圆周角定理基础训练卷30题

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圆周角定理练习题

圆周角定理练习题在数学中，圆周角定理是一个非常重要的定理，它关于圆周角和圆心角的关系进行了阐述。

理解和掌握这个定理对于解决与圆相关的问题非常有帮助。

那么，现在我们来进行一些圆周角定理的练习题，以便加深对该定理的理解和运用能力。

练习题一：已知半径为r的圆上的弧AB所对的圆周角为θ，求弧AB的长度。

解答：根据圆周角定理可知，圆周角θ所对的弧的长度等于半径r乘以圆周角的弧度。

即弧AB的长度为rθ。

练习题二：已知弧CD的长度为s，求弧CD所对的圆周角。

解答：根据圆周角定理可知，弧CD所对的圆周角的弧度等于弧长s除以半径r。

即圆周角θ等于s/r。

练习题三：已知圆O的半径为r，圆弧AB所对的圆周角为θ，求圆O的周长。

解答：根据圆周角定理可知，圆周角θ所对的弧AB的长度为rθ。

因为圆O的周长等于圆周率π乘以直径d，而直径d等于半径r的两倍，所以圆O的周长为2πr。

练习题四：已知半径为r的圆上的弧AB的长度为s，求弧AB所对的圆周角。

解答：根据圆周角定理可知，弧AB所对的圆周角的弧度等于弧长s除以半径r。

即圆周角θ等于s/r。

练习题五：已知圆O的半径为r，圆上的弧AB所对的圆周角为θ，求弧AB所对的圆心角。

解答：根据圆周角定理可知，圆周角θ所对的圆心角的度数为360°乘以θ/2π。

通过以上练习题，我们可以更好地理解和应用圆周角定理。

掌握这个定理对于解决与圆有关的各种问题非常重要。

希望通过练习能够加深你对圆周角定理的理解，并培养你的数学思维和解题能力。

圆周角定理及圆的内接四边形-练习题含答案解析

【答案】证明：为的直径，，，，，，；
解：，，，，
在中，，，，
在中，，，．
【解析】由AB为直径，，易得，然后由垂径定理证得，，继而证得结论；由，，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得，然后由圆周角定理，证得，则可求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【解答】
解：是的直径，，，，．
故答案为．
9. 如图，已知圆周角，则圆心角 ______．
【答案】
【解析】解：，．
故答案为．
根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
10. 如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，，则的度数为______．
解得：，，，
故选：C．
设的度数，的度数，由题意可得，求出即可解决问题．
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
4. 如图，已知AC是的直径，点B在圆周上不与A、C重合，点D在AC的延长线上，连接BD交于点E，若，则
A. B. C. D.
【答案】D
又AD平分，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，正确．，，，，故错误．，，
又，
故错误．
故答案为：．
先利用等腰三角形的性质求出、的度数，即可求的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出、．
本题利用了：等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形内角和定理．
7. 如图，AB为直径，点C、D在上，已知，，则 ______度

圆周角定理专题练习

圆周角定理专题练习1.在圆周角定理中，已知∠CBO=45°，∠CAO=15°，求∠AOB的度数。

答案：B.60°。

2.在平面直角坐标系中，已知⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，），C（，6），求⊙A的半径。

答案：C.5.3.在圆周角定理中，已知点A,B,C在⊙O上，且∠A=50°，求∠BOC的度数。

答案：A.130°。

4.已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，求∠BCD的度数。

答案：A.116°。

5.已知圆心角∠BOC=78°，求圆周角∠BAC的度数。

答案：A.156°。

6.在圆周角定理中，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，求∠XXX的度数。

答案：D.20°。

7.在圆周角定理中，已知AB是半圆的直径，点D是AC 的中点，∠ABC=50°，求∠DAB的度数。

答案：XXX°。

8.在圆周角定理中，已知A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，求∠XXX的度数。

答案：D.40°。

9.已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD，求⊙O的半径。

答案：B.5.10.在圆周角定理中，已知DC是⊙O直径，XXX⊥CD于F，连接BC，DB，判断下列结论错误的是：答案：B.AF=XXX。

11.在圆周角定理中，已知点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，求AE的长。

答案：B.5.12.在圆周角定理中，已知点A、B、C在⊙O上，且∠C=30°，求∠AOB的度数。

答案：XXX°。

13.在圆周角定理中，已知⊙O中∠BAC=∠CDA=20°，求∠ABO的度数。

答案：B.70°。

圆周角定理练习题

圆周角定理练习题一、选择题1. 圆周角定理指出，圆周角的度数是它所对弧的中心角的度数的多少？A. 1/2B. 1/3C. 2倍D. 3倍2. 在圆中，如果一个圆周角的度数是30°，那么它所对的弧的中心角的度数是多少？A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°3. 已知圆的半径为5，圆周角为40°，求该圆周角所对的弦长。

A. 4B. 5C. 8D. 10二、填空题4. 若圆周角α的度数为60°，则它所对的弧的中心角的度数为______。

5. 在圆中，如果圆周角的度数是中心角度数的一半，那么该圆周角所对的弧长是半径的______倍。

6. 已知圆的半径为r，圆周角为θ，根据圆周角定理，该圆周角所对的弦长为______。

三、判断题7. 圆周角定理只适用于圆的内部角。

（对/错）8. 如果一个圆周角的度数是90°，那么它所对的弧的中心角的度数是180°。

（对/错）9. 圆周角定理同样适用于圆的外部角。

（对/错）四、简答题10. 解释圆周角定理的含义，并给出一个实际应用的例子。

11. 如何利用圆周角定理计算圆内接四边形的对角线长度？五、计算题12. 在半径为10的圆中，有一个圆周角为60°，求该圆周角所对的弧长。

13. 已知圆的半径为8，圆周角为120°，求该圆周角所对的弦长。

14. 一个圆周角的度数是45°，求它所对的弧的中心角的度数，并计算该圆周角所对的弦长，如果圆的半径为15。

六、证明题15. 证明：如果两个圆周角所对的弧相等，那么这两个圆周角的度数也相等。

16. 证明：在同一个圆中，相等的圆周角所对的弧长也相等。

七、应用题17. 在一个半径为7的圆中，有一个圆周角为80°，求该圆周角所对的弦长，并计算该弦所对的圆心角的度数。

18. 如果在一个圆中，有一个圆周角的度数是圆心角度数的1/3，求这个圆周角的度数，如果圆心角的度数是120°。

圆周角的专项练习30题(有答案)ok

圆周角定理专项练习30题（有答案）1．如图AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC=8cm，AB=10cm，OD⊥BC于点D，求BD的长．2．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．3．已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且BE=AD，求证：△CDE为等腰直角三角形．4．如图，AB是圆O的直径，AD=DC，∠CAB=30°，AC=2．求AD的长．5．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，求CD的长．6．如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．7．如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于K，求证：（1）△AEB∽△KEA；（2）AE2=EB•EK．8．如图，BC是⊙O的直径，P为⊙O上一点，点A是的中点，AD⊥BC，垂足为D，PB分别与AD、AC相交于点E、F．（1）若∠BAD=36°，求∠ACB，∠ABP；（2）如果AE=3，求BE．9．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，弦AD交BC于点E，AE=4，ED=5，（1）求证：AD平分∠BDC；（2）求AC的长；（3）若∠BCD的平分线CI与AD相交于点I，求证：AI=AC．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AB=6，AC=5，求tanA的值．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠CEB=100°．求∠ADC的度数．12．已知如图，在⊙O中，弦BC平行于半径OA，AC交BO于M，∠C=25°．求∠AMB的度数．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．14．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，且AB=5cm，求DE的长．15．已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D是BC中点，作半径是的圆经过点A和D且交AB于F，交AC于E．求∠ADF的正弦值．16．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，AB=，∠B=60°，∠C=75°，求∠BOD的度数．17．如图：在⊙O中，AB是直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，AD=5cm．求：BD与⊙O半径的长．18．如图，AB是⊙O的直径，P是弦AC延长线上的一点，且AC=PC，直线PB交⊙O于点D，若∠BDC=30°，求∠P的度数．19．如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=cm，以AB为直径的⊙O交BC于点D，求CD的长？20．如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．（1）求证：AC•AB=AD•AE；（2）若AB=6，AC=5，AD=3，求⊙O的面积．21．如图，⊙0为四边形ABCD的外接圆，AC为⊙0的直径，CD∥AB，点E、F分别在BC和AD上，且EF经过圆心0．求证：OE=OF．22．如图，等腰三角形ABC中，以腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：BD=DE；（2）若⊙O的半径为3，BC=4，求CE的长．23．如图，已知⊙0的半径为5，AB是⊙0的直径，点C、D都在⊙0上，若∠D=30°，求AC的长．24．如下图，已知△ABC内接于⊙O，若∠C=45°，AB=4，求⊙O的面积．25．如图，⊙O的直径AB为4cm，弦AC为3cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求：①BC的长；②AD与BD的长．26．如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AC=8，AC：CD=2：1，试求⊙O的半径．27．如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD的长．28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=50°，∠ADC=45°，求∠CDB及∠CEB的度数．29．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=54°，求∠DEB的度数；（2）若DC=2，AB=8，求⊙O的直径．30．如图，已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC，且AD⊥BC于点D，连接OA．求证：∠OAE=∠EAD．参考答案：1．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，即BD=BC；Rt△ABC中，AB=10cm，AC=8cm；由勾股定理，得：BC==6cm；故BD=BC=3cm2．（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，∴∠C=65°﹣40°=25°，∴∠B=∠C=25°；（2）作OE⊥BD于E，则DE=BE，又∵AO=BO，∴，圆心O到BD的距离为3．3．连接AC、BC，由圆周角定理得∠CBE=∠CAD，∵CO⊥AB，∴点C是弧ABC的中点，∴AC=BC，又∵BE=AD∴△ACD≌△BCE，∴CD=CE．∠ADC=∠BEC，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠BEC=∠DCE+∠CDB，∠ADC=∠ADB+∠CDB，∴∠DCE=∠ADB=90°，即△DCE是等腰直角三角形．4．连接OD；∵D 是的中点，∴OD垂直平分AC；∴∠AOD=90°﹣∠CAB=60°；又∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形；∴OA=AD；Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=2；∴AB==4，OA=2；即：AD=OA=2．故AD的长为2．5．连接AC，∵AD=BD，∴=．∵∠C=∠BAD，又∵∠ADP=∠CDA，∴△ADP∽△CDA．∴=，即AD2=CD•DP．∵AD=4，PC=6，设CD=x，则42=x（x﹣6），解得：x1=8，x2=﹣2（不合题意，舍去）∴CD=8．6．1）解：∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴；∵DB=8，∴MB=4（1分）设⊙O的半径为r，∵CM=2，∴OM=r﹣2，在Rt△OMB中，根据勾股定理得（r﹣2）2+42=r2，解得r=5；（2）证明：方法一：连接AC、CB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴∠ACF+∠FCB=90°．又∵CF⊥AB，∴∠CAF+∠ACF=90°∴∠FCB=∠CAF∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴C 是的中点，∴∠CAF=∠CBD．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE；方法二：如图，连接BC，补全⊙O，延长CF交⊙O于点G；又∵CF⊥AB，AB为直径，∴=．∴OC为⊙O的半径，OC⊥BD．∴C 是的中点，∴=．∴=．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE．7．（1）连接AK、AF，∴∠K=∠F=90°﹣∠AEF=90°﹣∠AEG．∠EAG=90°﹣∠AEG．∴∠K=∠EAG∠KEA=∠AEB．∴△AEB∽△KEA．（2）由①得△AEB∽△KEA，∴．∴AE2=EB•EK．8．（1）因为BC是⊙O的直径所以∠CAB=90°所以∠ABD+∠ACB=90°因为AD⊥BC所以∠ABD+∠BAD=90°所以∠ACB=∠BAD=36°因为A 是的中点，则所以∠ABP=∠ACB=36°．（2）因为∠ABP=∠ACB，∠BAD=∠ACB所以∠ABP=∠BAD因为AE=3所以BE=3．9．（1）∵AB=AC，∴；∴AD平分∠BDC；解：（2）∵∠ACB=∠ADB，∠CDA=∠ADB，∴∠CDA=∠ACB；∵∠CAE=∠DAC，∴△ACE∽△ADC；∴，即；∴AC=6；证明：（3）∠AIC=∠ADC+∠DCI，∠ACI=∠BCI+∠ACB；∴∠AIC=∠ACI；∴AI=AC．10．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=5，∴BC===．∴tanA==．11．连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ACD=60°，∴∠BCE=30°，∵∠CEB=100°，∴∠B=50°，∴∠ADC=∠B=50°．12．∵BC∥OA，∠C=25°，∴∠A=∠C=25°，在⊙O中，∵∠O=2∠C，∴∠O=50°，又∵∠AMB=∠A+∠O，∴∠AMB=75°13．在⊙O中，∵∠A=45°，∠D=45°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=BD•sin45°，∵BD=2，∴14．连接AE，BD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠ADE=∠CAD，∴∠ADE=∠BAD，∴AE=BD，∴AB=DE，∵AB=5cm，∴DE=5cm15．连接EF，ED（1分）在△ABC中∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=，∠DAF=∠DCE=45°，∠ADC=90°，∴∠ADE+∠EDC=90°，在⊙O中，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，（3分）∴∠FDE=90°，∴∠FDA+∠ADE=90°，∴∠EDC=∠FDA，∴△EDC≌△FDA，∴AF=CE，（4分）设AF=x，则CE=x，AE=AC﹣CE=﹣x，∵⊙O 的半径是，∴EF=，在Rt△AEF 中，，解得，∠ADF=∠AEF，（5分）∴当x=1时，sin∠ADF=sin∠AEF==，当x=时，sin∠ADF=sin∠AEF==，∴∠ADF 的正弦值为或．16．在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=45°．∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，∴∠DOB=2∠A=90°．故答案为：90°17．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AD=5cm，∴BD=5cm；在Rt△ABD中，2AD2=AB2，∴AB=5cm，∴圆的半径为cm．18．连接BC，∵AB是直径，∴BC⊥AC，（2分）∵AC=CP，∴AB=BP，（3分）∴∠P=∠A，（4分）∵∠A=∠D=30°，（5分）∴∠P=30°．19．连接AD．（1分）∵AB是⊙O的直径．∴∠ADB=90°．（3分）在Rt△ADB中，AD=AB•sinB=2sin45°=2×=2（6分）在Rt△ADC中，CD=，即CD 的长为m．20．（1）证明：连接BE，∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，∴∠ADC=∠ABE=90°，∵∠C=∠E，∴△ADC∽△ABE．∴AC：AE=AD：AB，∴AC•AB=AD•AE；（2）解：∵AB=6，AC=5，AD=3，∴AE===10，∴OA=5，∴⊙O的面积为：π×52=25π21．∵AC为⊙0的直径，∴∠B=∠D=90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠BCD=90°，∴∠BCD+∠D=90°，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AFO≌△CEO（ASA），∴OE=OF22．（1）证明：连接AD，∵AB为圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D为BC的中点，即BD=CD，∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC，∴BD=DE；（2）解：∵∠DEC=∠B，∠C=∠C，∴△DEC∽△ABC，∴=，即=，则EC=．23．连接BC．∵AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°，在直角△ABC中，∠A=∠D=30°，AB=2×5=10．∴AC=AB•cosA=10×=5．24．连接OA，OB；则OA=OB，∠AOB=2∠C；（2分）∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2；（4分）又∵AB=4，∴2OA2=42，OA2=8；（6分）∴S⊙O=π•OA2=8π．25．①∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AB=4，AC=3，∴BC===；②∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∵∠ABD=∠ACD，∠BCD=∠BAD，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴AD=DB，∵AD2+BD2=AB2，∴AD=DB=2，26．（1）证明：∵OC∥AB，∴∠OCA=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；（2）解∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵AC=8，AC：CD=2：1，∴CD=4，在Rt△ACD中，AD==4，∴OA=AD=2，∴⊙O的半径为2．27．△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AC2=AB2+BC2，∴∠B=90°，∴AC为直径，∴∠D=90°，Rt△ADC中，AD====2．∴AD的长为2．28．连接BC，则∠ACB=90°（圆周角定理），∵∠CBA=∠ADC=45°，∴∠CAB=90°﹣∠CBA=45°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠CEB=∠CAB+∠ACD=45°+50°=95°（外角定理）．∠CDB=∠CAB=45°．综上可得：∠CDB=45°，∠CEB=95°29．（1）∵OD⊥AB∴弧AD=弧BD∴∠DEB=∠AOD=×54°=27°…3分（2）∵OD⊥AB∴AC=AB=×8=4设⊙O的半径为R，则OC=R﹣2在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2=R2解得：R=5∴⊙O的直径为1030．连接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴=，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE，∴∠OAE=∠EAD．11。

圆周角定理经典训练卷(含答案)

圆周角定理经典训练卷一．选择题1．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（）（1）（2）（3）A．28°B．31°C．38°D．62°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°3．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°4．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（）（4）（5）（6）（7）A．30°B．40°C．50°D．60°5．如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的大小是（）A．50°B．55°C．60°D．65°6．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）A．2B．4C．D．27．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠ACB=20°，则∠OAB的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°8．如图，在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为（）A．25°B．50°C．65°D．80°（8）（9）（10）9.如图，⊙O中，劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°，点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（）A．60°B．120°C．135°D．150°10．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°11．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45°B．40°C．25°D．20°12．已知△ABC中，AB=AC，∠A=50°，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则∠ADB的度数是（）A．50°B．65°C．65°或50°D．115°或65°13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（）（13）（14）（15）A．75°B．60°C．45°D．30°14．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°15．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（）A．23°B．57°C．67°D．77°17．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）（16）A．37°B．47°C．45°D．53°（17）（18）（19）18．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=65°，则∠BCD的度数为（）A．25°B．45°C．55°D．75°19．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°20.在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°二．填空题21．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=．（21）（22）（23）22．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=．23．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．24．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是°．25．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠B=20°，则∠ADC的度数为．26．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为．27．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为．（25）（26）（27）28．如图，在⊙O中，AB为直径，C、D为⊙O上两点，若∠C=25°，则∠ABD=．29．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，若AD=6，那么AC=．（28）（29）（30）30．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于D，若AC：BC=4：3，AB=10cm，则OD的长为cm．三．解答题31．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．32、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．33.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．34．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．35．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；．36．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC 于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．37．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．8．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析AC、AF、AB的关系，并说明理由．39.如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，（1）判断△DBC的形状，并说明理由．（2）若∠BAC=60°，判断AD、AB、AC有怎样的关系？并说明理由．40．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？一．选择题（共20小题）1．D；2．C；3．A；4．C；5．A；6．D；7．A；8．B；9．C；10．A；11．D；12．C；13．C；14．B；15．B；16．A；17．C；18．D；19．A；20．D；二．填空题（共10小题）21．；22．80°；23．70°；24．60°；25．5；26．40°；27．60；28．65°；29．；30．4；三解答题28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．∴AB===10（cm）．∵AC=6cm，BC=8cm，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD，则=，∴AD=BD，∴BD=AB=5cm．综上所述，AB和BD的长分别是10cm，5cm．29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连结BD，如图，∵CD为直径，∴∠CBD=90°，∵∠D=∠A=30°，∴CD=2BC=2×3=6，∴⊙O的半径为3cm．30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．【解答】（1）证明：∵点C是弧AF的中点，∴∠B=∠CAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠CAE=∠ACE，∴AE=CE …（6分）（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CGA=90°，又∵∠ACE+∠BCD=90°，∴∠CGA=∠BCD，∵AG=10，∴CE=EG=AE=5，∵ED：AD=3：4，∴AD=4，DE=3，∴AC=…（10分）．31．（2015秋•扬中市期中）如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．【解答】证明：（1）连接BD，DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴BD=CD，∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，在Rt△DEB和Rt△DMC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），∴BE=CM．（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEA=90°，在Rt△DEA和Rt△DMA中∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），∴AE=AM，∴AB﹣AC，=AE+BE﹣AC，=AM+BE﹣AC，=AC+CM+BE﹣AC，=BE+CM，=2BE．34．（2009秋•哈尔滨校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．【解答】解：连接AE，∵CE为直径，∴∠EAC=90°，∴∠ACE=90°﹣∠AEC，∵CD是高，D是垂足，∴∠BCD=90°﹣∠B，∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等），∴∠ACE=∠BCD，∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，∴∠ACD=∠BCE．39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．【解答】解：延长CE交⊙O于M，∵AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，∴弧AC=弧AM，∴∠ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．【解答】解：△DBC为等腰三角形．理由如下：∵AD为△ABC的外角平分线，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DCB，∴△DBC为等腰三角形．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠FGC与∠AGD相等．理由如下：连接AD，如图，∵CD⊥AB，∴=，∴∠AGD=∠ADC，∵∠FGC=∠ADC，∴∠FGC=∠AGD11。

中考数学复习《圆周角定理的应用》专题训练题含答案

圆周角定理综合训练一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．163．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．165．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是度．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=度．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是C D的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长【解答】解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE．则∠C=∠E，由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，所以△ABE和△BCD都是直角三角形，所以∠CBD=∠EAB．又△OAM是直角三角形，∵AO=1，∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．故选：A．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．16【解答】解：连接BC，则∠B=∠F，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACG=∠F．又∵∠CAF=∠FAC，∴△ACG∽△AFC，∴AC：AF=AG：AC，即AG•AF=AC2=（2）2=8．故选：C．3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．【解答】解法一：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴=；设BE=2x，则DE=5﹣2x，EC=x，AE=2（5﹣2x）；连接BC，则∠ACB=90°；Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，则BC=x；在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10﹣3x，BC=x；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，即：72=（10﹣3x）2+（x）2，整理，得4x2﹣20x+17=0，解得x1=+，x2=﹣；由于x＜，故x=﹣；则DE=5﹣2x=2．解法二：连接OD，OC，AD，∵OD=CD=OC则∠DOC=60°，∠DAC=30°又AB=7，BD=5，∴AD=2，在Rt△ADE中，∠DAC=30°，所以DE=2．故选：A．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；∴直径BE==2，∵直径是圆内接正方形的对角线长，∴圆内接正方形的边长等于∴⊙O的内接正方形的面积为2．故选：A．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对【解答】解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；共有6对相等的角．故选：C．6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，∴两弧所对圆心角相差20°，∴2∠A﹣2∠C=20°，∴∠A﹣∠C=10°…①；∵∠CEB是△AEC的外角，∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．故选：D．7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在【解答】解：如图，分别以AC，BC为边，作等边△APC，等边△BP′C，连接BP，依题意，结合等边三角形的性质可知∠APB=∠AP′B=30°，所以满足条件的点P的个数为2个．故选：B．8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°【解答】解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，∴2（∠A﹣∠D）=20°即∠A﹣∠D=10°∵∠DEC=80°∴∠DEC=∠D+∠A=80°∴∠A=45°，∠D=35°．故选：B．9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠AOB=360°÷5=72°．故选：A．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣【解答】解：连接AD，OD∵∠BAC=90°，AB=AC=2∴△ABC是等腰直角三角形∵AB是圆的直径∴∠ADB=90°∴AD⊥BC∴点D是BC的中点∴OD是△ABC的中位线∴∠DOA=90°∴△ODA，△ADC都是等腰直角三角形∴两个弓形的面积相等=AD2=1．∴阴影部分的面积=S△ADC故选：A．11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确．所以①②③⑤共4个正确．故选C．12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于点N．在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；∴∠DOG=∠DCO；∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；∵MN⊥AB，GH⊥CD；∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．故选：B．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°【解答】解：连接OD，∵AO=OC=OD，DA=DC，∴△ADO≌△CDO．∴∠COD=∠AOD=∠AOC=80°．∴∠ODC=∠OCD=∠ODA=∠OAD=50°．∴∠CDA=100°．∵AD∥BC，∴∠DCB=180°﹣∠CDA=180°﹣100°=80°．∴∠BCO=∠BCD﹣∠OCD=80°﹣50°=30°．故选：B．14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①若△ABD∽△CAD，则一定有AD：BD=CD：AD，即AD2=BD•CD，而两三角形只有一对角对应相等，不会得到另外的对应角相等，故①不正确；②若△BEG∽△AEB，则一定有BE：EG=AE：BE，即BE2=EG•AE，而两三角形只有一对公共角相等，不会得到另外的对应角相等，故②不正确；③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠ACE=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故③正确；∵根据相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故④正确．故选：B．二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是60度．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°；由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=28度．【解答】解：∵∠BOC=56°∴∠A=∠BOC=28°．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=﹣x2+x．【解答】解：根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，∵CD=1，BD=2而AB=BC∴∴∠ADB=∠BDC∵∠ABD=∠ACD∴△ADB∽△PDC∴CD：BD=PD：AD而BD=2CD∴PD=x∴BP=BD﹣PD=2﹣x∴PA•PC=BP•PD=（2﹣x）×x=﹣x2+x．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为2．【解答】解：∵弧AB=弧AC=弧CD，∴∠1=∠2=∠3=∠4；∴△AEC∽△BAC；∴CE：AC=AC：BC；∵AC=AB=3，因此CE•BC=3×3=9；∵BC=BE+CE，∴CE（BE+CE）=9，整理得：CE•BE+CE2=9 ①；由根据相交弦定理得，BE•CE=A E•ED=5 ②；②代入①得：5+CE2=9，解得：CE=2（负值舍去）．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=3．【解答】解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴△ADC∽△BDE，∴．①同理可由△ADB∽△CDE，得．②①×②，得==3．Rt△AEC中，tan∠AEC=．同理得tan∠AEB=．故tan∠AEC•tan∠AEB==3．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC=90°；又∵0C⊥AD，∴∠OFA=90°，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD．又∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED．（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，∴tan∠C=．在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，∴，解得．（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，∴AE=BD，∴AE=BD=DE，∴，∴∠BAD=30°，又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=AB=5，DE=5，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，过点D作DH⊥AB于H，∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，∴四边形AEDB的面积=．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．【解答】（1）解：猜想OG⊥CD．证明：如图，连接OC、OD，∵OC=OD，G是CD的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），在Rt△ACE和Rt△BCF中，∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．∴AE=BF．（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．∴OH=AD，即AD=2OH，又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．在Rt△BDE和Rt△ADB中，∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△ADB，∴，即BD2=AD•DE．∴．又BD=FD，∴BF=2BD，∴①，设AC=x，则BC=x，AB=，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠BAD．在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．∴AF=AB=，BD=FD．∴CF=AF﹣AC=．在Rt△BCF中，由勾股定理，得②，由①、②，得，∴x2=12，解得或（舍去），∴，∴⊙O的半径长为．=π•（）2=6π．∴S⊙O22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．【解答】（1）证明：连接AC，如图∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC（1分）又∵∠BDC=∠BAC在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC（3分）∴CF=BF；（4分）（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点∴∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线．（5分）∴CE=CG，AE=AG（6分）在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）∴BE=DG（7分）∴AE=AB﹣BE=AG=AD+DG即6﹣BE=2+DG∴2BE=4，即BE=2（8分）又∵△BCE∽△BAC∴BC2=BE•AB=12（9分）BC=±2（舍去负值）∴BC=2．（10分）解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分在Rt△ADB与Rt△FEB中，∵∠ABD=∠FBE∴△ADB∽△FEB，则，即，∴BF=3EF（6分）又∵BF=CF，∴CF=3EF利用勾股定理得：（7分）又∵△EBC∽△ECA则，则CE2=AE•BE（8分）∴（CF+EF）2=（6﹣BE）•BE即（3EF+EF）2=（6﹣2EF）•2EF ∴EF=（9分）∴BC=．（10分）23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．【解答】（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，∴ED是△ABF的中位线，∴ED∥BF，∴∠CEB=∠ABF，又∵∠C=∠A，∴△CBE∽△AFB．（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，∴，又AF=2AD，∴．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．∴∠F=∠BCD．在△BCG和△BFC中，，∴△BCG∽△BFC．∴．即BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）∵∠CBD=∠CAD∴∠BAD=∠CBD（3分）∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD∴ID=BD；（5分）（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D∴△ABD∽△BED（7分）∴∴AD×DE=BD2=ID2（8分）∵ID=6，AD=x，DE=y∴xy=36（9分）又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10∴6＜x≤10∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分）说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？【解答】解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．（2分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°∴△PDC为等边三角形；（6分）（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°∴△PDC为等边三角形．（12分）31 / 31。

圆周角定理练习题

圆周角定理练习题一、选择题1. 在圆中，若弦AB的长是8cm，弦CD的长是6cm，且AB与CD 平行，则圆周角ACB的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 在半径为5cm的圆中，若一个圆周角所对的弧长是10π cm，则这个圆周角的度数是（）A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°3. 下列关于圆周角的说法，错误的是（）A. 圆周角等于其所对弧的一半B. 同弧或等弧所对的圆周角相等C. 圆周角定理是圆内接四边形的性质D. 圆周角等于圆心角的一半二、填空题1. 在圆中，若一个圆周角是40°，则它所对的弧是______。

2. 在圆中，若一个圆心角是80°，则它所对的圆周角是______。

3. 在圆中，若两个圆周角相等，那么它们所对的______相等。

三、解答题1. 在圆中，已知弦AB的长是10cm，弦CD的长是8cm，且AB与CD平行。

求圆周角ACB和CDB的度数。

2. 在半径为6cm的圆中，已知一个圆周角是120°，求它所对的弧长。

3. 在圆中，已知一个圆周角是60°，求它所对的圆心角的度数。

4. 证明：在圆中，若两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等。

5. 画出圆，并在圆中作出一个圆周角和一个圆心角，使它们相等。

标出角的大小。

四、判断题1. 在同一个圆中，所有的圆周角都相等。

（）2. 如果一个圆周角是直角，那么它所对的弧一定是半圆。

（）3. 圆周角定理表明，圆周角的度数是圆心角度数的一半。

（）4. 任何圆的直径所对的圆周角都是直角。

（）5. 如果两个圆周角所对的弧相等，那么这两个圆周角一定相等。

（）五、作图题1. 在圆中，作一个圆周角，使其度数为45°，并标出它所对的弧。

2. 在圆中，作一个圆心角，使其度数为135°，并标出它所对的圆周角。

九年级数学圆周角定理(基础)(含答案)

圆周角定理（基础）一、单选题(共11道，每道8分)1.如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB=48°，则∠AOB的度数为( )A.96°B.48°C.42°D.24°答案：A解题思路：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半∵∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB，∠ACB=48°∴∠AOB=2∠ACB=96°试题难度：三颗星知识点：略2.如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是( )A.∠BB.∠CC.∠DEBD.∠D答案：D解题思路：同弧或等弧所对的圆周角相等∵∠A与∠D都是弧BC所对的圆周角∴∠D=∠A试题难度：三颗星知识点：略3.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是( )A.25°B.27.5°C.30°D.35°答案：D解题思路：∵∠A=60°，∠ADC=85°∴∠B=∠ADC-∠A=25°∵∠B与∠AOC对着同一条弧AC∴∠AOC=2∠B=50°∴∠C=∠ADC-∠AOC=35°试题难度：三颗星知识点：略4.如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠AOC=130°，则∠D等于( )A.20°B.25°C.35°D.50°答案：B解题思路：∵AB是⊙O的直径，∠AOC=130°∴∠BOC=180°-∠AOC=50°∵∠D与∠BOC对着同一条弧BC∴∠D=∠BOC=25°试题难度：三颗星知识点：略5.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的度数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为( )A.15°B.28°C.29°D.34°答案：C解题思路：如图，点A，B的度数分别为88°，30°∴∠AOB=88°-30°=58°∵∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB∴∠ACB=∠AOB=29°试题难度：三颗星知识点：略6.如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=( )A.55°B.110°C.120°D.125°答案：D解题思路：如图，设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB∵∠E与∠AOB对着同一条弧AB，∠AOB=110°∴∠E=∠AOB=55°又∠ACB+∠E=180°∴∠ACB=180°-55°=125°试题难度：三颗星知识点：略7.如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC=40°，则∠CAD等于( )A.40°B.50°C.60°D.70°答案：B解题思路：∵∠ADC与∠ABC对着同一条弧AC，∠ABC=40°∴∠ADC=∠ABC=40°∵AD是⊙O的直径∴∠DCA=90°∴∠CAD=90°-∠ADC=50°试题难度：三颗星知识点：略8.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC=30°，则∠BOC 的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°答案：D解题思路：∵∠AOC与∠ADC对着同一条弧AC，∠ADC=30°∴∠AOC=2∠ADC=60°∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C∴弧AC=弧BC∴∠BOC=∠AOC=60°试题难度：三颗星知识点：略9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A=40°，则∠C=( )A.110°B.120°C.135°D.140°答案：D解题思路：∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠A+∠C=180°又∠A=40°∴∠C=180°-40°=140°试题难度：三颗星知识点：略10.如图，圆内接四边形ABCD中，边BA的延长线上有一点E，且∠EAD=50°，则∠C的度数为( )A.50°B.40°C.130°D.140°答案：A解题思路：∵点E在BA的延长线上，∠EAD=50°∴∠BAD=180°-∠EAD=130°∵四边形ABCD内接于圆∴∠C+∠BAD=180°∴∠C=180°-∠BAD=50°试题难度：三颗星知识点：略11.如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，弧CB=弧CD．若∠C=110°，则∠ABC 的度数等于( )A.55°B.60°C.65°D.70°答案：A解题思路：如图，连接AC∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∠C=110°∴∠DAB=180°-∠C=70°又弧CB=弧CD∴∠BAC=∠DAC=∠DAB=35°∵AB是直径∴∠ACB=90°∴∠ABC=90°-∠BAC=55°试题难度：三颗星知识点：略。

完整版)圆心角圆周角练习题

完整版)圆心角圆周角练习题知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1.定义圆心角为顶点在圆心的角。

2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等，圆心角所对的弧相等（无论是优弧还是劣弧），圆心角所对的弦相等。

3.一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆有除顶点外的交点。

4.同一条弧所对的圆周角有两个。

5.圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。

6.圆周角定理的推论：（1）同弦或等弦所对的圆周角相等；（2）半圆或直径所对的圆周角相等；（3）90°的圆周角所对的弦是直径。

需要注意的是，“同弦或等弦”改为“同弧或等弧”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。

7.圆内接四边形定义为所有顶点都在圆上的多边形，圆心即为这个圆内接四边形的交点。

圆内接四边形的对角线相互垂直，且交点为对角线的中点。

夯实基础1.如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，选项B正确。

2.不正确的语句为③，因为圆不一定是轴对称图形，只有圆上的任何一条直径所在直线才是它的对称轴。

3.错误的说法是D，相等圆心角所对的弦不一定相等。

4.根据圆心角的性质，∠A=2∠B，所以∠A=140°。

5.∠BAC与∠BCD互补，∠BCD与∠CBD相等，所以与∠BAC相等的角有2个，即∠CBD和∠ABD。

6.因为∠CAB为30°，所以∠ABC为60°，由正弦定理可得BC=5√3.7.根据圆周角定理，∠ACB=40°。

8.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=6x，则∠D=360°-3x-4x-6x=120°。

9.∠DCE=∠A。

1、如图，AB是⊙O的直径，C，D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，求证∠COE=80°。

证明：由三等分点的性质可知，BC=CD=DE，又∠AOE=60°，所以∠AOC=120°。

九年级圆周角练习题

九年级圆周角练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 圆周角定理指出，圆周角的度数是它所对弧的圆心角的度数的一半。

以下哪个选项正确描述了圆周角定理？A. 圆周角的度数是它所对弧的圆心角的度数的两倍B. 圆周角的度数等于它所对弧的圆心角的度数C. 圆周角的度数是它所对弧的圆心角的度数的一半D. 圆周角的度数与它所对弧的圆心角的度数无关2. 在圆中，有一条弦AB，弦AB上的圆周角是40°，那么弦AB所对的圆心角的度数是多少？A. 20°B. 40°C. 80°D. 120°3. 如果一个圆的半径为r，圆周角的度数为θ，那么这个圆周角所对的弧长是多少？A. rθB. 2rθB. rθ/180D. 2πrθ/3604. 已知圆O的半径为5，圆周角∠AOB=60°，求弦AB的长度。

A. 5B. 10C. 2.5D. 2√155. 在圆中，如果两个圆周角的度数之和为180°，这两个角所对的弧是：A. 同弧B. 半圆C. 等弧D. 不能确定二、填空题（每题2分，共20分）6. 圆的直径所对的圆周角是______度。

7. 如果圆周角的度数为90°，那么它所对的圆心角的度数是______度。

8. 圆的半径为3，圆周角的度数为120°，那么这个圆周角所对的弧长是______。

9. 已知圆的半径为7，圆周角∠AOB=70°，求弦AB的长度，答案是______。

10. 如果圆周角的度数为120°，那么它所对的圆心角的度数是______度。

11. 两个圆周角的度数之和为360°，这两个角所对的弧是______。

12. 圆周角定理告诉我们，圆周角的度数等于它所对弧的圆心角的度数的______。

13. 在圆中，如果一条弦所对的圆周角是30°，那么这条弦所对的圆心角的度数是______度。

14. 圆的半径为8，圆周角的度数为150°，那么这个圆周角所对的弧长是______。

圆周角定理及其推论随堂练习考试卷

圆周角定理及其推论随堂练习试卷一、选择题（共20小题；共100分）1. 如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=130∘，则∠D等于 ( )A. 25∘B. 35∘C. 50∘D. 65∘2. 如图，四边形ABCD是⊙O的接四边形，∠B=135∘，则∠AOC的度数为( )A. 45∘B. 90∘C. 100∘D. 135∘3. 如图，正三角形ABC接于⊙O，动点P在圆周的劣弧上，且不与A，B重合，则∠BPC等于( )A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 45∘4. 如图，四边形ABCD接于⊙O，∠BCD=120∘，则∠BAD的度数是( )A. 30∘B. 60∘C. 80∘D. 120∘5. 如图，四边形ABCD接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50º，则∠BCE的度数为( )A. 40ºB. 50ºC. 60ºD. 130º6. 小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是( )A. B.C. D.7. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，如果∠DAB=65∘，那么∠AOC等于( )A. 25∘B. 30∘C. 50∘D. 65∘8. 如图．四边形ABCD接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120∘，那么∠B等于 ( )A. 130∘B. 120∘C. 80∘D. 60∘9. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，cosD=23，则AB的长为( )A. 8√133B. 163C. 24√55D. 1210. 在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如图，直角角尺中，∠AOB=90∘，将点O放在圆周上，分别确定OA，OB与圆的交点C，D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为( )A. 17B. 14C. 12D. 1011. 如图，△ABC接于⊙O，若∠AOB=100∘，则∠ACB的度数是( )A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 80∘12. 如图1，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图 2所示，那么点P的运动路线可能为( )A. O→B→A→OB. O→A→C→OC. O→C→D→OD. O→B→D→O13. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20∘，那么∠AOD等于( )A. 160∘B. 150∘C. 140∘D. 120∘14. 如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70∘，∠ACB=30∘，D是BAC的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为( )A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 70∘15. 如图，四边形ABCD接于⊙O，∠A=110∘，则∠BOD的度数是( )A. 70∘B. 110∘C. 120∘D. 140∘16. 如图，△ABC为等边三角形，点O在过点A且平行于BC的直线上运动，以△ABC的高为半径的⊙O分别交线段AB，AC于点E，F，则EF所对的圆周角的度数( )A. 从0∘到30∘变化B. 从30∘到60∘变化C. 总等于30∘D. 总等于60∘17. 如图，四边形ABCD接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105∘，∠BAC=25∘，则∠E的度数为( )A. 45∘B. 50∘C. 55∘D. 60∘18. 如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58∘，则∠BCD的度数为( )A. 32∘B. 58∘C. 64∘D. 116∘19. 如图所示，△ABC为⊙O的接三角形，AB=1，∠C=30∘，则⊙O的接正方形的面积为( )A. 2B. 4C. 8D. 1620. 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C＝40∘，那么∠ABD的度数为( )A. 40∘B. 90∘C. 80∘D. 50∘二、填空题（共10小题；共50分）21. 已知⊙O，如图所示．（1）求作⊙O的接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若⊙O的半径为4，则它的接正方形的边长为．22. 如图，在⊙O中，∠BOC=100º，则∠A的度数是．23. 如右图，四边形ABCD接于⊙O，E是BC延长线上一点，若BAD=105∘，则∠DCE的度数是．24. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说："小芸的作确．"请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是．25. 数学课上，老师让学生用尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的做法如图所示，你认为小明这种做法中判断∠ACB是直角的依据是．26. 阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90∘，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．27. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点A在优弧BC上，∠BOC=100∘，则∠A的度数为．28. 如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．29. 如图，已知四边形ABCD接于⊙O，点O在∠D的部，∠OAD+∠OCD=50∘，则∠B=．30. 如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位，mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是( )mm．三、解答题（共5小题；共65分）31. 如图，AB是直径，弦CD⊥AB，E是AC上一点，AE，DC的延长线交于点F．求证：∠AED=∠CEF．32. 已知：如图，A、B、C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45∘，求AB的长．33. 如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D．点E在BD上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．Ⅰ求证：CF⊥AB；Ⅱ若CD=4，CB=4√5，cos∠ACF=4，求EF的长．534. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．Ⅰ求证：AB=AC；Ⅱ若AB=4，BC=2√3，求CD的长．35. 已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点．Ⅰ如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；小明在解决这个问题时采用的方法是：延长MC到E，使ME=AM，从而可证△AME为等边三角形，并且△ABM≌△ACE，进而就可求出线段AM的长．请你借鉴小明的方法写出AM的长，并写出推理过程．Ⅱ若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，BM=a，CM=b（其中b>a），直接写出AM的长（用含有a，b的代数式表示）．圆周角定理及其推论随堂练习试卷答案第一部分1. A2. B3. B4. B5. B6. A7. C8. B9. D 10. C11. B 12. C 13. C 14. C 15. D16. C 17. B 18. A 19. A 20. D第二部分21. （1）如图：（2）4√223. 105∘24. 直径所对的圆周角是直角．25. 直径所对的圆周角是直角26. 直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线27. 50∘28. 30∘或150∘29. 130∘30. 50第三部分31. 连接AD．因为AD=AC，所以∠AED=∠ADC，因为∠CEF+∠AEC=∠ADC+∠AEC=180∘，所以∠ADC=∠CEF．所以∠AED=∠CEF．32. 连接OA、OB．∵∠ACB=45∘，∴∠AOB=2∠ACB=90∘ .又OA=OB .∴△AOB是等腰直角三角形.∴AB2=OA2+OB2=22+22=8 .∴AB=2√2 .答：AB的长为2√2cm．33. （1）连接BD，如图 1.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90∘．∴∠DAB+∠1=90∘．∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3．∴∠DAB+∠3=90∘．∴∠CFA=180∘−(∠DAB+∠3)=90∘．∴CF⊥AB．（2）连接OE，如图 2．∵∠ADB=90∘，∴∠CDB=180∘−∠ADB=90∘．∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4√5，∴DB=√CB2−CD2=8．∵∠1=∠3，∴cos∠1=cos∠3=45．∵在Rt△ABD中，cos∠1=DBAB =45，∴AB=10．∴OA=OE=5，AD=√AB2−DB2=6．∵CD=4，∴AC=AD+CD=10．∴在Rt△ACF中，CF=AC⋅cos∠3=8．∴AF=√AC2−CF2=6．∴OF=AF−OA=1．∴在Rt△OEF中，EF=√OE2−OF2=2√6．34. （1）因为ED=EC，所以∠EDC=∠C，因为∠EDC=∠B，所以∠B=∠C，所以AB=AC．（2）连接AE，因为AB为直径，所以AE⊥BC，由（1）知AB=AC，BC=√3，所以BE=CE=12因为CE⋅CB=CD⋅CA，AC=AB=4，所以√3⋅2√3=4CD，所以CD=3．235. （1）AM=3．延长MC到E，使ME=AM．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60∘．∴∠AME=60∘．∴△AME为等边三角形．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．又AB=AC，∴△ABM≌△ACE．∴AM=ME=3．（2）AM=√22(a+b)或√22(b−a)．。

圆周角圆心角练习题

圆周角圆心角练习题一、选择题1. 圆周角定理指出，圆周角的度数是同弧所对圆心角的度数的______。

A. 1/2B. 2倍C. 3倍D. 4倍2. 若圆心角为40°，则同弧所对的圆周角为______。

A. 20°B. 40°C. 80°D. 120°3. 在圆中，若一条弦所对的圆心角为60°，则这条弦所对的圆周角是______。

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 圆内接四边形ABCD中，若∠A=60°，则∠B的度数为______。

A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°5. 已知圆的半径为5，圆心角为120°，那么这个圆心角所对的弧长为______。

A. 5πB. 10πC. 15πD. 20π二、填空题6. 若圆周角为45°，则同弧所对的圆心角为______。

7. 在圆中，若弦AB所对的圆心角为100°，则弦AB所对的圆周角为______。

8. 已知圆的半径为10，圆心角为150°，则这个圆心角所对的弧长为______。

9. 圆内接四边形ABCD中，若∠A=90°，则∠B的度数为______。

10. 若圆的半径为8，圆心角为90°，则这个圆心角所对的弧长为______。

三、简答题11. 解释什么是圆周角，并说明它与圆心角的关系。

12. 给出一个圆内接四边形的例子，并说明其对角互补的性质。

13. 解释如何计算一个圆心角所对的弧长。

14. 在圆中，如果知道圆周角的度数，如何计算同弧所对的圆心角的度数？15. 圆内接四边形的对角互补性质在实际问题中有哪些应用？四、解答题16. 已知圆的半径为6，圆心角为60°，求这个圆心角所对的弧长。

17. 在圆中，若弦AB所对的圆心角为120°，求弦AB所对的圆周角的度数。

圆周角定理练习题

圆周角定理练习题圆周角定理练习题圆周角定理是几何学中的一个重要定理，它描述了圆周上的角度与圆心角的关系。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对圆周角定理的理解。

练习题1：在一个半径为5厘米的圆上，有一个圆心角的度数为60°。

求这个圆心角所对的弧长。

解析：根据圆周角定理，圆心角所对的弧长等于半径乘以圆心角的弧度数。

首先，我们需要将60°转换为弧度数。

由于一个圆周上的角度为360°，而一周的弧度数为2π，所以60°对应的弧度数为60/360乘以2π。

计算得到的结果约为1.047弧度。

然后，将半径5厘米乘以1.047弧度，得到的弧长约为5.236厘米。

练习题2：在一个半径为8厘米的圆上，有一个弧长为12厘米的弧。

求这个弧所对的圆心角的度数。

解析：根据圆周角定理，圆心角所对的弧长等于半径乘以圆心角的弧度数。

首先，我们需要将弧长12厘米转换为弧度数。

由于圆周长等于2π乘以半径，所以弧长12厘米对应的弧度数为12/（2π乘以8）。

计算得到的结果约为0.238弧度。

然后，将半径8厘米乘以0.238弧度，得到的圆心角的弧长约为1.904厘米。

最后，我们将这个圆心角的弧长转换为度数。

由于一周的弧度数为2π，所以1.904弧度对应的度数为（1.904/2π）乘以360。

计算得到的结果约为64.3°。

练习题3：在一个圆的内切四边形中，两个相对的内角分别为120°和150°。

求这个四边形内切圆的半径。

解析：首先，我们需要知道内切四边形的两个对角线相互垂直且交于圆心。

根据圆周角定理，圆心角所对的弧长相等。

所以，我们可以得知内切四边形的两个对角线所对的圆心角的度数分别为120°和150°。

由于对角线相互垂直，所以这两个圆心角的度数之和为90°。

根据这个关系，我们可以得到一个方程：120° + 150° + x + y = 360°，其中x和y分别表示另外两个圆心角的度数。

圆周角练习题

圆周角练习题一、选择题1. 一个圆的半径为5，圆周角的度数为60°，那么这个圆周角所对的弦长是多少？A. 5B. 10C. 15D. 202. 在圆中，圆周角的度数是圆心角的度数的几倍？A. 1/2B. 1C. 2D. 43. 已知一个圆的直径为12，圆周角为45°，求这个圆周角所对的弧长。

A. 6πB. 3πC. 2πD. π二、填空题4. 圆周角定理指出，圆周角的度数等于它所对圆心角的______倍。

5. 如果一个圆的半径为r，圆周角为θ，那么这个圆周角所对的弧长为______。

6. 在一个半径为10的圆中，如果圆周角为120°，那么这个圆周角所对的弦长是______。

三、简答题7. 解释什么是圆周角，并说明它与圆心角的关系。

8. 给出一个例子，说明如何计算一个圆周角所对的弦长。

四、计算题9. 已知一个圆的半径为7，圆周角为30°，求这个圆周角所对的弧长。

10. 在一个半径为8的圆中，如果圆周角为150°，求这个圆周角所对的弦长。

五、证明题11. 证明：在一个圆中，同弧所对的圆周角相等。

12. 证明：在一个圆中，如果两个圆周角所对的圆心角相等，那么这两个圆周角也相等。

六、应用题13. 一个自行车轮的直径为60厘米，当自行车行驶了100米，求车轮转过的圈数。

14. 一个圆的半径为15，圆周角为120°，求这个圆周角所对的扇形面积。

七、探索题15. 探索圆周角定理在实际生活中的应用，并给出至少两个例子。

八、综合题16. 一个圆的半径为20，圆周角为90°，求这个圆周角所对的弧长、弦长以及扇形面积。

九、开放性问题17. 如果你有一个圆，半径为r，圆周角为θ，你将如何设计一个实验来测量这个圆周角所对的弧长和弦长？十、拓展题18. 假设你有一个圆，半径为r，圆周角为θ，圆心角为α，讨论并证明圆周角与圆心角之间的关系。

请注意，本试卷中的题目需要根据圆周角定理和相关公式进行解答。

圆周角定理练习题(A)

《圆周角定理》练习题一．选择题（共16小题）1．如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．14°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°第1题图第2题图第3题图3．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°5．如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°第4题图第5题图第6题图6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（）A．50°B．40°C．30°D．20°7．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC的度数为）A．40°B．50°C．60°D．70°8．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°第7题图第8题图第9题图9．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．35°D．50°10．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠211．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°第10题图第11题图第12题图12．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．50°13．在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°14．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD 的度数等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°15．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°第10题图第11题图第12题图16．如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30°B．50°C．60°D．70°二．填空题（共8小题）17．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．第17题图第18题图第19题图18．如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB上不与A、B重合的任意一点，则∠C=°．19．在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为cm．20．如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是，圆周角是．第20题图第21题图第22题图21．如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为cm．22．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择种射门方式．三．解答题（共16小题）25．28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．26．如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．27、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．28．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；．31．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC 于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．32．如图，OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：AD=BD．33．如图，已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．34．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．35．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．36．已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证：AC=AB．37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F．问：AD与BF相等吗？为什么？38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F，求证：∠FCD=∠ACE．39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．41．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？42．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC 分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等？为什么？43．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证：D是AB的中点．44．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．求证：（1）F是BC的中点；（2）∠A=∠GEF．45．如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H，求证：CH=CP，AP=BH．《圆周角定理》2222222222参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2012•呼伦贝尔）如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠BOC=76°，则∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．14°【解答】解：∵所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠BAC，又∵∠BOC=76°，∴∠A=76°×=38°．故选C．2．（2015•眉山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°，∴∠OAC=45°，∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴∠B=∠AOC=45°．故选D．3．（2010秋•海淀区校级期末）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∠1和∠3符合圆周角的定义，∠2顶点不在圆周上，∠4的一边不和圆相交，故图中圆周角有∠1和∠3两个．故选B．4．（2015•珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴=，∴∠DOB=2∠C=50°．故选：D．5．（1997•陕西）如图，已知在⊙O中，点A，B，C均在圆上，∠AOB=80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°【解答】解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB∵∠AOB=80°∴∠E=∠AOB=40°∴∠ACB=180°﹣∠E=140°．故选：B．6．如图，MN是⊙O的直径，∠PBN=50°，则∠MAP等于（）A．50°B．40°C．30°D．20°【解答】解：连接OP，可得∠MAP=∠MOP，∠NBP=∠NOP，∵MN为直径，∴∠MOP+∠NBP=180°，∴∠MAP+∠NBP=90°，∵∠PBN=50°，∴∠MAP=90°﹣∠PBN=40°．故选B．7．（2007•太原）如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD=20°，则∠ADC 的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵∠ABD=20°∴∠C=∠ABD=20°∵CD是⊙O的直径∴∠CAD=90°∴∠ADC=90°﹣20°=70°．故选D．8．（2013•苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：连结BD，如图，∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，∴∠ABD=∠CBD，而∠ABC=50°，∴∠ABD=×50°=25°，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°﹣25°=65°．故选C．9．（2009•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．35°D．50°【解答】解：∵∠AOC=130°，∴∠BOC=50°，∴∠D=∠BOC=25°．故选A．10．（2013秋•沙洋县校级月考）如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2 C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠2【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：∠1=∠3=∠5=∠6，根据三角形的外角的性质得：∠5＞∠4，∠2＞∠6，∴∠4＜∠1=∠3＜∠2，故选B．11．（2012秋•天津期末）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=60°，D是半圆上任意一点，那么∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接BC，∵AB是半圆的直径∴∠ACB=90°∵∠BAC=60°，∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°，∴∠D=∠ABC=30°．故选A．12．（2009•塘沽区二模）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．50°【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOC=50°，∴，∴∠ADB=∠AOC=25°．故选C．13．（2012秋•宜兴市校级期中）在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°【解答】解：如图，∵∠AOB=84°，∴∠ACB=∠AOB=×84°=42°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=138°．∴弦AB所对的圆周角是：42°或138°．故选C．14．（2011•南岸区一模）如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD 交⊙O于D，则∠ABD的度数等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：连接AD，∵在⊙O中，AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵CD是∠ACB的角平分线，∴=，∴AD=BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°．故选C．15．（2015秋•合肥校级期末）已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=∠CDB=40°，∴∠CBA=90°﹣∠A=50°．故选B．16．（2013•万州区校级模拟）如图，AB是圆的直径，AB⊥CD，∠BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵∠BAD=30°，∴=60°，∵AB是圆的直径，AB⊥CD，∴==60°，∴=180°﹣60°=120°，∴∠AEC==×120°=60°．故选C．二．填空题（共8小题）17．（2016•大冶市模拟）如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD 等于40°．【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，∴弧DF=弧DE，且弧的度数是40°，∴∠DOE=40°，答案为40°．18．（2015•历城区二模）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB的度数是65°．【解答】解：连结BD，如图，∵点D是的中点，即弧CD=弧AD，∴∠ABD=∠CBD，而∠ABC=50°，∴∠ABD=×50°=25°，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°﹣25°=65°．故答案为65°．19．（2013秋•滨湖区校级期末）如图，点A、B在⊙O上，∠AOB=100°，点C是劣弧AB 上不与A、B重合的任意一点，则∠C=130°．【解答】解：在优弧AB上取点D，连结AD、BD，如图，∴∠D=∠AOB=×100°=50°，∵∠D+∠C=180°，∴∠C=180°﹣50°=130°．故答案为130．20．（2008秋•苏州校级期中）球员甲带球冲到A点时，同伴乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种种射门方式较为合理．【解答】解：连接OC．根据圆周角定理，得∠PCQ=∠B，根据三角形的外角的性质，得∠PCQ＞∠A，则∠B＞∠A．故答案为第二种．21．（2015•黄岛区校级模拟）在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙O的直径为4cm．【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2cm，∴⊙O的直径=4cm．故答案为：4．22．（2014春•海盐县校级期末）如图，⊙O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．【解答】解：连结OA、OB，∠APB和∠AP′B为弦AB所对的圆周角，如图，∵弦AB等于半径R，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠APB=∠AOB=30°，∴∠AP′B=180°﹣∠APB=150°，即这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．故答案为60°；是30°或150°．23．（2012•义乌市模拟）如图，等腰△ABC的底边BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O 交BC于点D，交AC于点E，则DE的长为2cm．【解答】解：连接AD，∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠DEC=∠B，又等腰△ABC，BC为底边，∴AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∴BD=CD=BC，又BC=4cm，∴DE=2cm．故答案为：224．（2012秋•哈密地区校级月考）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种射门方式．【解答】解：设AP与圆的交点是C，连接CQ；则∠PCQ＞∠A；由圆周角定理知：∠PCQ=∠B；所以∠B＞∠A；因此选择第二种射门方式更好．故答案为：第二．三．解答题（共16小题）25．（2009•沈阳模拟）如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．【解答】证明：∵∠C=∠G，△ABC的高AD、BE，∴∠C+∠DAC=90°，∠AHE+∠DAC=90°，∴∠C=∠AHE，∵∠AHE=∠BHG=∠C，∴∠G=∠BHG，∴BH=BG，又∵AD⊥BC，∴HD=DG．26．（2013秋•虞城县校级期末）如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的理由．【解答】解：△ABC为等边三角形．理由如下：∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，∴弧AC=弧BC，∴AC=BC，又∵∠BPC=∠A=60°，∴△ABC为等边三角形．27．（2013秋•耒阳市校级期末）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．【解答】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠BAC=40°，∴∠C=（180°﹣40°）=70°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EBC=90°﹣∠C=20°；证明：连结AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，而AB=AC，∴BD=DC．28．（2014秋•高密市期中）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．∴AB===10（cm）．∵AC=6cm，BC=8cm，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD，则=，∴AD=BD，∴BD=AB=5cm．综上所述，AB和BD的长分别是10cm，5cm．29．（2013秋•宜兴市校级期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连结BD，如图，∵CD为直径，∴∠CBD=90°，∵∠D=∠A=30°，∴CD=2BC=2×3=6，∴⊙O的半径为3cm．30．（2010秋•瑞安市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．【解答】（1）证明：∵点C是弧AF的中点，∴∠B=∠CAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠CAE=∠ACE，∴AE=CE …（6分）（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CGA=90°，又∵∠ACE+∠BCD=90°，∴∠CGA=∠BCD，∵AG=10，∴CE=EG=AE=5，∵ED：AD=3：4，∴AD=4，DE=3，∴AC=…（10分）．31．（2015秋•扬中市期中）如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．【解答】证明：（1）连接BD，DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴BD=CD，∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，在Rt△DEB和Rt△DMC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），∴BE=CM．（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEA=90°，在Rt△DEA和Rt△DMA中∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），∴AE=AM，∴AB﹣AC，=AE+BE﹣AC，=AM+BE﹣AC，=AC+CM+BE﹣AC，=BE+CM，=2BE．32．（2013•宁夏模拟）如图，OA是⊙0的半径，以OA为直径的⊙C与⊙0的弦AB相交于点D．求证：AD=BD．【解答】证明：连结OD，如图，∵OA为⊙C的直径，∴∠ADO=90°，∴OD⊥AB，∴AD=BD．33．（2011秋•宁波期中）如图，已知：AB是⊙O的弦，D为⊙O上一点，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求证：M是弧AB的中点．【解答】解：连接OM∵OD=OM，∴∠ODM=∠OMD，∵DM平分∠ODC，∴∠ODM=∠CDM，∴∠CDM=∠OMD，∴CD∥OM，∵CD⊥AB，∴OM⊥AB，∴弧AM=弧BM，即点M为劣弧AB的中点．34．（2009秋•哈尔滨校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．【解答】解：连接AE，∵CE为直径，∴∠EAC=90°，∴∠ACE=90°﹣∠AEC，∵CD是高，D是垂足，∴∠BCD=90°﹣∠B，∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等），∴∠ACE=∠BCD，∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，∴∠ACD=∠BCE．35．已知：如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE=CF．【解答】证明：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴∠E+∠BAE=90°，∵AF⊥BC于D，∴∠FAC+∠ACB=90°，∵∠E=∠ACB，∴∠BAE=∠FAC，∴弧BE=弧CF，∴BE=CF．36．（2015秋•哈尔滨校级期中）已知AB为⊙O的直径，弦BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证：AC=AB．【解答】证明：连接AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AEC=90°，∵弦BE=DE，∴=，∴∠DAE=∠BAE，∵∠C=90°﹣∠DAE，∠B=90°﹣∠BAE，∴∠B=∠C，∴AC=AB．37．如图，AB是圆O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C，D是弧AC上一点，E是AB上一点，EC⊥CD，交BD于点F．问：AD与BF相等吗？为什么？【解答】解：AD和BF相等．理由：如图，连接AC、BC，∵OC⊥AB，∴∠BOC=90°∴∠BDC=∠BAC=45°∵EC⊥CD，∴∠DCE=∠ACB=90°，∴△DCF和△ACB都是等腰直角三角形，∴DC=FC，AC=BC，∵∠DCA+∠ACF=∠BCF+∠ACF=90°，∴∠DCA=∠FCB在△ACD和△BCF中，{，∴△ACD≌△BCF∴DA=BF．38．如图，AB是⊙O的直径，AC、DE是⊙O的两条弦，且DE⊥AB，延长AC、DE相交于点F，求证：∠FCD=∠ACE．【解答】证明：连接AD，AE，∵AB是直径．AB⊥DE，∴AB平分DE，弧ACE=弧AD，∴∠ACD=∠ADE，∵A、C、E、D四点共圆，∴∠FCE=∠ADE，∴∠FCE=∠ACD，∴∠FCE+∠DCE=∠DAC+∠ECD，∴∠FCD=∠ACE．39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．【解答】解：延长CE交⊙O于M，∵AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，∴弧AC=弧AM，∴∠ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．【解答】解：△DBC为等腰三角形．理由如下：∵AD为△ABC的外角平分线，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DCB，∴△DBC为等腰三角形．一．解答题（共6小题）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠FGC与∠AGD相等．理由如下：连接AD，如图，∵CD⊥AB，∴=，∴∠AGD=∠ADC，∵∠FGC=∠ADC，∴∠FGC=∠AGD2．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，D是弧AC中点，DE⊥AB垂足为E，AC 分别与DE、DB相交于点F、G，则AF与FG是否相等？为什么？【解答】解：AF=FG，理由是：连接AD，∵AB是直径，DE⊥AB，∴∠ADB=∠DEB=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵D为弧AC中点，∴∠DAC=∠ABD，∴∠ADE=∠DAC，∴AF=DF，∠FAE=∠DAC，∴DF=FG，∴AF=FG．3．如图，AB为⊙O的直径，以OA为直径作⊙C，AD为⊙O的弦，交⊙C于E，试问，当D点在⊙O上运动时（不与A重合），AE与ED的长度有何关系？证明你的结论．【解答】解：AE=ED．理由：连接OE，∵AO是⊙C的直径，∴∠OEA=90°，∴OE⊥AD，∵OE过圆O的圆心O，∴AE=ED．4．如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB交于点D，求证：D是AB的中点．【解答】证明：连接OD，∵OA为⊙C的直径，∴∠ODA=90°，即OD⊥AB，∴D是AB的中点．5．（2007•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G，F，E点．求证：（1）F是BC的中点；（2）∠A=∠GEF．【解答】证明一：（1）连接DF，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴BD=DC=AB，（2分）∵DC是⊙O的直径，∴DF⊥BC，（4分）∴BF=FC，即F是BC的中点；（5分）（2）∵D，F分别是AB，BC的中点，∴DF∥AC，（6分）∴∠A=∠BDF，（7分）∵∠BDF=∠GEF（圆周角定理），（8分）∴∠A=∠GEF．（9分）证明二：（1）连接DF，DE，∵DC是⊙O直径，∴∠DEC=∠DFC=90°．（1分）∵∠ECF=90°，∴四边形DECF是矩形．∴EF=CD，DF=EC．（2分）∵D是AB的中点，∠ACB=90°，∴EF=CD=BD=AB．（3分）∴△DBF≌△EFC．（4分）∴BF=FC，即F是BC的中点．（5分）（2）∵△DBF≌△EFC，∴∠BDF=∠FEC，∠B=∠EFC．（6分）∵∠ACB=90°（也可证AB∥EF，得∠A=∠FEC），∴∠A=∠FEC．（7分）∵∠FEG=∠BDF（同弧所对的圆周角相等），（8分）∴∠A=∠GEF．（9分）（此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考．）6．（2000•兰州）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足为P，DH⊥BH垂足为H，求证：CH=CP，AP=BH．【解答】证明：（1）在△DHC与△DPC中，∵∠DCH=∠DCA，DP⊥AC，DH⊥BH，DC为公共边，∴△DHC≌△DPC，∴CH=CP．（2）连接DB，由圆周角定理得，∠DAC=∠DBH，∵△DHC≌△DPC，∴DH=DP，∵DP⊥AC，DH⊥BH，∴∠DHB=∠DPC=90°，∴△DAP≌△DBH，∴AP=BH．。

圆周角练习(含答案)

圆周角练习一．选择题（共6小题）1．（2018•济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°2．（2018•菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64°B．58°C．32°D．26°3．（2018•陇南）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x 轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°4．（2018•通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°5．（2005•双柏县）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（）A．128°B．100°C．64°D．32°6．（2018•西湖区一模）在菱形ABCD中，记∠ABC=∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD=2，则（）A．C与∠α的大小有关B．当∠α=45°时，S=C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上D．S随∠α的增大而增大二．解答题（共8小题）7．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．8．（2018•兴庆区校级一模）已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．（1）求证：ED=EC；（2）若CD=3，EC=2，求AB的长．9．（2018•滨湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE=2OE．10．（2018•和平区模拟）已知，△ABC中，∠A=68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；（Ⅱ）如图②，当DE=BE时，求∠C的大小．11．（2018•长兴县一模）已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G 是上一点，AG与DC的延长线交于点F．（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．12．（2011•南漳县模拟）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：（1）求线段AB的长；（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP 的度数；若不存在，请说明理由．13．（2016•汉川市模拟）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．14．（2016•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．圆周角练习参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2018•济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故选：D．【点评】此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．2．（2018•菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64°B．58°C．32°D．26°【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【解答】解：如图，由OC⊥AB，得=，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°．∴∠3=64°，在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出=，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．3．（2018•陇南）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x 轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．【解答】解：连接DC，∵C（，0），D（0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，故选：B．【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°．4．（2018•通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．【解答】解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=，∴tan∠1=，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°．故选：D．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．5．（2005•双柏县）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（）A．128°B．100°C．64°D．32°【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=64°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=128°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=∠DCE=64°，∴∠BOD=2∠A=128°．故选：A．【点评】本题利用了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．（2018•西湖区一模）在菱形ABCD中，记∠ABC=∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD=2，则（）A．C与∠α的大小有关B．当∠α=45°时，S=C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上D．S随∠α的增大而增大【分析】根据菱形的周长公式、菱形的面积公式、锐角三角函数的定义判断即可．【解答】解：A、错误．菱形的周长=8，与∠α 的大小无关；B、错误，∠α=45°时，菱形的面积=2•2•sin45°=2；C、错误，A，B，C，D四个点不在同一个圆上；D、正确．∵0°＜α＜90°，S=菱形的面积=2•2•sinα，∴菱形的面积S随α的增大而增大．故选：D．7．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC =8．∴S半圆=•π•42=8π．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．8．（2018•兴庆区校级一模）已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．（1）求证：ED=EC；（2）若CD=3，EC=2，求AB的长．【解答】解：（1）∵∠EDC+∠EDA=180°、∠B+∠EDA=180°，∴∠B=∠EDC，又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC；（2）连接AE，∵AB是直径，∴AE⊥BC，又∵AB=AC，∴BC=2EC=4，∵∠B=∠EDC、∠C=∠C，∴△ABC∽△EDC，∴AB：EC=BC：CD，又∵EC=2、BC=4、CD=3，∴AB=8．【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质．9．（2018•滨湖区模拟）如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，）为圆心，以长为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．（1）求点C、P的坐标；（2）求证：BE=2OE．【解答】（1）解：连接PB，∵PA是圆M的直径，∴∠PBA=90°∴AO=OB=3又∵MO⊥AB，∴PB∥MO．∴PB=2OM=∴P点坐标为（3，）在直角三角形ABP中，AB=6，PB=2，根据勾股定理得：AP=4，所以MC=2，又OM=，所以OC=MC﹣OM=，则C（0，）（1分）（2）证明：连接AC．∵AM=MC=2，AO=3，OC=，∴AM=MC=AC=2，∴△AMC为等边三角形又∵AP为圆M的直径得∠ACP=90°得∠OCE=30°（1分）∴OE=1，BE=2 ∴BE=2OE．（2分）【点评】本题综合考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．解答该题时通过作辅助线AC、BP构建直径所对的圆周角∠ACP、∠ABP，然后利用圆周角定理来解决问题．10．（2018•和平区模拟）已知，△ABC中，∠A=68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；（Ⅱ）如图②，当DE=BE时，求∠C的大小．【分析】（Ⅰ）利用圆内接四边形的性质证明∠CED=∠A即可；（Ⅱ）连接AE．在Rt△AEC中，求出∠EAC即可解决问题；【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABED 圆内接四边形，∴∠A+∠DEB=180°，∵∠CED+∠DEB=180°，∴∠CED=∠A，∵∠A=68°，∴∠CED=68°．（Ⅱ）连接AE．∵DE=BD，∴=∴∠DAE=∠EAB=∠CAB=34°，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEC=90°，∴∠C=90°﹣∠DAE=90°﹣34°=56°【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．（2018•长兴县一模）已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G 是上一点，AG与DC的延长线交于点F．（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．【分析】（1）连接OC．设⊙O的半径为R．在Rt△OEC中，根据OC2=OE2+EC2，构建方程即可解决问题；（2）连接AD，根据垂径定理得到=，根据圆周角定理得到∠ADC=∠AGD，根据圆内接四边形的性质证明即可【解答】（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB，∴DE=EC=4，在Rt△OEC中，∵OC2=OE2+EC2，∴R2=（R﹣2）2+42，解得R=5．（2）证明：连接AD，∵弦CD⊥AB∴=，∴∠ADC=∠AGD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC=∠FGC，∴∠FGC=∠AGD．【点评】本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键，学会添加常用辅助线．12．（2011•南漳县模拟）如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（，0），解答下列各题：（1）求线段AB的长；（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP 的度数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据A、B的坐标，即可求得OA、OB的长，进而可根据勾股定理求出AB的长；（2）由于∠AOB=90°，由圆周角定理知AB即为⊙C的直径，根据AB的长即可求得⊙C的半径；若过C作y轴的垂线，根据三角形中位线定理，很明显的可以看出C点横坐标是B点横坐标的一半，C点纵坐标是A点纵坐标的一半，由此得解；（3）由图知：若△POB是等腰三角形，则P点一定是OB垂直平分线与⊙C的交点，可据此求出P点的坐标及∠BOP的度数．【解答】解：（1）∵A（0，2），B（2，0）∴OA=2，OB=2；Rt△OAB中，由勾股定理，得：AB==4；（2）∵∠AOB=90°，∴AB是⊙C的直径；∴⊙C的半径r=2；过C作CE⊥y轴于E，则CE∥OB；∵C是AB的中点，∴CE是△AOB的中位线，则OE=OA=1，CE=OB=，即C（，1）；故⊙C的半径为2，C（，1）；（3）作OB的垂直平分线，交⊙C于P1、P2，交OB于D如图；连接OC；由垂径定理知：P1P2必过点C，即P1P2是⊙C的直径；∴P1（，3），P2（，﹣1）；在Rt△OMP1中，P1D=3，OD=，∴∠BOP1=60°；∵P1P2是直径，∴∠P1OP2=90°，∠BOP2=30°；由于P1P2垂直平分OB，所以△OBP1、△OBP2都是等腰三角形，因此P1、P2均符合P点的要求；由于此时同时BO=P1O，因此不需要考虑BO为腰的情况．故存在符合条件的P点：P1（，3），∠BOP1=60°；P2（，﹣1），∠BOP2=30°．【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定、勾股定理的应用以及直角三角形的性质等知识，涉及知识点较多，难度适中．13．（2016•汉川市模拟）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm．【解答】解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，得（16﹣3x+2x）×6=33，解之得x=5，（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6，PQ=10，∵PA=3t，CQ=BE=2t，∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10cm．【点评】（1）主要用到了梯形的面积公式：S=（上底+下底）×高；（2）作辅助线是关键，构成直角三角形后，用了勾股定理．14．（2016•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE 的周长是6，求△ABC面积．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S=ab=1．△ABC【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．。

圆周角定理基础训练卷30题

圆周角定理基础训练卷30小题一．选择题（共20小题）1．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（）（1）（2）（3）（4）A．75°B．60°C．45°D．30°2．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（）A．23°B．57°C．67°D．77°5．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（）（5）（6）（7）（8）A．28°B．31°C．38°D．62°6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°7．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）A．37°B．47°C．45°D．53°8．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°9．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（）（9）（10）（11）（12）A．30°B．40°C．50°D．60°10．如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的大小是（）A．50°B．55°C．60°D．65°11．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）A．2 B．4 C．D．212．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠ACB=20°，则∠OAB的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°13如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是（）（13）（14）（15）（16）A．16 B．24 C．32 D．4814．如图，在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为（）A．25°B．50°C．65°D．80°15如图，⊙O中，劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°，点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（）A．60°B．120°C．135°D．150°16．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=65°，则∠BCD的度数为（）A．25°B．45°C．55°D．75°17．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）（17）（18）（19）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°18．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45°B．40°C．25°D．20°19．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°20．已知△ABC中，AB=AC，∠A=50°，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则∠ADB的度数是（）A．50°B．65°C．65°或50°D．115°或65°二．填空题（共10小题）21．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=．（21）（22）（23）（24）22．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=．23．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠B=20°，则∠ADC的度数为．24．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为．25．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C （0，6），则⊙A的半径为．（25）（26）（27）（28）26．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．27．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是°．28．如图，在⊙O中，AB为直径，C、D为⊙O上两点，若∠C=25°，则∠ABD=．29．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，若AD=6，那么AC=．30．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于D，若AC：BC=4：3，AB=10cm，则OD的长为cm．圆周角定理基础训练卷30小题参考答案一．选择题（共20小题）1．D；2．C；3．A；4．C；5．A；6．D；7．A；8．B；9．C；10．A；11．D；12．C；13．C；14．B；15．B；16．A；17．C；18．D；19．A；20．D；二．填空题（共10小题）21．；22．80°；23．70°；24．60°；25．5；26．40°；27．60；28．65°；29．；30．4；。

《圆周角定理》基础训练

课时1圆周角定理知识点1识别圆周角1.下列图形中的角表示圆周角的有( )A.3个B.2个C.1个D.0个知识点2圆周角定理2.[2016广东茂名中考]如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是( )A.150°B.140°C.130°D.120°3.[2018山水临沂沂水二模]如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A=20°，则∠1等于( )A.40°B.45°C.50°D.60°4.[2018黑龙江哈尔滨道里区二模]如图，点A，B，C是⊙O上的点，∠AB0=40°，则∠C 的度数是( )A.100°B.80°C.50°D.40°5.[2017江苏苏州工业园区期末]如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°.为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装这样的监视器____台.6.[2017广东佛山顺德区一模]如图，A，B，C，D，P是⊙O上的E个点，且∠APB=∠CP D.AB与CD有何大小关系？为什么？7.如图，已知△ABC内接于⊙O，BC=12cm，∠A=60°.求⊙0的直径.知识点3同弧或等弧所对的圆周角的关系8.如图所示，图中一定与相等的角是( )A.∠DBCB.∠A CDC.∠CADD.∠A DB9.[2018江苏无锡宜兴环科园教学联盟3月模拟]如图，⊙0中，CD⊥AB于点E，若∠B=60°，则∠A=( )A.30°B.45°C.60°D.90°10.[2018吉林长春模拟]如图，点A，B，C，D，分别在⊙O上，AB=AC，若∠AO B=40°，则∠ADC的度数是_____.11.[2017江苏苏州高新二中月考]如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙0的圆心O格点上，则∠AED的正切值为____.12.如图，在⊙0中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=23.(1)求∠BAC的度数；(2)求⊙0的周长.13.[2017浙江宁波长江中学月考]如图，在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门AB进攻，当甲带球冲到P点时，同伴乙位于Q点，从数学的角度分析，此时甲是自己射门好还是将球传给乙，由乙射门好？为什么？参考答案1.C【解析】圆周角是顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角，根据定义，可知只有第4个图形中的角是圆周角.故选C.名师点睛：圆周角可以是锐角，也可以是直角或钝角.2.A【解析】在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以∠AOC=2∠B=150°.故选A.名师点睛：不能把“一条孤所对的”去掉，而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”，也不能把“一条弧所对的”改为“一条弦所对的”因为一条弦所对的圆周角又两种情况，如图所示，弦AB所对的圆周角有∠ACB和∠ADB两种情况，而且可以看出，∠ACB＋∠ADB=180°.3.D【解析】先利用平行线的性质求得∠C的度数，根据圆周角定理求得∠O的度数，再利用三角形的外角即可求解.∵0C∥AB，∴∠C=∠A=20°，又∵∠0=2∠A=40°，∴∠1=∠C＋∠O=20°＋40°=60°.故选D.4.C【解析】∵OA=OB，∠AB0=40°，∴∠OAB=∠AB0=40°，∴∠AOB=100°，∴∠C=12∠A0B=50°.故选C.5.3【解析】监视器的监控角度是65°，即圆周角∠A=65°，根据圆周角等于同弧所对的圆心角的一半，可知对应的圆心角为130°，360÷130=2……100，因此要监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装3台这样的监视器.6.【解析】AB与CD相等.理由如下：如图，连接OA，OB，OC，OD，∵∠APB=∠CPD，∴∠AOB=∠COD，∴AB=CD.7.【解析】如图，连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，∵OD⊥BC，BC=12cm，∴BD－CD=6cm.∵∠A=60°，∴∠BOC=120°，又∵OB=OC，∴∠OCD=30°，在Rt△COD中，设OD=xcm，则OC=2xcm，由勾股定理得，OD2＋CD2=OC2，即x2＋62=(2x)2，∴x=23，∴OC=43cm，∴⊙O的直径为83cm.8.D【解析】∵∠ACB所对的弧是AB，此弧所对的圆周角还有∠ADB，∴与∠ACB相等的角是∠ADB.故选D.名师点睛：同弧或等弧所对的圆周角相等，若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论不成立，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，一般情况下不相等.9.A【解析】∵CD⊥AB，∴∠AED=90°，∵∠D=∠B=60°，∴∠A=90°－∠D=30°.故选A.10.20°【解析】∵AB=AC，∴∠ADC=12∠AOB=12×40°=20°.11.12【解析】在Rt△A BC中，AC=1，AB=2，∴tan∠ABC=ACAB=12.∴∠AED=∠A BC，∴tan∠AED=tan∠ABC=12.12.【解析】(1)根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，可知∠BAC=∠BDC=60°.(2)∵∠ACB=60°，ABAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∠ABC=60°.如图，过点O作OE⊥AC于点E，连接0A，0C，则∠A0C=2∠ABC=120°，∠AOE=12∠A0C=60°，AE=12AC=3.∵s in∠A0E=AEOA=32，∴0A=2，∴⊙O的周长为2π·OA=4π.13.【解析】将球传给乙，由乙射门好.理由如下：连接BC，观察题图，点A，B，C，Q在同一个圆上.根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠Q=∠ACB，而∠ACB＞∠P，所以∠Q＞∠P，说明在点Q处对球门的张角比在点P处对球门的张角大，所以从点Q处射门的命中率较高，所以此时甲将球传给乙，由乙射门好.。

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