05-1牛顿运动定律

x
mg
9
dv mg kv F ma m dt
初始条件：t=0 时 v=0

v
v
0
dv ( m g kv F ) / m
t

t
0
dt
d ( mg kv F ) k mg kv F mdt 0 0
m g kv F k ln t mg F m
FB Fr
FB 为浮力
v
y
P
15

v
0
dv b t dt v ( F0 b) m 0
F0 dv b (v ) dt m b
FB Fr
F0 (b / m )t v ［ e 1 ］ b t , vL F0 / b（极限速度）
当
5
四种基本自然力的特征和比较
力的种类 相互作用的物体 力 程
万有引力 一切物体 电磁力 弱力 强力 电荷 大多数粒子 核子、介子等
无限远 无限远 小于10－17m 10－15m
6
弹性力：物体发生形变时，它有企图恢复原来形状的力。典型 的是弹簧。产生的力由胡克定律描述 F= －kx 负号表示作用力与变形的方向相反。 摩擦力：分为静摩擦力与滑动摩擦力。 静摩擦力：相互接触的物体，在接触面有相对运动趋势但尚 未运动时产生的阻碍物体运动的力。它自动与外力保 持平衡，但有一最大值。超过最大值后，物体开始运 动。 fmax= μsN （N是接触面的正压力）
在自然坐标系中力可以分解为切向与法向分量。
F F Fn n maτ man n τ
dV F m a m dt 或： V2 Fn m an m
3
注意：1）F 指的是作用于物体上的合外力。F=∑Fi。
2）牛顿第二定律适用于质点和物体的平动运动。
其中引力常数为
G =6.6710-11Nm2/kg2
例、地球对物体的引力P＝mg=GMm/R2 所以g=GM/R2 2、电磁力：（库仑力）f=kq1q2/r2
k=9 109Nm2/C2
3、强力：粒子之间的一种相互作用，作用范围 在0.410-15米至10-15米。
4、弱力：粒子之间的另一种作用力，力程短、力 弱（10－2牛顿）
(m M ) gtg
y
a
N
x
解得：
M mg
o
m
F
mg sin ma cos N mg cos ma sin
此种方法更简单.
a gtg
N mg / cos
19
例7 如图所示（圆锥摆），长为 l 的细绳一端固 定在天花板上，另一端悬挂质量为 m 的小球，小球经 推动后，在水平面内绕通过圆心 O 的铅直轴作角速度 为 的匀速率圆周运动 . 问绳和铅直方向所成的角 度 为多少？空气阻力不计. 解:

2 v0 FT m( 2 g 3g cos ) l
14
例5: 一质量m ,半径 r 的球体在水中静止释放沉入 水底.已知阻力Fr = -6π rηv,η 为粘滞系数, 求 v(t) . 解 取坐标如图
mg FB 6πrv ma
令
F0 mg FB
b 6 πr dv F0 bv m dt F0 dv b (v ) dt m b

x
l
gxdx Lvdv
0
v
x
1 1 2 2 2 g ( x l ) Lv 2 2
dx v dt
g 2 2 (x l ) L

t 0
vL
tL
g 2 2 (L l ) L

L
dx x2 l 2
l
g dt L
L L L2 l 2 ln g l
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动力学问题解题步骤 隔离物体 列方程 两类常见问题 受力分析 解方程 建立坐标 结果讨论
(m g F ) v (1 e m ) k kt
运用牛顿定律解题的步骤：
1、分别分析每个物体的受力情况。 2、列出动力学方程。 3、求解方程
10
例2：如图所示的轻滑轮上跨有一轻绳，绳的两端连接 着质量分别为m、M的两物体，现在以恒力F向上提滑 轮的轴， m、M的加速度各为多少？ F 解：用隔离体的方法 F－2T=0 T － mg=ma1 T － Mg=Ma2
dv m bv dt v dv b t v0 v m 0 dt
y
v0
P
v
v
t
17
v v0e
( b / m) t
o
例6: 质量为 m 的木块 放在质量为 M 倾角为 N 的光滑斜劈上, 斜劈与地面 的摩擦不计, 若使 m 相对 x 斜面静止， 需在斜劈上施 a 加多大的水平外力？ 木块 对斜劈的压力为多少？ 解1 确定木块为研究对象，
y
F0 b
P
v
t 3m b 时
v
t
16
v vL (1 0.05) 0.95vL
一般认为
t 3 m b , v vL
o
若球体在水面上是具有竖直向 下的速率 v0 ，且在水中的重力与 浮力相等， 即 FB P . 则球体在 水中仅受阻力 Fr bv 的作用
FB Fr
y

oБайду номын сангаас
m M
F
mg
在地面上建立坐标系，要想使 m 相对 M静止，m 在水平方向与 M 的加速度相同
N sin ma N cos mg 0
联立求解：
a gtg
N mg / cos
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则外力 F (m M )a 由牛顿第三定律，m对 M的压力与N大小相等方向相 反，数值为 N mg / cos 解2 沿斜面建立坐标 系， 坐标系建立得好坏， 对解题难易程度有直接影 响，但对结果无影响.
第二章牛顿运动定律 第二章牛顿运动定律
2.1 2.1
牛顿运动定律 牛顿运动定律
1
一、牛顿运动定律 1、第一定律（惯性定律） 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到有外 力迫使它改变这种状态为止。 注意：1、力是使物体速度改变的原因，而不是维持速 度的原因。 2、物体具有惯性（保持原有状态的能力），惯 性的大小由质量来量度，称为惯性质量 m。 3、惯性定律在其中成立的参照系称为惯性参照 系。
已知力求运动方程 F a r 已知运动方程求力 r a F
例4: 如图长为 l 的轻绳，一端系质量为 m 的小球, 另一端系于定点 o ， t 0 时小球位于最低位置，并具 有水平速度 v0 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力. 解
FT mgcos man mgsin mat
注意：1）静摩擦力的大小不是固定值，仅在开始运动前达到最 大值。
2）静摩擦力的方向与接触面的相对运动趋势相反。不一 定与运动方向相反。
7
滑动摩擦力:当接触面有相对运动时产生的力，动摩擦力与运动 方向相反，且与接触面的正压力成正比。 f = μN 物体的质量： 惯性质量：由 F=ma 确定，反映物体的惯性。 引力质量：由 F=Gm1m2/r2 确定，反映物体的质量有 对其它物体施加作用力能力。
T T
T m mg
F a2 g 2M
T
M
Mg
解得： a1 F g 2m
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例3、 一根长为L，质量为M的柔软的链条，开始时 链条静止，长为L－l 的一段放在光滑的桌面上,长为 l 的一段铅直下垂。(1)求整个链条刚离开桌面时的速度； (2)求链条由刚开始运动到完全离开桌面所需要的时间。 M dv dv dx dv 解： xg Ma M M Mv L dt dx dt dx
2
2、第二定律
在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与外力 成正比，与物体的质量成反比；加速度沿合外力的的方 向。 数学表达式为： F=ma 在三维直角坐标系中：
F ma max i may j maz k
Fx=max
其分量式可以写成:
Fy=ma y
Fz=maz
v2 FT sin m an m m r 2 r A FT cos P 0
FT P ma
l FT
r l sin
r o P et v
20
en
l FT
A
l

l
r o P et v
2
en
m
m
arccos
惯性质量 m：是用来衡量物体惯性大小的物理量。
3、作用与反作用力定律：对于每一作用，恒有一反作用，它 们大小相等，方向相反，作用于同一直线上。 FA FB 注意：1）作用力与反作用力属于同一性质的力。
A B
2) 作用力与反作用力作用于不同物体。
4
二、基本的自然力
Gm1m2 1、万有引力： f r2
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例1、质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当 它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为 常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的 关系为
mg F v (1 e k

kt m
)
F f a
式中t为从沉降开始计算的时间。
证明：取x轴坐标向下，作受力图。
根据牛顿第二定律，有
dv mg sin m dt dv dv d v dv dt d dt l d
FT mgcos mv2 / l
o
FT e

n
v0 m g
et