李庆扬_数值分析第五版第5章与第7章习题答案
数值分析第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题答案
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=（n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)汇编
第7章复习与思考题求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何X 。
• [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列〈X k 1有极限则称迭代方程收敛，且X* =®(x*)为®(X )的不动点 故称X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。
5•什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶P219设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差e k = x k - x *满足渐近关系式—t C,C =const 式 0 e/则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。
以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。
6•什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。
牛顿法:当| f (X k )卜J 时收敛。
7•什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。
在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。
就是弦截法。
收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量)8•什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229X-mX k 1 =X kf (X k ) f (X k )设已知方程f （x） = 0的三个近似根，X k，X k^，X k^2，以这三点为节点构造二次插值多项式p（x），并适当选取p2（x）的一个零点X k卅作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。
李庆扬-数值分析第五版第5章与第7章习题答案
答：根据范数的左义，正确。
(9) 如果线性方程组是良态的，则髙斯消去法可以不选主元。
答：错误，不选主元时，可能除数为0。
(10) 在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
答：错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
(M) II 如I 讦答：根据范数的定义，正确。
(12)若人是GX 门的非奇异矩阵，则cond(A) = cond(A~*)。
答：正确。
人是CXG 的非奇异矩阵，则A 存在逆矩阵。
cond(A) = ||A||e||A",||根据条件数的定义有：H", , ' , , …,cond (犷)=||A-1| • ||(A -)-1| = | 附 ||-1| 州=||A||. ||f ||所以a ：=［如…a.证明:气%2°11 "12。
12。
22设对称矩阵A=,则经过1次髙斯校区法后，有所以A2为对称矩阵。
2、设A 是对称正立矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为A = (a ij\，其中A = (a v)n.证明：(1) A的对角元素勺>0 (i = l,2,・・・/)：(2) A?是对称正立矩阵；(1)依次取如=(00…,0」。
…,0几心12…宀则因为A是对称正定矩阵, r所以有5 =x J Ax >0 a(2)人中的元素满足a,)*■V L- “QJ-23・・・y)，乂因为A是对称正定5矩阵，满足 5=6、7J = 1,2,…，“，所以a\p = a；j --------- = aa\\即儿是对称矩阵。
3、设厶为指标为R的初等下三角矩阵(除第R列对角元以下元素外，厶和单位阵/相同), 即'1 ■• • •14 = 〔m k^k 1• • •• • •〃山 1求证当i.j>k时，-=1血1»也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中切为初等置换矩阵。
4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的讣算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)第一章：数值分析导论1. 解答：数值分析是一门研究如何使用计算机来解决数学问题的学科。
它包括了从数学理论到计算实现的一系列技术。
数值分析的目标是通过近似的方式求解数学问题，其结果可能不是完全精确的，但是能够满足工程或科学应用的要求。
2. 解答：数值分析在实际应用中起着重要的作用。
它可以用于求解复杂的数学方程、计算机模拟及建模、数据的统计分析等等。
数值分析是科学计算和工程计算的基础，对许多领域都有着广泛的应用，如物理学、经济学、生物学等。
3. 解答：数值方法指的是使用数值计算的方式来求解数学问题。
与解析方法相比，数值方法一般更加灵活和高效，可以处理一些复杂的数学问题。
数值方法主要包括了数值逼近、插值、数值积分、数值微分、线性方程组的求解、非线性方程的求根等。
4. 解答：计算误差是指数值计算结果与精确解之间的差异。
在数值计算中，由于计算机的有限精度以及数值计算方法本身的近似性等因素，都会导致计算误差的产生。
计算误差可以分为截断误差和舍入误差两种。
第二章：数值误差分析1. 解答：绝对误差是指实际值与精确值之间的差异。
例如，对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其绝对误差为| x - x_0 |。
绝对误差可以衡量数值近似解的精确程度，通常被用作评估数值计算方法的好坏。
2. 解答：相对误差是指绝对误差与精确解之间的比值。
对于一个计算出的数值近似解x和精确解x_0，其相对误差为| (x - x_0) / x_0 |。
相对误差可以衡量数值近似解相对于精确解的精确度，常用于评估数值计算方法的收敛速度。
3. 解答：舍入误差是由于计算机的有限精度而引起的误差。
计算机中使用的浮点数系统只能表示有限的小数位数，因此在进行数值计算过程中，舍入误差不可避免地会产生。
舍入误差会导致计算结果与精确结果之间存在差异。
4. 解答：误差限度是指对于给定的数值计算问题，所能容忍的误差范围。
数值分析报告第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题问题详解
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=-（n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析
WORD格式.分享第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？k答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现a的情况，这时消去法无法进行；即kkk时主元素0和舍入增长a，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重kk计误差的扩散，最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和算的准确性。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。
计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，⋯，n-1）不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53，符合3个运算法则。
正定性齐次性三角不等式x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）设n||x|||x|1ii11n22||x||(x)2ii1||x||max|x i|1in7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(a ij)的三种范数||A||1，||A||2，精品.资料WORD格式.分享||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=-9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论（12）之阳早格格创做1、设0>x ，x 的相对付缺面为δ，供x ln 的缺面.[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对付缺面为δε=)(*x r ，千万于缺面为**)(x x δε=，进而xln 的缺面为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ，相对付缺面为****ln ln )(ln )(ln xxx x rδεε==.2、设x 的相对付缺面为2%，供n x 的相对付缺面.[解]设*x 为x 的近似值，则有相对付缺面为%2)(*=x r ε，千万于缺面为**%2)(x x =ε，进而nx 的缺面为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对付缺面为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε.3、下列各数皆是通过四舍五进得到的近似数，即缺面不超出末尾一位的半个单位，试指出它们是几位灵验数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x .[解]1021.1*1=x 有5位灵验数字；0031.0*2=x 有2位灵验数字；6.385*3=x 有4位灵验数字；430.56*4=x 有5位灵验数字；0.17*5⨯=x 有2位灵验数字.4、利用公式（3.3）供下列各近似值的缺面限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数.（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k kεεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x . [解]53232323*42*4*2*2*41***4*2*1088654.01021)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(-----=⨯≈⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∑x x x x x x x f x x e n k k kεεε. 5、预计球体积要使相对付缺面限为1%，问度量半径R 允许的相对付缺面是几？ [解]由3*3**3**)(34))(34())(34(%1R R R r ππεπε==可知，)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε⨯='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=， 进而***31%1)(R R ⨯=ε，故300131%1)()(*****=⨯==RR R r εε.6、设280=Y ，按递推公式),2,1(78310011 =-=-n Y Y n n 预计到100Y ，若与982.27783≈（五位灵验数字，）试问预计100Y 将有多大缺面？[解]令n Y 表示n Y 的近似值，n n n Y Y Y e -=)(*，则0)(0*=Y e ，而且由982.2710011⨯-=-n n Y Y ，78310011⨯-=-n n Y Y 可知， )783982.27(100111-⨯--=---n n n n Y Y Y Y ，即=-⨯-=-⨯-=--)783982.27(1002)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ，进而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e ，而31021982.27783-⨯≤-，所以3100*1021)(-⨯=Y ε. 7、供圆程01562=+-x x 的二个根，使它起码具备四位灵验数字（982.27783≈）[解]由78328±=x 与982.27783≈（五位灵验数字）可知，982.55982.2728783281=+=+=x （五位灵验数字）.而018.0982.2728783282=-=-=x ，惟有二位灵验数字，不切合题意.然而是22107863.1982.55178328178328-⨯==+=-=x .8、当N 充分大时，何如供⎰++1211N N dx x？ [解]果为N N dx xN Narctan )1arctan(1112-+=+⎰+，当N 充分大时为二个相近数相减，设)1arctan(+=N α，N arctan =β，则αtan 1=+N ，βtan =N ，进而11)1(1)1(tan tan 1tan tan )tan(2++=++-+=+-=-N N N N N N βαβαβα，果此11arctan 11212++=-=+⎰+N N dx x N Nβα. 9、正圆形的边少约莫为100cm ，应何如丈量才搞使其里积缺面不超出12cm ?[解]由)(2)(])[())((*****2*2**l l l l l εεε='=可知，若央供1))((2**=l ε，则2001100212))(()(*2****=⨯==l l l εε，即边少应谦脚2001100±=l .10、设221gt S =，假定g 是准确的，而对付t 的丈量有1.0±秒的缺面，道明当t 减少时S 的千万于缺面减少，而相对付缺面却缩小.[道明]果为******1.0)()()()(gt t gt t dtdS S ===εεε，***2******51)(2)(21)()()(t t t t g t gt S S S r====εεεε，所以得证.11、序列{}n y 谦脚递推闭系),2,1(1101 =-=-n y y n n ，若41.120≈=y （三位灵验数字），预计到10y 时缺面有多大？那个预计历程宁静吗？[解]设n y 为n y 的近似值，n n n y y y -=)(*ε，则由⎪⎩⎪⎨⎧-==-110210n ny y y 与 ⎩⎨⎧-==-11041.110n n y y y 可知，20*1021)(-⨯=y ε，)(1011---=-n n n n y y y y ，即 )(10)(10)(0*1**y y y n n n εεε==-，进而82100*1010*1021102110)(10)(⨯=⨯⨯==-y y εε，果此预计历程不宁静. 12、预计6)12(-=f，与4.12≈，利用下列公式预计，哪一个得到的截止最佳？6)12(1+，3)223(-，3)223(1+，27099-.[解]果为1*1021)(-⨯=f ε，所以对付于61)12(1+=f ，2417*11*10211054.61021)14.1(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯+='=e f f e ，有一位灵验数字； 对付于32)223(-=f ，1112*22*10211012.01021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯-='=e f f e ，不灵验数字； 对付于33)223(1+=f ，2314*33*10211065.21021)4.123(6)4.1()(---⨯<⨯=⨯⨯⨯+='=e f f e ，有一位灵验数字；对付于270994-=f ，111*44*10211035102170)4.1()(⨯<⨯=⨯⨯='=--e f f e ，不灵验数字. 13、)1ln()(2--=x x x f ，供)30(f 的值.若启仄圆用六位函数表，问供对付数时缺面有多大？若改用另一等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 预计，供对付数时缺面有多大？[解]果为9833.298991302==-（六位灵验数字），4*1021)(-⨯=x ε，所以2442**11*102994.010219833.293011021)13030(1)()()(---⨯=⨯⨯-=⨯⨯---='=x e f f e ，6442**22*108336.010219833.29301102111)()()(---⨯=⨯⨯+=⨯⨯-+-='=x x x e f f e .14、试用消元法解圆程组⎩⎨⎧=+=+2101021102101x x x x ，假定惟有三位数预计，问截止是可稳当？[解]透彻解为110210,110101*********--=-=x x .当使用三位数运算时，得到1,121==x x ，截止稳当.15、已知三角形里积c ab s sin 21=，其中c 为弧度，20π<<c ，且丈量a ，b ，c 的缺面分别为c b a ∆∆∆,,，道明里积的缺面s ∆谦脚cc b b a a s s ∆+∆+∆≤∆. [解]果为c c ab b c a a c b x x f s nk k k ∆+∆+∆=∆∂∂=∆∑=cos 21sin 21sin 21)()(1， 所以cc b b c c c c b b c c c ab cc ab b c a a c b ss ∆+∆+∆≤∆+∆+∆=∆+∆+∆=∆tan sin 21cos 21sin 21sin 21. 第二章 插值法（40-42）1、根据（2.2）定义的范德受止列式，令⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----nn n n n nn n x x xx xx x x x x x x x V21211020110111),,,,(，道明)(x V n 是n 次多项式，它的根是121,,,-n x x x ，且)())(,,,(),,,,(101101110------=n n n n n x x x x x x x V x x x x V .[道明]由∏∏∏∏-=---=-=-=--⋅=-⋅-=1110111010110)(),,,()()(),,,,(n j j n n n j j n i i j j i n n x x x x x V x x x x x x x x V 可得供证.2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，供)(x f 的二次插值多项式.[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L .3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值预计54.0ln 的近似值.[解]若与5.00=x ，6.01=x ， 则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则 604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，进而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L . 若与4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ， 693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，进而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L .4、给出 900,cos ≤≤x x 的函数表，步少 )60/1(1='=h ，若函数具备5位灵验数字，钻研用线性插值供x cos 近似值时的总缺面界.[解]设插值节面为h x x x x +=<<010，对付应的x cos 值为10,y y ，函数表值为10,y y ，则由题意可知，5001021-⨯≤-y y ，5111021-⨯≤-y y ，近似线性插值多项式为01011011)(x x x x y x x x x y x L --+--=，所以总缺面为()100101110100100101110100101111,,)()())((2cos )()())((!2)()()()()()()()(x x x x x x y y x x x x y y x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x f x L x L x L x f x L x f x R ∈---+---+---=---+---+--''=-+-=-=ξξξ，进而55555201051015100101110100101047.310211094.621102114400121102142110211021))((21))((cos 21)(-------⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯=⨯+≤--⨯⨯+--⨯⨯+---≤---+---+--≤h x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x x R ξ.5、设3,2,1,0=+=k kh x x k，供)(max 220x l x x x ≤≤.[解])3)()((max 21)()2()3)()((max))()(())()((max)(max 000300032120231023033030h x x h x x x x h h h h h x x h x x x x x x x x x x x x x x x x x l xx x xx x x x x x x x -----=------=------=≤≤≤≤≤≤≤≤.令)34()383()43()3)()(()(0220302020203000x h hx x x h h x x x h x x h x x h x x x x x f ++-++++-=-----=，则)383()43(23)(202002h h x x x h x x x f ++++-='，进而极值面大概为 hx h h x h h x x h x h x x 37437)43(6)383(12)43(4)43(2002020200±+=±+=++-+±+=，又果为30)20714(271375371374)374(h h h h h x f -=--⨯-⨯-=-+， 30)71420(271357371374)374(h h h h h x f +-=-⨯+⨯+=++， 隐然)374()374(00h x f h x f ++≤-+，所以277710)71420(27121)374(21)(max 3303230+=+=++=≤≤h h h x f h x l x x x . 6、设),,1,0(n j x j=为互同节面，供证：1）),,1,0()(0n k x x l x kn j j k j =≡∑=；2）),,2,1()()(0n k x x l x x knj j k j =≡-∑=；[解]1）果为左侧是k x 的n 阶推格朗日多项式，所以供证创制. 2）设k x y y f )()(-=，则左侧是k x y y f )()(-=的n 阶推格朗日多项式，令x y =，即得供证.7、设[]b a C x f ,)(2∈且0)()(==b f a f ，供证)(max )(81)(max 2x f a b x f b x a b x a ''-≤≤≤≤≤. [解]睹补充题3，其中与0)()(==b f a f 即得.8、正在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节面函数表，若用二次插值供x e 的近似值，要使截断缺面不超出610-，问使用函数表的步少h 应与几？[解]由题意可知，设x 使用节面h x x -=10，1x ，h x x +=12举止二次插值，则插值余项为()201112102,)],()[)](([6))()((!3)()(x x h x x x x h x x ex x x x x x f x R ∈+----=---'''=ξξξ，令)()3(3)]()[)](([)(2211221213111h x x x h x x x x h x x x x h x x x f -+-+-=+----=，则)3(63)(22112h x x x x x f -+-='，进而)(x f 的极值面为h x x 331±=，故3932)331()331(33)(max2h h h h x f xx x =-⋅+⋅=≤≤，而 343422739326)(max 6)(20h e h e x f e x R x x x =≤≤≤≤ξ，要使其不超出610-，则有63410273-≤h e ，即22226210472.010389.74863.310243---⨯=⨯≈⨯≤ee h . 9、若n n y 2=，供n y 4∆及n y 4δ.[解]nn n n n n nn n n n n n n n n j jn j j n j jn n y y y y y y j y E j y I E y 22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1()(123441322314040440444=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∆++++++++=-+=-∑∑.22221221122413211204024024021)4(2142121422282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1(4)1()(--------++--++=-+=-=---=+⨯-⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑∑n n n n n n n n n n n n n n n n j jn j j n j j j njj jn n y y y y y y j y E j y E Ej y E E y δ. 10、如果)(x f 是m 次多项式，记)()()(x f h x f x f -+=∆，道明)(x f 的k 阶好分)0()(m k x f k ≤≤∆是k m -次多项式，而且0)(=∆+x f l m （l 为正整数）.[道明]对付k 使用数教归纳法可证. 11、道明k k k k k k g f g f g f ∆+∆=∆+1)(. [道明]kk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k g f g f g g f g f f g f g f g f g f g f g f g f ∆+∆=-+-=-+-=-=∆++++++++++1111111111)()()(.12、道明∑∑-=+-=∆--=∆11001n k k k n n n k kk f g g f g f g f .[道明]果为01111111111011)()]()([)(g f g f g f f g f f g g g f f g g f f g g fn n n k k k k k n k k k k k k k n k k k k k n k k k n k k k-=-=-+-=∆+∆=∆+∆∑∑∑∑∑-=++-=+++-=+-=+-=，故得证.13、道明：0102y y y n n j j∆-∆=∆∑-=.[道明]01112)(y y y y y n n j j j n j j ∆-∆=∆-∆=∆∑∑-=+-=.14、若n n n n x a x a x a a x f ++++=--1110)( 有n 个分歧真根n x x x ,,,21 ，道明⎩⎨⎧-=-≤≤='-=∑1,20,0)(11n k a n k x f x n nj j k j. [道明]由题意可设∏=-=---=ni i n n n x x a x x x x x x a x f 121)()())(()( ，故∏≠=-='nji i i j n j x x a x f 1)()(，再由好商的本量1战3可知：)!1()(1],,[1)()()1(1111-==-='-=≠==∑∏∑n x a x x x a x x a x xf x n k n n k n nj nj i i i j n k jnj j k j，进而得证.15、道明n 阶均好有下列本量：1）若)()(x cf x F =，则],,,[],,,[1010n n x x x cf x x x F =； 2）若)()()(x g x f x F +=，则],,,[],,,[],,,[101010n n n x x x g x x x f x x x F +=.[道明]1）],,,[)()()()()()(],,,[1000000010n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj n x x x cf x xx f c x xx cf x xx F x x x F =-=-=-=∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠=.2）],,,[],,,[)()()()()()()()()(],,,[10100000000010n n nj nji i i jj nj nji i i jj nj nji i i jj j nj nji i i jj n x x x g x x x f x xx g x xx f x xx g x f x xx F x x x F +=-+-=-+=-=∑∏∑∏∑∏∑∏=≠==≠==≠==≠=.16、13)(47+++=x x x x f ，供]2,,2,2[71f ，0!80!8)(]2,,2,2[)8(81===ξf f . [解]1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ，]2,,2,2[810 f .17、道明二面三次埃我米特插值余项是()1212)4(3,,!4/)())(()(++∈--=k k k k x x x x x x f x R ξξ，并由此供出分段三次埃我米特插值的缺面限. [解]睹P30与P33，缺面限为k nk f h h '+≤≤0max 278)(ω. 18、XXXXXXXXXX ．19、供一个次数不下于4次的多项式)(x P ，使它谦脚0)0()0(='=P P ，1)1()1(='=P P ，1)2(=P .[解]设1223344)(a x a x a x a x a x P ++++=，则122334234)(a x a x a x a x P +++='，再由0)0()0(='=P P ，1)1()1(='=P P ，1)2(=P 可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++==+++='=++++==='===012341234012*********)2(1234)(1)1(1)0(0)0(0a a a a a P a a a a x P a a a a a P a P a P 解得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-===432141234900aa a a a .进而4)3()96(4492341)(2222234-=+-=+-=x x x x x x x x x P .20、设],[)(b a C x f ∈，把[]b a ,分为n 仄分，试构制一个台阶形的整次分段插值函数)(x n ϕ，并道明当∞→n 时，)(x n ϕ正在[]b a ,上普遍支敛到)(x f .[解]令n i x f x f x ii ii x x x x x xi ,,3,2,1,2)(inf)(sup )(11 =+=≤≤≤≤--ϕ.21、设)1/(1)(2x x f +=，正在55≤≤-x 上与10=n ，按等距节面供分段线性插值函数)(x I h ，预计各节面中面处的)(x I h 与)(x f 的值，并预计缺面.[解]由题意可知，1=h ，进而当[]1,+∈k k x x x 时，)(])1(1[1)()1(1)1(1111)(2121211211k k kk k k k k k k k k h x x k h x x k h x x x x k x x x x k l f l f x I -+++-+-=--+++--+=+=++++++.22、供2)(x x f =正在[]b a ,上的分段线性插值函数)(x I h ，并预计缺面.[解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当[]1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时， 进而缺面为))(())((!2)()(112++--=--''=k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故4))(()(212h x x x x x R k k ≤--=+.23、供4)(x x f =正在[]b a ,上的分段埃我米特插值，并预计缺面. [解]设将[]b a ,区分为少度为h 的小区间b x x x a n =≤≤≤= 10，则当[]1,+∈k k x x x ，1,,2,1,0-=n k 时，)(4)(42121)()(121312113112141121141111++++++++++++++++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='+'++=k k k kk k k k k k k k k k k kk k k kk kk k k k k k k k k k h x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x f f f f x I ββαα，进而缺面为212212)4(2)()()()(!4)()(++--=--=k k k k x x x x x x x x f x R ξ， 故16)()()(42122h x x x x x R k k ≤--=+.24、给定数据表如下：试供三次样条函数)(x S ，并谦脚条件： 1）6868.0)53.0(,0000.1)25.0(='='S S ； 2）0)53.0()25.0(=''=''S S .[解]由05.025.030.00=-=h ，09.030.039.01=-=h ，06.039.045.02=-=h ，08.045.053.03=-=h ，及（8.10）式)1,,1(,,111-=+=+=---n j h h h h h h jj j j jj j j μλ可知，14909.005.009.01011=+=+=h h h λ，5206.009.006.02122=+=+=h h h λ，7408.006.008.03233=+=+=h h h λ，14509.005.005.01001=+=+=h h h μ，5306.009.009.02112=+=+=h h h μ，7308.006.006.03223=+=+=h h h μ，由（8.11）式)1,1(]),[],[(311-=+=+-n j x x f x x f g j j j j j j jμλ可知，7541.2700019279)900768145500477149(3)30.039.05477.06245.014525.030.05000.05477.0149(3])()(145)()(149[3]),[],[(3121201012111011==⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.413.2100046332564)6004635390076852(3)39.045.06245.06708.05330.039.05477.06245.052(3])()(53)()(52[3]),[],[(3232312123222122=⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.0814.27001457140011894634)8004727360046374(3)45.053.06708.07280.07339.045.06245.06708.074(3])()(73)()(74[3]),[],[(3343423234333233==⨯+⨯=⨯+⨯⨯=--⨯+--⨯⨯=--+--=+=x x x f x f x x x f x f x x f x x f g μλ.进而1）矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7871.1413.21112.26868.0730814.2413.20000.11497541.227405325201452321m m m ，解得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡6570.08278.09078.0321m m m ，进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.2）此为自然鸿沟条件，故862.2500477325.030.05000.05477.03)()(3],[30101100=⨯=--⨯=--⨯==x x x f x f x x f g ；145.2800572345.053.06708.07280.03)()(3],[3111=⨯=--⨯=--⨯==---n n n n n n n x x x f x f x x f g ，矩阵形式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡145.20814.2413.27541.2862.227400732740005325200014521490001243210m m m m m ，不妨解得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡43210m m m m m ，进而∑=+=nj j j j j x m x y x S 0)]()([)(βα.25、若],[)(2b a C x f ∈，)(x S 是三次样条函数，道明 1）⎰⎰⎰⎰''-''''+''-''=''-''babababadx x S x f x S dx x S x f dx x S dx x f )]()()[(2)]()([)]([)]([222；2）若),,1,0()()(n i x S x f i i ==，式中ix 为插值节面，且b x x x a n =<<<= 10则)]()()[()]()()[()]()()[(a S a f a S b S b f b S dx x S x f x S ba '-'''-'-'''=''-''''⎰.[解]1）⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰''-''=''-''=''-''''+''=''-''''+''-''=''-''''+''-''=''-''''+''-''bababab a ba b ababadxx S dx x f dxx S x f dx x S x f x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S x S x f dxx S x f x S dx x S x f 222222)]([)]([)]([)]([)]()()][()([)]()()}[(2)]()({[)]()()[(2)]()([)]()()[(2)]()([.2）由题意可知，[]b a x A x S ,,)(∈='''，所以)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()]()([)]()()[()]()()[()()]()([)]}()()[({)]()()[(a S a f a S b S b f b S x S x f A a S a f a S b S b f b S dx x S x f A a S a f a S b S b f b S dxx S x S x f x S x f x S dx x S x f x S b a b ab ab aba'-'''-'-'''=--'-'''-'-'''='-'-'-'''-'-'''=''''-'-'-'''=''-''''⎰⎰⎰.补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并预计插值余项.[解]由1)(000===-e x y y ，111)(-==e x y y 可知，xe x e x x e x x x x x y x x x x y x L )1(1)1(0101011)(111010110101-+=+--=--⨯+--⨯=--+--=---，余项为()1,0),1(2))((!2)()(101∈-=--''=-ξξξx x e x x x x f x R ， 故8141121)1(max max 21)(10101=⨯⨯=-⨯⨯≤≤≤-≤≤x x e x R x ξξ. 2、设4)(x x f =，试利用推格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节面的三次插值多项式. [解]由插值余项定理，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x R 22)1)(2()2)(1()1(!4!4))()()((!4)()(234223210)4(3+--=--=--+=----=ξ，进而x x x x x x x x x R x f x L 22)22()()()(23234433-+=+---=-=.3、设)(x f 正在[]b a ,内有二阶连绝导数，供证：)(max )(81)]()()()([)(max 2x f a b a x a b a f b f a f x f b x a bx a ''-≤---+-≤≤≤≤.[证]果为)()()()(a x ab a f b f a f ---+是以a ，b 为插值节面的)(x f 的线性插值多项式，利用插值多项式的余项定理，得到：))()((21)]()()()([)(b x a x f a x a b a f b f a f x f --''=---+-ξ，进而)(max )(81)(41)(max 21))((max )(max 21)]()()()([)(max 22x f a b a b f b x a x f a x a b a f b f a f x f b x a b a b x a ba b x a ''-=-⋅''=--⋅''≤---+-≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ξξξξ.4、设15)(37++=x x x f ，供好商]2,2[10f ，]2,2,2[210f ，]2,,2,2[710 f 战]2,,2,2[810 f .[解]果为7)1()2(0==f f ，1691252)2()2(371=+⨯+==f f ，167051454)4()2(372=+⨯+==f f ，所以162716912)1()2(]2,2[10=-=--=f f f ，826821691670524)2()4(]2,2[21=-=--=f f f ，27023162826822]2,2[]2,2[]2,2,2[02102121=-=--=f f f ， 1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f ，0!80!8)(]2,,2,2[)8(810===ξf f .5、给定数据表：5,4,3,2,1=i ，供4次牛顿插值多项式，并写出插值余项. [解]由好商表可得4次牛顿插值多项式为：)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)6)(4)(2)(1(1801)4)(2)(1(607)2)(1(65)1(34)(4----+------+--=----+------+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x N ，插值余项为()7,1),7)(6)(4)(2)(1(!5)()()5(4∈-----=ξξx x x x x f x R .6、如下表给定函数：4,3,2,1,0=i ，试预计出此列表函数的好分表，并利用牛顿背前插值公式给出它的插值多项式. [解]构制好分表：由好分表可得插值多项式为：32)1(3322)1(332)1()(2020004++=-++=⨯-++=+∆-+∆+=+t t t t t t t t f t t f t f th x N .第三章 函数迫近与预计（80-82）1、（a ）利用区间变更推出区间为[]b a ,的伯恩斯坦多项式；（b ）对付x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上供1次战3次伯恩斯坦多项式并绘出图形，并与相映的马克劳林级数部分战缺面搞出比较. [解]（a ）令t a b a x )(-+=，则[]1,0∈t ，进而伯恩斯坦多项式为∑=-=nk k n x P n k a b f x f B 0)())((),(，其中kn k k x a b x k n x P ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(. （b ）令t x 2π=，则[]1,0∈t ，进而伯恩斯坦多项式为∑==nk k n x P n kf x f B 0)()2(),(π，其中k n k k x x k n x P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)2()(π. xx x x x x x f x x f x P kf x f B k k =+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=202sin 20sin 211)2(201)0()()2(),(010101πππππππ；3223323223223223312213033)533(21)32(4383)2(233)4(23)2(233)2(232sin )2(33sin )2(36sin 20sin )2(33)2()2(23)3()2(13)6()2(03)0()()6(),(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x x f x P kf x f B k k ----=+-++-=+-+-=⨯+-⨯+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=πππππππππππππππππππππ.2、供证：（a ）当Mx f m ≤≤)(时，M x f B m n ≤≤),(；（b ）当x x f =)(时，x x f B n =),(.[道明]（a ）由∑==nk k n x P nk f x f B 0)()(),(及Mx f m ≤≤)(可知，∑∑∑∑====≤≤≤≤nk k nk k n n k k n k k x P M x MP x f B x mP x P m 0)()(),()()(，而1)]1([)1()(00=-+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑=-=nnk k n k nk k x x x x k n x P ，进而得证. （b ）当x x f =)(时，xx x x x x k n k n x x xx k n k n x x k n k n n k x x k n n k f x P n k f x f B n n k k n k n k k n k nk kn k f nk kn k nk k n =-+=----=------=--⨯==-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--=--=----=-==-=∑∑∑∑∑110)1(1)1()1(110)0(00)]1([)1()!1(!)!1()1()]!1()1[()!1()!1()1()!(!!)1()()()(),(.3、正在次数不超出6的多项式中，供x x f 4sin )(=正在[]π2,0的最佳普遍迫近多项式.[解]由[]π2,0,4sin ∈x x 可知，14sin 1≤≤-x ，进而最小偏偏好为1，接错面为ππππππππ815,813,811,89,87,85,83,8，此即为6)(H x P ∈的切比雪妇接错面组，进而)(x P 是以那些面为插值节面的推格朗日多项式，可得0)(=x P .4、假设)(x f 正在[]b a ,上连绝，供)(x f 的整次最佳普遍迫近多项式.[解]令)(infx f m bx a ≤≤=，)(sup x f M bx a ≤≤=，则2)(mM x f +=正在[]b a ,上具备最小偏偏好2m M -，进而为整次最佳迫近一次多项式.5、采用常数a ，使得ax x x -≤≤310max 达到极小，又问那个解是可唯一？[解]果为ax x -3是奇函数，所以ax x ax x x x -=-≤≤-≤≤311310max max ，再由定理7可知，当)34(4141333x x T ax x -==-时，坐即43=a ，偏偏好最小.6、供x x f sin )(=正在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最佳一次迫近多项式，并预计缺面.[解]由πππ22sin 2sincos )()()(221=--=='=--=x x f ab a f b f a 可得π2arccos2=x ，进而最佳一次迫近多项式为ππππππππππππ2arccos1242)2arccos 21(224)22arccos0(2)]2sin(arccos 0[sin 21)2()]()([2122212--+=-+-=+-++=+-++=x x x x a x a x f a f y 7、供x e x f =)(正在[]1,0上的最佳一次迫近多项式.[解]由101)()()(01212-=--=='=--=e e e e xf a b a f b f a x 可得)1ln(2-=e x ，进而最佳一次迫近多项式为)1ln(212)1()]1ln(21)[1(2)2)1ln(0)(1(][21)2()]()([21)1ln(0212---+-=---+=-+--++=+-++=-e e e x e e x e e e x e e e x a x a x f a f y e .8、怎么样采用r ，使r x x p +=2)(正在[]1,1-上与整偏偏好最小？r 是可唯一？[解]由r r x x p x x +=+=≤≤-≤≤-1)(max )(max 21111，r r x x p x x =+=≤≤-≤≤-)(min )(min 21111可知当与整偏偏好最小时，r r =+1，进而21-=r .另解：由定理7可知，正在[]1,1-上与整偏偏好最小的二次多项式为21)12(21)(21222-=-=x x x T ，进而21-=r .9、设13)(34-+=x x x f ，正在[]1,0上供三次最佳迫近多项式. [解]设所供三次多项式为)(3x P ，则由定理7可知81)188(81)(21)()(2424433+-=+-==-x x x x x T x P x f ，进而893)81()13()81()()(232434243-+=+---+=+--=x x x x x x x x x f x P .10、令[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n ，供)(*0x T 、)(*1x T 、)(*2x T 、)(3x T . [解]由[]1,0),12()(∈-=x x T x T n n 可知，令[]1,1,211-∈+=t t x ，则[]1,1),()121(-∈=+t t T t T n n ，进而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=1,21),121(21,1),()(00*x x T x x T x T n . 11、试证{})(*x T n 是正在[]1,0上戴权21xx -=ρ的正接多项式.？12、正在[]1,1-上利用插值极小化供x x f arctan )(=的三次近似最佳迫近多项式.[解]由题意可知，插值节面为)3,2,1(,812cos =-k k π，即ππππ87cos ,85cos ,83cos ,81cos 4321====x x x x ，则可供得)(3x L .13、设x e x f =)(正在[]1,1-上的插值极小化近似最佳迫近多项式为)(x L n ，若∞-nL f 有界，道明对付所有1≥n ，存留常数n n βα,，使得)11()()()()(11≤≤-≤-≤++x x T x L x f x T n n n n n βα.[道明]由题意可知，[]1,1),()!1(2)()()(1)1(-∈+=-++ξξx T n f x L x f n n n n ，进而与)!1(2)(min )1(11+=+≤≤-n x f nn x n α，)!1(2)(max )1(11+=+≤≤-n x f n n x n β，则可得供证.14、设正在[]1,1-上543238401653841524381211)(x x x x x x -----=ϕ，试将)(x ϕ落矮到3次多项式并预计缺面.[解]果为x x T x 16545161355-+=，8181244-+=x T x ，所以323232307254510241234096199310241029)16545(3840165)81(3841524381211)(~x x x x x x x x x x ---=-------=ϕ，缺面为0056.040962381384016516138415)(~)(≈=+≤-x x ϕϕ.15、正在[]1,1-利用幂级数项数俭朴供x x f sin )(=的3次迫近多项式，使缺面不超出0.005.[解]果为 ++-+++-=+)!12()1(!5!3sin 1253n x x x x x n n ，与前三项，得到!5!3)(535x x x x L +-=，缺面为0002.0!71)(sin 5≈≤-x L x ，又果为 x x T x 16545161355-+=，所以3次迫近多项式为3333227384383)16545(!51!3sin x x x x x x x +-=-+-=，此时缺面为005.010986.71611201!714<⨯≈⨯+-. 16、)(x f 是[]a a ,-上的连绝奇（奇）函数，道明不管n 是奇数大概奇数，)(x f 的最佳迫近多项式n n H x F ∈)(*也是奇（奇）函数. [解])(x f 的最佳迫近多项式是由切比雪妇多项式得到的，再由切比雪妇多项式的本量4即得.17、供a 、b 使⎰-+202]sin [πdx x b ax 为最小，并与1题及6题的一次迫近多项式缺面做比较. [解]由2120ππ=⎰dx ，8220ππ=⎰dx x ，243202ππ=⎰dx x ，1sin 200==⎰πxdx d ，1cos |)cos (sin 2020201=---==⎰⎰πππxdx x x xdx x d ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1124882322a b ππππ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=1148.0)3(86644.0)4(2423ππππb a . 18、],[)(),(1b a C x g x f ∈，定义 （a ）()⎰''=aadx x g x f g f )()(,；（b ）())()()()(,a g a f dx x g x f g f aa+''=⎰. 问它们是可形成内积？[解]（a ）果为()0)(0)]([,0)(2='⇔='=⇒=⎰x f dx x f f f x f ba ，然而反之不可坐，所以不形成内积. （b ）形成内积.19、用许瓦兹不等式（4.5）预计⎰+161dx xx 的上界，并用积分中值定理预计共一积分的上下界，并比较其截止. [解]1961.026113121)131()11()()11(110131012612106≈==+-=+≤+⎰⎰⎰x x dxx dx xdx x x .果为[]1,0,12666∈≤+≤x x xx x ，所以7112141106106106=≤+≤=⎰⎰⎰dx x dx x x dx x . 20、采用a ，使下列积分与最小值：⎰-1022)(dx ax x ，⎰--112dx ax x .[解]481)45(51512131)2()(22142321022+-=+-=+-=-⎰⎰a a a dx x a ax x dx ax x ，进而45=a .当0=a 时，12121100111112=+=+-==-⎰⎰⎰⎰---xdx xdx dx x dx ax x ，当0≠a 时，由02=-ax x ，可得接面为ax 1=，若1>a ，则1323121316161)2131()2131()3121()2131()()()(222012310321123012102112112>+=++++-=-+-+-=-+-+-=----⎰⎰⎰⎰a a a aa a x ax ax x x ax dxx ax dx ax x dx x ax dx ax x a aa a，若01>≥a ，则1)2131()3121()()(012102112=----=-+-=-⎰⎰⎰--a a dx x ax dx ax x dx ax x .共理可知，当01<≤-a 时，1112=-⎰-dx ax x ，当1-<a 时，1112>-⎰-dx ax x ，进而当1≤a 时，积分博得最小.21、设{}x span ,11=ϕ，{}1011002,x x span =ϕ，分别正在21,ϕϕ上供一元素，使其为]1,0[2C x ∈的最佳仄圆迫近，并比较其截止.[解]由1110=⎰dx ，2110=⎰xdx ，31102=⎰dx x ，41103=⎰dx x 可知，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡41313121211b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=161b a ，即正在1ϕ上为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,61. 由201110100100=⋅⎰dx x x ，202110101100=⋅⎰dx x x ，203110101101=⋅⎰dx x x ，1031102100=⋅⎰dx x x ，1041102101=⋅⎰dx x x 可知， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡104110312031202120212011b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≈⨯⨯⨯-=≈⨯⨯⨯=148.37510310420320298243.37510410320220199b a ，即正在2ϕ上为()148.375,243.375-.22、x x f =)(正在[]1,1-上，供正在{}421,,1x x span =ϕ上的最佳仄圆迫近.[解]由1100111=+-=⎰⎰⎰--xdx xdx dx x ，2113013112=+-=⎰⎰⎰--dx x dx x dx x x ，。
李庆扬 数值分析第五版第7章习题答案20130824
复习与思考题1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系?P213，若f(x)€C［a,b］且f(a)f(b) c O，根据连续函数性质可知f(x) = O在［a,b］内至少有一个实根，这时称［a,b］为f(x)=O的有根区间。
2.什么是二分法？用二分法求f(x)=O的根，f要满足什么条件?P213般地，对于函数f(x)=O如果存在实数C,当x=c时，若f(c)=O,那么把x=c叫做函数f(x)=O的零点。
解方程即要求f(X)=0的所有零点。
假定f(X)=0在区间(X, y)上连续, 先找到a、b属于区间(x，y)，使f(a)f(b) cO，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f((a + b)/2)，现在假设f(a) <O, f(b) AO,acb果f((a + b)/2)=O，该点就是零点，如果f((a + b)/2)< O则在区间［(a + b)/2),b］内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。
如果f((a + b)/2) AO，则在区间［a,(a+b)/2)］内有零点，从①开始继续使用中点函数值判断。
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。
3.什么是函数W(x) =O的不动点？如何确定®(x)使它的不动点等价于f(x)的零点P 215.将方程f(x)=O改写成等价的形式x=W(x)，若要求X*满足f(x*) = O,贝y x*=W(x*)；反之亦然，称x*为函数申(x)的一个不动点。
4.什么是不动点迭代法？申(X)满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于④(X)的不动点P 215求f(x)=0的零点就等价于求W (x)的不动点，选择一个初始近似值x0，将它代入x N (x) 的右端，可求得X i =9(X 0)，如此反复迭代有 Xk+ =^(X k ),k =0,1,2,..., ®(x)称为迭代函数，如果对任何x^<^[a,b]，由兀屮=w (x k ),k =0,1,2,...得到的序列 {xk }有极限kim X k =x* ，则称迭代方程收敛，且X* =^(x*)为甲(X)的不动点，故称Xk+ =®(X k ),k =0,1,2,...为不动点迭代法。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)(OCR)
根是ｘ，，２…，ｘ－，且Ｖ。ｘ，ｘ…·，ｘ）＝Ｖ，Ｃｘ６，ｘ…·）（ｘ－ｘ）…（ｘ－ｘ）。
Ｖ，（ｘｏ，ｘ，…ｘ－ｘ）＝１１】 －ｘ，）用ａ－ｘ，）
［证明］由
可得求证。
＝Ｖ，（Ｃｘ８，ｘ，…，ｘＸ））１１（ｘ－ｘ）
２、当ｘ＝１－１，２时，ｆ（ｘ）＝０，－３．４，求ｆ（ｘ）的二次插值多项式。
Ｌ，（ｘ）＝ｙ％（（ｘｘ６－－ｘｘ，）（（ｘｘ－２ｘ－ｘ２２））
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｆ０．５）＝－０．６９３１４７，ｙ２＝ｆ（ｘ）＝ｆ（０．６）＝－０．５１０８２６，则
Ｌ２（ｘ）＝ｙ。 （ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ６－ｘ）ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）
（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ２）
（ｘ－ｘｏ）（ｘ－ｘ） （ｘ２－ｘｏ）（ｘ２－ｘ）
＝－０．９１６２９１×．（０（．ｘ４－０－．０５．）５（）ｘ（－００．．６４）－０．６－．
３０—＋２—９．ｘ９５８３ｘ３１￣０２＇＝０．８３３６×１０４
１４、试用消元法解方程ｘ组１＋１０＂ｘ＝１００
ｘ＋ｘ２＝２
，假定只有三位数计算，问结果是否
可靠？
［解］精确解为ｘ１＝０１００－＊１ １０＂－２ ，当使用三位数运 算时，得到
ｘ ＝１，ｘ２＝１，结果可靠。
１５、已知三角形面积ｓ＝ｓ去＝ ａｂｓｉｎｃ，其中ｃ为弧度，０＜ｃ＜ 且测量ａ，ｂ，ｃ
位有效数字；ｘ＝５６．４３０有５位有效数字；ｘ＝７×１０有２位有效数字。 ４、利用公式（３．３）求下列各近似值的误差限，其中ｘ，ｘ；，ｘ，ｘ；均为第３题所给
的数。
（１）ｘ＋ｘ２＋ｘ：
ｅ（ｘ＋ｘ写＋ｘ）＝＞
［解］
Ｅ（ｘ）＝Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ）＋Ｅ（ｘ；）
３＋ｔｘ１０＝１．０５×１０３
（２）ｘｘｘ；
第五版李庆扬数值分析习题答案
1 2 gt ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有 0.1 秒的误差，证明当 t 增 2 加时 S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 1 解： S gt 2 , t 0 2
10．设 S
( S * ) g 2t (t * )
当 t * 增加时， S * 的绝对误差增加
解：
1
1 2 1 * ( x2 ) 10 3 2 1 * ( x3 ) 10 1 2 1 * ( x4 ) 10 3 2 1 * ( x5 ) 10 1 2
( x1* ) 104
* * * (1) ( x1 x2 x4 ) * * * ( x1 ) ( x2 ) ( x4 )
1 1 1 104 103 103 2 2 2 3 1.05 10
* * * (2) ( x1 x2 x3 ) * * * * * * * * * x1 x2 ( x3 ) x2 x3 ( x1 ) x1 x3 ( x2 )
1 1 1 1.1021 0.031 101 0.031 385.6 104 1.1021 385.6 103 2 2 2 0.215
第一章 绪论 1．设 x 0 , x 的相对误差为 ，求 ln x 的误差。 e * x * x * 解：近似值 x* 的相对误差为 = er x* x* 1 而 ln x 的误差为 e ln x * ln x * ln x e* x* 进而有 (ln x*) 2．设 x 的相对误差为 2%，求 x n 的相对误差。 解：设 f ( x) x n ，则函数的条件数为 C p |
则 f (30) ln(30 899) 此时，
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*11.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
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第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
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答：错误， 可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则||A||1= ||A||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
答：错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？A要满足什么条件？
答：高斯消去法实质上产生了一个将 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。
（1）就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，并写出算法
（2）计算解三角方程组 的乘除法次数
（3）设 为非奇异矩阵，试推导求 的计算公式
本题考查求解公式的一般方法，可从第n个元素开始，逐步计算n-1,…1时对应的求解公式。
解法，略。
6、证明：
（1）如果 是对称正定矩阵，则 也是对称正定矩阵
（2）如果 是对称正定矩阵，则 可以唯一地写成 ，其中 是具有正对角元的下三角矩阵
（5）矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
（1）、（2）
注：矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小，不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确：
（1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。
答：错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。
（2）对称正定的线性方程组总是良态的。
第5章
复习与思考题
1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？
答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现 的情况，这时消去法无法进行；即时主元素 ，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。
均是对称正定矩阵的性质。应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
并求出系数矩阵A的行列式的值
使用列主元消去法，有
A的行列式为-66
方程组的解为
X1=1,x2=2,x3=3
8、用直接三角分解（Doolittle分解）求线性方程组的解
本题考查LU分解。
解：
9、用追赶法解三对角方程组 ，其中
， 。
解：追赶法实际为LU分解的特殊形式。设U为、单位上三角矩阵。有
齐次条件
三角不等式
相容条件矩阵的算子范Fra bibliotek有从定义可知， 更容易计算。
8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？
答：设 为非奇异阵，称数 （ ）为矩阵A的条件数
当 时，方程是病态的。
9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？
（1）矩阵行列式的值很小。
（2）矩阵的范数小。
（3）矩阵的范数大。
（4）矩阵的条件数小。
（1）计算 的递推公式
（2）解Ly=f
（3）解UX=y
10、用改进的平方根法解方程组
。
本题明确要求使用平方根法进行求解。实际考查的LDU分解。见P157
。
11、下列矩阵能否分解为 （其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一。
， ， 。
LU分解存在的条件
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩阵（或U矩阵）为单位三角矩阵，那么分解是唯一的。同理可知，矩阵的LDU可分解条件也相同，并且总是唯一的。
齐次性
三角不等式
设 为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）
7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A =(ai j)的三种范数||A||1，||A||2，||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？
向量范数定义见p162，需要满足四个条件。
正定条件
证明：
设对称矩阵 ，则经过1次高斯校区法后，有
所以
所以A2为对称矩阵。
2、设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为 ，其中 ， ；
证明：（1）A的对角元素 ；（2） 是对称正定矩阵；
（1）依次取 ，则因为A是对称正定矩阵，所以有 。
（2） 中的元素满足 ，又因为A是对称正定矩阵，满足 ，所以 ，即 是对称矩阵。
用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，…，n-1）不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？
楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？
具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？
对角占优的三对角方程组
6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53，符合3个运算法则。
正定性
答：正确。
（3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
答：正确。
（4）如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。
答：正确。解释：若A|b与A的秩相同，则A有唯一解。若不同，则A无解。
（5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。
（6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。
答：正确。
即使矩阵不可逆，LU仍然可能存在。实际上，如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。
3、设 为指标为 的初等下三角矩阵（除第 列对角元以下元素外， 和单位阵 相同），即
求证当 时， 也是一个指标为k的初等下三角矩阵，其中 为初等置换矩阵。
4、试推导矩阵 的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。
本题不推导。参见书上例题。P147页。
5、设 ，其中 为三角矩阵。
答：错误。对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）||A||1= ||AT||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（12）若A是nn的非奇异矩阵，则
。
答：正确。A是nn的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。
根据条件数的定义有：
习题
1、设A是对称阵且 ，经过高斯消去法一步后，A约化为 ，证明 是对称矩阵。