7.4 静电场力的功 电势

R x
2
7.4
静电场力的功 电势
q 4 π 0 x R
2 2
第7章
真空中的静电场
VP
q 4π 0 R
V
讨论
q x 0，V0 4 π 0 R q x R，VP 4 π 0 x
o
x
q 2 2 12 4π 0 (x R )
23
7.4
静电场力的功 电势
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
F E q0
E E1 E2 En
电 荷 分 布
dq ρdV (体分布) dq σdS (面分布)
dq λdl (线分布)
2
7.4
静电场力的功 电势
e E dS S ε0
静电场的性质：
第7章
真空中的静电场
1）电荷在电场中受到电场力 2）当电荷在电场中移动时， 电场力要对电荷作功。
电场强度 E
电势 V
先从库仑定律和场强叠加原理出发，证明静电 场力的功与路径无关，说明静电场是保守场，然后 引入描述静电场的另一个物理量 —— 电势。 一、静电场的环路定理
4
7.4
静电场力的功 电势
Wa


a
q0 E dl
1
q q0 dr 2 ra 4 0 r q0 q 4 0 ra
11
7.4
静电场力的功 电势
第7章
真空中的静电场
2、电势差 电势 b Aab q0 E dl (Wb Wa )
a
b
q0
Wa
b
a
q0 E dl
Va

a
物理意义 把单位正试验电荷从点Ａ移到无穷远 时，静电场力所作的功。
• 在实际问题中，常选地球或仪器外壳的电势为零。 • 对无限带电体不宜选无穷远为电势零点，只能选 有限区域的某一位置为电势零点。
Va

a
E dl
Va
P0
a
E dl
（选无穷远为电势零点）
7
7.4
静电场力的功 电势
第7章
真空中的静电场
静电场的两条基本定理：
静电场的环路定理： E dl 0
L
静电场是保守场 （或无旋场）
1 静电场的高斯定理： E dS S ε0
静电场是有源场 静电场是有源、无旋（保守）场
q
i (内)
8
7.4
静电场力的功 电势
Vp
电势零点
P
E dl
当带电体为无限大模型 时，只能用该定义计算！
（2）电势叠加法 已知电荷分布，由点电荷的电势公式 和电势叠加原理计算。
dq V Q 4ε r 0
注意电荷元的选取！
（利用了点电荷电势公式 V q / 4 πε0 r 。这一结果 已选无限远处为电势零点，即使用此公式的前提条件 为有限大带电体且选无限远处为电势零点。） 19
第7章
真空中的静电场
1、 静电场力所做的功 点电荷的电场中 qq0 r dl dA F dl q0 E dl 3 4 πε0 r
r dl rdl cos θ rdr
qq0 dA dr 2 4 π 0 r qq0 rb dr Aab 4 π 0 ra r 2
（Wb 0）


b a
b
a
(积分大小与 q 0 无关，反映了电场在 a、b 两点的性质。)
Wb Wa E dl ( ) q0 q0
a
E
Wa Wb E dl Va Vb 称为 a、b两点的电势差。 q0 q0
电势差的意义：把单位正电荷从A点沿任意路径移到 B点的过程中，静电场力所做的功。 12
7.4
静电场力的功 电势
第7章
真空中的静电场
例：已知电荷 q 均匀地分布在半径为 R 的球体上， 求：空间各点的电势。 解：由高斯定理可求出电场强度的分布 q rR 2 4 0 r E （方向沿径向） qr rR 3 4 0 R q q V dr 当 r > R 时： 2 40 r 40 r r 当 r ≤ R 时：
r R : E1 0;
q
R
r R : E2
q
2
4 o r
选定无限远处的电势为零， 由电势的定义式，有：
r R: V内 r R:


r
R E dl E1dr R E2dr
r
q 4 o R
26
V外 E 2 dr
r

q 4 o r
V p E dl
p
Ei dl
i P

i
q1 q2 q3
qi VP VPi i i 4 π 0 ri
r2 r3
r1
p
E3 E2
E1
表明：一个点电荷系的电场中任一点的电势，等于每 一个点电荷单独存在时在该点所产生的电势的代数和。 这一结论称作电势叠加原理。
7.4
静电场力的功 电势
电势差
第7章
b a
U ab Va Vb
b
E dl
真空中的静电场
注意：电势差是绝对的，电势大小是相对的，与 电势零点的选择有关。
Va
a
E dl Vb
为了确定 a 点的电势值，可以选定 b 点的电势 值为零，则 a 点的电势值为： 令
17
7.4
静电场力的功 电势
第7章
真空中的静电场
电荷连续分布带电体电场中的电势 第一种方法：将带电体分为许
多电荷元dq(点电荷)，利用点电 荷的电势公式积分:
dq VP （电势叠加法） 4π 0r
d q d V d q + r dE
q P
7.4
静电场力的功 电势
第7章
真空中的静电场
7.4 静电场力的功 电势
1
7.4
静电场力的功 电势
第7章
真空中的静电场
电场强度的计算 复 习 1 q1q2 F r0 库仑定律 2 电场强度 40 r (1) 点电荷的场强 1 q E r 2 0 4πε0 r (3) 电荷连续分布的 带电体的电场 dq E dE r 3 (q) ( q ) 4 r 0 (2) 场强叠加原理

R
2 πrdr
x2 r 2
2 2
0
σ 2 2 ( x R x) 2ε0
2
R x R x 2x
（点电荷电势）
V Q 4 π 0 x
25
7.4
静电场力的功 电势
第7章
真空中的静电场
例：半径为 R、总电量为 q 的均匀带电球面。 求：电势分布。 解： 由高斯定理求出其场强分布:
Aab
0, Wb Wa 0, Wb Wa
9
电势能的大小是相对的， 电势能的差是绝对的。
7.4
静电场力的功 电势 Aab (Wb Wa )
第7章
真空中的静电场
电势能的参考点选择是任意的， 若取 b 点为电势能的零点 （零势点），即： 令
Wb 0
q 0 E dl
q
i (内)
1）场强分布具有对称性：球对称、轴对称、面对称。
球对称：如均匀带电的球体、球面、球壳。 轴对称：如均匀带电的长直柱体、柱面。 平面对称：如均匀带电的无限大平面、平板。
2）选择高斯面，写出通过该高斯面的电通量。 3）求出高斯面所包围的电量。 4）按高斯定理求出场强。
3
7.4
静电场力的功 电势
势能零点
A
则电场中A点的电势能为：
Wa
ab
试验电荷 q 0在电场中某点的电势能，在数值上等 于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功。 10
Wa q0
E dl
7.4
静电场力的功 电势
第7章
真空中的静电场
例：若选择无限远处为电 势能零点，试验电荷 q0 在 点电荷 q 的电场中，A 点 处的电势能为：
（选 P0 为电势零点）14
7.4
静电场力的功 电势
电势差
第7章
b
真空中的静电场
U ab Va Vb
a
E dl
当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在 电场中移动时电场力所做的功。
静电场力的功 公式小结：
Aab q0Va q0Vb q0Uab
Va
零势点
a
E dl
Va Vb
b
a
E dl
15
Wa q0Va
Aab q0 (Va Vb )
7.4
静电场力的功 电势
电势的计算
第7章
真空中的静电场
Va

a
零势点 E dl & Va E dl
a
3、电势叠加原理 （1）点电荷电场中的电势 取无穷远为电势零点，由定义式有
r
x
q
dV
o
x
21
7.4
静电场力的功 电势
第7章
零点
真空中的静电场
方法二：场强积分法 由电场强度的分布

Vp
E
p
E dl
qx
2 2 3 2
Vp

xp
Edx
qxdx
0(x R ) q 2 2 3 2