测量平差第02章A
测量平差知识大全
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
测量平差基础参考资料
第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。
第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。
重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
《测量平差》学习辅导
《测量平差》学习辅导第一章测量平差及其传播定律一、学习要点（一）内容：测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其传播规律。
（二）基本要求：1．了解测量平差研究的对象和内容；2．掌握偶然误差的四个概率特性；3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律；4．了解权的定义与常用的定权方法；5．掌握协方差传播率。
（三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。
（四）难点：协方差、协因数传播率二、复习题（一）名词解释1．偶然误差2．系统误差3．精度4．单位权中误差（二）问答题1．偶然误差有哪几个概率特性?2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些?（三）计算题σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，dσ。
σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s三、复习题参考答案 （一）名词解释1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。
2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。
3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。
4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。
（二）问答题1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。
2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ，则定义：22ip σσ=，称为观测值L i 的权。
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
测量平差复习资料
PLL
Q1 LL
P Q LL LL E
a、当L相互独立时；
b、当L不相互独立时
注：权、权阵、协因数阵的概念 权阵P与权Pｉ是两个不同的概念： 1、当P为对角阵时，P中对角线元素恰为权Pｉ； 2、当P不是对角阵时，P中对角线元素不等于权Pｉ
side10
例1：
L
( L1 ,
L2
)T
,
QLL
side22
基础方程和它的解
数学模型
A W 0 W F (L)
D
02Q
2 0
P
1
V T PV 最小
A V W 0
rn n1 r1
V QAT K
A V W 0
rn n1 r1
K ( AQAT )1W Naa1W
法方程式
side23
side25
五、附加参数的条件平差
基础方程：
A V B x W 0
cn n1 cu u1 c1
V T PV 最小
法方程式： AQAT K B xW 0 BT K 0
side26
算例6
在下图所示测角网中，A、B、C 为待定点，同精度观测了 L1、L2、 L3和 L4共四个角度观测值。设平差后BAC 为参数 Xˆ ，指出采用何 种平差模型，并写出函数模型和法方程。
以上项：
side19
算例4：
下图所示三角网中，A,B 为已知点，FG 为已知边，观测角 Li （i 1,2, ,20），观测边 S j （ j 1, 2），则 ①在对该网平差时，共有几种条件？每种条件各有几个？ ②用文字符号列出全部条件方程，将其中的一个极条件和一个 边长条件线性化。
中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第二章课件 平差数学模型与最小二
(2-1-3)
(2-1-4)
由此可见，每增加一个多余观测，在它们中间就 必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少 个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种 函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
综上所述，由于有了多余观测，必然产生条件方 程，但由于观测不可避免地含有误差，故观测值之 间必然不能满足理论上的条件方程，即：
转折角度观测值 β1 = 85˚30′ 21.1″ β2 = 254˚32′ 32.2″ β3 = 131˚04′ 33.3″ β4 = 272˚20′ 20.2″ β5 = 244˚18′ 30.0″
解： 未知导线点个数n – 1 = 3，导线边数n = 4，观测角 个数n + 1 = 5 近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表 3-2中 表3-3
0 0 0 1 1 1 1 1 0 A 0.3868 0.7857 0.0499 0.9959 1.8479 1.1887 0.7614 0.0857 0 0.9221 0.6186 0.9988 0.0906 1.2502 1.5267 0.9840 0.9417 0
一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任 何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测 元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。在上 述⑵情况中，任意三个必要观测元素，如 L1、L2、S1 之间，其中 S 1 不可能表达成 L1、L2 的函数，除非再 增加其它的量。这些彼此不存在函数关系的量称为 函数独立量，简称独立量。 在测量工作中，为了求得一个几何模型中的几何 量大小，就必须进行观测，但并不是对模型中的所 有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测 n个，当观测值个数小于必要观测个数，即n<t,显然 无法确定模型的解；
测量平差基础名词解释
第一章1、观测误差产生的原因很多，概括起有以下三种：测量仪器（感觉器官的局限、技术水平、工作态度）、观测者（具有一定限度的准确度）、外界条件（温度、湿度、风力、大气折光等）。
2、偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差,也叫随机误差。
采取措施：处理带有偶然误差的观测值，就是本课程的内容，也叫做测量平差。
3、系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出一致性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，这种误差就称为系统误差。
消除或削弱的方法：采取合理的操作程序（正、倒镜，中间法，对向观测等）；用公式改正，即加改正数。
4、粗差：粗差即粗大误差，或者说是一种大量级的观测误差，是由于测量过程中的差错造成的。
发现、剔除粗差的方法：进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的检核、验算等，发现后舍弃或重测。
5、测量平差两大任务：（1）、求平差值（求未知量的最佳估值）；（2）、精度评定（评定测量成果精度）。
6、测量平差第二章7、8、9、真值：任一观测量，客观上总是存在一个能代表其真正大小的数值，这一数值就称为该观测值真值10、真误差：真值与观测值之差11、残差（改正数）：改正数（V）= 平差值（） - 观测值（）12、偶然误差的四个统计特性：（1）一定观测条件下，误差绝对值有一定限值（有限性）；（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现概率大（渐降性）；（3）绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）；（4）偶然误差的数学期望为零（抵偿性）13、平均误差：在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望，称为平均误差14、或然误差：误差出现在（- ρ ，+ ρ ）之间的概率等于1/2，即15、极限误差：通常将三倍（或两倍）的中误差作为极限误差，即16、相对中误差的定义是：中误差与观测值之比，即17、精度：是指误差分布的密集或离散程度，即：L与E（L）接近程度。
测量平差基础(修改)
cm1
cm2
cmn
将其行列互换，得到一个nm阶矩阵，称为C的转置。
用：
c11 c21 cn1
CT c12
c22
cn
2
nm
c1n
c2n
cnm
矩阵转置的性质：
(1)C DT ,则：D CT (2)( AT )T A (3)( A B)T AT BT (4)(kA)T kAT (5)( AB)T BT AT
L3=180°－L1－L2
L1
（2）观测了三角形三内角L1、L2、L3， 由于有误差，一般情况下：
L1+L2+L3≠180°
L2
存在闭合差（观测值与理论值之差）
L3
w=L1+L2+L3－180°
出现了三角形三内角观测值之和不等于
180°的矛盾。
那么，这些观测值之间的矛盾是怎么产生的呢？我们又如何 来解决这些矛盾呢？
（6）若 AT A 则A为对称矩阵。
三、矩阵的逆
给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵 B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。 记为：
B A1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件是A的 行列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否 则为奇异矩阵
矩阵的逆的性质
(1)( AB)1 B1A1 (2)( A1)1 A
2．提出了相关平差 3．产生了顾及随机参数的最小二乘方法即最小二乘滤 波，
推估和配置。 4．形成了秩亏自由网平差理论 5．出现后验定权方法，形成了方差－协方差估计理论。 6．展开了对系统误差特性、传播、检验、分析的理论研究。 7．展开了数据探测法和可靠性理论的研究，提出了稳健估
误差理论与测量平差(山东联盟)智慧树知到答案章节测试2023年山东建筑大学
第一章测试1.误差是不可避免的。
A:对B:错答案:A2.构成观测条件的要素有哪些A:外界条件B:计算工具C:观测者D:测量仪器答案:ACD3.对中误差属于那种误差A:系统误差B:偶然误差C:不是误差D:粗差答案:B第二章测试1.两随机变量的协方差等于0时，说明这两个随机变量A:相关B:互不相关C:相互独立答案:B2.观测量的数学期望就是它的真值A:错B:对答案:A3.衡量系统误差大小的指标为A:精确度B:准确度C:不确定度D:精度答案:B4.精度是指误差分布的密集或离散程度，即离散度的大小。
A:错B:对答案:B5.若两观测值的中误差相同，则它们的A:测量仪器相同B:真误差相同C:观测值相同D:精度相同答案:D第三章测试1.设L的权为1，则乘积4L的权P=（）。
A:1/4B:4C:1/16D:16答案:C2.有一角度测20测回，得中误差±0.42秒，如果要使其中误差为±0.28秒，则还需增加的测回数N=（）。
A:25B:45C:20D:5答案:A3.在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1cm，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm，问可以设25站。
A:对B:错答案:A4.已知距离AB=100m，丈量一次的权为2，丈量4次平均值的中误差为2cm，若以同样的精度丈量CD的距离16次，CD=400m，则两距离丈量结果的相对中误差分别为（ 1/5000 ）、（1/20000 ）。
A:错B:对答案:B5.A:29B:35C:5D:25答案:D第四章测试1.当观测值为正态随机变量时，最小二乘估计可由最大似然估计导出。
A:对B:错答案:A2.多余观测产生的平差数学模型，都不可能直接获得唯一解。
A:对B:错答案:A3.在平差函数模型中，n、t、r、u、s、c等字母各代表什么量？它们之间有何关系？( n观测值的个数 )(t必要观测数 )(r多余观测数,r=n-t )(u所选参数的个数 )( s非独立参数的个数,s=u-t )( c所列方程的个数,c=r+u )A:对B:错答案:A4.A:对B:错答案:A5.A:错B:对答案:B第五章测试1.关于条件平差中条件方程的说法正确的是：A: 这r个条件方程应彼此线性无关B: 应列出r个条件方程C: r个线性无关的条件方程必定是唯一确定的，不可能有其它组合。
(整理)测量平差习题集
第二部分 自测题第一章 自测题一、判断题（每题2分，共20分）1、 通过平差可以消除误差，从而消除观测值之间的矛盾。
（ ）2、 观测值i L 与其偶然真误差i ∆必定等精度。
（ ）3、 测量条件相同，观测值的精度相同，它们的中误差、真误差也相同。
（ ）4、 或然误差为最或然值与观测值之差。
（ ）5、 若X 、Y 向量的维数相同，则YX XY Q Q =。
（ ）6、 最小二乘原理要求观测值必须服从正态分布。
（ ）7、 若真误差向量的数学期望为0，即0=∆)(E ，则表示观测值中仅含偶然误差。
（ ） 8、 单位权中误差变化，但权比及中误差均不变。
（ ） 9、 权或权倒数可以有单位。
（ ）10、相关观测值权逆阵Q 的对角线元素ii Q 与权阵P 的对角线元素ii P 之间的关系为1=ii ii P Q 。
（ ）二、填空题（每空0.5分，共20分）1、测量平差就是在 基础上，依据 原则，对观测值进行合理的调整，即分别给以适当的 ，使矛盾消除，从而得到一组最可靠的结果，并进行 。
2、测量条件包括 、 、 和 ，由于测量条件的不可能绝对理想，使得一切测量结果必然含有 。
3、测量误差定义为 ，按其性质可分为 、 和 。
经典测量平差主要研究的是 误差。
4、偶然误差服从 分布，它的概率特性为 、 和 。
仅含偶然误差的观测值线性函数服从 分布。
5、最优估计量应具有的性质为 、 和 。
若模型为线性模型，则所得最优估计量称为 ，最优估计量主要针对观测值中仅含 误差而言。
要证明某估计量为最优估计量，只需证明其满足 性和 性即可。
6、限差是 的最大误差限，它的概率依据是 ，测量上常用于制定 的误差限。
7、若已知观测值向量L 或其偶然真误差向量∆的协方差阵为∑，则L 或∆的权阵定义为L P =∆P = ，由于验前精度∑难以精确求得，实用中定权公式有 、 、，特别是对独立等精度观测向量L 而言，其权阵可简单取为L P = 。
8、已知真误差向量1⨯∆n 及其权阵P ，则单位权中误差公式为 ，当权阵P 为 此公式变为中误差公式。
测量平差习题参考答案
第一章 习题参考答案 1题.略2题.解 (1)222194σσ+（2）2221212219)3(σσL L L +-(3) 222212211212212211211")(cos )sin(sin ")(cos )sin(sin )cos(cos σρσρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++L L L L L L L L L L L L L 3题. 解TT TLL XY LL YL LL XL B A AD D BAD D AD D ===,,4题.解 设路线总长S 公里，按照测量学上的附合路线计算步骤，则路线闭合差B A h H h h H f -++=21由于是路线中点，故()B A h H h h H f v v -++-===21212121 则线路中点高程()()B A B A B A A A H H h h H H h h H h h H h H v h H H ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=-++-+=-+=2121212121212121ˆ212121111中点设每公里高差观测中误差为0σ，则021)2/(σσσs h h ==按误差传播定律)(16,10425)52/(41)52/(41)2/(41)2/(414141212100212122220202222ˆ21121km S S s s s s h h h h H ≤≤=⋅⨯+⋅⨯=⨯+⨯=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=σσσσσσσ中点5.解 设每个测回的中误差为0σ，需要再增加n 个测回，则)2(2028.0,28.020)1(2042.0,42.0200000+±=±=+±=±=n n σσσσ由上式可解出n.即252023202028.042.020222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⨯=n 再增加25个测回6题.解[][][][][][][][][]][][][,100010001...,...)...(2121211212122111⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎣⎡⎥⎦⎤=+++==p p p p p p p p p P p P p P p Q L L L P p P p P p L p L p L p x n n n p xx n n n n p p pL x][][][][][][p p p p p p p p p p p p p p p nnn⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=1 (1)12221117题。
测量平差资料
测量平差资料第⼀章绪论⼀、观测误差1、为什么要进⾏观测必要观测、多余观测2、误差存在的现象3、误差产⽣的原因观测条件：观测仪器、观测者、外界条件4、误差的分类粗差、系统误差、偶然误差5、误差的处理办法⼆、测量平差的简史和发展三、测量平差的两⼤任务及本课程的主要内容第⼆章误差分布与精度指标⼀、偶然误差的规律性1、随机变量2、偶然误差的分布正态分布3、偶然误差的统计特性由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性：1、在⼀定的观测条件下，偶然误差的绝对值有⼀定的限值，即超过⼀定限值的偶然误差出现的概率为零；2、绝对值较⼩的偶然误差⽐绝对值较⼤的偶然误差出现的概率⼤；3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；4、偶然误差的理论平均值为零⼆、随机变量的数字特征（1）反映随机变量集中位置的数字特征---数学期望（2）反映随机变量偏离集中位置的离散程度----⽅差（3）映两两随机变量x、y相关程度的数字特征---协⽅差3、协⽅差(a) 定义相关系数三、衡量精度的指标1、⽅差和中误差2、平均误差3、或然误差4、极限误差5、相对（中、真、极限）误差四、随机向量的数字特征1、随机向量2、随机向量的数学期望3、随机向量的⽅差-协⽅差阵协⽅差阵的定义协⽅差阵的特点4、互协⽅差阵协⽅差阵的定义协⽅差阵的特点五、精度准确度精确度观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的⼤⼩。
1、精度：描述偶然误差，可从分布曲线的陡峭程度看出精度的⾼低。
2、准确度：描述系统误差和粗差，可⽤观测值的真值与观测值的数学期望之差来描述，即：3、精确度：描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可⽤观测值的均⽅误差来描述，即：即观测值中只存在偶然误差时，均⽅误差就等于⽅差，此时精确度就是精度。
七、⼩结第三章协⽅差传播律⼏个概念1、直接观测量2、⾮直接观测量---观测值的函数⽔准测量导线测量三⾓形内⾓平差值3、独⽴观测值4、⾮独⽴观测值----相关观测值独⽴观测值各个函数之间不⼀定独⽴5、误差传播律6、协⽅差传播律⼀、观测值线性函数的⽅差设观测向量L及其期望和⽅差为：若观测向量的多个线性函数为三、两个函数的互协⽅差阵四、⾮线性函数的情况五、多个观测向量⾮线性函数的⽅差—协⽅差矩阵设观测向量的t个⾮线性函数为：对上式求全微分，得六、协⽅差传播律的应⽤1、⽔准测量的精度2、距离丈量的精度3、同精度独⽴观测值算术平均值的精度七、应⽤协⽅差传播律时应注意的问题（1）根据测量实际，正确地列出函数式；（2）全微分所列函数式，并⽤观测值计算偏导数值；（3）计算时注意各项的单位要统⼀；（4）将微分关系写成矩阵形式；（5）直接应⽤协⽅差传播律，得出所求问题的⽅差-协⽅差矩阵。
测量平差课后习题答案
3L1L2 （3） x
sin L1 cos(L1 L2 )
解：（1）因L1、L2是独立观测值，则
2 x
4m12
9m22
x 4m12 9m22 （2）对此函数式进行全微分，得：
dx (L1 3L2 )dL1 3L1dL2
2 x
(L1
3L2) 2m12
9L12m22
x (L1 3L2 ) 2m12 9L12m22
BDXX
BDXL
O I
BDXL
BADLL
习题
（3） Y BAL, X AL
DXY ADLL (BA)T ADLL AT BT
或
Y BX B
O
X L
X O
A
X L
，
DXY O
A
DXX DLX
DXL DLL
BT O
ADLX
ADLL
BT O
ADLX BT
ADLL AT BT
或 Y BX, X IX
L2 L2 )
)
dL2
2 x
cos2 cos4 (L1
L2 L2 )
m12
sin2 L1 sin2 (L1 L2 ) cos4 (L1 L2 )
m22
x
cos2 cos4 (L1
L2 L2 )
m12
sin2 L1 sin2 (L1 L2 ) cos4(L1 L2)
m22
习题
1.3 已知观测值L及其协方差阵DLL ，组成函数 X AL 和Y BX，A、B为常数阵， 求协方差阵 DXL 、DYL 和 DXY 。
DXY ID XX BT DXX BT
而 DXX ADLL AT
所以 DXY DXX BT ADLL AT BT
测量平差理论及在检测中的应用
测量平差理论及在检测中的应用
测量平差理论是测量学中的重要理论体系，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍测量平差理论的基本原理以及其在检测中的应用。
测量平差是一种通过多次测量数据的处理和分析，消除误差和提高测量精度的方法。
它的基本原理是通过对测量数据进行加权处理，使之满足最小二乘原则，从而得到最优的测量结果。
在测量平差中，常用的方法有最小二乘法、最小二乘平差法、最小二乘递推平差法等。
测量平差理论在检测中有着广泛的应用。
首先，在工程测量中，测量平差可以用于调整测量仪器的误差，提高测量结果的准确性。
例如，在建筑工程中，通过对多次测量数据进行平差处理，可以得到更加精确的地面高程、坐标等信息，为工程施工提供准确的数据基础。
其次，在科学研究中，测量平差也是不可或缺的工具。
科学实验中，测量数据往往受到多种误差的影响，通过测量平差可以有效地减小误差，并提高实验结果的可靠性。
例如，地质学家在进行地质勘探时，通过对多次测量数据进行平差处理，可以得到更加准确的地层厚度、地下水位等信息，为地质研究提供有力的支持。
此外，在制造业中，测量平差也被广泛应用于质量控制和品质检测。
通过对产品尺寸、形状等特征进行测量，并对测量数据进行平差处理，可以及时发现产品的偏差和缺陷，从而保证产品质量和制造精度。
总之，测量平差理论在检测中具有重要的应用价值。
它不仅可以提高测量结果的准确性和可靠性，还可以为工程建设、科学研究和制造业提供有效的技术支持。
因此，学习和掌握测量平差理论，对于提高测量技术水平和推动相关领域的发展具有重要意义。
测量平差复习题
《测量平差》复习题第一章：绪论1、什么是观测量的真值任何观测量，客观上总存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。
2、什么是观测误差观测量的真值与观测值的差称为观测误差。
3、什么是观测条件仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。
4、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为哪几类根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。
5、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。
6、观测条件与观测质量之间的关系是什么观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。
7、怎样消除或削弱系统误差的影响一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。
8、测量平差的任务是什么⑴求观测值的最或是值（平差值）；⑵评定观测值及平差值的精度。
第二章：误差理论与平差原则1、描述偶然误差分布常用的三种方法是什么⑴列表法；⑵绘图法；⑶密度函数法。
2、偶然误差具有哪些统计特性(1) 有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。
(2) 聚中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。
(3) 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等。
(4) 抵偿性：偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0。
3、由偶然误差特性引出的两个测量依据是什么⑴制定测量限差的依据；⑵判断系统误差(粗差)的依据。
4、什么叫精度精度指的是误差分布的密集或离散的程度。
5、观测量的精度指标有哪些(1) 方差与中误差；(2) 极限误差；(3) 相对误差。
6、极限误差是怎样定义的在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。
通常取三倍中误差为极限误差。
当观测要求较严时，也可取两倍中误差为极限误差。
7、误差传播律是用来解决什么问题的误差传播律是用来求观测值函数的中误差。
8、应用误差传播律的实际步骤是什么(1) 根据具体测量问题，分析写出函数表达式；(2) 根据函数表达式写出真误差关系式；(3) 将真误差关系式转换成中误差关系式。
测量平差第02章A
础上，经过全国天文大地网整体平差建立了我国旳大地坐标系，该 坐标系采用1975年IUGG/IAG第16届大会推荐旳地球椭球参数(长半 径a=6378140m，扁率倒数1/f=298.257，及动力形状因子、地心引 力常数、自转角速度等数据);椭球短轴平行于由地球质心指向 1968.0地极原点(JYP)旳方向，首子午面平行于格林尼治天文台旳
我国要求在1:1万—1:25万地图上必须绘出方里网，其方里网密 度如表3—4。
③邻带坐标网：因为高斯-克吕格投影旳经线是向本投影带中央
经线收敛旳，过每一种点旳经线方向和坐标线构成一定旳夹角，这 个夹角随纬度和经差旳不同而变化(如图3—7a中经线与坐标线旳夹 角随纬度增高而加大)。当处于相邻两带旳相邻图幅拼接使用时， 两图图面上绘出旳直角坐标网就不能统一相接，而形成一种折角 (图3—7b)，这就给拼接使用地图带来不便。例如，欲量算位于相 邻两带旳两图幅上A、B两点旳距离和方位，在坐标网不统一时就 不可能。
因为高斯-克吕格投影每一种投影带旳坐标都是对本 带坐标原点旳相对值。所以，各带旳坐标完全相同。使用 时，只需在横坐标(通用值)之前加上带号即可。所以，计 算一种带旳坐标值，制成表格，就可供查取各投影带旳坐 标时使用。
四、坐 标 网
为了制作地图和使用地图以便，一般在地图上都绘有一种或两种 坐标网，即经纬线网和方里网。
高斯-克吕格投影旳基本条件为：
①中央经线(椭圆柱和椭球体旳切线)旳投影为直线，而且是投影旳 对称轴；
②投影后没有角度变形，即同一地点各方向旳长度比不变(或两微 分线段所构成旳角度在投影中保持不变)；
③中央经线上没有长度变形。
根据上述三个条件，即可导出高斯-克吕格投影旳直角坐标基本公
平差易2002平差高程步骤
平差易2002平差高程步骤平差是测量中的一种方法，用于对测量结果进行调整和校正，以提高测量精度和准确性。
平差高程是一种地理测量的方法，用于确定地球表面上各点的高程值。
平差高程步骤如下：1.数据采集：首先要收集采集高程数据的原始测量数据。
这通常包括GNSS测量、水准测量、重力测量等。
这些数据通常以数字形式存储，可以直接导入计算机进行处理。
2.数据筛选和处理：对采集的数据进行筛选和处理，去除异常值和误差。
这可以通过观测文件进行分析，检查和排除测量误差。
3.数据拟合：使用合适的数学模型将原始测量数据进行拟合。
这可以是简单的线性拟合，也可以是更复杂的曲线拟合。
拟合过程会产生拟合参数和残差。
4.生成观测矩阵：将拟合得到的参数和残差表示为一个观测矩阵。
观测矩阵是一个矩阵，其中每个元素对应一个观测值。
观测矩阵包括真实值、测量值、参数值和残差。
5.权矩阵的确定：根据测量误差和测量精度的不同，确定权矩阵。
权矩阵反映了不同观测值的权重，可以根据测量精度进行调整。
6.构建平差方程：根据观测矩阵和权矩阵，利用最小二乘法构建平差方程。
平差方程是用来求解未知参数的方程组。
7.求解未知参数：通过求解平差方程，可以得到未知参数的估计值。
这些参数代表了地球表面上各点的高程。
8.残差检查：利用求解得到的未知参数，计算残差。
残差是观测值与拟合值之间的差异。
通过检查残差，可以评估平差结果的精度和准确性。
9.结果评定与分析：对平差结果进行评定与分析，检查是否满足测量要求和误差限制。
如果不满足要求，可以对数据进行再处理或调整平差参数。
10.结果输出：将平差结果输出为高程表、高程图或数字高程模型等形式。
这些结果可以用于地理信息系统（GIS）、空间分析和测绘等应用中。
平差高程步骤是对测量数据进行调整和校正的过程，通过以上步骤可以提高高程数据的精度和准确性，为地理测量和地理信息应用提供可靠的数据基础。
测绘学概论 第二讲 观测误差与测量平差
精品课件
观测误差
➢误差的概念:日常生活中经常遇到的:如量距、量身高、 称体重，几次的结果一定不完全相同，几次之间就存 在有误差。
➢误差的表现形式： • 重复观测值之间存在差异 • 实际观测值不满足应有的理论关系，如三角形 ➢观测误差产生的原因： • 仪器误差 • 人为误差 • 外界条件误差 ➢观测误差的分类
观测误差分类
➢粗差
•即粗大误差，是指比在正常观测条件下所可能出现的最大 误差还要大的误差；
•现代数据采集的高自动化，数据量的海量化，使得粗差问 题在现今的高新测量技术（GPS、GIS、RS）中尤为突出。
✓观测时大数读错；
✓计算机输入数据错误；
✓航测相片判读错误；
✓模拟信号向数字信号转换错误；
注意：粗差的控制和识别研究已成为数据处理中重要的研
P(X=1)=1/2
精品课件
观测误差分类
➢系统误差
•误差在大小和符号上都表现出系统性，或者在观测过程中 按一定的规律变化，或者为一常数。 ✓量距时尺长不准确； ✓测距时一次测不完； ✓GPS观测中不同子网，由于观测仪器不同，所用星历不同、 基线解算软件不同
精品课件
系统误差
•系统误差对观测结果有何影响？→累积性
偶然误差；系统误差；粗差
精品课件
测量误差（观测误差）
➢测距：往返测不等
LL
➢测角：盘左L，盘右R LR180 00
精密工程测量平差软件使用手册范本
精密工程测量平差软件使用手册范本(总28页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--客运专线CPIII一体化测量系统精密工程测量平差软件TSDI_HRSADJ（版）铁道第三勘测集团The Third Railway Survey And Design Institute Group Corporation目录第一章软件安装.......................................... 错误!未定义书签。
软件的运行环境 ................................... 错误!未定义书签。
软件的安装........................................... 错误!未定义书签。
第二章软件操作.......................................... 错误!未定义书签。
数据文件格式定义................ 错误!未定义书签。
工程基本设置................... 错误!未定义书签。
读入数据....................... 错误!未定义书签。
平差计算....................... 错误!未定义书签。
成果输出与查看................. 错误!未定义书签。
网图显示....................... 错误!未定义书签。
工具........................... 错误!未定义书签。
第三章疑难解答.................... 错误!未定义书签。
平面网平差计算步骤............. 错误!未定义书签。
平面网平差迭代计算............. 错误!未定义书签。
如何快速检查数据的错误......... 错误!未定义书签。
第四章附录........................ 错误!未定义书签。
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通用横轴墨卡托(Universal Transverse Mercator, UTM) 通用横轴墨卡托 投影：高斯投影在中央子午线上乘以比例因子0.9996. 投影：高斯投影在中央子午线上乘以比例因子 高斯投影为等角横轴切椭圆柱投影
也称横轴墨卡托(Transverse Mercator, TM) 也称横轴墨卡托 投影
东半球的30个投影带，是从0°起算往东划分，即东经0° ° 东半球的 个投影带，是从 °起算往东划分，即东经 °--6°， 个投影带 6°--12° ， ……174°--180° ， 用阿拉伯数字 予以标记， ° ° ° ° 用阿拉伯数字1--30予以标记， 各 予以标记 投影带的中央经线位置可用(3—4)式计算 式中 为投影带带号 ： 式计算(式中 为投影带带号)： 投影带的中央经线位置可用 式计算 式中n为投影带带号 L0 = ( 6 n - 3 )° ° (3—4)
我国领土位于东经72° 个投影带， 我国领土位于东经 °--136°之间，共包括 个投影带，即 °之间，共包括11个投影带 13—23带，各带的中央经线分别为 °，81°……135°(图3—5)。 带 各带的中央经线分别为75° ° °图 。
算起， ②3°分带法：从东经 °30‘算起，每3°为一带，将全球 °分带法：从东经1° 算起 °为一带， 划分为120 个投影带 ， 即东经 °30’--4°30‘ ， 4°30'-即东经1° 划分为 ° ° 7°30'，……，东经 西经178°30'，……，西经 ° ， ，东经178°30'西经 ° 西经 ° ， ， 1°30'至东经 °30'。其中央经线的位置分别为 °，6°， 至东经1° 。其中央经线的位置分别为3° ° 至东经 ° 9°，……，180°，西经 ° ， ° 西经177°，……，3°，0°。这样 ° ， ° ° 分带的目的在于使6° 带的中央经线均为3° 分带的目的在于使 ° 带的中央经线均为 ° 带的中央经 线。即3°带中有半数的中央经线同 °带重合，在从 ° °带中有半数的中央经线同6°带重合，在从3° 带转换成6°带时，可以直接转用，不需任何计算。 带转换成 °带时，可以直接转用，不需任何计算。 由于高斯由于高斯 - 克吕格投影每一个投影带的坐标都是对本 带坐标原点的相对值。所以，各带的坐标完全相同。 带坐标原点的相对值。所以，各带的坐标完全相同。使用 只需在横坐标(通用值 之前加上带号即可。因此， 通用值)之前加上带号即可 时，只需在横坐标 通用值 之前加上带号即可。因此，计 算一个带的坐标值，制成表格， 算一个带的坐标值，制成表格，就可供查取各投影带的坐 标时使用。 标时使用。
我国的1:50万。 1:100万地形图， 在图面上直接绘出经纬线线网。 图廓上也有供加密经纬线网的加密分划短线。 图廓上也有供加密经纬线网的加密分划短线。
方里网： ②方里网：是由平行于投影坐标轴的两组平行线所构成的 方格网。因为是每隔整公里(其密度规定见表 其密度规定见表3—4)绘出坐标纵线 方格网 。 因为是每隔整公里 其密度规定见表 绘出坐标纵线
λ= λ投影点 - λ中央经线
二、投影的变形分析
高斯-克吕格投影没有角度变形， 高斯 克吕格投影没有角度变形，面积变形是通过长度变形来表 克吕格投影没有角度变形 达的。其长度变形的基本公式为(3—3)： 达的。其长度变形的基本公式为 ：
由公式(3—3)可知长度变形的规律是： 可知长度变形的规律是： 由公式 可知长度变形的规律是 中央经线上没有长度变形， 中央经线上没有长度变形，即λ = 0， µ = 1； ， ； 沿纬线方向，离中央经线越远变形越大， λ增大 增大， 沿纬线方向，离中央经线越远变形越大，即λ增大， µ 也增大； 为实际投影地点与中央经线间的经差） 也增大； （λ为实际投影地点与中央经线间的经差） 为实际投影地点与中央经线间的经差 沿经线方向，纬度越低变形越大， 越小， 越大 越大。 沿经线方向，纬度越低变形越大，即φ越小，µ越大。 越小 说明， 表 3—3说明 ， 整个投影变形最大的部位在赤道和投影 说明 最外一条经线的交点上(纬度为 纬度为0° 经差为± ° 最外一条经线的交点上 纬度为 ° 经差为 ±3°时 ， 长度 变形为1.38‰)， 当投影带增大时 ， 该项误差还会继续增 变形为 ， 当投影带增大时， 这就是采取分带投影的原因。 加。这就是采取分带投影的原因。
和坐标横线，所以称之为方里网， 和坐标横线，所以称之为方里网，由于方里线同时又是平行于直角 坐标轴的坐标网线，故又称直角坐标网。 坐标轴的坐标网线，故又称直角坐标网。 直角坐标系以中央经线投影后的直线为X轴 直角坐标系以中央经线投影后的直线为 轴，以赤道投影后的直线 为Y轴，它们的交点为坐标原点。 轴 它们的交点为坐标原点。 我国位于北半球，全部X值都是正值 值都是正值。 我国位于北半球，全部 值都是正值。在每个投影带中则有一半的 Y坐标值为负 。 为了避免 坐标出现负值 ， 规定纵坐标轴向 坐标值为负。 坐标出现负值， 坐标值为负 为了避免Y坐标出现负值 西平移500km(半个投影带的最大宽度不超过 半个投影带的最大宽度不超过500km)。这 西平移 半个投影带的最大宽度不超过 。 全部坐标值都表现为正值了。地图上注出的Y坐标值 坐标值， 样，全部坐标值都表现为正值了。地图上注出的 坐标值，就是根 高斯-克吕格投影坐标表 上查取的y值加上 克吕格投影坐标表” 值加上500km后的所谓通 据“高斯 克吕格投影坐标表”上查取的 值加上 后的所谓通 用坐标值(图 用坐标值 图3—6)。 。 我国规定在1:1万—1:25万地图上必须绘出方里网， 其方里网密 万 万地图上必须绘出方里网， 我国规定在 万地图上必须绘出方里网 度如表3—4。 度如表 。
高斯-克吕格投影的基本条件为： 高斯 克吕格投影的基本条件为： 克吕格投影的基本条件为 ①中央经线(椭圆柱和椭球体的切线 的投影为直线，而且是投影的 中央经线 椭圆柱和椭球体的切线)的投影为直线， 椭圆柱和椭球体的切线 的投影为直线 对称轴； 对称轴； ②投影后没有角度变形，即同一地点各方向的长度比不变(或两微 投影后没有角度变形，即同一地点各方向的长度比不变 或两微 分线段所组成的角度在投影中保持不变)； 分线段所组成的角度在投影中保持不变 ； ③中央经线上没有长度变形。 中央经线上没有长度变形。
西 半 球 的 30 个 投 影 带 ， 是 从 180° 起 算 ， 回 到 0° ， 即 西 经 ° ° 180°--174° ， 174°--168° ， ……6°--0° ， 各带的带号为 ° ° ° ° ° ° 各带的带号为31-60，各投影带中央经线的位置，可用式 计算(式中 ，各投影带中央经线的位置，可用式(3—5)计算 式中 为投影带 计算 式中n为投影带 带号)： 带号 ： L0 = ( 6 n - 3 )° - 360° ° ° (3—5)
UTM为等角横轴割椭圆柱投影 为等角横轴
三、投影分带的规定 为了控制投影变形不致于过大，高斯为了控制投影变形不致于过大，高斯-克吕格投影采用分 带投影的方法。 带投影的方法。 我国的1:2.5万 --1:50万地形图均采用 ° 分带投影 ， 万 万地形图均采用6° 分带投影， 我国的 万地形图均采用 1:1万及更大比例尺地形图采用 °分带投影，以保证地图 万及更大比例尺地形图采用3°分带投影， 万及更大比例尺地形图采用 有必要的精度。 有必要的精度。 ① 6° 分带法 ： 从格林尼治零度经线起 ， 每 6° 为一个投 ° 分带法： 从格林尼治零度经线起， ° 影带，全球共分60个投影带 个投影带(图 影带，全球共分 个投影带 图3—5)。 。
四、坐 标 网
为了制作地图和使用地图方便， 为了制作地图和使用地图方便，通常在地图上都绘有一种或两种 坐标网，即经纬线网和方里网。 坐标网，即经纬线网和方里网。
经纬线网：即指由经线和纬线所构成的坐标网， ① 经纬线网 ： 即指由经线和纬线所构成的坐标网 ， 又
称地理坐标网。 称地理坐标网。
经纬线网在制图上的意义，在于绘制地图时不仅起到控制作用， 经纬线网在制图上的意义， 在于绘制地图时不仅起到控制作用， 确定地球表面上各点和整个地形的实地位置， 确定地球表面上各点和整个地形的实地位置 ， 而且还是计算和分 析投影变形所必须的，因而，也是确定比例尺，量测距离、 析投影变形所必须的 ， 因而， 也是确定比例尺， 量测距离 、 角度 和面积所不可缺少的。 和面积所不可缺少的。 万比例尺的地形图上， 在1:1万--1:25万比例尺的地形图上，经纬线只以图廓线的形式 万 万比例尺的地形图上 直接表现出来，并在图角处注出相应度数。 直接表现出来 ， 并在图角处注出相应度数 。 为了方便用图时加密 成网。在内外图廓间还绘有加密经纬网的加密分划短线(图式中称 成网。在内外图廓间还绘有加密经纬网的加密分划短线 图式中称 分度带” ，必要时对应短线相连就可以构成加密的经纬线网。 “分度带”)，必要时对应短线相连就可以构成加密的经纬线网。 1:25万地形图上， 除内图廓上绘有经纬网的加密分划外， 图内还 万地形图上， 万地形图上 除内图廓上绘有经纬网的加密分划外， 有加密用的十字线。 有加密用的十字线。
第 2 章 地图的数学基础(2)
§1 高斯 克吕格投影 高斯—克吕格投影 §2 坐标系和高程系 §3 地图定向 §4 数字地图制图中主要坐标关系介绍
第一节
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
我国现行的大于1:50万比例尺的各种地形图，都采用 万比例尺的各种地形图， 我国现行的大于 万比例尺的各种地形图 高斯—克吕格(Gauss—Kruger)投影。 克吕格(Gauss Kruger)投影 高斯 克吕格(Gauss Kruger)投影。 一、投影的基本概念 从地图投影的变形性质来说，高斯-克吕格投影是属于 从地图投影的变形性质来说 ， 高斯 克吕格投影是属于 等角投影。该投影没有角度变形。 等角投影。该投影没有角度变形。 从几何概念来分析，高斯-克吕格投影是一种横切椭圆 从几何概念来分析 ， 高斯 克吕格投影是一种横切椭圆 柱投影。它是假想一个椭圆柱横套在地球椭球体上， 柱投影。它是假想一个椭圆柱横套在地球椭球体上，使其 与某一条经线相切， 与某一条经线相切，用解析法将椭球面上的经纬线投影到 椭圆柱面，然后将椭圆柱展开成平面， 椭圆柱面，然后将椭圆柱展开成平面，即获得投影后的图 其中的经纬线互相垂直。 形，其中的经纬线互相垂直。 高斯-克吕格投影的平面直角坐标系， 高斯 克吕格投影的平面直角坐标系，是以相切的经线 克吕格投影的平面直角坐标系 (中央经线 的投影为 轴，以赤道的投影为 轴(图3-4)。 中央经线)的投影为 中央经线 的投影为X轴 以赤道的投影为Y轴 图 。