二重积分积分区域的对称性

情形一：积分区域关于坐标轴对称

定理4设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则

1)当(即就是关于得奇函数）时，有

、

2)当（即就是关于得偶函数）时，有

、

其中就是由轴分割所得到得一半区域.

例5 计算,其中为由与围成得区域。

解:如图所示，积分区域关于轴对称，且

即就是关于得奇函数，由定理１有、

类似地，有:

定理5设二元函数在平面区域连续，且关于轴对称,则

其中就是由轴分割所得到得一半区域。

例6 计算其中为由所围。

解：如图所示,关于轴对称，并且,即被积分函数就是关于轴得偶函数，由对称性定理结论有：、

定理6设二元函数在平面区域连续,且关于轴与轴都对称，则

(１）当或时,有

、

（２)当时，有

其中为由轴与轴分割所得到得1/4区域。

9例7 计算二重积分，其中: 、

解：如图所示，关于轴与轴均对称，且被积分函数关于与就是

偶函数,即有

,由定理2，得

其中就是得第一象限部分，由对称性知,，

故、

情形二、积分区域关于原点对称

定理7 设平面区域，且关于原点对称,则当上连续函数满足

１）时,有

2）时，有、

例8 计算二重积分，为与所围区域、

解:如图所示，区域关于原点对称，对于被积函数，有

,有定理7，得

、

情形三、积分区域关于直线对称

定理8 设二元函数在平面区域连续，且,关于直线对称，

则

1）；

、

2)当时，有、

3）当时,有、

例9 求，为所围、

解：积分区域关于直线对称，由定理8,得

，

故

、

类似地，可得:

定理９设二元函数在平面区域连续,且，关于直线对称,则(１）当，则有；

（2)当，则有、

例10 计算,其中为区域：, 、

解：如图所示，积分区域关于直线对称,且满足，

由以上性质,得:

、

注:在进行二重积分计算时，善于观察被积函数得积分区域得特点，注意兼顾被积函数得奇偶性与积分区域得对称性，恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算,使二重积分得解答大大简化。