二重积分积分区域的对称性
二重积分积分区域关于原点对称的结论
二重积分积分区域关于原点对称的结论1. 引言嘿，朋友们，今天咱们来聊聊二重积分中的一个有趣话题，听上去可能有点严肃，但其实特别简单，就是积分区域关于原点对称的那些事儿。
你说，二重积分到底是什么呢？简单来说，就是在一个区域内对某个函数进行“加法”，像是在数糖果，数得越多越开心！而原点对称的意思呢，就是像一对情侣一样，双方都一样对称，左边和右边就像镜子一样，听起来是不是很有趣？2. 理论背景2.1 二重积分的基本概念说到二重积分，咱们得先搞清楚积分区域的样子。
想象一下，咱们在纸上画一个大大的蛋糕，那就是我们的积分区域。
这个区域可以是任何形状的，比如圆形、矩形，甚至是个复杂的花花草草。
然后，我们在这个区域内的每一个点上，去计算函数值，就像在每一块蛋糕上撒糖霜，越撒越好吃！所以说，二重积分就是在这块区域内对函数进行的全方位“撒糖霜”！2.2 对称性的魅力接下来，让我们聊聊对称性。
原点对称的意思就是如果把区域翻转180度，依然保持不变。
就好比你的影子，如果你站在灯光下转身，影子还是那个影子，完全没变！而在数学中，这样的区域其实特别好处理，因为它们的性质让我们的计算变得轻松许多。
3. 具体例子3.1 圆形区域的美妙来，咱们举个简单的例子，假如我们有一个圆形的区域，中心就在原点。
想象一下这个圆，就像一个完美的披萨！在这个圆里面，每个点都和原点一样远，如果我们在这个圆里做二重积分，哎呀，那简直就像是把披萨分成一片一片的，吃起来特别过瘾！而且，圆的对称性让我们在计算的时候可以省去不少麻烦，哼哼，谁不喜欢简单明了的事儿呢？3.2 矩形区域的乐趣再比如说一个以原点为中心的矩形区域，虽然它的形状不是那么圆润，但同样是对称的。
就像个四四方方的豆腐，不管你怎么切，都是一块块的！在这种情况下，我们可以利用对称性，把积分变得更简单。
这就像是在做数学游戏，玩得不亦乐乎！4. 结论总之，二重积分的积分区域如果关于原点对称，简直就是给我们数学小白们送来了“福音”。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在 a,a 上连续，则2、 二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D 上连续，则(1) 如果积分区域D 关于x 轴对称，f(x,y)为y 的奇(或偶)函数, 即 f(x, y) f(x, y)(或 f(x, y) f (x, y))，则二重积分0,f x,y 为y 的奇函数f x, y dxdy2 f x, y dxdy, f x,y 为y 的偶函数DD 1其中：D i 为D 满足y 0上半平面区域。
(2) 如果积分区域D 关于y 轴对称，f(x,y)为x 的奇(或偶)函数， 即 f x, y f x, y (或 f x, y f x, y )，则二重积分0, f x, y 为x 的奇函数,fx,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为)的偶函数.DD 2其中：D 2为D 满足x 0的右半平面区域。
(3) 如果积分区域D 关于原点对称，f(x,y)为x,y 的奇(或偶)函a -ax dx0,a2 f x dx,0 x 为X 的奇函数, X 为X 的偶数，即卩f ( x, y) f (x,y)(或 f ( x, y) f(x,y))则二重积分0, f x,y为x,y的奇函数f x,ydx：y2 f xydxy，f x,y 为Xy的偶函数DD2其中：D1为D在y 0上半平面的部分区域。
(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积分f x, ydxdy f y,x dxdy .(二重积分的轮换对称性)D D(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有0, 当f( y, x) f(x,y)时f(x,y)dxdy 2 f(x,y)dxdy 当仁y, x) f(x,y)时D D利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是(1)(2)(3)中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。
3、三重积分：(1)若f X, y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z 0的部分区域，贝卩有0, f x, y, z为z的奇函数f儿y，zcXdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为z的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数：f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数：f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域关于xoz, yoz坐标面对称也有类似的性质。
积分对称性定理
关于积分对称性定理1、 定积分：设)(x f 在[],a a -上连续，则()()()()-00,d 2d ,a aaf x x f x x f x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.2、 二重积分：若函数),(y x f 在平面闭区域D 上连续，则（1）如果积分区域D 关于x 轴对称，),(y x f 为y 的奇（或偶）函数，即 ),(),(y x f y x f -=-（或),(),(y x f y x f =-），则二重积分()()()()10,,,d d 2,d d ,,D D f x y y f x y x y f x y x y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数. 其中：1D 为D 满足0≥y 上半平面区域。
（2） 如果积分区域D 关于y 轴对称，),(y x f 为x 的奇（或偶）函数，即()(),,f x y f x y -=-（或()(),,f x y f x y -=），则二重积分()()()()20,,,d d 2,d d ,,DD f x y x f x y x y f x y x y f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中：2D 为D 满足0x ≥的右半平面区域。
（3）如果积分区域D 关于原点对称，),(y x f 为y x ,的奇（或偶）函数，即),(),(y x f y x f -=--（或),(),(y x f y x f =--）则二重积分()()()()20,,,,d d 2,d d ,,,D D f x y x y f x y x y f x y x y f x y x y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.其中:1D 为D 在0≥y 上半平面的部分区域。
（4）如果积分区域D 关于直线x y =对称,则二重积分()()y x x y f y x y x f DDd d ,d d ,⎰⎰⎰⎰=.（二重积分的轮换对称性）(5)如果积分区域D 关于直线y x =-对称,则有10,(,)(,)(,)2(,),(,)(,)D D f y x f x y f x y dxdy f x y dxdy f y x f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰当时当时利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D 对称及被积函数()y x f ,具有奇偶性两个特性。
二重积分关于原点对称
二重积分关于原点对称
对称性计算二重积分：当被积函数integrand是奇函数时，在对称于原点的区域内积
分为0。
被积函数或被积函数的一部分是否关於某个坐标对称，积分区间是否对称，如果
可以就可以用对称性，只用积分一半再乘以2。
性质须知：
1、被内积函数提供更多不定积分内积出的函数，虽然看看可以探讨原函数的奇偶性，但是探讨分数函数回去奇偶性时，考量的仅仅就是被内积函数。
2、有界性：设函数f（x）在区间x上有定义，如果存在m\ue0，对于一切属于区间x 上的x，恒有|f（x）|≤m，则称f（x）在区间x上有界，否则称f（x）在区间上无界。
3、单调性：设立函数f（x）的定义域为d，区间i涵盖于d。
如果对于区间上任一两点x1及x2，当x1\ucx2时，恒存有f（x1）\ucf（x2），则表示函数f（x）在区间i上
就是单调递减的。
二重积分的对称性
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
D
2 f ( x , y ) d .
D1
( 2) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y 是奇函数，即 是奇函数
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
64 . 15
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
解
x y e d , D : x y 1. D
1
y 1 x
e
D
x y
d
×
2 e
D1
x y
d
1
y x 1
o D1 1
1
x
y x 1
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
利用对称性化简二重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标轴的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于坐标轴的 奇偶性．
二重积分的对称性：
1、积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y y 是偶函数 是偶函数，即
0 2 x 1 1 1
0
x 1
x y
1
x 1 x y e e dy x 1
e )dx 0 (e e 2 x 1 )dx
e e 1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二重积分的对称性的5种情形：
1、当积分区域关于X轴对称，被积函数关于Y为偶函数， 则二倍关系。被积函数关于Y为奇函数，则为零。
二重积分的对称性
jj f (x,y)d“ = I 2JJ/(x,y)db,如果/(x,y)在D上关于x为偶函数.
D
[ Di
弋HEFEI insiVhJtSITY OF TEC HNOLCMiY
/高等数学
例 1 设区域D : x + y < 1,求JJ(x3y2 + y3 sin2 x) do.
解如图，
D
H
且 由于区域D关于yJ轴J对x3称y2，do = x3y2关于x为奇函数，故 1 D
| F3j
言笙劫当
二、二重积分的轮换对称性
二重积分的轮换对称性可视为从f bf (x)dx = fb f (t)dt引伸过来.
a
a
ff f ( x, y ) dxdy = ff f (u, v) dudv.
Dxy
Duv
ff f ( y,x) =dxdy
D
D dydx)
与 。 仍 其中
为区域
D
关于直线/ = x的对称区域.
冬比.
久*
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXMiY
二重积分的对称性
/高等数学
冬比.
/高等数学
久二重积分的对称性包括奇偶对称性和抡换对称性. 一*、二重积分的奇偶对称性
HEFEI inMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
二重积分的奇偶对称性可视为从定积分的奇偶对称性引伸过来的.
/高等数学
冬比.
设 。 定理(二重积分的轮换对称性) f(X,7)在有界闭区域 上连
久*
为 关 』 续, D HEFEIinMIVBRSITY OF TFC HNCMXXiY
D
于直线
二重积分奇偶性对称性
二重积分奇偶性对称性谢邀！一、若积分区域D关于x轴对称，记x轴以上的区域为D_{1}.①若此时被积函数f(x, y)是关于y的奇函数，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若被积函数f(x, y)是关于y的偶函数，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=2\iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.二、若积分区域D关于y轴对称，记y轴右侧区域为D_{1}.①若此时被积函数f(x, y)是关于x的奇函数，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若被积函数f(x, y)是关于x的偶函数，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=2\iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.三、若积分区域D关于x轴和y轴都对称，记D_{1}=\{(x, y) \in D \mid x \geq 0, y \geq 0\}.①若f(-x, y)=-f(x, y)或f(x,-y)=-f(x, y)，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若f(-x, y)=f(x,-y)=f(x, y)，则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=4\iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.四、若积分区域D关于原点对称，记D_{1}=\{(x, y) \in D \mid x \geq 0\}.①若f(-x,-y)=-f(x, y)则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若f(-x,-y)=f(x, y)则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=2\iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.五、（轮换对称性）若积分区域D关于y=x对称，则\begin{aligned} & \iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma \\ =& \iint\limits_{D} f(y, x) d \sigma \\ =& \frac{1}{2} \iint\limits_{D}[f(x, y)+f(y, x)] d \sigma .\end{aligned}记D_{1}=\{(x, y) \in D \mid y \geq x\}①若f(x, y)=-f(y, x)则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=0.②若f(x, y)=f(y, x)则\iint\limits_{D} f(x, y) d \sigma=2\iint\limits_{D_{1}} f(x, y) d \sigma.六、例题精析。
二重积分积分区域关于y对称被积函数为奇函数
《探讨二重积分中关于y对称被积函数为奇函数的特性》在数学中，二重积分是对二元函数在特定区域的积分运算，它在物理、经济学和工程学等领域有着广泛的应用。
而对于二重积分中积分区域关于y对称且被积函数为奇函数的特性，也是一个十分有趣和值得深入探讨的话题。
1. 二重积分的基本概念让我们回顾一下二重积分的基本概念。
二重积分是对一个平面区域上的函数进行积分运算，通常表示为∬f(x,y)dA，其中f(x,y)为被积函数，dA代表面积元素。
在二重积分中，积分区域的选择对于计算结果有着重要的影响。
2. 关于y对称的积分区域现在，让我们来思考关于y对称的积分区域的特点。
当积分区域关于y 轴对称时，可以将被积函数分解为奇函数和偶函数的组合。
具体来说，如果被积函数f(x,y)关于y对称，那么可以将其分解为奇函数和偶函数的和：f(x,y)=g(x,y)+h(x,y)，其中g(x,-y)=-g(x,y)，h(x,-y)=h(x,y)。
在这种情况下，对于奇函数部分的积分结果为0，而对于偶函数部分的积分结果则可以通过对称性简化计算。
3. 奇函数的性质接下来，让我们简单回顾一下奇函数的性质。
奇函数的一个重要特点是在函数图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x)。
这意味着奇函数在关于y 的对称轴上的函数值相等但符号相反。
当被积函数为奇函数时，积分区域关于y对称的性质将影响积分结果的简化和计算。
4. 对于二重积分的影响考虑到上述特性，当积分区域关于y对称且被积函数为奇函数时，可以得出以下结论：- 奇函数部分的积分结果为0，这可以简化积分计算的过程；- 积分区域的对称性可以帮助简化被积函数的分解和积分计算；- 奇函数的对称性可以使得积分结果更具有普遍性和简洁性。
5. 个人观点与总结从个人观点来看，二重积分中关于y对称的积分区域且被积函数为奇函数的特性，是数学中非常有趣和重要的一个方面。
这种特性不仅可以帮助简化计算，还可以使得积分结果更具有普适性和简洁性。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分一、引言在数学中，积分是一个重要的概念，用于描述曲线、曲面以及空间中的面积、体积等量。
而对称性也是数学中一个重要的概念，可以帮助我们简化问题的求解过程。
本文将介绍关于原点对称的二重积分，并讨论如何利用对称性简化计算过程。
二、二重积分及其性质1. 二重积分的定义设函数f(x,y)在闭区域D上有界，将D分成无穷多个小区域，每个小区域用Δσi表示。
在每个小区域上取任意一点(ξi,ηi)，构成面积Δσi。
当maxΔσi→0时，如果极限limmaxΔσi→0∑f(ξi,ηi)Δσi存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作∬fD(x,y)dσ2. 二重积分的性质•线性性质：设函数f(x,y)和g(x,y)在闭区域D上可积，c为常数，则有∬(f(x,y)+g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ+∬gD(x,y)dσ∬c D ⋅f(x,y)dσ=c⋅∬fD(x,y)dσ•区域可加性：若将闭区域D分成两个不相交的闭区域D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ•积分保号性：若在闭区域D上有界函数f(x,y)恒有f(x,y)≥0，则有∬fD(x,y)dσ≥0三、关于原点对称的二重积分1. 关于原点对称的定义一个闭区域或曲线称为关于原点对称的，是指当(x,y)在该区域或曲线上时，有(−x,y),(x,−y),(−x,±y)（其中±表示取正或负）也在该区域或曲线上。
2. 关于原点对称的性质•若函数f(x,y)关于原点对称，即f(x,y)=f(−x,−y)，则有∬f D (x,y)dσ=4∬fD1(x,y)dσ其中D1为闭区域D中关于原点的一个象限。
•若函数f(x,y)关于y轴对称，即f(x,y)=f(−x,y)，则有∬f D (x,y)dσ=2∬fD1(x,y)dσ其中D1为闭区域D中关于y轴的一侧。
二重积分积分区域的对称性
.f (x, y)dxdyD2 f (x, y)dxdy ,当 f (-x, y)二D20,当 f ( — x, y) f (x, y).二 f (x, y).情形一：积分区域D 关于坐标轴对称定理4设二元函数f(x,y)在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则 1)当f (x, _y)二一 f(x, y)(即f (x, y)是关于y 的奇函数)时，有i i f (x, y)dxdy = 0 -D2)当f (x,—y) =f (x, y)(即f (x, y)是关于y 的偶函数)时，有f (x, y )dxdy =2 f (x, y) dxdyDD i其中D i 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算|二 (xy - y 3)dxdy ，其中D 为由y 2=2x 与x = 2围成的区域。
D其中D 2是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且y 」x= 23f (x, —y) = -(xy + y ) = _f (x, y)2 7即f(x,y)是关于y 的奇函数，由定理1有 02F仃 f ( xy + y 3) dxdy = 0 .D类似地，有: 定理5设二元函数f (x, y)在平面区域D 连续，且 D 关于y 轴对称，则解：如图所示，2所®。
于y轴对称，并且y = -2x+2f ( _x, y) = x2y 二 f (x, y)，即被积分函数是关于x轴的偶函数，由对称性定理结论有:2 2I =打x ydxdy =2x ydxdy = 2 ° dxD D i i _2 x 亠2 x2ydxdyi5D i9例7 计算二重积分| = . . ( x y|)dxdy ，其中D :解：如图所示，D关于x轴和y轴均对称，且被积分函数关于x和y是偶函数，即有f (x, - y )二f ( -x, y ) =f (x, y)，由定理2,得其中D!是x dxdyy )dxdyD的第H y dxdyD iy )dxdy分，由对称性知，緒・DiDiD i+ |y )dxdyD ix )dxdy 8 | x dxdyD i定理6设二元函数f(x, y)在平面区域D连续，且D关于x轴和y轴都对称，则(1 )当f (―x, y)二-f (x, y)或f (x, - y)二-f (x, y)时，有f ( x , y ) dxdy = 0D(2)当f (_x, y)二f (x, -y)二f (x, y)时,有! ! f ( x, y ) dxdy = 4 1 1 f ( x, y ) dxdyD其中D!为由x轴和y轴分割D所的到的1/4区域。
积分对称性定理
曲面 1取前侧，在 yoz后半空间的部分曲面 2 取后侧，则
P x, y, z dxdy
0,
P x, y, z 关于x是偶函数,
2 P x, y, z dydz, P x, y, z 关于x是奇函数.
1
（3）设分片光滑的曲面 关于 xoz 坐标面对称，且 在 xoz 右半空间的部分 曲面 1取右侧，在 xoz 左半空间的部分曲面 2 取左侧，则
f x, y ds
L
0,
f x, y 为x的奇函数,
2 f x, y ds, f x, y 为x的偶函数. L1
（2）若分段光滑平面曲线 L 关于 x 轴对称，且 f x, y 在 L 上为连续函
数， L1 为 L 位于 x 轴上侧的弧段，则
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3
—
f x, y ds
L
0,
f x, y 为y的奇函数,
4
—
位于 xoy上侧 z 0的部分曲面，则
f x, y, z dS
0,
f x, y, z 为z的奇函数,
2 f x, y, z dS, f x, y, z 为z的偶函数.
1
曲面关于 yoz, xoz坐标平面对称也有类似的性质。
7、第二类曲面积分的对称性
设函数 P( x, y, z) , Q (x, y, z) , R( x, y, z) 在分片光滑的曲面 上连续，
—
f x, y dxdy
D
0,
f x, y 为x的奇函数 ,
2 f x, y dxdy, f x, y 为x的偶函数 .
D2
其中： D2 为 D 满足 x 0 的右半平面区域。 （3） 如果积分区域 D 关于原点对称， f ( x, y) 为 x, y 的奇（或偶）函
二重积分积分区域的对称性
二重积分积分区域的对称性Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】情形一：积分区域D 关于坐标轴对称定理4 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴对称，则1)当(,)(,)f x y f x y -=-（即(,)f x y 是关于y 的奇函数）时，有(,)0Df x y dxdy =⎰⎰ .2)当(,)(,)f x y f x y -=（即(,)f x y 是关于y 的偶函数）时，有1(,)2(,)D D f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰ . 其中1D 是由x 轴分割D 所得到的一半区域。
例5 计算3()DI xy y dxdy =+⎰⎰，其中D 为由22y x =与2x =围成的区域。
解：如图所示，积分区域D 关于x 轴对称，且3(,)()(,)f x y xy y f x y -=-+=- 即(,)f x y 是关于y 的奇函数，由定理1有3()0D f xy y dxdy +=⎰⎰.类似地，有：定理5 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于y 轴对称，则其中2D 是由y 轴分割D 所得到的一半区域。
例6 计算2,DI x ydxdy =⎰⎰其中D 为由22;-220y x y x y =+=+=及所围。
解：如图所示，D 关于y 轴对称，并且2(,)(,)f x y x y f x y -==，即被积分函数是关于x 轴的偶函数，由对称性定理结论有：11222220022215x D D I x ydxdy x ydxdy dx x ydxdy -+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 定理6 设二元函数(,)f x y 在平面区域D 连续，且D 关于x 轴和y 轴都对称，则（1）当(,)(,)f x y f x y -=-或(,)(,)f x y f x y -=-时，有(,)0D f x y dxdy =⎰⎰ .（2）当(,)(,)(,)f x y f x y f x y -=-=时,有其中1D 为由x 轴和y 轴分割D 所的到的1/4区域。
二重积分区域关于原点对称的结论
二重积分区域关于原点对称的结论1. 什么是二重积分？二重积分，听起来是不是有点高大上的样子？其实它就是用来计算某个区域里的面积或体积的工具。
想象一下，你要给一个大蛋糕切块，二重积分就像是帮助你计算每一块的重量。
你先得找到这个蛋糕的形状，然后用积分来“量”出每个部分的大小。
这个过程其实就像是我们生活中常常遇到的量体裁衣，把握好每一寸空间，才能确保整体效果好得不行。
2. 关于对称性2.1 原点对称的概念好吧，咱们接下来聊聊“原点对称”。
简单说，就是如果你把一个图形对折，翻过来，正好能重合，那它就是原点对称的。
就像一面镜子，正对着你，无论你怎么换姿势，镜子里的你总能完美呈现。
对称性在数学里可是个重要的概念，特别是在处理积分的时候，理解这个特性，可以让我们做事情事半功倍。
2.2 为什么重要？那么，为什么对称性对二重积分来说这么重要呢？其实，想象一下你要计算一个对称区域的积分，比如一个正方形或圆形，这样的区域通常会让计算变得简单。
对称性帮我们减少了计算的复杂性，就像在解一道题时发现了捷径，你的心里那个美呀，简直是飞上天了！如果积分区域对称，很多时候可以将某些项抵消掉，最后就省了不少麻烦。
3. 如何应用3.1 实际例子我们来举个例子，假设你有一个以原点为中心的圆形区域，半径为 R。
这个区域的积分，可以表示为∫∫_D f(x, y) dx dy，其中 D 是圆的区域。
由于这个区域关于原点对称，我们就可以利用这个特性来简化我们的计算过程。
就像把一块大拼图拆成几小块，轻松多了！3.2 计算过程中的乐趣当你在计算的时候，可以把函数 f(x, y) 拆分成奇函数和偶函数。
奇函数在原点对称的情况下，积分的结果是零，就像有些东西偏心了一样，不管你怎么加，它总是“跳过”某些值；而偶函数则会在对称性下“倍增”你的结果，正好能让你加倍收获。
这个过程中，有时你可能会觉得自己像个侦探，逐步找出每一个关键线索，最后拼凑出完整的真相，太有成就感了！4. 小结通过这些讨论，我们可以看到，二重积分和对称性之间的关系就像是相辅相成的好搭档。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分积分区域关于原点对称的二重积分是一种在平面上计算函数在某个区域上的积分值的方法。
在这种情况下，将积分区域分为两个对称部分，并利用对称性简化计算过程。
对于平面上的二重积分而言，我们可以将积分区域分成有限个子区域，然后对每个子区域进行积分后再求和得到最终的积分值。
在一些问题中，积分区域往往具有某种对称性，例如关于原点对称，这种对称性可以大大简化计算过程。
假设我们要计算一个关于原点对称的二重积分，即要计算的函数f(x, y)在关于原点对称的区域D上的积分。
为了利用对称性简化计算，我们可以将区域D分成两个关于x轴对称的子区域D1和D2，其中D1位于x轴的上方，D2位于x轴的下方。
我们可以利用对称性将D1和D2的积分值相加得到整个区域D上的积分值。
即∬Df(x, y)dA = ∬D1f(x, y)dA + ∬D2f(x, y)dA。
然后，我们可以进一步利用区域D1和D2的对称性来简化计算。
由于D1和D2是关于x轴对称的，所以在计算D1的积分时，我们可以先对x轴上方的一半区域D1'进行积分，然后将积分值乘以2。
同样地，在计算D2的积分时，我们可以先对x轴下方的一半区域D2'进行积分，然后将积分值乘以2。
即∬Df(x, y)dA = 2∬D1'f(x, y)dA + 2∬D2'f(x, y)dA =4∬D1'f(x, y)dA。
接下来，我们可以继续利用对称性简化D1'和D2'的计算过程。
由于D1'和D2'是关于y轴对称的，所以在计算D1'的积分时，我们可以先对y轴右侧的一半区域D1''进行积分，然后将积分值乘以2。
同样地，在计算D2'的积分时，我们可以先对y轴左侧的一半区域D2''进行积分，然后将积分值乘以2。
即∬Df(x, y)dA = 4∬D1'f(x, y)dA = 8∬D1''f(x, y)dA。
积分区域关于原点对称二重积分
积分区域关于原点对称二重积分
（原创实用版）
目录
1.积分区域关于原点对称的概念
2.原点对称二重积分的性质
3.计算原点对称二重积分的方法
4.应用实例
正文
一、积分区域关于原点对称的概念
在数学中，我们经常会遇到一种特殊的积分区域，即关于原点对称的区域。
这类区域具有一个非常明显的特点，即对于区域中的任意一点，其关于原点对称的点也在该区域中。
这种对称性为我们求解某些二重积分提供了便利。
二、原点对称二重积分的性质
原点对称的二重积分具有以下性质：
1.对于关于原点对称的二重积分，其积分区域可以简化为一个单个的区域，而不需要对两个区域分别求积分。
2.原点对称二重积分的积分顺序可以随意调换，即先对第一个变量积分，再对第二个变量积分，或者反之，积分结果是相同的。
三、计算原点对称二重积分的方法
对于原点对称的二重积分，我们可以通过以下步骤进行计算：
1.确定积分区域，并根据对称性，将其简化为一个单个的区域。
2.确定被积函数，并根据积分区域的对称性，将被积函数表示为关于原点对称的形式。
3.按照积分的性质，对被积函数进行积分，得到原点对称二重积分的结果。
四、应用实例
假设有一个关于原点对称的积分区域，其边界方程为 x^2 + y^2 = 1。
现在需要计算以下二重积分：
∫∫(x^2 + y^2) dx dy
根据原点对称的性质，我们可以将积分区域简化为一个单位圆。
被积函数 x^2 + y^2 可以直接表示为关于原点对称的形式。
对称性在二重积分计算中的应用
对称性在二重积分计算中的应用在对称图形的积分计算中，对称性可以将积分区域划分为若干个相同或相似的子区域，从而简化积分计算。
例如，当积分区域具有关于x轴的对称性时，可以将整个积分区域划分为上下两个对称的子区域，然后只计算其中一个子区域的积分，再乘以2即可得到整个积分的结果。
同样地，对于具有关于y轴或原点对称性的积分区域，也可以利用对称性进行类似的简化。
这种方法可以大大减少计算量，并且适用于各种形式的对称图形，如关于斜线对称、关于点对称等。
另外，对称性还可以用来简化函数的积分计算。
如果被积函数具有关于一些轴的对称性，则可以将函数在整个积分区域上的积分转化为仅在一个子区域上的积分。
例如，当被积函数具有关于y轴的对称性时，可以将积分区域限定在y轴右侧的一个子区域上，然后只计算在该子区域上的积分，最后再乘以2得到整个积分的结果。
同样地，对于具有关于x轴或原点对称性的函数，也可以利用对称性进行类似的简化。
这种方法常常用于计算一些特殊函数的积分，如奇偶函数的积分等。
此外，对称性还可以通过坐标变换来进行利用。
通过适当的坐标变换，可以将原始的积分区域变换为具有对称性的新区域，在新区域上进行积分计算。
例如，当积分区域关于x轴对称时，可以利用变换u=x-y和v=x+y将原始区域变换为关于v轴对称的新区域，在新区域上进行积分计算，最后再进行恢复变换得到原始区域的积分结果。
通过这种方式，可以将积分区域的形状简化为对称的形状，从而方便进行积分计算。
在实际问题中，对称性在二重积分计算中的应用也十分广泛。
例如，在求解物体的质量、重心、转动惯量等物理量时，常常可以利用对称性简化计算过程。
又如在求解电荷分布、电场、电势等电磁问题中，对称性也可以起到重要的作用。
此外，对称性还可以用于求解微分方程的特解问题，通过对微分方程和边界条件的对称性进行分析，可以得到特殊的对称函数解，从而简化问题的求解过程。
综上所述，对称性在二重积分计算中的应用是十分广泛的。
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情形一：积分区域关于坐标轴对称
定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则
1)当(即就是关于得奇函数）时，有
、
2)当（即就是关于得偶函数）时，有
、
其中就是由轴分割所得到得一半区域.
例5 计算,其中为由与围成得区域。
解:如图所示，积分区域关于轴对称，且
即就是关于得奇函数，由定理１有、
类似地，有:
定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则
其中就是由轴分割所得到得一半区域。
例6 计算其中为由所围。
解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、
定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则
(１）当或时,有
、
（２)当时，有
其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。
9例7 计算二重积分，其中: 、
解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是
偶函数,即有
,由定理2，得
其中就是得第一象限部分，由对称性知,，
故、
情形二、积分区域关于原点对称
定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足
１）时,有
2）时，有、
例8 计算二重积分，为与所围区域、
解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有
,有定理7，得
、
情形三、积分区域关于直线对称
定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，
则
1）；
、
2)当时，有、
3）当时,有、
例9 求，为所围、
解：积分区域关于直线对称，由定理8,得
，
故
、
类似地，可得:
定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；
（2)当，则有、
例10 计算,其中为区域：, 、
解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，
由以上性质,得:
、
注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。