Chapter11.布莱克.休尔斯.莫顿期权定价模型

根据众多学者的实证研 究，发达国家的证券市场 大体符合弱式效率市场假 说。一般认为，弱式效率 市场假说与马尔可夫随机 过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。 因此我们可以用数学来刻 画股票的这种特征。
Copyright Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
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我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。 因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知 执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价 格是影响期权价格的最根本因素。 因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变 化规律。在 了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来 复制期权，并以此为依据给期权定价。 在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思 想。
= (
G 1 2 G 1 G = , 2 = 2 , =0 S S S S t
G G 1 2 G 2 G a+ + b ) dt + bdz 我们就可得到 2 x t 2 x x
G = ln S 所
遵循的随机过程为 d G
= d ln S = (
σ
2
2
)dt + σ dz
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续 复利收益率服从期望值 (
其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引 理。
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**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S ≠
dS S
案例11.1 运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程 案例 运用伊藤引理推导 所遵循的随机过程 假设变量S服从 dS = Sdt + σ Sdz 其中和σ都为常数，则lnS遵循怎样的随机过程？ 由于和σ是常数，S显然服从 a( S , t ) = S b( S , t ) = σ 的伊藤过程，我 ， S 们可以运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程。 令G = ln S，则 代入式 dG
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市场有效理论与随机过程
1965年，法玛（Fama）提出了 著名的效率市场假说。该假说认为， 证券价格对新的市场信息的反应是 迅速而准确的，证券价格能完全反 应全部信息。
有效 市场 三个 层次
1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说
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布朗运动（Brownian Motion）起源于英国植物学 家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。
对于标准布朗运动来说：设 t 代表一个小 的时间间隔长度，z 代表变量z在 t 时间内的 变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特征： 特征1： 特征 ：z 和 t 的关系满足： z = ε t ε 其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标 准差为1的正态分布）中取的一个随机值。 特征2： 特征 ：对于任何两个不同时间间隔 t ，z 的 值相互独立。
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从案例11.1我们已经知道，如果股票价格服从几何布朗运动， 2 则有 dG = d ln S = ( σ )dt + σ dz
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从自然对数的定义域可知，S不能为负数。另外从上式可以看 出，股票价格的对数服从普通布朗运动，因为它具有恒定的漂移率 2 σ 2 / 2 和恒定的方差率 σ 。由前文的分析可知，当一个变量服 从普通布朗运动 dx = adt + bdz 时，其在任意时间长度T-t内的变化值 2 都服从均值为a (T t ) 、方差为 b 2 (T t ) 的正态分布。也就是说，
3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 σ / 2 < ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值 是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收 益率则是算术平均的结果。
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: σ
1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年 标准差 2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益 率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波 动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越 近越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数 计算波动率而不采用日历天数。
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在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推 导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循 如下过程：
G G 1 2 G 2 G dG = ( a+ + b )dt + bdz x t 2 x 2 x
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当股票价格服从几何布朗运动 dS = Sdt + σSdz 时，由 于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)， 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
G G 1 2 G 2 2 G dG = ( S + + σ S ) dt + σSdz S t 2 S 2 S
ln S T ln S ~ φ[( σ2 )(T t ), σ T t ]
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由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果 一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数 正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布 的特性，以及符号的定义，我们可以得到 E ( S T ) = Se (T t ) 和 var(S T ) = S e
中不含任何风险源，因
此组合 Π 必须获得无风险收益，即
Π = rΠt
代入上式可得
f 1 2 f 2 2 f ( + σ S )t = r ( f S )t t 2 S 2 S
化简为
f f 1 2 2 2 f + rS + σ S = rf t 2 S S 2
**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程， 它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有 衍生证券的定价。
在一个小的时间间隔中，f的变化值
f
为：
f f 1 2 f 2 2 f f = ( S + + σ S )t + σSz 2 S t 2 S S
Copyright Zheng Zhenlong & C建一个包括一单位衍生证 券空头和 f 单位标的证券多头的组合。 令 Π 代表该投资组合的价值，则：
和
σ
为常数；
3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； 4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5、存在无风险套利机会； 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
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将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令 漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布 朗运动： dx = adt + bdz 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移 率为0，方差为1的普通布郎运动。
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普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变 量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就 可以得到 dx = a( x, t )dt + b( x, t )dz 这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz是一个 标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率 为a，方差率为b2。
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dS 由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有： = Sdt + σSdz
其在一个小的时间间隔 t 中，S的变化值 S 为：
S = S t + σ S z
设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函 数，根据伊藤引理可得： 2
df = ( f f 1 f 2 2 f S + + σ S ) dt + σSdz 2 S t 2 S S
=
，
T t
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:
1、几何布朗运动中的期望收益率。
2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、 无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉 及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是， 我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收 益率 是无关的。
) dt ，方差为 σ dt 的正态分布。 Copyright Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008 2
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σ2
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一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 σ 2 S2的伊藤过程（即几何布朗运动） 来表示： = Sdt + σ Sdz dS 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。