5、八年级数学 下册图形的旋转讲义
初中数学下册图形旋转教案
初中数学下册图形旋转教案教学目标：1. 理解旋转的定义和性质，掌握图形旋转的基本方法。
2. 能够运用旋转的性质解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学内容：1. 旋转的定义和性质2. 图形旋转的基本方法3. 旋转在实际问题中的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体展示一些生活中的旋转现象，如旋转门、风车等，引导学生观察和思考。
2. 提问：这些现象有什么共同特点？它们是如何实现的？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转。
2. 讲解旋转的性质：旋转不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。
3. 讲解图形旋转的基本方法：以某一点为旋转中心，将图形绕该点旋转指定角度。
4. 示例讲解：如何将一个图形绕某一点旋转？如何确定旋转后的位置？三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成教材中的相关练习题，巩固旋转的基本概念和操作方法。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评，指出优点和不足之处。
四、应用拓展（15分钟）1. 出示一些实际问题，让学生运用旋转的知识解决，如：如何设计一个旋转楼梯？如何布局旋转型的园林？2. 学生分组讨论，提出解决方案，并进行展示。
3. 教师对学生的解决方案进行评价和指导。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结旋转的定义、性质和应用。
2. 强调旋转在实际生活中的重要性，激发学生学习兴趣。
教学评价：1. 课后作业：检查学生对旋转知识的掌握程度。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
3. 应用拓展：评估学生在解决实际问题时的创新能力和发展空间。
教学反思：本节课通过生活中的旋转现象导入，激发学生的学习兴趣。
在讲解过程中，注重让学生动手操作，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
课堂练习和应用拓展环节，及时巩固所学知识，提高学生的解决问题的能力。
北师大版八年级数学下册图形的旋转课件(第2课时29张)
A
中点O旋转180°.
C F
·O
D
E
课堂检测
3.2 图形的旋转/
能力提升题
如图,将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′,使点B恰好落
在边A′B′上.已知AB=4 cm,BB′=1 cm,求A′B的长.
解:∵将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′,使点B恰好落 在边A′B′上, ∴A′B′=AB, ∵AB=4 cm,BB′=1 cm, ∴A′B′=AB=4 cm, ∴A′B=A′B′-BB′=4-1=3(cm).
时针旋转90°后所得的线段 （O点在线段外）．
B O C B'
3.图形的旋转
A
试着画△ABC绕O点顺时针旋转
O
60°后所得的三角形．
探究新知
3.2 图形的旋转/
思考： 下图由四部分组成,每部分都包括两个小“十”字,红色部分能经
过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称
吗?还有其他方式吗? 平移: 平移的方向 平移的距离
的关键是什么？
E
B
C
作图关键－确定点E的对应点E′
探究新知
3.2 图形的旋转/
解：∵点A是旋转中心，∴它的对应
点是 点A .正方形ABCD中，AD=AB， A
D
∠DAB= 90 °，所以旋转后重合.
设点E的对应点为E′.
E
∵△ADE ≌△ABE′
∴∠ABE′＝∠ADE＝ 90 °， E ′
B
C
BE′＝ DE ，
因此在CB的延长线 上截取点E′,使BE ′=DE . 则△ABE′为旋转后的图形.
探究新知
想一想： 还有其他方法确定点E的对应 点E′吗？
北师大版初二数学下册《图形的旋转》课件
O
A D
90°
CE
B
60°
F
A
B
O
请你用一句话描述线段OA与△ABC的运动：
线段OA绕 O 点，按 逆时针 方向，转动了 90 度。
△ABC绕 O 点，按 顺时针 方向，转动了 60 度。
旋转的概念：
在平面内，将一个图形绕 一个定点 按 某个方向 转动 一个角度 ，这样的图形运动称为旋转．
这个定点称为旋转中心， 旋转不改变图形
转动的角称为旋转角．
的形状和大小．
旋转三要素： 旋转中心，旋转方向，旋转角度．
如图 3-10，△ABC 绕点 O 按 A 顺时针方向旋转一个角度，得到 △DEF，点A，B，C分别旋转到了点 D，E，F．点A与点D是一组对应点， B 线段 AB 与线段 DE 是一组对应线 段，∠BAC与∠EDF是一组对应 角．在这一旋转过程中，点 O 是 旋转中心，∠AOD，∠BOE，∠COF 都是旋转角．
旋转的性质：
一个图形和它经过旋转所得的图形中，
对应线段相等，对应角相等；
（一个图形和它经过旋转所得的图形全等.）
对应点到旋转中心的距离相等；
任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角 都等于旋转角。
想一想：
在图3－13（1）～（4）的四个三角形中，哪个不能由 △ABC经过平移或旋转得到？
解：（2）不能由△ ABC 经过平移或旋转得到.
练一练：
如图，你能绕点O旋转，使得线段AB与线段CD重合吗？为什么？ 你能找到合适的旋转中心P，使得线段AB与线段CD重合？试一试.
B A
C
P O
D
B A
C
P
D
能力提升：
如图，线段AB绕点O旋转后会与线段CD重合，请你作出 旋转中心点O．说一说你的方法．
初中八年级数学北师大版下《图形的旋转》课件ppt
尝试应用
构建体系
一种运动：旋转是一种图形运动 两种思想：类比思想、转化思想 三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 三个性质：①对应线段相等，对应角相等
②对应点到旋转中心的距离相等 ③任意一对对应点与旋转中线连线所
成的角都等于旋转角，旋转角相等
旋转的三要素：旋转中心 、旋转方向 、旋转角
自主学习、把握概念
3.尝试应用 • 下列现象中，哪些是旋转（ ） A.车轮在水平地面上滚动 B.汽车方向盘的转动 C.电梯的上下移动 D.火车车厢的直线运动 E.钟摆的摆动 F.气球升空的运动 G.一个图形沿某条直线对折的过相等的角有： 点M如何旋转的，旋转了多少度？点N呢？
观察思考、交流探究
2.归纳总结
旋转的性质： 1.旋转不改变图形的形状和大小。即旋转前后图
形全等。对应线段相等，对应角相等。
2.对应点到旋转中心的距离相等。
3.任意一组对应点与旋转中心连线所成的角都等 于旋转角，旋转角相等。
•初中八年级数学北师大版下册
图形的旋转
知识回顾
自主学习、把握概念
1.类比猜想
自主学习、把握概念
1.类比猜想
平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距 离 。这样的图形运动叫做平移。
平移三要素：一个图形、平移方向 、平移距离
自主学习、把握概念
2.总结归纳
旋转定义：在平面内，将一个图形绕定点按一定方向转动 一定角度 。这样的图形运动叫做旋转。
4.归纳总结
旋转的三要素：旋转中心 、旋转方向 、旋转角
在图形上 在图形外
顺时针 逆时针
对应点与旋转中心
连线所成的角
八年级下册数学旋转的知识点
八年级下册数学旋转的知识点数学是一门需要掌握基础知识的学科，而旋转是其中重要的一部分。
在八年级下册数学中，旋转的知识点也是必须掌握的。
本文将详细介绍八年级下册数学旋转的知识点，包括旋转的概念、旋转的基本性质和旋转的应用。
一、旋转的概念
旋转是指将一个图形按照一定规律绕着一个点或一条直线进行转动，并保持其形状不变的变换。
在旋转中，我们需要确定旋转中心和旋转角度。
旋转中心是指图形旋转的中心点，旋转角度则是指图形在旋转中所转过的角度。
二、旋转的基本性质
1. 旋转不改变图形的大小和形状。
2. 旋转保持图形的对称性。
如果一个图形是对称的，那么旋转它仍然是对称的。
3. 旋转可以与其他变换组合使用。
例如，旋转和平移、旋转和镜像都可以组合使用。
三、旋转的应用
1. 旋转的几何意义
旋转的几何意义是将图形绕着某个点或者某条直线旋转后，其形状不变。
这个概念可以应用到很多几何题目中，例如，求某一个图形的对称轴。
2. 旋转的图像变换
旋转还可以用来进行图像变换。
例如，我们可以将一张图片进行旋转，从而获得不同的视角。
3. 旋转的应用于其他学科
旋转不仅仅在数学中有应用，还可以在其他学科中使用。
例如，在物理学中，旋转的概念可以应用到机械力学、天体力学等领域中。
四、总结
旋转是数学中一个重要的概念，也是八年级下册数学中必须掌
握的知识点。
除了了解旋转的基本概念和性质外，我们还需要学
会如何应用旋转来解决问题。
希望通过本文的介绍，能够帮助大
家更好地理解旋转的知识点，提高数学能力。
八年级下册数学旋转知识点
八年级下册数学旋转知识点数学中的旋转是指以某个点为中心，将一个图形按照一定的角度进行转动，即将图形沿着某个轴旋转360度，形成一个新的图形。
在八年级下册数学中，旋转是一个重要的知识点，本文将对其进行详细的介绍。
一、旋转的概念旋转是指将一个图形按照一定的角度和方向旋转，得到一个新的位置和形状。
旋转主要有以下几个要素：1.旋转中心：旋转的中心点，也是旋转轴的端点。
2.旋转角度：图形旋转的角度，单位为度。
3.旋转方向：沿着顺时针或逆时针方向旋转。
二、旋转的方法1.手绘法：利用纸和笔手工绘制旋转后的图形。
2.度数表法：利用度数表计算旋转角度。
3.旋转公式法：使用公式计算旋转后的坐标。
三、旋转的类型1.顺时针旋转：逆时针旋转的方向与之相反，即右转。
2.逆时针旋转：旋转方向是自左向右的，即左转。
3.平移旋转：将图形沿着直线进行移动和旋转。
四、旋转的性质1.旋转不改变图形的大小和形状。
2.旋转前后两个图形对应的点在同一直线上。
3.旋转前后，旋转中心不变。
五、旋转的应用旋转是数学中的重要概念，在生活中也有很多应用，比如：1.地球公转：地球以太阳为中心，绕着太阳进行旋转。
2.球体旋转：篮球、乒乓球等球体在运动过程中都有旋转。
3.建筑设计：在建筑设计中，旋转常用于构建旋转体。
六、小结旋转是一种重要的数学概念，掌握旋转的方法和性质对于解决一些实际问题能够起到重要作用。
在学习中，我们应该注重实践和理论相结合，提高动手能力，充分运用所学知识，渐渐掌握旋转的本质，这对日后的学习和工作都将产生积极的影响。
图形的旋转课件北师大版数学八年级下册
B 终边
始边 A
三、概念剖析
归ห้องสมุดไป่ตู้总结
在平面内,一个图形绕一个定点沿某个方
向转过一个角度,这样的图形运动叫做旋转.
这个定点叫做旋转中心,
转过的这个角叫做旋转角.
O
B
旋转角 A
旋转中心
三、概念剖析
线段AB绕点O按顺时针方向旋转到CD的位置
对应点 A
B
D
对应点
0.
C
对应线段
点A与点C叫做对应点， 点B与点D也是对应点， 线段AB与CD叫做对应线段.
讨论：要画出旋转后的“小旗子”需要确定哪些条件？
先要确定旋转中心,其次确定旋转方向,最后确定旋转角度.
三、概念剖析
想一想：图中的A与对应点A′、OA与对应线段OA′是如何确定的？你知
道确定它们的依据是什么吗？
A
(1) 将关键点A与旋转中心O连接；
(2) 以OA为始边在旋转方向作一个角等于旋转角；
(3) 在角的终边上截取点A′，使OA ′=OA； O
三、概念剖析
（二）旋转的性质
三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转后得到三角形COD
A
B
D
对应线段分别为OB与OD，OA与OC， AB与CD，它们之间的关系是：
OB=OD；OA=OC；AB=CD
旋转角为∠BOD与∠AOC,它们之间
O
C 的关系是：
∠BOD=∠AOC
三、概念剖析
归纳总结
在平面内,一个图形旋转后得到的图形与原来的图形之间有如下结果: 对应点到旋转中心的距离相等; 每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的角,它们都等于旋转角.
三、概念剖析
知识点：旋转作图
北师大版八年级数学下册《图形的平移》图形的平移与旋转PPT精品课件(第1课时)
实践探究，交流新知
（ 1 ） 变换前后对应点的连线平行且相等：平移变换 是图形的每一个点的变换，一个图形沿某个方向移 动一定的距离，那么每一个点也沿着这个方向移动 相同的距离，所以对应点的连线平行且相等． （ 2 ） 变换前后的图形全等：平移变换是由一个图形 沿着某个方向移动一定的距离，所以平移前后的图 形是全等的． （3）变换前后对应角相等． （4）变换前后对应线段平行且相等．
学习重点
探索图形平移的主要特征和基本性质，会画简单图形的平移图.
学习Hale Waihona Puke 点探索和理解平移的基本性质.
创设情境，导入新课
请同学们观察如图所示的两幅图片．
问题1：你能发现传送带上的箱子和手扶电梯上的人在移动前后什么没有改变， 什么发生了改变吗？ 问题2：在传送带上，如果箱子的把手向前移动了80 cm，那么箱子的其他部位 向什么方向移动？移动的距离是多少？ 问题3：如果把移动前后的同一个箱子看成长方体，那么移动前后的长方体各 个面的形状、大小是否相同？
北师大版 八年级下册
第三章 图形的平移与旋转
图形的平移（第1课时）
前言
学习目标
1. 通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，理解和运用平移的基本性质． 2．认识平面图形的平移，探索平移的基本性质，会进行简单的平移画图. 3．通过收集自己身边“平移”的实例，感受“生活处处有数学”，激发学生学习数学的兴趣； 通过欣赏生活中的平移图案，使学生感受数学美.
实践探究，交流新知
探究2 平移的性质 如图，将△ABC沿射线XY的方向平移一定距离后得到△DEF.
问题1：(1)平移前后的两个图形有什么关系？ (2)在上图中，线段AD，BE，CF有怎样的位置关系和数量关系？ (3)图中每对对应线段之间有怎样的位置关系和数量关系？ (4)图中的对应角有什么关系？
图形的旋转课件北师大版初中数学八年级下册
C．大风车运动的过程
D．传输带运输的玻璃瓶
课堂练习
课堂练习
2.如图，Rt △ ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，将Rt △ ABC绕点A按顺
时针方向旋转到 △ AB1C1 的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上， 那么旋转角等于（ ） C
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
课堂练习
旋转的性质： 一个图形和它经过旋转所得图形中，
（1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； （3）对应线段相等，对应角相等。 （旋转不改变图形的形状和大小，旋转前后的图形全等）
旋转的性质
新课探究
课堂练习
课堂练习
1.下列运动属于旋转的是（ C）
A．载人航天器升空的过程 B．橄榄球在草地上滚动
点P和P′叫做这个旋转的 对应.点
P
旋转中心是 O点 ,
o
旋转角度是 90° .
旋转角 P’
旋转的定义
新课探究 旋转中心
确定图形的旋转时, 必须明确
旋转角
注意：
旋转方向
①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋
转的三要素；
②旋转变换属于全等变换.
新课探究
旋转的性质
如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中：
①旋转中心 点O , C
②旋转方向 顺时针 ,
③经过旋转,找出点A、B的对应点 D、、 E ，
A
④图中哪个角是旋转角 ∠COF或∠BOE或∠AOD ，
⑤四边形AOBC与四边形DOEF的形状 相同、大小 相等，
⑥ AO与DO的长度 相等 ，BO与EO的长度 相等 ，
(名师整理)最新北师大版数学八年级下册第3章第2节《图形的旋转》精品课件
怎样来定 义这种图形变换 ？
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着 平面内中心固定点转动一定角度. 风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
知识要点
旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个
定点按某个方向转动一个角度，这 样的图形运动称为旋转.
？
150° △ABB’是等 腰三角形
定义
三要素：旋转中心，旋转 方向和旋转角度
旋转 性质
① 旋转前后的图形全等； ② 对应点到旋转中心的距离
相等; ③ 对应点与旋转中心所连线
段的夹Байду номын сангаас等于旋转角.
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
课堂小结
作旋转 后图形
确定旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角
第1课时 旋转的定义和性质
课时目标
1.掌握旋转的有关概念及基本性质.（重点） 2.能够根据旋转的基本性质解决实际问题.
这些运动有什么共同的特点？
旋转的概念
观察与思考
问题 观察下列动画，它是怎么运动的？
O
0
45
B
A
思考:怎样来定
义这种图形变换 ？
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心 固定点转动一定角度.
∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
A1AB1
C， BC，
A1BD CBF，
∴△BCF≌△BA1D（ASA）.
3.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定
角度得Rt △ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.
若AC= 3 , ∠B=60 °，则CD的长为（ D ）
八年级下册数学精品课件11.2 图形的旋转(1)
E
作法一：
1. 连接CD;
A
D 2. 以CB为一边，作∠BCE,使得∠BCE=∠ACD ；
3. 在射线CB上截取CE,使得CE=CB;
B
C
4. 连接DE，则△DEC即为所求作.
2019/5/14
12
1.判断正误:
(1)“转呼啦圈”这一现象属于旋转. ( )
(2)在图形的旋转中,图形上可能存在不动的点. ( )
B`
A
●
O
B
A`
2019/5/14
10
简单的旋转作图
将线段AB绕O点沿顺时针方向旋转60˚.
C
A
O
D
B
11
作法： 1. 将点A绕点O顺时针旋转60˚，得
点C; 2. 将点B绕点O顺时针旋转60 ˚，得
点D ； 3. 连接CD, 则线段CD即为所求作.
2019/5/14
简单的旋转作图
如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D. 试 确定顶点B对应点的位置以及旋转后的三角形.
2.经过旋转,图形上的每一点都绕
沿相同方向旋转了相
同的角度,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等
于
,对应点到
的距离相等.
1.(1)✕ (2)√ 2.旋转中心 旋转角 旋转中心
13
2019/5/14
如图,将左边的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转95°后得到
右边的△COD,如果∠AOB=75°,OB=3 cm,则
相等
2019/5/14
8
简单的旋转作图
将A点绕O点沿顺时针方向旋转60˚.
点的旋 转作法
B
A
O
作法： 1. 以点O为圆心，OA长为半径画圆; 2. 连接OA, 用量角器或三角板（限
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图形的旋转
一、复习、导入：
二、知识点讲解：
考点一、旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
考点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
考点二、旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
''').
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C
考点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
典型例题一、旋转的概念与性质
1.如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是谁?
（2）旋转方向如何?
（3）经过旋转,点A、B的对应点分别是谁？
（4）图中哪个角是旋转角？
（5）四边形AOBC与四边形DOEF的形状、大小有何关系？
（6） AO与DO的长度有什么关系？ BO与EO呢？
（7）∠AOD与∠BOE的大小有什么关系？
同步训练
【变式】如图所示：O为正三角形ABC的中心．你能用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图．
2.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）
A．B．C．D．﹣1
考点三、旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关
键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
考点诠释：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
典型例题二、旋转的作图
3. 如图，已知△ABC与△DEF关于某一点对称，作出对称中心.
4.如图，在方格网中已知格点△ABC和点O．
（1）画△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称；
（2）请在方格网中标出所有使以点A、O、C′、D为顶点的四边形是平行四边形的D点．
同步训练
【变式】如图，画出ABC
∆绕点O逆时针旋转100︒所得到的图形．
课堂练习
一. 选择题
1.如图四个圆形网案中，分别以它们所在网的圆心为旋转中心，顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合的是（）
A． B．C． D．
2.下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是( )
3. 有下列四个说法，其中正确说法的个数是( )．
①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；
③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如图，4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( )．
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．如图，△ADE绕点D的顺时针旋转，旋转的角是∠ADE，得到△CDB，那么下列说法错误的是( )．
A．DE平分∠ADB B．AD＝DC C．AE∥BD D．AE＝BC
6. 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针
方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为( )
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
小结、
布置作业
二.填空题
7.如图，△ABC与△ADE都是直角三角形，∠C与∠AED都是直角，点E在AB上，∠D=30°，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点______，至少旋转了_____.
8. 针表的分针匀速旋转一周需要60分钟，则经过15分钟，分针旋转了__________. 9．正三角形绕其中心至少旋转__________ ，可与其自身重合.
10. 一个平行四边形ABCD绕其对角线的交点旋转，至少要旋转________，才可与其自身重合.
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为cm．
12. 如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，•PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，•得到△P′AB，•则点P•与点P′之间的距离为_____，∠APB=_______．
三．综合题
13.如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
14. 如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，F是DC的延长线上一点，且∠BAE=∠FAE.
求证：BE+DF=AF.。