2020版高考人教A版文科数学一轮复习文档：第十章 第一节 随机事件的概率 Word版含答案
2020届高考数学总复习第十章概率10_1随机事件的概率课件文新人教A版
角度2 对立事件的概率 【例4】 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信 息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客 的相关数据，如下表所示.
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的 平均值． (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率 ．(将频率视为概率) 【解析】 (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45， 所以x＝15，y＝20.
5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要 再赢一局就获得冠军，乙队则需要再赢两局才获得冠军． 若两队赢得每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 ________．
【解析】 若只进行一局比赛甲队获得冠军，则所求概率 P1 ＝21，若进行两局比赛甲队获得冠军，则所求概率 P2＝12×21＝14，
最高气 [10， [15， [20， [25， [30， [35，
温
15)
20) 25)
30) 35)
40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区 间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概 率．
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)． 当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有 可能值，并估计Y大于零的概率．
(3)“至少有2件次品”包括“1件正品2件次品”“全是 次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次 品”“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立 事件．
高考数学总复习第十章计数原理概率随机变量及其分布10.4随机事件的概率理新人教A版
(3)与(1)同理，可得
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为1200000＝0.2，
顾
客
同时
购买甲和丙的概率可以估
计为
100＋200＋300 1 000
＝
0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1100000＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最
大．
考点三 互斥事件与对立事件的概率
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第4节 随机事件的概率
考纲考情
考向预测
从近三年高考情况来看，本节是高考中的一
1.了解随机事件发 生的不确定性和频
个热点，但一般不独立命题．预测 2020 年
率的稳定性，了解概 高考将考查随机事件、互斥事件与对立事件
率的意义及频率与 的概率，与事件的频率交汇考查．其中随机
解：(1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以 x＝15， y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个 容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值 可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2× 10025＋2.5×20＋3×10＝1.9(分钟)．
(1)设 A 与 B 是互斥事件，A，B 的对立事件分别记为 A ， B ，则下
列说法正确的是( C )
A．A 与 B 互斥 B. A 与 B 互斥 C．P(A＋B)＝P(A)＋P(B) D．P( A ＋ B )＝1
解析：根据互斥事件的定义可知，A 与 B ， A 与 B 都有可能 同时发生，所以 A 与 B 互斥， A 与 B 互斥是不正确的；P(A＋B) ＝P(A)＋P(B)正确； A 与 B 既不一定互斥，也不一定对立，所以 D 错误.
2020届高考数学一轮复习第10章 第1节 随机事件的概率
第十章概率第一节随机事件的概率[考纲传真] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．1．事件的相关概念2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n An为事件A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)．3．事件的关系与运算(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1；(2)必然事件的概率P(A)＝1；(3)不可能事件的概率P(A)＝0；(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．[常用结论]1．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(3)两个事件的和事件发生是指两个事件都得发生． ()(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．(教材改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶D[“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．]3．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( )A ．必然事件B ．随机事件C ．不可能事件D ．无法确定B [抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0,1,2，…，10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．]4．(教材改编)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5]内的概率约是________． 12[由条件可知，落在[27.5,43.5]内的数据有11＋12＋7＋3＝33(个)，故所求概率约是3366＝12.]5．(2019·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．0．35 [∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.]1．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡A [至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“2张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．]2．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一次击中飞机}，D ＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．A与B，A与C，B与C，B与D B与D[设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝∅，B∩C＝∅，A∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，B 与C，A与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事件．]【例1】(2016·全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)记A P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．[解](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的 1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．[解](1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率是P(C)＝0.24.张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解](1)P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，P(C)＝501 000＝120.故事件A，B，C的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501 000＝611 000，故1张奖券的中奖概率约为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000， 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：(1)求有4人或(2)求至少有3人外出家访的概率．[解] (1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E ，则有4人或5人外出家访的事件为事件C 或事件D ，C ，D 为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，P ＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9.。
2020年高考文科数学一轮总复习：随机事件的概率
2020年高考文科数学一轮总复习：随机事件的概率第1讲 随机事件的概率1．事件的分类(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．3．事件的关系与运算常用知识拓展概率的几个基本性质1．概率的取值范围：0≤P (A )≤1. 2．必然事件的概率：P (A )＝1. 3．不可能事件的概率：P (A )＝0. 4．概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． 5．对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件．P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( ) (2)随机事件和随机试验是一回事．( )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( )(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( ) (6)两互斥事件的概率和为1.( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×(教材习题改编)总数为10万张的彩票，中奖率是11 000，下列说法中正确的是( )A ．买1张一定不中奖B ．买1 000张一定有一张中奖C ．买2 000张一定中奖D ．买2 000张不一定中奖解析：选D.由题意知，彩票中奖属于随机事件，故买1张也可能中奖，买2 000张也可能不中奖．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7解析：选B.设“只用现金支付”为事件A ，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B ，“不用现金支付”为事件C ，则P (C )＝1－P (A )－P (B )＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则 ①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为( ) A ．① B ．② C ．③D ．④解析：选A.由题意可知，事件③④均不是互斥事件；①②为互斥事件，但②又是对立事件，满足题意只有①，故选A.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：得以下分数的概率：(1)90分以上的概率：________．(2)不及格(60分及以上为及格)的概率：________． 解析：(1)42600＝0.07.(2)52＋8600＝0.1.答案：(1)0.07 (2)0.1随机事件的关系(师生共研)从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③【解析】 ③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．【答案】 C判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；②事件A 的对立事件A －所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．1．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，条件乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次， 事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次都出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．2．一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为310，则概率为710的事件是( )A ．恰有一个红球B ．两个小球都是白球C ．至多有一个红球D ．至少有一个红球解析：选C.因为710＝1－310，所以概率为710的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．随机事件的频率与概率(师生共研)(2017·高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．【解】 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20，25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100. 所以，Y 的所有可能值为900，300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样调查，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下表：(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.互斥事件、对立事件的概率(师生共研)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)1张奖券的中奖概率；(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【解】(1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P(A)＝11 000，P(B)＝101 000，P(C)＝501 000，因为A，B，C两两互斥，所以P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000，故1张奖券的中奖概率为611 000. (2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋101 000＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.[提醒] 间接法体现了“正难则反”的思想方法．1．某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为________．解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A ，B ，C ，D 表示，则事件A ，B ，C ，D 是互斥事件，P (A ∪D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7，所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.答案：0.72．(一题多解)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：(2)至少3人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A 、B 、C 、D 、E 、F 彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ＋B ＋C ，所以P (G )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ＋E ＋F ，所以P (H )＝P (D ＋E ＋F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.[基础题组练]1．(2019·宁夏银川四校联考)下列结论正确的是( ) A ．事件A 的概率P (A )必满足0＜P (A )＜1B ．事件A 的概率P (A )＝0.999，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行冶疗，结果有380人有明显的疗效，现有一名胃溃疡病人服用此药，则估计有明显的疗效的可能性为76%D ．某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖解析：选C.由概率的基本性质可知，事件A 的概率P (A )满足0≤P (A )≤1，故A 错误；必然事件的概率为1，故B 错误；某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，不一定有5张中奖，故D 错误．故选C.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件产品是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：选C.记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735D ．1解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.故选C.4．设A 与B 是互斥事件，A ，B 的对立事件分别记为A －，B －，则下列说法正确的是( ) A ．A 与B －互斥B ．A －与B －互斥 C ．P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )D ．P (A －＋B －)＝1解析：选C.根据互斥事件的定义可知，A 与B －，A －与B －都有可能同时发生，所以A 与B －互斥，A －与B －互斥是不正确的；P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )正确；A －与B －既不一定互斥，也不一定对立，所以D 错误．5．某城市2018年的空气质量状况如下表所示：时，空气质量为轻微污染，则该城市2018年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2018年空气质量达到良或优的概率为 P ＝110＋16＋13＝35.答案：356．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，若红球有21个，则黑球有________个．解析：由题意知，摸出黑球的概率为1－0.42－0.28＝0.3.设黑球有n 个，则0.4221＝0.3n ，故n ＝15.答案：157．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如下：贫困地区(1)(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率．解：(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53，0.54，0.52，0.52，0.51，0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57，0.58，0.56，0.56，0.55，0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.8．(2018·高考北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50.故所求概率为502 000＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－3722 000＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．[综合题组练]1．下列结论正确的是()A．若事件A，B互斥，则P(A)＋P(B)＜1B．若事件A，B对立，则P(AB)＝0C．对任意事件A，B，P(AB)＜P(A)或P(AB)＜P(B)D．对任意事件A，B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)解析：选B.互斥事件包含对立事件，所以P(A)＋P(B)≤1，所以A不正确；因为A，B 对立，所以A，B不可能同时发生，故P(AB)＝0，B正确；若A＝B，则P(AB)＝P(A)＝P(B)，所以C不正确；若A，B可能同时发生，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以D不正确．2．掷一个骰子，事件A 为“出现的点数为偶数”，事件B 为“出现的点数小于6”，记事件A ，B 的对立事件为A ，B ，则P (A －＋B －)＝( )A.56B.23C.12D.16解析：选B.因为P (A )＝36＝12，P (B )＝56，所以P (A －)＝1－12＝12，P (B －)＝1－56＝16，事件A－为“出现的点数为奇数”，B －为“出现的点数为6”，显然A －与B －互斥，所以P (A －＋B －)＝P (A －)＋P (B －)＝12＋16＝23.3．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：概率为________．解析：由题意，n ＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200＋2 100＝3 300，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为3 3004 500＝1115. 答案：11154．已知随机事件A ，B 互斥，其发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝3a －4，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜2－a ＜1，0＜3a －4＜1，2－a ＋（3a －4）≤1，解得43＜a ≤32.答案：⎝⎛⎦⎤43，325.(应用型)如图，从A 地到火车站共有两条路径L1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为121212选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1 .同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2.6．(应用型)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2) ＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.。
高考数学一轮复习 12-1 随机事件的概率课件 新人教A版
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课堂总结
规律方法 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可 以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事 件发生的可能性大小．但从大量重复试验中发现，随着 试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定 的值，该值就是概率．
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课堂总结
【训练1】 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上 销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌 的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所 示．
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课堂总结
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率； (2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计 该产品是甲品牌的概率． 解 (1)甲品牌产品寿命小于 200 小时的频率为5＋ 10020＝14， 用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于 200 小时的概
答案 B
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课堂总结
4．从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中，随机 抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”， 则概率P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．
解析 ∵P(A)＝512，P(B)＝1532，且 A 与 B 是互斥事件．
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝512＋1532＝1542＝276.
事件 相对于条件S的不可能事件 随机 在条件S下，_可__能__发__生__也__可__能__不__发__生__的事件叫 事件 做相对于条件S的随机事件
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课堂总结
2. 频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否 出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的
答案
2020版高考数学第十章概率第1讲随机事件的概率课件文
(1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保
解： (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”， B 表示事件“赔 付金额为 4 000 元”，以频率估计概率得 150 120 P(A)＝ ＝0.15，P(B)＝ ＝0.12. 1 000 1 000 由于投保金额为 2 800 元，赔付金额大于投保金额对应的情形 是赔付金额为 3 000 元和 4 000 元，所以其概率为 P(A)＋P(B) ＝0.15＋0.12＝0.27.
最高 气温 天数
[10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概 率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月 份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值， 并估计 Y 大于零的概率．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( (2)随机事件和随机试验是一回事．( ) ) ) )
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( 件．( ) )
(5) 对 立 事 件 一 定 是 互 斥 事 件 ， 互 斥 事 件 不 一 定 是 对 立 事 (6)两互斥事件的概率和为 1.(
2．一袋中装有 5 个大小形状完全相同的小球，其中红球 3 个， 白球 2 个，从中任取 2 个小球，若事件“2 个小球全是红球” 3 7 的概率为 ，则概率为 的事件是( 10 10 A．恰有一个红球 C．至多有一个红球 )
B．两个小球都是白球 D．至少有一个红球
2020高三数学(人教版)一轮复习随机事件的概率
解：(1)是互斥事件但不是对立事件． 因为“抽出红桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发 生，因而是互斥的．同时，不能保证其中必有一个发生， 因为还可能抽出“方块”或“梅花”，因此两者不对立． (2)是互斥事件又是对立事件． 因为两者不可同时发生，但其中必有一个发生． (3)不是互斥事件，更不是对立事件． 因为“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这 两个事件有可能同时发生，如抽得12.
[自主解答] 任取3只球，共有以下4种可能结果： “3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3 只白球”．
(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只 白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能两个都不 发生，故不是对立事件．
(2)“取出2只红球1只白球”，与“取出3只红球”不可 能同时发生，是互斥事件，可能同时不发生，故不是对 立事件．
(2)必然事件的概率P(E)＝ 1 . (3)不可能事件的概率P(F)＝ 0 .
(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ．
若事件A与B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B) ＝ 1 ，P(A)＝ 1－P(B) ．
[自测] 1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么
答案：B
4．某城市2012年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 T 30 60 100 110 130 140
概率 P
11 1 7 2 1 10 6 3 30 15 30
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50<T≤100时，空
气质量为良；100<T≤150时，空气质量为轻微污染．该城
市2012年空气质量达到良或优的概率为( )
2020届高考数学(文)总复习课件：随机事件的概率
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(2)1 张奖券的中奖概率；
[解] 1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设
“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 M＝A∪B∪C.
因为 A，B，C 两两互斥，
所以 P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝1＋11000＋0 50＝1
60100.故
1
张奖券的中奖概率为1
61 000.
上年度出险 次数
保费
0 0.85a
12
3
4 ≥5
a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得
到如下统计表：
出险次数 0
1
2
3
4 ≥5
频数
60 50 30 30 20 10
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(1)记 A 为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保 费”．求 P(A)的估计值；
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[典例] 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券， 多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等 奖 10 个，二等奖 50 个．设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等 奖的事件分别为 A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)； [解] P(A)＝1 0100，P(B)＝1 10000＝1010， P(C)＝1 50000＝210. 故事件 A，B，C 的概率分别为1 0100，1100，210.
定义 同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有 法 且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事 件一定是互斥事件 (1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为
集合 空集，则事件互斥． 法 (2)事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是 全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集
2020版高考数学一轮复习第十篇概率第1节随机事件的概率课件文新人教A版
解析：事件“摸出红球或白球”与事件“摸出黑球”是对立事 件，设 M 为事件“摸出红球或白球”，则 M 表示“摸出黑球”，由 对立事件的概率公式得 P(M)＝1－P(M)＝1－(0.42＋0.28)＝0.3.
答案：0.3
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5．若随机事件 A、B 互斥，A、B 发生的概率均不等于 0，且 P(A) ＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数 a 的取值范围为________．
称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的 频数 ，称事件
A 出现的比例 fn(A)＝
nA n
为事件 A 出现的频率．
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(2)概率 对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发 生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率．
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2．某天下课以后，教室里还剩下 2 位男同学和 2 位女同学．如
果他们依次走出教室，则第 2 位走出的是男同学的概率为( )
1
1
(A)2
(B)3
(C)14
(D)15
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A 解析：已知 2 位女同学和 2 位男同学走出的所有可能顺序有 (女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男， 女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第 2 位走出 的是男同学的概率 P＝36＝12.
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3．事件的关系与运算 定义
对于事件 A 与事件 B，如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这 包含关系 时称事件 B 包含事件 A(或称事 件 A 包含于事件 B)
符号表示
B⊇A (或 A⊆B)
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高考文科数学一轮复习随机事件的概率演示文稿
考点三 古典概型
古典概型的题型，在选择、填空，解答题中都有可能考查， 尤以解答题为主，往往与统计等知识相结合，考查难度不大，关键
是计算准确基本事件总数与所求事件发生的事件数.
第二十九页，共47页。
例题 1、袋中有大小相同的 5 个白球，3 个黑球和 3 个红球，每 球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
第二十六页，共47页。
P(A＋B) P(AB) P( A B )
P(A B ＋ A B) P(A B ＋ A B＋
A B)
A、B 互斥 P(A)＋P(B)
0 1－[P(A) ＋P(B)]
P(A)＋P(B)
A、B 相互独立 1－P( A )P( B )
P(A)P(B)
P( A )P( B )
P(A)P( B )＋ P( A )P(B)
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2
张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是130，那么概率是
7 10
的事
件是 A．至多有一张移动卡
B．恰有一张移动卡
(A )
C．都不是移动卡
D．至少有一张移动卡
第十八页，共47页。
练习：《新坐标》P149.例1、变式训练1
(1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生； (2)至少有 1 名男生和至少有 1 名女生； (3)至少有 1 名男生和全是女生．
第十七页，共47页。
例 3（1）设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件”，结论
乙：“概率满足 P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的 ( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
(推荐)2020版一轮复习文科数学：第十篇 概率(必修3) 第1节 随机事件的概率 含解析.doc
第1节随机事件的概率【选题明细表】1.下列事件:①任取一个整数,被2整除;②小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分;③甲、乙两人进行竞技比赛,甲的实力远胜于乙,在一次比赛中甲一定获胜;④当圆的半径变为原来的2倍时,圆的面积是原来的4倍.其中随机事件的个数是( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①②③均是可能发生也可能不发生的事件,为随机事件,④是一定发生的事件,为必然事件.选C.(A)0.35 (B)0.45 (C)0.55 (D)0.65解析:数据落在[10,40)的频率为==0.45,故选B.3.(2018·临沂期末)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名学生参加演讲比赛,那么互斥而不对立的两个事件是( B )(A)至少有1名男生和至少有1名女生(B)恰有1名男生和恰有2名男生(C)至少有1名男生和都是女生(D)至多有1名男生和都是女生解析:至少有1名男生和至少有1名女生,两者能同时发生,故A中两个事件不是互斥事件,也不是对立事件;恰有1名男生和恰有两名男生,两者不能同时发生,且不对立,故B是互斥而不对立事件;至少有1名男生和全是女生,两个事件不可能同时发生,且两个事件的和事件是全集,故C中两个事件是对立事件,至多有1名男生和都是女生,两者能同时发生,故D中两个事件不是互斥事件,也不是对立事件.故选B.4.下列四个命题:①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件,其中假命题的个数是( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:易知①正确;②中公式成立的条件是A,B互斥,故②错误;③中事件A,B,C 不一定为全部事件,故③错误;④中事件A,B不一定为对立事件,故④错误.选D.5.(2018·重庆九校一模)已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=,某人猜测事件∩发生,则此人猜测正确的概率为( C )(A)1 (B)(C)(D)0解析:因为事件∩与事件A∪B是对立事件,随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=,所以某人猜测事件∩发生,则此人猜测正确的概率为P(∩)=1-P(A∪B)=1-=,故选C.6.(2018·揭阳二模)甲乙两人下棋,已知两人下成和棋的概率为,甲赢棋的概率为,则甲输棋的概率为( C )(A)(B)(C)(D)解析:根据互斥事件概率计算公式,甲输的概率为1--=.7.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为.解析:记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A,B,C.则A,B,C 彼此互斥,由题意可得P(B)=0.03,P(C)=0.01,所以P(A)=1-P(B+C)=1-P(B)-P(C)=1-0.03-0.01=0.96.答案:0.96能力提升(时间:15分钟)8.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是( A )(A)至多有一张移动卡(B)恰有一张移动卡(C)都不是移动卡 (D)至少有一张移动卡解析:因为在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,所以概率是的事件是“2张全是移动卡”的对立事件,所以概率是的事件是“至多有一张移动卡”.9.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,若红球有21个,则黑球有个.解析:摸到黑球的概率为1-0.42-0.28=0.3.设黑球有n个,则=,故n=15. 答案:1510.若A,B互为对立事件,其概率分别为P(A)=,P(B)=,且x>0,y>0,则x+y的最小值为.解析:由题意可知+=1,则x+y=(x+y)(+)=5+(+)≥9,当且仅当=,即x=2y=6时等号成立.答案:911.在10个学生中,男生有x个,现从10个学生中任选6人去参加某项活动.①至少有一个女生;②5个男生,1个女生;③3个男生,3个女生.当x= 时,使得①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件.解析:“至少有1个女生”为必然事件,则有x<6;“5个男生,1个女生”为不可能事件,则有x<5或x=10;“3个男生,3个女生”为随机事件,则有3≤x≤7.综上所述,又由x∈N*,可知x=3或x=4.答案:3或412.随机抽取一个年份,对某市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.解:(1)在4月份任取一天,不下雨的天数是26,以频率估计概率,估计该市在该天不下雨的概率为.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”,由题意,4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的概率为.从而估计运动会期间不下雨的概率为.13.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.解:(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12.由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100辆,而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.。
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第十章概 率
第一节 随机事件的概率
2019考纲考题考情
1．事件
(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件。
(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。
(3)在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。
2．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否
发生，称n 次试验中事件A 发生的次数n A 为事件A 发生的频数，
称事件A 发生的比例f n (A )＝为事件A 发生的频率。
n A n
(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )。
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P≤1。
(2)必然事件的概率P(E)＝1。
(3)不可能事件的概率P(F)＝0。
(4)概率的加法公式：
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。
(5)对立事件的概率：
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A ∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。
1．频率与概率
频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是。