江苏省南通市2016届高三全真模拟数学试题6

（第4题）2016年江苏省普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷六数学试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1. 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð▲ ． 【答案】{5}2. 已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的模是 ▲ ．3. 已知函数()a f x x =在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】24. 右图是某算法的流程图，则输出的i 的值为 ▲ ． 【答案】75. 有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，现从中随机抽取一张，则抽到的牌为红心的概率是 ▲ ． 【答案】356. 某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样的方法抽取10 % 的工人进行调查．首先 在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为 000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007， 则样本中的最大编号是 ▲ ． 【答案】6177. 在平面直角坐标系xOy中，已知角()π4α+的终边经过点(1P ，则t a n α的值为 ▲ ．【答案】28. 已知0x >，0y >，且2520x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ▲ ．【答案】19. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为3 ()n n S k k =-∈*N ，则2k a 的值为 ▲ ． 【答案】610. 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ ．【答案】（0，1）【解析】易得2()0f x x -<，即20x x -<，解得x ∈（0，1）．11. 设向量a ()cos25sin 25= ，，b ()sin 20cos20= ，，若t 是实数，且t =+u a b ，则u 的最小值为 ▲ ．【解析】因为()22222221212sin 4512t t t t t t =+=++⋅=++=+ ≥u a b a b a b ，所以u ．12．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：①题目：“在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2221x y +=的左顶点为A ，过点A 作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B ，C ，…”②解：设AB 的斜率为k ，…点B ()222122 1212k k kk-++，，D ()5 03-，，…” 据此，请你写出直线CD 的斜率为 ▲ ．（用k 表示） 【答案】2324k k +【解析】将点B ()222122 1212k k k k -++，用2k 代替得点C 的坐标()22284 88k k k k -++，，从而直线CD 的斜率为2324k k +．13．使“a b <”成立的必要不充分条件是“ ▲ ”．（填上所有满足题意的序号）①0x ∀>，a b x +≤； ②0x ∃≥，a x b +<； ③0x ∀≥，a b x <+； ④0x ∃>，a x b +≤． 【答案】①【解析】①⇔0x ∀>，a b x -≤，从而0a b -≤，即a b ≤；ABMDP（第16题）②⇔0x∃≥，b a x->，从而0b a->，即a b<；③⇔0x∀≥，a b x-<，从而0a b-<，即a b<；④⇔0x∃>，b a x-≥，从而0b a->，即a b<．14. 在△ABC中，已知sin A＝13sin B sin C，cos A＝13cos B cos C，则tan A＋tan B＋tan C的值为▲ ．【答案】196【解析】依题意cos A-sin A＝13cos B cos C-13sin B sin C，即cos A-sin A＝13cos()B C+，即cos A-sin A＝-13cos A，所以tan A14=，又易得tan A＝tan B tan C，而tan A＋tan B＋tan C=tan A tan B tan C，所以tan A＋tan B＋tan C=tan2A196=．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，AD// BC，且AD=2BC，AD⊥CD，P A=PD，M为棱AD 的中点．（1）求证：CD//平面PBM；（2）求证：平面P AD⊥平面PBM．证明：（1）因为AD// BC，且AD=2BC，所以四边形BCDM为平行四边形，故CD// BM，又CD⊄平面PBM，BM⊂平面PBM，所以CD//平面PBM；（6分）（2）因为P A=PD，点M为棱AD的中点，所以PM⊥AD，又AD⊥CD，CD// BM，故AD⊥BM，而PM BM M=，PM、BM⊂平面PBM，所以AD⊥平面PBM，又AD ⊂平面P AD ，所以平面P AD ⊥平面PBM ．（14分）16．（本题满分14分）在△ABC中，BC 2AB AC ⋅=．（1）求证：△ABC 三边的平方和为定值；（2）当△ABC 的面积最大时，求cos B 的值．证明：（1）因为2AB AC ⋅=，所以cos 2AB AC A ⋅⋅=．(3分)在△ABC 中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，即2224AB AC =+-，于是2210AB AC +=， 故22210616AB BC AC ++=+=为定值．(6分) 解：（2）由（1）知2210AB AC +=，所以2252AB AC AB AC +⋅=≤，当且仅当AB AC =时取“=”号．(8分)因为cos 2AB AC A ⋅⋅=，所以2cos A AB AC=⋅，从而sin A (10分) △ABC的面积11sin 22S AB AC A AB AC =⋅⋅=⋅=(12分) 当且仅当AB AC =时取“ ”号．因为2210AB AC +=，所以当AB AC =时，AB AC =，故2cos BCB AB ===(14分)17．（本题满分14分）某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n E cv T =，其中v 为行进时相对于水的速度，T 为行进时的时间（单位：小时），c 为常数，n 为能量次级数．如果水的速度为4 km/h ，该生物探测器在水中逆流行进200 km ．（1）求T 关于v 的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；(ii)当能量次级数为3时，试确定v 的大小，使该探测器消耗的能量最少．解：（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小4 km/h ，即4v -， 所以200T =4v -，即2004T v =-，4v >；（4分）（2）(ⅰ) 当能量次级数为2时，由（1）知22004v E c v =⋅-，4v >，[]2(4)42004v c v -+=⋅-16200(4)84c v v ⎡⎤=⋅-++⎢⎥-⎣⎦2008c ⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦≥3200c =（当且仅当1644v v -=-即8v =km/h 时，取等号）（9分）(ⅱ) 当能量次级数为3时，由（1）知32004v E c v =⋅-，4v >， 所以222(6)2000(4)v v E c v -'=⋅=-得6v =， 当6v <时，0E '<；当6v >时，0E '>， 所以当6v =时，min E 21600c =．答：(ⅰ) 该探测器消耗的最少能量为3200c ；(ⅱ) 6v =km/h 时，该探测器消耗的能量最少．（14分）18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，记线段AB 的中点为M ． （1）求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若直线l 过点()3m m ，，延长OM 与椭圆C 交于点P ． 问：四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求直线l 的斜率；若不能，说明理由． （1）证明：设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．则222112222299x y m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，，两式相减得()()()()1212121290x x x x y y y y -++-+=，整理得()()()()121212129y y y y x x x x -+=--+，即k OM ⋅k ＝－9，得证．(6分)（2）四边形OAPB 能为平行四边形．(8分)因为直线l 过点()3m m ，，且l 不过原点且与椭圆C 有两个交点，则k >0，k ≠3， 由(1)得直线OM 的方程为9y x k=-，设点P 的横坐标为x P ，由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得，P x (10分)将点()m m ，的坐标代入l 的方程y =kx +b 得(3)k mb -=， 因此()2(3)39M k k mx k -=+， (12分)四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分， 即x P ＝2x M()2(3)239k k m k -=⨯+，解得14k =，24k =所以当l的斜率为4或4OAPB 为平行四边形．(16分)19．（本题满分16分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x + e x =，其中e 为自然对数的底数. （1）求()f x ，()g x 的表达式；（2）设0a ≤，1b ≥，0x >，证明：()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 解：（1）由()()f x g x +e x =得，()()f x g x -+-e x -=， 因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 所以()()f x g x -+e x -=，从而e e ()2x x f x --=，e +e ()2x xg x -=(4分)（2）当0x >时，e 10e 1x x -><<，，所以()0f x >，e +e ()12x xg x -=.(6分)由（1）得，e +e ()()2x x f x g x -'==，e e ()()2x xg x f x --'==，(8分)当0x >时，()()(1)()()(1)f x ag x a f x axg x a x x>+-⇔>+-，()()(1)()()(1)f x bg x b f x bxg x b x x<+-⇔<+-， 设函数()()()(1)P x f x cxg x c x =-+-，(10分)则[][]()()()()(1)(1)()1()P x f x c g x xg x c c g x cxf x '''=-++-=---，(12分) 若0c ≤，0x >，则()0P x '>，故()P x 为[)0+∞，上增函数， 所以()(0)0P x P >=，若1c ≥，0x >，则()0P x '<，故()P x 为[)0+∞，上减函数， 所以()(0)0P x P <=， 综上知，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-.（16分） 20．（本题满分16分）设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{a n }的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．解：（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=，② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥． 若a n =0，则1=0n a -，…，a 1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．故数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．（4分）（2）(i) 若k =0，由（1）知，不符题意，舍去．（6分） (ii) 若k =1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④ ③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥． 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a 1=1，故{a n }只能是常数数列，通项公式为a n =1()*n ∈N ， 故当k =1时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为a n =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．（9分）(iii) 若k =2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数）， 当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤ 211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， 要使数列{a n }是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有2n a an b a d =+--，且d =2a ，考虑到a 1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k =2时，数列{a n }能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．（12分）(iv) 当3k ≥时，若数列{a n }能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{a n }不能成等差数列．（14分）综上得，当且仅当k =1或2时，数列{a n }能成等差数列．（16分）试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．。