高考数学二轮专题训练：专题八 第3讲 分类讨论思想

第3讲分类讨论思想1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．4．解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结，将各类情况总结归纳.热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论例1 (1)(2014·浙江)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x ，x<0，－x2，x≥0，若f(f(a))≤2，则实数a 的取值范围是________． (2)在等比数列{an}中，已知a3＝32，S3＝92，则a1＝________. 答案 (1)a≤2 (2)32或6 解析 (1)f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤ 2.(2)当q ＝1时，a1＝a2＝a3＝32， S3＝3a1＝92，显然成立； 当q≠1时，由题意，得⎩⎨⎧a1q2＝a3＝32，－1－q ＝S3＝92. 所以⎩⎨⎧ a1q2＝32， ①＋q ＋＝92， ②由①②，得1＋q ＋q2q2＝3，即2q2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去)． 当q ＝－12时，a1＝a3q2＝6.综上可知，a1＝32或a1＝6. 思维升华 (1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ＋，x>3，2x －3＋1， x≤3满足f(a)＝3，则f(a －5)的值为( ) A ．log23 B.1716 C.32D ．1 (2)已知数列{an}的前n 项和Sn ＝pn －1(p 是常数)，则数列{an}是( )A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对答案 (1)C (2)D解析 (1)分两种情况分析，⎩⎪⎨⎪⎧ a≤32a －3＋1＝3①或者⎩⎪⎨⎪⎧ a>3＋＝3②，①无解，由②得，a ＝7，所以f(a －5)＝22－3＋1＝32，故选C. (2)∵Sn ＝pn －1，∴a1＝p －1，an ＝Sn －Sn －1＝(p －1)pn －1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{an}是等比数列；当p ＝1时，{an}是等差数列；当p ＝0时，a1＝－1，an ＝0(n≥2)，此时{an}既不是等差数列也不是等比数列．热点二 由图形位置或形状引起的讨论例2 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋3≥0，x ＋y≥0，x≤2表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是整数的点称为整点)．(2)设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线T 上存在点P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率为________．答案 (1)20 (2)12或32解析 (1)画出不等式组表示的平面区域(如图)．结合图中的可行域可知x ∈[－32，2]，y ∈[－2,5]． 由图形及不等式组，知⎩⎪⎨⎪⎧－x≤y≤x ＋3，－32≤x≤2，且x ∈Z. 当x ＝－1时，1≤y≤2，有2个整点；当x ＝0时，0≤y≤3，有4个整点；当x ＝1时，－1≤y≤4，有6个整点；当x ＝2时，－2≤y≤5，有8个整点；所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＝20(个)．(2)不妨设|PF1|＝4t ，|F1F2|＝3t ，|PF2|＝2t ，若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t ＝2a ，|F1F2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t ＝2a ， |F1F2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32. 所以圆锥曲线T 的离心率为12或32. 思维升华 求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．(1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( )A ．－12 B.12 C ．0 D ．－12或0 (2)设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则|PF1||PF2|的值为________． 答案 (1)D (2)2或72解析 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0垂直(如图①)或直线y ＝kx ＋1与直线y ＝2x 垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形．由图形可知斜率k 的值为0或－12. (2)若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，∴|PF1||PF2|＝72. 若∠F2PF1＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1||PF2|＝2.综上所述，|PF1||PF2|＝2或72. 热点三 由参数引起的分类讨论例3 (2014·四川改编)已知函数f(x)＝ex －ax2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．解 由f(x)＝ex －ax2－bx －1，有g(x)＝f′(x)＝ex －2ax －b.所以g′(x)＝ex －2a.因此，当x ∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a ，e －2a]．当a≤12时，g′(x)≥0， 所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b ；当a≥e 2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减， 因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e －2a －b ；当12<a<e 2时，令g′(x)＝0得x ＝ln(2a)∈(0,1)， 所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(0)＝1－b ；当12<a<e 2时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b ；当a≥e 2时，g(x)在[0,1]上的最小值是 g(1)＝e －2a －b.思维升华 一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏．已知函数g(x)＝ax x ＋1(a ∈R)，f(x)＝ln(x ＋1)＋g(x)． (1)若函数g(x)过点(1,1)，求函数f(x)的图象在x ＝0处的切线方程；(2)判断函数f(x)的单调性．解 (1)因为函数g(x)过点(1,1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f(x)＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f′(x)＝1x ＋1＋2＋＝x ＋3＋，则f′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f(0)＝0，所以切点为(0,0)，故所求的切线方程为y ＝3x.(2)因为f(x)＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(x>－1)， 所以f′(x)＝1x ＋1＋＋－ax ＋＝x ＋1＋a ＋.①当a≥0时，因为x>－1，所以f′(x )>0，故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．②当a<0时，由⎩⎪⎨⎪⎧，x>－1，得－1<x<－1－a ， 故f(x)在(－1，－1－a)上单调递减；由⎩⎪⎨⎪⎧，x>－1，得x>－1－a ， 故f(x)在(－1－a ，＋∞)上单调递增．综上，当a≥0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；当a<0时，函数f(x)在(－1，－1－a)上单调递减，在(－1－a ，＋∞)上单调递增．分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论．常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集∅的讨论．(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a>1和0<a<1的讨论；函数y ＝ax2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论．(3)数列：由Sn 求an 分n ＝1和n>1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q≠1的讨论．(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论．(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论．(6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论；(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论．(8)排列、组合、概率中的分类计数问题．(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等．真题感悟1．(2014·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( ) A ．5 B. 5C ．2D ．1答案 B解析 ∵S △ABC ＝12AB·BC·sin B ＝12×1×2sin B ＝12， ∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.2．(2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当a ＝0时，f(x)＝|(ax －1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，结合函数f(x)＝|(ax －1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a>0时，结合函数f(x)＝|(ax －1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝|(ax －1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的充要条件．3．(2014·广东)设集合A ＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．130答案 D解析 在x1，x2，x3，x4，x5这五个数中，因为xi ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的可能情况有“①一个1(或－1)，四个0，有C15×2种；②两个1(或－1)，三个0，有C25×2种；③一个－1，一个1，三个0，有A25种；④两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有C25C13×2种；⑤三个1(或－1)，两个0，有C35×2种．故共有C15×2＋C25×2＋A25＋C25C13×2＋C35×2＝130(种)，故选D.押题精练1．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax2＋1， x≥0，＋为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－2,0)C ．[－1,0)D ．[－1，＋∞)答案 C解析 若a ＝0，则f(x)在定义域的两个区间内都是常函数，不具备单调性；若a>0，函数f(x)在两段上都是单调递增的，要使函数在R 上单调递增，只要(a ＋2)e0≤1，即a≤－1，与a>0矛盾，此时无解．若－2<a<0，则函数在定义域的两段上都是单调递减的．要使函数在R 上单调递减，只要a ＋2≥1即a≥－1，即－1≤a<0.当a≤－2时，函数f(x)不可能在R 上单调.综上，a 的取值范围是[－1,0)．2．等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12答案 C解析 当公比q ＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求．当q≠1时，a1q2＝7，－1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或－12. 3．抛物线y2＝4px (p>0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 当|PO|＝|PF|时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P 的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P 不存在．事实上，F(p,0)，若设P(x ，y)，则|FO|＝p ，|FP|＝－＋y2，若－＋y2＝p ，则有x2－2px ＋y2＝0，又∵y2＝4px ，∴x2＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，当x ＝0时，不构成三角形．当x ＝－2p(p>0)时，与点P 在抛物线上矛盾．所以符合要求的点P 一共有4个．4．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或4答案 D解析 设6位同学分别用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示．若任意两位同学之间都进行交换共进行15次交换，现共进行了13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1)由3人构成的2次交换，如a －b 和a －c 之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b ，c 两人．(2)由4人构成的2次交换，如a －b 和c －e 之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a ，b ，c ，e 四人．故选D.5．已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝(4－an)qn －1 (q≠0，n ∈N*)，求数列{bn}的前n 项和Sn.解 (1)设数列{an}的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a1＋3d ＝6，8a1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，d ＝－1. 故an ＝3－(n －1)＝4－n.(2)由(1)可得bn ＝n·qn －1，于是Sn ＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn －1.若q≠1，将上式两边同乘q ，得qSn ＝1·q1＋2·q2＋…＋(n －1)·qn －1＋n·qn.两式相减，得(q －1)Sn ＝nqn －1－q1－q2－…－qn －1＝nqn －qn －1q －1＝nqn ＋1－＋＋1q －1. 于是，Sn ＝nqn ＋1－＋＋1－.若q ＝1，则Sn ＝1＋2＋3＋…＋n ＝＋2. 综上，Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ＋2 ＝，nqn ＋1－＋＋1－6．已知函数f(x)＝(a ＋1)ln x ＋ax2＋1，试讨论函数f(x)的单调性． 解 由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax2＋a ＋1x. ①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a<0时，令f′(x)＝0，解得x ＝ －a ＋12a ， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f′(x)>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f′(x)<0. 故f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a<0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．。