运筹学_(图与)网络分析

方案2： V1—V7—V4—V8—V5—V9—V2—V1 。 方案 ：
[M] 8、[M、S、G] 、 、
[W]
§1图的基本概念与模型
图为点和边的集合,记作G = { V，E }. 式中V 为点的集合, ， E为边的集合. 图论中只关心图中有多少点，及哪些点之 间有连线. 点和线可以赋以具体含义和权数, 如费用、长 度等. 称赋权后的图为网络图 记作N. 网络图, 网络图 图中的点用 v 表示, 边用 e 表示. 用 e2 ek=[vi,vj]，来明确它所联结的点。 v2 如 e1=[v1,v1]， e4=[v2,v3]。 e6 若ek=[vi,vj]，称vi,vj 是边ek的端点 端点， 端点 v4 ek为vi,vj 是的关联边 关联边。 关联边 若vi、vj 与同条边关联，称点vi和vj相邻； 相邻； 点 相邻。 若ei和ej具有公共的端点，称边ei 和ej相邻 边 e1 e4 e5 e7 图 6-1
A
方案1： 方案 ：ABS，TCP，DR ， ，
B C D
T S R P
方案2： 方案 ：DRT，ABS，CP 。 ， ，
农夫M，狼W、羊S、草G过河问题
有位农夫，携带一匹狼、一支羊和一挑草要过一条小河。河中只有 有位农夫，携带一匹狼、一支羊和一挑草要过一条小河。 一条小船，一次摆渡农夫只能携带一样东西（ 一条小船，一次摆渡农夫只能携带一样东西（一匹狼或一支羊或一 农夫摆渡狼、 ，羊要吃草。试问： 农夫摆渡狼、羊、羊要吃草。试问：农夫怎样 草的数学模型 挑草）。当农夫不在场时，狼要吃羊， ）。当农夫不在场时 挑草）。当农夫不在场时，狼要吃羊 才能将这三样东西摆渡到对岸? 至少要摆渡几次？ 才能将这三样东西摆渡到对岸 至少要摆渡几次？ 问题转化为求V 问题转化为求 1到V6的通路
1 2 k
e1 e4 e5 e7
v1
vi,t-1和vi,t(2≤t≤k)均相邻, 称μ为链。, 链
v2
e3
v3
e8
若链中顶点v0, e1, …, vk 互也不相同，e6 此链称为路。 路
v4
图 6-1
v5
§1图的基本概念与模型
点边交替序列µ={v0,e1,v1, …,ek,vk},若其中各边 e1, e2, …, ek 互不相同，且任意 vi,t-1和vi,t(2≤t≤k)均相邻, 称为链。若链中顶点v0,v1, …, vk 互也不相同，此链称为路。 链 路 µ1={v5,e8,v3, e3,v1, e2,v2,e4,v3,e7,v4}, {e8, e3, e2,e4,e7}互不相同， 5,v3, v1, v2,v3,v4}, v3重. µ1是链 {v µ2={v5,e8,v3, e7,v4}, {e8, e7}互不相同， {v5,v3, v4},互不相同. e1 e2 e4 e5 e7 μ2是路 起点与终点相重合的链称作圈。 圈 起点与终点相重合的路称作回路 v2 回路。 回路 每一对顶点之间至少有一条链的图 e6 为连通图，否则为不连通图 连通图， 不连通图。 连通图 不连通图
v1 v3
v2 v4
v1 v3 v5
v2 v4
v1 v3 v5
v2 v4
§1图的基本概念与模型 P150
图G1={V1, E1},图G2={V2, E2}, 若V1 ⊆V2 和 E1 ⊆ E2}, 若V1=V2，E1 部分图。 部分图 ⊂ E ，则称G 是G 的一个部分图。
2 1 2
则称G1是G2的一个子图。 子图。 子图
( i , j )∈ A
∑
ij
∑x
−
1, i = s = 0, i ≠ s , t − 1, i = t x ij = 0,1
( j , i )∈ A
∑x
ji
v2
8 4 6 2 3
8
v5
5 3 9
k =1
( n −1 ) ik
⋅ bkj
0 v2 0 0 v[0 1 0 0 0 0] 1 1−2 0 1 1
代表 vivj 之间存在经过 n 条 v3 边的路径数目.
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 =[ 0 0 1 0 0 0 ] 1−2−3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 图4-11中从 V1-V6 中从 1 1 0 0 0 经过两条边的路径
1 bij v
若vi v jபைடு நூலகம்∈ 弧集A 若vi v j ∉ 弧集A
v1 v1 B(D) = v 2
v1
v2 0 0 0 0
v3 1 1 0 0
v4 0 1 1 0
0 1 v3 0 v4 1
3、边的顶点表示法
对于有向图 有向图，任一边a均可用其关联的两顶点 vivj 表示 有向图 a = {vivj}，有向图 D 即是这些边的集合。 ， 把这些边按节点编号组装起来就是一个图的模型。 如图4-10，它的边集合是 （v1 v3 , v2 v1 , v2 v3 , v2 v4 , v3 v4 , v4 v1） 对于无向图 无向图，每一条边均可以用2条具有相同顶点， 无向图 但方向相反的两条边表示。
5 ∞ 0 2
v4
v5
v1
v6
v2
v3
第三节 最短路问题
什么是最短路问题？ 在连通图中,寻找一条从始点到终点的路, 求解最短路问题的基本思路 该路的权之和最小. Dijstra （荷兰人）算法：标号法 Ford（美国人）算法：修正标号法 min w ij x ij 寻找最短路径的方法：双标号 ( i , j )∈ A 图4-8 最短路图例
P171
6.2,
6.3.
六、图的矩阵表示法
1、图和网络的相邻矩阵X（G） 图G的相邻矩阵X（G）为一个P×P的方阵 X（G）=[xij] xij为方阵中的元素 四个对象可能形成的组合情况
K xij 0
若节点vi v j 之间有K 条平行边相连 若节点vi v j 之间没有边相连
v1 v2
0 0 v 0 v[ 0 0 1 0 0 0] 3 1 1 2− − 3 0 1 1
0
0
1 2−−4 − 3
1
0
1 2−− − 36
1]
第二节 最小生成树
什么是树？ 构造生成树的方法 最小生成树问题 寻找最小生成树的方法
一、什么是树？ 树：不含圈的连通图 树的基本性质:
任意两点之间有且只有一条链 若树有p个顶点，则共有q=p-1条边 若图是连通的，且q=p-1，则该图不含圈，因此是树 若图不含圈，且q=p-1，则该图联通，因此是树。
v1
e3
v3
e8
v4
图 6-1
v5
§1图的基本概念与模型 P150
任意两点之间均有边相连的简单图称为完全图 完全图。 完全图 有n个顶点的完全图有 Cn2 = n (n-1) / 2 条边 条边。 若v = v1∪v2, 且 v1∩v2=⊙, v1≠⊙,v2≠⊙ , v1, v2内的点均互 不相连，称此图为偶图（二部图）。 偶图（ 偶图 二部图） 顶点集合v1、v2之间的每一对不同顶点都有一条边相连的 偶图称为完全偶图。 完全偶图。 完全偶图 完全偶图v1含 m 个点v2含 n 个点，则其边数共有m× n条 × V1 V2 V1 V2 V1 V2
二、构造生成树的方法
破圈法
v4
v1
v5
避圈法
v6
v4
v5
v2
v3
v1
v6
v2
v3
三、最小生成树
最小生成树的定义 各边和最小的生成树 最小生成树的数学模型 最小生成树的定理P140
min
v4
v1
v5
( i , j )∈A
∑w
ij
xij
( i , j )∈ A
∑x
ij
= n −1 = S − 1, S ⊂ A
第三节 路径问题
1、什么是路径问题 图中的路径问题，是指在一个由顶点和弧构成的有向图 中，是否存在一条从vi点到vj点通路。 2、路径问题的解法原理 设有向图D的相邻矩阵为 B(D)={bij}， D } 因此, bikbkj=1 代表在vivj之间存在一条经过两条边的路径.
( b ij 2 ) 代表 vivj 之间存在经过两条边路径的数目。 而
第八章 图与网络分析
前 言
第一节 图与网络的基本知识
一 、图与网络的基本概念 二、连通图 三、图的矩阵表示
作 业 五 -1
前
言
1736 E.Euler,“依据几何位置的解题方法” 依据几何位置的解题方法” 依据几何位置的解题方法
A A C B B D C D
哥尼斯堡七桥问题
Hamilton环球旅行 环球旅行
Hamilton环球旅行 环球旅行
例4-1：化工品的贮存问题
现要求贮藏 8 种化工品 A，B，C，D，P，R，S，T。 ， ， ， ， ， ， ， 。 出于安全的原因，下面各组产品不能放在一起： 不能放在一起 出于安全的原因，下面各组产品不能放在一起： A-R，A-C，A-T，R-P，P-S，S-T，T-B， ， ， ， ， ， ， ， B-D，D-C，R-S，R-B，P-D，S-C，S-D。 ， ， ， ， ， ， 。 问题： 种化工品至少需要多少间贮藏室？ 问题：贮藏这 8 种化工品至少需要多少间贮藏室？
v1
e3
v3
e8
v5
§1图的基本概念与模型
两个端点相重的边 称为环,如 e1. 环 两个点之间的边多于一条，称为具有多重边 多重边，如e4和e5。 多重边 无环无多重边的图称为简单图 简单图。 简单图 与一个点相关联的边数称为此点的次, 记作 d ( vi ) . 次 如 d (v1)=4, d (v5)=1. 次为奇数的点称作奇点 奇点， 奇点 次为偶数的点称作偶点 偶点，次为0的点称作孤立点 孤立点。 偶点 孤立点 点边交替序列µ={v0,e1,v1, …,ek,vk},若其中各 e2 边e , e , …, e 互不相同，且任意