全等参考资料三角形辅助线专题

八年级数学上册辅助线专题
教学目标：掌握各种类型的全等三角形的证明方法 教学重点：构造全等三角形 教学难点： 如何巧妙作辅助线 知识点： （一）截长补短型
（二）中点线段倍长问题
（三）蝴蝶形图案解决定值问题 （四）角平分线与轴对称
（五）等腰直角三角形，等边三角形 （六）双重直图案与全等三角形
典型例题讲练 重点例题：
一、截长补短型
如图,R T △CDA ≌RT △CDB,
①、若∠ACD=30°，∠MDN=60°,当∠MDN 绕点D 旋转时，AM 、MN 、BN 三条线段之间的关系式为＿＿＿＿＿＿
②、若∠ACD=45°，∠MDN=45°,AM 、MN 、BN 三条线段之间的数量关系式为：＿＿＿＿＿＿
③、由①②猜想：在上述条件下，当∠ACD 与∠MDN 满足什么条件时，上述关系式成立，证明你的结论。

二、中点线段倍长问题
如图△ABC 中，点D 是BC 边中点，过点D 作直线交AB 、CA 延长线于点E 、F 。

当AE=AF 时，求证BE=CF 。

B A
C
D M N ①
B D A
C M N ② A B C
D M
N ③
A
B
C D E F
三、蝴蝶形图案解决定值问题
1、如图，在R t △ACB 中，∠ACB=90°,CA=CB,D 是斜边AB 的中点，E 是DA 上一点，过点B 作BH ⊥CE 于点H ，交CD 于点F 。

（1） 求证：DE=DF.（2）若E 是线段BA 的延长线上一点，其它条件不变，
DE=DF 成立吗？画图说明。

2在△ABC 中，AB=AC,AD 和CE 是高，它们所在的直线相交于H 。

(1)如图1,若∠BAC=45°，求证：AH=2BD.
(2)如图2，若∠BAC=135°，（1）中的结论是否依然成立？请你在图2中画出图形并加以证明。

3，如图，等腰直角三角形ABC 中，AB=AC,∠BAC=90°,BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作CD ⊥BE 于D.求证BE=2CD.
（2） 连接AD ，求证：∠ADB=45°.
A
B C
D
E
F H
A
B C D E
H B A C C D B
A
E D B A E C
四、角平分线与轴对称 1、（1）如图①，R t △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°,CD 平分∠ACB ，点E 为AB 上一点，且CE=BE ，PE ⊥AB 交CD 的延长线于P ，求∠PAC+∠PBC 的度数。

（2）如图②，R t △ABC 中，∠ACB=90°，∠BA C ≠45°,CD 平分∠ACB,点E 为AB 上一点，且CE=BE,PE ⊥AB 交CD 的延长线于P 。

（1）中结论是否成立，说明理由。

五、等腰直角三角形，等边三角形
1、如图①OA=2，OB=4，以A 点为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC 。

A
B
C D
E
P
A B
C D E
P
(2)如图②，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点向y 轴负半轴向下运动时，若以P 点为顶点，PA 为腰作等腰Rt △APD ，过D 点作DE ⊥x 轴于E 点，求OP-DE 的值。

（3）如图③，已知点F 坐标为(-4，-4)，当G 在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt △FGH ，始终保持∠GFH=90°，FG 与y 轴负半轴交于点G(o,m),FH 与x 轴正半轴交于点H(n,o)，当G 点在y 轴负半轴沿负方向运动时，求m+n 的值。

七、双重直图案与全等三角形
1、Rt △ABC 中，AB=AC,M 为BC 边上一点，连接AM ，过B 点作BN ⊥AM 交AC 于E 点，交AM 于D 点，在AC 上截取CF=AE,连接MF 并延长交BN 于N 点。

求证：∠AMB=∠CMF.
本次巩固题型
1、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ，求证：AE =EF ． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．
A B
C
D
E F M
N
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
2、已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，
EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．
当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1
2
DEF CEF ABC S S S +=
△△△． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
A
D
F
C G
B
图1
A
D
F C G
B 图2 A
D
F
G
B
图3
A E
C F
B D 图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E 图2
F
3．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．
图1
图2
（第22题）
4、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且
︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，
BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．
图1 图2 图3
（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时
=L
Q
； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还
成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．
5、已知四边形A B C D 中，A B A D ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，120ABC =∠，
60MBN =∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）
于E F ，．
当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．
当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
（图1） A B C
D
E F
M N
（图2）
A B C
D
E F
M N
（图3）
A
B C
D
E F M
N
6、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全
等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B =60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA
的平分线，AD 、CE 相交于点F 。

请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你
在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

信息反馈：
(第23题图)
O P A
M N
E B C
D
F A
E F B
D
图①
图② 图③
家长签字：。