九年级数学下册5.4二次函数与一元二次方程教学设计(新版)苏科版

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初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思

初中数学_二次函数的图象与一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思《二次函数与一元二次方程》教学设计【课题】九年级下册5.6《二次函数与一元二次方程》（第1课时）一、教材分析本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。

教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。

这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

二、学情分析1、知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经了解到了一次函数和一元一次方程的解之间的关系。

因而，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。

2、学生学习本节课的知识障碍就是建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想。

三、教学目标知识与技能：1.探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系2.能根据二次函数y＝ax2+bx+c的系数，判断它的图象与x轴的位置关系3.应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题过程与方法：经历探索二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。

情感态度和价值观：使学生在数学应用增强自信心，在合作学习中增强集体责任感，加强学生数形结合思想的应用。

四、教学重难点重点：应用二次函数和一元二次方程的关系解决相关问题难点：理解二次函数y＝ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系五、教法学法教法：类比探究法、归纳总结法、讲练结合法学法：合作探究法、小组讨论法六、教学内容与过程（一）、立体式复习检测（1）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________（2）不解方程，判断方程x2－3x＋3=0根的情况是________（3）解方程： x2－2x－3=0（4）（中考·白银）若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________【师生活动】：同桌提问判别式△与方程实数根的关系，然后请4位同学分别板书以上4个题目，其他同学在导学案完成以上题目。

九年级数学下册《二次函数与一元二次方程的关系》教案、教学设计

3.提高题：这部分作业主要针对学有余力的学生，设计一些具有一定难度的题目，帮助学生拓展思维，提高解题能力。
-例如：“已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，2），求该二次函数的解析式。”
4.小组合作探究题：这部分作业要求学生在小组内共同完成，培养学生的合作精神和探究能力。
（三）学生小组讨论
在讲授新知之后，我会组织学生进行小组讨论。我将设计一些具有探究性的问题，如：“二次函数的开口方向和顶点坐标是如何影响一元二次方程的解的？”、“在实际问题中，如何运用二次函数的性质求解一元二次方程？”等。学生通过小组合作，共同探讨这些问题，培养他们的合作精神和探究能力。
（四）课堂练习
-教师设计具有现实背景的实际问题，引导学生运用二次函数知识进行分析和解决。
-学生在解决问题的过程中，掌握数学建模、问题求解等数学方法。
3.通过对二次函数图像的观察与分析，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生主动参与学习的积极性。
五、作业布置
为了巩固学生对二次函数与一元二次方程关系的理解，提高学生的应用能力和解决问题的策略，我设计了以下几类作业：
1.基础知识巩固题：这部分作业主要针对课堂所学的基本概念和性质进行设计，包括填空题、选择题和简答题，旨在帮助学生巩固二次函数与一元二次方程的基本知识。
-填空题：如“二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，当a<0时，图像开口______。”
2.掌握一元二次方程的求解方法，了解一元二次方程与二次函数之间的关系，并能运用二次函数解决实际问题。
-学生能够运用直接开平方法、配方法、求根公式等求解一元二次方程。

初中数学苏科版九年级下册第5章二次函数5.4 二次函数与一元二次方程-章节测试习题(1)

章节测试题1.【答题】抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），那么m=______．【答案】－2【分析】把点的坐标代入解析式解答即可.【解答】因为抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），所以m﹣2=﹣4，解得m=﹣2．故答案为﹣2．2.【答题】若函数的图像与轴有公共点，则实数a的取值范围______．【答案】a≥-1【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】因为二次函数的图像与x轴有公共点,所以,解得: a≥-1,故答案为: a≥-1.3.【答题】若函数y=mx2﹣（m﹣3）x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则m的值为______．【答案】0、－1或－9【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】当m=0时，原函数解析式为y=3x﹣4，令y=0，则有3x﹣4=0，解得：x=，∴此时函数y=mx2﹣(m﹣3)x﹣4的图象与x轴只有一个交点，∴m=0符合题意；当m≠0时，∵二次函数y=mx2﹣(m﹣3)x﹣4的图象与x轴只有一个交点，∴△=[﹣(m﹣3)]2﹣4×(﹣4)m=0，即m2+10m+9=0，解得：m1=﹣1，m2=﹣9．综上所述：m的值为0、﹣1或﹣9，故答案为0、﹣1或﹣9．4.【答题】抛物线y=9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则p的值是______．【答案】±12【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】解：抛物线与x轴只有一个交点，则△=b2-4ac=0，故：p2-4×9×4=0，解得p=±12．故答案为：±12．5.【答题】已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点A（﹣1，0），求抛物线与x轴的另一个交点坐标______．【答案】（－3，0）【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】解：由抛物线y=ax2+4ax+t知，该抛物线的对称轴是x=-=-2．∵该抛物线与x轴的两交点一定关于对称轴对称，∴另一个交点为（-3，0）．故答案是：（-3，0）．6.【答题】若抛物线与轴有两个公共点，则的取值范围是______．【答案】m＞－1【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】∵与轴相交两点，∴，∴．7.【答题】如果二次函数的顶点在x轴上，那么m =______．【答案】17【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可. 二次函数的顶点在x轴上，说明二次函数的图象与x轴只有一个交点.【解答】解：二次函数的顶点在x轴上，解得：故答案为：8.【答题】一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x+2的图象有______个交点．【答案】1【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】由消去可得得方程：，解得，∴一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x+2的图象有1个交点．故答案为：1.9.【答题】若抛物线y=mx2+mx-2与x轴只有一个交点，则m= ______ ．【答案】－8【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】解：抛物线y=mx2+mx-2与x轴只有一个交点，则：解得：或二次项系数故故答案为：10.【答题】抛物线与轴的公共点的个数是______.【答案】2【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可.【解答】∵抛物线解析式为：y=x2−x−1，∴a=1，b=−1，c=−1，∴△=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−1)=1+4=5>0，∴抛物线与x轴有两个交点，故答案为：2.11.【答题】已知抛物线y=x2−2x+2-a与x轴有两个不同的交点,则直线y=ax+a不经过第______ 象限。

苏科版九年级下册数学教案设计5.4二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程教课目的21、经历依据 a、b、c及b－4ac的符号画二次函数的表示图的过程，感觉数形联合的思想；22、依据二次函数的表示图确立a、b、c及b－4ac的符号，培育识图能力．教课过程一、引入我们知道二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）的图像是一条抛物线.问题1：怎样来画一个抛物线的草图？生：应画出抛物线张口方向、张口大小、对称轴、最值等问题2：以上都是抛物线的图像特色，察看以下几组抛物线，它们在图像特色上有什么差别，这些差别是由什么决定的，又怎样决定的呢？带着这样的疑问，我们进入本节课的学习，揭露课题《y=ax2+bx+c的系数a,b,c 与图像的关系》.[设计企图]性质的研究依赖于对图像特色的察看，经过对函数图像察看能够得出函数的一系列性质，正因这样，对函数图像重点特色的掌握就应当是办理好本课教课任务的重点，故在设计本课时教课方案时，从怎样绘图、察看几组差别图形下手，指引学生去关注图像的几个重点特色：开方方向，张口大小、对称轴地点、与y轴交点地点、与x轴交点个数等.给出的四组图形，第一组是张口方向的差别，第二组是对称轴地点的差别、第三组是与y轴交点地点的差别、第四组是与x轴交点个数的差别. 这样引入设计也是从学生已有知识基础、生活经验、认知规律和心理特色出发，找准教课的起点，打破教课的难点，捕获教课的生长点，使教课切合本质.二、研究活动1、研究a对抛物线张口方向的影响.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（张口方向、张口大小）是由a决定的：1）a＞0抛物线张口向上，2）a＜0抛物线张口向下；（3）｜a｜同样抛物线形状同样．2、研究a、b对抛物线对称轴的影响. 2a与b同号对称轴在y轴左边；3、研究a与b异号对称轴在y轴右边；b＝0对称轴就是y轴．c对抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点地点的影响.抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点地点是由C决定的：c＞0抛物线与y轴交于y轴的正半轴；c＝0抛物线与y轴交于坐标原点；c＜0抛物线与y轴交于y轴的负半轴．4、研究b2－4ac的符号对抛物线与x轴交点个数的影响.抛物线与x轴有两个交点b2－4ac＞0抛物线与x轴有一个交点b2－4ac=0抛物线与x轴有没有交点b2－4ac小于0课件设计：[设计企图]活动是讲堂教课的一种组织形式，学生学习应当是一个主动的和富裕个性的过程。

苏科版数学九年级下册5.4《二次函数与一元二次方程》教学设计

苏科版数学九年级下册5.4《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《苏科版数学九年级下册5.4》这一节主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，学会运用二次函数图象解决一元二次方程的问题。

教材通过实例引导学生探究二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次函数的图象和性质，以及一元二次方程的解法。

但学生对二次函数与一元二次方程之间的联系可能还不够清晰，因此，在教学过程中，教师需要以学生已有的知识为基础，引导学生发现二次函数与一元二次方程之间的关系。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能运用二次函数图象解决一元二次方程的问题。

2.过程与方法：学生通过观察、分析、归纳，发现二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系。

3.情感态度价值观：学生培养对数学的兴趣，提高分析问题、解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：学生能运用二次函数图象解决一元二次方程的问题。

2.难点：学生发现二次函数与一元二次方程之间的关系。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生观察、分析、归纳，从而发现二次函数与一元二次方程之间的关系。

六. 教学准备1.教师准备相关案例和问题，设计教学PPT。

2.学生准备笔记本、文具等学习用品。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过一个实际问题引出本节课的主题：“如何利用二次函数图象解决一元二次方程的问题？”让学生思考并回答，从而激发学生的学习兴趣。

2. 呈现（10分钟）教师通过PPT呈现几个关于二次函数与一元二次方程的实例，让学生观察并分析实例中二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系。

3. 操练（10分钟）教师提出问题：“如何利用二次函数图象求解一元二次方程？”学生分组讨论并尝试解决问题。

教师在旁边指导，帮助学生找到解题思路。

4. 巩固（10分钟）教师选择几组学生的解答，让学生上台演示并讲解解题过程。

九年级数学下册第5章二次函数5.1二次函数作业设计（新版）苏科版

九年级数学下册第5章⼆次函数5.1⼆次函数作业设计（新版）苏科版九年级数学下册第5章⼆次函数5.1⼆次函数作业设计（新版）苏科版5.1 ⼆次函数⼀、选择题1．在下列y 关于x 的函数中，⼀定是⼆次函数的是链接听课例1归纳总结( ) A ．y ＝2x 2B ．y ＝2x －2C ．y ＝ax 2D ．y ＝a x22．下列函数中是⼆次函数的有( )①y ＝x ＋1x ；②y ＝3(x －1)2＋2；③y ＝(x ＋3)2－2x 2；④y ＝1x2＋x .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知⼆次函数y ＝3(x －2)2＋1，当x ＝3时，y 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－34．下列函数关系中，是⼆次函数的是链接听课例2归纳总结( ) A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 之间的关系 B ．当距离⼀定时，⽕车⾏驶的时间t 与速度v 之间的关系 C ．等边三⾓形的周长C 与边长a 之间的关系D ．圆⼼⾓为120°的扇形的⾯积S 与半径R 之间的关系5．共享单车为市民出⾏带来了⽅便，某单车公司第⼀个⽉投放a 辆单车，计划第三个⽉投放y 辆单车．设该公司第⼆、三两个⽉投放单车数量的⽉平均增长率为x ，那么y 与x 之间的函数表达式是( )A ．y ＝a (1＋x )2B ．y ＝a (1－x )2C ．y ＝(1－x )2＋a D ．y ＝x 2＋a ⼆、填空题6．⼆次函数y ＝12(x －2)2－3中，⼆次项系数为__________，⼀次项系数为__________，常数项为________．7．已知关于x 的函数y ＝(a 2－4)x 2＋2x 是⼆次函数，则a ________.8．设矩形窗户的周长为6 m ，则窗户⾯积S (m 2)与窗户的⼀边长x (m)之间的函数表达式是____________，⾃变量x 的取值范围是________.链接听课例3归纳总结9．某商场将进价为40元/套的某种服装按50元/套售出时，每天可以售出300套．市场调查发现，这种服装每提⾼1元售价，每天销量就减少5套．如果商场将每套售价定为x(x＞50)元，每天的销售利润为y元，那么y与x之间的函数表达式为10．如图，正⽅形EFGH的顶点在边长为2的正⽅形ABCD的边上．若设AE＝x，正⽅形EFGH 的⾯积为y，则y与x之间的函数表达式为________________．三、解答题11．已知关于x的函数y＝(m＋3)xm2＋m－4＋(m＋2)x＋2.(1)当函数是⼆次函数时，求m的值；(2)当函数是⼀次函数时，求m的值．12．如图，⽤⼀段长为30⽶的篱笆围⼀个⼀边靠墙(墙的长度为20⽶)的矩形鸡场．设BC 边的长为x⽶，鸡场的⾯积为y平⽅⽶．(1)写出y与x之间的函数表达式(不要求写出⾃变量的取值范围)；(2)此函数是⼆次函数吗？如果是，指出此函数的⼆次项系数、⼀次项系数和常数项．13．如图，在长为200 m、宽为80 m的矩形区域内修建等宽的三条路(图中阴影部分)．试写出路⾯⾯积y(m2)与路的宽度x(m)之间的函数表达式．(不要求写出⾃变量的取值范围)链接听课例2归纳总结14．某店销售⼀种⼩⼯艺品，该⼯艺品每件进价为12元，售价为20元，每周可售出40件．经调查发现，若把每件⼯艺品的售价提⾼1元，每周就会少售出2件．设每件⼯艺品的售价提⾼x元，每周从销售这种⼯艺品中获得的利润为y元．(1)填空：每件⼯艺品售价提⾼x元后的利润为________元，每周可售出⼯艺品________件，y关于x的函数表达式为____________；(2)若y＝384，则每件⼯艺品的售价应定为多少元？15．某⼯⼚前年的⽣产总值为10万元，去年相对前年的年增长率为x，预计今年相对去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y 万元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)当x＝20%时，今年的总产值为多少？(3)在(2)的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？参考答案⼀、1．A2．[解析] B ①y ＝x ＋1x 不是⼆次函数，因为1x是分式；②y ＝3(x －1)2＋2变形后为y ＝3x2－6x ＋5，是⼆次函数；③y ＝(x ＋3)2－2x 2变形后为y ＝－x 2＋6x ＋9，是⼆次函数；④y ＝1x 2＋x 中1x2是分式，不是⼆次函数．3．[解析] A 把x ＝3代⼊⼆次函数y ＝3(x －2)2＋1，得y ＝3×(3－2)2＋1＝4.故选A. 4．[解析] D A 项，y ＝mx ＋b ，当m ≠0(m 是常数)时，是⼀次函数，错误；B 项，t ＝sv，当s ≠0时，是反⽐例函数，错误；C 项，C ＝3a ，是正⽐例函数，错误；D 项，S ＝13πR 2，是⼆次函数，正确．5．[解析] A 增长后的量＝增长前的量×(1＋增长率)．若该公司第⼆、三两个⽉投放单车数量的⽉平均增长率为x ，则第⼆个⽉投放单车a (1＋x )辆，第三个⽉投放单车a (1＋x )2辆，故y 与x 之间的函数表达式是y ＝a (1＋x )2.故选A.⼆、6． 12 －2 －1[解析] 把函数表达式化为⼀般形式，再写出各项的系数和常数项．∵y＝12(x －2)2－3＝12x 2－2x －1，∴⼆次项系数为12，⼀次项系数为－2，常数项为－1. 7． ≠±2 [解析] 根据⼆次函数的定义，知a 2－4≠0，解得a ≠±2.8． S ＝－x 2＋3x 0＜x ＜3 [解析] S ＝x (3－x )＝－x 2＋3x ，⾃变量x 的取值范围是0＜x ＜3.9． y ＝－5x 2＋750x －22000 [解析] y ＝(x －40)[300－5(x －50)]＝－5x 2＋750x －22000. 10． y ＝2x 2－4x ＋4 [解析] 如图所⽰：∵四边形ABCD 是边长为2的正⽅形，∴∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝2，∴∠1＋∠2＝90°. ∵四边形EFGH 为正⽅形，∴∠HEF ＝90°，EH ＝FE ，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∴△AHE ≌△BEF (AAS)，∴AE ＝BF ＝x ，AH ＝BE ＝2－x . 在Rt△AHE 中，由勾股定理，得EH 2＝AE 2＋AH 2＝x 2＋(2－x )2＝2x 2－4x ＋4，即y ＝2x 2－4x ＋4. 三、11．解：(1)由m ＋3≠0，m 2＋m －4＝2，得m ＝2.∴当m ＝2时，y 是x 的⼆次函数．(2)由?m ＋3＝0，m ＋2≠0，得m ＝－3；由m 2＋m －4＝1，m ＋3＋m ＋2≠0，得m ＝－1±212；由?m 2＋m －4＝0，m ＋2≠0，得m ＝－1±172.综上所述当，m ＝－3或m ＝－1±212或m ＝－1±172时，y 是x 的⼀次函数． 12．解：(1)∵BC 边的长为x ⽶，且鸡场ABCD 是矩形鸡场，∴AB ＝12(30－x )⽶，鸡场的⾯积＝AB ·BC ＝12(30－x )·x ，∴y ＝－12x 2＋15x .(2)此函数是⼆次函数，⼆次项系数是－12，⼀次项系数是15，常数项是0.13．[解析] 应⽤等⾯积变换可将三条路均平移靠边，则路的⾯积就等于⼤矩形的⾯积减去空⽩矩形的⾯积．解：由题意，得y＝200×80－(200－2x)(80－x)，整理，得y＝－2x2＋360x.14．[解析] (1)根据售价每提⾼1元其销售量就减少2件可得售价提⾼x元，则销售量减少2x，根据利润＝(售价－进价)×销量列出代数式即可．(2)根据(1)中所求得出，y＝384时，代⼊y与x关系式，列出⽅程求解即可．解：(1)∵该⼯艺品每件进价为12元，售价为20元，∴每件⼯艺品售价提⾼x元后的利润为(20－12＋x)＝(8＋x)元．∵把每件⼯艺品的售价提⾼1元，每周就会少售出2件，∴每周可售出⼯艺品(40－2x)件，∴y关于x的函数表达式为y＝(40－2x)(8＋x)＝－2x2＋24x＋320.(2)∵y＝384，∴384＝－2x2＋24x＋320，整理，得x2－12x＋32＝0，(x－4)(x－8)＝0，解得x1＝4，x2＝8.4＋20＝24，8＋20＝28，答：每件⼯艺品的售价应定为24元或28元．15．解：(1)前年的⽣产总值为10万元，去年的⽣产总值为10(1＋x)万元，今年的⽣产总值为10(1＋x)2万元，∴y＝10(1＋x)2＝10x2＋20x＋10.(2)当x＝20%时，y＝10×1.22＝14.4.即今年的总产值为14.4万元．(3)三年的总产值为10＋10×1.2＋14.4＝10＋12＋14.4＝36.4(万元)．[素养提升]解：(1)∵AD＝EF＝BC＝x m，∴AB＝(18－3x)m，∴V(m3)与x(m)之间的函数表达式为V＝1.5x(18－3x)＝－4.5x2＋27x.x的取值范围为0(2)根据题意，得1.5x(18－3x)＝36，即x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4.。

苏科版九年级数学下册5.4：二次函数与一元二次方程教案设计

二次函数与一元二次方程【教学目标】1．经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的关系。

2．理解二次函数的图象与x 轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系。

3．进一步体验数形结合的数学思想。

【教学重点】体会方程与函数之间的联系。

【教学难点】数形结合的数学思想。

【教学过程】一、问题情景：1．一次函数25y x =-+与x 轴的交点坐标是什么？它与一元一次方程250x -+=有什么关系？2．解下列方程：①0322=--x x ②0962=+-x x ③0322=+-x x3．下列三个二次函数：①223y x x =--②269y x x =-+③223y x x =-+与上述相应的一元二次方程有什么关系？二、新授探索1：二次函数与一元二次方程的关系。

探索2：二次函数与x 轴的交点个数与一元二次方程的根的情况的关系。

探索3：直线与二次函数的交点个数及求交点的方法。

例如：判断直线1y mx =+和抛物线223y x x =--交点情况。

例1：判断下列各抛物线是否与x 轴相交，如果相交，求出交点的坐标。

（1）2621y x x =-+（2）234y x x =-++（3）244y x x =-+例2：已知抛物线26y x x a =-+的顶点在x 轴上，则a =_________；若抛物线与x 轴有两个交点，则a 的范围是_________；与x 轴最多只有一个交点，则a 的范围是_________例3：已知关于x 的函数21y ax x =++（a 为常数）（1）若函数的图象与x 轴恰有一个交点，求a 的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围。

例4：已知二次函数22-++=a ax x y 。

（1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点。

（2）设0a <，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。

湘教版数学九年级下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系和区别》教学设计

湘教版数学九年级下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系和区别》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.4《二次函数与一元二次方程的联系和区别》这一节主要让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系和区别。

教材通过具体的例子引导学生理解两者之间的关系，并运用数学知识进行分析。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了一元二次方程的知识，对二次函数也有了一定的了解。

但学生可能对两者之间的联系和区别认识不够清晰，需要通过实例进行分析，加深理解。

三. 教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。

2.让学生掌握二次函数与一元二次方程的区别。

3.培养学生运用数学知识分析问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：二次函数与一元二次方程之间的联系和区别。

2.教学难点：如何引导学生理解并运用数学知识分析两者之间的关系。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过实例分析，发现二次函数与一元二次方程之间的联系和区别。

同时，运用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学实例。

2.准备PPT，用于展示教学内容和实例。

3.准备小组合作学习任务单。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次函数和一元二次方程的概念，激发学生的兴趣。

2.呈现（15分钟）展示PPT，呈现二次函数和一元二次方程的定义和关系。

引导学生理解两者之间的联系。

3.操练（15分钟）让学生分组进行实例分析，运用数学知识分析二次函数和一元二次方程之间的关系。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生总结在实例分析中得到的结论，加深对二次函数和一元二次方程之间联系和区别的理解。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了已学的实例，还有哪些情况下可以运用二次函数和一元二次方程之间的关系？让学生运用所学知识解决实际问题。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调二次函数与一元二次方程之间的联系和区别。

苏科版九年级下册：5.4《二次函数与一元二次方程》同步练习含答案

5.4《二次函数与一元二次方程》同步练习一．选择题1．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A．b＜1且b≠0B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜12．若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x 的方程x2+bx＝5的解为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5 3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（）x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4y﹣0.80﹣0.54﹣0.200.220.72A．1.6＜x1＜1.8B．1.8＜x1＜2.0C．2.0＜x1＜2.2D．2.2＜x1＜2.4 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6y﹣1.59﹣1.16﹣0.71﹣0.240.250.76则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（）A．1.2＜x＜1.3B．1.3＜x＜1.4C．1.4＜x＜1.5D．1.5＜x＜1.6 6．根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：则方程x2+px+q＝0的正数解满足（）x00.51 1.1 1.2 1.3x2+px+q﹣15﹣8.75﹣2﹣0.590.84 2.29A．解的整数部分是0，十分位是5B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1D．解的整数部分是1，十分位是27．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤48．在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣19．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t ＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t≥﹣1B．﹣1≤t＜3C．﹣1≤t＜8D．3＜t＜810．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，5）、B（9，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（）A．﹣1≤x≤9B．﹣1≤x＜9C．﹣1＜x≤9D．x≤﹣1或x≥9 11．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题12．若关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．13．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝．14．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是．15．根据下列表格中y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是．x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.0416．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．17．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x ＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是．18．如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为．三．解答题19．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．20．设二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．21．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A （﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．22．我们可以通过下列步骤估计方程x2﹣2x﹣2＝0方程的根所在的范围．第一步：画出函数y＝x2﹣2x﹣2＝0的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，﹣1之间．第二步：因为当x＝0时，y＝﹣2＜0，当x＝﹣1时，y＝1＞0，所以可确定方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根x1所在的范围是﹣1＜x1＜0第三步：通过取0和﹣1的平均数缩小x1所在的范围：取x＝，因为当x＝时，y＜0．又因为当x＝﹣1时，y＞0，所以（1）请仿照第二步，通过运算验证方程x2﹣2x﹣2＝0的另一个根x2所在的范围是2＜x2＜3．（2）在2＜x2＜3的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在的范围缩小至a＜x2＜b，使得．参考答案一．选择题1．解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，如果b＝0，那么此二次函数与两坐标轴的其中一个交点重合了，那么就只有2个交点，则于题意不符，∴，解得b＜1且b≠0．故选：A．2．解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，∴﹣＝2，解得：b＝﹣4，∴关于x的方程为x2﹣4x＝5，解得x1＝﹣1，x2＝5，故选：D．3．解：∵b＞a＞0∴﹣＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴最多有一个交点，∴b2﹣4ac≤0，∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0中，△＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a＜0，所以②正确；∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，∴x取任何值时，y≥0∴当x＝﹣1时，a﹣b+c≥0；所以③正确；当x＝﹣2时，4a﹣2b+c≥0，a+b+c≥3b﹣3a，a+b+c≥3（b﹣a），≥3所以④正确．故选：D．4．解：如图由图象可以看出二次函数y＝ax2+bx+c在区间（2.0，2.2）上可能与x轴有交点，即2.0＜x1＜2.2．∴故选C．5．解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．故选：C．6．解：根据表中函数的增减性，可以确定函数值是0时，x应该是大于1.1而小于1.2．所以解的整数部分是1，十分位是1．故选：C．7．解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y ＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，当x＝1时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，∴﹣5＜t≤4．故选：D．8．解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．另一解法：∵a≠b，∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，∴M＝2，又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，∴N≤2，∴N≤M，∴不可能有M＝N﹣1，故排除A、B、D，故选：C．9．解：对称轴为直线x＝﹣＝1，解得b＝﹣2，所以二次函数解析式为y＝x2﹣2x，y＝（x﹣1）2﹣1，x＝1时，y＝﹣1，x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，∵x2+bx﹣t＝0的解相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．故选：C．10．解：由图形可以看出：抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y1＝kx+n（k≠0）的交点的横坐标分别为﹣1，9，当y1≥y2时，x的取值范围正好在两交点之内，即﹣1≤x≤9．故选：A．11．解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b+c＝2a﹣2a+c＝c＞0，所以①正确；∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；∵x＝1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x＝3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，而b＝﹣2a，∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确．故选：A．二．填空题12．解：令y＝0，则kx2+2x﹣1＝0．∵关于x的函数y＝kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，∴关于x的方程kx2+2x﹣1＝0只有一个根．①当k＝0时，2x﹣1＝0，即x＝，∴原方程只有一个根，∴k＝0符合题意；②当k≠0时，△＝4+4k＝0，解得，k＝﹣1．综上所述，k＝0或﹣1．故答案为：0或﹣1．13．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，解得，（m﹣）2＜，解得m＜或m＞．将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，解得：m＝．故答案为：1或0或．14．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根∴△＝（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，解得：a＞设f（x）＝ax2﹣3x﹣1，如图，∵实数根都在﹣1和0之间，∴﹣1，∴a，且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，即f（﹣1）＝a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）＝﹣1＜0，解得：a＜﹣2，∴＜a＜﹣2，故答案为：＜a＜﹣2．15．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．故答案为：6.18＜x＜6.19．16．解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞4．故答案为：x＜﹣1或x＞4．17．解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；故答案是：418．解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．故答案为：x2＜x＜x3．三．解答题19．（1）证明：①当k＝0时，方程为x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有实数根，②当k≠0时，∵△＝（2k+1）2﹣4k×2＝（2k﹣1）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）解：令y＝0，则kx2+（2k+1）x+2＝0，解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝﹣，∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k＝1．∴该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y＝0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2＝0恒成立，则，解得或．所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．20．解：（1）设y＝0∴0＝ax2+bx﹣（a+b）∵△＝b2﹣4•a[﹣（a+b）]＝b2+4ab+4a2＝（2a+b）2≥0∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个（2）当x＝1时，y＝a+b﹣（a+b）＝0∴抛物线不经过点C把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得解得∴抛物线解析式为y＝3x2﹣2x﹣1（3）当x＝2时m＝4a+2b﹣（a+b）＝3a+b＞0①∵a+b＜0∴﹣a﹣b＞0②①②相加得：2a＞0∴a＞021．解：（1）∵抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴0＝1+m，∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∵对称轴x＝﹣2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（﹣4，3），∵y＝kx+b经过点A、B，∴，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣1，（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤﹣4或x≥﹣1．22．解：（1）因为当x＝2时，y＝﹣2＜0，当x＝3时，y＝1＞0，所以可确定方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根x2所在的范围是2＜x2＜3；（2）取x＝＝2.5，因为当x＝2.5时，y＜0．又因为当x＝3时，y＞0，所以2.5＜x2＜3，取x＝＝2.75，因为当x＝2.75时，y＞0．又因为当x＝2.5时，y＜0，所以2.5＜x2＜2.75，因为2.75﹣2.5＝．取x＝＝2.625，因为当x＝2.625时，y＜0．又因为当x＝2.75时，y＞0，所以2.625＜x2＜2.75，因为2.75﹣2.625＝＜，所以2.625＜x2＜2.75即为所求x2的范围。

新苏科版九年级数学下册《5章二次函数5.4二次函数与一元二次方程》教案_25

苏科版九年级数学（上）5.4二次函数与一元二次方程(1)教材内容分析:本节是在学生已学了二次函数图像与性质及用待定系数法确定二次函数表达式之后所学的内容，学生已积累了一次函数与二元一次方程、一元一次不等式间联系的认知经验，本课的教学要使学生理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图像特征，体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法，并进一步地培养学生函数与方程的思想。

教学目标知识技能：知道二次函数y=ax2 +bx+c （a≠0）与一元二次方程ax2 +bx+c=0 （a≠0）之间的联系.数学思考：体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法；问题解决：会求二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图像与x轴交点的坐标，理解二次函数图像与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图像特征；情感态度：体会函数与方程的相互转化,数与形结合的数学思想方法。

教学重点：知道二次函数y=ax2 +bx+c （a≠0）与一元二次方程ax2 +bx+c=0 （a≠0）之间的联系.教学难点：体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法；教学过程：一、引入目标：1、欣赏漫画，咱俩长得可真像，为什么？2、兄弟，你跟x轴的事情摆不平的时候，就找我！这是为什么呢？揭示本节课的学习目标。

设计意图：激发学生的兴趣与求知欲，揭示目标，明确学习方向，增强学生学习的动力。

二：突破目标（一）1、求二次函数y=x2-3x+2的图像与x轴的交点坐标.思考：方程x2-3x+2=0的解与x轴的交点的横坐标是不是同一问题？2.如图，二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的交点坐标分别是M（3,0）、N（-1,0）. 则一元二次方程x2-2x-3=0的根是.小结：（出示漫画，归纳兄弟俩的联系）我的图像与x轴交点的横坐标就是你的.我的根就是你的图像与x轴交点的.设计意图：从“函数值何时为0”着手，沟通二次函数与相应的一元二次方程的关系；通过函数图像揭示相应的一元二次方程的解的几何意义；方程x2-3x+2=0的解与x轴的交点的横坐标是不是同一问题？启发学生思考，易于学生理解本质。

苏科版九年级下册数学教案设计：5.4 二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程教学目标1、经历根据a、b、c及b2－4ac的符号画二次函数的示意图的过程，感受数形结合的思想；2、根据二次函数的示意图确定a、b、c及b2－4ac的符号，培养识图能力．教学过程一、引入我们知道二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0）的图像是一条抛物线.问题1：如何来画一个抛物线的草图？生：应画出抛物线开口方向、开口大小、对称轴、最值等问题2：以上都是抛物线的图像特征，观察以下几组抛物线，它们在图像特征上有什么差异，这些差异是由什么决定的，又如何决定的呢？带着这样的疑问，我们进入本节课的学习，揭示课题《y=ax²+bx+c的系数a,b,c与图像的关系》.[设计意图]性质的研究依附于对图像特征的观察，通过对函数图像观察可以得出函数的一系列性质，正因如此，对函数图像关键特征的把握就应该是处理好本课教学任务的关键，故在设计本课时教学设计时，从如何画图、观察几组差异图形入手，引导学生去关注图像的几个关键特征：开方方向，开口大小、对称轴位置、与y轴交点位置、与x轴交点个数等.给出的四组图形，第一组是开口方向的差异，第二组是对称轴位置的差异、第三组是与y轴交点位置的差异、第四组是与x轴交点个数的差异. 这样引入设计也是从学生已有知识基础、生活经验、认知规律和心理特征出发，找准教学的起点，突破教学的难点，捕捉教学的生长点，使教学切合实际.二、探索活动1、探究a对抛物线开口方向的影响.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像是一条抛物线，这条抛物线的形状（开口方向、开口大小）是由a 决定的：（1）a＞0⇔抛物线开口向上，（2）a＜0⇔抛物线开口向下；（3）｜a｜相同⇔抛物线形状相同．2、探究a、b对抛物线对称轴的影响.抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴的位置是由a与b符号决定的：a与b同号⇔对称轴在y轴左侧；a与b异号⇔对称轴在y轴右侧；b＝0⇔对称轴就是y轴．3、探究c对抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点位置的影响.抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点位置是由C决定的：c＞0⇔抛物线与y轴交于y轴的正半轴；c＝0⇔抛物线与y轴交于坐标原点；c＜0⇔抛物线与y轴交于y轴的负半轴．4、探究b2－4ac的符号对抛物线与x轴交点个数的影响.抛物线与x轴有两个交点⇔b2－4ac＞0抛物线与x轴有一个交点⇔b2－4ac=0抛物线与x轴有没有交点⇔b2－4ac小于0课件设计：[设计意图]活动是课堂教学的一种组织形式，学生学习应当是一个主动的和富有个性的过程。

新苏科版九年级数学下册《5章二次函数5.4二次函数与一元二次方程》教案_26

课题5.4 二次函数与一元二次方程（1）学习目标:1.体会二次函数图象与x 轴位置关系与相应的一元二次方程根之间的关系；2.理解一元二次方程的根就是二次函数图象与x 轴交点的横坐标；3.会用根的判别式判别二次函数图象与x 轴交点个数.学习重点、难点:二次函数图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系．学习过程:一、自主预学明确目标课本第24—25页，解决下列问题：1.二次函数的图象和x 轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根有什么关系？2.二次函数图像与x 轴的交点个数与一元二次方程的根的情况有什么关系？二、亲历过程探究新知探究1：二次函数y=x 2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2的图象如图所示：（1）分别写出这三个二次函数的图像与x 轴交点的坐标；（2）分别求出对应的一元二次方程x 2+2x=0,x 2-2x+1=0，x 2-2x+2=0的根；（3）二次函数的图象和x 轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根有什么关系? 巩固新知：1.已知：二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的根是2. 不画图象，求出下列二次函数图象与x 轴的交点坐标：（1）y ＝x 2－1；（2）y ＝x 2－4x ＋4.探究2：二次函数y=x 2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2的图象如图所示：（见前面的图）(1)每个图象与x 轴各有几个公共点？(2)判断函数值为0时对应的一元二次方程根的情况；(3)二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴交点的个数与一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况有什么关系?三、合作交流展示提升问题1.不画图像，你能判断函数的图像与x 轴是否有公共点？请说明理由．xy-1 3 020ax bx c 2ax bx c k （1）y ＝x 2－1；（2）y ＝x 2－4x ＋4.问题2. 已知二次函数y ＝2x 2－4x ＋m 与x 轴只有一个公共点，求m 的取值范围．变式1：已知二次函数y ＝mx 2－4x ＋2与x 轴有两个公共点，求m 的取值范围．变式2：已知函数y ＝mx 2－4x ＋2与x 轴只有一个公共点，求m 的取．四、拓展延伸总结反思问题3. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）写出不等式的解集；（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量的取值范围；（4）若方程有两个不相等的实数根，求 K 的取值范围．五、清理过关当堂检测5.4 二次函数与一元二次方程（1）姓名1．方程x x 2＋4－5＝0的根是；则函数y=x 2+4x-5 的图像与x 轴的公共点有个，其坐标是．2.方程x x 2＋10－25＝0的根是；则函数y=-x 2+10x-25 的图像与x 轴的公共点有个，其坐标是．3．已知二次函数y=kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个公共点，则k 的取值范围为．4．下列函数的图像中，与x 轴没有公共点的是（） A ．y x x 2＝－ B ．y x 2＝－2 C ．y x x 2＝＋6－9D ．y x x 2＝－＋25．函数m x mx y 22（m 是常数）的图象与x 轴的公共点有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个。

苏科版九年级数学下册《二次函数与一元二次方程》评课稿

苏科版九年级数学下册《二次函数与一元二次方程》评课稿一、教材分析《二次函数与一元二次方程》是苏科版九年级数学下册的教材单元之一，主要内容包括二次函数及其性质、一元二次方程的解法和应用。

该单元通过理论讲解、例题演示和练习等方式，全面介绍了二次函数和一元二次方程的重要概念和应用方法，并将其与实际问题相结合进行讨论和实践，将抽象的数学知识与实际生活相联系，提高学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。

该教材单元的编排合理，内容清晰、严谨，符合九年级数学教学大纲的要求。

教材内容由浅入深，结构层次分明，能够循序渐进地引导学生进行学习，确保学生对二次函数和一元二次方程的掌握程度和提高能力。

二、教学目标根据教材内容和九年级数学教学大纲，本单元的教学目标主要包括以下几个方面：1.掌握二次函数的概念、性质和图像特征；2.理解一元二次方程的基本概念和解法；3.掌握一元二次方程的解的个数与判别式的关系；4.进行实际问题的数学建模，将二次函数和一元二次方程与实际问题相结合；5.培养学生的数学思维能力，提高解决问题的能力。

三、教学重点和难点本单元的教学重点主要包括：1.二次函数的定义和性质；2.一元二次方程的解的个数与判别式的关系；3.实际问题与二次函数、一元二次方程的应用。

而教学难点主要集中在：1.理解和掌握二次函数的图像特征；2.掌握一元二次方程解的个数与判别式的关系；3.运用二次函数和一元二次方程解决实际问题。

四、教学内容和教学方法本单元的教学内容主要分为三个部分：二次函数的性质、一元二次方程的解与判别式以及实际问题的应用。

在教学过程中，可以采用以下教学方法：1.讲授法：通过讲解二次函数的性质、一元二次方程的解法和实际问题的应用等内容，向学生传授相关知识点，并进行例题演示和解析。

2.案例法：选取一些典型的实际问题，引导学生应用二次函数和一元二次方程解决问题，培养学生的数学建模能力。

3.讨论法：引导学生进行小组讨论和思考，激发学生的主动参与和独立思考能力，提高解决问题的能力。

苏科版九年级数学下册《二次函数与一元二次方程(2)》教案-新版

2.412
2.413
2.414
2.415
y
-0.009079
-0.006256
-0.003431
-0.000604
0.002225
所以x≈2.414．
以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．
通过引导学生正确观察图形，计算不同的值代入后越来越接近0的方法来感受根的寻找是采用逐步逼近的思想，方程根的取值范围的进一步缩小，让学生体会方程根的取值的进一步精确性．
x
－0.41
－0.42
y
－0.0119
0.0164
当我们算到－0.42时，也没有必要继续算下去了，因为它的值已经由负变正了，所以可以确定这个根一定在－0.41与－0.42之间，即－0.41＜x＜－0.42，又从－0.0119与0.0164的值来看，－0.0119更接近于0，所以我们判断x≈－0.41．
分别画出函数y＝x2＋2x－10的图像和直线y＝3，找它们交点的横坐标即可．
由图可知两根分别为x＝－4.7和x＝2.7．
选用不同的方法，让学生感受不同的处理方法所带来的特点．
练习巩固
（1）利用二次函数的图像，借助计算器探索方程根的近似值（精确到0.01）；
（2）补充习题．
学生板演并讲解，教师点拨．
如右边表格所示，当我们算到－0.5时，还需要算吗？为什么？因为从图像的走势来看，继续往左取自变量的值，所得的函数值将越来越大，所以我们可以判定这个根一定在－0.4与－0.5之间，那会是多少呢？
我们在取值时能不能较快地找到接近它的近似值呢？
我们可以取它们中间的值，再看它们的正负情况，它们的根一定在函数值的正负交替之间，这样我们就能较快缩小它的范围了．
我们可以用同样的方法去求方程的另一个根．

苏科初中数学九年级下册《5.4 二次函数与一元二次方程》教案 (2)【精品】

二次函数和一元二次方程课型：新授一、学习目标：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；2.理解二次函数的图像与x轴公共点的个数与一元二次方程的根的个数之间的对应关系。

3. 结合二次函数y=a2+b+c(a≠0)的图象感受二次函数与不等式的关系。

二、学习重点与难点：学习重点是：体会方程、不等式与函数之间的联系；理解二次函数的图像与x轴公共点的个数与一元二次方程的根的个数之间的对应关系。

学习难点是：1、理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标。

2、二次函数与不等式的关系三、（一）思考与探索：二次函数y=2-2-3与一元二次方程2-2-3=0有怎样的关系？1、从关系式看二次函数y=2-2-3成为一元二次方程2-2-3=0的条件是什么？2、反应在图象上：观察二次函数y=2-2-3的图象，你能确定一元二次方程2-2-3=0的根吗？3、结论：一般地，如果二次函数y=a2+b+c的图象与轴有两个公共点（1,0）、(2,0),那么一元二次方程a2+b+c=0有两个不相等的实数根=1、=2。

反过也成立。

4、观察与思考：观察下列图象：（1）观察函数y= 2-6+9与y=2-2+3的图象与轴的公共点的个数；（2）判断一元二次方程2-6+9=0和2-2+3=0的根的情况；（3）你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗？（二）归纳提高：一般地，二次函数y=a 2+b+c 图象与一元二次方程a 2+b+c=0的根有如下关系：1、如果二次函数y=a 2+b+c 图象与轴有两个交点（m,0）、(n,0),那么一元二次方程a 2+b+c=0有实数根1= ,2= .2、如果二次函数y=a 2+b+c 图象与轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程a 2+b+c=0有实数根1=2= .3、如果二次函数y=a 2+b+c 图象与轴没有交点,那么一元二次方程a 2+b+c=0 实数根.反过，由一元二次方程a 2+b+c=0的根的情况可以判断二次函数y=a 2+b+c 图象与轴的交点个数。