dinic
最大流问题的求解方法及应用
最大流问题的求解方法及应用
最大流问题，是指在一个有向图中，从源点 s 到汇点 t 的最大
流量。
在实际应用中，最大流问题往往用于描述网络传输、油管输送等流量分配问题。
求解最大流问题的方法包括以下几种：
1. 网络流算法：这是一种基于图论和线性规划的算法。
通过构建网络流图，将最大流问题转化为最小割问题，再利用线性规划求解最小割问题的对偶问题来求解最大流问题。
2. 增广路算法：这是一种经典的最大流算法，其基本思想是不断找到增广路径，即从源点 s 到汇点 t 的一条路径，沿途边权
均有剩余容量，使得该路径上的边的剩余容量中的最小值最大化，最终得到最大流。
3. 矩阵树定理：这是一种基于图论和矩阵运算的算法，适用于有向图和无向图。
通过计算图的拉普拉斯矩阵的行列式等方法，求得图的生成树个数，从而计算最大流。
4. Dinic算法：是对增广路算法的改进。
在增广路算法中，每
次查找增广路径的过程需要遍历整个图，为了提高效率，
Dinic算法引入了分层图的概念，将图分层之后只在图的一层
中查找增广路径，最终求得最大流。
这些方法在实际应用中常常被用来解决路由选择、网络流量优化、模拟电路分析等问题。
例如，最大流可以被用来优化数据传输、流水线设计、流量管道的运营和管理，提高资源利用率和数据传输速度。
最大流问题解题步骤
最大流问题解题步骤一、什么是最大流问题？最大流问题是指在一个有向图中，给定源点和汇点，每条边都有一个容量限制，求从源点到汇点的最大流量。
该问题可以用于网络传输、电力调度等实际应用中。
二、最大流问题的解法1. 增广路算法增广路算法是最基本的解决最大流问题的方法。
其基本思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。
具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
2. Dinic算法Dinic算法是一种改进型的增广路算法，其核心思想是通过层次分析和分层图来减少搜索次数，进而提高效率。
具体步骤如下：（1）构建分层图；（2）在分层图上进行BFS搜索寻找增广路径；（3）计算路径上可行流量并更新残留网络；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
3. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种基于增广路的算法，其核心思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。
具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
三、最大流问题解题步骤1. 确定源点和汇点首先需要确定问题中的源点和汇点，这是解决最大流问题的前提条件。
2. 构建残留网络在有向图中，每条边都有一个容量限制。
我们可以将这些边看作管道，容量看作管道的宽度。
在实际传输过程中，某些管道可能已经被占用了一部分宽度。
因此，在求解最大流问题时，需要构建一个残留网络来表示哪些管道还能够继续传输数据。
具体方法是：对于每条边(u,v)，分别构造两条边(u,v)和(v,u)，容量分别为c(u,v)-f(u,v)和f(u,v)，其中c(u,v)表示边的容量，f(u,v)表示当前流量。
最大流常见算法
最大流常见算法最大流问题是图论中的一个重要问题，其求解方法有多种，本文将介绍最常见的几种算法。
一、最大流问题简介最大流问题是在一个网络中寻找从源点到汇点的最大流量的问题。
网络是由一些节点和连接这些节点的边构成的，每条边都有一个容量，表示该边所能承载的最大流量。
源点是流量的起点，汇点是流量的终点。
在网络中，还可能存在其他节点和边。
二、Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早用于解决最大流问题的算法之一。
该算法基于增广路径来不断增加流量，直到无法再找到增广路径为止。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行深度优先或广度优先搜索，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Ford-Fulkerson算法可以保证在有限步内求解出最大流，但是其时间复杂度与增广路径的选择有关，最坏情况下可能需要指数级的时间复杂度。
三、Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是基于Ford-Fulkerson算法的一种改进算法。
该算法使用BFS来寻找增广路径，可以保证在多项式时间内求解出最大流。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行BFS，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Edmonds-Karp算法相对于Ford-Fulkerson算法来说，在同样的网络中，其时间复杂度更低，可以保证在O(VE^2)的时间内求解出最大流。
但是在某些特殊情况下仍然可能需要指数级时间复杂度。
信息竞赛：网络流
需要掌握的预备知识
最大流算法：SAP或Dinic 费用流算法：SPFA流或zkw流或Dijkstra流 最大权闭合子图相关建模
总览
PartI 最大流&费用流建模 PartII 最小割建模
Part I 最大流&费用流建模
基本技巧
对点进行限制
比如说限制经过次数，限制出入关系，拆点，利用边来完成限制
Stage III TypeB [HNOI2007]紧急疏散
同样拆点，和上题一致
Stage III
网络流上的进一步拓展 TypeA
在流量分配的前提下，增加了下界和费用，达到一个类似k路径覆盖的效果 如果在限制点的流量时，也运用到了拆点技巧 路径寻找问题的建模关键在于找到一个拓扑图
Stage III TypeB [HNOI2007]紧急疏散
发生了火警，所有人员需要紧急疏散！假设每个房间是一个N M的矩形区 域。每个格子如果是'.'，那么表示这是一块空地；如果是'X'，那么表示这 是一面墙，如果是'D'，那么表示这是一扇门，人们可以从这儿撤出房间。 已知门一定在房间的边界上，并且边界上不会有空地。最初，每块空地上 都有一个人，在疏散的时候，每一秒钟每个人都可以向上下左右四个方向 移动一格，当然他也可以站着不动。疏散开始后，每块空地上就没有人数 限制了（也就是说每块空地可以同时站无数个人）。但是，由于门很窄， 每一秒钟只能有一个人移动到门的位置，一旦移动到门的位置，就表示他 已经安全撤离了。现在的问题是：如果希望所有的人安全撤离，最短需要 多少时间？或者告知根本不可能。 3<=N <=20，3<=M<=20
复杂网络的路径搜索算法优化研究
复杂网络的路径搜索算法优化研究随着网络技术的发展和应用场景的不断拓展，人们对网络的需求也越来越高。
在各类网络中，路径搜索算法是一种非常重要的技术，用于计算网络中的两点之间的最短路径，从而方便信息的传输和流转。
但在实际应用中，复杂网络的建模和算法优化成为了亟待解决的问题。
复杂网络模型所谓复杂网络，就是具有复杂结构和动态性质的网络。
在研究路径搜索算法的时候，我们需要首先对网络进行建模。
目前比较常见的网络模型包括小世界网络、无标度网络和随机网络。
无标度网络具有高度集中性的特点，而随机网络则具有良好的均衡性。
小世界网络则同时兼具了这两种结构，既保持了高度集中性，又具有较好的均衡性。
在复杂网络的建模中，一个重要的问题是节点度分布的模拟。
度分布是指在一个网络中，节点的度数分别为多少的个数分布。
在实际应用中，节点度分布往往对计算节点路径的性质有着重要的影响，因此需要针对不同的网络模型进行不同的度分布模拟。
路径搜索算法路径搜索算法是指从图中的某个节点出发，找到到达目标节点的最短路径的算法。
常用的路径搜索算法包括最短路径算法、最小生成树算法和网络流算法等。
不同的算法依赖于不同的网络结构和节点度分布，因此需要针对不同的网络类型进行算法优化和改进。
最短路径算法是针对最短路径问题设计的算法，包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd算法等。
Dijkstra算法通过计算从源节点到所有其他节点的最短路径，可以得到最短路长度和路径信息。
Bellman-Ford算法是一种基于动态规划的算法，可以处理负权边的情况。
Floyd算法是一种基于动态规划的算法，可以处理任意两个节点之间的最短路径。
最小生成树算法是指从有边权的无向连通图生成一个无向连通树，使得该树的所有边权之和最小的算法。
常用的最小生成树算法包括Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法，每次将生成树扩展一个节点，并选择与该节点相连的边中权值最小的边。
Dinic算法基础
一、 引言图论这门古老而又年轻的学科1在信息学竞赛中占据了相当大的比重。
其中，网络流算法经常在题目中出现。
网络流涵盖的知识非常丰富，从基本的最小割最大流定理到网络的许多变形再到最高标号预流推进的六个优化等等，同学们在平时需要多多涉猎这方面的知识，不断积累，才能应对题目的各种变化。
随着信息学竞赛的不断发展，其题目的难度以及考察范围都不断增大。
现在，对于一些新出现的题目，仅仅掌握最朴素的网络流算法并不足以解决问题。
本文针对一些数据规模比较大的网络流题目详细介绍了基于分层思想的3个网络流算法，并通过列举和比较说明了其在解题中的应用，而对一些基础的知识，如最小割最大流定理等，没有作具体阐释，大家可以在许多其他网络流资料中找到。
二、预备概念22.1剩余图的概念给定一个流量网络),(111V E G =、源点s 、汇点t 、容量函数c ，以及其上的流量函数f 。
我们这样定义对应的剩余图),(222V E G =：剩余图中的点集与流量网络中的点集相同，即12V V =。
对于流量网络中的任一条边31),(E v u ∈，若),(),(v u c v u f <，那么边2),(E v u ∈，这条边在剩余图中的权值为),(),(),(v u f v u c v u g -=；同时，若0),(>v u f 那么边2),(E u v ∈，这条边在剩余图1图论这门学科的诞生始于18世纪欧拉证明了七桥问题，发表《依据几何位置的解题方法》一文。
但图论的真正发展是从20世纪五六十年代开始的。
所以说，图论是一门既古老又年轻的学科。
2本文对一些基本的理论，如最大流最小割定理等，不做阐述，读者可以参阅相关网络流资料。
3本文中所有涉及到的边若无指明均为有向边。
中的权值为),(),(v u f u v g =。
我们可以发现，流量网络中的每条边在剩余图中都化作一条或二条边。
剩余图中的每条边都表示在原流量网络中能沿其方向增广。
Dinic算法基础
一、 引言图论这门古老而又年轻的学科1在信息学竞赛中占据了相当大的比重。
其中，网络流算法经常在题目中出现。
网络流涵盖的知识非常丰富，从基本的最小割最大流定理到网络的许多变形再到最高标号预流推进的六个优化等等，同学们在平时需要多多涉猎这方面的知识，不断积累，才能应对题目的各种变化。
随着信息学竞赛的不断发展，其题目的难度以及考察范围都不断增大。
现在，对于一些新出现的题目，仅仅掌握最朴素的网络流算法并不足以解决问题。
本文针对一些数据规模比较大的网络流题目详细介绍了基于分层思想的3个网络流算法，并通过列举和比较说明了其在解题中的应用，而对一些基础的知识，如最小割最大流定理等，没有作具体阐释，大家可以在许多其他网络流资料中找到。
二、预备概念22.1剩余图的概念给定一个流量网络),(111V E G =、源点s 、汇点t 、容量函数c ，以及其上的流量函数f 。
我们这样定义对应的剩余图),(222V E G =：剩余图中的点集与流量网络中的点集相同，即12V V =。
对于流量网络中的任一条边31),(E v u ∈，若),(),(v u c v u f <，那么边2),(E v u ∈，这条边在剩余图中的权值为),(),(),(v u f v u c v u g -=；同时，若0),(>v u f 那么边2),(E u v ∈，这条边在剩余图1图论这门学科的诞生始于18世纪欧拉证明了七桥问题，发表《依据几何位置的解题方法》一文。
但图论的真正发展是从20世纪五六十年代开始的。
所以说，图论是一门既古老又年轻的学科。
2本文对一些基本的理论，如最大流最小割定理等，不做阐述，读者可以参阅相关网络流资料。
3本文中所有涉及到的边若无指明均为有向边。
中的权值为),(),(v u f u v g =。
我们可以发现，流量网络中的每条边在剩余图中都化作一条或二条边。
剩余图中的每条边都表示在原流量网络中能沿其方向增广。
求解最大流问题的算法和模型
求解最大流问题的算法和模型最大流问题是图论中的一个基本问题，涉及到网络流的计算和优化。
在实际应用中，最大流问题的求解涉及到诸多算法和模型，如增广路径算法、Ford-Fulkerson算法、Dinic算法、最小割定理等。
本文将从这些方面进行论述。
1. 增广路径算法增广路径算法是求解最大流问题的经典算法，其基本思想是不断地寻找增广路径，通过增加路径上的流量来增加整个网络的流量。
具体来说，首先通过深度优先搜索或广度优先搜索找到一条从源点到汇点的增广路径，然后确定路径上的最小流量d，将当前流量增加d，将反向边的流量减少d，同时计算当前网络的流量。
2. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种经典的增广路径算法，其基本理念与增广路径算法相同，但采用不同的策略来确定增广路径。
具体来说，Ford-Fulkerson算法采用贪心策略，在每次迭代中选择路径上的最小容量，从而确定增加的流量。
此外，Ford-Fulkerson算法还引入了残量图的概念，用于计算增广路径的容量。
3. Dinic算法Dinic算法是一种高效的增广路径算法，其主要优点是采用了分层图的策略来确定增广路径，使得每次迭代的搜索范围大为缩小。
具体来说，Dinic算法首先利用BFS算法确定每个节点的分层，然后在分层图上通过DFS算法查找增广路径，在路径上增加流量，更新分层图，重复此过程直至求解最大流。
4. 最小割定理最小割定理是求解最大流问题的重要定理，其核心思想是将网络分成两个不相交部分，并将其最小的割称为最小割。
最小割定理指出，在任意网络中，最大流等于最小割。
因此，求解最大流可以转化为求最小割问题，即在网络中寻找一组最小割，使得所有的割中容量最小的一组割。
总之，求解最大流问题是图论中的一个重要问题，其求解涉及到诸多算法和模型，如增广路径算法、Ford-Fulkerson算法、Dinic 算法、最小割定理等。
在实际应用中，不同情况下可能需要采用不同的算法和模型来求解，需要灵活应用。
网络流算法(NetworkFlow)
网络流算法（NetworkFlow）网络流算法，是指寻找网络流问题的解的算法，它是一类重要的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学及工程领域。
网络流是个有向图，它模拟了许多实际问题，如输电方案、货物运输、油管输送和信息传输等。
网络流算法的目的是在给定的网络流中，尽可能地将流量从源点流向汇点，同时满足各个节点的容量约束和流量平衡约束。
本文将介绍网络流模型的构建和基本算法。
一、网络流模型的构建网络流模型是一个有向图G=(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。
每条边都有一个容量c(e)表示其流量的最大值。
设源点为s，汇点为t，则网络流模型可以表示为一个三元组(N,s,t)，即：N=(V,E) s∈V t∈V s≠t在网络流模型中，源点始终是起点，汇点始终是终点。
我们在模型中引入一个源汇节点s'和汇源节点t'，并连接源点和汇点，得到源汇图G'=(V,E')，其中：E'=E∪{(s',s,c(s,t))}∪{(t,t',c(s,t))}即，在原图的基础上，加入两个新的虚拟节点s'和t'，并连接到源点和汇点。
这样构造的网络流模型中，所有的节点都满足容量和流量平衡约束。
在网络流问题中，我们需要求解最大流或最小割，以满足约束条件，并且尽可能地提高网络的利用率。
二、网络流的基本概念和算法1. 流量和容量网络流图中，首先需要确定每条边的容量和流量。
流量指的是通过该边的流量大小，容量指的是该边能够承受的最大流量。
在网络流模型中，每条边的容量是一个正实数，而流量可以是任意实数。
流量和容量通常表示为f(e)和c(e)。
2. 割在网络流模型中，割是一种对源汇图做出的划分，其中源点s和汇点t被分为两个集合S和T。
网络流通过割的概念来定义障碍物，即对流量的限制。
在网络流图中，割C(S,T)是指将源点s和汇点t割成两部分的划分，C(S,T)满足：s∈S t∈T S∩T=∅根据割的定义，可将所有割分为最小割和最大割。
网络流（最大流-Dinic算法）
⽹络流（最⼤流-Dinic算法）⽹络流定义 在图论中，⽹络流（Network flow）是指在⼀个每条边都有容量（Capacity）的有向图分配流，使⼀条边的流量不会超过它的容量。
通常在运筹学中，有向图称为⽹络。
顶点称为节点（Node）⽽边称为弧（Arc）。
⼀道流必须匹配⼀个结点的进出的流量相同的限制，除⾮这是⼀个源点（Source）──有较多向外的流，或是⼀个汇点（Sink）──有较多向内的流。
⼀个⽹络可以⽤来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似⼀些东西在⼀个结点的⽹络中游动的任何事物。
————维基百科 最⼤流 正如可以通过将道路交通图模型化为有向图来找到从⼀个城市到另⼀个城市之间的最短路径，我们也可以将⼀个有向图看做是⼀个“流⽹络”并使⽤它来回答关于物料流动⽅⾯的问题。
设想⼀种物料从产⽣它的源结点经过⼀个系统，流向消耗该物料的汇点这样⼀个过程。
源结点以某种稳定的速率⽣成物料，汇点则以同样的速率消耗物料。
从直观上看，物料在系统中任何⼀个点上的“流量”就是物料移动的速率。
这种流⽹络可以⽤来建模很多实际问题，包括液体在管道中的流动、装配线上部件的流动、电⽹中电流的流动和通信⽹络中信息的流动。
我们可以把流⽹络中每条有向边看做是物料的⼀个流通通道。
每条通道有限定的容量，是物料流经该通道时的最⼤速率，如⼀条管道每⼩时可以流过200加仑的液体。
流⽹络中的结点则是通道的连接点。
除了源结点和终结点外，物料在其他结点上只是流过，并不积累或聚集。
换句话说，物料进⼊⼀个结点速率必须与其离开该结点的速率相等。
这个性质称为“流量守恒”，这⾥的流量守恒与Kirchhoff电流定律等价。
在最⼤流问题中，我们希望在不违反任何容量限制的情况下，计算出从源结点运送物料到汇点的最⼤速率。
这是与流⽹络有关的所有问题中最简单的问题之⼀().，这个问题可以由⾼效的算法解决。
⽽且，最⼤流算法中的⼀些基本技巧可以⽤来解决其他⽹络流问题。
三种网络流（最大流）的实现算法讲解与代码
三种⽹络流（最⼤流）的实现算法讲解与代码[洛⾕P3376题解]⽹络流（最⼤流）的实现算法讲解与代码定义对于给定的⼀个⽹络，有向图中每个的边权表⽰可以通过的最⼤流量。
假设出发点S⽔流⽆限⼤，求⽔流到终点T后的最⼤流量。
起点我们⼀般称为源点，终点⼀般称为汇点内容前置1.增⼴路在⼀个⽹络从源点S到汇点T的⼀条各边剩余流量都⼤于0(还能让⽔流通过,没有堵住)的⼀条路。
2.分层预处理出源点到每个点的距离(每次寻找增⼴路都要,因为以前原本能⾛的路可能因为⽔灌满了,导致不能⾛了).作⽤是保证只往更远的地⽅放⽔,避免兜圈⼦或者是没事就⾛回头路(正所谓⼈往⾼处⾛⽔往低处流).3.当前弧优化每次增⼴⼀条路后可以看做“榨⼲”了这条路，既然榨⼲了就没有再增⼴的可能了。
但如果每次都扫描这些“枯萎的”边是很浪费时间的。
那我们就记录⼀下“榨取”到那条边了，然后下⼀次直接从这条边开始增⼴，就可以节省⼤量的时间。
这就是当前弧优化具体怎么实现呢，先把链式前向星的head数组复制⼀份，存进cur数组，然后在cur数组中每次记录“榨取”到哪条边了。
[#3 引⽤⾃]()解决算法Ford-Fulkerson 算法(以下简称FF算法)FF算法的核⼼是找增⼴路,直到找不到为⽌。
(就是⼀个搜索，⽤尽可能多的⽔流填充每⼀个点，直到没有⽔⽤来填充，或者没有多余的节点让⽔流出去)。
但是这样的⽅法有点基于贪⼼的算法，找到反例是显⽽易见的，不⼀定可以得到正解。
为了解决这种问题，我们需要⼀个可以吃后悔药的⽅法——加反向边。
原本我们的DFS是⼀条路⾛到⿊的，现在我们每次进⼊⼀个节点，把⽔流送进去，同时建⽴⼀个权值与我们送⼊的⽔流量相等，但是⽅向相反的路（挖⼀条路让⽔流能够反向流回来，相当于给⽔流吃⼀颗后悔药）。
我们给了FF算法⼀颗后悔药之后就可以让他能够找到正确的最⼤流。
Ford-Fulkerson算法的复杂度为O(e×f) ,其中 e 为边数, f为最⼤流上代码。
最大流问题算法
最大流问题算法最大流问题算法介绍最大流问题是在网络流中的一个重要问题，它是指在一个有向图中，给定一个源点和汇点，每条边都有一个容量上限，求从源点到汇点的最大流量。
最大流问题有很多应用，如交通网络、电力系统、通信网络等。
本文将介绍最大流问题的算法。
Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早提出的解决最大流问题的方法之一。
该算法通过不断地增广路径来寻找增广路，并更新残留网络中的边权值。
具体步骤如下：1. 初始化残留网络：对于原图G(V, E)，构造残留网络Gf(V, Ef)，其中Ef包含所有满足c(u, v)>0或f(u, v)>0的(u, v)。
2. 寻找增广路：在残留网络中寻找从源点s到汇点t的增广路。
3. 更新残留网络：根据增广路更新残留网络中的边权值。
4. 重复步骤2和3直到不存在增广路为止。
该算法存在多种实现方式，如DFS、BFS等。
Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的一种特殊实现方式，使用BFS来寻找增广路。
该算法的时间复杂度为O(VE^2)，其中V和E分别为原图G(V, E)的顶点数和边数。
Dinic算法Dinic算法是一种基于分层图的最大流算法，它通过构造分层图来寻找增广路。
该算法的时间复杂度为O(V^2E)，其中V和E分别为原图G(V, E)的顶点数和边数。
Push-Relabel算法Push-Relabel算法是一种基于预流推进的最大流算法，它通过不断地调整节点之间的流量来求解最大流。
该算法存在多种实现方式，如FIFO、HL等。
其中HL算法是一种比较优秀的实现方式，它将节点按照高度进行划分，并使用桶来管理节点。
总结以上介绍了最大流问题的四种常见算法：Ford-Fulkerson、Edmonds-Karp、Dinic和Push-Relabel。
这些算法各有优缺点，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的算法。
dinic算法(最大流)
begin
e[tot1].point:=b; e[tot1].next:=first[a]; e[tot1].c:=c; first[a]:=tot1; inc(tot1);
end;
procedure init;
var i,x,y,q:longint;
begin
tot1:=2;
readln(n,m);
for i:=m+2 to n+m+1 do
begin
read(a1); add(in+m+2,a1);
add(n+m+2,i,0);
end;
for i:=2 to m+1 do
bfs;
while h[t]<n do｛如果在分层图中找得到汇点｝
begin
inc(tot,dfs(s,maxlongint));｛根据分层图增广｝
bfs;｛根据新的流量构建分层图｝
end;
end;
Begin
init;
main;
writeln(j-tot);
End.
STEP2：用增广路算法计算L的最大流F，若在L中找不到增广路，算法结束。
SETP3：根据F更新G中的流f，转STEP1。
分层网络的构造算法：
STEP1：标号源节点s，M[s]＝0。
STEP2：调用广度优先遍历算法，执行一步遍历操作，当前遍历的弧e=v1v2，令r＝G.u（e）－G.f（e）。
function dfs(now,low:longint):longint;｛根据分层图增广，low表示到now为止最多可增广流量｝
最大流EK与Dinic算法最小费用最大流问题简述
最⼤流EK与Dinic算法最⼩费⽤最⼤流问题简述
最⼤流问题是给⼀个有向⽹络，每条边都有⼀个容量，问从起点到终点最多能输出多少流。
这是⼀个模型，在处理某些问题合适建模，就能利⽤这些现成的算法，使得问题得到解决。
EK算法采⽤BFS找增⼴路，不断⽤流到这个点的最⼤流和现存容量的较⼩值进⾏更新，就这样每次找到⼀条更新整个图，然后添加反向弧，反向弧的容量与正向的和是等于整个容量，这个反向弧并不存在，只是为算法提供了修改的途径，有反悔的机会，添加反向边，更新残余量，直到没有路径可以到达。
Dinic算法,在残量⽹络上操作（残量⽹络是包含反向弧的⽹络），BFS建层次图，DFS找路径，找到阻塞流就算成功，不⼀定是最⼤流，然后更新整个⽹络，重复整个过程，算法效率优于EK算法。
最⼩费⽤最⼤流SPFA算法，利⽤费⽤建⽴⼀个⽹络，然后找费⽤和最少的⼀条路径（不考虑流量），然后在这条路径上找最⼩的容量边作为整条路的容量，计算价钱，然后当这条边的容量⽤了部分或全部之后添加反向弧（参数仍是费⽤，容量⽤完取消正向弧），继续重复上⼀个过程。
离散数学有向图网络流算法分析
离散数学有向图网络流算法分析离散数学是一门对离散结构进行研究的数学学科，它包括了许多领域，其中有向图是离散数学中的一个重要概念。
有向图由一组节点和连接这些节点的有向边组成，它在各个领域中都有广泛应用，尤其在网络流算法中发挥着重要作用。
一、有向图的基本概念有向图由一组节点和连接这些节点的有向边组成。
节点之间的连线表示了方向关系，从而形成了有向图的结构。
在有向图中，每条边都有一个起始节点和一个终止节点，并且边是有方向的，不能改变其指向。
有向图中的节点和边可以用数学的方式表示，比如矩阵或者关联数组等。
二、有向图网络流算法的基本概念网络流算法是一种用来解决网络中流量分配问题的算法。
在有向图中，如果将节点看作点，边看作管道，流量看作水流，那么问题就可以转化为在网络中分配流量的问题。
有向图网络流算法包括最大流问题和最小割问题，其中最大流问题是指在有向图中找到最大的流量分配方案，而最小割问题是指找到一条最小的边集，使得切割后的网络中无法再从源节点到达汇节点。
三、Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种用来解决最大流问题的经典算法。
这个算法的基本思想是不断寻找一条增广路径，然后通过增加这条路径上的流量来增大整个网络的流量。
当无法再找到增广路径时，算法停止，此时得到的流量就是最大流。
Ford-Fulkerson算法的时间复杂度为O(EF)，其中E表示网络中边的数量，F表示最大流的值。
四、Dinic算法Dinic算法是一种改进的最大流算法，它通过构建分层网络和分层图进行流量分配，可以在相同时间复杂度下处理更大规模的网络。
Dinic算法的基本思想是通过广度优先搜索构建分层网络，然后通过DFS深度优先搜索找到增广路径，并不断更新网络中的残余图，直到无法再找到增广路径为止。
Dinic算法的时间复杂度为O(V^2E)，其中V表示网络中节点的数量，E表示网络中边的数量。
五、应用领域有向图网络流算法在实际应用中有着广泛的应用，例如在电力系统中，可以用来优化电力传输和分配；在运输网络中，可以用来优化货物的运输路径和分配；在通信网络中，可以用来优化数据的传输和分配等。
几类求解最大流问题算法在运输问题中的应用
几类求解最大流问题算法在运输问题中的应用摘要：本文将介绍几种求解最大流问题的算法在运输问题中的应用，包括Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法、Dinic 算法和Push-Relabel算法。
通过比较几种算法在运输问题中的效率和计算复杂度，找出适用于不同场景的最佳算法。
本文还将列举实际案例，展示这些算法在实际应用中的效果。
关键词：最大流问题；运输问题；Ford-Fulkerson算法；Edmonds-Karp算法；Dinic算法；Push-Relabel算法；计算复杂度正文：1. 引言最大流问题是图论中的经典问题之一，其应用广泛，尤其是在运输问题中。
运输问题是指在一定的限制条件下，如何通过最小的代价（费用）将各种物品从一些供给点运输到一些需求点上的问题。
这里的限制条件可能是供应量、需求量、容量等，因此求解最大流问题对解决运输问题具有重要意义。
目前，常见的求解最大流问题的算法包括Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法、Dinic算法和Push-Relabel算法。
2. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早被提出的求解最大流问题的算法之一。
该算法通过不断寻找增广路径（即残量网络中一条从源点到汇点的路径，其边权的最小值称为该路径的剩余容量）来不断增加流量，直到无法找到增广路径为止。
该算法的时间复杂度取决于增广路径的数量，因此时间复杂度可能非常高，且可能存在无穷增广路径的情况。
尽管如此，Ford-Fulkerson算法仍然是求解最大流问题的基础，而且可以通过改进来提高其效率，如通过贪心算法选择增广路径。
3. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是在Ford-Fulkerson算法的基础上进一步优化而来的算法。
该算法在寻找增广路径时，使用BFS（广度优先搜索）替代了Ford-Fulkerson算法中的DFS（深度优先搜索），从而保证了每次找到的增广路径具有最小距离，其时间复杂度为O(V*E^2)，其中V为节点数，E为边数。
Dinic算法详解及实现
Dinic算法详解及实现预备知识：残留⽹络：设有容量⽹络G(V,E)及其上的⽹络流f，G关于f的残留⽹络即为G(V',E')，其中G’的顶点集V'和G的顶点集V相同，即V'=V，对于G 中任何⼀条弧<u,v>,如果f(u,v)<c(u,v)，那么在G'中有⼀条弧<u,v>∈E'，其容量为c'(u,v)=c(u,v)-f(u,v)，如果f(u,v)>0,则在G'中有⼀条弧<v,u>∈E'，其容量为c’(v,u)=f(u,v).从残留⽹络的定义来看，原容量⽹络中的每条弧在残留⽹络中都化为⼀条或者两条弧。
在残留⽹络中，从源点到汇点的任意⼀条简单路径都对应⼀条增光路，路径上每条弧容量的最⼩值即为能够⼀次增⼴的最⼤流量。
顶点的层次：在残留⽹络中，把从源点到顶点u的最短路径长度，称为顶点u的层次。
源点 Vs的层次为0.例如下图就是⼀个分层的过程。
注意：（1）对残留⽹路进⾏分层后，弧可能有3种可能的情况。
1、从第i层顶点指向第i+1层顶点。
2、从第i层顶点指向第i层顶点。
3、从第i层顶点指向第j层顶点（j < i）。
（2）不存在从第i层顶点指向第i+k层顶点的弧(k>=2)。
（3）并⾮所有的⽹络都能分层。
2、最短路增⼴路径的算法思想最短增⼴路的算法思想是：每次在层次⽹络中找⼀条含弧数最少的增⼴路进⾏增⼴。
最短增⼴路算法的具体步骤如下：（1）初始化容量⽹络和⽹络流。
（2）构造残留⽹络和层次⽹络，若汇点不在层次⽹络中，则算法结束。
（3）在层次⽹络中不断⽤BFS增⼴，直到层次⽹络中没有增⼴路为⽌；每次增⼴完毕，在层次⽹络中要去掉因改进流量⽽导致饱和的弧。
（4）转步骤（2）。
在最短增⼴路算法中，第（2）、（3）步被循环执⾏，将执⾏（2）、（3）步的⼀次循环称为⼀个阶段。
在每个阶段中，⾸先根据残留⽹络建⽴层次⽹络，然后不断⽤BFS在层次⽹络中增⼴，直到出现阻塞流。
dinic（最大流）算法讲解
dinic（最⼤流）算法讲解“⽹络流博⼤精深”—sideman语⼀个基本的⽹络流问题感谢WHD的⼤⼒⽀持最早知道⽹络流的内容便是最⼤流问题，最⼤流问题很好理解：解释⼀定要通俗!如右图所⽰,有⼀个管道系统,节点{1,2,3,4},有向管道{A,B,C,D,E},即有向图⼀张. [1]是源点,有⽆限的⽔量,[4]是汇点,管道容量如图所⽰.试问[4]点最⼤可接收的⽔的流量?这便是简单的最⼤流问题,显然[4]点的最⼤流量为50死理性派请注意:流量是单位时间内的,总可以了吧!然⽽对于复杂图的最⼤流⽅法是什么呢,有EK,Dinic,SAP,etc.下⾯介绍Dinic算法()Dinic 算法Dinic算法的基本思路:1. 根据残量⽹络计算层次图。
2. 在层次图中使⽤DFS进⾏增⼴直到不存在增⼴路3. 重复以上步骤直到⽆法增⼴引⾃,相当简单是吧...⼩贴⼠:⼀般情况下在Dinic算法中,我们只记录某⼀边的剩余流量.残量⽹络:包含反向弧的有向图,Dinic要循环的,每次修改过的图都是残量⽹络,层次图:分层图,以[从原点到某点的最短距离]分层的图,距离相等的为⼀层,(⽐如上图的分层为{1},{2,4},{3})DFS:这个就不⽤说了吧...增⼴ :在现有流量基础上发现新的路径,扩⼤发现的最⼤流量(注意:增加量不⼀定是这条路径的流量,⽽是新的流量与上次流量之差)增⼴路:在现有流量基础上发现的新路径.(快来找茬,和上⼀条有何不同?)剩余流量:当⼀条边被增⼴之后(即它是增⼴路的⼀部分,或者说增⼴路通过这条边),这条边还能通过的流量.反向弧:我们在Dinic算法中,对于⼀条有向边,我们需要建⽴另⼀条反向边(弧),当正向(输⼊数据)边剩余流量减少I时,反向弧剩余流量增加I Comzyh的较详细解释(流程) :Dinic动画演⽰1. ⽤BFS建⽴分层图注意:分层图是以当前图为基础建⽴的,所以要重复建⽴分层图2. ⽤DFS的⽅法寻找⼀条由源点到汇点的路径,获得这条路径的流量I 根据这条路径修改整个图,将所经之处正向边流量减少I,反向边流量增加I,注意I是⾮负数3. 重复步骤2,直到DFS找不到新的路径时,重复步骤1注意(可以⽆视):Dinic(其实其他的好多)算法中寻找到增⼴路后要将反向边增加IDinic中DFS时只在分层图中DFS，意思是说DFS的下⼀个节点的Dis(距源点的距离)要⽐⾃⼰的Dis⼤1,例如在图1中第⼀个次DFS中,1->2->4 这条路径是不合法的,因为Dis[2]=1;Dis[4]=1;步骤2中"获得这条路径的流量I "实现:DFS函数有参量low,代表从源点到现在最窄的(剩余流量最⼩)的边的剩余流量,当DFS到汇点是,Low便是我们要的流量I对于反向弧(反向边)的理解:这⼀段不理解也不是不可以,对于会写算法没什么帮助,如果你着急,直接⽆视即可.先举⼀个例⼦(如右图):必须使⽤反向弧的流⽹络在这幅图中我们⾸先要增⼴1->2->4->6,这时可以获得⼀个容量为 2的流,但是如果不建⽴4->2反向弧的话,则⽆法进⼀步增⼴,最终答案为2,显然是不对的,然⽽如果建⽴了反向弧4->2,则第⼆次能进⾏ 1->3->4->2->5->6的增⼴,最⼤流为3.Comzyh对反向弧的理解可以说是"偷梁换柱",请仔细阅读: 在上⾯的例⼦中,我们可以看出,最终结果是1->2->5->6和1->2->4->6和 1->3->4->6.当增⼴完1->2->4->6(代号A)后,在增⼴ 1->3->4->2->5->6(代号B),相当于将经过节点2的A流从中截流1(总共是2)⾛2->5>6,⽽不⾛2->4>6了,同时B流也从节点4截流出1(总共是1)⾛4->6⽽不是4->2->5->6,相当于AB流做加法.简单的说反向弧为今后提供反悔的机会,让前⾯不⾛这条路⽽⾛别的路.Dinic算法的程序实现最⼤流算法⼀直有⼀个⼊门经典题: 或者是这两个是同⼀个题给出这道题的代码1 #include<cstdio>2 #include<cstring>3 #include<cmath>4 #include<iostream>5 #include<algorithm>6 #include<set>7 #include<map>8 #include<queue>9 #include<vector>10 #include<string>11#define Min(a,b) a<b?a:b12#define Max(a,b) a>b?a:b13#define CL(a,num) memset(a,num,sizeof(a));14#define eps 1e-1215#define inf 0x7fffffff1617//freopen("data.txt","r",stdin);18const double pi = acos(-1.0);19 typedef __int64 ll;20const int maxn = 300 ;21using namespace std;22int n , m;23int flow[maxn][maxn],dis[maxn] ;//dis[i],表⽰到原点 s 的层数2425int bfs()// 重新建图（按层数建图）26 {27 CL(dis,-1);28 dis[1] = 0 ;29 queue<int>que;30 que.push(1);31while(!que.empty())32 {33int k = que.front();que.pop() ;34for( int i = 1;i<= n;i++)35 {36if(flow[k][i] > 0 && dis[i] < 0 )// 如果可以可以到达但还没有访问37 {38 dis[i] = dis[k]+ 1 ;39 que.push(i) ;40 }41 }42 }4344if(dis[n] > 0) return1;45else return0 ;4647 }48int dfs(int x,int mx)// 查找路径上的最⼩的流量49 {5051int i , a ;52if(x == n) return mx ;5354for(i = 1;i<= n;i++)55 {56if(flow[x][i] > 0 && dis[i] == dis[x] + 1 && (a =dfs(i,min(mx,flow[x][i]))))57 {58 flow[x][i] -= a;59 flow[i][x] += a;60return a ;616263 }64 }65return0 ;66 }67int main()68 {69//freopen("data.txt","r",stdin);70int i ,s,e,c;71while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)72 {73 CL(flow,0);74for(i = 0 ; i < m;i++)75 {76 scanf("%d%d%d",&s,&e,&c);77 flow[s][e] += c;78 }79int ans = 0;80int res;8182while(bfs())83 {848586while(res = dfs(1,inf)) ans+= res ;8788 }89 printf("%d\n",ans);90 }9192 }更⾼效的 dinichdu 4292 Food#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<iostream>#include<algorithm>#include<set>#include<map>#include<queue>#include<vector>#include<string>#define INF 0x3fffffff#define F(x) (x)#define N(x) (205+(x))#define CPN(x) (410+(x))#define D(x) (615+(x))#define maxn 250#define CL(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define Pnum 210using namespace std;int next[maxn*20],dis[maxn*10];int s,e;int n, fnum ,dnum ,f[maxn],d[maxn],cnt;struct node{int to;int cap ;int next ;}p[200000] ;int que[maxn*maxn] ,idx;void add(int x,int y,int cap)// 建边注意反向边的流量为 0{p[cnt].to = y;p[cnt].cap = cap ;p[cnt].next = next[x];next[x] = cnt++ ;p[cnt].to = x;p[cnt].cap = 0;p[cnt].next = next[y];next[y] = cnt++ ;}int bfs()// 重新建图（按层数建图）{memset(dis,0xff,sizeof(dis)) ;dis[s] = 0 ;queue<int>que;que.push(s);while(!que.empty()){int k = que.front();que.pop() ;for( int i = next[k];i!=-1;i = p[i].next){int v = p[i].to;int cap = p[i].cap ;if(cap > 0 && dis[v] < 0 )// 如果可以可以到达但还没有访问 {dis[v] = dis[k]+ 1 ;que.push(v) ;}}}if(dis[e] > 0) return1;else return0 ;}int dfs(int x,int mx)// 查找路径上的最⼩的流量{int i , a ,tf = 0;if(x == e) return mx ;for(i = next[x];i!= - 1;i = p[i].next){int v = p[i].to ;int cap = p[i].cap ;if(cap > 0 && dis[v] == dis[x] + 1 && (a =dfs(v,min(cap,mx)))){p[i].cap -= a;p[i^1].cap += a;return a;}}if(!tf) dis[x] = -1;// 没有找到最⼩流量，说明从这个点到不了终点，所以标记⼀下return tf ;}int main(){int i , j ;char c[250] ;//freopen("data.txt","r",stdin) ;while(scanf("%d%d%d",&n,&fnum,&dnum)!=EOF){CL(next,-1) ;cnt = 0;s = 0;e = 2000;for(i = 1 ; i <= fnum;i++){scanf("%d",&f[i]);}for(i = 1 ; i<= dnum;i++){scanf("%d",&d[i]) ;}for(i = 1; i <= n;i++)// ⼈和吃的{scanf("%s",c);for(j = 0 ; j< fnum ;j++){if(c[j] == 'Y'){add(j + 1,i + Pnum,1) ;}}}for(i = 1; i<= n;i++)// ⼈和喝的{scanf("%s",c);for(j = 0 ; j< dnum ;j++){if(c[j] == 'Y'){add(i + Pnum*2,j + Pnum*3 + 1,1) ;}}}for(i = 1; i <= fnum;i++)//增加源点{add(0,i,f[i]) ;}for(i = Pnum*3 + 1,j = 1; j <= dnum;i++,j++)//增加汇点 {add(i,e,d[j]) ;}for(i = 1; i <= n;i++)// 将⼈拆分{add(i + Pnum,i +Pnum*2,1);}int ans = 0;int res;while(bfs()){while(res = dfs(s,INF)) ans+= res ;}printf("%d\n",ans);}}。
网络流-dinic+当前弧优化【代码】
⽹络流-dinic+当前弧优化【代码】这是初学⽹络流的时候从《算法竞赛进阶指南》抄下来的⼀份代码，⾃⼰理解的也不是很透彻。
注意，边要从 1 开始计，不然直接xor运算的话取反边会直接炸掉。
#include <bits/stdc++.h>#define int long longnamespace Basic {template <typename Temp> inline void read(Temp & res) {Temp fh = 1; res = 0; char ch = getchar();for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') fh = -1;for(; isdigit(ch); ch = getchar()) res = (res << 3) + (res << 1) + (ch ^ '0');res = res * fh;}template <typename Temp> inline void Checkmax(Temp & res, Temp comp) {if(comp > res) res = comp;}template <typename Temp> inline void Checkmin(Temp & res, Temp comp) {if(comp < res) res = comp;}}using namespace std;using namespace Basic;const int Maxn = 2e2 + 5;const int Maxm = 5e3 + 5;const int INF = 0x7fffffff >> 1;struct e {int to, nxt, flow;} b[Maxm << 1];int head[Maxn], ecnt = 1;inline void add(int u, int v, int f) {b[++ecnt] = (e){v, head[u], f}; head[u] = ecnt;}int depth[Maxn], curr[Maxn];int n, m, st, ed;int Max_flow, last_flow;queue<int> q;inline bool bfs() {memset(depth, 0, sizeof(depth));while(!q.empty()) q.pop();depth[st] = 1; q.push(st); curr[st] = head[st];while(!q.empty()) {int tnow = q.front(); q.pop();for(register int i = head[tnow]; i; i = b[i].nxt) {int tto = b[i].to, tw = b[i].flow;if((!tw) || (depth[tto])) continue;q.push(tto);depth[tto] = depth[tnow] + 1; curr[tto] = head[tto];if(tto == ed) return true;}}return false;}int dfs(int t, int Flow) {if(t == ed) return Flow;int rest = Flow, k, i;for(i = curr[t]; i && rest; i = b[i].nxt) {int tto = b[i].to, tw = b[i].flow; curr[t] = i;if((tw == 0) || (depth[tto] != depth[t] + 1)) continue;k = dfs(tto, min(rest, tw));rest -= k;b[i].flow -= k;b[i ^ 1].flow += k;if(!k) depth[tto] == 0;}return Flow - rest;}signed main() {read(n); read(m); read(st); read(ed);int x, y, z;while(m--) {read(x); read(y); read(z);add(x, y, z);add(y, x, 0);}while(bfs()) {/*for(register int i = 1; i <= n; ++i) {printf("%d ", depth[i]);}puts("");*/while(last_flow = dfs(st, INF)) Max_flow += last_flow; }printf("%d", Max_flow);return 0;}Processing math: 100%。