工程弹塑性力学-第五章

在e＝0处与s轴相切
s A 理想刚塑性模型
只有两个参数A和n，因而也不可能 准确地表示材料的所有特征。但由 于解析式比较简单，而且n可以在较 大范围内变化，所以也经常被采用。
5.2 应力应变简化模型
5. Ramberg-Osgood模型 (三参数模型)
s /s1
有三个参数，能较 好地代表真实材料， 数学表达式简单。
（1）小变形时，e E；变形程度越大， 误差越大。
ln ln
ln(1 ln
l0 ) ln(1 e ) e
e2
e3
e4
L
(5.22)
l0
l0
234
e
1.6 1.2 0.8 0.4
O -0.4 -0.8 -1.2 -1.6
E=lnl/l0
1.0 1.2 1.4 1.6 l/l0
当变形程度小于10% 时，两值比较接近。
(a) 理想刚塑性模型
s
(b) 线性强化刚塑性模型
s
ss
ss
e
O
s ss, 当e 0时
特别适宜于塑性极限载荷的分析。
e
O
s ss E1e , 当e 0时
5.2 应力应变简化模型
3. 一般加载规律
s (e ) Ee[1w(e )]
(5.12)
w(e ) 其中，w(e )
0,
Ee
(e ) , Ee
ss’’
’
B
B’
’
等向强化’：
OABB’’
随动强化： OABB’
5.2 应力应变简化模型
例题：已知一单向加载过程的应力路径为01.5ss 0 –ss 0，材料符
合线性随动强化规律，强化模量E’E/100，试求出对应的应变路径。
解：sO 0 :
eO sO / E 0;
s
s B 1.5s s : sC 0:
a 7.31x10-7 13.34x10-7 23.73x10-7 第二项远小于第一项，可以略去不
b
2.7x10-12
3.5x10-12
17.25x10-12
计。因此根据上述试验结果，在塑 性理论中常认为体积变形是弹性的。
因而对钢、铜等金属材料，可以认为塑性变形不受静水压力 的影响。但对于铸铁、岩石、土壤等材料，静水压力对屈服 应力和塑性变形的大小都有明显的影响，不能忽略。
• 一般应力-应变曲线： s =Ee ， e < es (屈服前：线弹性) s =(e) ，e > es (屈服后)
5.2 应力应变简化模型
1. 理想弹塑性模型 （软钢或强化率较低的材料）
s
加载: s ds 0, e s / E signs
ss
为一个大于或
等于零的参数
卸载: s ds 0, de ds / E
5.1 基本实验资料
二、静水压力(各向均匀受压)试验
(1)、体积变化
体积应变与压力的关系 (bridgman实验公式)
em
V V0
1 K
p(1
1 K1
p)
或 V ap bp2 V0
体积压缩模量 派生模量
铜：当p＝1000MPa时，ap＝
铜
铝
铅
7.31×10-4，而bp2＝2.7×10-6。说明
一、应力--应变曲线
（1）单向拉伸曲线
s P
e ee e p s e p E
屈服应力
s
A0
屈服应力
s
B
C
ss A B
12
sa
3
s0.2 A
e l l l0
l0
l0
O
D
ep ee
D e
OD
0.2% ep ee
e
（a）有明显屈服流动阶段
如:低碳钢,铸铁,合金钢等
（b）无明显屈服流动阶段
如:中碳钢,高强度合金钢, 有色金属等
Ee / s1
强化系数 强化指数
e
s
3
s
(
)m
e1 s1 7 s1
(5.15)
s1，e1为0.7E(初始切 线模量)处的应力应变
例：钛合金钢
流动应力s1取(sbs0.2)/2。sb为抗拉 强度，s0.2为工程屈服应力；流动应 变e1 s1/E，E为弹性模量。
5.2 应力应变简化模型
6.反向加载应力-应变简化模型
E ss
应变路径为：051ss/E 49.5ss/E –ss/E 0
B
Ce
D
5.2 应力应变简化模型
例2：应力路径：01.5ss 0 –1.2ss 0
解： s D 0.5s s :
s E 1.2s s : sF 0:
eD
eC
0.5s s
E
49es ;
eE
eD
0.7s s
E'
21e s
eF
5.1 基本实验资料
一、应力--应变曲线
经过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力。在第二次加载过程中， 弹性系数仍保持不变，但弹性极限及屈服极限有升高现象，其升高程度与 塑性变形的历史有关，决定与前面塑性变形的程度。这种现象称为材料的
应变强化(或加工硬化)。
材料在塑性阶段的一个重要特点：在加载和卸载的过程中应力和应变服从 不同的规律：
sign e
0,
s 0
O
es
1, s 0 e
| e | es s Ee
缺点: 公式只包括了材料常数E 和s，故不能描述应力应 变曲线的全部特征；
在e＝es处解析式有变化， 给具体计算带来困难;
优点: 理想弹塑性模型抓住了韧 性材料的主要特征，因而 与实际情况符合得较好。
5.2 应力应变简化模型
e e1 e2 e3
例如： l0 1.5l0 1.8l0 2l0
e1
1.5l0 l0 l0
0.5;
e2
1.8l0 1.5l0 1.5l0
0.2;
e2
2l0 1.8l0 1.8l0
0.11;
e 2l0 l0 1.0。
l0
e e1 e2 e3
5.3 应变的表示法
• 工程应变与自然应变的关系：
2. 线性强化弹塑性模型 （材料有显著强化率）
s
加载: s ds 0,
e
s E
(| s
|
s s )(
1 E
1 )signs E
ss
E’
卸载: s ds 0, de ds / E
E
O
e
es
|s | ss, e s / E
5.2 应力应变简化模型
2. 线性强化弹塑性模型 用应变表示的加载准则：
简单拉伸试验 的塑性阶段：
加载 s ds 0 卸载 s ds 0
ds Etde
ds Ede
5.1 基本实验资料
一、应力--应变曲线
（2）拉伸与压缩曲线的差异（一般金属材料）
• 应变<10%时，基本一致； • 应变10%时，较大差异。
用简单拉伸试验代替简单压缩试 验进行塑性分析是偏于安全的。
E
O
es
| s | s s ,
e s /E
符号函
数: 1, s 0
e
sign s
0,
s 0
1, s 0
5.2 应力应变简化模型
1. 理想弹塑性模型
用应变表示的加载准则：
s
加载: s de 0, s s s sign e
ss
卸载:
s de 0, ds Ede
符号函
E
数: 1, s 0
5.1 基本实验资料
二、静水压力(各向均匀受压)试验
(2)、静水压力对屈服极限的影响
Bridgman对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性 强化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。 静水压力对屈服极限的影响常可忽略。
5.2 应力应变简化模型
选取模型的标准：
1、必须符合材料的实际性质 2、数学上必须是足够地简单
s
压
拉
OeLeabharlann 一般金属的拉伸与压缩曲线比较
5.1 基本实验资料
一、应力--应变曲线
（3）反向加载
卸载后反向加载，ss’’< ss’——Bauschinger效
应s
B
A
ss
O
Oe
’
ss
ss’’
’
B
B’
’
拉伸塑性变形后使 压缩屈服极限降低 的现象。即正向强 化时反向弱化。
5.1 基本实验资料
一、应力--应变曲线
小变形与大变 形界限的由来
5.3 应变的表示法
• 工程应变与自然应变的关系：
（2）自然应变为可加应变，工程应变为不可加应变
假设某物体原长l0 ，经历l1，l2变为l3，总相对应变为：
e l3 l0
l0
(5.23)
各阶段的相应应变为：
e1
l1
l0
l0
;
e2
l2 l1 ; l1
e3
l3 l2 l2
eB
ss
E
0.5s s
E'
51e s ;
eC
51es
1.5s s
E
49.5es
1.5ss ss A
s D 0.5s s :
eD
eC
0.5s s
E
49es;
s E s s : sF 0:
eE
eD
0.5s s
E'
49e s
50es
es
eF
eE
ss
E
0.