数学当堂练习1、2、3(理科)

数学当堂练习1（理科）一、选择题：（每小题5分,共40分）1．若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥ 2．椭圆2241x y +=的离心率为（ ）A ．2B ．34C ．2D ．233．设方程20x px q --=的解集为A ，方程20x qx p +-=的解集为B,若{}1A B ⋂=， 则p+q=（ ）A ．２B ．０C ．１D ．－１4．如图，正方形AB 1 B 2 B 3中，C ，D 分别是B 1 B 2 和B 2 B 3的中点，现沿AC ，AD 及CD 把这个正方形折成一个四面体， 使B 1 ，B 2 ，B 3三点重合，重合后的点记为B ，则四面体A —BCD 中，互相垂直的面共有（ ）A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对5．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为 （ ） A ．2000B ．4096C ．5904D ．83206．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有 （ ）A ．(0)(2)2(1)f f f +<B ． (0)(2)2(1)f f f +>C ．(0)(2)2(1)f f f +≤D ．(0)(2)2(1)f f f +≥7．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域{}()100A x y x y x y =+，≤，且≥，≥，则平面区域{}()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积为 （ ）A ．2B ．1C ．12D ．148．设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 （ ）A ．(10)-，B ．(01)，C ．(0)-∞，D ．(0)(1)-∞+∞ ，，二、填空题：（每小题5分,共30分） 9． 函数()s i n ()(0,0,||2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则()f x = 10．若向量a 、b 的坐标满足a)1,2(--=+b ，a)3,4(-=-b ，则a·b 等于11．22023x x dx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ 。

12．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分． 13．过点A （2,3）的直线的参数方程()232x t t y t=+⎧⎨=+⎩为参数，若此直线与直线30x y -+=相交于点B ，则A B ＝ 。

14．如图3，⊙O 和⊙'O 都经过A 、B 两点，AC 是⊙'O的切线，交⊙O 于点C ，AD 是⊙O 的切线，交⊙'O 于 点D ，若BC= 2，BD=6，则AB 的长为15．设1x y z ++=，则22223F x y z =++的最小值为_____________。

数学当堂练习2（理科）三、解答题：16．（本小题满分12分）已知函数()2cos(sin cos)1f x x x x x=-+∈R，．（Ⅰ）求函数()f x的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．17．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．21．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n nn ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．数学当堂练习2（理科）19．（本题满分14分）如图，已知1111ABC D A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1A A 上，点F 在1C C 上，且11AE FC ==．（1）求证：1E B F D ，，，四点共面；（4分） （2）若点G 在B C 上，23B G =，点M 在1B B 上，G M B F ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ；（4分）（3）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θ．（4分）CBAG HMDEF1B1A1D1C18．（本小题满分14分）设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段A B 和直线:l y c =-交于点P Q ，．（1）若2OA OB =，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段A B 的中点，求证：Q A 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）数学当堂练习1、2、3（理科）参考答案一、选择题（每小题5分,共40分）9．__ 2sin4x π_________；10．___ -5________；11．______ 43________； 12．______ 13__________；13．________ ； 14．________32____________；15．________ 611_____________三、解答题：16．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-．17．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p=+=-+-=-于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）ξ的可能取值为012，，． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C495P ξ===．1180202100C C 160(1)C495P ξ===．2202100C 19(2)C 495P ξ===．所以ξ的分布列为18． 解：（Ⅰ）211233333n n n a a a a -++++=…， ①∴当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++=…． ②①-②得1133n n a -=，13n na =．在①中，令1n =，得113a =．13n na ∴=．（Ⅱ）n nn b a =，3nn b n ∴=．23323333nn S n ∴=+⨯+⨯++…， ③ 23413323333n n S n +∴=+⨯+⨯++…． ④④-③得12323(3333)n nn S n +∴=-++++…．即13(13)2313nn n S n +-=--，1(21)3344n n n S +-∴=+．19．（1）如图，在1DD 上取点N ，使1D N =，连结E N ，C N ，则1A ED N ==，12C F N D ==．因为A E D N ∥，1N D C F ∥，所以四边形A D N E ，1CFD N 都为平行四边形．从而E N A D ∥，1FD C N ∥．又因为A D B C ∥，所以E N B C ∥，故四边形B C N E 是平行四边形， 由此推知C N B E ∥，从而1FD BE ∥． 因此，1E B F D ，，，四点共面．（2）如图，G M B F ⊥，又B M B C ⊥，所以B G M C F B =∠∠，tan tan BM BG BG M BG C FB == ∠∠23132B C B G C F ==⨯= ．因为A E B M ∥，所以ABM E 为平行四边形，从而A B E M ∥． 又AB ⊥平面11BCC B ，所以EM ⊥平面11BCC B ． （3）如图，连结E H ．因为M H B F ⊥，EM BF ⊥， 所以BF ⊥平面EM H ，得E H B F ⊥．于是EH M ∠是所求的二面角的平面角，即E H M θ=∠．因为M B H C F B =∠∠，所以sin sin M H B M M B H B M C F B == ∠∠1BM ==⨯=，CBAG HMDEF1B1A1D1C Ntan E M M Hθ==解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则(301)BE = ，，，(032)B F =，，，1(333)BD = ，，， 所以1BD BE BF =+ ，故1BD ，BE ，BF共面．又它们有公共点B ，所以1E B F D ，，，（2）如图，设(00)M z，，，则203G M z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，而(032)B F = ，，，由题设得2323G M B F z =-+ 得1z =．因为(001)M ，，，(301)E ，，，有(300)M E =，，， 又1(003)BB = ，，，(030)B C = ，，，所以10M E BB = ， 0M E BC =，从而1M E BB ⊥，M E B C ⊥．故M E ⊥平面11BCC B ．（3）设向量(3)B P x y =，，⊥截面1EBFD ，于是BP BE ⊥，BP BF ⊥．而(301)BE = ，，，(032)B F =，，，得330BP BE x =+= ，360BP BF y =+= ，解得1x =-，2y =-，所以(123)BP =--，，．又(300)BA =，，⊥平面11BCC B ， 所以BP 和BA的夹角等于θ或πθ-（θ为锐角）． 于是cos BP BABP BAθ==．故tan θ=．20．解：（1）设直线A B 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得20x kx c --=．令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222OA OB ab a b c c =+=-+=，解得2c =，或1c =-（舍去）．故2c =．（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫- ⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--． 又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ， 因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q x c -，．若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =， 又直线AQ 的斜率为220AQ a c a ab k a x a x +-==--，所以22a ab a a x -=-，得202ax a ab =+，因0a ≠，有02a b x +=．故点P 的横坐标为2a b +，即P 点是线段A B 的中点．21．解：（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，322()211b x x bf x x x x ++'=+=++设2()22g x x x b =-+，其图象的对称轴为1(1)2x =-∈-+∞，，m ax 11()22g x g b ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭．当12b >时，m ax 1()02g x b =-+>，即2()230g x x x b =+->在(1)-+∞，上恒成立，∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>， ∴当12b >时，函数()f x 在定义域(1)-+∞，上单调递增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当12b >时，函数()f x 无极值点．②12b =时，3122()01x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'==+有两个相同的解12x =-，112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ，时，()0f x '>，12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，12b ∴=时，函数()f x 在(1)-+∞，上无极值点．③当12b <时，()0f x '=有两个不同解，12x =22x =，0b <时，1112x --=<-，2102x --=>，即1(1)x ∈-+∞，，[)21x ∈-+∞，． 0b ∴<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：0b <时，()f x 有惟一极小值点12x =当102b <<时，1112x --=>-，12(1)x x ∴∈-+∞，，此时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：由此表可知：12b<<时，()f x有一个极大值112x--=和一个极小值点212x-+=；综上所述：b<时，()f x有惟一最小值点2x=。