1-3章

全概率公式为： 全概率公式为： 为随机试验的样本空间， 设 为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An 是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i =1,2,…,n, 是两两互斥的事件，且有 ， 则对任一事件B， UA = Ω, 则对任一事件 ，有
i i =1 n
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai ) 。
B= A A A , 1 2 3 P(B) = P( A A A ) 1 2 3 = P( A )P( A | A )P( A | A A ) 1 2 1 3 1 2 r b (r + c) = ⋅ ⋅ 。 b + r b + (r + c) (b + c) + (r + c)
练习: 一批灯泡共100 其中10只是次品, 练习: 一批灯泡共100只,其中10只是次品,其 100只 10只是次品
贝叶斯公式在实际中有很多应用， 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可 以帮助人们确定某结果（ 以帮助人们确定某结果（事件 B）发生 ） 最可能原因. 最可能原因
某一地区患有癌症的人占0.005，患者 例 6: 某一地区患有癌症的人占 ， 对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常 对一种试验反应是阳性的概率为 ， 人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现 人对这种试验反应是阳性的概率为 ， 抽查了一个人，试验反应是阳性， 抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是 癌症患者的概率有多大? 癌症患者的概率有多大 抽查的人患有癌症}， 抽查的人患有癌症 求解如下: 求解如下 设 C={抽查的人患有癌症 ， A={试验结果是阳性 ， 试验结果是阳性}， 试验结果是阳性 表示“抽查的人不患癌症” 则C 表示“抽查的人不患癌症”. 已知: 已知 P(C)=0.005, P(C ) = 0.995, P(A|C)=0.95, P( A | C) = 0.04。 求P(C|A)。 。
i =1
n
称满足上述条件的A 完备事件组。 称满足上述条件的 1,A2,…,An为完备事件组。
由此可以形象地把全概率公式看成是 由原因推结果” “由原因推结果”，每个原因对结果的发 生有一定的“作用” 生有一定的“作用”，即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关。 性与各种原因的“作用”大小有关。全概 率公式表达了因果之间的关系 。 A3 A1 B A4 A2 A7 A5 A6 A8 诸Ai是原因 B是结果 是结果
。
件产品中有7件正品 件次品; 如：10件产品中有 件正品，3件次品 7件正 件产品中有 件正品， 件次品 件正 品中有3件一等品 件二等品 现从这10件中 件一等品, 件二等品。 品中有 件一等品 4件二等品。现从这 件中 任取一件， 任取一件，记 取到正品}， 取到正品 A={取到一等品 ， B={取到正品 ， 取到一等品}， 取到一等品 P(A )=3/10， ，
3 3 10 P ( AB ) P(A|B) = = = 。 P( B) 7 7 10
2. 条件概率的定义 是两个事件， 设A、B是两个事件，且P(B)>0，则称 是两个事件 ， P( AB) (1) P( A | B) = P(B) 为在事件B发生条件下，事件 的条件概率 的条件概率。 为在事件 发生条件下，事件A的条件概率。 发生条件下
§1.3 条件概率、 全概公式和贝叶斯公式
一、条件概率
1. 条件概率的概念 在解决许多概率问题时， 在解决许多概率问题时，往往需要求在有 某些附加信息(条件 下事件发生的概率。 条件)下事件发生的概率 某些附加信息 条件 下事件发生的概率。 通常记事件B发生的条件下 事件A发生的概 通常记事件 发生的条件下, 事件 发生的概 发生的条件下 率为P(A|B)。 率为 。 一般情况下， 一般情况下， P(A|B) ≠P(A)
B发生总是伴随着 1，A运用加法公式得 发生总是伴随着A 之一同时发生， 发生总是伴随着 2，A3 之一同时发生， 即 且 B= A1B+A2B+A3B， ， A1B、A2B、A3B两两互斥。 两两互斥。 两两互斥 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
2. 检出阳性是否一定患有癌症 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 试验结果为阳性 此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066。 ｜ 。 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你 即使你检出阳性， 有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说 有癌症，这种可能性只有 平均来说 个人中大约只有107人确患癌症 人确患癌症)， ，1000个人中大约只有 人确患癌症 ，此 个人中大约只有 时医生常要通过再试验来确认。 时医生常要通过再试验来确认。
A = A A2 A3 , 1 P 故，( A) = P( A A2 A3 ) 1 = P( A )P( A2 | A )P( A3 | A A2 ) 1 1 1 10 9 90 = ≈ 0.0083 。 100 99 98
三、全概率公式和贝叶斯公式 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计 算比较复杂事件的概率。 算比较复杂事件的概率。 综合运用
B ABA
Ω
3. 条件概率的性质 是一事件， 设B是一事件，且P(B)>0,则 是一事件 则 1. 对任一事件 ，0≤P(A|B)≤1; 对任一事件A， 2. P(Ω|B)=1； P(Ω|B)=1； 3. 设A1,…,An ,…互不相容，则 互不相容， 互不相容 P[(A1+…+An +…)| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B)+… 4. 前面对概率所证明的一切性质，也都适用 前面对概率所证明的一切性质， 于条件概率。 于条件概率。
P( AB) P(B) 0.4 P(B | A) = = = = 0.5。 P( A) P( A) 0.8
二、 乘法公式 P( AB) 由条件概率的定义： 由条件概率的定义： ( A | B) = P , P(B) 得 若P(B)>0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2)
若
P(A)>0, 则P(BA)=P(A)P(B|A) ， P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) 。 则
即
(3)
同规格的30个零件中混入了 个次品， 个零件中混入了3个次品 例2 同规格的 个零件中混入了 个次品，现进 行逐个检查，求查完20个零件时正好查出 个零件时正好查出3个次 行逐个检查，求查完 个零件时正好查出 个次 品的概率。 品的概率。
表示“ 个零件中有二个次品” 解：A表示“检查的前 个零件中有二个次品” 表示 检查的前19个零件中有二个次品 ， B表示“检查的第20个零件刚好是次品” 表示“检查的第 个零件刚好是次品 个零件刚好是次品” 表示 则所求的概率为
由贝叶斯公式， 由贝叶斯公式，得 P(C)P( A | C) P(C | A) = P(C)P( A | C) + P(C )P( A | C ) 代入数据， 代入数据， 计算得 P(C｜A)= 0.1066。 ｜ 。 现在来分析一下结果的意义 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？ 有无意义？ 2. 检出阳性是否一定患有癌症 检出阳性是否一定患有癌症?
A = ∑P( Ai )P(B｜ i ),
i =1 3
对求和中的每一项 运用乘法公式得
代入数据计算得： 代入数据计算得：P(B)=8/15。 。
将此例中所用的方法推广到一般的情形， 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 全概率公式。 得到在概率计算中常用的全概率公式 得到在概率计算中常用的全概率公式。
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？ 有无意义？ 如果不做试验, 抽查一人, 如果不做试验 抽查一人 他是患者的概率 P(C)=0.005 。 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性 患者阳性反应的概率是 ， 反应，则根据试验得来的信息， 反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的 P(C｜A)= 0.1066 。 概率为 ｜ 增加到0.1066, 将近增加约 倍。 将近增加约21倍 从0.005增加到 增加到 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有意义。 有意义。
• 例5 甲袋中有 只白球 只黑球， 甲袋中有3只白球 只黑球， 只白球2只黑球 乙袋中有4只白球 只黑球， 只白球4只黑球 乙袋中有 只白球 只黑球，今从甲 袋中任取2球放入乙袋 球放入乙袋， 袋中任取 球放入乙袋，再从乙袋 中任取一球，求该球是白球的概率。 中任取一球，求该球是白球的概率。 （13/25） ）
球，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其 个是红球。每次从袋中任取一球， 颜色后放回,并再放入同颜色、同型号的小球 颜色后放回,并再放入同颜色、 B={第一 第三次取到红球, 第一， c个。若B={第一，第三次取到红球,第二次取 到黑球} P(B)。 到黑球}，求P(B)。 ={第 次取到红球}, 解: 设Ai={第i次取到红球}, i=1,2,3, 则:
CC P(AB)=P(A)P(B|A)= C
2 3
17 27 19 30
1 171 = 11 4060
推广到多个事件的乘法公式: 推广到多个事件的乘法公式 当P(A1A2…An-1)>0时，有 时 P (A1A2…An） =P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)。 。
例3: 袋中有同型号小球b+r个，其中b个是黑 : 袋中有同型号小球b+r b+r个 其中b
实际中还有下面一类问题——已知结果求原因 已知结果求原因 实际中还有下面一类问题 接下来我们介绍解决这类问题的方法 贝叶斯公式
贝叶斯公式： 贝叶斯公式： 设 A1,A2,…,An 是 两 两 互 斥 的 事 件 ， 且 P(Ai)>0，i=1,2,…,n, 另有一事件 ，它总是与 另有一事件B， ， A1,A2,…,An 之一同时发生，则 之一同时发生，