ARMA模型
ARMA模型
ARMA模型AR模型是一种线性预测，即已知N个数据，可由模型推出第N点前面或后面的数据(设推出P点)，AR模型-模型简介所以其本质类似于插值，其目的都是为了增加有效数据，只是AR模型是由N点递推，而插值是由两点(或少数几点)去推导多点，所以AR模型要比插值方法效果更好。
ARMA模型(Auto-Regressive and Moving Average Model)是研究时间序列的重要方法，由自回归模型(简称AR模型)与滑动平均模型(简称MA模型)为基础"混合"构成。
在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。
ARMA模型的基本原理将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。
一方面，影响因素的影响，另一方面，又有自身变动规律，假定影响因素为x1，x2，…，xk，由回归分析，其中Y是预测对象的观测值，e为误差。
作为预测对象Yt受到自身变化的影响，其规律可由下式体现，模型原理误差项在不同时期具有依存关系，由下式表示，模型原理图由此，获得ARMA模型表达式模型原理图模型原理总图模型预测模型-常见预测模型预测是对未来作出的估计和推断，为了达到这一目的，往往要对现实世界(或称研究对象)进行模仿或抽象，这一过程称之为建模；用建模手段获得现实世界(对象)的一种表示和体现就称为模型。
一切客观存在的事物及其运动形态我们统称为现实；现实和未来是不一样的，但是通过对于现实的研究可以预见未来，这就是预测。
从信息运动的角度看，现实之中包含着未来，孕育着未来。
因此，一个"好"的模型不仅能表达现实而且应该能准确的反映现实的发展规律。
时至今日，预测模型已多达一百余种，常用的也有二三十种。
任何预测模型都有它自身的优缺点；至今，还没有一种既有极高的预测精度，又适用于任何现实问题(研究对象)的预测模型。
arma模型的数学表达式
arma模型的数学表达式摘要：一、arma模型的简介- 自回归滑动平均模型(ARMA)的概念- ARMA模型在时间序列分析中的应用二、arma模型的数学表达式- ARMA模型的数学定义- 典型ARMA模型的数学表达式三、arma模型的性质与特点- ARMA模型的稳定性- ARMA模型的自相关函数和偏自相关函数四、arma模型的参数估计与预测- 矩估计方法- 极大似然估计方法- ARMA模型的预测方法正文：一、ARMA模型的简介自回归滑动平均模型，简称ARMA模型，是一种常用的时间序列分析模型。
它由自回归模型(AR)和滑动平均模型(MA)组合而成，能够同时考虑时间序列的自相关性和滑动平均性。
ARMA模型广泛应用于经济学、金融学、气象学等领域，用于预测和分析具有线性趋势的时间序列数据。
二、ARMA模型的数学表达式ARMA模型的数学定义如下：Y_t = c + Φ1Y_(t-1) + Φ2Y_(t-2) + ...+ Φpy_(t-p) + θ1X_(t-1) +θ2X_(t-2) + ...+ θqx_(t-q) + ε_t其中，Y_t表示需要分析的时间序列数据，c为常数项，Φi和θj为自回归和滑动平均系数，p和q分别为自回归和滑动平均的阶数，X_t为解释变量，ε_t为误差项。
典型的ARMA模型有：- AR(p)模型：当q=0时，ARMA模型退化为自回归模型。
- MA(q)模型：当p=0时，ARMA模型退化为滑动平均模型。
- ARMA(p,q)模型：当p≠0且q≠0时，为一般ARMA模型。
三、ARMA模型的性质与特点ARMA模型的稳定性主要取决于其系数Φ和θ的取值。
当|Φ(1+jω)|<1和|θ(1+jω)|<1时，ARMA模型是稳定的。
此外，ARMA模型的自相关函数(ACF)和偏自相关函数(PACF)可以用来分析时间序列的序列相关性和平均相关性。
四、ARMA模型的参数估计与预测ARMA模型的参数估计方法有矩估计和极大似然估计。
ARMA模型
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2: 一般假定
X t 均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
记 Bk 为 k 步滞后算子, 即 Bk X t X tk , 则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
实际问题中, 常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况, 这 时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性, 否则季节性会被强趋势性所掩盖, 以至判断错误.
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型, 需进 行季节差分消除序列的季节性, 差分步长应与季节周期一致.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
式【5】称为( p, q)阶的自回归移动平均模型, 记为ARMA ( p, q)
注1: 实参数 1,2 , , p 称为自回归系数, 1,2 , ,q 为移动平均系数,
都是模型的待估参数
注2: 【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3: 引入滞后算子，模型【5】可简记为
(B) Xt (B)ut
【6】
在实际中, 常见的时间序列多具有某种趋势, 但很多序列 通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除, 只需考察经过差分后序列 的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上, 序列重
复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等 时间序列都具有明显的季节变化. 一般地, 月度资料的时间序列, 其季节周期为12个月；
Xt 1 v1B v2B2
ut
vjB
j
ut
j0
arma模型的数学表达式
arma模型的数学表达式摘要：1.ARMA 模型的概述2.ARMA 模型的数学表达式3.ARMA 模型的应用正文：一、ARMA 模型的概述自回归滑动平均模型（ARMA）是一种常用的时间序列分析方法，主要用于拟合和预测具有线性趋势的时间序列数据。
ARMA 模型是由自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA）组合而成的，可以同时对时间序列数据中的长期依赖关系和短期依赖关系进行建模。
二、ARMA 模型的数学表达式ARMA 模型的数学表达式分为两个部分：自回归部分（AR）和滑动平均部分（MA）。
1.自回归部分（AR）自回归模型主要描述时间序列数据中的长期依赖关系，其数学表达式为：X_t = c + Φ1X_{t-1} + Φ2X_{t-2} +...+ ΦpX_{t-p} + ε_t其中，X_t 表示时间序列数据在t 时刻的取值，c 为常数项，Φ1、Φ2、...、Φp 为自回归系数，ε_t 为误差项。
2.滑动平均部分（MA）滑动平均模型主要描述时间序列数据中的短期依赖关系，其数学表达式为：X_t = μ+ θ1ε_{t-1} + θ2ε_{t-2} +...+ θqε_{t-q}其中，X_t 表示时间序列数据在t 时刻的取值，μ为常数项，θ1、θ2、...、θq 为滑动平均系数，ε_{t-1}、ε_{t-2}、...、ε_{t-q}为误差项。
将自回归部分和滑动平均部分相结合，即可得到ARMA 模型的数学表达式：X_t = c + Φ1X_{t-1} + Φ2X_{t-2} +...+ ΦpX_{t-p} + μ+ θ1ε_{t-1} + θ2ε_{t-2} +...+ θqε_{t-q}其中，c、μ为常数项，Φ1、Φ2、...、Φp、θ1、θ2、...、θq 分别为自回归系数和滑动平均系数，ε_t、ε_{t-1}、ε_{t-2}、...、ε_{t-q}为误差项。
三、ARMA 模型的应用ARMA 模型广泛应用于金融、经济学、气象学等领域的时间序列数据分析和预测。
ARMA模型介绍
➢ 如果Yt一 个Yt时1 间序1Y列t1有 .一.. 个 p单1位Yt根 p，1 那ut 么在回归模
型中可以仅包括Y。
共同学习，重在交流
➢ 一般形式的MA(q)M模型A可(q以)表模示型为
➢ 上述模Y型t 为uqt 阶移1u动t1平均2模ut型2 qutq
➢ MA(q)模型也不存在非平稳问题。
➢ 调整可决系数、AIC和SC准则都是模型选 择的重要标准。
共同学习，重在交流
➢ 赤池信息准A则IC：准AIC则=-和2L/Sn+C2k准/n，则其中L是
对数似然值，n是观测值数目，k是被估计 的参数个数。AIC准则要求其取值越小越好。 ➢ 施瓦茨准则：SC=-2L/n-klnn/n，使用时也 要求SC值越小越好。
共同学习，重在交流
➢ 如果自时间回序归列Y移t是它动的平当期均和模前期型的(随A机R误M差A项) 以及前期值的线性函数，即可表示为：
➢ Y则t 称该1Yt序1 列为2Yt（2 p,.q..） 阶pY自t 回p 归ut移动1u平t1均模型。qu记tq
为ARMA（p,q）
共同学习，重在交流
随机时间序列分析模型的识别
共同学习，重在交流
模型的识别
➢ AR（p）模型的识别。若序列的偏自相关函数在p以 后截尾，而且自相关系数是拖尾的，则此序列是自回 归AR（p）序列。
➢ MA（q）模型的识别。若序列的自相关函数在q以后 截尾，而且偏自相关系数是拖尾的，则此序列是移动 平均MA（q）序列。
➢ ARMA（p,q）模型的识别。若序列的自相关函数和 偏自相关系数都是拖尾的，则此序列是自回归移动平 均ARMA（p,q）序列。至于模型中p和q的识别，则 要从低阶开始逐步试探，直到定出合适的模型为止。
arma的特征方程
arma的特征方程一、介绍ARMA模型（Autoregressive Moving Average Model）是一种常用的时间序列分析方法，它将自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）结合起来，能够较好地描述时间序列数据中的相关关系和随机波动。
ARMA模型的特征方程是其重要的数学表达式之一，本文将对ARMA模型及其特征方程进行详细介绍。
二、ARMA模型1. AR模型自回归模型是指时间序列数据中当前时刻的值与其过去若干个时刻的值之间存在线性相关关系。
具体地，假设$y_t$表示时间为$t$时刻的观测值，则AR(p)模型可以表示为：$$y_t=\phi_1 y_{t-1}+\phi_2 y_{t-2}+\cdots+\phi_p y_{t-p}+\epsilon_t$$其中$\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_p$是待估计的系数，$\epsilon_t$是噪声项。
2. MA模型移动平均模型是指时间序列数据中当前时刻的值与其过去若干个噪声项之间存在线性相关关系。
具体地，假设$y_t$表示时间为$t$时刻的观测值，则MA(q)模型可以表示为：$$y_t=\epsilon_t+\theta_1 \epsilon_{t-1}+\theta_2 \epsilon_{t-2}+\cdots+\theta_q \epsilon_{t-q}$$其中$\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_q$是待估计的系数，$\epsilon_t$是噪声项。
3. ARMA模型ARMA模型将自回归模型和移动平均模型结合起来，可以描述时间序列数据中的相关关系和随机波动。
具体地，假设$y_t$表示时间为$t$时刻的观测值，则ARMA(p,q)模型可以表示为：$$y_t=\phi_1 y_{t-1}+\phi_2 y_{t-2}+\cdots+\phi_p y_{t-p}+\epsilon_t+\theta_1 \epsilon_{t-1}+\theta_2 \epsilon_{t-2}+\cdots+\theta_q \epsilon_{t-q}$$其中$\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_p$和$\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_q$是待估计的系数，$\epsilon_t$是噪声项。
ARMA模型
自回归滑动平均模型（ARMA 模型，Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。
在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。
定义ARMA模型(auto regressive moving average model)自回归滑动平均模型，模型参量法高分辨率谱分析方法之一。
这种方法是研究平稳随机过程有理谱的典型方法，适用于很大一类实际问题。
它比AR模型法与MA模型法有较精确的谱估计及较优良的谱分辨率性能，但其参数估算比较繁琐。
ARMA模型参数估计的方法很多：如果模型的输入序列{u(n)}与输出序列{a(n)}均能被测量时，则可以用最小二乘法估计其模型参数，这种估计是线性估计，模型参数能以足够的精度估计出来；许多谱估计中，仅能得到模型的输出序列{x(n）}，这时，参数估计是非线性的，难以求得ARMA 模型参数的准确估值。
从理论上推出了一些ARMA模型参数的最佳估计方法，但它们存在计算量大和不能保证收敛的缺点。
因此工程上提出次最佳方法，即分别估计AR和MA参数，而不像最佳参数估计中那样同时估计AR和MA参数，从而使计算量大大减少。
基本原理将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。
一方面，影响因素的影响，另一方面，又有自身变动规律，假定影响因素为x1，x2，…，xk，由回归分析，其中Y是预测对象的观测值，Z为误差。
作为预测对象Yt受到自身变化的影响，其规律可由下式体现，误差项在不同时期具有依存关系，由下式表示，由此，获得ARMA模型表达式：基本形式ARMA模型分为以下三种：自回归模型（AR：Auto-regressive）如果时间序列满足其中是独立同分布的随机变量序列，且满足：以及E() = 0则称时间序列为服从p阶的自回归模型。
第三讲 ARMA模型
累计脉冲响应函数：
y t +j t
+
y t +j t +1
+
y t +j t +2
+
+
y t +j t +j
= j + j -1 + j -2 +
+ +1
以此衡量随机扰动因素如果出现永久性变化后，即 t，t +1， ，t +j 都变化一个单位，对yt 造成的影响和冲击。 练习：建立年度（1951~1983）数据文件，导入book1 中数据x。利用Eviews创建一个程序，尝试生成不同的yt序 列，还可尝试绘制出脉冲响应函数图： smpl @first @first series x=0 smpl @first+1 @last series x=0.7*x(-1)+0.8*nrnd（正态分布） 该程序是用一阶差分方程生成一个x序列，初始值设定 为0，扰动项设定为服从均值为0，标准差为0.8的正态分布。
可以想象，如果按一定规则的数据 生成过程生成足够多的观测序列（比如 1万次或10万次），然后再求样本均值， 应该可以得到较高精度的结果，从而尽 量捕捉真实过程的特性。
该思想与计量经济学的另一重要概 念不谋而合，即蒙特卡洛模拟。
27
（2）AR (p) 序列的自相关和偏自相关：
●φk截尾性：AR(p)为p阶截尾。
例4：季度数据文件：1979:1~1999:2，调入book8中1个数据y。 同样，输入序列名y，滞后期取20。可得自相关图：
可见：自相关程度缓慢减弱。而偏自相关相邻两项相关程度很高。
14
例5：建月度文件：1972:01~1982:12，调入book18 的y（汗衫背心零售 量），滞后期36。自相关图为： 从自相关函数看： 12、24、36很大，即相 同月份有很强季节性，无明 显趋势。 从偏自相关函数看， k=1时一样，k=2时“自”和 “偏”自相关差距很大。
ARMA模型
ARMA 模型（一）模型的引进AR ：011t t k t k t Y Y Y βββε--=++++ （注意：如果假设t Y 的均值为零，0β可以不写）如果序列在其均值附近波动：t 可用： 12...TT Y Y Y F Y T+++==来预测1T F +，1211 (1)T T Y Y Y F T +++++=+来预测2T F +，等等。
事实上，新的信息更能反映未来，远离现在的数据对未来的影响应该变小。
所以，按照这样一种想法，改用移动平均）。
121212111111 (11)()()TT T T T T T T T Y Y Y F Y T Y Y F Y T F Y Y F Y F T T+++++++++++==++===+-≈+- 那么，1T Y +是实际值，1T F +是上一期的预测值，所以11()T T Y F ++-是误差，即1T e +。
可见，下一期的预测值是用前一期的预测值的基础上，加上修正误差。
实际上它是跟踪数据的变化，这就是移动平均提供的一个非常好的思想！当然，也有问题，就是滞后，前后两期的误差是否一样是需要考虑的。
以此类推，继续将1T F +写成T 时刻的预测值和T 时刻的误差修正之和，如此递推下去，就可将t Y 用不同滞后期的误差项表示：即MA ：11t t t k t k Y e e e μαα--=++++ （一定平稳！）。
而ARMA 模型为：01111t t p t p t t q t q Y Y Y e e e βββαα----=+++++++对时间序列的分析的一种重要工具——自相关。
注意：移动平均可平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响，使长期趋势显示出来。
（二）方法性工具自相关系数只是序列逐项之间的一种简单相关，它和x 和y 之间的简单相关系数实际上是一样的。
1.自相关函数：k γ当序列t Y 完全随机时，它的自相关系数理论上为零，没有任何自相关，但是我们不可能穷尽这个总体，所以，我们只能用它的样本数据来算，当使用样本数据来算的时候可能不是零，比如说0.008、0.007或者负的0.008、0.007。
ARMA模型介绍
ARMA模型介绍ARMA模型（Autoregressive Moving Average model）是时间序列分析中常用的一种模型，用于描述和预测随时间变化的数据。
ARMA模型结合了自回归（AR）和移动平均（MA）两种模型的特点，可以较好地描述时间序列数据的变化趋势。
ARMA模型的核心思想是：当前时刻的观测值可以通过历史观测值和随机误差的线性组合来表示。
具体地说，AR部分考虑了当前时刻和过去几个时刻的观测值之间的关系，而MA部分则考虑了当前时刻和过去几个时刻的随机误差之间的关系。
在AR模型中，当前时刻的观测值与过去几个时刻的观测值之间存在线性关系。
AR模型的阶数(p)表示过去几个时刻的观测值被考虑进来。
对于AR(p)模型，数学表达式如下：yt = c + φ1 * yt-1 + φ2 * yt-2 + ... + φp * yt-p + et其中，yt表示当前时刻的观测值，c表示常数项，φ1, φ2, ... ,φp表示对应的回归系数，et表示当前时刻的随机误差。
在MA模型中，当前时刻的观测值与过去几个时刻的随机误差之间存在线性关系。
MA模型的阶数(q)表示过去几个时刻的随机误差被考虑进来。
对于MA(q)模型，数学表达式如下：yt = c + et + θ1 * et-1 + θ2 * et-2 + ... + θq * et-q其中，yt表示当前时刻的观测值，c表示常数项，θ1, θ2, ... ,θq表示对应的回归系数，et表示当前时刻的随机误差。
yt = c + φ1 * yt-1 + φ2 * yt-2 + ... + φp * yt-p + et + θ1 * et-1 + θ2 * et-2 + ... + θq * et-qARMA模型可以用于时间序列的拟合和预测。
通过将模型与已有数据进行拟合，可以得到模型的参数估计值。
然后，利用这些参数估计值，可以预测未来的观测值。
ARMA模型适用于没有明显趋势和季节性的时间序列数据。
自回归移动平均模型公式
自回归移动平均模型公式
自回归移动平均模型（ARMA）是一种经济时间序列分析方法，用于预测未来的观测值。
它结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）的特点，具有很好的预测性能。
ARMA模型的数学表达式为：
y_t = c + φ₁*y_(t-1) + φ₂*y_(t-2) + ... + φ_p*y_(t-p) + ε_t + θ₁*ε_(t-1) +
θ₂*ε_(t-2) + ... + θ_q*ε_(t-q)
其中，y_t 是时间 t 的观测值，c 是常数项，φ₁, φ₂, ..., φ_p 是自回归系数，表示 t-1, t-2, ..., t-p 时刻 y 值对 t 时刻 y 值的线性影响；ε_t 是时间 t 的误差项，θ₁, θ₂, ..., θ_q 是移动平均系数，表示 t-1, t-2, ..., t-q 时刻的误差对 t 时刻 y 值的影响。
ARMA模型的参数估计可以利用最大似然估计或最小二乘法等方法进行。
根据观测数据的特征，选择合适的 AR 和 MA 阶数是模型建立的关键。
ARMA模型的预测能力在实际应用中被广泛认可。
通过估计模型参数，可以利用过去的观测值来预测未来的观测值。
预测结果可以帮助决策者制定相应的策略和措施。
需要注意的是，ARMA模型在实际应用中可能面临一些限制。
例如，如果数据存在非平稳性或季节性等特征，需要对数据进行预处理或使用其他模型进行分析。
总之，自回归移动平均模型是一种常用的时间序列分析工具，通过结合自回归和移动平均的特点，提供了对未来观测值的预测能力。
在实际应用中，应根据数据特征选择合适的阶数，并结合其他方法进行验证和优化，以达到更好的预测效果。
ARMA模型解析
X t 1 v1B v2 B
2
j ut v j B ut j 0
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
3、自回归移动平均【ARMA】模型 【B-J方法建模】
自回归移动平均序列
ARMA序列，它的阶要由从低阶到高阶逐步增加，再通过检验来确定. 但实际数据处理中，得到的样本自协方差函数和样本偏自相关函数只是
k
而只能是在某步之后围绕零值上下波动，故对于 k 和 kk 的截尾性 只能借助于统计手段进行检验和判定。
和 kk 的估计，要使它们在某一步之后全部为0几乎是不可能的，
H0 : pk , pk 0, k 1,
2 统计量 N pM
H1 : 存在某个 k ，使 kk
k p 1
0 ，且
2
pkM p
( ) 表示自由度为 M 的 分布 的上侧 分位数点 2 2 M ( )，则认为 对于给定的显著性水平 0 ，若 2 2 p ，可认为 样本不是来自AR（ ）模型 ； M ( )
【2】
( B) X t ut
AR（
的根均在单位圆外，即
p ）过程平稳的条件是滞后多项式 ( B)
( B) 0 的根大于1
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
2、移动平均【MA】模型
移动平均序列 X t ： 如果时间序列 X t 是它的当期和前期的随机误差 项的线性函数，即可表示为
时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列 重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额 等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月；
马尔可夫区制转移arma模型
马尔可夫区制转移arma模型马尔可夫区制转移(ARMA)模型是一种经济和金融时间序列分析常用的模型。
它的基本思想是通过分析当前时间点和过去时间点的关系，来预测未来时间点的值。
ARMA模型的构建基于两个关键概念：自回归(AR)和移动平均(MA)。
马尔可夫区制转移(AR)模型通过分析过去时间点对当前时间点的影响来预测未来时间点。
它基于一个假设，即未来的值是过去值的线性组合。
如果我们用Y表示时间序列的观测值，AR模型可以表示为：Y_t = c + φ_1 * Y_t-1 + φ_2 * Y_t-2 + ... + φ_p * Y_t-p + ε_t其中，Y_t是时间点t的观测值，c是常数，φ_1, φ_2, ...,φ_p是参数，p是模型的延迟数量，ε_t是误差项。
当p等于1时，AR模型称为AR(1)模型；当p等于2时，AR模型称为AR(2)模型，依此类推。
移动平均(MA)模型是用来描述观测值与白噪声误差项的线性组合之间的关系。
MA模型的基本假设是，当前时间点的观测值是过去时间点的误差项的线性组合。
如果我们用Y表示时间序列的观测值，MA模型可以表示为：Y_t = μ + ε_t + θ_1 * ε_t-1 + θ_2 * ε_t-2 + ... +θ_q * ε_t-q其中，Y_t是时间点t的观测值，μ是均值，ε_t是误差项，θ_1, θ_2, ..., θ_q是参数，q是误差项的延迟数量。
当q等于1时，MA模型称为MA(1)模型；当q等于2时，MA模型称为MA(2)模型，依此类推。
ARMA模型将AR和MA模型结合起来。
ARMA(p, q)模型可以表示为：Y_t = c + φ_1 * Y_t-1 + φ_2 * Y_t-2 + ... + φ_p * Y_t-p + ε_t + θ_1 * ε_t-1 + θ_2 * ε_t-2 + ... + θ_q * ε_t-qARMA模型可以通过最小二乘法或极大似然法来估计参数。
ARMA模型
ARMA模型1.简单介绍ARMA模型是一类常用的随机时间序列预测模型，是一种精度较高的时间序列短期预测方法，它的基本思想是：某些时间序列是依赖于时间t的一族随机变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定规律性，可用数学模型近似描述。
2.分类ARMA模型具有三种基本类型：自回归(AR)模型，移动平均（MA）模型，自回归移动平均（ARMA）模型。
3.表达如果时间序列X t是它的前期值和随机项的线性函数，即表示为：X t=φ1X t−1+φ2X t−2+⋯+φp X t−p+εt就称为P阶自回归模型，记为AR（p）。
其中φi称为自回归系数，是待估参数。
随机项εt 是相互独立的白噪声序列，服从均值为0，方差为σ2的正态分布。
且一般假定X t的均值也为0。
AR模型的平稳性问题从数学表达式来看，我们首先记B k为k步滞后算子，即B k X t=X t−k。
则上述模型可写为：X t=φ1BX t+φ2B2X t+⋯+φP B p X t+εt我们令φ（B）=1−φ1B−φ2B2−⋯−φp B p，模型就被简化为φ(B)X t=εt。
AR（p）平稳的等价条件是φ(B)的根都小于1，另一方面，从自相关系数和偏自相关系数的曲线图也能看出该模型是否平稳，AR（p）模型平稳等价于自相关系数拖尾，偏自相关系数p步截尾。
而如果时间序列X t是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即X t=μ+εt−θ1εt−1−⋯−θqεt−q则称为q阶移动平均模型，记为MA(q)。
它是无条件平稳的，因为它的均值和方差均为常数，跟AR模型做同样的滞后和简化，如果θ(B)的根都小于1，则MA模型是可逆的。
另一个可逆的等价条件就是自相关函数q步截尾，偏自相关函数拖尾。
基于此，ARMA（p,q）模型的数学表达就呼之欲出了：X t=φ1X t−1+φ2X t−2+⋯+φp X t−p+εt−θ1εt−1−⋯−θqεt−q而ARMA（p,q）的平稳条件就是AR(p)的平稳条件，可逆条件就是MA（q）的可逆条件。
arma模型通俗理解
Arma模型通俗理解什么是ARMA模型？ARMA模型是时间序列分析中的一种建模方法，它是自回归移动平均模型（ARMA）的组合。
ARMA模型结合了自己的历史数据和随机误差来预测未来的数值。
AR和MA模型的概念在理解ARMA模型之前，我们需要先了解自回归（AR）和移动平均（MA）模型。
自回归（AR）模型自回归模型基于历史数据的线性组合来预测未来的数值。
它假设未来的值是过去值的加权和，其中权重由自回归系数确定。
自回归模型的公式为：x(t) = c + φ1 * x(t-1) + φ2 * x(t-2) + … + φp * x(t-p) + ε(t)，其中φ1, φ2, …, φp为自回归系数，ε(t)为误差项，c为常数。
移动平均（MA）模型移动平均模型基于随机误差的线性组合来预测未来的数值。
它假设未来的值是过去误差的加权和，其中权重由移动平均系数确定。
移动平均模型的公式为：x(t) = μ + θ1 * ε(t-1) + θ2 * ε(t-2) + … + θq * ε(t-q) + ε(t)，其中θ1,θ2, …, θq为移动平均系数，ε(t)为误差项，μ为均值。
ARMA模型ARMA模型是自回归模型和移动平均模型的结合，它综合了过去的数值和随机误差来预测未来的数值。
ARMA模型可以表示为ARMA(p, q)，其中p和q分别为自回归和移动平均阶数。
ARMA模型的公式为：x(t) = c + φ1 * x(t-1) + φ2 * x(t-2) + … + φp * x(t-p) + θ1 * ε(t-1) + θ2 * ε(t-2) + … + θq *ε(t-q) + ε(t)，其中φ1, φ2,…, φp为自回归系数，θ1, θ2, …, θq 为移动平均系数，c为常数，ε(t)为误差项。
如何估计ARMA模型的参数？ARMA模型的参数估计可以通过最小二乘法或最大似然法进行。
通过这些方法，可以找到使得模型拟合数据最好的参数。
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通过OLS法估计 Yt = + Yt-1+ t
计算t 统计量的值，与DF分布表中给定显著性 水平下的临界值比较：
如果：t < 临界值（左尾单侧检验），则拒绝 原假设H0： =0，认为时间序列不存在单位根， 是平稳的。
(2) ADF检验
DF检验的问题：在上述使用 Yt= +Yt-1+ t
水平等指标都很好，但是由于残差序列是一个非
平稳序列，说明了这种回归关系不能够真实的反
映因变量和解释变量之间存在的均衡关系，而仅 仅是一种数字上的巧合而已。伪回归的出现说明 模型的设定出现了问题，有可能需要增加解释变 量或者减少解释变量，抑或是把原方程进行差分，
以使残差序列达到平稳。
一个可行的办法是先把一个非平稳时间序列 通过某种变换化成一个平稳序列。
• 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳序 列，也称原序列是1阶单整(integrated of 1)序列, 记为I(1)过程。如果经过d 次差分后变成平稳序 列, 则称原序列是d 阶单整(integrated of d), 记为 I(d)。 • I(0)代表平稳时间序列。
• 多次差分无法变为平稳的时间序列称为非单 整的(non-integrated)。
2. 平稳性与经典回归
经典计量模型的数学基础是极限法则，以独立随机 抽样为样本，如果模型设定正确，模型随机误差项 满足极限法则和由极限法则导出的基本假设，继而 进行的参数估计和统计推断是可靠的。 以时间序列数据为样本，破坏了随机抽样的假定， 则经典计量模型的数学基础能否被满足成为一个重 要问题。 对照极限法则和时间序列的平稳性条件研究发现， 如果模型设定正确，并且所有时间序列是平稳的， 时间序列的平稳性可以替代随机抽样假定，模型随 机误差项仍然满足极限法则。
• E(Xt ) = E(Xt -1) X1 = X0 + 1 X2 = X1 + 2 = X0 + 1 + 2 …… Xt = X0 + 1 + 2 +… + t
• var(Xt ) = t2， Xt的方差与时间 t 有关，而非常 数，因此随机游走是非平稳序列。
4. 单整与非单整
t = 1, 2, , T
(**)
同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预
测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，
能准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。 如果 Yt 能够通过去势方法排除确定性趋势，转 化为平稳序列，称为退势平稳过程。
2. 差分平稳过程
非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算，
得到具有平稳性的序列，考虑下式
Yt a Yt 1 ut
也可写成： Yt (1 L)Yt a ut
(*) (**)
其中 a 是常数, ut 是一个来自噪声序列。式(*)的差分序列是含漂移 a 的随机游走，说明 Yt 的差分序列 Yt是平稳序列。 （**）式中L表示滞后算子。
实际上，以往讨论的回归方程的序列自相关
对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定 时间序列是由一阶自回归过程 AR(1) 生成的，并 且随机误差项是白噪声。
为了保证 DF 检验中随机误差项的白噪声特性， Dicky 和 Fuller 对 DF 检 验 进 行 了 扩 充 ， 形 成 了 ADF（Augment Dickey-Fuller ）检验。
T k t 1
ˆk
(Y
t T
Y )(Yt k Y )
2 ( Y Y ) t t 1
k k
• 为了检验自相关函数的某个数值 ρk 是否为0， 可以用Bartlett的研究结果：如果时间序列由白 噪声生成，则对所有k > 0， k ~ N(0, 1/T ) • 为了检验所有k > 0的自相关函数 ρk 都为0的联 合假设，可以采用Box-Pierce的Q 统计量：
检验原理与 DF 检验相同。 Dicky 和 Fuller 推导 了3个模型所使用的ADF分布临界值表。
ADF检验也可判断时间序列的单整阶数。
例 1：检验 1978~2000年间中国支出法 GDP时间 序列的平稳性及单整性。 1）经过偿试，模型3取了2阶滞后：
GDP GDPt 1 t 1011.33 229.27T 0.0093 ( 1.26) (8.94) (1.91) (0.31) 1.50GDPt 1 1.01GDPt 2 ( 4.95)
一个标有时间脚标的随机变量序列被称为时间序 列(time series)。 前提假设：时间序列是由某个随机过程 (Stochastic process) 生成的。即，假定序列 X1,X2,…,XT 的每一个数值都是从一个概率分布中 随机得到。当收集到一个时间序列数据集时，就 得到该随机过程的一个可能结果或实现 (realization)。
（**）
（*）式中的参数 >1或 =1时，时间序列是 非平稳的；对应于（**）式，则是 >0或 = 0。
针对（**）式 Yt = +Yt-1+ t 零假设 H0： = 0，即原序列存在单位根； 备择假设 H1： < 0，即原序列是平稳的； 上述检验可通过OLS法下的t 检验完成。
三、时间序列的平稳性检验
1. 平稳性检验的图示判断
Xt Xt
t (a) (b) 图 9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图
t
平稳时间序列与非平稳时间序列图
2. 平稳性的单位根检验
单位根检验（unit root test）是普遍应用的一 类检验时间序列平稳性的方法，以ADF检验最 为常用。 (1) DF检验
t t
其中 ut 是平稳序列；a + t 是线性趋势函数。
这种过程也称为趋势平稳的，因为如果从式 (*)
中减去 a + t，结果是一个平稳过程。
一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的
确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：
Yt a 1 t 2 t 2 n t n ut
通过拉格朗日乘数检验对随机误差项的自相关 性进行检验：LM(1)=0.92， LM(2)=4.16， • 小于5%显著性水平下自由度分别为1与2的2分 布的临界值，可见不存在自相关性。 • 从 看，t>临界值(查ADF分布表)，不能拒绝存 在单位根的零假设。
2）经试验，模型2中滞后项取2阶：
GDP GDPt 1 1.65GDPt 1 1.15GDPt 2 t 357.45 0.057 ( 0.90) (3.38) (10.4) LM (2) 2.85 ( 5.63) LM (1) 0.57,
(**)
检验（*）式是否存在单位根=1，也可通 过（**）式判断是否有 =0。
一般地: 检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检验 带有截距项的一阶自回归模型 Yt = +Yt-1+ t （*） 中的参数是否小于1。
或者：检验其等价变形式 Yt = +Yt-1+ t 中的参数是否小于0 。
已知随机游走序列
Yt =Yt-1+ t 是非平稳的，其中t 是白噪声。序列可看成是 随机模型 Yt=Yt-1+ t
中参数 =1时的情形。
也就是说，对式 Yt =Yt-1+ t （*） 回归，如果确实发现 =1，就说随机变量Yt 有一个单位根。
（*）式可变成差分形式： Yt = ( -1)Yt-1+ t =Yt-1+ t
问题暗含着残差序列是一个平稳序列。因为如
果残差序列是一个非平稳序列，则说明因变量
除了能被解释变量解释的部分以外，其余的部
分变化仍然不规则，随着时间的变化有越来越 大的偏离因变量均值的趋势，这样的模型是不 能够用来预测未来信息的。
残差序列是一个非平稳序列的回归被称为伪
回归，这样的一种回归有可能拟合优度、显著性
• ADF检验是通过以下3个模型完成的：
模型1：
模型2：
Yt Yt 1 i Yt i t
i 1
m
(*) (**)
Yt Yt 1 i Yt i t
i 1 m
m
模型3：
Yt t Yt 1 i Yt i t (***)
• LM检验表明模型残差不存在自相关性。 • 从GDPt-1的参数值看，其 t 统计量为正值，大于 临界值(查ADF分布表)，不能拒绝存在单位根的 零假设。
3）经试验，模型1中滞后项取2阶：
GDPt 0.063 GDPt 1 1.701GDPt 1 1.194GDPt 2 (4.15) LM (1) 0.17, (11.46) (6.05) LM (2) 2.67
3. 白噪声和随机游走
一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同 方差的独立同分布序列： Xt = t ， t ~ N(0,2)
该序列常被称为是一个白噪声(white noise)。
由定义知：白噪声序列是平稳的。
另一个简单的随机时间列序被称为随机游走 (random walk)，该序列由如下随机过程生成： Xt = Xt-1 + t 这里，t 是一个白噪声, t ~ N(0,2)。 该序列 同均值，但方差不同：
Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t 统计 量服从的分布（这时的t 统计量称为 统计量）， 即DF分布（见下表）。
DF 分布临界值表 表 9.1.3 DF 分布临界值表
样 显著性水平 0.01 0.05 0.10 25 -3.75 -3.00 -2.63 50 -3.58 -2.93 -2.60 本 100 -3.51 -2.89 -2.58 容 量 500 -3.44 -2.87 -2.57 ∝ -3.43 -2.86 -2.57 t分布临界值 （ n=∝） -2.33 -1.65 -1.28