24.1.4圆周角(三)

已知圆内接△ABC中,AB=AC,圆心O到BC距离为3cm,
2 35 2 14 圆半径为7cm,则腰长AB=_______ ,__________。
A O B H C B A H O C
例1.一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已 知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个 人工湖的直径.
P C D O B
A
中考连接 2.（08山东泰安）如图，在⊙O中，∠AOB 的度数为m,C是∠ACB上一点，D,E是AB 弧上不同的两点（不与A,B两点重合），则 ∠D+∠E的度数为（ B ） m m m 90 180 • A．m B． 2 C． 2 D． 2


C O
A
D E
B
中考连接
3.如图AB是⊙O的直径，M是劣弧AC的中点， 弦AC与BM相交于点D，∠ABC=2∠A，求 证：AD=2DC。
A
M D C O
分类讨论：（注意）
已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是
2
、
3
750 150 则∠BAC的度数是______________。
C
M O N B A
C B
M N O A
1 2
AB,
A
D
B
求证：△ABC是直角三角形。
CD是AB边上的中线 ∵AD=BD 右∵AD=CD ∴∠A=∠ACD ∵BD=DC ∴∠DCB=∠B ∵∠A+∠ACD+∠DCB+∠B=180° 2∠ACD+2∠DAC=180° ∴∠BAD+∠DCB=90° ∴∠ACB=900 即三角形是直角三角形
例4.如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于 点E,G是⌒上任意一点,延长AG,与DC的 AC 延长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出 图中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.
例3. 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是 否会遇到暗礁。如图A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A， B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点， ∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于 “危险角”时，就有可能触礁。 弓形所含的圆周角∠C=50°, 问船在航行时怎样才能保证 不进入暗礁区?
F A
M E B D O C
3. 已知：如图7-82，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
⌒
M为AC上一点，AM的延长线交DC的延长线于F，
求证：∠AMD= ∠FMC
提示：连结BC或连结AD均可。
中考连接
1.（08青海西宁）10．如图， ⊙O中，弦DC,AB 的 延长线相交于点P，如果∠AOD=1200， ∠BDC=250，那么∠P= 350 ．
F G C
O A
E
B
D
1.如图7－59，AB是⊙O的直径，AB=2cm，பைடு நூலகம்点C在圆周上，且∠BAC=30°，∠ABD=120°， CD⊥BD于D．求BD的长．
2.
已知BC为半圆O的直径，AB=AF，AC交BF 于点M，过A点作AD⊥BC于点D，交BF于E，则AE 与BE的大小有什么关系？为什么？
C
A
B
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥 AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工 湖的直径. C
D
A
B
例2.如图，在足球比赛中，甲、乙两名队员
互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B点，此时自己直接射门好， 还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？
解： 考虑过M、N以及A、B中的 任一点作一圆，这里不妨作出 ⊙BMN，显然，A点在⊙BMN外， 设MA交圆于C，则 ∠MAN＜∠MCN，而 ∠MCN=∠MBN， 所以∠MAN＜∠MBN． 因此，甲应将球回传给乙， 让乙射门.
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时， 船位于哪个区域？为什么？ （2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时， 船位于哪个区域？为什么？
解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C时， 船位于暗礁区域内(即⊙O内)，理由是： 连结BE，假设船在(⊙O上，则有∠α=∠C， 这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上； 假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C， 这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此． 船只能位于⊙O内． (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” ∠C时， 船位于暗礁区域外(即⊙O外)． 理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C， 这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上； 假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C． 这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内， 因此，船只能位于⊙O外．
又 ACB AOB
∴ ∠AOB＝2∠ACB＝2×83°＝166°.
2
2009.11.6
如图，P是△ABC的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等边三角形 A 证明：∵∠ABC和∠APC P 都是⌒所对的圆周角。 AC · ∴∠ABC=∠APC=60° O C (同弧所对的圆周角相等） B 同理，∵∠BAC和∠CPB都是⌒所对的圆周角， BC ∴∠BAC=∠CPB=60°。
B O A
E
C
D
F
7.已知：△ABC的三个顶点在⊙O 上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,求 ∠AOB．
解：有题意知：∠A、∠B、∠C是圆周角， C ∠AOB是圆心角． 又∵∠BAC=50°，∠ABC=47° ∴∠ACB=180°-(∠A＋∠B) O =180°-(50°＋47°) =83°． A B 1
1400 求∠BOC的度数是______
2. 如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠BOC=84°，
210 求∠A的度数等于_______
⌒
⌒
1300 3.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=______。
O A C B
4. AC,BD相交于⊙O内一点，且 660 AB=760, DC=560 , ∠APB=_______ A P B D
C
⌒
⌒
⌒
5.如图，∠A=28°,BE=BC=CD,则∠ACE的度数为（ B
A．18° B．24° C．20° D．30°
B E D C A A
）
6.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=6cm， 那么A、B两点到直线CD的距离之和为（ B ） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
∴△ABC等边三角形。
例1
例2.如图OA、OB、OC都是⊙O的半 径，∠AOB=2∠BOC． 求证：∠ACB=∠BAC．
证明: ∠ACB= 1 ∠AOB 2 1 ∠BAC= ∠BOC ==> ∠ACB=2 ∠BAC. 2 ∠AOB=2 ∠BOC
例3.求证：如果一个三角形一边上的中线等于这条 边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 C 已知：△ABC中，CD是 AB边上的中线，CD=
1、顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆 周角.
2、在同圆或等圆中,同弧或等弧所 对的圆周角相等,都等于这条弧所对 的圆心角的一半.
推论：半圆或直径所对的圆周角都相等,都 等于 90°; 90°的圆周角所对的弦是圆的直径. 3、圆的内接四边形对角互补。
1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使
AD=AB，如果∠ADB=35° ，