高考递推数列题型分类归纳解析教师

bn1 an1 3 2 . 所 以 bn 是 以 b1 4 为 首 项 ， 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 则 bn an 3
bn 4 2n1 2n1 ,所以 an 2n1 3 .
变式:（2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分） （I）求数列 an 的通项公式； 已知数列 an 满足 a1 1, an1 2an 1(n N * ).
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an 1 2n. 即
（II）证法一： 4 1 4 2 ...4 n
(an 1)kn .
4( k1 k2 ...kn )n 2nkn .
① ②
2[(b1 b2 ... bn ) n] nbn , 2[(b1 b2 ... bn bn1 ) (n 1)] (n 1)bn1. ②－①，得 2(bn1 1) (n 1)bn1 nbn , 即 (n 1)bn1 nbn 2 0, nbn2 (n 1)bn1 2 0.
a 2 k 1 a1 (3 32 3k ) [( 1) (1) 2 (1) k ]
将 a1 1 代入，得 a 2 k 1
3 k 1 (3 1) [( 1) k 1] 2 2
1 k 1 1 3 (1) k 1 ， 2 2 1 1 a 2 k a 2 k 1 (1) k 3k (1) k 1 。 2 2 1 n 1 1 n2 1 2 3 (1) 1(n为奇数) 2 2 经检验 a1 1 也适合， a n n n 1 3 2 1 (1) 2 1(n为偶数) 2 2 类型 2 利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an1 f (n)an 2 n a n ，求 an 。 例:已知数列 an 满足 a1 ， a n 1 3 n 1 a n 解：由条件知 n1 ，分别令 n 1,2,3, , (n 1) ，代入上式得 (n 1) 个等式累乘 an n 1 a a a a a 1 2 3 n 1 1 之，即 2 3 4 n n n a1 a2 a3 an1 2 3 4 a1 n 2 2 又 a1 ， a n 3 3n
例:已知 a1 3 ， a n 1 变式: （2004， 全国 I,理 15． ） 已知数列{an}， 满足 a1=1， an a1 2a2 3a3 (n 1)an1 (n≥2)，则{an}的通项 an
1 ___
n 1 n2
解：由已知，得 an1 a1 2a2 3a3 (n 1)an1 nan ，用此式减去已知式，得 当 n 2 时， an1 an nan ，即 an1 (n 1)an ，又 a2 a1 1，
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an1 p an 1 引入辅助数列 q n1 q q n q
b 1 b 1
b 1
an 1 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列
an 2n 1(n N * ).
k 1 k 1 k 1
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3n 1 a n (n 1) ，求 an 。 3n 2 3(n 1) 1 3(n 2) 1 3 2 1 3 1 解： a n a1 3(n 1) 2 3(n 2) 2 3 2 2 3 2 3n 4 3n 7 5 2 6 3 3n 1 3n 4 8 5 3n 1 。
(an 1)bn (n N * ), 证明：数列{bn}是等差数列； a n 1 a a n * （Ⅲ）证明： 1 2 ... n (n N ). 2 3 a2 a3 an 1 2
（II）若数列{bn}滿足 4 1 4 2 4 n （I）解： an1 2an 1(n N * ), an1 1 2(an 1),
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ak 2k 1 2k 1 1 k 1 , k 1, 2,..., n, ak 1 2 1 2(2k 1 ) 2 2 a a a n 1 2 ... n . a2 a3 an1 2
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证法二：同证法一，得
bn1 bn d ,bn 是等差数列
（III）证明：
(n 1)bn1 nbn 2 0 令 n 1, 得 b1 2. 设 b2 2 d (d R), 下面用数学归纳法证明 bn 2 (n 1)d . （1）当 n 1, 2 时，等式成立 （2）假设当 n k (k 2) 时， bk 2 (k 1)d , 那么 k 2 k 2 bk 1 bk [2 (k 1)d ] 2 [(k 1) 1]d . k 1 k 1 k 1 k 1 这就是说，当 n k 1 时，等式也成立 * 根据（1）和（2） ，可知 bn 2 (n 1)d 对任何 n N 都成立
例:已知数列 an 满足 a1 变式:（2004，全国 I，个理 22．本小题满分 14 分） 已知数列 {an } 中a1 1，且 a2k=a2k－1+(－1) ,
K
a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….
（I）求 a3, a5； （II）求{ an}的通项公式. 解： a2k a2k 1 (1) k ， a2k 1 a2k 3k
ak 2k 1 1 1 1 1 1 1 1 k 1 k . k , k 1, 2,..., n, k 1 k ak 1 2 1 2 2(2 1) 2 3.2 2 2 2 3 2 a a a n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 1 2 ... n ( 2 ... n ) (1 n ) , a2 a3 an1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 a n 1 a a n 1 2 ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an1 2 变式:递推式： an1 pan f n 。解法：只需构造数列 bn ，消去 f n 带来的差异．
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类型 1
an 1 an f (n)
，利用累加法(逐差相加法)求解。
1 1 ， a n 1 a n 2 ，求 an 。 2 n n 1 1 1 1 解：由条件知： a n 1 a n 2 n n n(n 1) n n 1 分 别 令 n 1,2,3, , (n 1) ， 代 入 上 式 得 (n 1) 个 等 式 累 加 之 ， 即 (a2 a1 ) (a3 a2 ) (a4 a3 ) (an an1 ) 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 n 1 n 1 1 1 1 3 1 所以 a n a1 1 a1 ， a n 1 n 2 2 n 2 n
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③－④，得 即
nbn2 2nbn1 nbn 0,
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bn 是等差数列
bn2 2bn1 bn 0, bn2 bn1 bn1 bn (n N * ),
a2k 1 a2k 3k a2k 1 (1) k 3k ，即 a2k 1 a2k 1 3k (1) k a3 a1 3 (1) ， a5 a3 32 (1) 2
…… ……
a2k 1 a2k 1 3k (1) k 将以上 k 个式子相加，得
解（待定系数法） ：把原递推公式转化为： an1 t p(an t ) ，其中 t 元法转化为等比数列求解。 例:已知数列 an 中， a1 1 ， an1 2an 3 ，求 an .
解：设递推公式 an1 2an 3 可以转化为 an1 t 2(an t ) 即 an1 2an t t 3 . 故 递 推 公 式 为 an1 3 2(an 3) , 令 bn an 3 ， 则 b1 a1 3 4 , 且
类型 4
。 an1 pan q n （其中 p，q 均为常数， ( pq( p 1)(q 1) 0) ） （或 an1
pan rqn ,其中 p，q,
r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 q n1 ，得： ） ，得： bn1 bn （其中 bn an n
a1 1,
a a a2 a n! 1, 3 3, 4 4, , n n ，将以上 n 个式子相乘，得 an (n 2) 2 a1 a2 a3 an1
类型 3
an1 pan q （其中 p，q 均为常数， ( pq( p 1) 0) ）
q ，再利用换 1 p