甘肃省兰州一中2015届高考数学三模试卷(理科)
甘肃省兰州市2015届高三3月诊断考试数学(理)试题
令()ln21fxxax得ln21xax=-，因为函数()lnfxxxax有两个极值点，所以()ln21fxxax有两个零点，等价于函数lnyx与21yax的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作lnyx的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率01xk，切线方程为110xxy. 切点在切线上，则01000xxy，又切点在曲线lnyx上，则10ln00xx，即切点为（1，0）.切线方程为1yx. 再由直线21yax与曲线lnyx有两个交点，知直线21yax位于两直线0y和1yx之间，其斜率2a满足：0＜2a＜1，解得实数a的取值范围是1(0,)2. 三、解答题 17. 解：（Ⅰ）∵sinsin3cosacaCAA， ∴3cossinAA ∴tan3A ∵0A ∴ 3A …………6分 （Ⅱ）由正弦定理得：643sinsinsin3cos3abcABC， ∴43sinbB，43sincC ∴43sin43sinbcBC 43sinsin()43sinsin()3BABBB
C1 D1 z
所以3AC，建立如图空间直角坐标系， 则(3,0,0)A，(0,1,0)B，1(0,0,3)D 设平面11ABCD的一个法向量(,,)nxyzr 由100nABnADuuurruuurr得300yxzx 可得平面11ABCD的一个法向量(1,3,1)nr． 又1(0,0,3)CDuuur为平面ABCD的一个法向量． 因此1115cos,5||||CDnCDnCDnuuurruuurruuurr 所以平面11ABCD和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为55. 19. 解（Ⅰ）设印有“绿色金城行”的球有n个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件A,则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是226(),nCPAC 由对立事件的概率: ()PA=41().5PA 即2261()5nCPAC， 解得 3.n …………6分 （Ⅱ）由已知，两种球各三个，可能取值分别为1,2,3， 23261(1)5CPC 2211233333222266664(2)25CCCCCPCCCC， 16(3)1(1)(2)25PPP (或222111121111333333333333222222226666666616(3)25CCCCCCCCCCCCPCCCCCCCC) 则 的分布列为：
2015年高三三模试卷理科数学附答案
O ππ3π6112015年高三三模试卷理科数学一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)1、设复数11221,2,z z i z ai z =+=+若为纯虚数，则实数a =（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．12、 已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题:1,ln(1)x q x e x ∀>->+，则（ ） A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题3、已知某随机变量X 的概率密度函数为P (x )=⎩⎨⎧>≤-0,0,0x e x x ,则随机变量X 在区间(1,2)内的概率为( )A ．e 2+eB ．21e e + C ．e 2-e D ．21ee - 4．下列命题中正确的是（ ）A.如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C.平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD.若直线l 不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l 垂直的直线 5．设0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（ ）（A ）32,1πϕω== （B ）32,2πϕω== （C ）3,1πϕω-== （D ）3,2πϕω-==6、ABCDEF 6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A,B 和C,D 同学分别穿着白色和黑色文化衫，E 和F 分别穿着红色和橙色的文化衫.若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为( )A.72B.192C. 112D.1607、 设函数)(x f 的导函数为)(x f '，对任意∈x R 都有)()(x f x f >'成立，则（ ）A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B.3(ln 2)2(ln 3)f f =C ．3(ln 2)2(ln3)f f < D.3(ln 2)2(ln3)f f 与的大小不确定8、过双曲线2222x y a b-=1（a >0，b >0）的左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若T 为线段FP 的中点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x ±y =0B ．2x ±y =0C ．4x ±y =0D ．x ±2y =09、已知,40,tan 12sin sin 22πθθθθ<<=++k 则)4sin(πθ-的值( ) A ．随着k 的增大而增大 B ．有时随着k 的增大而增大，有时随着k 的增大而减小 C ．随着k 的增大而减小 D ．是一个与k 无关的常数10、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数1()sgn(ln )(23)x f x x -=--的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.411、平面α、β、γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β、γ的距离都是3，P 是α内的动点，P 到β的距离是到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是( ) A ． 3－ 3B ．3+ 3C ．1D ．312、定义在R 上的函数)(x f y = 是增函数，且函数)3(-=x f y 的图像关于（3，0）成中心对称，若t s ,满足不等式22(2)(2)0f s s f t t -+-≥，则当14s ≤≤时，3t s +的取值范围是( ) A ．]10,2[- B ．[4，16] C ．]10,4[ D ．]16,2[-第II 卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13、右面程序框图中，已知f 0(x)=xe x ，则输出的结果是___ __；14、已知{x 1, x 2, x3, x 4}⊆{x >0|(x -3)sinπx =1}, 则x 1+x 2+x 3+x 4的最小值为___ __；15、ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则该ABC ∆的面积___ __；16、某几何体的三视图如图，若该几何体的各顶点都在一个球面上，则此球的表面积为___ __；（2sin aR A=，其中R 为三角形外接圆半径）三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17、（本小题满分12分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中, 已知3212+=a a , 且23a ,4a ,35a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n a b 3log =,求数列{}n n b a 的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）已知某几何体直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，60°3388主视图侧视图（1）求证：BN 11C B N ⊥平面； （2）11sin C N CNB θθ设为直线与平面所成的角,求的值； （3）设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP //平面1CNB 并求BPPC的值 19、（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =. （Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。
甘肃省兰州一中2015届高三数学冲刺模拟试题 理
甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题数 学（理 科）第I 卷（选择题）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1.设集合M={}22|21x x y -=，N={}2|y y x =，则M N =( )A. {（1,1）}B. {（-1,1），（1,1）}C. )1,2⎡+∞⎢⎣ D. 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. 设i 是虚数单位，那么使得31()122n i -+=的最小正整数n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 如果直线ax +by =4与圆C ：x 2+y 2=4有两个不同的交点，那么点（a ，b ）和圆C 的位置关系是（ ） A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定4.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度5.过椭圆22143yx +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 1 D. 7126. 已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-（其中a ，b 分别是A ∠，B ∠的对边），那么角C 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某多面件的三视图，该多面体的体积为（ ） A. 403cm B. 503cm C. 603cm D. 803cm8.电子钟表一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都 由4个数字组成，那么一天中任一时刻的4个数字之和等于23 的概率是（ ）A. 1180B. 1288C. 1360D. 14809.已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三 棱锥的体积为（ ） A. 14B.24 C. 26 D. 21210.执行右图程序框图，如果输入的正实数x 与输出的实数y 满足y =x ，则x = （ ） A. 3 B.132+ C. 13 D. 1132+ 11.已知函数3y x =在k x a =时的切线和x 轴交于1k a +，若11a =，则数列{}n a的前n 项和为（ ）A. 1233n +B. 12()3n -C. 23()3n -D. 1233nn -- 12.已知函数()3,f x x mx x R =-∈，若方程()f x =2在[4,4]x ∈-恰有3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A. (31,32⎤-⎥⎦B. (313,2⎤⎥⎦C. ()()31,3,2-∞-+∞D. ()()31,3,2-∞+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在(x 2+24x－4)5的展开式中含x 4项的系数是___________. (用数字填写答案) 14.在△ABC 中，∠A=90°，AB=1，BC=5，点M ，N 满足AM AB λ= ，(1)AN AC λ=-，R λ∈，若2BN CM ⋅=-，则λ=_________.15.平面上满足约束条件2,0,100.x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y =2x对称的区域为E ，则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________.16.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()f x f x '<，且()()31f x f x ⋅+=-，若()2015f e =-，则不等式()x f x e <的解集为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知点A (sin ,1)θ，B (cos ,0)θ，C (sin ,2)θ-，且AB BP =.（Ⅰ）记函数()f BP CA θ=⋅，(,)82ππθ∈-，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O ，P ，C 三点共线，求||OA OB +的值.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ， ∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是以AD 为底的等腰三角形. （Ⅰ）证明：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若四棱锥P —ABCD 的体积等于32，试求PB 与平面PCD 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力. 假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是.21从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为31、32；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为53、.52记第)1,(≥∈n N n n 次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为P n . （Ⅰ）求P 2的值；（Ⅱ）当,2n N n ∈≥时，试用P n -1表示P n ； （Ⅲ）求P n 关于n 的表达式.20. （本小题满分12分）已知椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左右焦点1F ，2F 与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线1F P 的垂线1F M 相交于点M ，求点MABCDP的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP 与直线x =-2交于点N ，求证：11||||NF MF 为定值.21. （本小题满分12分）已知函数()ln h x x x =，2()(0)a x a xϕ=>. （Ⅰ）求()()xag x t dt ϕ=⎰；（Ⅱ）设函数()()()1f x h x g x '=--，试确定()f x 的单调区间及最大最小值； （Ⅲ）求证：对于任意的正整数n ，均有111123!nne e n ++++≥ 成立.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（Ⅰ）︒=∠30PBD ；（Ⅱ）DC AD =．23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程为123x ty t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数).（Ⅰ）写出直线L 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线C '，设 M(x ,y )为C '上任意一点，求2232x xy y -+的最小值，并求相应的点M 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++.SD A PCB甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题参考答案数 学（理 科）第I 卷（选择题）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBACDBACCDDB第Ⅱ卷二、填空题13. -960 ； 14. 23； 15.1255； 16.()1,+∞ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：设P （x ，y ），由 AB BP =得 OB OA OP OB -=- ，即 (cos sin ,1)(cos ,)x y θθθ--=-，所以 2cos sin ,1x y θθ=-=-，亦即(2cos sin ,1)P θθ--；…………………… 2分（Ⅰ）()(sin cos ,1)(2sin ,1)f BP CA θθθθ=⋅=-⋅-22sin 2sin cos 1sin 2cos 2θθθθθ=--=--2sin(2)4πθ=-+；由(,)82ππθ∈-得52(0,)44ππθ+∈，所以，当2(0,)42ππθ+∈即(,88ππθ⎤∈-⎥⎦时，()f θ单调递减，且2()0f θ-≤<，当)52,424πππθ⎡+∈⎢⎣即),82ππθ⎡∈⎢⎣时，()f θ单调递增，且2()1f θ-≤<，故，函数()f θ的单调递减区间为(,88ππ⎤-⎥⎦，单调递增区间为),82ππ⎡⎢⎣，值域为)2,1⎡-⎣. …………………………………… 6分（Ⅱ）由O 、P 、C 三点共线可知，OP ∥OC，即 (1)(sin )2(2cos sin )θθθ-⋅-=⋅-，得4tan 3θ=，所以 2||(sin cos )122sin cos OA OB θθθθ+=++=+222752sincos 2tan 22sin cos tan 15θθθθθθ=+=+=++ ………………………………… 12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取AD 的中点G ，连PG ，BG ，CG ；60PA PDPG AD AD PGB AB AD BG AD DAB =⇒⊥⎫⎪⇒⊥=⎫⎬⇒⊥⎬⎪∠=︒⎭⎭平面 …………………………………… 5分（Ⅱ） ∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG ⊥AD ，∴ PG ⊥底面ABCD ；在底面直角梯形ABCD 中，由已知可得3BC =， 由 32P ABCD V -=，即311[123]322PG ⋅+⋅⋅=（），得3PG =，而BG=CG=3，DG=1，在Rt △PGB 、Rt △PGC 、Rt △PGD 中分别可求得PB=6、PC=6、PD=2，在△PCD 中，2221cos 24PD CD PC PDC PD CD +-==-⋅⋅，∴ 15sin 4PDC =，∴△PCD 的面积151sin 24PDC S PD CD PDC =⋅⋅⋅= ， 设点B 到平面PCD 的距离为h ，由P BCD B PCD V V --=得2155h =， ∴ PB 平面PCD 所成角的正弦值为215101556h PB=⋅=.…………………………………… 12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，则其概率为613121=⨯； 若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.1035321=⨯ 故所求概率为.157103612=+=P …………………………………… 4分 （Ⅱ）第1-n 次按下按钮后出现蓝色背景的概率为2,(1≥∈-n N n P n ），则出现绿色背景的概率为11--n P .若第1-n 次、第n 次按下按钮后均出现蓝色背景，则其概率为311⨯-n P ； 若第1-n 次、第n 次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.53)1(1⨯--n PPB PGB ⊂平面AD PB ⎫⇒⊥⎬⎭GABCDP所以，53154)1(5331111+-=-+=---n n n n P P P P （其中2,≥∈n N n ）. …………………………………… 8分（Ⅲ）由（2）得)199(1541991--=--n n P P （其中2,≥∈n N n ）. 故}199{-n P 是首项为381，公比为154-的等比数列，所以).1,(199)154(3811≥∈+-=-n N n P n n …………………………………… 12分 20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b =23；∴椭圆C 的标准方程为2211612y x +=； …………………………………… 2分（Ⅱ）设00(,)P x y ，由（Ⅰ），1(2,0)F -，设00(,)P x y ，(,)M x y 过椭圆C 上过P 的切线方程为： 0011612x x y y+=， ① 直线1F P 的斜率1002F P y k x =+，则直线1MF 的斜率1002MF x k y +=-， 于是，则直线1MF 的方程为：002(2)x y x y +=-+， 即 00(2)(2)yy x x =-++， ②① 、②联立，解得 x = -8，∴ 点M 的轨迹方程为 x = -8； …………………………………… 8分 （Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M 、N 的坐标可表示为(8,)M M y -、(2,)N N y -， 点N 在切线MP 上，由①式得 003(8)2N x y y +=， 点M 在直线1MF 上，由②式得 006(2)M x y y +=， 02022129(8)||4Nx NF y y +==， 022002221236[(2)]||[(2)(8)]M y x MF y y ++=---+=， ∴ 002222001222222100009(8)(8)||1||436[(2)]16(2)y x x NF MF y y x y x ++=⋅=++++， ③ 注意到点P 在椭圆C 上，即 220011612x y +=，于是020484x y -=代人③式并整理得2121||1||4NF MF =， ∴11||||NF MF 的值为定值12. …………………………………… 12分21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2111()()[]|()xxx a aaa x a g x t dt dt a a t t x a xϕ-===-=--=⎰⎰； …………… 3分 （Ⅱ）∵ ()(ln )ln 1(0)h x x x x x ''==+>，∴ ()ln 11ln (0)x a x a f x x x x x x--=+--=->，22()1()(0)x x a x af x x x x x---'=-=>，∵ a >0，∴ 函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增， 函数()f x 的最小值为()ln f a a =，函数()f x 无最大值； ……………… 7分 （Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，1()ln (1)0x f x x f x-=-≥=，∴ 11ln 1x x x x -≥=-，即 11ln ln e x x x ≥-=，亦即 1x e e x≥，……… 10分分别取 1,2,,x n = 得111e e ≥，122e e ≥，133e e ≥，…，1n e e n≥，将以上各式相乘，得：111123!nne en ++++≥ ……………………………… 12分22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲证明： （Ⅰ）由已知得 90ADC ∠=︒，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM ∠＝12BPD ∠＝60A ∠=︒， 从而︒=∠30PBM ． …………………………………… 5分（Ⅱ）作BP SN ⊥于点N ，则12SN SB =．又BD MB DM SB DS 21,2===，∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=21232， NM SDAP C B∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ， ∴ ︒=∠=∠30NPS MPS ，又PB PA =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒， 故DCA DAC ∠=︒=∠45，所以DC AD =． ……………………10分23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）圆C 的方程为224x y += …………………………………… 1分直线L 方程为3320x y --+= ………………………… 3分（2）由''12x x y y⎧=⎪⎨=⎪⎩和224x y +=得'C 2214x y += ………………… 5分设M 为2x cos y sin θθ==⎧⎨⎩，则 223232cos(2)3x xy y πθ-+=++ …… 8分所以当M 为3(1,)2或3(1,)2--时原式取得最小值1． …………… 10分 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++.证明：由已知及均值不等式：33111(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b b c c a abc a b c ++≥++++++3333111(1)(1)(1)33a b c a b c abc a b c =≥+++++++⋅+++⋅31232==⋅ ……………………… 10分。
2015兰州一诊 甘肃省兰州市2015年高三3月诊断考试 数学(理)答案
2015年高三诊断考试数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题∴圆2C 的半径2r AF ===∴圆2C 的方程为：221()42x y +-=12. 解析 ：∵(2)f x +为偶函数，∴(2)f x +的图象关于0x =对称,∴()f x 的图象关于2x =对称∴(4)(0)1f f ==设()()x f x g x e =（x R ∈）,则2()()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e''--'== 又∵()()f x f x '<，∴()0g x '<（x R ∈），∴函数()g x 在定义域上单调递减 ∵()()()1xx f x f x e g x e <⇔=<,而0(0)(0)1f g e ==∴()()(0)xf x eg x g <⇔< ∴0x >故选B ．二、填空题13. 3514.2211612x y += 15. 1(0,)2 16. 2015 15．解析 ：函数()()ln f x x x ax =-，则1()ln ()ln 21f x x ax x a x ax x'=-+-=-+，令()ln 21f x x ax '=-+得ln 21x ax =-，因为函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，所以()ln 21f x x ax '=-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作ln y x =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =，切线方程为11-=x x y . 切点在切线上，则0100=-=x x y ，又切点在曲线ln y x =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0）.切线方程为1y x =-. 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得实数a 的取值范围是1(0,)2. 16．解析11=，得2121a b a a ==．2b =32212a b bb ==．3b =433123a b bb b ==．…121...n n a bb b -=．∴211220...a bb b =．∵数列{}n b 为等比数列， ∴()()()()11010102112021910111011...(2015)2015a b b b b b b b b ==== 三、解答题 17. 解：（Ⅰsin sin c aC A==，sin A A =∴tan A = ∵0A π<< ∴ 3A π=…………6分（Ⅱ）由正弦定理得：6sin sin sin 3a b c A B C π====∴b B =，c C =∴b c B C +=+]s i n s i n (43s i n s i n ()3B A B B B ππ⎤=+--=++⎥⎦12s i n()6B π=+ ∵ 5666B πππ<+< ∴612sin()126B π<+≤ 即：(]6,12b c +∈ …………12分 18. 解：(Ⅰ)证明:连接1DC ,则1D C ⊥平面ABCD ,∴1D C ⊥BC在等腰梯形ABCD 中,连接AC∵2AB =,1BC CD ==AB ∥CD ∴BC AC ⊥ ∴BC ⊥平面1AD C∴1AD BC ⊥ …………6分 (Ⅱ)解法一:∵AB ∥CD ∴13D DC π∠=∵1CD = ∴1DC =在底面ABCD 中作CM AB ⊥,连接1D M ,则1D M AB ⊥,所以1D MC ∠为平面11ABC D 与平面ABCD 所成角的一个平面角在1Rt D CM ∆中,CM =, 1DC =∴1D M ==∴1cos D CM ∠= 即平面11ABC D 与平面ABCD 所成角(锐角)…………12分 解法二:由(Ⅰ)知AC 、BC 、1D C 两俩垂直， ∵AB ∥CD ∴13D DC π∠=∴1DC =在等腰梯形ABCD 中,连接AC 因2AB =,1BC CD ==AB ∥CD ，1所以AC =则A ，(0,1,0)B，1D 设平面11ABC D 的一个法向量(,,)n x y z =r由100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuu r r得00y z x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可得平面11ABC D的一个法向量(1n =r．又1CD =uuu r为平面ABCD 的一个法向量．因此111cos ,5||||CD n CD n CD n ⋅<>==uuu r ruuu r r uuu r r 所以平面11ABC D 和平面ABCD 所成的角(锐角). 19. 解（Ⅰ）设印有“绿色金城行”的球有n 个,同时抽两球不都是“绿色金城行”标志为事件A ,则同时抽取两球都是“绿色金城行”标志的概率是226(),nC P A C =由对立事件的概率: ()P A =41().5P A -= 即2261()5n C P A C ==，解得 3.n = …………6分 （Ⅱ）由已知，两种球各三个，η可能取值分别为1,2,3，23261(1)5C P C η===2211233333222266664(2)25C C C C C P C C C C η==⋅+⋅=， 16(3)1(1)(2)25P P P ηηη==-=-==(或222111121111333333333333222222226666666616(3)25C C C C C C C C C C C C P C C C C C C C C η==⋅+⋅+⋅+⋅=) 则η 的分布列为：所以1416611235252525E η=⨯+⨯+⨯= ． …………12分 20. 解：（Ⅰ）依题意有b a =，232a c c -= ∵222a b c += ∴2c a = ∴1a =，2c = ∴23b =∴曲线C 的方程为2213y x -= ……………6分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，则11(,)B x x m +，22(,)D x x m +，BD 的中点为M由2213y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得 222230x mx m ---=∴12x x m +=，21232m x x +=-∵1DF BF ⋅=uuu r uu u r，即1212(2)(2)()()1x x x m x m --+++=∴0m =（舍）或2m = ∴122x x +=，1272x x =-M 点的横坐标为1212x x += ∵1212(1)(1)(2)(2)DA BA x x x x ⋅=--+++uu u r uu r1212525720x x x x =+++=-+= ∴AD AB ⊥∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径 ∵M 点的横坐标为1 ∴MA x ⊥ ∵12MA BD =∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切 ……………12分21. 解：（Ⅰ）∵222()211m x x mf x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数.∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立,即函数()f x 是定义域上的单调地增函数,则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立,由此可得12m ≥；若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立,则()201mf x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立.即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立. ∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值 ∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立.综上所述,实数m 的取值范围是1[,)2+∞. ……………4分 （Ⅱ）当1m =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+.令332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+则32213(1)()3211x x g x x x x x +-'=-+-=-++ 显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<, 所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=, 即3()0f x x -<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时，有3()f x x < ……………8分 （Ⅲ）证法一:由（Ⅱ）可知23ln(1)x x x -<+ ((0,)x ∈+∞)∴2(1)1x x e x -<+ ((0,)x ∈+∞)∴2(1)1n n en -<+ (n N *∈)∴201429(1)(3)234(1)2n n n n e e e e n -⨯-⨯-+++++<+++++=………12分 证法二:设(3)2n n n S +=则11(2)n n n a S S n n -=-=+≥∵112a S == ∴1,n a n n N +=+∈ 欲证2)3(2)1(92410+<++++⨯-⨯-⨯-n n e e ee n n 只需证12)1(+<⨯-n e n n 只需证)1ln()1(2+<⨯-n n n由（Ⅱ）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x 即)1ln()1(2+<⨯-n n n 。
2015年甘肃省三校生高考模拟试卷-数学
共1页 第1页 12三校生模拟考试试卷《数学》部分1. 设集合M={2，3，5，a}，N={1，3，4，b}，若M ∩N={1，2，3}，则a, b 值分别为A. a=2，b=1B. a=1，b=1C. a=1，b=2D. a=1，b=52.函数y =的定义域是 A.(-3, 2 ] B.[-3，2]C.[-2，3]D.[-2，3）3. 函数y=12x 2+x-3的最小值是 （ ） A .-3 B .-72 C .3 D 724.下列各对向量中互相垂直的是 （ ）A.a =(4,2),b =(-3,5)B.a =(-3,4),b =(4,3)C.a =(5,2),b =(-2,-5)D.a =(2,-3),b =(3,-2) 5. 已知4sin ()52x x ππ=≤≤,那么tanx 的值是 （ ） A .43- B .34 C .- 34 D .436．数列1，3，5，7，9，…的一个通项公式是 （ ）A.21n a n =+B.23n a n =+C.2n a n =D.21n a n =- 7. 在等比数列{n a }中,已知2a =2, 3a =6,则公比q =( )A.1B. 2C.3D. 48.若A （2，-2），B （4，6），则向量AB 的坐标为 （ ）A.（2，-4）B.（2，8）C.（2，-2）D.（2，4）二、填空题（每小题3分，共12分）9. 如果αβ⊥，βγ⊥，则平面α与γ的位置关系是 。
10. 已知两个数的等差中项是10，等比中项是6，则这两个数是11. 求点P (-1,2)到直线l :0102=-+y x 的距离为12.不等式 - x 2-2x+3＞0的解集为三、解答题（共14分）1.求过直线x-2y+1=0与y=x+2交点且与直线3x-4y+5=0垂直的直线方程。
2. 某礼堂共有25排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排共有70个座位,问礼堂共有多少个座位?。
甘肃省兰州一中三模(理)
甘肃省兰州第一中学高三第三次模拟考试试题数学（理科）一、选择题1. 已知复数z 满足2(3)(1i z i i+=+为虚数单位), 则复数z 所对应的点在第( )象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2.已知命题:,2p x x ∃∈->R 2:,0q x x ∀∈>R ，则( ) A. 命题)(q p ⌝∧是真命题 B. 命题q p ∧是真命题 C. 命题q p ∨是假命题 D. 命题)(q p ⌝∨是假命题 3. 向量,a b 均为非零向量，(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥，则,a b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 4．函数21()1x f x x-=-的图象的对称中心是（ ） A ．(0,0) B ．(1,2)- C ．(2,1)- D ．(1,1)- 5.直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ∥β，α∥β，则m ∥α； ③若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α. 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 6．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可 自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( )A ．16种B ．18种C ．37种D ．48种7. 已知点P 的坐标(,)x y 满足：430,3525,10,x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩(2,0)A ，则||OP OAOA ⋅的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 8. 如图，当输入a 4=5, a 3=4, a 2=3, a 1=2, a 0=1, x = -1时, 程序框图中输出的是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19. 若直线2000mx ny m n ++=（＞，＞）截得圆22311x y +++=（）（）的弦长为2，则13m n +的最小值为（ ） A. 4 B. 12 C. 16 D. 6 10. 已知当x ＝π4时，函数f (x)＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f (3-4x π)满足( )A ．是奇函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称11. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是（ ）A.4πB.6πC.12πD.24π12. 已知)(x f 是定义在R 上的减函数，其导函数()f x '满足()2()f x x f x +>'，则下 列结论正确的是( )A.对于任意R ∈x ,)(x f <0B.对于任意R ∈x ,)(x f >0C.当且仅当()1,∞-∈x ,)(x f <0D.当且仅当()+∞∈,1x ,)(x f >0第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若随机变量ξ～)1,2(N ，且)3(>ξP ＝0.1587，则=>)1(ξP __________. 14. 二项式(ax3（a >0）的展开式的第二项的系数为22a x dx -⎰的值是____.15. 在∆ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin C A =2，b 2-a 2=32ac ，则cos B = .16．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，点A ，B 分别在双曲线的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，BF ∥OA ，AB OB ⋅=0，则该双曲线的离 心率为 ． 三、解答题17. (本小题满分12分)在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12,a =且1322,,3a a a 成等差数列． （Ⅰ）求等比数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足2log n n b a =，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T . 求证：2n T <. 18．（本小题满分12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在调查的50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为35．（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由； （Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．现在从患心肺疾病的10位女性中，抽取3名进行其他方面的排查，记抽取患胃病的女性人数为X ，求X 的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考：（参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++）19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD CD ==BC =P A =2，点M 在PD 上.（Ⅰ）求证：AB ⊥PC ；（Ⅱ）若二面角M -AC -D 的大小为45，求BM 与平面P AC 所成角的正弦值. 20. (本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点(2,0)Q 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，点(3,2)P ，记直线P A ，PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程. 21. (本小题满分12分) 设l 为函数ln ()xf x x=在点(1，0)处的切线. (Ⅰ)求l 的方程；(Ⅱ)证明：当1x >时，3(1)ln(1)0x x e x ----≥.选考题:（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分; 做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.） 22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为cos()4πρθ+= (0,02)ρθπ><<．（Ⅰ）求C 1与C 2交点的极坐标；（Ⅱ）P 是C 1上的任意一点，过P 点作与C 2的夹角为45的直线交C 2于点A ． 求∣P A ∣的最大值.23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝｜x －3｜．（Ⅰ）若不等式f （x －1）＋f （x ）＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若｜a ｜＜1，｜b ｜＜3，且a ≠0，判断()f ab a 与f （ba）的大小，并说明理由．甘肃省兰州第一中学高三第三次模拟考试（理）参考答案一、选择题二、填空题13. 0.8413 14. 3 15.1416．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)解（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，1322,,3a a a 成等差数列，123232a a a ∴+=，2111232a a q a q +=， 22320q q ∴--=，解得2q =或12q =-，0q >，2q ∴= ∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =. ……6分（Ⅱ）2log n n b a n ==， 1()2n n n b n a ∴=⨯， 121111()2()()222n n T n ∴=⨯+⨯++⨯，23111111()2()()2222n n T n +∴=⨯+⨯++⨯.相减得12111111()()()()22222n n n T n +=+++-⨯ 1111[1()]1122()1(2)()12212n n n n n ++-=-⨯=-+⨯-.12(2)()22n n T n =-+⨯<. …….12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）列联表补充如下……2分（Ⅱ）因为22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，所以28.333K ≈>7.789又2(7.789)0.0050.5%P k ≥==．所以，有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…4分 （Ⅲ）解： X 的所有可能取值：0，1，2，3P (X =0)=37310C 357==C 12024; P (X =1)=1237310C C 6321==C 12040;P (X =2)=2137310C C 217==C 12040;P (X =3)=33310C 1=C 120; ……8分分布列如下：……10分则E (X )=7217190+1+2+3=24404012010⨯⨯⨯⨯. ………12分 19．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）取BC 中点E ，连结AE , 则EC AD EC AD //,=，所以四边形AECD 为平行四边形，故BC AE ⊥， 又22===EC BE AE , 所以 45=∠=∠ACB ABC ,故AC AB ⊥,又PA AB ⊥，A PA AC =⋂, 所以PAC AB 平面⊥,故有 PC AB ⊥ ………………5分 （Ⅱ）方法一：如图建立空间直角坐标系xyz A - 则()()()(),2,0,0,0,22,22,0,22,22,0,0,0P C B A -中资设()()102,22,0≤≤-==λλλλPD PM ,易得()λλ22,22,0-M设平面AMC 的一个法向量为()z y x n ,,1=，则()⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=+=⋅022220222211z y AM n y x AC n λλ 令12,2,2-=-==λλz x y 得，即⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12,2,21λλn …………8分又平面ACD 的一个法向量为 ()1,0,02=n ，45cos 12412cos 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-λλλλ，解得21=λ，即()1,2,0M ，()1,23,22-=BM ，而()0,22,22-=AB 是平面PAC 的一个法向量，设直线BM 与平面P AC 所成的角为θ，则8sin cos ,BM AB θ-==故直线BM 与平面P AC 所成的角的正弦值为935 .…………12分 方法二：如图建立空间直角坐标系xyz A -.则()()()(),2,0,0,0,22,22,0,22,22,0,0,0P C B A - 过点M作MN ⊥AD 于点D ，则MN ⊥平面ABCD ,过点N 作NH ⊥AC 于点H ，则∠MHN 为二面角M -AC -D 的平面角,…8分 ∴∠MHN =45º, ∴MN =NH, 则AN NH ，则可设M （0，z ）， 由//PM PD ，得z =1，∴M （0，1）， ……10分()1,23,22-=BM，而()0,22,22-=AB 是平面PAC 的一个法向量， 设直线BM 与平面P AC 所成的角为θ，则8sin cos ,BMAB θ-==故直线BM 与平面P AC 所成的角的正弦值为935.…………………12分 20. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题意可得a b ===所以椭圆C 的方程是22163x y +=． ．．．4分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，易得123k k ⋅=． ．．．5分当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1122(2),(,),(,)y k x A x y B x y =-. 联立22(2)26y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消y 得2222(21)8860,k x k x k +-+-=22121222886,2121k k x x x x k k -∴+==++， ．．．．．．6分12121224(2)(2)()421ky y k x k x k x x k k -∴+=-+-=+-=+， 221212121222(2)(2)[2()4]21k y y k x k x k x x x x k -=-⋅-=-++=+,21212121222121212222()4684853333()92323y y y y y y k k k k k x x x x x x k k ---++++-∴⋅=⋅===+---++++.．．．．8分 令85k t -=，则58t k +=，12232310121tk k t t ⋅=+++． 只考虑0t >的情形，123232334121221010k k t t⋅=+≤+=+++，．．．．．10分当且仅当11t =时，等号成立，此时11528k +==， 故所求直线l 的方程为2(2)y x =-，即240x y --=． ．．．．．12分另解提示：求212268423k k k k k ++⋅=+，令t =2268423k k k +++，则(2t -6)k 2-8k +3t -4=0. 由∆=64-4(2t -6)(3t -4)≥0，得143t ≤≤，即12k k ⋅的最大值为4，此时由2k 2-8k +2=0得k =2， 故所求直线l 的方程为2(2)y x =-， 即240x y --=． 21. (本小题满分12分)解：(Ⅰ) ()f x 的定义域为21ln {|0},(),(1)1xx x f x f x-''>== ….1分 ()f x ∴在点(1,0)处的切线l 的方程为01(1)y x -=⨯-,即10x y --=.…4分(Ⅱ)令()(1)x g x e x =-+，则()1x g x e '=-，由()0g x '≥得0x ≥，()g x ∴在区间(,0)-∞上单调递增，在区间[0,)+∞上单调递减，min ()(0)0g x g ∴==，∴对[0,)x ∀∈+∞,有1x e x ≥+成立，用3x -替换x 得32x e x -≥-，故当1x >时，不等式3(1)(1)(2)x x e x x --≥--恒成立. ① ….8分设()(1)(2)ln(1),1h x x x x x =---->. 故12()(2)2(),1x x h x x --'=-1,()02,x h x x '>∴≥⇔≥()h x ∴在区间(1,2)上单调递减，在区间[2,)+∞上单调递增，min ()(2)0h x h ∴==，故对1x ∀>， 不等式(1)(2)ln(1)0x x x ----≥恒成立，即对1x ∀>，不等式(1)(2)ln(1)x x x --≥-恒成立. ②综合①、②得，对1x ∀>，3(1)ln(1)x x e x --≥-，即3(1)ln(1)0x x e x ----≥恒成立. …..12分22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程解：（Ⅰ）将错误!不能通过编辑域代码创建对象。
高三数学月考试题及答案-2015届高三第一次诊断考试(理)
2015年甘肃省高考一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B=Z，则（∁R A）∩B=（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】先求出不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集A，再由补集、交集的运算求出∁R A和（∁R A）∩B．【解析】解：由x2﹣2x﹣3＞0得x＜﹣1或x＞3，则集合A={x|x＜﹣1或x＞3}，所以∁R A={x|﹣1≤x≤3}，又B=Z，则（∁R A）∩B={﹣1，0，1，2，3}，故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2．（5分）设i是虚数单位，复数Z=1+为（）A．1+i B．1﹣i C．C、﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解析】解：Z=1+=1+=1﹣i，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】先分别根据定积分的计算法则求出a，b，c的值，再比较其大小．【解析】解：a=dx=lnx=ln2=ln，b=dx=lnx=ln，c=dx=lnx=ln，∵23＜32，25＞52，∴＜，＞∴＜，＞，∴＞＞，∵函数f（x）=lnx为增函数，∴c＜a＜b故选：D【点评】本题考查了的定积分的计算以及数的大小比较的方法，属于基础题．4．（5分）函数y=f（x）的图象向右平移个单位后与函数y=cos（2x﹣）的图象重合，则y=f（x）的解析式为（）A．y=cos（2x﹣）B．y=cos（2x+）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解析】解：由题意可得，把函数y=cos（2x﹣）=sin2x的图象向左平移个单位后，可得函数y=f（x）=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，体现了转化的数学思想，属于基础题．5．（5分）数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有（）个．A．21 B．22 C．23 D．24【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】分类讨论，利用排列知识，即可得出结论．【解析】解：卡片上的四位数字之和等于8，四个数字为0，1，2，5；0，1，3，4．0，1，2，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有，共1+2+2+=11个；0，1，3，4组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有，共2=12个；故共23个．故选：C．【点评】本题考查计数原理的应用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．（）π B．（）π C．（）π D．（π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为圆柱与半个圆锥组成．【解析】解：该几何体为圆柱与半个圆锥组成，其中圆柱的体积为π×12×2=2π，半个圆锥的体积为××π×12×=π；故该几何体的体积是（）π，故选C．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．7．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入的n=10，则该算法的功能是（）A．计算数列{2n﹣1}的前11项和B．计算数列{2n﹣1}的前10项和C．计算数列{2n﹣1}的前11项和D．计算数列{2n﹣1}的前10项和【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能，当i=11时，i＞10成立，输出S=1+2+22+…+29+210，从而得解．【解析】解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=0；执行S=1+2×0=1，i=0+1=1；判断i＞10不成立，执行S=1+2×1=1+2，i=1+1=2；判断i＞10不成立，执行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=2+1=3；…判断i＞10不成立，执行S=1+2+22+…+29+210，i=10+1=11；判断i＞10成立，输出S=1+2+22+…+29+210．算法结束．故则该算法的功能是计算数列{2n﹣1}的前11项和．故选：A．【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．8．（5分）若x，y满足约束条件，且向量=（3，2），=（x，y），则•的取值范围（）A．[，5] B．[，5] C．[，4] D．[，4]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由数量积的定义计算出•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解析】解：∵向量=（3，2），=（x，y），∴•=3x+2y，设z=3x+2y，作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，1），此时z max=3×1+2×1=5，经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（，），此时z min=3×+2×=，则≤z≤5故选：A．【点评】本题主要考查线性规划以及向量数量积的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．9．（5分）已知面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1，a2，a3，a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1，h2，h3，h4，若====k，则h1+2h2+3h3+4h4=类比以上性质，体积为y的三棱锥的每个面的面积分别记为S l，S2，S3，S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1，H2，H3，H4，若====K，则H1+2H2+3H3+4H4=（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】由====k可得a i=ik，P是该四边形内任意一点，将P与四边形的四个定点连接，得四个小三角形，四个小三角形面积之和为四边形面积，即采用分割法求面积；同理对三棱值得体积可分割为5个已知底面积和高的小棱锥求体积．【解析】解：根据三棱锥的体积公式V=Sh，得：S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=V即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V，∴H1+2H2+3H3+4H4=，故选B．【点评】本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力．解题的关键是理解类比推理的意义，掌握类比推理的方法．平面几何的许多结论，可以通过类比的方法，得到立体几何中相应的结论．当然，类比得到的结论是否正确，则是需要通过证明才能加以肯定的．10．（5分）已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=84，则实数b的取值范围是（）A．[2，2] B．（2，2] C．[2，2] D．（2，2]【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】由a，b，c成等差数列，设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入已知等式求出b 的最大值；由三角形三边关系列出不等式，整理后求出b的范围，即可确定出满足题意b的范围．【解析】解：设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入a2+b2+c2=84化简可得3b2+2d2=84，当d=0时，b有最大值为2，由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，整理得：b＞2d，∴3b2+2（）2＞84，解得：b＞2，则实数b的取值范围是（2，2]．故选：D．【点评】此题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以椭圆+=1（a＞b＞0）上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：A．根据△ABC是锐角三角形，可得∠BAD＜45°，且1＞，化为，解出即可．【解析】解：如图所示，设椭圆的右焦点F（c，0），代入椭圆的标准方程可得：，取y=，A．∵△ABC是锐角三角形，∴∠BAD＜45°，∴1＞，化为，解得．故选：A．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、锐角三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）=xcos，存在f（x）的零点x0，（x0≠0），满足[f′（x0）]2＜π2（λ2﹣x02），则λ的取值范围是（）A．（﹣，0）∪（0，，）B．（﹣，0）∪（0，）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】关键题意得出=kπ，k∈z，x0=kλ+，k∈z，x02的最小值为，即sin=±1，运用最小值得出：（1+λ2）＜λ4，求解即可．【解析】解：∵函数f（x）=xcos，∴f′（x）=cos﹣x sin，∵存在f（x）的零点x0，（x0≠0），∴=kπ，k∈z，x0=kλ+，k∈z，x02的最小值为即sin=±1，∴[f′（x0）]2＜π2（λ2﹣x02），转化为：＜π2（λ2﹣x02），（1+λ2）x＜λ4，即只需满足：（1+λ2）＜λ4，化简得：λ2，即λ＞或．故选：D．【点评】本题综合考查了函数的零点，综合求解不等式，关键是确定x02的最小值为，代入得出转化的不等式，难度较大，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在的展开式中，常数项等于112（用数字作答）【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】根据题意，可得其二项展开式的通项为T r+1，进而分析可得，8﹣=0时，有r=6，将r=6代入可得答案．【解析】解：根据题意，可得其二项展开式的通项为T r+1=C8r•（2x）8﹣r•（﹣）r=C8r•（﹣1）r•（2）8﹣r•，分析可得，8﹣=0时，有r=6，此时，T7=112，故答案为112．【点评】本题考查二项式定理，注意其展开式的通项公式的形式．14．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点在同一个球面上，AB=3，AC=4，AA1=2，∠BAC=90°，则球的表面积49π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】画出球的内接直三棱ABC﹣A1B1C1，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解析】解：如图，由于∠BAC=90°，连接上下底面外心PQ，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，则球的半径为OB，由题意，AB=3，AC=4，∠BAC=90°，所以BC=5，因为AA1=2，所以OP=，所以OB==所以球的表面积为：4π×OB2=49π故答案为：49π．【点评】本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力理解失误能力，是基础题．15．（5分）下面给出的命题中：①m=﹣2”是直线（m+2）x+my+1=0与“直线（m﹣2）x+（m+2））y一3=0相互垂直”的必要不充分条件；②已知函数f（a）=sinxdx，则f[f（）]=1﹣cos1；③已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0，4，则P（ξ＞2）=0.2；④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y﹣1=0，则这两圆恰有2条公切线；⑤线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小．其中是真命题的序号有②④．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；高考数学专题．【分析】①由直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直，则（m+2）（m﹣2）+m（m+2）=0，从而有m=﹣2或m=1，可判断；②由定积分运算法则和函数值的求法，即可判断；③运用正态分布的特点，即曲线关于y轴对称，即可判断③；④根据圆与圆的位置关系进行判断；⑤线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强．【解析】解：①，若m=﹣2，则直线﹣2y+1=0与直线﹣4x﹣3=0相互垂直；若直线（m+2）x+my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直，则（m+2）（m﹣2）+m（m+2）=0，从而有m=﹣2或m=1，则应为充分不必要条件，则①错；②，函数f（a）=sinxdx=（﹣cosx）=1﹣cosa，则f[f（）]=f（1）=1﹣cos1，则②对；③，ξ服从正态分布N（0，σ2），曲线关于y轴对称，由P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＞2）=0.5﹣0.4=0.1，则③错；④，∵⊙C1：x2+y2+2x=0，即（x+1）2+y2=1，表示圆心为（﹣1，0），半径等于1的圆．⊙C2：x2+y2+2y﹣1=0 即，x2+（y+1）2=2，表示圆心为（0，﹣1），半径等于的圆．两圆的圆心距等于，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，故两圆的公切线由2条，则③正确．⑤，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故不正确．故答案为：②④．【点评】本题考查充分必要条件的判断和函数的定积分运算、正态分布曲线的特点、直线与圆的位置关系的判断，考查两个变量的线性相关，考查运算能力，属于中档题和易错题．16．（5分）设数列{a n}的前n项的和为S n，已知，设若对一切n∈N*均有，则实数m的取值范围为m＜0或m≥5．【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】依题意，可求得a n与b n，从而可求得b k=∈[，），利用[，）⊆（，m2﹣6m+）即可求得实数m的取值范围．【解析】解：∵++…+=，①∴当n≥2时，++…+=，②∴①﹣②得：=﹣=，∴S n=n（n+1）（n≥2）．当n=1时，==，∴a1=2，符合S n=n（n+1）（n≥2）．∴S n=n（n+1）．∴可求得a n=2n．∴b n===．∵=，b1=，∴{b n}是以为首项，为公比的等比数列．∴b k==∈[，），∵b k∈（，m2﹣6m+），∴[，）⊆（，m2﹣6m+），即，解得：m＜0或m≥5．故答案为：m＜0或m≥5．【点评】本题考查求数列的通项与数列求和，突出考查集合间的包含关系与解不等式组的能力，综合性强，难度大，属于难题．三、解答题：本大题共5小题-共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）在△ABC中，角以，A，B，C对边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=﹣2ccosC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a+b=6，且△ABC的面积为2，求边c的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得：sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosC，化简可得cosC=﹣，结合C的范围求C的值；（Ⅱ）由a+b=6得a2+b2+2ab=36，根据三角形的面积公式可求出ab的值，进而求出a2+b2的值，利用余弦定理求出c的值．【解析】解：（Ⅰ）由题意知，bcosA+acosB=﹣2ccosC，正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosC，sin（A+B）=﹣2sinCcosC，由A，B，C是三角形内角可知，sin（A+B）=sinC≠0，∴cosC=，由0＜C＜π得，C=；（Ⅱ）∵a+b=6，∴a2+b2+2ab=36，∵△ABC的面积为2，∴，即，化简得，ab=8，则a2+b2=20，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2absinC=20﹣2×=28，所以c=．【点评】本题主要考察了正弦定理、余弦定理，三角形面积公式的应用，以及整体代换求值，注意角的范围确定，属于中档题．18．（12分）多面体ABCDE中，△ABC是边长为2的正三角形，AE＞1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．（Ⅰ）若AE=2，求证：AC∥平面BDE；（Ⅱ）若二面角A一DE一B的余弦值为，求AE的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）如图所示，分别取BC，BA，BE的中点M，N，P，连接MN，NP，DP．利用三角形中位线定理与平行四边形、线面垂直的判定与性质定理可得：DP∥MN，AC∥DP，即可证明AC∥平面BDE．（II）设AE=a，则E，设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，可得，取平面ADE的法向量=（1，0，0），利用==，解得a即可．【解析】（I）证明：如图所示，分别取BC，BA，BE的中点M，N，P，连接MN，NP，DP．则，NP∥AE，NP=AE=1．∵BD=CD，BD⊥CD，M为BC的中点，BC=2，∴DM⊥BC，DM=1，又平面BCD⊥平面ABC．∴DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，∴DM∥AE，∴四边形DMNP为平行四边形，∴DP∥MN，∴AC∥DP，又AC⊄平面BDE，DP⊂平面BDE，∴AC∥平面BDE．（II）解：设AE=a，则E，=（﹣1，0，1），=，设平面BDE的法向量为=（x，y，z），则，取=，取平面ADE的法向量=（1，0，0），则===，解得a=4，即AE=4．【点评】本题考查了三角形中位线定理与平行四边形的判定与性质、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、二面角的计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）某市为了治理污染，改善空气质量，市环境保护局决定每天在城区主要路段洒水防尘，为了给洒水车供水，供水部门决定最多修建3处供水站．根据过去30个月的资料显示，每月洒水量X（单位：百立方米）与气温和降雨量有关，且每月的洒水量都在20以上，其中不足40的月份有10个月，不低于40且不超过60的月份有15个月，超过60的月份有5个月．将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率，并假设各月的洒水量相互独立．（Ⅰ）求未来的3个月中，至多有1个月的洒水量超过60的概率；（Ⅱ）供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系：若某供水站运行，月利润为12000元；若某供水站不运行，月亏损6000元．欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建几处供水站？【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）分别考虑20＜X＜40，40≤X≤60，X＞60，求出它们的概率，再由二项分布特点，即可得到所求概率；（Ⅱ）记供水部门的月总利润为Y元，分别考虑①修建一处供水站的情形，②修建两处供水站的情形，③修建三处供水站情形，求出概率计算期望，即可得到所求．【解析】解：（Ⅰ）依题意可得P1=P（20＜X＜40）==，P2=P（40≤X≤60）==，P3=P（X＞60）==，由二项分布可得，在未来三个月中，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为P=（1﹣P3）3+（1﹣P3）2•P3=（）3+3×（）2×=，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为；（Ⅱ）记供水部门的月总利润为Y元，①修建一处供水站的情形，由于月洒水量总大于20，故一处供水站运行的概率为1，对应的月利润为Y=12000，E（Y）=12000×1=12000（元）；②修建两处供水站的情形，依题意当20＜X＜40，一处供水站运行，此时Y=12000﹣6000=6000，P（Y=6000）=P（20＜X＜40）=P1=，当X≥40，两处供水站运行，此时Y=12000×2=24000，因此P（Y=24OOO）=P（X≥40）=P2+P3=，由此得Y的分布列为则E（Y）=6000×+24000×=18000（元）；③修建三处供水站情形，依题意可得当20＜X＜40时，一处供水站运行，此时Y=12000﹣12000=0，由此P（Y=0）=P（40＜X＜80）=P1=，当40≤X≤60时，两处供水站运行，此时Y=12000×2﹣6000=18000，由此P（Y=18000）=P（40≤X≤60）=P2=，当X＞60时，三处供水站运行，此时Y=12000×3=36000，由此P（Y=36000）=P（X＞60）=P3=，由此的Y的分布列为由此E（Y）=0×+18000×+36000×=15000（元），欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建两处供水站．【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法，同时考查二项分布的特点和概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足•，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明埋由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点，求出几何量，即可得出椭圆的标准方程；（II）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量知识，即可求得结论．【解析】解：（I）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），则∵椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x2=的焦点，∴∵c2=a2﹣b2∴a=2，c=1，∴椭圆的标准方程为；（II）若存在过点P（2，1）的直线l满足条件，则l的斜率存在设方程为y=k（x﹣2）+1，代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k﹣8=0 设A（x1，y1），B（x2，y2），则由△=32（6k+3）＞0，可得且x1+x2=，x1x2=∵∴∴[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（1+k2）=∴[﹣2×+4]（1+k2）=∴∵，∴∴存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足•，其方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+1n（x+1）．（Ⅰ）当时a=﹣时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数口的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）将a的值代入，求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）将问题转化为ax2+ln（x+1）≤x恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0即可，通过讨论a的范围，得到函数g（x）的单调性，从而求出a是范围．【解析】解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣x2+ln（x+1），（x＞﹣1），f′（x）=﹣x+=﹣，（x＞﹣1），由f′（x）＞0解得﹣1＜x＜1，由f′（x）＜0解得：x＞1，∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上的点都在所表示的平面区域内，即当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）≤x恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0即可，由g′（x）=2ax+﹣1=，（i）当a=0时，g′（x）=，当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（0）=0成立，（ii）当a＞0时，由g′（x）==0，因x∈[0，+∞），∴x=﹣1，①若﹣1＜0，即a＞时，在区间（0，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时不满足；②若﹣1≥0，即0＜a≤时，函数g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，+∞）上单调递增，同样函数g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时也不满足；（iii）当a＜0时，由g′（x）=，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a﹣1）＜0，∴g′（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（0）=0恒成立，综上：实数a的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题考查了导数的应用，考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，本题有一定的难度．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分．选修4-3：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，点C是⊙O直径BE的延长线上一点，AC是⊙O的切线，A为切点，∠ACB的平分线CD与AB相交于点D，与AE相交于点F，（Ⅰ）求∠ADF的值（Ⅱ）若AB=AC，求的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）利用切线的性质和角平分线的性质可得∠ADF=∠AFD．再利用BE是⊙O 直径，可得∠BAE=90°．即可得到∠ADF=45°．（Ⅱ）利用等边对等角∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，即可得到∠B=30°．进而得到△ACE∽△BCA，于是=tan30°．【解析】解：（Ⅰ）∵AC是⊙O的切线，∴∠B=∠EAC．又∵DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．∵BE是⊙O直径，∴∠BAE=90°．∴∠ADF=45°．（Ⅱ）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，∴∠B=30°．∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴=tan30°=．【点评】熟练掌握圆的性质、切线的性质和角平分线的性质、弦切角定理、相似三角形的性质等是解题的关键．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a的值．【解析】解：（Ⅰ）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用；不等式．【分析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min，只需求得f（x）的最小值即可．对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x﹣3|≤4+2x，利用“|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．【解析】解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）min．由绝对值不等式的性质，有|2x﹣1|+|2x+5|≥|（2x﹣1）+（2x+5）|=6，即f（x）min=6，所以m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化为|x﹣3|﹣2x≤4，即|x﹣3|≤4+2x，得﹣4﹣2x≤x﹣3≤4+2x，转化为，化简，得，所以原不等式的解集为．【点评】本题属不等式恒成立问题，较为基础，主要考查了含绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式的性质求最值等，求解此类问题时，应掌握以下几点：1．若m≤f（x）恒成立，只需m≤[f（x）]min；若m≥f（x）恒成立，只需m≥[f（x）]max．2．|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x），|g（x）|≥h（x）⇔g（x）≥h（x），或g（x）≤﹣h（x）．。
甘肃省兰州一中高考数学三模试卷 理(含解析)
甘肃省兰州一中201 5届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x﹣|≤}，B={x|y=lg（4x﹣x2）}，则A∩B等于（）A．（0，2] B．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数，若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x ﹣a）恒成立，则a的值是（）A．B．C．D．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，S m=（m≠n），则S m+n﹣4的符号是（）A．正B．负C．非负D．非正5．（5分）从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）设f（x）=（1+x）6（1﹣x）5，则导函数f′（x）中x2的系数是（）A．0 B．15 C．12 D．﹣157．（5分）设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OA B的面积为（）A．1 B．C．D．28．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）A．n＞2 B．n＞3 C．n＞4 D．n＞510．（5分）已知双曲线，被方向向量=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（）A．B．C．D．211．（5分）函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]∪C．（﹣∞，3] D．上的最小值及相应的x值；（Ⅱ）若存在x∈，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）设AB为圆O的直径，AB=10．E为线段AO上一点，OE=AB．过E作一直线交圆O 于C，D两点，使得∠CEA=45°．试求CE2+ED2的值．【选修4-4：坐标系与参数方程．】（共1小题，满分0分）23．设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．甘肃省兰州一中2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x﹣|≤}，B={x|y=lg（4x﹣x2）}，则A∩B等于（）A．（0，2] B．，由B中y=lg（4x﹣x2），得到4x﹣x2＞0，即x（x﹣4）＜0，解得：0＜x＜4，即B=（0，4），则A∩B=（0，2]．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，那么复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：由图求得z，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：由图知，z=2+i，∴，则对应的点的坐标为（），位于复平面内的第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）已知函数，若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x ﹣a）恒成立，则a的值是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：由题意可得=，再由a∈（0，π），可得=+2π，解方程求出 a 的值．解答：解：由f（x+a）=f（x﹣a）恒成立，可得=，再由a∈（0，π），可得 0＜2a＜2π，故有=+2π，∴a=．故选D．点评：本题考查了三角函数的周期性，要注意a∈（0，π）的范围，属于基础题．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，S m=（m≠n），则S m+n﹣4的符号是（）A．正B．负C．非负D．非正考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的求和公式，求出d=，a1=，再确定S m+n﹣4的符号．解答：解：∵S n=na1+d=，S m=ma1+d=，解得d=，a1=．∵S m+n﹣4=（m+n）a1+d﹣4=＞0（∵m≠n）．故选：A．点评：本题考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，确定d=，a1=是关键．5．（5分）从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：总的基本事件为个，可得符合题意的有12×4个，由概率公式可得．解答：解：由题意可知四棱锥的底面可由6个侧面和6个对角面构成，每个底面对应4个四棱锥，故所求概率为P=．故选：D．点评：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．6．（5分）设f（x）=（1+x）6（1﹣x）5，则导函数f′（x）中x2的系数是（）A．0 B．15 C．12 D．﹣15考点：二项式定理的应用；简单复合函数的导数．专题：二项式定理．分析：f′（x）中x2的系数，即f（x）中x3的系数的3倍，求得（x）中x3的系数，即可得出结论．解答：解：f′（x）中x2的系数，即f（x）中x3的系数的3倍．由于f（x）=（1+x）（1﹣x2）5=（1﹣x2）5+x（1﹣x2）5，x3的系数为0﹣=﹣5，∴f（x）的解析式中含x3的项为﹣5x3，故函数f′（x）中x2的系数是﹣15，故选：D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，函数的导数，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．（5分）设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OAB的面积为（）A．1 B．C．D．2考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立直线和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后运用求根公式，求得A，B的坐标，由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，求得p，由两点的距离公式可得OA，OB的长，利用三角形的面积公式计算即可得到．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由x+y=1与抛物线y2=2px，得y2+2py﹣2p=0，解得y1=﹣p+，x1=1+p﹣，y2=﹣p﹣，x2=1+p+，由OA⊥OB得，x1x2+y1y2=0，即+=0，化简得2p=1，即p=，从而A（，），B（，），|OA|2=x12+y12=5﹣2，|OB|2=x22+y22=5+2，△OAB的面积S=|OA|•|OB|==．故选B．点评：本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，求得交点，运用两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．解答：解：如图所示，可知AC=，BD=1，BC=b，AB=a．设CD=x，AD=y，则x2+y2=6，x2+1=b2，y2+1=a2，消去x2，y2得a2+b2=8≥，所以（a+b）≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，此时x=，y=，所以V=××1××=．故选D．点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积和体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．9．（5分）如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）A．n＞2 B．n＞3 C．n＞4 D．n＞5考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：由框图的顺序，S=0，n=1，S=（S+n）n=（0+1）×1=1；n=2，依次循环S=（1+2）×2=6，n=3；n=3，依次循环S=（6+3）×3=27，n=4，此刻输出S=27．故判断框①处应填入的条件是n＞3，故选B．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）已知双曲线，被方向向量=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设l与双曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减，得，由此能求出a，b的关系，最后求得双曲线的离心率即可．解答：解：设l与双曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减，得，由直线方向向量=（6，6）得k AB=1，截得的弦的中点为（4，1），得x1+x2=4，y1+y2=2，∴，a2=4b2得双曲线的离心率=故选A．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题．本题考查双曲线的中点弦的求法，解题时要注意点差法的合理运用．11．（5分）函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]∪C．（﹣∞，3] D．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的概念及应用．分析：由函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，可得f′（x）≥0或f′（x）≤0在区间（2，3）内恒成立，进而可得实数a的取值范围．解答：解：∵f（x）=（x﹣a）e x，∴f′（x）=（x+1﹣a）e x，∵函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，∴x+1﹣a≥0或x+1﹣a≤0在区间（2，3）内恒成立，即a≤x+1或a≥x+1在区间（2，3）内恒成立，∴a≤3或a≥4．故实数a的取值范围是（﹣∞，3]∪12．（5分）两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为（）A．3（2﹣）πB．4（2﹣）πC．3（2+）πD．4（2+）π考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设出球O1与球O2的半径，求出面积之和，利用相切关系得到半径与正方体的对角线的关系，通过基本不等式，从而得出面积的最小值．解答：解：∵AO1=R1，C1O2=R2，O1O2=R1+R2，∴（+1）（R1+R2）=，R1+R2=，球O1和O2的表面积之和为4π（R12+R22）≥4π•2（）2=2π（R1+R2）2=3（2﹣）π．故选：A．点评：本题是中档题，考查球与正方体相切关系的应用，考查基本不等式求解最值问题，考查计算能力，空间想象能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）6个儿童分坐两行，每行3人面对着做游戏，其中甲、乙二人既不对面，又不相邻的坐法有384种．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：甲坐两端，或甲在中间两个位上找一个位子坐下，根据分类计数原理可得答案．解答：解：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：（1）甲坐两端，可从四个位中选一个坐下，有种，由于乙不与甲坐对面和相邻，在其他3个位中选一个坐下有种，其余4人有种，此类有种方法．（2）甲在中间两个位上找一个位子坐下，有种，乙应在其他两个位上找一个位子坐下有种，其余4人有种坐法．此类坐法有种．所以满足条件的坐法共有=384（种）．故答案为：384．点评：本题考查了分类和分步计数原理，特殊元素优先安排原则，属于中档题．14．（5分）△ABC外接圆的圆心为O，且，则cos∠BAC=．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意，设BC中点M，得到，结合已知，得到∠BOM=∠BAC．解答：解：设BC边中点为M，则，由题设，∴A、O、M共线，且AO=4OM，而∠BOM=2∠BAM，∴∠BOM=∠BAC，即cos∠BAC=．故答案为：．点评：本题考查了向量共线性质的运用；关键是明确A，O与BC中点三点共线，得到∠BOM=∠BAC．15．（5分）如果双曲线x2﹣y2=a2经过圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5的直径AB的两个端点，则正实数a的值等于2．考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点，代入作差，可得AB的方程为y=3x﹣8，与圆方程联立，利用a2=（x+y）（x﹣y）=（4x﹣8）（8﹣2x）=8﹣8（x﹣3）2，即可求出正实数a的值．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线方程作差得（x1+x2）（x1﹣x2）=（y1+y2）（y1﹣y2），∵x1+x2=6，y1+y2=2，=3，∴AB的方程为y=3x﹣8，与圆方程联立得10（x﹣3）2=5，∴（x﹣3）2=，∴a2=（x+y）（x﹣y）=（4x﹣8）（8﹣2x）=8﹣8（x﹣3）2=4．∴a=2．故答案为：2．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）关于x的不等式有唯一整数解x=1，则的取值范围是（，1）．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式进行等价转化，利用根与系数之间的关系建立不等式组，利用线性规划的知识进行求解即可．解答：解：∵⇔x2+ax+2b＜0，∴依题意方程x2+ax+2b=0只有唯一的整数解x=1，∴方程x2+ax+2b=0一根在内，即函数f（x）=x2+ax+2b的图象与x轴在内各有一个交点．∴，作出可行域，如图所示：∵为可行域内的点（a，b）与定点P（1，2）的连线的斜率，由图可知，k PA＜＜k PB，其中点A（﹣3，1），B（﹣1，0），∴k PA=，k PB=1，故的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据不等式的性质结合一元二次函数根与系数之间的关系进行转化是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，a=1，求边AC上的中线BD的长．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用正弦定理，条件化为2sinAcosB+sinA=0，即可求角B的大小；（Ⅱ）利用三角形的面积公式，求出c，利用余弦定理求出b，进而可求边AC上的中线BD的长．解答：解：（Ⅰ）由，可得2sinAcosB+sin（B+C）=0，…（2分）即2sinAcosB+sinA=0，…（4分）而sinA≠0，所以cosB=﹣，B=．…（6分）（Ⅱ）解：因S=acsinB，又S=，a=1，sinB=，则c=4．…（8分）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得b=，…（10分）由cosC=，得，解得BD=．…（12分）点评：本题考查正弦定理、余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角E﹣BC1﹣D的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）利用直线和平面平行的判定定理，只需要证明EF∥BD，即可证明EF∥平面BDC1；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的大小．解答：解：（Ⅰ）证明：取AB的中点M，∵AF=AB．∴F为AM的中点，又∵E为AA1的中点，∴EF∥A1M，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为A1B1、AA1的中点，∴A1D∥BM，且A1D=BM，则四边形A1DBM为平行四边形，∴A1M∥BD，∴EF∥BD，又∵BD⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D，∴EF∥平面BC1D．（Ⅱ）连接DM，分别以MB，MC，MD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则B（1，0，0），E（﹣1，0，1），D（0，0，2），C1（0，），∴=（﹣1，0，2），=（﹣2，0，1），=（﹣1，）．设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为，则由，得，取，又由，得，取，则，故二面角E﹣BC1﹣D的余弦值为．点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及求二面角的大小，要求熟练掌握相应的判定定理．建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．19．（12分）已知袋内有标有1～6数字的小球6个，球除标号不同外完全相同，甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏，由丙做裁判，游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球，记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a，b，c，然后将所得的数代入函数f（x）=ax2+bx+c，若所得到的函数无零点，则甲输一个枣给乙，若所得到的函数有零点，则乙输四个枣给甲．（Ⅰ）记函数的零点的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据两人得枣的数学期望，该游戏公平吗？若不公平，谁吃亏？考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）利用判别式得出当△=0时，P（ξ=1）=．当△≥0时，P（ξ=2）=．P（ξ=0）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）=．求解概率分布问题．（II）利用分布列得出甲得枣的数学期望，乙得枣的数学期望，判断即可．解答：（Ⅰ）解：ξ的可能取值为0，1，2．f（x）=ax2+bx+c的判别式△=b2﹣4ac，当△=0时，b为偶数，b=2时，a=1，c=1；b=4时，a=1，c=4或a=2，c=2或a=4，c=1；b=6时，a=3，c=3，∴P（ξ=1）=．有b≥3，b=3时，ac≤2，有3种；b=4时，ac≤4，有9种；b=5时，ac≤6，有14种；b=6时，ac≤9，有17种，共计43种．∴ξ=1的情形有43﹣5=38种，∴P（ξ=2）=．P（ξ=0）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）=．∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P数学期望Eξ=．（Ⅱ）甲得枣的数学期望是，乙得枣的数学期望是．∴该游戏不公平，甲吃亏．点评：本题考查古典概型概率的求法，古典概型在实际问题中应用，结合函数的性质判断概率的求解类别，方法，公平与否要看概率是否相等，属于中档题20．（12分）如图，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与A B交于点D，若△ADC的面积为15．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在分别以AD，AC为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由椭圆的性质离心率和焦点顶点等求得椭圆方程．（Ⅱ）当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有A，M，N在一条直线上，且AM=AN．则M、N关于点A对称，设M（x1，y1），则N（﹣x1，8﹣y1），点M在线段AD的垂直平分线y﹣=﹣（x+）上，可求得x1=﹣，继而求得坐标．解答：（Ⅰ）解：设左焦点F的坐标为（﹣c，0），其中c=，∵e=，∴a=c，b=c…（1分）∴A（0，c），B（﹣c，0），C（0，﹣c），…（2分）∴AB：，CF：，…（3分）联立解得D点的坐标为（﹣c，c）…（4分）∵△ADC的面积为15，∴|x D|•|AC|=15，即•c•2•c=15，解得c=3，∴a=5，b=4，∴椭圆C的方程为…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（﹣，1）…（7分）假设存在这样的两个圆M与圆N，其中AD是圆M的弦，AC是圆N的弦，则点M在线段AD的垂直平分线上，点N在线段AC的垂直平分线y=0上…（8分）当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有A，M，N在一条直线上，且AM=AN．∴M、N关于点A对称，设M（x1，y1），则N（﹣x1，8﹣y1），…（9分）根据点N在直线y=0上，∴y1=8．∴M（x1，8），N（﹣x1，0），而点M在线段AD的垂直平分线y﹣=﹣（x+）上，可求得x1=﹣…（10分）故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为M（﹣，8），N（，0）…（12分）点评：本题主要考查利用椭圆的性质求得椭圆方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题型，在2015届高考中经常考到．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实数）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间上的最小值及相应的x值；（Ⅱ）若存在x∈，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；（Ⅱ）若存在x∈，f（x）≤（a+2）x成立，即a（x﹣lnx）≥x2﹣2x，构造函数g（x）=（x∈），可将问题转化为一个函数成立问题，由此求出函数的最小值，即可得到结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）=alnx+x2的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x=，当x∈时，2x2∈，若a≥﹣2，f′（x）在上非负（仅当a=﹣2，x=﹣1时，f′（x）=0），故f（x）在上单调递增，此时f（x）min=f（1）=1；若﹣2e2＜a＜﹣2，令f′（x）＜0，解得1≤x＜，此时f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得＜x≤e，此时f（x）单调递增，∴f（x）min=f（）=；若a≤﹣2e2，f′（x）在上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f′（x）=0），故f（x）在上单调递减，此时f（x）min=f（e）=a+e2，综上所述，得a≥﹣2时，f（x）min=1，相应的x=1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）min=，相应的x=；当a≤﹣2e2时，f（x）min=a+e2，相应的x=e；（Ⅱ）解：不等式f（x）≤（a+2）x可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈，∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而a≥，x∈，令g（x）=（x∈），则g′（x）=，当x∈时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），∴g（x）在上是增函数，故g（x）min=g（1）=﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查不等式存在性问题的解法，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）设AB为圆O的直径，AB=10．E为线段AO上一点，OE=AB．过E作一直线交圆O 于C，D两点，使得∠CEA=45°．试求CE2+ED2的值．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用垂径定理，求出CD，再利用相交弦定理，即可求CE2+ED2的值．解答：解：∵AB=10，OE=AB．作OH⊥CD于H，则OH=OE，CD=2==AB…（5分）由相交弦定理知CE•ED=AE•EB=（AB﹣AB）（AB+AB）=AB2．∴CE2+ED2=（CE+ED）2﹣2CE•ED=AB2﹣AB2=AB2=50…（10分）点评：本题考查垂径定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．【选修4-4：坐标系与参数方程．】（共1小题，满分0分）23．设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由ρ=得ρsin2θ=6cosθ，ρ2sin2θ=6ρcosθ，可得直角坐标方程，可指出曲线是抛物线；（Ⅱ）利用参数的几何意义，即可求|AB|．解答：解：（Ⅰ）由ρ=得ρsin2θ=6cosθ，ρ2sin2θ=6ρcosθ，∴y2=6x．∴曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线…（5分）（Ⅱ）将化为，代入y2=6x得t2﹣4t﹣12=0（*），由（*）式解得t1=6，t2=﹣2，|AB|=|t1﹣t2|=8．…（10分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用参数的几何意义解决问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．考点：二分法求方程的近似解．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）先求出a＞0，b＞0，根据基本不等式求出m的最大值即可；（Ⅱ）问题转化为2|x﹣1|+|x|≤3，解出即可．解答：解：（Ⅰ）由题设可得b=＞0，∴a＞0，∴a+b=a+=≥3，当a=2，b=1时，a+b取得最小值3，∴m的最大值为3；（Ⅱ）要使2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，须且只须2|x﹣1|+|x|≤3，①x≥1时，2x﹣2+x≤3，解得：1≤x≤，②0≤x＜1时，2﹣2x+x≤3，解得：0≤x＜1，③x＜0时，2﹣2x﹣x≤3，解得：x≥﹣，∴实数x的取值范围是﹣≤x≤．点评：本题考察了基本不等式的性质问题，考察解不等式问题，求出a+b的最小值是解题的关键，本题是一道中档题．。
数学_2015年甘肃省高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2015年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{x|x2−2x−3>0}，集合B＝Z，则(∁R A)∩B＝（）A {−3, −2, −1, 0, 1}B {−1, 0, 1, 2, 3}C {0, 1, 2}D {−2, −1, 0}2. 设i是虚数单位，复数Z＝1+1−i1+i为（）A 1+iB 1−iC C、−1+iD −1−i3. 设a=12∫211xdx，b=13∫311xdx，c=15∫511xdx，则下列关系式成立的是（）A a<b<cB b<a<cC a<c<bD c<a<b4. 函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后与函数y＝cos(2x−π2)的图象重合，则y＝f(x)的解析式为（）A y＝cos(2x−π2) B y＝cos(2x+π6) C y＝sin(2x+π3) D y＝sin(2x−π6)5. 数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有（）个．A 21B 22C 23D 246. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A (√32+2)π B (√33+4)π C (√36+2)π D (√33+2)ππ7. 阅读如图所示的程序框图，若输入的n＝10，则该算法的功能是（）A 计算数列{2n−1}的前11项和B 计算数列{2n−1}的前10项和C 计算数列{2n−1}的前11项和D 计算数列{2n−1}的前10项和8. 若x ，y 满足约束条件{2x +2y ≥1x ≥y 2x −y ≤1 ，且向量a →=(3, 2)，b →=(x, y)，则a →⋅b →的取值范围（ ）A [54, 5] B [72, 5] C [54, 4] D [72, 4]9. 已知面积为S 的凸四边形中，四条边长分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，点P 为四边形内任意一点，且点P 到四边的距离分别记为ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，若a 11=a 22=a 33=a 44=k ，则ℎ1+2ℎ2+3ℎ3+4ℎ4=2S k类比以上性质，体积为y 的三棱锥的每个面的面积分别记为S l ，S 2，S 3，S 4，此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1，H 2，H 3，H 4，若S 11=S 22=S 33=S 44=K ，则H 1+2H 2+3H 3+4H 4=( ) A 4VKB 3VKC 2VKD VK10. 已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝84，则实数b 的取值范围是（ ）A [2√5, 2√7]B (2√5, 2√7]C [2√6, 2√7]D (2√6, 2√7] 11. 在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B ，C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A (√6−√22, √5−12) B (√6−√22, 1) C (√5−12, 1) D (0, √5−12) 12. 已知函数f(x)＝xcosπx λ，存在f(x)的零点x 0，(x 0≠0)，满足[f′(x 0)]2<π2(λ2−x 02)，则λ的取值范围是（ ） A (−√3, 0)∪（0, √3,） B (−√33, 0)∪(0, √33) C (−∞, −√3)∪(√3, +∞) D (−∞, −√33)∪(√33, +∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 在(2x −√x 3)8的展开式中，常数项等于________（用数字作答）14. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的顶点在同一个球面上，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝2√6，∠BAC ＝90∘，则球的表面积________． 15. 下面给出的命题中：①m ＝−2”是直线(m +2)x +my +1＝0与“直线(m −2)x +(m +2)）y 一3＝0相互垂直”的必要不充分条件；②已知函数f(a)=∫ a0sinxdx ，则f[f(π2)]＝1−cos1；③已知ξ服从正态分布N(0, σ2)，且P(−2≤ξ≤0)＝0，4，则P(ξ>2)＝0.2；④已知⊙C 1:x 2+y 2+2x ＝0，⊙C 2:x 2+y 2+2y −1＝0，则这两圆恰有2条公切线； ⑤线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小．其中是真命题的序号有________．16. 设数列{a n }的前n 项的和为S n ，已知1S 1+1S 2+⋯+1S n=nn+1，设b n =(12)a n 若对一切n ∈N ∗均有∑∈k=1n bk (1m,m 2−6m +163)，则实数m 的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题-共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，若bcosA +acosB =−2ccosC ． (1)求角C 的大小；(2)若a +b =6，且△ABC 的面积为2√3，求边c 的长．18. 多面体ABCDE 中，△ABC 是边长为2的正三角形，AE >1，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD ＝CD ，且BD ⊥CD ． (Ⅰ)若AE ＝2，求证：AC // 平面BDE ；(Ⅱ)若二面角A 一DE 一B 的余弦值为√55，求AE 的长．19. 某市为了治理污染，改善空气质量，市环境保护局决定每天在城区主要路段洒水防尘，为了给洒水车供水，供水部门决定最多修建3处供水站．根据过去30个月的资料显示，每月洒水量X （单位：百立方米）与气温和降雨量有关，且每月的洒水量都在20以上，其中不足40的月份有10个月，不低于40且不超过60的月份有15个月，超过60的月份有5个月．将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率，并假设各月的洒水量相互独立． (Ⅰ)求未来的3个月中，至多有1个月的洒水量超过60的概率；(Ⅱ)供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系：若某供水站运行，月利润为12000元；若某供水站不运行，月亏损6000元．欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建几处供水站？20. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2=−4√3y 的焦点．(I)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)是否存在过点P(2, 1)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 满足PA →⋅PB →=54，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数f(x)=ax 2+ln(x +1)． (1)当时a =−14时，求函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[0, +∞)时，函数y =f(x)的图象上的点都在{x ≥0，y −x ≤0所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分．选修4-3：几何证明选讲 22. 选修4−1：几何证明选讲如图，点C 是⊙O 直径BE 的延长线上一点，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，∠ACB 的平分线CD 与AB 相交于点D ，与AE 相交于点F ， (Ⅰ)求∠ADF 的值(Ⅱ)若AB ＝AC ，求ACBC 的值．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{x =−35t +2y =45t （t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝asinθ． (Ⅰ)若a ＝2，求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； (Ⅱ)设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍，求a 的值．选修4-5：不等式选讲24. 已知函数f(x)＝|2x −1|+|2x +5|，且f(x)≥m 恒成立． (Ⅰ)求m 的取值范围；(Ⅱ)当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|x −3|−2x ≤2m −8．2015年甘肃省高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. B3. D4. C5. C6. C7. A8. A9. B 10. D 11. A 12. D 13. 112 14. 49π 15. ②④16. m <0或m ≥517. 解：(1)由题意知，bcosA +acosB =−2ccosC ， 正弦定理可得sinBcosA +sinAcosB =−2sinCcosC ，sin(A +B)=−2sinCcosC ， 由A ，B ，C 是三角形内角可知， sin(A +B)=sinC ≠0， ∴ cosC =−12，由0<C <π，得C =2π3.(2)∵ a +b =6，∴ a 2+b 2+2ab =36， ∵ △ABC 的面积为2√3， ∴ 12absinC =2√3，即12ab ×√32=2√3，化简得，ab =8，则a 2+b 2=20， 由余弦定理得，c 2=a 2+b 2−2abcosC =20−2×8×(−12)=28.所以c =2√7．18. （I ）证明：如图所示，分别取BC ，BA ，BE 的中点M ，N ，P ，连接MN ，NP ，DP ． 则MN ∥=12AC ，NP // AE ，NP =12AE ＝（1）∵ BD ＝CD ，BD ⊥CD ，M 为BC 的中点，BC＝2，∴ DM ⊥BC ，DM ＝1，又平面BCD ⊥平面ABC ． ∴ DM ⊥平面ABC ， 又AE ⊥平面ABC ， ∴ DM // AE ，∴ 四边形DMNP 为平行四边形，∴ DP // MN ，∴ AC // DP ，又AC ⊄平面BDE ，DP ⊂平面BDE ，∴ AC // 平面BDE ． (II)设AE ＝a ，则E(0,√3,a)，BD →=(−1, 0, 1)，BE →=(−1,√3,a)， 设平面BDE 的法向量为n →=(x, y, z)，则{BD →⋅n →=−x +z =0BE →⋅n →=−x +√3y +az =0，取n →=(1,1−a √3,1)，取平面ADE 的法向量m →=(1, 0, 0)， 则|cos <m →,n →>|=|m →⋅n →||m →||n →|=1√2+(1−a)23=√55，解得a ＝4， 即AE ＝（4）19. （1）依题意可得P 1＝P(20<X <40)=1030=13，P 2＝P(40≤X ≤60)=1530=12，P 3＝P(X >60)=530=16，由二项分布可得，在未来三个月中，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为P =C 30(1−P 3)3+C 31(1−P 3)2⋅P 3＝(56)3+3×(56)2×16=2527，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为2527；（2）记供水部门的月总利润为Y 元，①修建一处供水站的情形，由于月洒水量总大于20，故一处供水站运行的概率为1， 对应的月利润为Y ＝12000，E(Y)＝12000×1＝12000（元）；②修建两处供水站的情形，依题意当20<X <40，一处供水站运行，此时Y ＝12000−6000＝6000，P(Y ＝6000)＝P(20<X <40)＝P 1=13，当X ≥40，两处供水站运行，此时Y ＝12000×2＝24000，因此P(Y ＝24OOO)＝P(X ≥40)＝P 2+P 3=23，由此得Y 的分布列为则E(Y)＝6000×13+24000×23=18000（元）；③修建三处供水站情形，依题意可得当20<X <40时，一处供水站运行，此时Y ＝12000−12000＝0，由此 P(Y ＝0)＝P(40<X <80)＝P 1=13，当40≤X ≤60时，两处供水站运行，此时Y ＝12000×2−6000＝18000， 由此P(Y ＝18000)＝P(40≤X ≤60)＝P 2=12，当X >60时，三处供水站运行，此时Y ＝12000×3＝36000， 由此P(Y ＝36000)＝P(X >60)＝P 3=16， 由此的Y 的分布列为由此E(Y)＝0×13+18000×12+36000×16=15000（元）， 欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建两处供水站． 20. （I ）设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则∵ 椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2=−4√3y 的焦点， ∴ b =√3,ca=12∵ c 2＝a 2−b 2 ∴ a ＝2，c ＝1， ∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(II)若存在过点P(2, 1)的直线l 满足条件，则l 的斜率存在设方程为y ＝k(x −2)+1，代入椭圆方程，可得(3+4k 2)x 2−8k(2k −1)x +16k 2−16k −8＝0设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则由△＝32(6k +3)>0，可得k >−12 且x 1+x 2=8k(2k−1)3+4k 2，x 1x 2=16k 2−16k−83+4k 2∵ PA →⋅PB →=54∴ (x 1−2)(x 2−2)+(y 1−1)(y 2−1)=54∴ [x 1x 2−2(x 1+x 2)+4](1+k 2)=54 ∴ [16k 2−16k−83+4k 2−2×8k(2k−1)3+4k 2+4](1+k 2)=54∴ 4k 2+43+4k 2=54 ∵ k >−12，∴ k =12∴ 存在过点P(2, 1)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 满足PA →⋅PB →=54，其方程为y =12x ．21. 解：(1)当a =−14时，f(x)=−14x 2+ln(x +1)，(x >−1)，f′(x)=−12x +1x +1=−(x+2)(x−1)2(x+1)，(x >−1)，由f′(x)>0解得−1<x <1，由f′(x)<0，解得：x >1，∴ 函数f(x)的单调递增区间是(−1, 1)，单调递减区间是(1, +∞)； (2)当x ∈[0, +∞)时，函数y =f(x)的图象上的点都在{x ≥0，y −x ≤0，所表示的平面区域内，即当x ∈[0, +∞)时，不等式f(x)≤x 恒成立， 即ax 2+ln(x +1)≤x 恒成立，设g(x)=ax 2+ln(x +1)−x ，(x ≥0)， 只需g(x)max ≤0即可， 由g′(x)=2ax +1x+1−1=x[2ax+(2a−1)](x+1)，当a =0时，g′(x)=−x x+1，当x >0时，g′(x)<0，函数g(x)在(0, +∞)单调递减， ∴ g(x)≤g(0)=0成立， 当a >0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)](x+1)=0，因x ∈[0, +∞)，∴ x =12a −1，①若12a −1<0，即a >12时，在区间(0, +∞)上，g′(x)>0，函数g(x)在(0, +∞)上单调递增，函数g(x)在[0, +∞)上无最大值，此时不满足； ②若12a−1≥0，即0<a ≤12时，函数g(x)在(0, 12a−1)上单调递减，在区间(12a−1, +∞)上单调递增，同样函数g(x)在[0, +∞)上无最大值，此时也不满足；当a <0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)](x+1)，∵ x ∈[0, +∞)，∴ 2ax +(2a −1)<0，∴ g′(x)<0，故函数g(x)在[0, +∞)单调递减， ∴ g(x)≤g(0)=0恒成立，综上：实数a 的取值范围是(−∞, 0]．22. （1）∵ AC 是⊙O 的切线，∴ ∠B ＝∠EAC ． 又∵ DC 是∠ACB 的平分线，∴ ∠ACD ＝∠DCB ，∴ ∠B +∠DCB ＝∠EAC +∠ACD ，∴ ∠ADF ＝∠AFD ． ∵ BE 是⊙O 直径，∴ ∠BAE ＝90∘． ∴ ∠ADF ＝45∘．（2）∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠ACB ＝∠EAC ．由(I)得∠BAE ＝90∘，∴ ∠B +∠AEB ＝∠B +∠ACE +∠EAC ＝3∠B ＝90∘， ∴ ∠B ＝30∘．∵ ∠B ＝∠EAC ，∠ACB ＝∠ACB ， ∴ △ACE ∽△BCA ， ∴AC BC=AE AB=tan30∘=√33． 23. （1）当a ＝2时，ρ＝asinθ转化为ρ＝2sinθ 整理成直角坐标方程为：x 2+(y −1)2＝1直线的参数方程{x =−35t +2y =45t （t 为参数）．转化成直角坐标方程为：4x +3y −8＝0 （2）圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x 2+(y −a2)2=a 24直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍， 所以：d =|3a2−8|5=12⋅|a|22|3a −16|＝5|a|，利用平方法解得：a ＝32或3211．24. （1）要使f(x)≥m 恒成立，只需m ≤f(x)min ．由绝对值不等式的性质，有|2x −1|+|2x +5|≥|(2x −1)+(2x +5)|＝6， 即f(x)min ＝6，所以m ≤(6)（2）由(Ⅰ)知，m ＝6，所以原不等式化为|x −3|−2x ≤4，即|x −3|≤4+2x ， 得−4−2x ≤x −3≤4+2x ，转化为{−4−2x ≤x −3x −3≤4+2x，化简，得{x ≥−13x ≥−7，所以原不等式的解集为{x|x ≥−13}．。
甘肃省兰州一中2015届高三第三次模拟考试理综试卷 Word版含答案.pdf
26.（14分）一种含铝、锂、钴的新型电子材料，生产中产生的废料数量可观，废料中的铝以金属铝箔的形式存在
25．如图，在xOy平面直角坐标系中，直线MN与y轴成30°角，P点的坐标为(－a，0)，在y轴与直线MN之间的区域内
，存在垂直于xOy平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场在直角坐标系xOy的第Ⅳ象限区域内存在沿y轴负方向、大小为
E＝Bv0的匀强电场，在x＝3a处垂直于x轴放置一平面荧光屏，与x轴交点为Q，电子束以相同的速度v0从y轴上
种情形下两端电压U随电流I变化的图线。由图可知，M内部线圈的电阻约为________Ω(结果保留两位有效数字)
③小刚根据小敏作出的U－I图线对M两端电压数据进行比较他发现：M两端电压为2.5 V时通过M的电流，居然小于
M两端电压为2.0 V时通过M的电流I，出现这一结果的主要原因是：24．如图所示，让摆球从图中的位置由静止开始下摆
0≤y≤2a的区间垂直于y轴和磁场方向射入磁场。已知从y＝2a点射入的电子在磁场中轨迹恰好经过O点，忽略电子间的
相互作用，不计电子的重力。求：ห้องสมุดไป่ตู้
(1)电子的比荷；
(2)电子离开磁场垂直y轴进入电场的位置的范围；
(3)从y轴哪个位置进入电场的电子打到荧光屏上距Q点的距离最远？最远距离为多少？
，正好摆到悬点正下方处线被拉断，紧接着摆球恰好能沿竖直放置的半圆形轨道内侧做圆周运动，已知摆线长l=2.0
m轨道半径R=2.0 m摆球质量m=0.5 kg不计空气阻力。（g取10 m/s2）
（1）求摆球在点时与竖直方向的夹角θ；
（2）若半圆形内侧轨道上有摩擦，已知摆球到达最低点时的速度为6 m/s，求摩擦力做的功。
20．电子感应加速器的基本原理如图所示。在上、下两个电磁铁形成的异名磁极之间有一个环形真空室图甲为侧视
2015届新课标全国高考理科数学模拟试卷(三)word版含答案
2015届新课标高考模拟试卷（三）（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． 1.已知集合A={ x ｜lgx ≤0｝，B= {x ｜｜x+1｜>1｝，则A ∩B = A.（-2，1） B.（一co ，一2〕U ［1，＋co ） C. (0，1］ D.（一co ，-2) U (0，1] 2．复数iiz 2134++=的虚部为 A ．2- B ．2 C ．1- D ．13. 已知实数x ，y 满足约束条件，若y ≥kx ﹣3恒成立，则实数k 的数值范围是（ ）A ． [﹣，0]B ．[0，]C ．（﹣∞，0]∪[，+∞）D ．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）4．已知α是第三象限的角，且tan α=2，则sin （α+4π）= A ．31010-B ．31010C ．1010-D ．10105．在二项式8(2x)-的展开式中不含．．4x 的所有项的系数和为A ．1-B ．0C ．1D ．26. 下列所给的四个图象为某同学离开家的距离y 与所用时间t 的函数关系给出下列三个事件：(1)该同学离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业再去上学； (2)该同学骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)该同学出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． 其中事件（1）(2)(3)与所给图象分别吻合最好的是A.④①②B.③①②C.②①④D.③②①7．执行如图所示的算法，若输出的结果y≥2，则输入的x 满足 A ．x≤一l 或x≥4 B ．x≤-l C ．-1≤x≤4 D ．x≥4 8．函数()sin()f x x ωϕ=+（0,||2πωϕ><）的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于点5(,0)12π对称C ．关于直线512x π=对称 D ．关于直线12x π=对称 9.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的体积是（单位：m 3).A. 4＋26B. 4＋6 C 、23 D 、4310．直线l 与双曲线C ：22221(0,)x y a b a b-=>>交于A 、B 两点，M 是线段AB 的中 点，若l 与OM （O 是原点）的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为 A ．2B ．3C ．2D ． 311．设抛物线2y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，线段MF 的延长线与直线14x =-交于点N ，则1||||MF NF 1+的值为 A ．14B ．12C ．2D ．412.定义域为R 的函数f (x)满足f(1)＝l, 且 f (x)的导函数'()f x >12，则满足2f(x) <x ＋1的x 的集合为 A 、{x ｜－1<x<1} B. {x ｜x<1} C. {x ｜x<－1或x ＞1} D. {x ｜x ＞1} 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．函数y=1102x-的定义域为 。
2015届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}06|2<-+∈=x x R x M ，{}2|1||≤-∈=x R x N . 则N M = A ．(-3，-2] B ． B ． C ． D ． 7．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为A ．2B ．1C ．21D ．1- 8．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1）， （11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5） 变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5）， （11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．210r r << B ． 210r r <<C ． 210r r <<D ．21r r =9．在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是c b a ，，.若223sin 2sin ,2B C a b bc =-=,则角A 等于 A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为（单位：m 2）A.π）（2411+ B. π）（2412+ C.π）（2413+ D. π）（2414+ 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，设A ，B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB的斜率为7，则双曲线的离心率为A. 4B. 2C.D.12．已知函数,cos sin 3sin )(2R x x x x f ∈⋅+=αωωω，又 ,21)(-=αf 21)(=βf .若βα-的最小值为43π，则正数ω的值为 A.21 B. 31 C. 41D. 51二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量=（1），=（0，-1），=（k.若2-与共线，则k=______________. 14．若曲线）（R 1∈+=ααx y 在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 15．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数．当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为________________.16．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内的一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m 、n 、 p 分别是三棱锥M —PAB 、三棱锥M —PBC 、三棱锥M —PCA 的 体积．若),,21()(y x M f =，且81≥+yax 恒成立，则正实数a 的最小值为________．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项13,0a d =≠公差,其前n 项和为n S ,且1413,,a a a 分别是等比数列{}n b 的第2项,第3项,第4项.(I)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (II)证明1211113.34n S S S ≤++⋅⋅⋅+< 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为32的菱形， 且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2 6，M ，N 分 别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.(1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望)(X E .20．（本小题满分12分）已知椭圆）（012222>>=+b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 342=的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形．(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m,0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) .(1)当4-=a 时,求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值; (2)当[]e x ,1∈时,讨论方程()0=x f 根的个数.(3)若0>a ,且对任意的[]12,1,x x e ∈,都有()()212111x x x f x f -≤-,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CE CB =（1）证明：E D ∠=∠;（2）设AD 不是圆O 的直径，AD 的中点为M ， 且MC MB =，证明：△ADE 为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴。
兰州一中届高三冲刺模拟数学试题及答案(理)
甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题（理）第I 卷（选择题）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1.设集合M={}22|21x x y -=，N={}2|y y x =，则MN =( )A. {（1,1）}B. {（-1,1），（1,1）}C. )1,2⎡+∞⎢⎣ D. ⎫+∞⎪⎣⎭2. 设i 是虚数单位，那么使得1()12n -+=的最小正整数n 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 53. 如果直线ax +by =4与圆C ：x 2+y 2=4有两个不同的交点，那么点（a ，b ）和圆C 的位置关系是（ ） A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定4.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度5.过椭圆22143y x +=的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则11||||AB CD +的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 1 D. 7126. 已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且B b a C A R sin )2()sin (sin 222-=-（其中a ，b分别是A ∠，B ∠的对边），那么角C 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某多面件的三视图，该多面体的体积为（ ）A. 403cmB. 503cmC. 603cmD. 803cm8.电子钟表一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，那么一天中任一时刻的4个数字之和等于23的概率是（ ） A. 1180B.1288 C. 1360 D. 14809.已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A. 14B.C. D.10.执行下图程序框图，如果输入的正实数x 与输出的实数y 满足y =x ，则x = （ ）A.B. C. D. 11.已知函数3y x =在k x a =时的切线和x 轴交于1k a +，若11a =，则数列{}n a的前n 项和为（ ）A. 1233n +B. 12()3n -C. 23()3n -D. 1233nn -- 12.已知函数()3,f x x mx x R =-∈，若方程()f x =2在[4,4]x ∈-恰有3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A. (31,32⎤-⎥⎦B. (313,2⎤⎥⎦C. ()()31,3,2-∞-+∞ D. ()()31,3,2-∞+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在(x 2+24x－4)5的展开式中含x 4项的系数是___________. (用数字填写答案) 14.在△ABC中，∠A=90°，AB=1，点M ，N 满足AM AB λ=，(1)AN AC λ=-，R λ∈，若2BN CM ⋅=-，则λ=_________.15.平面上满足约束条件2,0,100.x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y =2x对称的区域为E ，则两个区域中距离最近的两点之间的距离为__________.16.定义在R 上的奇函数()f x 的导函数满足()()f x f x '<，且()()31f x f x ⋅+=-，若()2015f e =-，则不等式()x f x e <的解集为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知点A (sin ,1)θ，B (cos ,0)θ，C (sin ,2)θ-，且AB BP =.（Ⅰ）记函数()f BP CA θ=⋅，(,)82ππθ∈-，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O ，P ，C 三点共线，求||OA OB +的值.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是以AD 为底的等腰三角形.（Ⅰ）证明：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若四棱锥P —ABCD 的体积等于32，试求PB 与平面PCD 所成角的正弦值.19. （本小题满分12分）一种智能手机电子阅读器，特别设置了一个“健康阅读”按钮，在开始阅读或者阅读期间的任意时刻按下“健康阅读”按钮后，手机阅读界面的背景会变为蓝色或绿色以保护阅读者的视力. 假设“健康阅读”按钮第一次按下后，出现蓝色背景与绿色背景的概率都是.21从按钮第二次按下起，若前次出现蓝色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为31、32；若前次出现绿色背景，则下一次出现蓝色背景、绿色背景的概率分别为53、.52记第)1,(≥∈n N n n 次按下“健康阅读”按钮后出现蓝色背景概率为P n . （Ⅰ）求P 2的值；（Ⅱ）当,2n N n ∈≥时，试用P n -1表示P n ； （Ⅲ）求P n 关于n 的表达式.20. （本小题满分12分）已知椭圆C:()222210y x a b a b+=>>的左右焦点1F ，2F 与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C 上任意一点P 做椭圆C 的切线与直线1F P 的垂线1F M 相交于点M ，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若切线MP 与直线x =-2交于点N ，求证：11||||NF MF 为定值.21. （本小题满分12分）已知函数()ln h x x x =，2()(0)a x a xϕ=>. （Ⅰ）求()()xag x t dt ϕ=⎰；（Ⅱ）设函数()()()1f x h x g x '=--，试确定()f x 的单调区间及最大最小值； （Ⅲ）求证：对于任意的正整数n ，均有111123!nne e n ++++≥成立.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（Ⅰ）︒=∠30PBD ；（Ⅱ）DC AD =．23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为12x ty =+⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数).（Ⅰ）写出直线L 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线C '，设 M(x ,y )为C '上任意一点，求222x y -+的最小值，并求相应的点M 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111++≥.甘肃省兰州一中2015届高三冲刺模拟试题参考答案（理）第I 卷（选择题）一、选择题第Ⅱ卷二、填空题13. -960 ； 14. 23； 15. ； 16.()1,+∞ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：设P （x ，y ），由 AB BP = 得 O B O A O P O B-=-， 即 (cos sin ,1)(cos ,)x y θθθ--=-，所以 2cos sin ,1x y θθ=-=-，亦即(2cos sin ,1)P θθ--；…………………… 2分 （Ⅰ）()(sin cos ,1)(2sin ,1)f BP CA θθθθ=⋅=-⋅-22sin 2sin cos 1sin 2cos 2θθθθθ=--=--)4πθ=+；由(,)82ππθ∈-得52(0,)44ππθ+∈，所以，当2(0,)42ππθ+∈即(,88ππθ⎤∈-⎥⎦时，()f θ单调递减，且()0f θ≤<，当)52,424πππθ⎡+∈⎢⎣即),82ππθ⎡∈⎢⎣时，()f θ单调递增，且()1f θ≤<，故，函数()f θ的单调递减区间为(,88ππ⎤-⎥⎦，单调递增区间为),82ππ⎡⎢⎣，值域为)⎡⎣. …………………………………… 6分（Ⅱ）由O 、P 、C 三点共线可知，OP ∥OC ，即 (1)(sin )2(2cos sin )θθθ-⋅-=⋅-，得4tan 3θ=，所以 ||(sin OA OB +====………………………… 12分18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：取AD的中点G，连PG，BG，CG；60PA PD PG ADAD PGBAB ADBG ADDAB=⇒⊥⎫⎪⇒⊥=⎫⎬⇒⊥⎬⎪∠=︒⎭⎭平面……………………………… 5分（Ⅱ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD；在底面直角梯形ABCD中，由已知可得BC=，由32P A B C DV-=，即311[12322PG⋅+⋅=（，得PG，而DG=1，在Rt△PGB、Rt△PGC、Rt△PGD中分别可求得、、PD=2，在△PCD中，2221cos PD CD PCPDC+-==-，∴sin PDC=PCD的面积1sin2PDCS PD CD PDC=⋅⋅⋅=，设点B到平面PCD的距离为h，由P BCD B PCDV V--=得h=，∴PB平面PCD所成角的正弦值为hPB==.…………………………………… 12分PB PGB⊂平面AD PB⎫⇒⊥⎬⎭19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）若按钮第一次、第二次按下后均出现蓝色背景，则其概率为613121=⨯； 若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.1035321=⨯ 故所求概率为.157103612=+=P …………………………………… 4分 （Ⅱ）第1-n 次按下按钮后出现蓝色背景的概率为2,(1≥∈-n N n P n ），则出现绿色背景的概率为11--n P .若第1-n 次、第n 次按下按钮后均出现蓝色背景，则其概率为311⨯-n P ； 若第1-n 次、第n 次按下按钮后依次出现绿色背景、蓝色背景，则其概率为.53)1(1⨯--n P所以，53154)1(5331111+-=-+=---n n n n P P P P （其中2,≥∈n N n ）. …………………………………… 8分（Ⅲ）由（2）得)199(1541991--=--n n P P （其中2,≥∈n N n ）. 故}199{-n P 是首项为381，公比为154-的等比数列， 所以).1,(199)154(3811≥∈+-=-n N n P n n …………………………… 12分 20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2c =a =4，∴ c =2，b=∴椭圆C 的标准方程为2211612y x +=； …………………………………… 2分（Ⅱ）设00(,)P x y ，由（Ⅰ），1(2,0)F -，设00(,)P x y ，(,)M x y过椭圆C 上过P 的切线方程为： 0011612x x y y+=， ① 直线1F P 的斜率1002F P y k x =+，则直线1MF 的斜率1002MF x k y +=-，于是，则直线1MF 的方程为：002(2)x y x y +=-+， 即 00(2)(2)yy x x =-++， ② ① 、②联立，解得 x = -8，∴ 点M 的轨迹方程为 x = -8； …………………………………… 8分 （Ⅲ）依题意及（Ⅱ），点M 、N 的坐标可表示为(8,)M M y -、(2,)N N y -， 点N 在切线MP 上，由①式得 003(8)2N x y y +=， 点M 在直线1MF 上，由②式得 006(2)M x y y +=， 02022129(8)||4Nx NF y y +==， 022002221236[(2)]||[(2)(8)]M y x MF y y ++=---+=，∴ 002222001222222100009(8)(8)||1y x x NF ++=⋅=， ③ 注意到点P 在椭圆C 上，即 220011612x y +=，于是020484x y -=代人③式并整理得2121||1||4NF MF =， ∴ 11||||NF MF 的值为定值12. ……………………………… 12分21. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2111()()[]|()x xx a aaa x a g x t dt dt a a t t x a xϕ-===-=--=⎰⎰； …………… 3分（Ⅱ）∵ ()(ln )ln 1(0)h x x x x x ''==+>，∴ ()ln 11ln (0)x a x a f x x x x x x--=+--=->，22()1()(0)x x a x af x x xxx---'=-=>， ∵ a >0，∴ 函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增， 函数()f x 的最小值为()ln f a a =，函数()f x 无最大值； ……………… 7分（Ⅲ）取a =1，由（Ⅱ）知，1()ln (1)0x f x x f x-=-≥=， ∴ 11ln 1x x x x -≥=-，即 11ln ln e x x x ≥-=，亦即 1x e e x≥，……… 10分 分别取 1,2,,x n = 得 111e e ≥，122e e ≥，13e e ≥，…，1e e n≥， 将以上各式相乘，得：1111!n n e e n ++++≥ ……………………………… 12分 22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲证明： （Ⅰ）由已知得 90ADC ∠=︒，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM ∠＝12BPD ∠＝60A ∠=︒， 从而︒=∠30PBM ． ………………………………… 5分 （Ⅱ）作BP SN ⊥于点N ，则12SN SB =． 又BD MB DM SB DS 21,2===， ∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=21232， ∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ，∴ ︒=∠=∠30NPS MPS ，又PB PA =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒， 故DCA DAC ∠=︒=∠45，所以DC AD =． ……………………10分23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）圆C 的方程为224x y += …………………………………… 1分直线L20y -= ………………………… 3分（2）由''12x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩和224x y +=得'C 2214x y += ………………… 5分 设M 为2x cos y sin θθ==⎧⎨⎩，则22232cos(2)3x y πθ-+=++ …… 8分 所以当M为或(1,-时原式取得最小值1． …………… 10分 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲已知正数a ，b ，c 满足a +b +c =6，求证：1111(1)(1)(1)2a b b c c a ++≥+++. 证明：由已知及均值不等式：111(1)(1)(1)a b b c c a ++≥+++311133a b c a b c =≥+++++++⋅ 31232==⋅ ……………………… 10分。
高考理科数学分类模拟测试卷2.3
第三章导数及其应用专题2导数与函数的极值■(2015甘肃省兰州一中三模,导数与函数的极值,选择题,理11)函数f(x)=(x-a)e x在区间(2,3)内没有极值点,则实数a的取值范围是()A.(-∞,3]∪[4,+∞)B.[3,4]C.(-∞,3]D.[4,+∞)解析:∵f(x)=(x-a)e x,∴f'(x)=(x+1-a)e x,∵函数f(x)=(x-a)e x在区间(2,3)内没有极值点,∴x+1-a≥0或x+1-a≤0在区间(2,3)内恒成立,即a≤x+1或a≥x+1在区间(2,3)内恒成立,∴a≤3或a≥4.故实数a的取值范围是(-∞,3]∪[4,+∞).答案:A专题3导数与函数的最值■(2015甘肃省兰州一中三模,导数与函数的最值,解答题,理21)已知函数f(x)=a ln x+x2(a为实数).(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;(2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=a ln x+x2的定义域为[1,e],f'(x)=+2x=,当x∈[1,e]时,2x2∈[2,2e2],若a≥-2,f'(x)在[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),故f(x)在[1,e]上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2<a<-2,令f'(x)<0,解得1≤x<,此时f(x)单调递减;令f'(x)>0,解得<x≤e,此时f(x)单调递增,∴f(x)min=f ln;若a≤-2e2,f'(x)在[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),故f(x)在[1,e]上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2,综上所述,得a≥-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2<a<-2时,f(x)min=ln,相应的x=;当a≤-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e;(2)不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-ln x)≥x2-2x.∵x∈[1,e],∴ln x≤1≤x且等号不能同时成立,∴ln x<x,即x-ln x>0,因而a≥,x∈[1,e],令g(x)=(x∈[1,e]),则g'(x)=,当x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,从而g'(x)≥0(仅当x=1时取等号),∴g(x)在[1,e]上是增函数,故g(x)min=g(1)=-1,∴实数a的取值范围是[-1,+∞).专题3利用导数解决不等式的有关问题■(2015河南省洛阳市高考数学二模,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数f(x)=a x-x ln a(a>1),g(x)=b-x2,e为自然对数的底数.(1)当a=e,b=5时,求整数n的值,使得方程f(x)=g(x)在区间(n,n+1)内有解;(2)若存在x1,x2∈[-1,1],使得f(x1)+g(x2)+≥f(x2)+g(x1)+e成立,求实数a的取值范围.解:(1)令F(x)=f(x)-g(x)=a x-x ln a+x2-b,当a=e,b=5时,F(x)=e x-x+x2-5,F'(x)=e x-1+3x;当x>0时,F'(x)>0,则F(x)在(0,+∞)上为增函数,当x<0时,F'(x)<0,则F(x)在(0,+∞)上为减函数;而F(0)=-4,F(1)=e-<0,F(2)=e2-1>0,F(-1)=<0,F(-2)=+3>0;又∵F(x)在(1,2),(-2,-1)上分别连续且单调,∴F(x)在(1,2),(-2,-1)内分别有一个零点,即方程f(x)=g(x)在区间(1,2),(-2,-1)内分别有一个解;综上所述,当n=1或n=-2时,方程f(x)=g(x)在区间(n,n+1)内有解.(2)若存在x1,x2∈[-1,1],使得f(x1)+g(x2)+≥f(x2)+g(x1)+e成立,即存在x1,x2∈[-1,1],使得[f(x1)-g(x1)]-[f(x2)-g(x2)]≥e-;即存在x1,x2∈[-1,1],使得F(x1)-F(x2)≥e-;即F(x)max-F(x)min≥e-成立,x∈[-1,1];F'(x)=a x ln a-ln a+3x=3x+(a x-1)ln a;①当x>0时,由a>1,得a x-1>0,ln a>0,故F'(x)>0;②当x=0时,F'(x)=0;③当x<0时,由a>1,得a x-1<0,ln a>0,故F'(x)<0;则F(x)在[-1,0]上为减函数,[0,1]上为增函数;故F(x)min=F(0)=1-b;F(x)max=max{F(-1),F(1)};而F(1)-F(-1)=a--2ln a(a>1);设h(a)=a--2ln a(a>0),则h'(a)=1+≥0,(当且仅当a=1时,等号成立)∴h(a)在(0,+∞)上为增函数,而h(1)=0;故当a>1时,h(a)>h(1)=0;∴F(1)>F(-1);故F(1)-F(0)≥e-;化简可得,a-ln a≥e-lne,且易知m(a)=a-ln a在(1,+∞)上是增函数,故a≥e;即实数a的取值范围为[e,+∞).■(2015河南省六市高考数学二模,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数f(x)=(其中k∈R,e=2.718 28…是自然数的底数),f'(x)为f(x)的导函数.(1)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若x∈(0,1]时,f'(x)=0都有解,求k的取值范围;(3)若f'(1)=0,试证明:对任意x>0,f'(x)<恒成立.(1)解:当k=2时,f(x)=的导数为f'(x)=(x>0),f'(1)=-,f(1)=,在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-(x-1),即为y=-x+.(2)解:f'(x)=0,即=0,即有k=,令F(x)=,由0<x≤1,F'(x)=-<0,F(x)在(0,1)递减,所以当x=1时,F(x)min=F(1)=1,F(x)≥1即k≥1.(3)证明:由f'(1)=0,可得k=1,g(x)=(x2+x)f'(x),即g(x)=(1-x-x ln x),对任意x>0,g(x)<e-2+1等价为1-x-x ln x<(e-2+1),由h(x)=1-x-x ln x,得h'(x)=-2-ln x,当0<x<e-2时,h'(x)>0,h(x)递增,当x>e-2时,h'(x)<0,h(x)递减,则h(x)的最大值为h(e-2)=1+e-2,故1-x-x ln x≤e-2+1,设φ(x)=e x-(x+1),φ'(x)=e x-1,x>0时,φ'(x)>0,φ(x)>0,φ(x)>φ(0)=0,则x>0时,φ(x)=e x-(x+1)>0,即>1.即1-x-x ln x≤e-2+1<(e-2+1),故有对任意x>0,f'(x)<恒成立.■(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数f(x)=ln(x+1)-.(1)证明:f(x)≥0;(2)若当x≥0,f(x)≤ax2恒成立,求实数a的取值范围.(1)证明:由题意得函数的定义域为(-1,+∞).f'(x)=.当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,此时f(x)为减函数;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,此时f(x)为增函数.所以f(x)min=f(0)=0,所以f(x)≥0在定义域内恒成立.(2)解:由已知得ln(x+1)--ax2≤0,当x≥0时恒成立.令h(x)=ln(x+1)--ax2,x∈[0,+∞).则h'(x)=-2ax=.当a≤0时,显然h'(x)≥0恒成立,所以h(x)在定义域内递增,而f(e-1)=lne--a(e-1)2=-a(e-1)2+>0.故a≤0不符合题意;当2a≥1即a≥时,因为x≥0,故(x+1)2≥1,所以1-2a(x+1)2≤0,故此时h'(x)≤0恒成立,所以h(x)在定义域内递减,所以h(x)max=h(0)=0,所以此时h(x)≤0在定义域内恒成立,故此时f(x)≤ax2恒成立,所以a≥符合题意;当0<a<时,令h'(x)=0得x=-1>0,当x∈时,h'(x)>0,故此时h(x)递增;当x∈时,h'(x)<0,故此时h(x)递减.而当x→0时,h(x)→ln1=0,结合h(x)此时的单调性,可知函数h(x)不满足在(0,+∞)上恒为负.综上可知,所求a的范围是.■(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数f(x)=ln(x+1)+.(1)当a=时,求f(x)的单调递减区间;(2)若当x>0时,f(x)>1恒成立,求a的取值范围;(3)求证:ln(x+1)>+…+(n∈N*).(1)解:当a=时,f'(x)=(x>-1),令f'(x)<0,可得-<x<3,∴f(x)的单调递减区间为.(2)解:由ln(x+1)+>1得a>(x+2)-(x+2)ln(x+1),记g(x)=(x+2)[1-ln(x+1)],则g'(x)=1-ln(x+1)-=-ln(x+1)-.当x>0时g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)递减.又g(x)max=g(0)=2·(1-ln1)=2,∴g(x)<2(x>0),∴a≥2.(3)证明:由(2)知ln(x+1)+>1(x>0),∴ln(x+1)>.取x=得ln,即ln.∴ln+ln+ln+…+ln+…+.专题4定积分在物理中的应用■(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,定积分在物理中的应用,填空题,理14)设x,y满足约束条件则M(x,y)所在平面区域的面积为.解析:作出不等式组对应的平面区域如图:由x+2y=2得y=1-x,由e x-y=0得y=e x,则由积分的意义可知,所求的面积为S=d x==e2-2+1-1=e2-2,故答案为e2-2.答案:e2-2■(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,定积分在物理中的应用,填空题,理13)(1+cosx)d x=.解析:(1+cos x)d x=(x+sin x)+1-=π+2.答案:π+2。
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甘肃省兰州一中2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x﹣|≤}，B={x|y=lg（4x﹣x2）}，则A∩B等于（）A．（0，2]B．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数，若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x﹣a）恒成立，则a的值是（）A．B．C．D．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，S m=（m≠n），则S m+n﹣4的符号是（）A．正B．负C．非负D．非正5．（5分）从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）设f（x）=（1+x）6（1﹣x）5，则导函数f′（x）中x2的系数是（）A．0B．15 C．12 D．﹣157．（5分）设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OAB 的面积为（）A．1B．C．D．28．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）A．n＞2 B．n＞3 C．n＞4 D．n＞510．（5分）已知双曲线，被方向向量=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（）A．B．C．D．211．（5分）函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]∪ C．（﹣∞，3]D．上的最小值及相应的x值；（Ⅱ）若存在x∈，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）设AB为圆O的直径，AB=10．E为线段AO上一点，OE=AB．过E作一直线交圆O于C，D两点，使得∠CEA=45°．试求CE2+ED2的值．【选修4-4：坐标系与参数方程．】（共1小题，满分0分）23．设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．甘肃省兰州一中2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x||x﹣|≤}，B={x|y=lg（4x﹣x2）}，则A∩B等于（）A．（0，2]B．，由B中y=lg（4x﹣x2），得到4x﹣x2＞0，即x（x﹣4）＜0，解得：0＜x＜4，即B=（0，4），则A∩B=（0，2]．故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，那么复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：由图求得z，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：由图知，z=2+i，∴，则对应的点的坐标为（），位于复平面内的第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．（5分）已知函数，若存在a∈（0，π），使得f（x+a）=f（x﹣a）恒成立，则a的值是（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：由题意可得=，再由a∈（0，π），可得=+2π，解方程求出a 的值．解答：解：由f（x+a）=f（x﹣a）恒成立，可得=，再由a∈（0，π），可得0＜2a＜2π，故有=+2π，∴a=．故选D．点评：本题考查了三角函数的周期性，要注意a∈（0，π）的范围，属于基础题．4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S n=，S m=（m≠n），则S m+n﹣4的符号是（）A．正B．负C．非负D．非正考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的求和公式，求出d=，a1=，再确定S m+n﹣4的符号．解答：解：∵S n=na1+d=，S m=ma1+d=，解得d=，a1=．∵S m+n﹣4=（m+n）a1+d﹣4=＞0（∵m≠n）．故选：A．点评：本题考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，确定d=，a1=是关键．5．（5分）从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：总的基本事件为个，可得符合题意的有12×4个，由概率公式可得．解答：解：由题意可知四棱锥的底面可由6个侧面和6个对角面构成，每个底面对应4个四棱锥，故所求概率为P=．故选：D．点评：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．6．（5分）设f（x）=（1+x）6（1﹣x）5，则导函数f′（x）中x2的系数是（）A．0B．15 C．12 D．﹣15考点：二项式定理的应用；简单复合函数的导数．专题：二项式定理．分析：f′（x）中x2的系数，即f（x）中x3的系数的3倍，求得（x）中x3的系数，即可得出结论．解答：解：f′（x）中x2的系数，即f（x）中x3的系数的3倍．由于f（x）=（1+x）（1﹣x2）5=（1﹣x2）5+x（1﹣x2）5，x3的系数为0﹣=﹣5，∴f（x）的解析式中含x3的项为﹣5x3，故函数f′（x）中x2的系数是﹣15，故选：D．点评：本题主要考查二项式定理的应用，函数的导数，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．（5分）设直线x+y=1与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则△OAB 的面积为（）A．1B．C．D．2考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：联立直线和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后运用求根公式，求得A，B的坐标，由OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，求得p，由两点的距离公式可得OA，OB的长，利用三角形的面积公式计算即可得到．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由x+y=1与抛物线y2=2px，得y2+2py﹣2p=0，解得y1=﹣p+，x1=1+p﹣，y2=﹣p﹣，x2=1+p+，由OA⊥OB得，x1x2+y1y2=0，即+=0，化简得2p=1，即p=，从而A（，），B（，），|OA|2=x12+y12=5﹣2，|OB|2=x22+y22=5+2，△OAB的面积S=|OA|•|OB|==．故选B．点评：本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，求得交点，运用两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，当a+b取最大值时，这个几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值．解答：解：如图所示，可知AC=，BD=1，BC=b，AB=a．设CD=x，AD=y，则x2+y2=6，x2+1=b2，y2+1=a2，消去x2，y2得a2+b2=8≥，所以（a+b）≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，此时x=，y=，所以V=××1××=．故选D．点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的表面积和体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．9．（5分）如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）A．n＞2 B．n＞3 C．n＞4 D．n＞5考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：由框图的顺序，S=0，n=1，S=（S+n）n=（0+1）×1=1；n=2，依次循环S=（1+2）×2=6，n=3；n=3，依次循环S=（6+3）×3=27，n=4，此刻输出S=27．故判断框①处应填入的条件是n＞3，故选B．点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）已知双曲线，被方向向量=（6，6）的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的值为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设l与双曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减，得，由此能求出a，b的关系，最后求得双曲线的离心率即可．解答：解：设l与双曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减，得，由直线方向向量=（6，6）得k AB=1，截得的弦的中点为（4，1），得x1+x2=4，y1+y2=2，∴，a2=4b2得双曲线的离心率=故选A．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题．本题考查双曲线的中点弦的求法，解题时要注意点差法的合理运用．11．（5分）函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]∪C．（﹣∞，3]D．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的概念及应用．分析：由函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，可得f′（x）≥0或f′（x）≤0在区间（2，3）内恒成立，进而可得实数a的取值范围．解答：解：∵f（x）=（x﹣a）e x，∴f′（x）=（x+1﹣a）e x，∵函数f（x）=（x﹣a）e x在区间（2，3）内没有极值点，∴x+1﹣a≥0或x+1﹣a≤0在区间（2，3）内恒成立，即a≤x+1或a≥x+1在区间（2，3）内恒成立，∴a≤3或a≥4．故实数a的取值范围是（﹣∞，3]∪12．（5分）两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和O2的表面积之和的最小值为（）A．3（2﹣）πB．4（2﹣）πC．3（2+）πD．4（2+）π考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设出球O1与球O2的半径，求出面积之和，利用相切关系得到半径与正方体的对角线的关系，通过基本不等式，从而得出面积的最小值．解答：解：∵AO1=R1，C1O2=R2，O1O2=R1+R2，∴（+1）（R1+R2）=，R1+R2=，球O1和O2的表面积之和为4π（R12+R22）≥4π•2（）2=2π（R1+R2）2=3（2﹣）π．故选：A．点评：本题是中档题，考查球与正方体相切关系的应用，考查基本不等式求解最值问题，考查计算能力，空间想象能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）6个儿童分坐两行，每行3人面对着做游戏，其中甲、乙二人既不对面，又不相邻的坐法有384种．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：甲坐两端，或甲在中间两个位上找一个位子坐下，根据分类计数原理可得答案．解答：解：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：（1）甲坐两端，可从四个位中选一个坐下，有种，由于乙不与甲坐对面和相邻，在其他3个位中选一个坐下有种，其余4人有种，此类有种方法．（2）甲在中间两个位上找一个位子坐下，有种，乙应在其他两个位上找一个位子坐下有种，其余4人有种坐法．此类坐法有种．所以满足条件的坐法共有=384（种）．故答案为：384．点评：本题考查了分类和分步计数原理，特殊元素优先安排原则，属于中档题．14．（5分）△ABC外接圆的圆心为O，且，则cos∠BAC=．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意，设BC中点M，得到，结合已知，得到∠BOM=∠BAC．解答：解：设BC边中点为M，则，由题设，∴A、O、M共线，且AO=4OM，而∠BOM=2∠BAM，∴∠BOM=∠BAC，即cos∠BAC=．故答案为：．点评：本题考查了向量共线性质的运用；关键是明确A，O与BC中点三点共线，得到∠BOM=∠BAC．15．（5分）如果双曲线x2﹣y2=a2经过圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=5的直径AB的两个端点，则正实数a的值等于2．考点：双曲线的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设点，代入作差，可得AB的方程为y=3x﹣8，与圆方程联立，利用a2=（x+y）（x ﹣y）=（4x﹣8）（8﹣2x）=8﹣8（x﹣3）2，即可求出正实数a的值．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线方程作差得（x1+x2）（x1﹣x2）=（y1+y2）（y1﹣y2），∵x1+x2=6，y1+y2=2，=3，∴AB的方程为y=3x﹣8，与圆方程联立得10（x﹣3）2=5，∴（x﹣3）2=，∴a2=（x+y）（x﹣y）=（4x﹣8）（8﹣2x）=8﹣8（x﹣3）2=4．∴a=2．故答案为：2．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（5分）关于x的不等式有唯一整数解x=1，则的取值范围是（，1）．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式进行等价转化，利用根与系数之间的关系建立不等式组，利用线性规划的知识进行求解即可．解答：解：∵⇔x2+ax+2b＜0，∴依题意方程x2+ax+2b=0只有唯一的整数解x=1，∴方程x2+ax+2b=0一根在内，即函数f（x）=x2+ax+2b的图象与x轴在内各有一个交点．∴，作出可行域，如图所示：∵为可行域内的点（a，b）与定点P（1，2）的连线的斜率，由图可知，k PA＜＜k PB，其中点A（﹣3，1），B（﹣1，0），∴k PA=，k PB=1，故的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据不等式的性质结合一元二次函数根与系数之间的关系进行转化是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，a=1，求边AC上的中线BD的长．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用正弦定理，条件化为2sinAcosB+sinA=0，即可求角B的大小；（Ⅱ）利用三角形的面积公式，求出c，利用余弦定理求出b，进而可求边AC上的中线BD 的长．解答：解：（Ⅰ）由，可得2sinAcosB+sin（B+C）=0，…（2分）即2sinAcosB+sinA=0，…（4分）而sinA≠0，所以cosB=﹣，B=．…（6分）（Ⅱ）解：因S=acsinB，又S=，a=1，sinB=，则c=4．…（8分）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得b=，…（10分）由cosC=，得，解得BD=．…（12分）点评：本题考查正弦定理、余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=CA=AA1=2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且AF=AB．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角E﹣BC1﹣D的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）利用直线和平面平行的判定定理，只需要证明EF∥BD，即可证明EF∥平面BDC1；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的大小．解答：解：（Ⅰ）证明：取AB的中点M，∵AF=AB．∴F为AM的中点，又∵E为AA1的中点，∴EF∥A1M，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为A1B1、AA1的中点，∴A1D∥BM，且A1D=BM，则四边形A1DBM为平行四边形，∴A1M∥BD，∴EF∥BD，又∵BD⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D，∴EF∥平面BC1D．（Ⅱ）连接DM，分别以MB，MC，MD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则B（1，0，0），E（﹣1，0，1），D（0，0，2），C1（0，），∴=（﹣1，0，2），=（﹣2，0，1），=（﹣1，）．设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为，则由，得，取，又由，得，取，则，故二面角E﹣BC1﹣D的余弦值为．点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及求二面角的大小，要求熟练掌握相应的判定定理．建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．19．（12分）已知袋内有标有1～6数字的小球6个，球除标号不同外完全相同，甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏，由丙做裁判，游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球，记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a，b，c，然后将所得的数代入函数f（x）=ax2+bx+c，若所得到的函数无零点，则甲输一个枣给乙，若所得到的函数有零点，则乙输四个枣给甲．（Ⅰ）记函数的零点的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据两人得枣的数学期望，该游戏公平吗？若不公平，谁吃亏？考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）利用判别式得出当△=0时，P（ξ=1）=．当△≥0时，P（ξ=2）=．P（ξ=0）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）=．求解概率分布问题．（II）利用分布列得出甲得枣的数学期望，乙得枣的数学期望，判断即可．解答：（Ⅰ）解：ξ的可能取值为0，1，2．f（x）=ax2+bx+c的判别式△=b2﹣4ac，当△=0时，b为偶数，b=2时，a=1，c=1；b=4时，a=1，c=4或a=2，c=2或a=4，c=1；b=6时，a=3，c=3，∴P（ξ=1）=．有b≥3，b=3时，ac≤2，有3种；b=4时，ac≤4，有9种；b=5时，ac≤6，有14种；b=6时，ac≤9，有17种，共计43种．∴ξ=1的情形有43﹣5=38种，∴P（ξ=2）=．P（ξ=0）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）=．∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P数学期望Eξ=．（Ⅱ）甲得枣的数学期望是，乙得枣的数学期望是．∴该游戏不公平，甲吃亏．点评：本题考查古典概型概率的求法，古典概型在实际问题中应用，结合函数的性质判断概率的求解类别，方法，公平与否要看概率是否相等，属于中档题20．（12分）如图，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率e=，左焦点为F，A，B，C为其三个顶点，直线CF与A B交于点D，若△ADC的面积为15．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在分别以AD，AC为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由椭圆的性质离心率和焦点顶点等求得椭圆方程．（Ⅱ）当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有A，M，N在一条直线上，且AM=AN．则M、N关于点A对称，设M（x1，y1），则N（﹣x1，8﹣y1），点M在线段AD的垂直平分线y﹣=﹣（x+）上，可求得x1=﹣，继而求得坐标．解答：（Ⅰ）解：设左焦点F的坐标为（﹣c，0），其中c=，∵e=，∴a=c，b=c…（1分）∴A（0，c），B（﹣c，0），C（0，﹣c），…（2分）∴AB：，CF：，…（3分）联立解得D点的坐标为（﹣c，c）…（4分）∵△ADC的面积为15，∴|x D|•|AC|=15，即•c•2•c=15，解得c=3，∴a=5，b=4，∴椭圆C的方程为…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（﹣，1）…（7分）假设存在这样的两个圆M与圆N，其中AD是圆M的弦，AC是圆N的弦，则点M在线段AD的垂直平分线上，点N在线段AC的垂直平分线y=0上…（8分）当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有A，M，N在一条直线上，且AM=AN．∴M、N关于点A对称，设M（x1，y1），则N（﹣x1，8﹣y1），…（9分）根据点N在直线y=0上，∴y1=8．∴M（x1，8），N（﹣x1，0），而点M在线段AD的垂直平分线y﹣=﹣（x+）上，可求得x1=﹣…（10分）故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为M（﹣，8），N（，0）…（12分）点评：本题主要考查利用椭圆的性质求得椭圆方程和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题型，在2015届高考中经常考到．21．（12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实数）．（Ⅰ）求函数f（x）在区间上的最小值及相应的x值；（Ⅱ）若存在x∈，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值；（Ⅱ）若存在x∈，f（x）≤（a+2）x成立，即a（x﹣lnx）≥x2﹣2x，构造函数g（x）=（x∈），可将问题转化为一个函数成立问题，由此求出函数的最小值，即可得到结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）=alnx+x2的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x=，当x∈时，2x2∈，若a≥﹣2，f′（x）在上非负（仅当a=﹣2，x=﹣1时，f′（x）=0），故f（x）在上单调递增，此时f（x）min=f（1）=1；若﹣2e2＜a＜﹣2，令f′（x）＜0，解得1≤x＜，此时f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得＜x≤e，此时f（x）单调递增，∴f（x）min=f（）=；若a≤﹣2e2，f′（x）在上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f′（x）=0），故f（x）在上单调递减，此时f（x）min=f（e）=a+e2，综上所述，得a≥﹣2时，f（x）min=1，相应的x=1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）min=，相应的x=；当a≤﹣2e2时，f（x）min=a+e2，相应的x=e；（Ⅱ）解：不等式f（x）≤（a+2）x可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈，∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而a≥，x∈，令g（x）=（x∈），则g′（x）=，当x∈时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），∴g（x）在上是增函数，故g（x）min=g（1）=﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查不等式存在性问题的解法，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）设AB为圆O的直径，AB=10．E为线段AO上一点，OE=AB．过E作一直线交圆O于C，D两点，使得∠CEA=45°．试求CE2+ED2的值．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用垂径定理，求出CD，再利用相交弦定理，即可求CE2+ED2的值．解答：解：∵AB=10，OE=AB．作OH⊥CD于H，则OH=OE，CD=2==AB…（5分）由相交弦定理知CE•ED=AE•EB=（AB﹣AB）（AB+AB）=AB2．∴CE2+ED2=（CE+ED）2﹣2CE•ED=AB2﹣AB2=AB2=50…（10分）点评：本题考查垂径定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．【选修4-4：坐标系与参数方程．】（共1小题，满分0分）23．设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由ρ=得ρsin2θ=6cosθ，ρ2sin2θ=6ρcosθ，可得直角坐标方程，可指出曲线是抛物线；（Ⅱ）利用参数的几何意义，即可求|AB|．解答：解：（Ⅰ）由ρ=得ρsin2θ=6cosθ，ρ2sin2θ=6ρcosθ，∴y2=6x．∴曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线…（5分）（Ⅱ）将化为，代入y2=6x得t2﹣4t﹣12=0（*），由（*）式解得t1=6，t2=﹣2，|AB|=|t1﹣t2|=8．…（10分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用参数的几何意义解决问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．若实数a，b满足ab＞0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．考点：二分法求方程的近似解．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）先求出a＞0，b＞0，根据基本不等式求出m的最大值即可；（Ⅱ）问题转化为2|x﹣1|+|x|≤3，解出即可．解答：解：（Ⅰ）由题设可得b=＞0，∴a＞0，∴a+b=a+=≥3，当a=2，b=1时，a+b取得最小值3，∴m的最大值为3；（Ⅱ）要使2|x﹣1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，须且只须2|x﹣1|+|x|≤3，①x≥1时，2x﹣2+x≤3，解得：1≤x≤，②0≤x＜1时，2﹣2x+x≤3，解得：0≤x＜1，③x＜0时，2﹣2x﹣x≤3，解得：x≥﹣，∴实数x的取值范围是﹣≤x≤．点评：本题考察了基本不等式的性质问题，考察解不等式问题，求出a+b的最小值是解题的关键，本题是一道中档题．。