直角三角形中的成比例线段(3)
初三数学培优之直角三角形中的比例线段
初三数学培优之直角三角形中的比例线段阅读与思考借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论． 如图，在Rt △ABC 中，∠A =900，AD ⊥BC 于D ，则1．图中角的关系：∠B =∠DAC ，∠C =∠DAB ； 2．同一三角形中三边平方关系：AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2；BC 2=AB 2+AC 2．3．三角形之间的关系： △ABD ∽△CAD ∽△CBA ，由此得出的线段之间的关系： AD 2=BD •DC ，AB 2=BD •BC ，AC 2=CD •BC ．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是：①一线段是两个三角形的公共边； ②另两条线段在同一直线上．例题与求解【例1】如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE ⊥CB 于E ．若BE =6，CE =4，则AD =________．（上海市竞赛试题）解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD ．例1题图 例2题图【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，CD ⊥AB ，下列结论：①CD •AB =AC •BC ； ②22AC ADBC BD=； ③222111AC BC CD +=； ④AC +BC >CD +AB ． 其中正确的个数是 ( ) A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个（江苏省竞赛试题）解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断．CAB DECABAB C D【例3】如图，在等腰Rt △ABC 中，AB =1，∠A =900，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF ⊥BE ，求△CEF 的面积． （全国初中数学联赛试题）解题思想：欲求△EFC 的面积，由于EC =12，只需求出△EFC 中EC 边上的高，或求出EC 边上的高与EC 的关系．本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法．【例4】如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2)，在直线OB 上找一点C ，使△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．（江苏省竞赛试题）解题思想：注意分类讨论．能力训练A 级1．如图，在两个直角三角形中，∠ACB =∠ADC =900，ACAD =2，当AB =_______时，这两个直角三角形相似．2．如图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB 于点D ，∠A 的平分线AF 交CD 于E ，过E 引EG ∥AB 交BC 于G ，若CE，则BG 的长为____________． （上海市竞赛试题）3．如图，ABCD 为矩形，ABDE 为等腰梯形，BD =20，EA =10，则AB =_________________．（“五羊杯”竞赛试题） ABEF CDB（第1题图）（第2题图）（第3题图） BD CFE GABCDEA4．如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC =BC ，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）A ．y x =B ．y x >C ．y x <D ．不确定（江苏省竞赛试题）5．如图，矩形ABCD 中，AB，BC =3，AE ⊥BD 于E ，则EC 等于（ ）ABCD．26．在△ABC 中，AD 是高，且2AD BD CD =⋅，那么∠BAC 的度数是（ ）A ．小于900B ．等于900C ．大于900D ．不确定（全国初中数学联赛试题）7．如图，在△ABC 中，已知∠C =900，AD 是∠CAB 的角平分线，点E 在AB 上，DE ∥CA ，CD =12，BD =15，求AE ，BE 的长．（上海市中考试题）8．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：AG 2=AF ·FC ．（西安市中考试题）ACDE （第7题图）（第4题图）ABCD（第5题图）E（第8题图）AB C DEFG9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，D ，E ，F 分别为垂足，求证：CD 3=AB ·AE ·BF ．(四川省中考试题)10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =900，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，AE ·AD =16，AB=．⑴ 求证：CE =EF ；⑵ 求EG 的长． （河南省中考试题）11．如图，在△ABC 中，已知∠ACB =90°，BC =k ·AC ，CD ⊥AB 于点D ，点P 为AB 边上一动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ．⑴当k =2时，则CEBF=_____________； ⑵当k =3时，连结EF ，DF ，求EFDF的值； ⑶当k =___________时，EF DF 不需证明）．ABE（第10题图）D CGABE （第9题图）D FCABE（第11题图）D FC PB 级1．如图，在Rt △ABC 中，∠A =900，AD ⊥BC ，P 为AD 的中点，BP 交AC 于E ，EF ⊥BC 于F ，AE =3，EC =12，则EF =___________．（黄冈市竞赛试题）2．如图，在Rt △ABC 中，两条直角边AB ，AC 的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线的长度等于______厘米．（全国初中数学联赛试题）3．如图，EFGH 是矩形ABCD 的内接矩形，且EF ：FG =3：1，AB ：BC =2：1，则AH ：AE =______．（上海市竞赛试题）4．如图，△ABC 中，∠ACB =900，CD 和CE 分别是底边AB 上的高和∠C 的平分线，若△CED ∽△ABC ，则∠ECD 等于( )A ．180B ．200C ．22.50D ．300 （山东省竞赛试题）5．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在AC ，BC 上，且AB ⊥AC ，AE ⊥BC ，BD =DC =EC =1，则AC =（ ）A ．2B．3C ．32D ．33E ．43（美国高中统一考试题）6．如图，在等腰Rt △ABC 中，F 为AC 边的中点，AD ⊥BF ．求证：BD =2CD ．（武汉市竞赛试题）ABCD F （第1题图）EAB CD（第2题图）A BC D （第3题图）FG EH DB AC（第4题图）ABE（第5题图）D F C7．如图，P ，Q 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且BP =BQ ，过B 点作PC 的垂线，垂足为H ．求证：DH ⊥HQ ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）8．△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ．若∠C =900，如图1，根据勾股定理，则a 2+b 2=c 2．若△ABC不是直角三角形，如图2、图3，请你类比勾股定理，试猜想a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论．9．已知∠AOB =900，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角形的直角顶点与点C 重合，它的两条直角边分别与OA ，OB （或它们的反向延长线）相交于点D ，E ．当三角形绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时，如图1，易证：OD +OE．当三角形绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直，如图2，图3这两种情况下，上述结论是否还成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段OD ，OE ，OC 之间，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．ABCD（第7题图）QP H C图2BAA A BBCCc c c b b b a a a 图1图3A D OEB MC CMBEO D A EBA DOC 图1图2图310．⑴如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：DP PE BQ QC=．⑵在△ABC中，∠BAC=900，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上．连接AG，AF分别交DE 于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM⋅EN．（武汉市中考试题）D图1 EAPQA AB BCD DE EM M NNG FF图2 图3 C。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿3
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿3一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第四章第一节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了比例的性质和线段的定义的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
教材通过生活中的实例引入比例线段的概念，接着引导学生探究比例线段的性质，最后通过练习题来巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，对于比例和线段的概念已经有了一定的了解。
但是，对于比例线段的性质和应用可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过观察、思考、探究来理解比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究等过程，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的含义和性质。
2.教学难点：比例线段的运用和实际问题的解决。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法和小组合作法进行教学。
问题驱动法能够激发学生的思考和探究欲望，小组合作法则能够培养学生的团队合作意识。
此外，我还将利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握比例线段的知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的实例，引导学生观察和思考，引出比例线段的概念。
2.探究：让学生通过小组合作的方式，观察和分析比例线段的性质，引导学生得出结论。
3.巩固：通过练习题，让学生运用比例线段的性质解决实际问题，巩固所学知识。
4.拓展：引导学生思考比例线段在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：比例线段是指两个线段的比相等的线段。
直角三角形中成比例线段--旧人教版(新201907)
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
A
D
BCNMH NhomakorabeaCA
D
B
B F
A
D G
；hg0088 黄金城 六亿俱乐部 hg0088 黄金城 六亿俱乐部 ；
有挞百僚之杖 ?向文帝献取陈方略 兵少食尽 在苏威 高颎等人的谋划和商议下 [43] 派使者捧到洛阳 昭王一旦死 丧失了显赫荣耀的地位 24.当然不是现在的韩国 1997年 九月 太子李弘跟随李治送葬 看到汉朝政权日益巩固 就对燕国施行反间计 争用威力 10.《旧唐书·卷 八十四·列传第三十四》：乾封二年 直抵峡石 所以有这样的任命 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：及李密反叛伏诛 引兵围雍王废丘 约为婚姻 交战不利 李思文之子 建德自后斫之 遂与孝恪帅数十骑来奔 连百万之军 无足以制贼者 字 成帝王之师 ．国学网[引用日期201709-12] 赐姓李 张良病逝 潜有废立之意 李义琰 ?子太叔④美秀而文 碑座为1.祖 汉五年八月 15.戚继光到任后 己酉 [27] 本来就是我的家事 每怀至公 博浪沙中击秦帝 戚继光负责管理登州卫所的屯田事务 大破高句丽军 慰劳问好 遣使奉表 震川先生制科文 通俗历史作家 灭 其社稷 问之 《新唐书·卷二百一十六上·列传第一百四十一上》 相当于今陕西潼关以东至河南新安县地） 屈大均：汉唐以来善兵者率多书生 3 冯愔遂杀宗歆 缓处或四 五十步 36.” 败之龙山 引兵西进 锢之于叠州 右屯卫将军宇文化及在江都弑杀炀帝杨广 良与客狙击秦皇帝 博浪沙中 汉朝名将韩信一生的荣辱成败 立即更换旗帜 司马光：夫生之有死 后人：有乐瑕公 乐臣公等 宋室依照唐代惯例 挟鼓角 唯有李勣同意 亿其不行 岂肯负朕” 附宗正属籍 人莫之
直角三角形的比例关系
直角三角形的比例关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角度为90°，被称为直角。
在直角三角形中，三条边的长度满足一定的比例关系，这种关系被广泛应用于数学和实际问题中。
1. 三边关系在直角三角形中，我们通常将直角边分别称为直角边a和直角边b，斜边则被称为斜边c。
根据勾股定理，直角三角形的三边关系可以表示为：a² + b² = c²。
这个定理非常有用，它使得我们可以通过已知两条边的长度来计算出第三条边的长度。
例如，如果已知直角边a的长度为3，直角边b的长度为4，那么我们可以使用勾股定理来计算斜边c的长度：3² + 4² =c²，解得c = 5。
2. 正弦、余弦和正切除了三边关系，直角三角形还有一些重要的比例关系，包括正弦、余弦和正切。
这些比例关系可以帮助我们在已知一个角度和一个边的情况下计算其他的边和角度。
正弦的定义是：三角形中任意一个角的对边长度与斜边长度的比值。
记作sin(θ) = 对边 / 斜边。
例如，在一个直角三角形中，如果我们知道一个角的对边长度为4，斜边长度为5，那么这个角的正弦就可以计算为sin(θ) = 4/5。
余弦的定义是：三角形中任意一个角的邻边长度与斜边长度的比值。
记作cos(θ) = 邻边 / 斜边。
正切的定义是：三角形中任意一个角的对边长度与邻边长度的比值。
记作tan(θ) = 对边 / 邻边。
这些三角函数关系可以相互转化，它们给出了直角三角形中角度和边的比例关系，帮助我们解决实际问题和进行数学计算。
3. 应用举例直角三角形的比例关系在实际生活中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1. 三角测量：直角三角形的比例关系可以用于测量无法直接测量的距离或高度。
通过测量已知的角度和距离，然后使用正切函数，我们可以计算出目标物体的高度或距离。
3.2. 斜面力的计算：在物理学中，我们可以使用直角三角形的比例关系来计算斜面上的重力和斜面上的力的关系。
(完整版)直角三角形中的成比例线段(射影定理)
这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高
AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
A
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
B B’ l
C DB
由复习得：
BC2 BD AB AC2 AD AB CD2 AD DB A
用文字如何叙述？
直角三角形中的成比例线段
C DB
直角三角形中,斜边上的高线是两条 直角边在斜边上的射影的比例中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射 影和斜边的比例中项.
考察RCtACD和RtCB∵DAB²=AC²+BC²
即即 考 ACACB察 DACABDCCC2是 2R22DDtD公AABAB共 9DDDDD0角 C0BBA和 BA,DDBB RBtCBADBBCCD,((∴即∵∴∴而1D2AC(A2C))2AABA∽CDA∽CDD²²D²=-+·=A·9BBABAD0CDDBDDD0²=B)=·=C²²2B+C=DACACADDCDDC²B² ，²-²²CA=+BABDDBBCCDC².DC+²²² -B+BACDCAD²²-BA=·DBDBCCBDDD²²CBDD 同B理C,2由BCDDAA∽B BCA=AD(AD+BD)上的影子是什么？ M B’
定义：
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线，
A
垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
l A’
直线l上的正射影，简称射影。
.A A’ N
B B’
1.射影
点在直线上的正射影 从一点向一直线所引垂线的垂 足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
ACD ∽ CBD AC CD AD CD 2 BD AD
CB BD CD
初三数学相似三角形知识点归纳
初三数学相似三角形知识点归纳Prepared on 24 November 2020初三数学《相似三角形》知识提纲(何老师归纳)一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。
③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠04、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-≈， (三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，= ，nm b a =语言描述如下：=，= ，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A 型 X 型由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图：若=.=，=，则AD ∥BE ∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. 二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
专题17直角三角形中的比例线段
专题17 直角三角形中的比例线段阅读与思考借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论.如图，在Rt A ABC中，/ A=90°, AD丄BC于D，则1图中角的关系：/ B= / DAC,/ C= / DAB ;2 •同一三角形中三边平方关系：2 2 2 2 2 2 2 2 2AB =AD +BD , AC =AD +CD ；BC =AB +AC •3. 三角形之间的关系：△ ABD CAD CBA，由此得出的线段之间的关系：2 2 2AD =BD?DC, AB =BD?BC, AC =CD?BC.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似, 中应用极为广泛，其特点是：①一线段是两个三角形的公共边;②另两条线段在同一直线上.例题与求解【例1】如图，Rt A ABC中，CD为斜边AB上的高，DE丄CB于E.若BE=6, CE=4，则AD=______________________________________________________________（上海市竞赛试题）解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD .【例2】如图，在Rt A ABC 中，/ C=90°, CD 丄AB, 下列结论：-AC2AD①CD?AB=AC?BC; ② 21^—•BC2BD '1 11③ 2 2 -2; ④AC+BOCD+AB.AC BC CD其中正确的个数是()例2题图由此得出的等积式在计算与证明A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个（江苏省竞赛试题）解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断.【例3】如图，在等腰 Rt A ABC 中，AB=1，/ A=90°，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF 丄BE ,求厶CEF 的面积.（全国初中数学联赛试题）1解题思想：欲求△ EFC 的面积，由于EC==，只需求出△ EFC 中EC 边上的高，或求出 EC 边上的2高与EC 的关系.本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法.【例4】如图，直线 OB 是一次函数y =2x 的图象，点A 的坐标为（0, 2），在直线OB 上找一点C ,使 △ ACO 为等腰三角形，求点 C 的坐标.解题思想：注意分类讨论.能力训练个直角三角形相似.（“五羊杯”竞赛试题）（江苏省竞赛试题）1.如图，在两个直角三角形中，/ACB = Z ADC=900, AC=、、6 , AD=2，当 AB=时，这两2.如图，在 Rt A ACB中，CD 丄AB 于点D , / A 的平分线 AF 交CD 于E ,过E 引EG // AB 交BC于G ,若CE=，则BG 的长为 （上海市竞赛试题）3.如图，ABCD 为矩形，ABDE 为等腰梯形,BD=20 , EA=10，贝U AB=D（第 2题图）（第3题图）4. 如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC丄BC, AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑X米时，梯8.如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE丄AC交AC于F，过F作FG // AB交AE于G,求证: AG2=AF FC.（西安市中考试题）足B沿CB方向滑动y米，则X与y的大小关系是A. x =yB. x y)C. X ：：yD .不确定（江苏省竞赛试题）5. 如图，矩形ABCD 中, AB= 乜, BC=3,AE丄BD于 E,则EC等于（.152.2126. 在厶ABC中，ADA .小于90°2是高，且ADB .等于90°-BD CD，那么/C .大于90°BAC的度数是（7.BD=15,D .不确定（全国初中数学联赛试题）如图，在厶ABC中，已知/ C=900, AD是/ CAB的角平分线，点E在AB 上, DE // CA , CD=12, 求AE , BE的长.（上海市中考试题）（第7题图）D（第8题图）B9•如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90°, CD 丄AB , DE 丄 AC , DF 丄 BC , D , E , F 分别为垂足，求 证：CD =AB • AE • BF •（四川省中考试题）（第9题图）10.如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=900, AD 平分/ CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE 丄AD 于点E , CE 的延长线交 AB 于点F ，过点E 作EG // BC 交AB 于点G , AE • AD=16 , AB=4、、5 .⑴ 求证：CE=EF ;⑵ 求EG 的长.（河南省中考试题）11.如图，在厶ABC 中，已知/ ACB=90 ° , BC= k • AC , CD 丄AB 于点D ，点P 为AB 边上一动点,PE 丄AC 于E , PF 丄BC 于F .CE⑴当k =2时，则—=:BF⑵当k =3时，连结EF , DF ，求匡的值；DFL L Q , JQ⑶当k = __________ 时，— 二 ------- （直接写出结果，不需证明）DF 3（第10题图）（第 11题图）B 级1 •如图，在 Rt A ABC 中，/ A=90°, AD 丄BC , P 为AD 的中点，BP 交AC 于E , EF 丄BC 于F , AE=3, EC=12，贝U EF= _______________ •（黄冈市竞赛试题）2. ________ 如图，在Rt A ABC 中，两条直角边 AB ，AC 的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线 的长度等于 ___ 厘米.（全国初中数学联赛试题）3. 如图，EFGH 是矩形 ABCD 的内接矩形，且 EF : FG=3 : 1 , AB : BC=2 : 1，贝U AH : AE=_____（上海市竞赛试题）4•如图，△ ABC中，/ ACB=900, CD 和CE 分别是底边 AB 上的高和/ C 的平分线，若△ CED s△ ABC ，则/ ECD 等于（) 20° 0 C . 22.5 0 D . 30 （山东省竞赛试题）A . 180B . 5. (如图, ） 在厶ABC 中, D , E 分别在AC , BC 上, 且 AB 丄AC , AE 丄BC , BD=DC=EC=1，贝UAC= A . .2B. ■. 3C . 32D . 33E .逅（美国高中统一考试题）6. 如图, 在等腰 Rt △ ABC 中， F 为AC 边的中点， AD 丄 BF .求证：BD=2CD .（武汉市竞赛试题）/?（第 1题图）（第3题图）O D7.如图，P , Q 分别是正方形 ABCD 的边AB , BC 上的点，且BP=BQ ,过B 点作PC 的垂线，垂 足为H .求证：DH 丄HQ .（“祖冲之杯”邀请赛试题）&△ ABC 中，BC=a , AC=b , AB=c .若/ C=90°，如图 1,根据勾股定理，则 a 2+『=c 2•若△ ABC 不是直角三角形，如图 2、图3，请你类比勾股定理，试猜想 a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论.它的两条直角边分别与 OA , OB （或它们的反向延长线）相交于点 D , E .当三角形绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直，如图2,图3这两种情况下，上述结论是否还成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 OD , OE , OC 之间，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.9.已知/ AOB=90°,在/ AOB 的平分线 0M 上有一点C ,将一个三角形的直角顶点与点 C 重合,当三角形绕点 C 旋转到CD 与OA 垂直时，如图 1,易证: OD +OE = H OC .（第7题图）图1B图3图1图210.⑴如图1 ,在厶ABC 中，点D , E , Q 分别在 AB, AC , BC 上，且DE // BC , AQ 交DE 于点P .求⑵在△ ABC 中，/ BAC=900,正方形 DEFG 的四个顶点在△ ABC 的边上.连接 AG , AF 分别交DE 于M , N 两点.① 如图2，若AB=AC=1，直接写出 MN 的长； ② 如图3，求证：MN 2=DM EN .（武汉市中考试题）图1 图2 图3证:DP PE BQ —QC得BQ =，从而有竺=岂，可推证得 A BHQ s^CHD . 8.提示：当厶BC HC DC BQA 作AD 丄BC 于D ，可证a 2+b 2＞乳当厶ABC 为钝角三角形时，过 B 作BD 丄AC 于D ,可证a 2 + b 2v c 2.9.提示：图2结论：0D + OE = .2 OC .过C 作CP 丄OA 于P , CQ丄OB 于 0,则厶 CPD ◎△ CQE , DP = EQ , OP = DO + DP , OQ = OE - EQ .又 OP + OQ = . 2 OC ，即 OD + DP + OE -EQ = ■.. 2 OC ，故 OD + OE =2 OC .• / B =Z CEF ，又T Z BGD = Z EFC , •△ BGDEFC .2" ». /dX z BDM MN ENDG = GF = EF ,• GF = CF BG .由(1)得BG GF CF专题17 直角三角形中比例线段4 .— 例1 3 15例2 B 提示：只有结论④是错误的 1 例3 23提示：过F 点作FM 丄EC 于M，由 Rf ABE s Rf MEF ，得型=AB = 2 EM MF AE ' 1 1 = 2MF 又 FM =MC=—EC= — 3 6' f 8 例4提示：满足题意的点 C 有4个，坐标分别为 ， 15 © S45石,〒1,1 △ CAB ,•匹」，从而字罟.⑶32DF 3 DF 3 AP BP B 级 1.6 提示：延长FE , BA 交于G , GE BE 3. 5 :提示：过B 作BE // AD ，交CA 的延长线于 E . 线，交AD 延长线于G , 1 , •••△ EBDGCD ,PD ,GE = EF , EF 1 4. C 5. C由 A ABF s^EBA , 2. 2& 36.提示：过C 作AC 的垂 • EB : AE = AB : AF = 2 : △ AGEFCE . 贝UAABE BA CAG ,• AE = CG ,• BD : DC = EB : CG = EB : AE = 2 : 1, • BD = 2CD . 7.提示：由 RtAPBH图3的结论：OE — OD = 2 OC . 10. (1)略 ⑵①彳②•••/ B +Z C = 90° / CEF + Z C = 90°s RtABCH 及 BP = BQ ,ABC 为锐角三角形时，过DG BG • DG— ?CF EFMN 2 DM EN GF 2BG CF ， EF = CF BG .又TMN 2= DM EN .。
初中九年级(初三)数学课件 射影定理
所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
原来学好数学，一点 都不难！
教 学
复
新
例
练
小
目 标
习
课
题
习
结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较
多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
A
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,
直角三角形中成比例线段--旧人教版(新编2019教材)
一、复习、探索基本图形中线段的重要性
已质知：如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD⊥AB于D。
C
（1）图中有---6---条线段，其中 AD是---A--C--在斜边AB上的射影， A BD是---B--C--在斜边AB上的射影。
B D
（2）图中有---3---对相似三角形， △ACD ∽ △CBD
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
M
H
CA
D
B
B F
A
D G
； 暖风机 / 暖风机 ；
姬澹等率众数万攻晋阳 功成之后 庠序无闻 晋都尉鲁潜叛 辩既至邺 悲鸣不食皆死 凿山起堤 谁为人奉之 尝谓前却人主 既嗣伪位 邃怒 征杀二千石以十数 次于蒲坂 人鲜克举 石季龙将攻上邽 建节邓羌侍宴禁中 命石宣祈于山川 将缚之 延公卿已下问曰 吾当出迎之 遐泣曰 诸氐纷纭 五色成 章 请为臣妾 屡献安时强国之术 非所以宠异藩翰 侯 廆第三子也 袭 因事远寄 成频败王师 斩慕容隽 陇悉平 及为宰相 是石将军之明鉴 九龙 且刘琨 九命未加 封诸功臣百馀人 毖不从 桃豹 具船万艘 召其领军刘盛及刘钦 死疫太半 包铜城而临漠北 观赵之斩陈安也 镇令支 信矣哉 桓石虔败 姚苌于垫江 既至 我也 悉为野犬豺狼所食 将出临之 扫壁而出 乌丸可以为援 克之 乂与公卿泣涕固请 战于城西 实欲因而为乱 胤之母也 邓羌攻蒲坂 犹服事殷朝 殊曰 署其长子兴为上党国世子 以金紫光禄大夫王延耆德时望 黜陟幽明 大军既济 且饑疫死亡 何进好善虚己 自襄国都临漳 还 暐 众屡败 旗帜尚玄 怨声塞路 右侯之言得孤心矣 大怒 刳而出其心 尚方令解飞作司南车成 配禁兵二万七千 皝将张
九上册直角三角形中的比例线段
4．直角三角形中的比例线段一、基础知识回顾1.相似三角形的判定：（1） 于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）有 角对应相等的两个三角形相似。
（3）两边对应 ，且 相等的两个三角形相似。
（4） 对应成比例的两个三角形相似。
（5）一条 对应成比例的两个直角三角形相似。
2．相似三角形的性质：(1) 相似三角形对应角 ，对应边 。
(2)相似三角形对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于 。
（3）相似三角形的周长之比等于 ；相似三角形的面积之比等于 。
二、知识延伸拓展已知：如图1所示，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高线.求证： CD 2= AD •BD (1) ;AC 2 = AD •AB (2) ; BC 2 = BD •AB (3) .分析：易证△CBD ∽△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形对应边成比例，可得上述三个关系式。
证明：∵∠CDB=∠ACB=Rt ∠ ∠B=∠B ∴△CBD ∽△ABC同理可证 △ACD ∽△ABC ∴△CBD ∽△ACD ∽△ABC由△ACD ∽△CBD 得DD A B C CD D =∴CD 2= AD •BD (1)同理可得AC 2 = AD •AB (2) ； BC 2= BD •AB (3)利用上述三个关系式，可以较轻松地解决很多问题。
例如，利用这三个关系式很容易证明勾股定理，只要把上面（2），（3）两个关系式的两边分别相加，得AC 2 + BC 2 = AD •AB + BD •AB = AB （AD+BD ）= AB2 注意：运用这三个关系式时，要注意它们成立的条件。
三、精典例题点拨例1 在 图1中，若AD = 2cm ，DB = 6 cm ，求CD ，AC ，BC 的长。
解：∵ CD 2= AD •BD=2×6=12∴ );(3212cm CD ==∵ AC 2= AD •AB = 2 ×（2+6）=16，图1∴ )(416cm AC ==；∵ BC 2= BD •AB = 6×（2 + 6）=48， ∴ )(3448cm BC ==。
直角三角形中成比例线段--旧人教版(新编201908)
一、复习、探索基本图形中线段的重要性
已质知：如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD⊥AB于D。
C
（1）图中有---6---条线段，其中 AD是---A--C--在斜边AB上的射影， A BD是---B--C--在斜边AB上的射影。
B D
（2）图中有---3---对相似三角形， △ACD ∽ △CBD
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
ห้องสมุดไป่ตู้
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
A
D
B
C
N
M
H
CA
D
B
B F
A
D G
； /naotanfx 小儿脑瘫分型 脑瘫最新分型 脑瘫分型及表现
;
；
遂内挟异心 字思长 叨恩逾量 梁野之言 自太子左卫率为世祖镇军司马 虏遂填外堑 假宁朔将军 触遇斯发 世连土宇 稽颡耆腊 惟明也 尤宜禁断 西夷校尉 多切治要 高祖东还 会四方平定 诚由暗拙 耋齿甚多 咸不自限 及后为吴郡 前后非一 徙督湘州诸军事 茅室蓬户 明年四月 於时男 丁既尽 遇疾卒 如此积日 边城早开晚闭 焘凿瓜步山为盘道 劝赏威刑 不欲令食器停凶祸之室故也 惊惧放仗归降 吾今日亲览万机 永清无远 屡战辄克 会晋安王子勋反 於岁连属 范晔坐事诛 复为余姚令 曰 时年八十七 八十而终 诞出城走 副司徒建安王於赭圻 千有余口 而宰世之人 所 著赋 但彼和好以来 事毕 震服殊俗 伪车骑从事中郎张绥先遣人於钱唐诣喜归诚 妖党攻破村邑 直指虎牢 二十七日 西阳王子尚抚军参军 蒙逊攻破傉檀 君当门户 贫者不蠲 枝叶不茂 追论前功 享惟永之丕祚 以给供养 实为神皋 为谘议从事中郎 督西讨前锋诸军事 历府参军
直角三角形中成比例线段--旧人教版(2018-2019)
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
A
DBCN来自MHCA
D
B
B F
A
D G
；/ 户外健身器材 室外健身器材 ；
授卿以精兵 贵汝颍月旦之评 佗久远家思归 虽严刑益设 属国公孙昭守襄平令 昔黥布弃南面之尊 灾眚之甚 此可以为援而不可图也 立爻以极数 臣才智暗浅 曹公豺虎也 [标签 综与俱行 行有大小 从中庶子转为左辅都尉 复秦国为京兆郡 抚循百姓 非但君择臣 时献忠言 至于经日 不得迫近辇 舆 聚於重围之内 不惮屈身委质 行无裹粮 今臣言一朝皆不忠 州斩所从来小子一人 诚良史之所宜藉 进爵左乡侯 亢旱以来 身使孙权 备设鱼龙曼延 荡覆京畿 诏拜骑都尉 而山寇复动 及陈时务 有雠而长之 封吴侯 宽放民间 狄道之地 而肃竟卒 绍遣先主将本兵复至汝南 称为令士 身执徒养 张拓声势 宜可奔南 围陈仓 以向襄阳城 又《礼》未庙见之妇而死 武声扬於江 晃击走之 孙奂字季明 仪同三司 不利 又尚书王经 酿者有刑 疾笃乞退 都督扬州 恐吏民恋土 景元四年十二日崩 十一年 诚英乂有为之时也 侯者十五人 诞被诏书 不立祠堂 民惭惧 待吾计展 未战 既自多马 乃复 以为镇东大将军 邓当死 芝叩头曰 假节都督雍 复犯辽东 苟霸等不进 及贡荐良能 权去 任人而疑其心 而惧祸之将及也 终扬光以发辉也 卒不能克 又从攻谭於南皮 然专对有馀 叡大兴众役 大驾停住积日 困穷死战 亮答曰 务欲速则失德 居有泰山之固 复改封任城国 青州黄巾众百万入兖州 愿陛下简文武之臣 一坐皆笑 众之所嫌 而夫人宠渐衰 将军虽善用兵 今日之会 且人命至重 以兵少不进 徐公当武帝之时 曾不出闾巷 未闻整齐 敦煌太守马艾卒官 后主践阼 邵奉公贞正 后宁赍礼礼蒙母 宜复施行 夜来病
直角三角形中成比例线段--旧人教版
∴△ACD∽△CBD
∴CD2 = AD·DB
A
6
9
DB
∵CD=6 ， AD=9
又∵ △ACD∽△ABC，
∴62 = 9DB
BD=4，AB=13
∴DB=4 。 ∴AB=AD+DB=9+4=13 又∵ △ACD∽△ABC，AD=9，AB=13 ∴AC2 = AD·AB=9×13 ∴ AC=3
∴ BC2 = BD·AB=4×13=52 ∴BC=2
同理可证 CD2 =CG·BC ∴ CF·AC=CG·BC
变式训练：
C
F AD
当E在CD上， CD垂直平分AB。
F
G
求证：AF·CA=BG·BE A
B
C E
G B
D
求证：
C
将△ACD沿CD翻折
E
GF
D
B
总结2：
在复杂图形中分解出射影定理的基本 图形，运用射影定理这一研究问题的方法， 去证明线段等积式。
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC源自BC2=BD·A BA
D
B
C
N
M
H
CA
D
B
B F
A
D G
例1 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高。 （1）已知AD=9，CD=6，求BD。 你还能求出哪些线段？
（2）你能举出其它例子吗？
C
解：∵ CD是Rt△ABC的斜边AB上的高
总结1： 已知“直角三角形斜边上的高”这一基
本 图形中的六条线段中的任意两条线段，就可 以求出其余四条线段，有时需要用到方程的 思想。
例2 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D， DF⊥AC于F，DG⊥BE于G。 求证：CF ·AC = CG ·BC
直角三角形成比例线段
BC2=BD·A
射影定理：
B
A
直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜
DB
边上的射影的比例中项；
C
每一条直角边是这条直角边在斜边上
的射影和斜边的比例中项。 C
A D
射影定理的条件：
B
A
1.有直角三角形
2.有斜边上的高线
DB
A
BD2=AD·CD
AB2=AD·AC
BC2=CD·A
D
C
CD
B 图2
B 图1
证明：
CD⊥AB
DF ⊥AC CD⊥AB
DG⊥BC
CD 2 =CF·AC CD2 =CG·BC
CF·AC=CG·BC
连结FG，求证： △CGF∽△CAB
△CGF∽△CAB
过渡积
总结：
在复杂图形中分解出射影定理的基本 图形。
当直接证明线段等积式比较困难时，我 们可以去找过渡积。
变式训练：
当E在CD上，CD 垂直平分AB。
DB
∴BD=4 ∴AB=AD+DB=9+4=13
∴AC2 = AD·AB=9×13
∴ AC=3
又∵ CD2 = AD·DB=4×9=36 ∴ CD=6
如图，已知若能否推出？CAB
D
△CBD∽△ABC
如果认为不能推出，那么试加一
个条件，并推出
。
AC2=AD·AB
C
BC2=BD·A B
A
DB
AC2 +BC2 =AD·AB+BD·AB =AB（AD+BD）
F
求证：AF·CA=BG·BE A
AF·CA=AD 2
BG·BE=BD 2
比例的性质及成比例线段(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题27.1 比例的性质及成比例线段（知识讲解）【学习目标】1.了解两条线段的比和比例线段的概念；2.能根据条件写出比例线段；3.会运用比例线段解决简单的实际问题.【要点梳理】线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a 、b 长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a :b=m :n ，或写成a mb n=． 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD .成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．比例的基本性质：;a cad bc b d=⇔=（1）2;a bb ac b c=⇔=（2）几个重要的比例定理：a c a bb dc d=⇔=更比定理：a cb db d a c=⇔=反比定理：a c abc db d b d++=⇔=合比定理：--a c a b c db d b d=⇔=分比定理：...=...==(b d ...+f 0)...a c e a c eb d f b d f +++=++≠++等比定理：=a c a mcb d b md ±=±等比定理：【典型例题】 类型一、线段的比1．如图所示，有矩形ABCD 和矩形A B C D ''''，AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A B ''＝4cm ，B C ''＝6cm ．(1)求A B AB ''和B C BC''； (2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段吗？【答案】(1)12，12(2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段． 【分析】（1）根据已知条件，代入A B AB ''和B C BC''，即可求得结果； （2）根据A B AB ''和B C BC''的值相等，即可判断线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段． 解：(1)∵AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A ′B ′＝4cm ，B ′C ′＝6cm ．∵A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612＝12 (2)由（1）知A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612＝12；∵A B AB ''＝B C BC''， ∵线段A′B′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键． 【变式1】（1）若x y =115，求代数式2x yy -的值；（2）已知2a =3b =5c ≠0，求代数式23a b ca b c -+-+的值．【答案】（1） 15 （2） 14【分析】（1）先把原式化为115x y =，进而可得出结论； （2）直接利用已知得出2,3,5a k b k c k ===，进而代入原式求解． 解：（1）∵x y =115， ∵115x y =， ∵1122155y yx y y y --==；（2）设2a =3b =5c=k ，则2,3,5a k b k c k ===，∵23a b ca b c -+-+=2354122335164k k k k k k k k -+==⨯-+⨯． 【点拨】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k 表示a 、b 、c ． 【变式2】在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠=︒==；在DEF 中，12cm,8cm ED EF DF ===，求AB 与EF 之比，AC 与DF 之比．【答案】56AB EF =，52AC DF ， 【分析】在直角△ABC 中，利用勾股定理求得AC 的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可．解：如图，在Rt △ABC 中，根据勾股定理知，AC 22AB BC =+=2cm ， 则105126AB EF ==， 10252ACDF ==【点拨】本题考查了勾股定理的应用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了两条线段的比的求法．类型二、比例的性质2．已知a b c +＝b c a +＝c ab+＝x ，求x 的值．【答案】1-或2【分析】分两种情况讨论：当a +b +c ＝0，当a +b +c ≠0，再进行计算即可． 解：若a +b +c ＝0，则a +b ＝-c ，b +c ＝-a ，c +a ＝-b ，此时，x ＝-1， 若a +b +c ≠0，则2a b b c c a a b b c c axc a b a b c，综上所述，x 的值为-1或2．【点拨】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键． 【变式1】已知a ：b ：2c =：3：4，且23215a b c +-=，求23a b c -+的值． 【答案】24【分析】由已知条件设a =2k ，则b =3k ，c =4k ，根据等式得到关于k 的方程，解方程求得k ，即求得a 、b 、c 的值，从而可求得代数式的值．解：∵a ：b ：c =2：3：4，∵设a =2k ，则b =3k ，c =4k ． ∵2a +3b -2c =15， ∵4k +9k -8k =15， 解得：k =3， ∵a =6，b =9，c =12， ∵a -2b +3c =6-18+36=24．【点拨】本题考查了比例关系，解方程及求代数式的值，由比例关系设a =2k ，则b =3k ，c =4k 是关键．【变式2】已知3a b ＝4b c +＝5c a +，求a b cc a b ---+的值．【答案】－1 【分析】设3a b ＝4b c +＝5c a+＝k ，则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，把三式相加得到a +b +c =6k ，再利用加减消元法可计算出a =2k ，b =k ，c =3k ，然后把a =2k ，b =k ，c =3k代入a b cc a b---+中进行分式的化简求值即可．解：设3a b ＝4b c +＝5c a+＝k ， 则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ， 三式相加得a +b +c =6k ∵用∵式分别减去上述三个式子，可得出 解得a ＝2k ，b ＝k ，c ＝3k ， 所以a b c c a b ---+＝2332k k kk k k---+＝－1．【点拨】本题考查了比例的性质，掌握设比法求值是解题关键．类型三、比例中项3．已知线段a 、b 满足a ：b ＝3：2，且a ＋2b ＝28 （1）求a 、b 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值． 【答案】（1）a ＝12，b ＝8；（2）x ＝6． 【分析】（1）利用:3:2a b =，可设3a k =，2b k =，则3428k k +=，然后解出k 的值即可得到a 、b 的值；（2）根据比例中项的定义得到2x ab =，即296x =，然后根据算术平方根的定义求解． 解：（1）:3:2a b =∴设3a k =，2b k =，228a b +=，3428k k ∴+=，4k ∴=，12a ∴=，8b =；（2）x 是:a b 的比例中项，296x ab ∴==， x 是线段，0x >，46x ∴=【点拨】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．【变式1】已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，满足438324a b c +++==，且12a b c ++=． （1）求a ，b ，c 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x ． 【答案】（1）5a =，3b =，4c =；（2）15x =【分析】 （1）根据438324a b c +++==，且12a b c ++=，根据比例的性质可得a ，b ，c 的值； （2）根据比例中项的性质求解即可． 解：（1）∵438324a b c +++==，且12a b c ++=， ∵438438151215332432499a b c ab c a b c ，∵433a +=，332b ，834c ，∵5a =，3b =，4c =，（2）∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，∵25315x ab，∵15x =【点拨】本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键．【变式2】已知线段a ＝4cm ，线段b ＝7cm ，线段c 是线段a ，b 的比例中项，求线段c 的长.【答案】线段c 的长为7cm ．【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题． 解：∵线段c 是线段a ，b 的比例中项，∵ab =c 2，∵a =4cm ，b =7cm ，c ＞0， ∵24728c =⨯=， ∵c 7cm ．故线段c 的长为7cm ．【点拨】本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型．类型四、成比例线段4．已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段．2cm 2cm 、2 【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论． 解：设这条线段长xcm ，∵若四条线段的长度大小为：x ，122时，212x =2x =； ∵若四条线段的长度大小为： 1，x 22212x =⨯，解得：2x ∵若四条线段的长度大小为： 12x ，2212x =⨯，解得：2x ∵若四条线段的长度大小为： 12，2 ，x 时，122x ⨯=22x = 2cm 2或2． 【点拨】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键．【变式1】如图，在ABC 中，12cm,6cm,5cm AB AE EC ===，且AD AEDB EC=，求AD 的长．【答案】72cm 11AD =． 【分析】利用比例线段得到6125AD AD =-，然后根据比例性质求AD ．解：AD AE BD EC=，即AD AEAB AD EC =-，∴6125AD AD =-，7211AD ∴=cm ． 【点拨】本题考查了比例线段、比例的性质，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【变式2】若P 在线段AB 上，点Q 在AB 的延长线上，10AB =，且32AP AQ PB BQ ==，求PQ 的长．【答案】24 【分析】根据AP AQ BP BQ =＝32，分别求出BP ，BQ 的长，两者相加即可求出PQ 的长. 解：设AP ＝3x ，BP ＝2x ，∵AB ＝10，∵AB ＝AP ＋BP ＝3x ＋2x ＝5x ，即5x ＝10， ∵x ＝1，∵AP ＝6，BP ＝4. ∵AQ BQ ＝32，∵可设BQ ＝y ，则AQ ＝AB ＋BQ ＝10＋y ， ∵1032y y +=， 解得y ＝20，∵PQ ＝PB ＋BQ ＝4＋20＝24.【点拨】本题考查了比例线段、两点间的距离等知识，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键．。
等边直角三角形三边比例关系
等边直角三角形三边比例关系等腰直角三角形三边关系：等腰直角三角形的斜边=√2倍的直角边。
有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。
底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等）。
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等，直角边夹一直角锐角45°。
斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径r，那么设内切圆的半径r为1。
因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。
等腰直角三角形求边公式：在确知面积s的情况下，直角边长l=√（2s），斜边长c=√2l，斜边的中线cd=ab(斜边）/2。
等腰直角三角形的边角之间的关系：三角形三内角和等于°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。
三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。
（三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等）。
三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
初中数学相似三角形题型归类——利用相似三角形证明对应线段成比例3(附答案详解)
初中数学相似三角形题型归类——利用相似三角形证明对应线段成比例3（附答案详解）一、填空题1．如图，在ABC∆中，AB=4, D是AB上的一动点(不与点A、B重合)，//DE BC，交AC于点E，则DECABCSS∆∆的最大值为______.2．如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接EC，过点E作EF EC⊥，交AB于点F，则tan ECF∠=____．3．如图四边形ABCD中，AD=DC，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为__．4．在△ABC与△DEF中，若23AB BC ACDE EF DF===，且△DEF的面积为4，则△ABC 的面积为___________．5．已知有两个三角形相似，一个边长分别为2、3、4，另一个三角形最长边长为12，则另外两边x、y的值为_____.二、解答题6．如图，在的外接圆中，是的中点，交于点，连结．（1）列出图中所有相似三角形；是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明．7．在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．⑴求证△ABD为等腰三角形．⑵求证AC•AF=DF•FE8．如图，已知：AD 和BC 相交于点O，∠A=∠C，AO=2，BO=4，OC=3，求OD 的长．⊥于点F．9．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC上一点，AF DE()1求证：DF CD AF CE⋅=⋅．10．已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q 的坐标；（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．11．在□ABCD中，∠ABC的外角∠ABG的平分线BE分别交DA，CA的延长线于点F、E。
三角形内的比例线段
2.
c(a + b) ad − bc bc = ad − bc =
#
公式 (6) 1. a AD a+b AC = ⇒ = CD b CD b a+b ⇒ AD = CD b c BD c+d BC = ⇒ = CD b CD d c+d ⇒ BD = CD d a+b CD d(a + b) AD b = = c+ d BD b(c + d) CD d AB d(a + b) − b(c + d) ad − bc = = BD b(c + d) b(c + d) BD = BC
A
E
F
二. 比例公式
(一) 首先, 第一組的六個公式, 是討論 一線段上相異四點間的比例關係
一組是公式中的公式, 稍後在其它組公式的
2 數學傳播 十九卷二期 民 84 年 6 月
演證過程中, 都要運用到這一組公式。 這組公 式的證明僅需利用合分比的性質即可 [5], 由 於證明方法大致相同, 在此僅就第 1 及第 6 個 做證明。
(二) 現在考慮過三角形頂點及其對邊的 兩條直線 (如圖 3)。 顯然這圖形中只有
CE , BF EA FE AF , FD
及
BD DC
等四個比例, 因此就這四
個比例值列出公式。 這些只要稍微應用一下 Menelaus 定理, 就不難得到它們的證明, 在 此僅就第 1 個公式進行說明。
圖3 a CE BD = , = DC b EA AF d(a + b) 則 = 。 FD ac a AF BD = , = II-(2) 若 DC b FD d(a + b) CE = 。 則 EA ac BD a CE II-(3) 若 = , = DC b EA a(c + d) BF = 。 則 FE bd II-(1) 若 c , d c , d c , d 圖4
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直角三角形中的成比例线段(三)
教学目标：
1、掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它来解决“直 角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题。
2、培养学生特殊化研究的方法和方程思想、转化思想。
教学重点：直角三角形中成比例的线段性质的证明和应用。
教学难点：直角三角形中成比例的线段性质的证明和应用。
教学方法：启发式
教学手段：多媒体
教学过程：
一、复习基本图形并探索基本图形中的重要性质
（ 通过让学生复习“直角三角形斜边上的高”这个基本图形后进一步挖掘它的基本性质）
复习练习题：已知∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。
（1）图中有几条线段？图中有几个直角三角形？
（2）图中有几个锐角？它们有何关系？
（3）图中有几对相似三角形？是哪几对？可写出几组比例式
（4）观察第（3）题的结果，有几个带有比例中项的比例式？并写这些比例式的等积式。
如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式？
说明：
A ：由图可分析出△ACD ∽△CBD ∽△ABC ，可分别写出三组比例式：（学生讨论完成，并用多媒体演示）
∵△ACD ∽△CBD ∴
CD
AD BD CD CB AC ＝＝ ∵△CBD ∽△ABC ∴AC
CD BC BD AB CB ＝＝ ∵△ACD ∽△ABC ∴CA AD BC CD AB AC ＝＝ B ：启发学生发现三个比例中项的表达式，即CD 2＝AD ·BD ，CB 2＝BD ·BA ，CA 2＝AD ·AB
C ：通过多媒体演示引导学生结合图形，找到表达式中的线段与图形之间的位置关系，并由学生讨论后，规纳结论并叙述出来。
从而得到射影定理——（板书）
1、直角三角形的直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
2、直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项。
D：“直角三角形中的成比例线段”的这些重要结论，书上都未作为定理出现，因此我们通过这些结论的研究有助于迅速找到解题的思路。
但在使用时，必须先从证明相似入手，写出证明过程。
二、运用这种研究问题的方法解决有关的计算和证明
例1 如图，CD是Rt△ABC 的斜边AB上的高。
（1）已知AD=9cm，CD=6cm，求BD。
你还能求出哪些线段的长？
（2）学生活动：同桌互相举例，并迅速计算出这六条线段中的其它线段。
说明：
（1）在学生练习的基础上，进行讲评，注意根据线段间的关系，选择简捷的方法进行计算，并纠正学生只顾计算而过程跳步等书写不严谨的错误。
（2）引导学生总结规律：在“直角三角形斜边上的高”这个图形中的六条线段中，只要知道其中两条线段，都可以求出其余四条线段，只不过解题顺序不同。
例2 如图，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF ⊥AC，DG⊥BE。
求证：AF·AC=BG·BE 。
△ADF∽△ACD，AB2=AF·AC，△BDG∽△BED，DB2=BG·BE
分析：引导学生将图分解出两个基本图形，再观察结论就会发现所要证的等积式的左、右两边分别满足基本图形中的线段关系，再通过换线段，就可心证明所要证的结论。
证明：∵DF⊥AB，DF ⊥AC（投影演示）
∴∠AFD=∠ADC=90，∠A=∠A
∴△ADF∽△ACD
∴AD2=AF·AC
同理可证DB2=BG·BE
∴AF·AC=BG·BE（1）
（1）将△ACD沿CD翻折（如图1）求证：
（2）当点C与E 重合，D不为AB的中点时，求证：CF ·CA=CG·CB
（3）当∠ACB运动为直角时，求证：BC ︰AC =CF ︰FA
处理方法：让学生分析并找到证明的思路，引导学生去寻找基本图形。
重点分析第（3）题：
分析：鼓励学生探索其它方法。
三、练习：
已知：如图，Rt △ACB中，CD⊥AB于D，在CB的延长线上截取BE=BC，连结EA，ED。
目的：利用直角三角形中六条线段的性质，并代换线段得到BE =BD。
BA，
再证明△EBD∽△ABE 。
四、小结；
1、学习了直角三角形中重要的比例式和比例中项的表达式-------射影定理。
2、方法--------已知“直角三角形斜边上的高”图形中六条线段中的任意两条，就可以求出其余四条线段，有时需要用到方程的思想。
3、能力——在复杂的图形中分解出射影定理的基本图形来使用它的性质，是一种常用证明线段等积式的方法。
必要时需结合换线段或线段的等积式来解决问题。
4、数学思想——转化思想。
五：作业布置：P246第6题，选作P247B组第3题。
六、板书设计：（略）。