NOIP2010复习资料

NOIP图论相关内容1．图的存储相邻矩阵a[I,j]表示结点I到结点j的距离边集数组I,j,k 表示结点I与结点j相连接，权值为k邻接表方法一浪费空间tot[I]表示第I个结点连接边的数量a[I,j]表示第I个结点第j个连接的结点的结点序号方法二模拟链表节省空间last[点]=边记录和这个点相连的最后一条边pre[边]=边记录和同一点相连的上一条边other[边]=点记录的这条边的另一个点建图readln(x,y);inc(e);pre[e]:=last[x];last[x]:=e;other[e]:=y;2．图的遍历DFSProcedure dfs(x:longint);BeginBool[x]:=true;For I:=1 to n doIf I未被访问 and 与I连接 then dfs(i); End;BeginFor I:=1 to n doIf bool[I]=false then dfs(i);End;BFSProcedure (x:longint);Var I,l,r,j:longint;BeginL:=0;r:=1;Bool[x]:=true;Q[r]:=x;While l>r doBeginInc(l);I:=q[l];For j:=1 to n doIf (a[I,j]=1) and (bool[j]=false) then Begin inc(r);q[r]:=j;bool[j]:=true; end; End;End;3．传递闭包for k:=1 to n dofor I:=1 to n dofor j:=1 to n dof[I,j]=f[I,j] or (f[I,k] and f[k,j]);4.最短路径floyed O(N^3)多源最短路径（多源最长路径）当计算最短路径时，要求图中不能有负权回路当计算最长路径时，要求图中不能有正权回路f[I,j]表示i到j的最短路径for k:=1 to n dofor I:=1 to n dofor j:=1 to n do最短路径 f[I,j]=min(f[I,j],f[I,k]+f[k,j]); 最长路径 f[I,j]=max(f[I,j],f[I,k]+f [k,j]);Dijkstra O(N^2)单源最短路径运用松弛技术，逐步更新两结点的距离，图中不能有负权fillchar(bool,sizeof(bool),false);f[1]=0 f[I]=+oo (1<I<=n)for I:=1 to n domin:=+oo;for j:=1 to n doif (not(bool[j])) and (f[j]<min) thenbegin min:=f[j];q:=j; end;bool[q]:=true;for j:=1 to n doif (not(bool[j])) and (f[j]<f[q]+dis[q,j]) then f[j]:=f[q]+dis[q,j] end;writeln(f[x]);end.Bellman-ford O(NM)单源最最路径运用松弛计数，可以计算负权，逐步更新两点的距离For i:=1 to m doReadln(e[i].a,e[i].r,e[i].w); //边集数组输入F[1]:=0; f[i]:=+oo; (1<I<=n)For i:=1 to n-1 dochange:=false;for j:=1 to m dobeginif f[e[j].a]+e[j].w<f[e[j].b] thenf[e[j].b]:=f[e[j].a]+e[j].w;change:=true;end;if not(change) then break;end;writeln(f[k]);end.SPFA单源最短路Bellman-ford 的队列实现方式,SPFA采用邻接表的数据结构Tot[i]表示第i个结点相邻的结点数F[i]表示结点1到i的最短距离map[I,j]表示i结点第j个结点的序号Que[i]当前队列F[0]:=0;F[i]:=+oo;L:=0;r:=1;Que[r]:=1;while l<r dobegininc(l);q:=que[l];for i:=1 to tot[q] doif a[q,map[q,i]]+f[q]<f[map[q,i]] then begininc(r);f[map[q,i]]:=a[q,map[q,i]]+f[q];que[r]:=map[q,i];end;end;writeln(f[x]);end;5.最小生成树(MST)Kruskal o(eloge) 适合于边稀疏贪心+快速排序+并查集Kuai(1,tot) 升序排列For i:=1 to tot doBeginX:=find(e[i].l); y:=find(e[i].r); If x<>y thenBeginSum:=sum+e[i].w;S[x]:=y;Inc(t);If t=n-1 then break;End;End;Prim o(n^2) 适合于点密集Cost[i]表示结点i到集合的距离Index[i]表示第i个点连接的点每次扩展距离集合最短的结点For i:=1 to n doBeginCost[i]:=a[1,i];Index[i]:=1;End;For i:=1 to n-1 doBeginMin:=+oo;For j:=1 to n doIf (cost[j]<min) and (cost[j]<>0) then BeginMin:=cost[j];K:=j;End;Cost[k]:=0;For j:=1 to n doIf a[k,j]<cost[j] thenBeginCost[j]:=a[k,j];Index[j]:=k;End;End;For i:=2 to n doMax:=max+a[I,index[i]];Writeln(max);End.6.并查集①返回集合跟结点function find(x:longint):longint; beginif x=s[x] then exit(s[x]) else begins[x]:=fins(s[x]);exit(s[x]);end;end;②合并procedure bing(a,b:longint);var v1,v2:longint;beginv1:=find(a); v2:=find(b);if v1<>v2 then s[v1]:=v2;end;③查询集合个数（hash）for i:=1 to n doif bool[find(i)]=false then begin bool[find(i)]:=true;inc(tot); end;7.二分图匹配function dfs(a:longint):longint;var i:longint;beginfor i:=1 to n doif bool[i]=false thenbeginbool[i]:=true;if (seat[i]=0) and (dfs(seat[i])=1) then beginseat[i]=a;exit(1);end;end;exit(0);end.For i:=1 to n doBeginFillchar(bool,sizeof(bool),false);Dfs(i);End;NOIP树相关内容1．树的遍历procedure bian(x:longint);var i:longint;beginfor I:=1 to n doif 未被访问 and i是x的儿子 then bian(i); 访问处理(i);end;2. 二叉树树的存储一般存储方法Const m=树的结点数TypeNode=recordData:datatypeL,r,f:0..m; 左儿子，右儿子，父亲结点End;Treetype=array[1..m] of node;var tree:treetype特殊存储完全二叉树父节点I 左儿子2*I 右儿子 2*I+1 由于以上二叉树性质，完全二叉树可以由线性数组存储（堆）3.二叉树的遍历前序遍历Procedure preorder(i:longint);BeginIf bool[i]=true thenBegin访问处理 a[i].dataPreorder(a[i].l);Preorder(a[i].r);End;End;中序遍历Procedure inorder(i:longint);BeginIf bool[i]=true thenBeginInorder(a[i].l);访问处理 a[i].dataInorder(a[i].r);End;End;后序遍历Procedure postorder(i:longint); BeginIf bool[i]=true thenBeginPostorder(a[i].l);Postorder(a[i].r);访问处理a[i].dataEnd;End;中序遍历+后序遍历求前序遍历vars1,s2:string;procedure try(s3,s4:string);var p,i:longint;beginif length(s3)=0 then exit;if length(s3)=1 then begin write(s3);exit; end; p:=length(s4);write(s4[p]);i:=pos(s4[p],s3);try(copy(s3,1,i-1),copy(s4,1,i-1));try(copy(s3,i+1,p-i),copy(s4,i,p-i));end;beginreadln(s1);readln(s2);try(s1,s2);end.4. 森林与多叉树转2叉树处理 O(n)左儿子，右兄弟原则Ft[i]表示i是否有孩子A[i].right\a[i].left 表示i结点的左儿子、右儿子Num[i]表示i结点的最后一个儿子的结点号readln(n,m);for i:=1 to n dobeginreadln(x,y); //x表示x是i的父亲，y为数据 if ft[x]=false thenbegina[x].left:=i;num[x]:=i;ft[x]:=true;endelsebegina[num[x]].right:=i;num[x]:=i;end;a[i].data:=y;end;5.堆堆排序O(nlogn)procedure down(i:longint);var j:longint;beginj:=i*2;while j<=ed dobeginif (j<ed) and (a[j+1]>a[j]) then inc(j); if a[j]>a[i] thenbeginswap(i,j);i:=j;j:=i*2;endelse j:=maxlongint;end;end;建堆for i:=ed div 2 downto 1 do堆排序建堆后，最上面即为最值（max或min），和堆中最和一个元素交换，down(1)维护堆性质6.求树的直径 O(n)从任意一点出发，搜索到的最远点，则这个最远点必定在数的直径上，再从最远点搜索一次它的最远点既为树的直径typetxt=recorddata:char;f,l,r:longint;end;var a:array[0..1000] of txt;t:array[-1..1000] of boolean;i,j,n,max,node,m:longint;procedure dfs(x,l:longint);beginif l>max then begin max:=l;node:=x; end; t[x]:=false;if t[a[x].f] then dfs(a[x].f,l+1);if t[a[x].l] then dfs(a[x].l,l+1);if t[a[x].r] then dfs(a[x].r,l+1);end;beginreadln(m);read(a[1].data);a[1].f:=-1;a[1].r:=3;a[1].l:=2;for i:=2 to m dobeginread(a[i].data);a[i].f:=i div 2;if i*2<=m then a[i].l:=i*2;if i*2+1<=m then a[i].r:=i*2+1; end;max:=0;fillchar(t,sizeof(t),false);for i:=1 to m dot[i]:=true;dfs(1,0);max:=0;fillchar(t,sizeof(t),false);for i:=1 to m dot[i]:=true;dfs(node,0);writeln(max);end.7. 线段树typenode=recordp,r,m:longint; //[p,r) m = (p+r) div 2 k:longint;left,right:longint;end;vara:array[0..1000000] of node;data:array[0..1000000] of longint;i,j,n,m,tot,x,y,p,c:longint;function min(a,b:longint):longint;beginif a>b then exit(b) else exit(a);end;procedure buildtree(t:longint); beginif a[t].p+1=a[t].r thenbegina[t].k:=data[a[t].p];exit;end;a[t].m:=(a[t].p+a[t].r) div 2; //leftinc(tot);a[t].left:=tot;a[tot].p:=a[t].p;a[tot].r:=a[t].m;buildtree(tot);//rightinc(tot);a[t].right:=tot;a[tot].p:=a[t].m;a[tot].r:=a[t].r;buildtree(tot);a[t].k:=min(a[a[t].left].k,a[a[t].right].k);end;procedure change(t,i,v:longint);beginif a[t].p+1=a[t].r thenbegina[t].k:=v;data[i]:=v;exit;end;if i<a[t].m then change(a[t].left,i,v) else change(a[t].right,i,v); a[t].k:=min(a[a[t].left].k,a[a[t].right].k);end;function answer(t,x,y:longint):longint;beginif (a[t].p=x) and (a[t].r=y) then exit(a[t].k);if (y<=a[t].m) then exit(answer(a[t].left,x,y)) elseif (x>=a[t].m) then exit(answer(a[t].right,x,y)) elseexit(min(answer(a[t].left,x,a[t].m),answer(a[t].right,a[t].m,y))); end;beginreadln(n,m);for i:=1 to n doread(data[i]);tot:=1;a[tot].p:=1;a[tot].r:=n+1;buildtree(1);for i:=1 to m dobeginreadln(c,x,y);if c=1 thenwrite(answer(1,x,y+1),' ')else change(1,x,y);end;writeln;end.NOIP排序相关内容1．选择排序 o(n^2)for i:=1 to n-1 dofor j:=i+1 to n doif a[i]>a[j] then swap(i,j);2．快速排序procedure quick-sort(l,r:longint);var i,j,k,t:longint;begini:=l;j:=r;k:=a[(i+j) div 2];repeatwhile a[i]<k do inc(i);while a[j]>k do dec(j);if i<j thenbeginswap(i,j);inc(i);dec(j);end;until i>j;if i<r then quick-sort(i,r); if l<j then quick-sort(l,j); end.3．记数排序readln(n);for i:=1 to n dobeginread(a);inc(c[a]);if a>max then max:=a;end;for i:=1 to max doif c[i]<>0 thenfor j:=1 to c[i] dowrite(i,' ');4.堆排序procedure down(i:longint);var j:longint;beginj:=i*2;while j<=ed dobeginif (j<ed) and (a[j+1]>a[j]) then inc(j); if a[j]>a[i] thenbeginswap(i,j);i:=j;j:=i*2;endelse j:=maxlongint;end;end;建堆for i:=ed div 2 downto 1 doNOIP基本数论相关内容1.求最大公约数、最小公倍数function gcd(a,b:longint):longint;beginif b=0 then gcd:=a else gcd:=gcd(b,a mod b);end;function lcm(g:longint):longint;beginlcm:=a*b div g;end;2.2分法求解方程的近似解2分法确定方程近似解①确定区间[a,b]，验证f(a)*f(b)<0,给定精度ε② c=(a+b)/2③ if f(c)=0 then writeln(c);if f(c)*f(a)<0 then b=c;if f(c)*f(b)<0 then a=c;④if abs(a-b)<ε then writeln((a+b) div 2);牛顿迭代法求平方根f(x)=x^2-a x^2的导数是2x,根据斜率，求得表达式 (x+a/x)/2=x0 重复迭代即可( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25 4为x的初值( 2.25 + 2/ 2.25) / 2 = 1.56944..( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..3.求素数①判断某一数字是否为素数function sushu(x:longint):boolean; var i:longint;beginif (x=1) or (x=0) then exit(false); for i:=2 to trunc(sqrt(x)) doif x mod i=0 then exit(false);exit(true);end;②筛法求1-n的素数readln(n);fillchar(a,sizeof(a),true);for i:=2 to n-1 doif a[i] thenfor j:=i+1 to n doif j mod i=0 then a[j]:=false;write(1,' ');for i:=2 to n doif a[i] then write(i,' ');4.闰年判定if (year能被4整除 and 不能被100整除) or year能被400整除then 该年为闰年else 该年为平年5.构造排列①递归构造排列procedure try(k:longint);var i:longint;beginfor i:=1 to n dobeginx[k]:=i;if c[i]=false thenif k=n then begin for j:=1 to n do write(x[j]);writeln; end elsec[i]:=true;try(k+1);c[i]:=false;end;end;end;②模拟根据当前排列求下一组排列readln(n);readln(m);for i:=1 to n doread(a[i]);repeatdec(m);p:=n-1;while a[p]>a[p+1] do dec(p); if p>0 thenbeginwhile a[q]<a[p] do dec(q); swap(q,p);x:=p+1; y:=n;while x<y dobeginswap(x,y);inc(x);dec(y);end;end;until (m=0) or (p=0);6.构造组合①递归构造procedure try(k:longint);var i:longint;beginfor i:=1 to m dobeginx[k]:=i;if place(k) thenif k=n then begin for j:=1 to n do write(x[j]);writeln; end else try(k+1);end;end;②模拟根据当前组合构造下一组合readln(n);readln(m);for i:=1 to n doread(a[i]);repeatprint;i:=n;while (i>0) and (a[i]=m-n+i) do dec(i);if i>0 thenbegininc(a[i]);for j:=i+1 to n doa[j]:=a[j-1]+1;end;until i=0;7．进制转换①10进制转n进制（整数部分）采用“除以n倒取余法”,将十进制数除以n,记下余数……,直到商为0,最后将余数倒的输出即为所求。