上海市北郊高级中学2014年度第一学期期中考试高三年级数学试卷

上海市北郊高级中学2014学年度第一学期期中考试
高三年级数学试卷
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个小题填对得4分，否则一律得零分。

1．已知集合{}{}
1,1,|124x
A B x =-=<…，则_____________A
B =。

2．已知函数3,1,
(),1,
x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = 。

3．方程2
2
cos 2sin 21x x -=的解集为__________________。

4．已知锐角ABC ∆的面积为33，4,3BC CA ==，则角C 的大小为___________。

5．设:12,:p x q x a ≤<≥，若p 是q 成立的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是 。

6．已知)1,0(21∈a a 、，记1,2121-+==a a N a a M ，则M 与N 的大小关系是
____________。

7．在ABC ∆中，a b c ，
，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形的形状为 _______________。

8．已知函数()
0(28log )(>-=a x f x
a 且)1≠a 的反函数是其本身，则______a =。

9．记3()log (1)f x x =+的反函数为1
()y f
x -=，
则方程1
()8f x -=的解x = 。

10．函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为奇函数的充要条件为________________。

11．给定函数：①1
2
y x =，②12
l o g (1)y x =+
，③|1|y x =-，④1
2
x y +=，其中在区间(0,1)
上单调递减的函数序号是____________。

12．已知函数()lg f x x =，若b a <<0，且)()(b f a f =,则b a 2+的范围是__________。

13．已知函数()12(01)x
f x a a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围为
___________________。

14．在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称
[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组）。

函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0
),1(log ,
0,2
cos )(4x x x x x g π
关于原点的中心对称点的组数为__________。

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.选对得 5分，否则一律得零分。

15．下列函数中，有反函数的是（ ）
（A ）21
1y x =+ （B ）212y x =+- （C ）sin y x = （D ）21(0)2(0)
x x y x x ⎧-≥=⎨<⎩
16．命题：“若12
<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ） （A ）若12≥x ，则11x x ≥≤-或 （B ）若11<<-x ，则12
<x
（C ）若11x x ><-或，则12
>x （D ）若11x x ≥≤-或，则12
≥x
17．已知函数2
()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）
（A ）最小正周期为π的奇函数 （B ）最小正周期为
2π
的奇函数 （C ）最小正周期为π的偶函数 （D ）最小正周期为2
π
的偶函数
18．高三年级的一次学生代表大会规定:各班每10人推选1名代表,当班级人数除以10的 余数大于6时，再增选1名,那么各班可推选的代表人数y 与班级人数x 之间的函数关系 用取整函数[]x y =([]x 是不大于x 的最大整数)表示是（ ）
（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10x y （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=103x y （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=104x y （D ）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=105x y
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号
的规定区域内写出必要的步骤。

19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 设集合{}
24|340,|13A x x x B x x ⎧⎫=--=>⎨⎬+⎩⎭
…。

（1）求集合U A
B ð；
（2）若不等式022<++b ax x 的解集为B ，求a ，b 的值。

20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知3
cos()2
πα+=-
，且sin 20α<。

（1）求sin()α-的值；（2）求cos 2cos()6
π
αα-+的值。

21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数1
()ln
1
x f x x +=- （Ⅰ）求函数的定义域，并证明1
()ln 1
x f x x +=-在定义域上是奇函数； （Ⅱ）若[2,6]x ∈1()ln ln 1(1)(7)
x m
f x x x x +=>---恒成立，求实数m 的取值范围。

22．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。

如下图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆的内接正方形PQRS 为
A B
C
P
Q R
S
一水池，ABC ∆外的地方种草,其余地方种花。

若BC=a, ABC=θ∠，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，将比值2
1
S S 称为“规划合理度”。

（1）试用,a θ表示1S 和2S ；
（2）若a 为定值，当θ为何值时,“规划合理度”最小？并求出这个最小值。

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

已知函数22()242f x ax b b x =-+-，2
()1()(,)g x x a a b R =---∈。

（1）当0b =时，若()(,2]f x -∞在上单调递减，求a 的取值范围；
（2）若存在0x ，使得0()f x 是()f x 的最大值，0()g x 是()g x 的最小值，求满足这一条件 的所有整数对(,)a b 组成的集合；
（3）对满足（2）中条件的整数对(,)a b ，试构造一个定义在{|D x x =∈R 且2,}x k k ≠∈Z 上的函数()h x ：使(2)()h x h x +=，且当(2,0)x ∈-时，()()h x f x =。