《控制工程基础》课件

G (s) 1 Ts 1
1 1 j T 1 1 2T
2
G ( j )
e jarctgT

A ( )
1 1 2T
2
相频特性： () = - arctgT
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第四章 频域分析法 惯性环节的Nyquist图 实频特性： P ( )
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第四章 频域分析法
可以利用渐近直线绘制近似的对数幅频 特性曲线 ； 将实验获得的频率特性数据绘制成对数 频率特性曲线，可以方便地确定系统的 传递函数； 尼柯尔斯(Nichols)图（对数幅相特性图） L() — ()图
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第四章 频域分析法 二、典型环节的频率特性图
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第四章 频域分析法 通常用L()简记对数幅频特性，也称L() 为增益；用()简记对数相频特性。 对数坐标的优点
幅值相乘变为相加，简化作图；
对数坐标拓宽了图形所能表示的频率范 围 两个系统或环节的频率特性互为倒数时， 其对数幅频特性曲线关于零分贝线对称， 相频特性曲线关于零度线对称
G ( j ) G ( s )
s j

K jT 1
10
第四章 频域分析法
A ( ) G ( j ) K 1T
2 2
( ) G ( j ) arctg T
对于正弦输入xi(t)=Xsint，根据频率特性的 定义：
xo (t ) XK 1 T 2 2 sin( t arctg T )
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第四章 频域分析法
Bode Diagram
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L()/ (dB)
t
k
j
e
pjt
(k
j
0 , 1, 2 , , r j 1)
的这样一些项。对稳定的系统而言，这些项随 t 趋于无穷大都趋近于零。
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第四章 频域分析法 因此，系统的稳态响应为：
x o ( t ) Ae
j t
Ae
X
j t
其中： A G ( s ) s 2 2 ( s
○、概述
时域分析的缺陷 高阶系统的分析难以进行； 难以研究系统参数和结构变化对系统性 能的影响； 当系统某些元件的传递函数难以列写时， 整个系统的分析工作将无法进行。
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第四章 频域分析法 频域分析的目的
频域分析：以输入信号的频率为变量，在频 率域，研究系统的结构参数与性能的关系。 优点：
比例环节
传递函数： 频率特性： 幅频特性： 相频特性： G(s) = K G(j) = K = Kej0 A() = K () = 0
实频特性： P() = K 虚频特性： Q() = 0 对数幅频特性： L() = 20lgK
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对数相频特性： () = 0
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第四章 频域分析法 频率特性图 奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频 率特性图）
G ( j ) Re[ G ( j )] j Im[ G ( j )] P ( ) jQ ( ) G ( j ) e
j G ( j )
A ( ) e
j ( )
A G (s)
j )
s j

XG ( j ) 2j
X
s
2 2
( s j )
s j

XG ( j ) 2j
由于：
G ( j ) G ( j ) e
j ( )
Im[ G ( j )] ( ) G ( j ) arctg Re[ G ( j )]
其中，P()、Q()分别称为系统的实频特 性和虚频特性。显然：
A ( )
P ( ) 2
Q ( )
2
( ) arctg
Q ( ) P ( )
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第四章 频域分析法 在复平面上，随（0 ~ ）的变化，向量 G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统 的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系 统的奈奎斯特图或极坐标图。 易 知 ， 向 量 G(j) 的 长 度 等 于 A(j) （|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向 绕原点转至向量G(j)方向的角度等于() （G(j)）。
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第四章 频域分析法 应用频率特性分析系统性能的基本思路： 实际施加于控制系统的周期或非周期信号 都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶 级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数， 因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类 典型信号的响应可以推算出它在任意周期 信号或非周期信号作用下的运动情况。
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第四章 频域分析法 频率响应：系统对正弦输入信号的稳态响应。 频率特性：系统在不同频率的正弦信号输入 时，其稳态输出随频率而变化( 由0变到)的特性。 幅频特性：当由0到变化时，|G(j)|的变 化特性，记为A()。 相频特性：当由0到变化时，G(j)的变 化特性称为相频特性，记为()。
无需求解微分方程，图解(频率特性图)法 间接揭示系统性能并指明改进性能的方向； 易于实验分析； 可推广应用于某些非线性系统（如含有延 迟环节的系统）； 可方便设计出能有效抑制噪声的系统。
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第四章 频域分析法 一、频率特性的基本概念
频率响应与频率特性
频率响应与频率特性的概念 考虑线性定常系统：
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第四章 频域分析法
对于稳定的系统，其特征根-pi具有负实部，此 时其对正弦输入的稳态响应不因初始条件而改 变，因此，可认为系统处于零初始状态。
假设系统只具有不同的极点，则：
X o (s) A s j A s j A1 s p1 A2 s p2 An s pn
1 1 2T
2
虚频特性： Q ( )
注意到：
1 P ( ) 2
2
T 1 2T
2
2
Im 0 = 1/2 45 ) G(j 1 Re =0
Q ( )
2
1 2
即惯性环节的奈氏图 为圆心在(1/2, 0)处， 半径为1/2的一个圆。
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由上式可见，当T<<1时， A() 1 () 0 当T>>1时， A() 1/T () -90
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第四章 频域分析法
几点说明 频率特性是传递函数的特例，是定义在复 平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与 系统的微分方程、传递函数一样反映了系 统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的 频率特性与传递函数一样包含了系统或元 部件的全部动态结构参数，因此，系统动 态过程的规律性也全寓于其中。
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=1/T
Nyquist Diagram
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第四章 频域分析法
惯性环节的Bode图 对数幅频特性：
L ( ) 20 log 1 2T
2
对数相频特性： () = - arctgT 低频段( << 1/T )
L ( ) 20 lg 1 T 2 2 0
其中
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A, A
为一对待定共轭复常数
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Ai(i = 1, 2, …, n)为待定常数。
第四章 频域分析法
从而：
x o ( t ) Ae
j t
Ae
j t
A1 e p1t A 2 e p 2 t A n e p n t (t 0 )
如果系统包含有rj个重极点pj，则xo(t)将包含有 类似：
第四章 频域分析法 比例环节的频率特性图：
60
Bode Diagram
L()/ (dB)
40 20 0 -20 180°
Im
20lgK
0
K
()
Re
90° 0° -90°
Nyquist Diagram
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-180° -1 10
100
(rad/sec)
101
102
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第四章 频域分析法 惯性环节 传递函数： 频率特性： 幅频特性：
即低频段可近似为0dB的水平线，称为低 频渐近线。
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第四章 频域分析法
高频段( >> 1/T )
L ( ) 20 lg 1 T 2 2 20 lg T
20 lg T 20 lg
即高频段可近似为斜率为-20dB/dec 的直 线，称为高频渐近线。
G( s ) M(s) N( s ) M(s) ( s p 1 )( s p 2 ) ( s p n )
当正弦输入 xi(t)=Xsint 时，相应的输出为：
X o (s) G (s) X i (s) M (s) N (s) X i (s) M (s)
X
2
N (s) s 2
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第四章 频域分析法 在对数频率特性图中，角频率 变化的倍 数往往比其变化的数值更有意义。为此通 常采用频率比的概念：频率变化十倍的区 间称为一个十倍频程，记为decade或简写 为 dec；频率变化两倍的区间称为一个二 倍频程，记为octave或简写为oct。它们也 用作频率变化的单位。 可以注意到，频率变化10倍，在对数坐标 上是等距的，等于一个单位。

G ( j ) G ( j ) e
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j ( )
G ( j ) e
j ( )
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第四章 频域分析法
因此：
x o (t ) X G ( j ) e
j [ t ( )]
e 2j
j [ t ( )]
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第四章 频域分析法 波德(Bode)图（对数频率特性图） 对数幅频特性图 横坐标：以10为底的对数分度表示的角频率 单位 — rad/s或Hz 纵坐标：线性分度，表示幅值A()对数的20 倍，即： L()=20logA() 单位 — 分贝（dB）
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第四章 频域分析法
○、概述 一、频率特性的基本概念 二、典型环节的频率特性图 三、系统开环频率特性图 四、频域稳定性判据 五、闭环控制系统的频率特性 六、频域指标与时域性能指标间的关系 七、用系统开环频率特性分析闭环系统性能 八、频域特性的计算机辅助分析 九、小结
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第四章 频域分析法
第四章 频域分析法 对数相频特性图 横坐标：与对数幅频特性图相同。 纵坐标：线性分度，频率特性的相角() 单位 — 度() 几点说明 在对数频率特性图中，由于横坐标采用了 对数分度，因此=0 不可能在横坐标上表 示出来，横坐标上表示的最低频率由所感 兴趣的频率范围确定； 此外，横坐标一般 只标注的自然数值；
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第四章 频域分析法 频率特性的物理意义：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性； ()大于零时称为相角超前，小于零时称 为相角滞后。
x(t) x(t), y1(t), y2(t) y2(t) y1(t)
0
t
1() 2()
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幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。
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第四章 频域分析法
频率特性与传递函数的关系
G ( j ) G ( s )
s j
示例 求一阶系统
G (s) K Ts 1
的频率特性及在
正弦输入xi(t)=Xsint 作用下的频率响应。 解：
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X G ( j ) sin[ t ( )] Y sin[ t ( )]
YБайду номын сангаас
X G ( j )

上式表明，稳定的线性定常系统在正弦激励下 的稳态输出仍然为同频率的正弦信号，且输出 与输入的幅值比为|G(j)|，相位差为G(j)。 显然输出信号的幅值和相角是频率的函数，随 频率而变化。