研究生教材智能信息处理

第五章 粗糙集粗糙集（Rough Set ，RS ）理论是一种刻划不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析和处理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。

该理论是由波兰学者Z.Pawlak 教授在1982年提出的[12]，1991年的Z.Pawlak 出版了第一本关于粗糙集的专著[51]，系统全面地阐述了RS 理论，奠定了严密的数学基础。

该书和1992年R.Slowinski 主编出版的关于粗糙集应用及其相关方法比较研究的论文集较好地总结了这一时期RS 理论与实践的研究成果[52]，促进了国际上对粗糙集理论与应用的深入研究。

从1992年至今，每年召开以RS 为主题的国际会议，推动了RS 理论的拓展和应用。

国际上成立了粗糙集学术研究会。

目前RS 理论已成为人工智能以及计算智能中一个较新的学术热点，且在机器学习、决策分析、数据挖掘和知识发现等领域得到了具体应用和发展，并引起越来越多的科研人员的关注[13,52,53]。

粗糙集理论主要研究属性约简和规则提取，为此，本章主要介绍知识约简、属性约简和规则提取等方法。

5.1 粗糙集的基本概念5.1.1 知识表达系统为了处理智能数据，需要知识的符号表达，而知识表达系统（KRS ）的基本成分是研究对象的集合， 因此可以表达为：),,,(f V Q U K = （5.1.1）这里，U 是论域，即为对象的集合；Q 是属性集合，分为条件属性集C 和决策属性集D ，Q =C U D ，C ID =∅； a A a V V ∈=U 是属性值的集合，a V 表示了属性Q a ∈的范围；f 是V A U →×的映射。

知识表达系统K 有时可以简写为：K =(U ,Q )，它常用表格表达或决策表来实现。

5.1.2 不可辨识关系对于y x ,∈U ，P ⊆Q ，如果满足∀q ∈P :)()(y f x f q q =，则称对象x y 、对于属性集合P 是不可辨识的。

否则，称x y 、是可辨识的。

由P 决定的不可辨识关系记为ind (P )，即P 中所有等价关系的交集。

5.1.3 上近似、下近似及近似精度设P ⊆Q ，Y ⊂U ，U x ∈，x U y x P ∈={][ind(P )y }，定义集合Y 的下近似PY 和上近似PY 分别为：PY = )(Y pos P =}][{Y x U x P ⊆∈ （5.1.2） PY =≠∈Y x U x P I ][{∅} （5.1.3）此外，定义Y R Y R Y bn R −=)(为Y 的边界或边界区域（boundary ）。

显然，若≠)(Y bn R ∅或Y R Y R ≠，则集合Y 就是一个粗糙集概念。

下近似包含了所有那些可能是属于Y 的元素。

上近似与下近似的差就是此概念的边界区域，它由不能肯定分类到这个概念或其补集中的所有元素组成。

在粗糙集中也采用下面的说法，Y R Y pos R =)(称为集合Y 的R -正区域（−R positive region ），Y R U Y neg R −=)(称为集合Y 的R -反区域（−R negative region ）。

如图5.1所示，为区域划分的示意图。

由等价关系P 定义的集合Y 的近似精度为：)()/()(U card Y P card Y P =γ （5.1.4） )()/()(Y P card Y P card Y P =α （5.1.5）其中，≠Y ∅， )(Y card 表示集合Y 所含元素的个数。

设集合L 为由决策属性D 所决定的U 的划分{1Y ,2Y ,…, k Y }组成，依据上述两个近似精度，则划分L 关于属性集P 的近似精度为：∑==ki i P U card PY card L 1)(/)()(γ （5.1.6）∑∑===k i ki i i P PY card PY card L 11)(/)()(α （5.1.7）例5.1.1给定一知识库),(R U K =和一个等价类)(K ind R ∈，其中},,,{1010x x x U L =，且R 有下列的等价类：},{101x x E =，},,{9622x x x E =，},{533x x E =，},{844x x E =，},{1075x x E =。

集合},,,{84101x x x x X =为R 的可定义集，因为R 4111E E X R X U ==。

集合},,,,,{10854302x x x x x x X =为R 粗糙可定义集。

2X 的近似集、边界和近似精度分别为：2X R ＝},,,{854343x x x x E E =U ，},,,,,,,{10875431054312x x x x x x x x E E E E X R ==U U U ， },,,{)(1071051222x x x x E E X R X R X bn R ==−=U ，11/4/)()(22==cardU X R card X R γ，2/18/4)(2===)X R )/card(X card(R X 22R α。

集合},,{3203x x x X =为R 内不可定义。

因为3X R =∅，U x x x x x x x E E E X R ≠==},,,,,,{96532103213U U 。

集合},,,,,{7432104x x x x x x X =为R 外不可定义，4X 的近似集，边界和精度为：4X R ＝},{101x x E =， U X R =4，},,,,,,,,{)(109876543254324x x x x x x x x x E E E E X bn R ==U U U ， 11/2)(4=X R γ。

集合},,,,{743205x x x x x X =为R 全不可定义，因为：5X R ＝∅，U X R =5。

5.1.4 知识约简（1）一般约简设p ∈P ，若ind (P ) = ind (P －{p })，称p 是P 中可省的（或可约简的）属性，否则称p 是不可省的（或不可约简的）。

若对p ∈P 都是不可省的，称集合P 是独立的，否则称集合P 是相关的。

若Q ⊆P 是独立的，且ind (Q )=ind (P )，则称Q 是P 的一个约简。

P 中所有不可省属性的集合称为P 的核，记为core(P )。

设red (P )是P 的所有约简族，则有关系：core (P )＝∩red (P ) 。

核的概念有两方面的意义：第一是它是所有约简的基础，因为核包含于任何约简集之中，并且其计算是直接的；第二，核可以解释为知识最重要部分的集合，进行约简时不那个删掉它。

一般产生约简的方法是逐个向核中添加可省的关系，并进行检查。

计算所有约简核最佳约简都是NP 难题。

（2）相对约简设P 和Q 是全域U 上的等价关系的族集，定义Q 的P -正区域为 ： Y P Q pos QU Y P /)(∈=U 。

若P a ∈，)()(}){(Q pos Q pos a P P −=，则称关系a 在族集P 中是Q -可省的，否则称为Q -不可省的。

若在族集P 中每个关系a 都是Q -不可省的，则称P 关于Q 是独立的，否则就称为是依赖的。

如果知识P 仅仅只有一个Q -约简，则知识P 就是确定的。

当知识P 为不确定的，一般就有多种使用知识P 的方式。

若核为空，则这种不确定性就尤其严重。

若R ⊆P ，)()(Q pos Q pos R P =，即)(L P γ=)(L R γ，则称R 是P 的一个相对约简。

由此看出，约简前后划分L 的近似精度是不变的。

族集P 中的所有Q -不可省的初等关系的集合成为核，记为)(P core Q 。

设)(P red Q 是P 的所有Q -约简的族集，则有关系 )()(P red P core Q Q I =。

在相对约简中，核是不能删除的。

（3） 知识的依赖性设),(R U K =是一个知识库，R Q P ⊆,。

当且仅当)()(Q ind P ind ⊆，则称Q 依赖于P 或P 可推导出Q ，记做Q P ⇒。

当且仅当Q P ⇒且P Q ⇒，即)()(Q ind P ind =，则称P 和Q 是等价的，记作Q P =。

当且仅当Q P ⇒且P Q ⇒均不成立，则称P 和Q 是独立的，记Q P ≠。

依赖性也可以是部分成立的，部分依赖性（部分可推导性）可以由知识的正区域来定义，即)(/))(()(U card Q pos card Q k P P ==γ （5.1.8）我们称知识Q 以依赖度)10(≤≤k k 依赖于知识P ,记作Q P k ⇒。

当1=k ，则称知识Q 完全依赖于知识P ，即Q P 1⇒也记做Q P ⇒；当10<<k ，则称知识Q 部分依赖于知识P ；当0=k ，则称知识Q 完全独立于知识P 。

（4）属性的重要性按照式（5.1.8），条件属性C 和决策D 间的依赖度可以写成)(/))(()(U card D pos card D C C =γ。

根据依赖度的变化，可以定义属性子集C C ⊆'关于D 的重要性为：)()()'('D D C C C C CD −−=γγσ （5.1.9）特别当}{'a C =时，属性a ∈C 关于D 的重要性为：)()()(}{D D a a C C CD −−=γγσ （5.1.10）一般来说，属性重要性即指属性在信息表中的重要程度，其数值大，则重要性高；反之，其重要性低。

在相对属性约简中，属性重要性主要用来作为启发式信息。

目前，关于属性重要性的定义有多种，比如有根据信息熵和根据差别矩阵出现的频度等形式的定义，不同定义下的属性重要性计算结果可能有所变化。

（5）决策规则的确定性知识系统一般用决策表来表示，在决策表的约简后，最重要的是决策规则的产生。

令i X 和j Y 分别代表C U /与D U /中各个等价类，des(i X )表示对于各条件属性值的特定取值，des(j Y )表示对于各决策属性值的特定取值。

决策规则定义为：ij r ：des(i X ) → des(j Y )，≠i j X Y I ∅规则的确定性因子为),(j i Y X μ＝)(/)(i i j X card X Y card I ， 1),(0≤<j i Y X μ （5.1.11）当),(j i Y X μ＝1时，ij r 是确定的；当1),(0<<j i Y X μ，ij r 是不确定的。

任何有限决策规则集就称为决策算法。

（6）决策表的一致性当且仅当D C ⇒，决策表),,,(D C A U T =是一致的（或相容的）。