+|c n|，求S n．如图，已知椭圆的两个焦点为F1(−1,0)，F2(1,0),P为椭圆上一点，且2F1F2=PF1+ PF2.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P在第二象限，∠F2F1P=120∘，△PF1F2的面积．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月月考考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断等比数列的前n项和【解析】【解答】解：由于数列{a n}是等比数列，所以S n=a1⋅1−q n1−q.由于1−q n1−q >0，所以S2021=a1⋅1−q20211−q>0⇔a1>0,所以“a1>0”是S2021>0的充要条件．故选C.2.【答案】C【考点】一元二次不等式与一元二次方程不等式恒成立问题【解析】将问题转化为一元二次不等式恒成立的问题，根据台的大小进行求解．【解答】解：因为f(x)=x2−2x，故不等式f(x)>−mx−1恒成立，等价于x2+(m−2)x+1>0恒成立，故只需Δ=(m−2)2−4<0，解得m∈(0,4)．故选C．3.【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{a n}，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，∴ {a 1+(a 1+3d)+(a 1+6d)=31.5,S 9=9a 1+9×82d =85.5,解得a 1=13.5，d =−1，∴ 小满日影长为a 11=13.5+10×(−1)=3.5（尺）． 故选C . 4. 【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为a >0,b >0，且3a +4b =7， 所以9a+3b +42a+b=17[(a +3b)+(2a +b)](9a +3b +42a +b ) =17[13+9(2a+b )a+3b +4(a+3b )2a+b ]≥257，当且仅当9(2a+b )a+3b=4(a+3b )2a+b，即a =2125，b =2825时，等号成立．故选C. 5.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率平面向量数量积的运算 【解析】由∠F 1PF 2为钝角，得到PF 1→⋅PF 2→<0有解，转化为c 2>x 02+y 02有解，求出x 02+y 02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围． 【解答】解：设P(x 0, y 0)，则|x 0|<a ， 又F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，又∠F 1PF 2为钝角，当且仅当PF 1→⋅PF 2→<0有解，即(−c −x 0, −y 0)⋅(c −x 0, −y 0)=(−c −x 0)(c −x 0)+y 02<0，即有c 2>x 02+y 02有解，即c 2>(x 02+y 02)min ． 又y 02=b 2−b 2a 2x 02，∴ x 02+y 02=b 2+c 2a 2x 02∈[b 2, a 2)， 即(x 02+y 02)min =b 2．故c 2>b 2，c 2>a 2−c 2，∴c 2a2>12，即e >√22. 又0<e <1， ∴√22<e <1.故选A ． 6. 【答案】 B【考点】 等比中项等差数列的前n 项和【解析】a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，可得：a 32=a 1a 13，即(1+2d)2=1+12d ，d ≠0，解得d ．可得a n ，S n ．代入2S n +16a n +3利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值． 【解答】解：∵ a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1=1，∴ a 32=a 1a 13，∴ (1+2d)2=1+12d ，d ≠0， 解得d =2，∴ a n =1+2(n −1)=2n −1， S n =n +n(n−1)2×2=n 2， ∴2S n +16a n +3=2n 2+162n+2=(n +1)2−2(n +1)+9n +1=n +1+9n +1−2≥2√(n +1)×9n+1−2=4，当且仅当n +1=9n+1时取等号，此时n =2，且2S n +16a n +3取到最小值4.故选B ． 二、多选题【答案】 A,B【考点】不等式性质的应用 椭圆的离心率椭圆的定义和性质 椭圆的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：依题意，e =c 1a 1=c 2a 2，即√1−(b 1a 1)2=√1−(b2a2)2，所以b1a 1=b2a 2，所以a1a 2=b1b 2，因此B 正确；又a 1>a 2，所以椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点，因此A 正确； 设b 1a 1=b 2a 2=m ，其中0<m <1，则有(a 12−b 12)−(a 22−b 22)=(1−m 2)(a 12−a 22)>0，即有a 12−b 12>a 22−b 22，则a 12−a 22>b 12−b 22，因此C 错误； (a 1−b 1)−(a 2−b 2)=(1−m)⋅(a 1−a 2)>0，即有a 1−b 1>a 2−b 2，则a 1−a 2>b 1−b 2，因此D 错误． 故选AB ． 【答案】 A,D【考点】 数列的应用 【解析】根据数列的通项公式，求得a 1到a 8，利用定义即可判断． 【解答】解：由a n =|n +9n −8|，得a 1=2，a 2=32，a 3=2，a 4=74，a 5=65，a 6=12，a 7=27，a 8=98， ∴ 2，7是数列{a n }的“谷值点”， 3，5不是数列{a n }的“谷值点”. 故选AD . 三、填空题【答案】 (−∞, −4] 【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 【解析】利用不等式的性质，结合必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：由2x +p >0，得x >−p2，令A ={x|x >−p2}.由x 2−x −2>0，解得x >2或x <−1，令B ={x|x >2或x <−1}， 由题意知A ⊆B ， 即−p2≥2，解得p ≤−4，∴ 实数p 的取值范围是(−∞, −4]． 故答案为：(−∞, −4]． 【答案】 1【考点】一元二次不等式的解法 【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法的应用． 【解答】解：因为关于x 的不等式x 2−3ax +2a 2<0的解集为{x|1<x <2}， 所以方程x 2−3ax +2a 2=0的两根是1，2， 所以{1−3a +2a 2=0,4−6a +2a 2=0,解得a =1． 故答案为：1． 【答案】 √10【考点】 数列的求和 等差关系的确定 等差数列的通项公式 【解析】本题考查等差数列的判断． 【解答】解：当n =1时，S 1=12(a 1+1a1)=a 1，解得a 1=1，S 1=1，当n ≥2时S n =12(S n −S n−1+1Sn −S n−1)，整理可得S n 2−S n−12=1，∴ S n 2是首项为1，公差为1的等差数列，∴ S n 2=1+(n −1)×1=n . ∵ {a n }是正项数列，∴ S n =√n ，∴ S 10=√10． 故答案为：√10． 【答案】√5+2 【考点】椭圆的准线方程 椭圆的标准方程 【解析】根据椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)，可得1a 2+4b 2=1，利用椭圆几何量之间的关系，设a 2c =1t ，等式可转化为t 2a 4−(t 2+1)a 2+5＝0，利用判别式，即可求得椭圆的中心到准线的距离的最小值．解：设椭圆的焦距为2c ，同时可设a 2c=1t，∴ c =ta 2，∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)， ∴1a2+4b 2=1，∴ b 2+4a 2=a 2b 2，∴ 5a 2−c 2=a 2(a 2−c 2)，∴ 5a 2−(ta 2)2=a 2[a 2−(ta 2)2]， ∴ t 2a 4−(t 2+1)a 2+5=0，∴ Δ=(t 2+1)2−20t 2≥0时，方程有解， ∴ t 2−2√5t +1≥0，∴ t ≥√5+2，或0<t ≤√5−2， ∴ 0<1t ≤√5−2，或1t ≥√5+2，∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)恒过定点A(1, 2)， ∴ 椭圆的中心到准线x =a 2c>1，∴ 椭圆的中心到准线的距离的最小值√5+2. 故答案为：√5+2. 四、解答题 【答案】 解：(1)由T n =n 22+n2，得当n ≥2时，a n =T n −T n−1=n 22+n2−(n−1)22−n−12=n ，a 1=1适合上式，则a n =n .由b 1=6，b 3=0，得公差d =b 3−b 13−1=0−62=−3，则b n =6+(n −1)×(−3)=9−3n . (2)由(1)知，c n =a n +b n =9−2n ， |c n |={9−2n,1≤n ≤4,2n −9,n >4.当1≤n ≤4时，S n =n ×7+9−2n2=8n −n 2；当n >4时，S n =(7+5+3+1)+1+2n−92×(n −4)=n 2−8n +32．∴ S n ={8n −n 2,1≤n ≤4,n 2−8n +32,n >4.【考点】 数列的求和等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式（1）由T n =n 22+n2，结合a n ＝T n −T n−1求得n ≥2时的通项公式，验证a 1＝1适合，即可求解a n ；由b 1＝6，b 3＝0，得公差d ，再由等差数列的通项公式可得{b n }的通项公式； （2）由（1）知，c n ＝a n +b n ＝9−2n ，分类写出|c n |，然后分类利用等差数列的前n 项和求S n ． 【解答】 解：(1)由T n =n 22+n2，得当n ≥2时，a n =T n −T n−1=n 22+n2−(n−1)22−n−12=n ，a 1=1适合上式，则a n =n .由b 1=6，b 3=0，得公差d =b 3−b 13−1=0−62=−3，则b n =6+(n −1)×(−3)=9−3n . (2)由(1)知，c n =a n +b n =9−2n ， |c n |={9−2n,1≤n ≤4,2n −9,n >4.当1≤n ≤4时，S n =n ×7+9−2n2=8n −n 2；当n >4时，S n =(7+5+3+1)+1+2n−92×(n −4)=n 2−8n +32．∴ S n ={8n −n 2,1≤n ≤4,n 2−8n +32,n >4.【答案】解：(1)设椭圆的标准方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ， 由题意知c =1，F 1F 2=2，所以4=PF 1+PF 2=2a ，所以a =2， 所以b 2=a 2−c 2=4−1=3， 所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)在△PF 1F 2中，PF 2=2a −PF 1=4−PF 1．由余弦定理，得PF 22=PF 12+F 1F 22−2PF 1⋅F 1F 2cos 120∘，即(4−PF 1)2=PF 12+4+2PF 1，所以PF 1=65,所以S △PF 1F 2=12F 1F 2⋅PF 1⋅sin 120∘=12×2×65×√32=3√35．【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程 余弦定理 正弦定理 【解析】【解答】解：(1)设椭圆的标准方程x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，由题意知c=1，F1F2=2，所以4=PF1+PF2=2a，所以a=2，所以b2=a2−c2=4−1=3，所以椭圆的标准方程为x 24+y23=1.(2)在△PF1F2中，PF2=2a−PF1=4−PF1．由余弦定理，得PF22=PF12+F1F22−2PF1⋅F1F2cos120∘，即(4−PF1)2=PF12+4+2PF1，所以PF1=65,所以S△PF1F2=12F1F2⋅PF1⋅sin120∘=12×2×65×√32=3√35．试卷第11页，总11页。
江苏省泰州市高二数学10月月考试题(扫描版)(2021学年)
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2020-2021学年江苏省泰州市某校高二(上)10月阶段性测试数学试卷答案及解析
2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试数学试卷一、选择题1. 数列{a n }，若a 1=3，a n+1−a n =2，则a 5= ( ) A.9 B.13 C.10 D.112. 数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式是( ) A.−12nB.(−1)n 2nC.(−1)n+12nD.(−1)n 2n−13. 若a <b <0，那么下列不等式中正确的是( ) A.√−a <√−b B.a 2>ab C.1a<1bD.a 2<b 24. 数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，则a n =( ) A.n 2−n +1 B.n 2+1C.(n −1)2+1D.2n5. “x =1是x 2−4x +3=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若{a n }是单调递增数列，则b 的取值范围为（ ） A.(−1,+∞) B.[−2,+∞) C.(−3,+∞)D.(−92,+∞)7. 若正实数a ，b 满足a +4b =ab ，则a +9b 的最小值为( ) A.9 B.12 C.25 D.368. 在数列{a n }及{b n }中，a n+1=a n +b n +√a n 2+b n 2，b n+1=a n +b n −√a n 2+b n 2，a 1=1，b 1=1．设c n =2n (1an+1b n)，数列{c n }的前n 项和为S n ，则S 2020=（ ）A.22020−4B.22021−4C.22022−4D.22023−4二、多选题设计如图所示的四个电路图，若p ：开关S 闭合；q ：灯泡L 亮，则p 是q 的充要条件的电路图是( )A.B.C. D.下列各选项中，最大值是12的是（ ） A.y =x 2+116x 2B.y =x√1−x 2，x ∈[0,1]C.y =x 2x 4+1D.y =x +4x+2，(x >−2)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n+1=2S n (n ∈N ∗)，则下面正确的有（ ） A.S n =3n−1 B.{S n }为等比数列 C.a n =3n−1 D.{a n }为等比数列已知x +y =1，y >0，x ≠0，则12|x|+|x|y+1的值可能是（ ） A.12B.14C.34D.54三、填空题如果关于x 的不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切实数x 恒成立，则a 的取值范围是________.命题“∀x ≥2，x 2≥4”的否定是________．已知数列{a n }中， a 1=1，a n+1=2a n +3n +1，则a n =____________.设x，y是正实数，且x+y=1，则x2x+2+y2+1y+1的最小值是________.四、解答题已知数列{a n}为等差数列，a1+a2=0，a4+a5+a6=21.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n+1a n+2，求数列{b n}的前n项和T n.设p:x|x−1|≤2，q:x2−(3m−1)x−3m<0.(1)解不等式：x|x−1|≤2；(2)若p是q成立的必要不充分条件，求m的取值范围．已知函数f(x)=x2+2(1+k)x+3+k(k∈R).(1)若对∀x∈R，f(x)>0，求k的取值范围；(2)若∃k∈[−1,0],f(x)≤3，求x的取值范围．在①a5=b4+2b6，②a3+a5=4(b1+b4)，③b2S4=5a2b3三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{a n}是公比大于0的等比数列，其前n项和为S n，{b n}是等差数列．已知a1=1，S3−S2=a2+2a1，a4=b3+b5，________．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n b n，求T n．为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第n年需要付出的超市维护和工人工资等费用为a n万元，已知{a n}为等差数列，相关信息如图所示．(1)求a n；(2)该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？已知数列{a n}中，a2=p（P是不等于0的常数），S n为数列{a n}的前n项和，若对任意的正整数n都有S n=n(a n−a1)2.(1)证明：求a n；(2)记b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2，求数列{b n}的前n项和T n；(3)记c n=T n−2n，是否存在正整数m，使得当n>m时，恒有c n∈(52,3)？若存在，证明你的结论，并给出一个具体的m值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州市某校高二（上）10月阶段性测试数学试卷一、选择题 1.【答案】 D【考点】等差关系的确定 等差数列的通项公式【解析】由题意得到数列{a n }为等差数列，其首项为3，公差为2，利用等差数列通项请假记录. 【解答】解：由a 1=3，a n+1−a n =2可得：数列{a n }为等差数列，其首项为3，公差为2， ∴ a n =3+2(n −1)=2n +1， ∴ a 5=11. 故选D . 2. 【答案】 B【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用(−1)n−1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式． 【解答】解：由已知中数列−12，14，−18，116，⋯可得数列各项的绝对值是一个以−12为首项，以−12公比的等比数列， 又∵ 数列所有的奇数项为负，偶数项为正， 故可用(−1)n−1来控制各项的符号， 故数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式为(−1)n 2.故选B . 3.【答案】 B【考点】不等式的基本性质 【解析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．【解答】解：对于A ，∵ a <b <0，∴ −a >−b >0，∴ √−a >√−b >0，因此A 不正确； 对于B ，∵ a <b <0，∴ a 2>ab ，因此B 正确； 对于C ，∵ a <b <0，∴ 1a >1b ，因此C 不正确； 对于D ，∵ a <b <0，∴ a 2>b 2，因此D 不正确． 故选B . 4.【答案】 A【考点】 数列递推式 【解析】数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ，移项可得，a n+1−a n =2n ，进行叠加，从而求出a n ； 【解答】解：数列{a n }中，a 1=1，a n+1=a n +2n ， ∴ a n+1−a n =2n ， a 2−a 1=2， a 3−a 2=4， ⋯a n+1−a n =2n ， 进行叠加可得，a n+1−a 1=2+4+6+⋯+2n =n(2+2n)2=n(n +1)，∴ a n+1=1+n(n +1)，∴ a n =n(n −1)+1=n 2−n +1. 故选A . 5.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性和必要性，从而得到答案． 【解答】解：若x =1，则x 2−4x +3=0，是充分条件， 若x 2−4x +3=0，则x =1或x =3，不是必要条件. 故选A ． 6.【答案】 C【考点】数列的函数特性 【解析】此题暂无解析【解答】解析：∵{a n}递增，∴a n+1−a n>0，∴(n+1)2+b(n+1)−(n2+bn)>0，∴2n+1+b>0，∴b>−2n−1(n∈N∗)，∴b>(−2n−1)max=−3，即b>−3．故选C.7.【答案】A【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由题意得到4a +1b=1，则a+b=(a+b)(4a+1b)，利用基本不等式求解即可.【解答】解：∵a>0，b>0，a+4b=ab，∴4a +1b=1，∴a+b=(a+b)(4a +1b)=5+4ba +ab≥5+2√4ba⋅ab=9，当且仅当4ba =ab，即a=6，b=3时等号成立.故a+b的最小值为9.故选A.8.【答案】C【考点】数列递推式等比数列的前n项和【解析】首先利用关系式的组合求出数列{a n+b n}是以a1+b1＝2，以2为公比的等比数列，数列{a n b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，进一步求出数列{c n}的通项公式，最后求出数列的和．【解答】解：∵a n+1=a n+b n+√a n2+b n2，b n+1=a n+b n−√a n2+b n2，a1=1，b1=1，∴a n+1+b n+1=2(a n+b n)，a1+b1=2.∴a n+b n=2n．另一方面：a n+1b n+1=(a n+b n)2−(a n2+b n2)=2a n b n，∴a n b n=2n−1．∴c n=2n(1a n+1b n)=2n⋅a n+b na nb n=2n⋅2n2n−1=2n+1，则数列{c n}的前n项和=4(2n−1)2−1=2n+2−4.所以S2020=22022−4，故选C.二、多选题【答案】B,D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由题知，A，电路图中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；B，电路图中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；C，电路图中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；D，电路图中，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件.故选BD.【答案】B,C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用基本不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：A，y=x2+116x2≥2√116=12，当且仅当x=±12时取等号，y的最小值是12，无最大值；B，y2=x2(1−x2)≤(x2+1−x22)2=14，y≥0，∴y≤12，当且仅当x=√22时取等号，∴y的最大值为12；C，x=0时，y=0．x≠0时，y=1x2+1x2≤12，当且仅当x=±1时取等号，y的最大值为12；D，y=x+2+4x+2−2≥2√(x+2)⋅4x+2−2=2，(x>−2)，当且仅当x=0时取等号，y的最小值为2，无最大值.故选BC.【答案】A,B【考点】数列递推式等比关系的确定【解析】首先求出S n，再求a n，即可判断.【解答】解：∵a n+1=2S n(n∈N∗)，∴S n+1−S n=2S n，即S n+1=3S n，又：S1=a1=1≠0，∴{S n}是首项为1，公比为3的等比数列，故B正确；∴S n=3n−1，故A正确；当n≥2时，a n=S n−S n−1=3n−1−3n−2=2×3n−2，又当n=1时，不符合上式，∴a n={1，n=1，2×3n−2， n≥2.故CD错误.故选AB.【答案】C,D【考点】基本不等式及其应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据条件利用消元法，转化为关于x的式子，利用基本不等式的性质即可求出式子的最值．【解答】解：由x+y=1，y>0得y=1−x>0，解得x<1且x≠0，①当0<x<1时，12|x|+|x|y+1=12x+xy+1，=12x +x2−x=x+2−x4x+x2−x，=14+(2−x4x+x2−x)≥14+2×12=54，当且仅当2−x4x =x2−x即x=23时取等号；②当x<0时，12|x|+|x|y+1=−(12x+xy+1)，=−(12x+x2−x)=2−x+x−4x+−x2−x=−14+(2−x−4x+−x2−x)≥−14+1=34，当且仅当2−x−4x=−x2−x即x=−2时取等号．综上可得，原式最小值34，可能值为34，54.故选CD.三、填空题【答案】(−2,2]【考点】函数恒成立问题一元二次不等式与二次函数一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：设f(x)=(a−2)x2+2(a−2)x−4，当a−2>0即a>2时，函数为开口向上的抛物线，显然不合题意；当a−2=0即a=2时，不等式变为−4<0，恒成立；当a−2<0即a<2时，函数为开口向下的抛物线，要使(a−2)x2+2(a−2)x−4<0恒成立，即要Δ<0，即4(a−2)2+16(a−2)<0，化简得：4(a+2)(a−2)<0，解得：−2<a<2．综上，使不等式恒成立的a的取值范围是(−2, 2]．故答案为：(−2, 2].【答案】∃x0≥2，x02<4【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x≥2，x2≥4”的否定是：∃x0≥2，x02<4．故答案为：∃x0≥2，x02<4．【答案】3n−2n−1−1【考点】数列递推式等比数列的通项公式【解析】利用递推关系，构造等比数列，即可求出通项公式.【解答】解：由递推关系得，a n+1+1=2(a n+1)+3n，所以a n+1+1−3n+1=2(a n+1−3n)，而a1+1−31=−1≠0，则数列{a n+1−3n}是以−1为首项，2为公比的等比数列，所以a n+1−3n=−2n−1，故a n=3n−2n−1−1.故答案为：3n−2n−1−1.【答案】√2−1 2【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：令x+2=m，y+1=n，则x=m−2，y=n−1，∵x，y均为正实数，且x+y=1，∴m>2且n>1,(m−2)+(n−1)=1，即m+n=4，∴x2x+2+y2+1y+1=(m−2)2m+(n−1)2+1n=m2−4m+4m+n2−2n+2n=m+4m−4+n+2n−2=(m+n)+4m+2n−6=4m+2n−2=m+nm+m+n2n−2=(1+nm)+(m2n+12)−2=nm+m2n−12≥2√nm⋅m2n−12=√2−12，当且仅当nm =m2n时取等号，∴x2x+2+y2+1y+1取得最小值是√2−12.故答案为：√2−12.四、解答题【答案】解：(1)设数列{a n}的公差为d．由{a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得{2a1+d=0,3a1+12d=21,解得{a1=−1,d=2,故a n=a1+(n−1)d=−1+(n−1)×2=2n−3.(2)b n=1a n+1a n−2=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设数列{a n}的公差为d．由{a1+a2=0,a4+a5+a6=21,得{2a1+d=0,3a1+12d=21,解得{a1=−1,d=2,故a n=a1+(n−1)d=−1+(n−1)×2=2n−3.(2)b n=1a n+1a n−2=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)所以T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−3−12n−1+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【答案】解：(1)当x≤0，不等式显然成立；当x≥1时，不等式可化为x2−x−2≤0⇒−1≤x≤2，即1≤x≤2；当x<1时，不等式可化为x2−x+2≥0，由于x2−x+2=(x−12)2+74>0，则当x<1时，不等式可化为x2−x+2≥0恒成立.综上，不等式的解集为{x|x≤2}．(2)令p的解集为A，q的解集为B，由(1)知A={x|x≤2}，由题意知B⊆A.方程x2−(3m−1)x−3m=0的两根为−1和3m.当−1=3m，即m=−13时，B=⌀，B⊆A显然成立；当−1>3m，即m<−13时，B={x|3m<x<−1}，B⊆A显然成立；当−1<3m ，即m >−13时，B ={x|−1<x <3m }，要使B ⊆A 成立，则3m ≤2，即m ≤23. 综上m ≤23．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题 绝对值不等式的解法与证明【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当x ≤0，不等式显然成立；当x ≥1时，不等式可化为x 2−x −2≤0⇒−1≤x ≤2，即1≤x ≤2； 当x <1时，不等式可化为x 2−x +2≥0， 由于x 2−x +2=(x −12)2+74>0，则当x <1时，不等式可化为x 2−x +2≥0恒成立. 综上，不等式的解集为{x|x ≤2}． (2)令p 的解集为A ，q 的解集为B ，由(1)知A ={x|x ≤2}，由题意知B ⊆A .方程x 2−(3m −1)x −3m =0的两根为−1和3m . 当−1=3m ，即m =−13时，B =⌀，B ⊆A 显然成立；当−1>3m ，即m <−13时，B ={x|3m <x <−1}，B ⊆A 显然成立； 当−1<3m ，即m >−13时，B ={x|−1<x <3m }，要使B ⊆A 成立， 则3m ≤2，即m ≤23.综上m ≤23．【答案】解：(1)由题意知函数f(x)=x 2+2(1+k)x +3+k(k ∈R)， 因为x 2的系数大于0，所以函数图象开口向上， 又f(x)>0恒成立，所以Δ=4(1+k)2−4(3+k)<0， 解得：−2<k <1.(2)设g (k )=x 2+2(1+k )x +3+k =k (2x +1)+(x 2+2x +3)，存在实数k ∈[−1,0]，使f (x )≤3成立，可得- (2x +1)+(x 2+2x +3)≤3或0(2x +1)+(x 2+2x +3)≤3， 即为−1≤x ≤1或−2≤x ≤0，可得x 的取值范围是[−2,1]. 【考点】全称量词与存在量词 函数恒成立问题 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知函数f(x)=x 2+2(1+k)x +3+k(k ∈R)， 因为x 2的系数大于0，所以函数图象开口向上， 又f(x)>0恒成立，所以Δ=4(1+k)2−4(3+k)<0， 解得：−2<k <1.(2)设g (k )=x 2+2(1+k )x +3+k =k (2x +1)+(x 2+2x +3)，存在实数k ∈[−1,0]，使f (x )≤3成立，可得- (2x +1)+(x 2+2x +3)≤3或0(2x +1)+(x 2+2x +3)≤3， 即为−1≤x ≤1或−2≤x ≤0，可得x 的取值范围是[−2,1]. 【答案】解：(1)选条件①.设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 1=1，S 3−S 2=a 2+2a 1， ∴ q 2−q −2=0， 解得q =2或q =−1， ∵ q >0， ∴ q =2， ∴ a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，∵ a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6， ∴ {2b 1+6d =8,3b 1+13d =16,解得{b 1=1,d =1,∴ b n =n ，∴ a n =2n−1，b n =n ．(2)由(1)可知：a n =2n−1，b n =n ， ∴ T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n=1×20+2×21+⋯+(n −1)×2n−2+n ×2n−1，∴ 2T n =1×21+2×22+⋯+(n −1)×2n−1+n ×2n ， ∴ −T n =1+21+22+⋯+2n−1−n ×2n =1−2n 1−2−n ×2n =2n −1−n ×2n ，∴ T n =(n −1)⋅2n +1． 【考点】 数列的求和等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 等差数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)选条件①.设等比数列{a n }的公比为q ，∵ a 1=1，S 3−S 2=a 2+2a 1， ∴ q 2−q −2=0， 解得q =2或q =−1， ∵ q >0， ∴ q =2， ∴ a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ， ∵ a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6， ∴ {2b 1+6d =8,3b 1+13d =16,解得{b 1=1,d =1,∴ b n =n ， ∴ a n =2n−1，b n =n ．(2)由(1)可知：a n =2n−1，b n =n ， ∴ T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n=1×20+2×21+⋯+(n −1)×2n−2+n ×2n−1，∴ 2T n =1×21+2×22+⋯+(n −1)×2n−1+n ×2n ， ∴ −T n =1+21+22+⋯+2n−1−n ×2n =1−2n1−2−n ×2n =2n −1−n ×2n ，∴ T n =(n −1)⋅2n +1． 【答案】解：(1)由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 求得：a n =a 1+4(n −1)=4n +8.(2)设公司第n 年后开始盈利，盈利为y 万元，则 y =50n −[12n +n(n−1)2×4]−72=−2n 2+40n −72.年平均盈利为yn =−2n −72n+40=−2(n +36n)+40 ≤−2×2√n ⋅36n +40=16，当且仅当n =36n，即n =6时，年平均盈利最大.故公司经营6年，其年平均获利最大，最大值是16万元. 【考点】 数列的应用基本不等式在最值问题中的应用 等差数列的通项公式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 求得：a n =a 1+4(n −1)=4n +8.(2)设公司第n 年后开始盈利，盈利为y 万元，则 y =50n −[12n +n(n−1)2×4]−72=−2n 2+40n −72.年平均盈利为yn =−2n −72n+40=−2(n +36n)+40 ≤−2×2√n ⋅36n +40=16，当且仅当n =36n，即n =6时，年平均盈利最大.故公司经营6年，其年平均获利最大，最大值是16万元. 【答案】解：(1)由S 1=a 1=a 1−a 12=0得a 1=0，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=na n 2−n−12a n−1，故(n −2)a n =(n −1)a n−1， 故当n >2时，a n =n−1n−2a n−1=n−1n−2⋅n−2n−3⋅⋯⋅43⋅32⋅21⋅a 2=(n −1)p ，由于n =2时a 2=p ，n =1时a 1=0，也适合该式，故对一切正整数n ， a n =(n −1)p . (2)S n =n(a n −a 1)2=n(n−1)p2，则S n+1=n(n+1)p2，S n+2=(n+1)(n+2)p2，b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2=n+2n+nn+2=2+2(1n −1n+2)，∴T n=2n+2(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1 n−1−1n+1+1n−1n+2)=2n+2(1+12−1n+1−1n+2)=2n+3−2(1n+1+1n+2)．(3)c n=T n−2n=3−2(1n+1+1n+2)<3对所有正整数n都成立；若c n>52，即3−2(1n+1+1n+2)>52⇒1n+1+1n+2<14，记f(n)=1n+1+1n+2，则f(n)单调递减，又f(6)=17+18>18+18=14，f(7)=18+19<18+18=14，故m=6，则当n>m时，f(n)<14．m可以取所有不小于6的正整数．【考点】数列与不等式的综合数列与函数的综合数列的求和等差关系的确定等差数列的通项公式数列的函数特性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由S1=a1=a1−a12=0得a1=0，当n≥2时，a n=S n−S n−1=na n2−n−12a n−1，故(n−2)a n=(n−1)a n−1，故当n>2时，a n=n−1n−2a n−1=n−1n−2⋅n−2n−3⋅⋯⋅43⋅32⋅21⋅a2=(n−1)p，由于n=2时a2=p，n=1时a1=0，也适合该式，故对一切正整数n，a n=(n−1)p.(2)S n=n(a n−a1)2=n(n−1)p2，则S n+1=n(n+1)p2，S n+2=(n+1)(n+2)p2，b n=S n+2S n+1+S n+1S n+2=n+2n+nn+2=2+2(1n−1n+2)，∴T n=2n+2(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2)=2n+2(1+12−1n+1−1n+2)=2n+3−2(1n+1+1n+2)．(3)c n=T n−2n=3−2(1n+1+1n+2)<3对所有正整数n都成立；若c n>52，即3−2(1n+1+1n+2)>52⇒1n+1+1n+2<14，记f(n)=1n+1+1n+2，则f(n)单调递减，又f(6)=17+18>18+18=14，f(7)=18+19<18+18=14，故m=6，则当n>m时，f(n)<14．m可以取所有不小于6的正整数．。
高二数学10月月考试题 56(共11页)
泰西中学(zh ōngxu é)2021-2021学年高二数学10月月考试题一、选择题(本大题一一共13题,每一小题4分，一共52分；1至10小题为单项选择题；11至13小题为多项选择题，选对得4分，选错得0分，选不全得2分)1．假设a <b <c ，那么以下结论中正确的选项是( ) A ．a |c |<b |c | B ．ab <ac C ．a －c <b －c D.1a >1b >1c2．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 3．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，那么其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±155．(2021·高考卷)假设实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，那么ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．46．数列{a n }满足(n ＋2)a n ＋1＝(n ＋1)a n ，且a 2＝13，那么a n 等于( )A.1n ＋1 B.12n －1 C.n －12n －1 D.n －1n ＋17．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1x 2，x >01x ，x <0，那么f (x )>－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)8．数列{a n }一共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n )．假设S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，那么当n ＜m 时，a n 等于( )A ．－12n －2 B.12n －2 C ．－12n －1 D.12n －19．在使f (x )≥M 成立(chénglì)的所有常数M 中，把M 的最大值叫做f (x )的“下确界〞，例如f (x )＝x 2＋2x ≥M ，那么M max ＝－1，故－1是f (x )＝x 2＋2x 的下确界，那么a 2＋b 2〔a ＋b 〕2(其中a ，b ∈R ，且a ，b 不全为0)的下确界是( )A ．2 B.12 C ．4 D.1410．(2021·高考卷)假设a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，那么p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．911. 给出四个选项能推A .b>0>a ;B .0>a>b ;C .a>0>b ;D .a>b>012. 以下选项里面能满足数列1,0,1,0,1,0,…的通项公式的有〔 〕A.a n C.a n =13.{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,a n b n+1+b n+1=nb n . 数列{b n }的前n 项和为S n ，那么有〔 〕A. a 1=3B. 数列{b n }是.C. a n =3n-1D. S n二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．把答案填在题中横线上){a n }的前n 项和S n =2n-3,那么数列{a n }的通项公式为 . 15在数列{a n }中,a n =n 项和为S n ,那么a 4= ，S 100= .16.设{a n }是首项为1的正项数列,且(n+1=0(n=1,2,3,…),那么它的通项公式是.17.假设(jiǎshè)点P(m,1)到直线3x+4y=0的间隔大于1,那么实数m的取值范围是.三、解答题(本大题一一共6个小题，第18小题12分，其他每一小题14分，一共82分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)18．公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，且a2，a4，a9成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2a n，求数列{b n}的前n项和S n.{a n}的公差不为零，a1＝25 ，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.20. (2021·高考全国卷Ⅰ)S n为数列{a n}的前n项和．a n＞0，a2n＋2a n＝4S n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n a n＋1，求数列(shùliè){b n}的前n项和．21．函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16.(1)求不等式g(x)<0的解集；(2)假设对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，务实数m的取值范围．22.设数列(shùliè){a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n .23.要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5 m 2，其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h ＝12|AB |，tan ∠FED ＝34，设|AB |＝x m ，|BC |＝y m.(1)求y 关于x 的表达式；(2)如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？高18级第7次周测数学试题参考答案与解析(ji ě x ī)1．【解析】选C.选项A 中c ＝0时不成立；选项B 中a ≤0时不成立；选项D 中取a ＝－2，b ＝－1，c ＝1验证，不成立，应选C.2．【解析】选A.由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或者x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，那么第四项为－24.3．【解析】选D.因为当x >1时，x ＋1x －1＝1＋(x －1)＋1x －1≥3，所以x ＋1x －1≥a 恒成立，只需a ≤3.4．【解析】选D.由(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，从而a 1＋a 10S 10＝a 1＋a 102×10＝±15.5．【解析】选 C.由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝〞，所以ab 的最小值为2 2.6．【解析】选A.因为(n ＋2)·a n ＋1＝(n ＋1)a n ，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，又当n ＝1时，3a 2＝2a 1，所以a 1＝32a 2＝12.所以a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ×nn ＋1＝1n ＋1.7．【解析】选B.依题意，假设－2x ＋1x 2>－1，那么x >0且x ≠1；假设1x>－1，那么x <－1，综上所述，x ∈(－∞，－1)∪(0，1)∪(1，＋∞)．8．【解析(jiě xī)】选C.因为n ＜m ，所以m ≥n ＋1.又S (n )＝2〔1－12n 〕1－12＝4－12n －2，所以S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1. 9．【解析】选B.因为a 2＋b 2〔a ＋b 〕2＝a 2＋b 2a 2＋b 2＋2ab＝11＋2ab a 2＋b2≥12，所以下确界为12. 10．【解析】选D.不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，所以a >0，b >0，那么a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝〔－2〕2，a －2＝2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，所以p ＝5，q ＝4，所以p ＋q ＝9. 11. 答案: ABD .12. 解析:可以验证ABCD 均可以是该数列的通项公式.13.解(1)由,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2a 1=2.所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n-1.(2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n ,得b n+因此{b n }是首项为1,公比.记{b n }的前n 项和为S n ,那么S n答案: BCD14.解析:当n=1时,a 1=S 1=21-3=-1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n -3-2n-1+3=2n-1.又a 1=-1不满足上式,故a n15解析:易知a 1=1,a 2=-2,a 3=-3,a 4=4,∴a 1+a 2+a 3+a 4=0.又si 4,∴a n +a n+1+a n+2+a n+3=0,∴S 100=0.16.解析(jiě xī):∵(n+1=0,∴[(n+1)a n+1-na n ]·(a n+1+a n )=0.∵a n >0,∴a n +a n+1>0.∴(n+1)a n+1-na n =0.方法一:·…··…·又a 1=1,∴a n方法二:(n+1)a n+1-na n =0,∴na n =(n-1)a n-1=…=1×a 1=1,∴na n =1,a n17.解析:点P (m ,1)到直线3x+4y=0的间隔 d那么|3m+4|>5,那么(3m+4)2>25,解得m<-3或者m18．【解】(1)由数列{a n }为公差不为零的等差数列，设其公差为d ，且d ≠0. 因为a 2，a 4，a 9成等比数列，所以a 24＝a 2·a 9，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )， 整理得d 2＝3a 1d .因为d ≠0，所以d ＝3a 1.①因为a 3＝7，所以a 1＋2d ＝7.② 由①②解得a 1＝1，d ＝3，所以a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2. 故数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －2. (2)由(1)知b n ＝23n －2，因为b n ＋1b n ＝23〔n ＋1〕－223n －2＝8，所以{b n }是等比数列，且公比为8，首项b 1＝2，所以S n ＝2〔1－8n 〕1－8＝2〔8n－1〕7.19．【解】(1)设{a n }的公差为d ，由题意得a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0. 又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，da n ＝－2n ＋27. (2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .20．【解】(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.② ②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )． 由a n ＞0，得a n ＋1－a n a 21＋2a 1＝4a 1＋3， 解得a 1＝－1(舍去)或者(huòzhě)a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1〔2n ＋1〕〔2n ＋3〕＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，那么T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋⎦⎥⎤…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n 3〔2n ＋3〕. 21．【解】(1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， 所以(2x ＋4)(x －4)<0， 所以－2<x <4，所以不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)因为f (x )＝x 2－2x －8.当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， 所以x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)． 所以对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立．而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2≥ 2 〔x －1〕×4x －1－2＝2. (当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时等号成立) 所以实数m 的取值范围是(－∞，2]．22．[导学号99570100] 【解】(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足(mǎnzú)上式，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2. 设{b n }的公比为q ，由条件a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，所以b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1.(2)因为c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1.4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n.两式相减得：3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n＋5]．所以T n ＝19[(6n－5)4n＋5]．23．【解】(1)过点D 作DH ⊥EF 于H (图略)， 那么依题意知|DH |＝12|AB |＝12x ，|EH |＝|DH |tan ∠FED ＝43×12x ＝23x ，所以392＝xy ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋43x ×12x ＝xy ＋56x 2，所以y ＝392x －56x ，因为x ＞0，y ＞0，所以392x －56x ＞0，解得0＜x ＜3655. 所以所求表达式为y ＝392x －56x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜3655. (2)在Rt △DEH 中，因为tan ∠FED ＝34， 所以(suǒyǐ)sin ∠FED ＝35. 所以|DE |＝|DH |sin ∠FED ＝12x ×53＝56x .所以l ＝(2x ＋2y )＋2×56x ＋(2×23x ＋x )＝2y ＋6x ＝39x －53x ＋6x ＝39x ＋133x ≥2 39x ×13x 3＝26， 当且仅当39x ＝133x ，即x ＝3时取等号． 此时y ＝392x －56x ＝4， 所以当|AB |＝3 m ，|BC |＝4 m 时，能使整个框架用材料最少．内容总结（1）泰西中学2021-2021学年高二数学10月月考试题一、选择题(本大题一一共13题,每一小题4分，一共52分。
江苏省泰州市高二上学期数学10月月考试卷
江苏省泰州市高二上学期数学10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·林芝期中) 数列的通项公式，则（）A . 9B . 13C . 17.D . 192. （2分） (2020高一下·哈尔滨期末) 已知数列是公比为q的等比数列，且成等差数列，则公比q的值为（）A .B . 1C .D .3. （2分） (2016高三上·日照期中) 下列说法正确的是（）A . “x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件B . “若am2＜bm2 ，则a＜b”的逆否命题为真命题C . 命题“∃x∈R，使得2x2﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有2x2﹣1＞0”D . 命题“若x= ，则tanx=1”的逆命题为真命题4. （2分）(2017·河南模拟) 已知等差数列{an}满足a1=1，an+2﹣an=6，则a11等于（）A . 31B . 32C . 61D . 625. （2分） (2017高一下·保定期中) 已知数列a1 ，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列{an}中的项是（）A . 16B . 128C . 32D . 646. （2分） (2020高一下·应城期中) 已知为等比数列，，则（）A .B . 或C .D .7. （2分）为等差数列的前n项和，，则（）A .B .C .D .8. （2分）证明1+ +…+ （n∈N*），假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是（）A . 1项B . k﹣1项C . k项D . 2k项9. （2分） (2019高一下·吉林月考) 数列的前项和，若，则（）A . 5B . 20C . -20D . -510. （2分）在等比数列中，，是方程的两个根，则 =（）A .B .C .D . 以上都不对11. （2分）已知等比数列中有，数列是等差数列，且，则（）A . 2B . 4C . 8D . 1612. （2分）已知等差数列的前项和为，若，则的值是（）A . 6B . 7C . 8D . 9二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·黑龙江期末) 直线的倾斜角为________.14. （1分） (2019高三上·黑龙江月考) 已知函数的图像在点处的切线过点，则 ________．15. （1分）已知直线y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线经过第一、三、四象限，则实数a的取值范围是________16. （1分）在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a+b+c的值为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2017·山东) 已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．（1）求数列{an}通项公式；（2） {bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn ，已知S2n+1=bnbn+1 ，求数列的前n项和Tn ．18. （15分）如果三条直线mx+y+3=0，x﹣y﹣2=0，2x﹣y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，求m 的值．19. （5分）已知两直线（1）求直线与的交点的坐标；（2）求过交点，且在两坐标轴截距相等的直线方程；（3）若直线与不能构成三角形，求实数的值.20. （10分）(2020·泰州模拟) 已知数列、、满足，．（1）若数列是等比数列，试判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）若恰好是一个等差数列的前n项和，求证：数列是等差数列；（3）若数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，求证：数列是等差数列．21. （10分） (2020高一下·吉林期中) 已知为等差数列，且， .（1）求的通项公式；（2）若等比数列满足，，求的前n项和公式．22. （15分）(2017·东台模拟) 已知数列{an}，{bn}满足：bn=an+1﹣an（n∈N*）．（1）若a1=1，bn=n，求数列{an}的通项公式；（2）若bn+1bn﹣1=bn（n≥2），且b1=1，b2=2．（i）记cn=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{cn}为等差数列；（ii）若数列{ }中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a1应满足的条件．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
江苏省泰兴中学高二数学10月阶段检测试题
江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测一．填空题（共14题，每题5分，共70分；请将答案写在答题纸指定区域） 1.命题“2,80x Q x ∃∈-=”的否定是 .2.椭圆22110064x y +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为7，则点P 到右焦点的距离为 .3.双曲线22221124x y m m -=+-的焦距为 . 4.抛物线2y x =的准线方程为 .5.“四边形四条边相等”是“四边形是正方形”的 条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个填写)6.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的离心率为 . 7.已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是____________．9.已知0,1a a >≠，命题p ：函数log (1)a y x =+在(0，+∞)上单调递减，命题q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是 ．10.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为____ __.11.已知点(0,2)A ，抛物线22,(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则p ＝__________.12.已知椭圆E ：22142x y +=，直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为1(1,)2-，则l 的方程为 .13.已知直线10x y -+=上有两点,A B ，且2AB =，动点P 在抛物线22y x =上，则PAB ∆V 面积的最小值是 .14．在椭圆2214x y +=中，12,F F 为椭圆的左右焦点，P 是直线4x =上的一个动点．则∠APB 取得最大值时线段OP 的长为 ．二．解答题（共6题，90分.每题都应写出必要的计算过程） 15.（本题14分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1) 6,1a b ==，焦点在x 轴上的椭圆；（2）与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点(32,2)的双曲线.16.（本题14分）设命题:p 方程22191x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线2214x y k-=的离心率()1,2e ∈．（1）若“p 且q ”为真命题，求k 的取值范围； （2）当6k =时，求双曲线的焦点到渐近线的距离.17.（本题14分）已知抛物线C 以直线2360x y -+=与坐标轴的交点为焦点， （1）求抛物线C 的标准方程；（2）设（1）中焦点在x 轴上的抛物线为1C ,直线l 过点(0,2)P 且与抛物线1C 相切，求直线l 的方程.18.（本题16分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点(0,1)M ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若=2，求直线l 的方程．19.（本题16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A 作一条与x轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ． （1）求椭圆的方程；（2）若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．20.（本题16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点)0,1(F ，离心率为22，过F 作两条互相垂直的弦CD AB ,，设CD AB ,的中点分别为N M ,.（1）求椭圆的方程；xyOP QA （第19题图）（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦CD AB ,的斜率均存在，求FMN 面积的最大值.江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测参考答案18：解：（1）设椭圆方程为，因为，所以，所求椭圆方程为…（5分）（2）由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y=kx+1则由得（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8=0，且△＞0．（8分）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由=2得x 1=﹣2x 2…..又，（12分）所以消去x 2得解得所以直线l 的方程为，即x ﹣2y+2=0或x+2y ﹣2=0…（16分）19．解： ⑴因为c a ＝22，a2c= 2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝１．故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． ………………………………………………4分⑵解法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1， – y 1)．因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1．令y = 0，解得m ＝－x 1y 1－1. ………………………………………………8分因为k AQ ＝ －y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1．令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1． ………………………………………………12分所以mn ＝－x 1y 1－1⨯ x 1y 1＋1＝x 211－y 21． ………………………………………………14分又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22+ y 2= 1上，所以x 212 + y 21= 1，即1－y 21= x 212，所以x 211 – y 21＝2，即mn ＝2．所以mn 为常数，且常数为2． ………………………………………………16分解法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y = kx +1，令y = 0，得m ＝－1k． ………………………………………………6分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y = kx + 1，x 22+ y 2＝1， 消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P =－4k 1 + 2k 2， ……………8分所以y P ＝k ×x P ＋1＝1－2k21＋2k2，则Q 点的坐标为(－4k 1 + 2k 2，－1－2k21＋2k2)．………………………………………10分所以k AQ ＝－1－2k 21＋2k 2－1－4k 1 + 2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12k x ＋1．令y ＝0，得n ＝－2k ， …………………………………………14分 所以mn ＝(－１k)⨯(－2k )＝2．所以mn 为常数，常数为2．…………………………………………16分 20. 解：（1）由题意：21,c c a ==，则2,1,1a b c ===，（每个1分） ……3分 椭圆的方程为2212x y += ……4分（2）,AB CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：(1)y k x =-，12121122(,),(,),(,(1))22x x x xA x yB x y M k ++-，22(1),220,y k x x y =-⎧⎨+-=⎩ 得2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……5分212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故2222(,)1212k k M k k -++， ……6分 将上式中的k 换成1k -，则同理可得：222(,)22kN k k ++， ……8分 如22222122k k k =++，得1k =±，则直线MN 斜率不存在， 此时直线MN 过点2(,0)3，下证动直线MN 过定点2(,0)3P . ……9分（法一）若直线MN 斜率存在，则 22224222(33)3122222221122MNk kk k k k k k k k k k k ---+-++===⨯---++， 直线MN 为22232()2212k k y x k k k--=⨯-+-+，……11分 令0y =，得222222212312232323k k x k k k -+-=+⨯=⨯=+++， 综上，直线MN 过定点2(,0)3. ……12分（法二）动直线MN 最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x 轴上，设23x =与x 轴交点为2(,0)3P ，下证动直线MN 过定点2(,0)3P .当1k ≠±时，PMk =22223122221123kkk k k k -+=⨯--+，……10分同理将上式中的k 换成1k-，可得221()3312211PMk k k k k -==⨯--， ……11分则PM PN k k =，直线MN 过定点2(,0)3P . ……12分（3）由第（2）问可知直线MN 过定点2(,0)3P ，故S △FMN =S △FPM +S △FPN 221111||||2322312k kk k -=⨯+⨯++ 2222421||(33)1||(1)6(2)(12)2252k k k k k k k k ++==⨯++++ ……13分221(||)1||2225k k k k +=++，令1||[2,)||t k k =+∈+∞，S △FMN 21()22(2)5t f t t ==⨯-+21221tt =⨯+ ……14分则()f t 在[2,)t ∈+∞单调递减， ……15分当2t =时()f t 取得最大值，此时S △FMN 取得最大值19，此时1k =±. ……16分。
江苏省泰兴中学2023-2024学年高二上学期阶段测试(三)数学试卷(含答案)
江苏省泰兴中学2023-2024学年高二上学期阶段测试（三）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．抛物线的准线方程为( )A. B. C. D.2．函数处的导数是( )C.2D.43．某直线运动的物体从时刻t 到的位移为,那么A.从时刻t 到物体的平均速度B.从时刻t 到位移的平均变化率C.当时刻为时该物体的速度D.该物体在t 时刻的瞬时速度4．已知圆与直线,下列选项正确的是( )A.直线与圆相切B.直线与圆相离C.直线与圆相交且所截弦长最短为5．函数的图象如图所示,为函数的导函数,则不等式的解集为( )A. B.C.D.6．设B 是椭圆24x y =-1x =1x =-1y =1y =-y =3x =t t +∆s ∆lim t ∆→t t +∆t t +∆t ∆221)1)4:((C x y -+-=20x my m +--=()y f x =()y f x '=()y f x =()0f x x'<(3,1)--(0,1)(3,1)(0,1)-- (,3)(1,)-∞-+∞ 22:5x C y +=7．在等比数列中,( )A. B.8．已知正数a ,b 满足（e 为自然对数的底数）,则下列关系式中不正确的是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．设数列的前n 项和为,关于数列,下列命题中正确的是( )A.若,则既是等差数列又是等比数列B.若(A ,B 为常数),则是等差数列C.若,则是等比数列D.若是等比数列,则,,也成等比数列10．若函数在区间内有最小值，则实数m 的取值可能为( )A.B. C. D.的左､右顶点分别是,,上顶点为,在椭圆上任取一点C ,连结交直线于点P ,连结交于点M (O 是坐标原点),则下列结论正确的是( )A.为定值B.{}n a 12345a a a a a ++++=3=23451111a a a a +++=44-e ln 2a a b b +=+=2e e b b =2a b +=e ln 2b a +=e ln 2a b +={}n a n S {}n a 1n n a a +={}n a ()2*=+∈n S An Bn n N {}n a ()11nn S =--{}n a {}n a n S 2n n S S -()*32n n S S n -∈N ()3252f x x x x =+--(),5m m +4- 3.5-3- 2.5-212y =1A 2A 1B 1AC 2x =2A C OP 12CA CA k k 112A P OP k k =C. D.12．函数满足,则正确的是( )A. B.C. D.三、填空题13．曲线在处的切线方程为____________．上的任意一点,P 到焦点的距离最大值为15．若函数在区间上单调递增,则实数a 的取值范围是______.四、双空题16．已知数列满足,,则__________;数列的前20项和__________．五、解答题17．等差数列满足,,前n 项和为.（1）求数列的通项公式;（2）求的最大值.的左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于P,Q 两点,且2OP A C ⊥MB ()f x ()()f x f x '<()()3e 2f f <()()e 01f f <()()2e 11f f ->()()e 12f f <cos y x x =+0x =221(0)y a b b=>>2+-()2ln f x x x ax =+-[]1,2{}n a 11a =13,,2,,n n n a n n a a n ++-⎧=⎨⎩是奇数是偶数22n n b a n =+1n nb b +={}n a 20S ={}n a 411a =72a =n S {}n a n S ()2210y a b b+=>>1F 2F 2F 1PQ PF ⊥22+.19．已知函数.讨论函数的单调性.20．已知直线l 经过,且与圆相交于A 、B 两点．（1）若,求直线l 的斜率;（2）若,求的取值范围．21．设数列满足：,,且对任意的,都有．（1）从下面两个结论中选择一个进行证明．①数列是等差数列;②数列是等比数列;（2）求数列的前n 项和．22．已知函数,.（1）求的单调区间;（2）证明：.()()()221ln 02x a x x a xf x -=-+≤≤()f x ()2,0P -()()22:439C x y -+-=CA CB ⊥()0PA AB λλ=>λ{}n a 11a =25a =*n ∈N 2144n n n a a a ++=-2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭324n n a n ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭{}n a n S ()()ln f x x x =--()e x g x x =-()f x ()()3g x f x -<参考答案1．答案：C解析：由得,即,故准线方程为,故选：C.2．答案：A解析：由所以函数故选：A.3．答案：D解析：根据题意,直线运动的物体,从时刻t 到时,时间的变化量为,而物体的位移为,那么4．答案：C解析：由题意,圆的圆心,半径,直线变形得,得直线过定点,∵,所以点在圆内,∴直线与圆必相交,故A,B 错;由平面几何知识可知,当直线与过定点和圆心的直线垂直时,弦长有最小值,此时弦长为故选：C.5．答案：C解析：由图象可知,在区间,上,在区间,上,的解集为.故选：C.6．答案：A24x y =-24p =2p =1y =y =()()121112y x x -''=+⋅+=y =x ==t t +∆t ∆s ∆lim t ∆→22(1)(1)4x y -+-=()1,1C 2r =20x my m +--=()210x m y -+-=()2,1A ()()22211114-+-=<A A =(),3-∞-()1,1-()0f x '<()3,1--()1,+∞()0f x '>0<(3,1)(0,1)--解析：设点,因为,而,所以当．故选：A ．7．答案：A 解析：设则,所以.故选:A 8．答案：C解析：由题意得,令,,则恒成立,所以在上单调递增,故,所以,B 正确,,A 正确,,D 正确,C 选项,,,又在上单调递增,,()00,P x y (0,1B 201y +=()()()22222200000001151142644x y y y y y y ⎛⎫+-=-+-=--+=-+ ⎪⎝⎭011y -≤≤0y =512341111T a a a a =+++5152433421511111111112T a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎝⎭⎝⎭()1234515331524242152433241532a a a a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a aa +++++++++=++++=211248814⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-⎛⎫- ⎪⎝⎭544T =-e ln e ln 2a a b b +=+=()ln f x x x =+0x >()110f x x=+>'()ln f x x x =+()0,+∞e a b =e 2a a b a +=+=2e e e e =e b a b a b b +⋅==e ln ln 2a b b b +=+=11ln 2222f=+=+<<11ln ln 3222f=+=+>+>()ln f x x x =+()0,+∞()2f b =,故,设,则当时,,当时,,故在上单调递增,在上单调递减,又,故,即时,等号成立,故,所以,又,故,C 错误.故选：C.9．答案：BC解析:对于选项A:因为,即,可知数列是等差数列,当时,数列不是等比数列,故A 错误;对于选项B:因为,当时,;当时,;可知时,符合上式,综上所述:,可得,所以数列是等差数列,故B 正确;对于选项C:因为,当时,;当时,;b <<(222b =-∈((ln 2e l ln n 2b a +-=->+()ln g x x =-()0,x ∈+∞()()()()()()()()32224331244245114242x x x x x x x g x x x x x --+-++-+-'=-==++01x <<()0g x '>1x >()0g x '<()g x ()0,1()1,+∞()10g =()0g x ≤ln x ≤1=()()2521ln 2422+⨯-<=⨯+71.41422ln 210>>⨯>2ln 2e 4>=224e +<<(ln 2e l 2n 42b a -+>->=+1*()+∈=n n n a a N 10n n a a +-={}n a 0n a ={}n a 2n S An Bn =+1n =11a S A B ==+2n ≥()()()221112-⎡⎤==+---+-=+-⎣⎦n n n a S An Bn A n B n An B S A 1n =2=+-n a An B A ()122n n a a A n --=≥{}n a ()11nn S =--1n =112a S ==2n (1)12(1)n n n n a S S --=-=⨯-可知时,符合上式,综上所述:,,所以数列是等比数列,故C 正确;对于选项D:当数列是等比数列时,取,则,此时显然,,不是等比数列,故D 错误;故选:BC.10．答案：CD解析：已知，函数定义域为R ，可得，当，单调递增；当时，，单调递减：当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，极小值，若函数在区间内有最小值，此时，解得，当，即时，整理得，解得或，所以，综上，满足条件m 的取值范围为.11．答案：ABC解析：椭圆的左右顶点分别,,因为点C 在椭圆上,所以设点C 的坐标为,,对于A,1n =12(1)n n a -=⨯-12(1)12(1)-⨯-⨯==--nn {}n a {}n a ()1nn a =-2110S =-+=2S 42S S -64S S -32()52f x x x x =+--2()325(35)(1)f x x x x x '=+-=+⋅-x <()0f x '>()f x 513x -<<()0f x '<()f x 1x >()0f x '>()f x 1x =()f x (1)5f =-()f x (,5)m m +11m m <<+41m -<<()5f x =-32530x x x +-+=2(1)(3)0x x -+=3x =-1x =3m ≥-[31)-，1(2,0)A -2(2,0)A (2cos )θθ[0,2π]θ∈1222222sin sin 4cos 42sin CA CAk k θθθθ====--对于B,因为所以直线为,令,得的坐标为,所以,所以B 正确;对于C,因为,所以,所以C 正确;对于D,直线为,直线为由两直线的方程联立方程组,解得所以点M 的坐标为,因为,当所以错误,故选：ABC.12．答案：AC 解析：令,从而递减,,,,.11A P CA k k ==AP y x =+2x =y =P OP k =112A POP k =2CAk =2222sin 12(cos 1)CA OP k θθ⋅===--2OP A C ⊥OP y x =2A C y x =2(cos 1),3cos x y θθ+==-2(cos 1)3cos θθ⎛+-⎝1B 222124(cos 1)(3cos )MB θθ+=+-⎭4cos ,sin 5θθ==2221244(1)902574121(3)5MB ⎫+=+=>⎪-⎭MB ()g x =()()()0exf x f xg x '-'=<()g x ()()()120121f f f >>>>e e ()()23f f >()()2e 11f f ->()()e 01f f >()()e 12f f >故选：AC.13．答案：解析：的导数为,可得曲线在处的切线斜率为,切点为,则切线的方程为．故答案为：．14．答案：解析：因为点P 到椭圆焦点的距离的最大值为,所以,,又.故答案为：.15．答案：解析：因为函数在区间上单调递增,所以在区间上函数,所以设,,函数上单调递增,所以只需即可.故答案为：.16．答案：①2②.1y x =+cos y x x =+1sin y x '=-cos y x x =+0x =101-=(0,1)1y x =+1y x =+[]1,42+22a a c c a c ⎧⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪+=⎪⎩⎩4)()21124PF PF -=--+122PF ≤≤()2121244PF PF PF ≤⋅=--+≤]1,4[]1,4(,3]-∞()2ln f x x x ax =+-[]1,2[]1,21()20f x x a x '=+-≥12,a x x≤+()min 1()2,t x x a t x x =+≤21()20t x x'=->()2t x x =+2]min ()213t x =+=3a ≤(,3]-∞1756解析：由数列满足,,可得,又由,所以因为,可得,,由,可得,所以,所以数列表示首项为,公比为的等比数列,可得,所以,则,因为,适合上式,所以,所以数列的前20项的和为：.17．答案：（1）（2）77解析：（1）设首项为,公差为d ,因为等差数列满足,,所以,解得,所以;（2）因为当时,,当时,,所以的最大值为,因为,所以.;{}n a 11a =13,2,nn na n n a a n ++-⎧=⎨⎩是奇数是偶数22(21)12121(21)322n n n n a a a n a n +++++==++-=+-2122n n a a +=22(21)12222n n n a a a n +++==+-22n nb a n =+12222(1)24n n n b a n a n ++=++=+222242n n a n a n++==11a =21131a a =+-=-1221b a =+={}n b 1212n n b -=1222n n a n -=-1212(1)12(1)224(1),(2)n n n n a a a n n ---+-===--≥11a =12124(1)n n a n --=--{}n a 2013192420()()S a a a a a a =+++++++ 10101210(4104)1210(2210)1756122122-⋅⨯--⋅+⨯=-+-=--233n a n=-1a {}n a 411a =72a =1131162a d a d +=⎧⎨+=⎩1203a d =⎧⎨=-⎩203(1)233n a n n =--=-7n ≤2330n a n =->8n ≥2330n a n =-<n S 7S 723372a =-⨯=72027772S +=⨯=2=1解析：（1）由椭圆的定义,,故设椭圆的半焦距为c ,由已知,因此即从而.又由由,因此19．答案：答案见解析解析：（ⅰ）由已知可得,,所以当时,当时,有,在上单调递增;当时,有,在上单调递减.（ⅱ）当,解,((122224a PF PF =+=++-=2a =12PF PF ⊥12c F ===，c =1b ==2=12122,2PF a QF QF =+=2+PF QF 12a PF -1PF ⊥a 12(2PF a =2122(21)PF a PF a a a =-=-=1PF PF ⊥22222122|F |||(2)4P PF c c +===c e a =====()2ln ax f x x a x =-+)0,+∞()2322a f x a x x x '=--+32322ax ax x x --+==0a =()f x '=01x <<()()3210x f x x -'-=>()f x ()0,11x >()()3210x f x x -'-=<()f x ()1,+∞02a <<1>()()()23120x ax f x x '--==可得,或.解可得,或在上单调递增,在上单调递增;解可得,在上单调递减.（ⅲ）当时,在上恒成立,所以,在上单调递增.综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递增.或1（2）解析：（1）由题意易知圆心,半径,易知直线l 存在斜率,设其方程为：,若,则为等腰直角三角形,所以圆心到直线的距离为或（2）同上,设l方程为：,圆心到l的距离为1x =x =1>()0f x '>01x <<x >()f x ()0,1⎫+∞⎪⎪⎭()0f x '<1x <<()f x ⎛ ⎝2a =()()()232110x f x x x '-+=≥()0,+∞()f x ()0,+∞0a =()f x ()0,1()1,+∞02a <<()f x ()0,1⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭2a =()f x ()0,+∞λ≥()4,3C 3r =2y kx k =+CA CB ⊥ABC △()4,3C 2y kx k =+1d k =⇒=k =2y kx k =+d =而易知,所以21．答案：（1）见解析（2）解析：（1）,又,,因此,数列是以3为首项,2为公比的等比数列,于是,数列②由(*)可知,,数列是等比数列,其首项为,由②可知,即=PA AB λ=== [)(][)22360,390,94,9d d d ∞∈⇒-∈⇒∈+-12λ=-≥12(34)2n n S n -=+-⋅2144n n n a a a ++=- 2112(2)2n n n n a a a a +++∴=--121,5a a == 21230a a ∴-=≠12n n a a +∴-≠2={}12n n a a +-1132*2n n n a a -+=⨯-（）111112323,22242n n n n n n n a a a a -+++-⨯-====2n n a ⎧⎨⎩11113132,1,120242n n n a a a a +-=+⨯=-⨯⨯=-≠ 111133(1)232(1)24433224422n n n n n n n n n n n n a a a a n +-++-+⋅+⨯-+⋅=-⋅-⋅=324n n a n ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭133(1)244n n =++⨯=-2(31)2n n n -=-⋅1312422n n n a n --⋅=-⨯2(31)2n n a n -=-⋅12n nS a a a =+++,,两式相减得,22．答案：（1）单调递减区间为,单调递增区间为（2）证明见解析解析：（1）的定义域为,.令,得,此时函数单调递增;令,得单调递减.所以的单调递减区间为,单调递增区间为.（2）证明：令,则.当时,.当时,令,则,,所以,即单调递减.又,,所以存在,使.当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,1022252(31)2n n S n --=⋅+⋅++-⋅ 01122252(31)2n n S n -=⋅+⋅++-⋅ 10121223(222)(31)2n n n S n ---=-⋅-⋅+++-⋅ 111111213(31)2121332(31)22(34)2n n n n n n S n n n ------=--⨯+-⋅-=-+-⋅+-⋅=+-⋅1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x (),0-∞()()()()()1ln 1ln 1f x x x x x'=--+-⋅⨯-=----()0f x '>10ex -<<()f x ()0f x '<x <()f x ()f x 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()()()e ln 0x h x g x f x x x x x =-=-+-<()()e ln x h x x '=+-1x <-()()e ln 0x h x x '=+->10x -<<()()x h x ϕ='()'e x x ϕ=+1<-e 1x <()0x ϕ'<()h x '()110e h '-=>11e e 11e ln e 10e e h --⎛⎫'-=+=-< ⎪⎝⎭011,e x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()00h x '=()0,x x ∈-∞()0h x '>()h x ()0,0x x ∈()0h x '<()h x即可得.因为,所以,即,所以.因为,所以在上单调递减,所以,同时,可得.因为,所以,又因为,所以,即.()()()00000max e ln x h x h x x x x ==-+-()00h x '=()00e ln x x =--()000000e ln e ln e x x x x x x =--=()()00e x f x f =-011,e x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭0e x -<()f x 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭00e x x =-()00ln x x -=()20002h x x x =-011,e x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭()()2000213h x x x h =-<-=()()0h x h x ≤()3h x ≤()()3g x f x -<。
江苏省高二(上)第一学期10月第一次月数学考试卷整理汇编(含答案)：命题
1. （江苏省泰州中学2017-2018年10月月考）5.已知()():44,:230p a x a q x x -<<+--<，若p ⌝是q ⌝的充分条件，则实数a 的取值范围是___．2. （江苏省泰州中学2017-2018年10月月考）11.已知函数()421f x a x a =-+，若命题：“()()000,1,0x f x ∃∈=”是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 3. （江苏省南通启东中学2016-2017年10月月考）1．命题：∀x ∈R ，sinx ＜1的否定是 ．4. （江苏省南通启东中学2016-2017年10月月考）4．“p ∧q 为假”是“p ∨q 为假”的 条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）5. （江苏省南通启东中学2016-2017年10月月考）5．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的 命题．6. （江苏省泰州中学2016-2017年10月月考）1.命题“2,20x R x ∀∈+>”的否定是______．7. （江苏省泰州中学2016-2017年10月月考）4.若命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围__________．8. （江苏省泰兴中学2016-2017年10月月考）1. 命题“∀R x ∈，x 2≥1”的否定为______．9. （江苏省泰兴中学2016-2017年10月月考）2.已知R a ∈ ，则“2a >”是“22a a >”的条件. （填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）．10. （江苏省泰兴中学2016-2017年10月月考）3.命题“若实数a 满足a ≤3，则2a ＜9”的否命题是______ 命题（填“真”、“假”之一）．11. （江苏省泰兴中学2015-2016年10月月考）1.命题“2,80x Q x ∃∈-=”的否定是 .12. （江苏省泰兴中学2015-2016年10月月考）5.“四边形四条边相等”是“四边形是正方形”的 条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个填写)13. （江苏省泰兴中学2015-2016年10月月考）9.已知0,1a a >≠，命题p ：函数log (1)a y x =+在(0，+∞)上单调递减，命题q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是 ． 14. （江苏省南通启东中学2015-2016年10月月考）1．已知命题p ：∀x ∈R ，sinx≤1，则¬p为 ．15. （江苏省南通启东中学2015-2016年10月月考）3．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的 命题．16. （江苏省南通启东中学2015-2016年10月月考）8．已知l ，m 表示两条不同的直线，m 是平面α内的任意一条直线，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的 条件．17. （江苏省南京二十九中2015-2016年10月月考）1．命题“”的否定是18. （江苏省南京二十九中2015-2016年10月月考）2．下列命题中真命题的序号是 ． ①4≥3； ②4≥4③方程x 2﹣x ﹣2=0的解是x=﹣1或方程x 2﹣x ﹣2=0的解是x=2； ④∀x ∈{﹣1，2}，x 2﹣x ﹣2=0．19. （江苏省南京二十九中2015-2016年10月月考）3．设命题p ：若x=7，y=8，则x+y=15的逆命题，否命题和逆否命题分别是q ，r ，s 四个命题p ，q ，r ，s 中真命题是 ． 20. （江苏省启东中学2014-2015年10月月考）1．命题:p x ∀∈R ，方程310x x ++=的否定是 ．21. （江苏省启东中学2014-2015年10月月考）3．命题“若α为锐角，则sin 0α>”的否命题是 ．22. （江苏省启东中学2014-2015年10月月考）12．已知命题4:11p x --≤，命题22:q x x a a -<-，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，则实数a 的取值范围是 ．23. （江苏省江浦高级中学2012-2013年10月月考）13、下列四个命题①“,R x ∈∃112≤+-x x ”的否定；②“若,062≥-+x x 则2>x ”的否命题；③在ABC ∆中，“”是30>A “21sin >A ”的充分不必要条件； ④“函数)tan()(ϕ+=x x f 为奇函数”的充要条件是“)(z k k ∈=πϕ”。
江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．经过两点(0,3),(P Q -的直线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．12m <C ．1m >-D ．2m ≥3．平面内一点M 到两定点()10,3F -，()20,3F 的距离之和为10，则M 的轨迹方程是（ ）A ．2212516x y +=B ．2212516y x +=C ．2212516y x -=D ．2212516x y -=4．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若直线y x m =+与曲线x m 的取值范围是（ ）A ．m =B ．m m ≤C ．m D ．11m -<≤或m =6．已知点P 在圆22:(2)(1)4O x y -+-=上，点()()1,2,2,2A B --，则满足6AP BP ⋅=u u u r u u u r的点P的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．07．设直线 :10l x y +-=， 一束光线从原点 O 出发沿射线 ()0y kx x =≥ 向直线 l 射出， 经 l 反射后与 x 轴交于点 M ， 再次经 x 轴反射后与 y 轴交于点 N . 若MN =， 则 k 的值为（ ）A ．32B ．23C ．12D ．138．已知圆22:16O x y +=，点12,2F ⎛- ⎝，点E 是:2160l x y -+=上的动点，过E 作圆O 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与EO 交于点M ，则||MF 的最小值为（ ）A ．32B C D二、多选题9．已知ABC V 中，()1,2A -，()1,0B ，()3,4C ，则关于ABC V 下列说法中正确的有（ ） A ．某一边上的中线所在直线的方程为2y = B ．某一条角平分线所在直线的方程为2y = C ．某一边上的高所在直线的方程为20x y += D ．某一条中位线所在直线的方程为210x y -+= 10．下列说法正确的是（ ）A ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件C ．过点()1,2P 且在x 轴，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=D ．设点()()2,3,3,2A B ---，若点P x ,y 在线段AB 上（含端点），则11y x --的取值范围是(]3,4,4∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭11．已知圆O ：224x y +=，过圆O 外一点(),P a b 作圆O 的切线，切点为A ，B ，直线OP 与直线AB 相交于点D ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点P 在直线40x y ++=上，则直线AB 过定点()1,1-- B ．当PA PB ⋅u u u r u u u r取得最小值时，点P 在圆2232x y +=上C ．直线PA ，PB 关于直线22ax by a b +=+对称D ．OP 与OD 的乘积为定值4三、填空题12．求过点(1,4)P -且与圆()()22231x y -+-=相切的直线方程为.13．已知方程22112x y m m+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是14．已知P 为圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点，()()0,0,2,0O B ，则P O B 的最小值为.四、解答题15．已知点()()1,3,5,7A B --和直线:34200l x y +-=． (1)求过点A 与直线l 平行的直线1l 的方程； (2)求过AB 的中点与l 垂直的直线2l 的方程．16．已知以点()1,2A -为圆心的圆与______，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．从①直线270x y ++=相切；②圆()22320x y -+=关于直线210x y --=对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． (1)求圆A 的方程；(2)当MN =l 的方程．17．如图，将一块直角三角形木板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1AB OB ==，AB OB ⊥，点11,24P ⎛⎫⎪⎝⎭是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角形木板锯成AMN V ，设直线MN 的斜率为k .(1)用k 表示出直线MN 的方程，并求出M 、N 的坐标；(2)求锯成的AMN V 的面积的最小值.18．如图，圆()22:10C x a x y ay a -++-+=.(1)若圆C 与y 轴相切，求圆C 的方程；(2)当4a =时，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）.问：是否存在圆222:O x y r +=，使得过点M 的任一条直线与该圆的交点,A B ，都有ANM BNM ∠=∠？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.19．已知()0,3A 、B 、C 为圆O ：222x y r +=（0r >）上三点．(1)若直线BC 过点()0,2，求ABC V 面积的最大值；(2)若D 为曲线()()22143x y y ++=≠-上的动点，且AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，试问直线AB 和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.。
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江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测一．填空题（共14题，每题5分，共70分；请将答案写在答题纸指定区域） 1.命题“2,80x Q x ∃∈-=”的否定是 .2.椭圆22110064x y +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为7，则点P 到右焦点的距离为 .3.双曲线22221124x y m m-=+-的焦距为 . 4.抛物线2y x =的准线方程为 .5.“四边形四条边相等”是“四边形是正方形”的 条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个填写)6.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的离心率为 . 7.已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为 .8.在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是____________．9.已知0,1a a >≠，命题p ：函数log (1)a y x =+在(0，+∞)上单调递减，命题q ：曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是 ．10.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为____ __.11.已知点(0,2)A ，抛物线22,(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则p ＝__________.12.已知椭圆E ：22142x y +=，直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为1(1,)2-，则l 的方程为 .13.已知直线10x y -+=上有两点,A B ，且2AB =，动点P 在抛物线22y x =上，则PAB ∆面积的最小值是 .14．在椭圆2214x y +=中，12,F F 为椭圆的左右焦点，P 是直线4x =上的一个动点．则∠APB 取得最大值时线段OP 的长为 ．二．解答题（共6题，90分.每题都应写出必要的计算过程） 15.（本题14分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程. (1) 6,1a b ==，焦点在x 轴上的椭圆；（2）与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点(32,2)的双曲线.16.（本题14分）设命题:p 方程22191x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线2214x y k-=的离心率()1,2e ∈．（1）若“p 且q ”为真命题，求k 的取值范围； （2）当6k =时，求双曲线的焦点到渐近线的距离.17.（本题14分）已知抛物线C 以直线2360x y -+=与坐标轴的交点为焦点， （1）求抛物线C 的标准方程；（2）设（1）中焦点在x 轴上的抛物线为1C ,直线l 过点(0,2)P 且与抛物线1C 相切，求直线l 的方程.18.（本题16分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点(0,1)M ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若=2，求直线l 的方程．19.（本题16分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x = 2．过椭圆的上顶点A 作一条与x轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q ． （1）求椭圆的方程；（2）若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．20.（本题16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点)0,1(F ，离心率为22，过F 作两条互相垂直的弦CD AB ,，设CD AB ,的中点分别为N M ,.（1）求椭圆的方程；xyOP QA （第19题图）（2）证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦CD AB ,的斜率均存在，求FMN 面积的最大值.江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测参考答案18：解：（1）设椭圆方程为，因为，所以，所求椭圆方程为…（5分）（2）由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y=kx+1则由得（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8=0，且△＞0．（8分）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由=2得x 1=﹣2x 2…..又，（12分）所以消去x 2得解得所以直线l 的方程为，即x ﹣2y+2=0或x+2y ﹣2=0…（16分）19．解： ⑴因为c a ＝22，a2c= 2，所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝１．故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1． ………………………………………………4分⑵解法一 设P 点坐标为(x 1，y 1)，则Q 点坐标为(x 1， – y 1)．因为k AP ＝y 1－1x 1－0＝y 1－1x 1，所以直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1．令y = 0，解得m ＝－x 1y 1－1. ………………………………………………8分因为k AQ ＝ －y 1－1x 1－0＝－y 1＋1x 1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y 1＋1x 1x ＋1．令y ＝0，解得n ＝x 1y 1＋1． ………………………………………………12分所以mn ＝－x 1y 1－1⨯ x 1y 1＋1＝x 211－y 21． ………………………………………………14分又因为(x 1，y 1)在椭圆x 22+ y 2= 1上，所以x 212 + y 21= 1，即1－y 21= x 212，所以x 211 – y 21＝2，即mn ＝2．所以mn 为常数，且常数为2． ………………………………………………16分解法二 设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y = kx +1，令y = 0，得m ＝－1k． ………………………………………………6分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y = kx + 1，x 22+ y 2＝1， 消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P =－4k 1 + 2k 2， ……………8分所以y P ＝k ×x P ＋1＝1－2k21＋2k2，则Q 点的坐标为(－4k 1 + 2k 2，－1－2k21＋2k2)．………………………………………10分所以k AQ ＝－1－2k 21＋2k 2－1－4k 1 + 2k 2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12k x ＋1．令y ＝0，得n ＝－2k ， …………………………………………14分 所以mn ＝(－１k)⨯(－2k )＝2．所以mn 为常数，常数为2．…………………………………………16分 20. 解：（1）由题意：21,2c c a ==，则2,1,1a b c ===，（每个1分） ……3分 椭圆的方程为2212x y += ……4分（2）,AB CD 斜率均存在，设直线AB 方程为：(1)y k x =-，12121122(,),(,),(,(1))22x x x xA x yB x y M k ++-，22(1),220,y k x x y =-⎧⎨+-=⎩ 得2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……5分212221224122212k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故2222(,)1212k k M k k -++， ……6分 将上式中的k 换成1k -，则同理可得：222(,)22kN k k ++， ……8分 如22222122k k k =++，得1k =±，则直线MN 斜率不存在， 此时直线MN 过点2(,0)3，下证动直线MN 过定点2(,0)3P . ……9分（法一）若直线MN 斜率存在，则 22224222(33)3122222221122MNk kk k k k k k k k k k k ---+-++===⨯---++， 直线MN 为22232()2212k k y x k k k--=⨯-+-+，……11分 令0y =，得222222212312232323k k x k k k -+-=+⨯=⨯=+++， 综上，直线MN 过定点2(,0)3. ……12分（法二）动直线MN 最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x 轴上，设23x =与x 轴交点为2(,0)3P ，下证动直线MN 过定点2(,0)3P .当1k ≠±时，PMk =22223122221123kkk k kk -+=⨯--+，……10分 同理将上式中的k 换成1k-，可得221()3312211PMkk k k k -==⨯--， ……11分则PM PN k k =，直线MN 过定点2(,0)3P . ……12分（3）由第（2）问可知直线MN 过定点2(,0)3P ，故S △FMN =S △FPM +S △FPN 221111||||2322312k kk k -=⨯+⨯++ 2222421||(33)1||(1)6(2)(12)2252k k k k k k k k ++==⨯++++ ……13分221(||)1||2225k k k k +=++，令1||[2,)||t k k =+∈+∞，S △FMN 21()22(2)5tf t t ==⨯-+21221t t =⨯+ ……14分 则()f t 在[2,)t ∈+∞单调递减， ……15分当2t =时()f t 取得最大值，此时S △FMN 取得最大值19，此时1k =±. ……16分。