排列组合基础知识
(完整版)基础排列组合部分知识总结
计数原理1.摆列组合知识导学 ：1. 分类计数原理：达成一件事，有ｎ类方法，在第1 类方法中，有 m 1 种不一样的方法，在第 2类方法中，有 m 2 种不一样的方法， 在第ｎ类方法中，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 ＝m 1 ＋ m 2 ＋ ＋ m n 种不一样的方法 .N2. 分步计数原理：达成一件事，需要分红ｎ个步骤，做第 1 步，有 m 1 种不一样的方法，做第2 步，有m 2 种不一样的方法， 做第ｎ步，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 ＝m 1 ×Nm 2 × × m n 种不一样的方法 .摆列数公式 ：A n mn ( n 1)( n 2)( n 3)( n m 1)A n mn! （这里ｍ、ｎ∈ N * ，且ｍ≤ｎ）(n m)!组合数公式：mA n m n(n 1)(n 2)( n 3) ( nm 1)C nA m mnC n mn! （这里ｍ、ｎ∈ N *，且ｍ≤ｎ）m! (n m)!组合数的两个性质C n m C n n m 规定： C n 0 1C n m 1 C n mC n m 1例 l、分类加法计数原理的应用在全部的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？剖析：该问题与计数相关，可考虑采纳两个基来源理来计算，达成这件事，只需两位数的个位、十位确立了，这件事就算达成了，所以可考虑安排十位上的数字状况进行分类．解法一：按十位数上的数字分别是1， 2， 3， 4，5， 6， 7，8 的状况分红8 类，在每一类中知足题目条件的两位数分别是8 个， 7 个， 6 个， 5 个， 4 个， 3 个， 2 个， l 个．由分类加法计数原理知，切合题意的两位数的个数共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l＝36 个．解法二：按个位数字是2， 3， 4， 5， 6，7， 8， 9 分红 8 类，在每一类中知足条件的两位数分别是 l 个、 2 个、 3 个、 4 个、 5 个、 6 个、 7 个、 8 个，所以按分类加法计数原理共有l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36个．评论：分类加法计数原理是对波及达成某一件事的不一样方法种数的计数方法，每一类的各样方法都是互相独立的，每一类中的每一种方法都能够独立达成这件事。
排列组合基础知识讲解
排列组合基础知识讲解
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算从给定元素中选择若干个元素的不同方式。
以下是排列组合的基础知识讲解：
排列（Permutation）：从给定的元素中选择若干个元素进行排列，且这些元素的顺序是重要的。
例如，从3 个元素a，b，c 中选择2 个元素进行排列，可以得到6 种不同的排列方式：ab，ac，ba，bc，ca，cb。
组合（Combination）：从给定的元素中选择若干个元素进行组合，且这些元素的顺序是不重要的。
例如，从 3 个元素a，b，c 中选择2 个元素进行组合，可以得到3 种不同的组合方式：ab，ac，bc。
排列组合的计算公式如下：
排列的计算公式：$A_{n}^{k}=\frac{n!}{(n-k)!}$
组合的计算公式：$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\times(n-k)!}$
其中，$n$ 表示元素的总数，$k$ 表示选择的元素个数。
排列组合在实际生活中有广泛的应用，例如在概率统计、组合数学、
计算机科学等领域。
掌握排列组合的基础知识对于理解和解决这些领域中的问题非常重要。
高中数学排列组合相关公式3篇
高中数学排列组合相关公式第一篇：排列组合基本概念和公式排列和组合是数学中的重要概念，属于初中和高中数学中的基础知识。
这两个概念通常用于处理有关选择或安排事物的问题。
排列：从n个不同的元素中任选r个元素排成一列，称为从n个不同元素中选r个元素的排列。
排列的基本公式如下：An^r = n(n-1)(n-2) …… (n-r+1)其中An^r表示从n个不同的元素中任选r个元素排成一列的方案数。
例如，从5个不同的元素中任选3个元素排成一列，即为5选3的排列。
根据排列的基本公式，5选3的排列数为An^r=5×4×3=60。
组合：从n个不同的元素中任选r个元素，不考虑元素之间的顺序，称为从n个不同元素中选r个元素的组合。
组合的基本公式如下：Cn^r = n!/r!(n-r)!其中Cn^r表示从n个不同的元素中任选r个元素的组合方案数。
n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×……×2×1。
例如，从5个不同的元素中任选3个元素的组合数，即为5选3的组合。
根据组合的基本公式，5选3的组合数为C5^3=5!/(3!2!)=10。
排列和组合的关系：排列和组合有很多类似的性质，但是也有不同点。
其中最重要的一点是：一个排列中，每个元素的位置不同，导致不同的排列。
而在一个组合中，元素之间是不考虑顺序的，所以如果元素相同，不同的顺序算作同一种组合。
第二篇：排列组合的应用排列组合在数学中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的例子。
1. 生日问题如果有23个人在一起，那么至少有两个人生日相同的概率是多少？将每一个人的生日当做一个元素，一共有365个不同的生日（不考虑闰年的情况）。
这时我们要求的其实是在这23个人中选取2个或2个以上有相同生日的概率，也就是不出现任何两个人生日相同的概率。
按照组合的计算方法，我们可以得到不出现任何两个人生日相同的概率为：P = C365^23/365^23 ≈ 0.493所以至少有两个人生日相同的概率为：1-P ≈ 0.5072. 球队比赛现在有5个球队进行比赛，每个球队需要和其他球队各打一场比赛，问总共需要打几场？我们可以将这个问题看作是5个不同的元素进行排列组合。
高中数学排列组合3篇
高中数学排列组合第一篇：排列组合的基础排列组合是高中数学中非常重要的一部分，它是研究对象的排列组合方式的数学分支。
在实际生活和工作中，常常需要用到排列组合的知识，因此，掌握排列组合的基本概念和问题的解法具有重要的意义。
一、排列排列是对一组不同的对象进行有序安排的方式。
设有n 个不同的对象，从中取出m个不同的对象进行排列。
根据排列定义可知，首先有n种选择，选定第一个对象后再从剩下的n-1个对象中选定第二个对象，接着从剩下的n-2个对象中选定第三个对象，以此类推，直到选定第m个对象，于是，选取m个对象的所有排列数为Pm^n，即Pm^n=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)。
如果从n个不同的对象中选取n个进行排列，那么所有的排列就是n个对象的全排列，其个数为n!，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1。
二、组合组合是对一组不同的对象进行无序选择的方式。
设有n 个不同的对象，从中取出m个对象进行组合。
从 n 个对象中选取 m 个对象进行组合的所有方案数为：Cm^n。
可以用排列数来计算组合数，根据排列数的定义，设A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，在这些对象中，每个由m个元素组成的排列，可以对应到一个由m个等同元素组成的无序组合，既有m!个排列与同一组合对应，因此有：Cm^n=1/m!×n(n-1)(n-2)…(n-m+1),Cm^n也常用记号表示为nCm，即nCm=1/m!×n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。
三、问题的应用1．求解排列组合问题可以利用以上公式进行计算，但最重要的是要掌握排列组合的概念及其本质区别，了解问题的实际背景，并进行相应的数学模型构建。
在实际生活和工作中，有很多涉及排列组合的问题，如：从一个班级里面选出一些人组成A、B、C三个小组，有多少种选法？从26个字母中取出4个字母，有多少种不同的排列方式？等等。
排列组合基础知识点
排列组合基础知识点排列组合是组合数学的重要组成部分，它研究的是如何根据特定的规则从一个集合中选择或排列对象。
它不仅在数学中有广泛的应用，在计算机科学、统计学、金融学等领域也扮演着重要角色。
本篇文章将详细介绍排列组合的基础知识，包括其定义、性质，以及相关的公式和应用示例。
一、排列的概念排列是指从n个不同元素中，按照一定的顺序取出r个元素，所形成的不同序列。
排列强调顺序，因此a和b的排列与b和a是不同的。
排列的公式为：[ A(n, r) = ]其中，n!（n的阶乘）表示从1到n所有整数的乘积。
1. 阶乘的定义阶乘是一个自然数n的连续乘积，记作n!，其定义为：n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1，当n ≥ 1;0! = 1。
2. 排列示例设有5种不同颜色的球（红、蓝、绿、黄、白），要从中选取3种颜色并进行排列。
根据排列公式，计算方法如下：[ A(5, 3) = = = = 60 ]此时，我们可以得出60种不同的颜色排列方式，例如（红、蓝、绿）、（蓝、绿、黄）等。
二、组合的概念组合是从n个不同元素中，选择r个元素而不考虑顺序的方法。
组合只关注所选元素，不关心它们的排列顺序。
例如，从a、b、c三种元素中选出两种元素，组合为(ab, ac, bc)。
组合的公式为：[ C(n, r) = ]1. 组合示例继续使用上面的例子，即有5种颜色的球，从中选择3种颜色组合。
根据组合公式进行计算：[ C(5, 3) = = = = 10 ]此时，可以得出10种颜色组合方式，如（红、蓝、绿）、（红、蓝、黄）等。
三、排列与组合之间的联系与区别虽然排列和组合都是从一个集合中选择元素，但它们有本质上的区别。
顺序：排列关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为两种不同情况。
组合不关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为相同情况。
计算方法：排列使用的是A(n, r)公式。
排列组合知识点归纳总结高考题
排列组合知识点归纳总结高考题编号一：排列组合基础知识在高考数学中，排列组合是一个重要的考点。
掌握排列组合知识对于解决相关题目至关重要。
本文将对排列组合的基础知识进行归纳总结，并配以高考题进行实例分析。
1. 排列排列是从若干个元素中取出一部分元素，按照一定的顺序进行排列，形成不同的序列。
排列有两种情况：有重复元素的排列和无重复元素的排列。
1.1 有重复元素的排列当从 n 个元素中取出 r 个进行排列时（r ≤ n），若这些元素中有重复元素，则排列的总数为 P(n;r) = n! / (n1! × n2! × ... × nr!)，其中 ni 表示第 i 个元素的个数。
【例题1】：某班上有 10 名学生，其中 5 名男生和 5 名女生，现要从这 10 人中选出 3 人组成一支足球队。
求不同的组队方案数。
解：由于男生和女生分别占一定数量，该问题属于有重复元素的排列。
根据公式可知，解法为 P(5;3) = 5! / (2! × 3!) = 10 种。
1.2 无重复元素的排列当从 n 个不同元素中取出 r 个进行排列时（r ≤ n），排列的总数为P(n;r) = n! / (n-r)!。
【例题2】：有 9 个不同的球队参加一场篮球比赛。
其中第一名和第二名分别获得冠军和亚军。
请问这 9 支球队的比赛有多少种可能的结果？解：由于每个球队的位置是不同的，问题属于无重复元素的排列。
根据公式可知，解法为 P(9;2) = 9! / 7! = 72 种。
2. 组合组合是从若干个元素中取出一部分元素，不考虑顺序，形成不同的组合。
同样地，组合也有两种情况：有重复元素的组合和无重复元素的组合。
2.1 有重复元素的组合当从 n 个元素中取出 r 个进行组合时（r ≤ n），若这些元素中有重复元素，则组合的总数为 C(n;r) = (n+r-1)! / (r! × (n-1)!)。
排列组合基础知识复习资料
排列组合基础知识复习资料 知识解析：1、分类计数原理：完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有m 1种不同的方法,在第2类办法中有m 2种不同的方法……在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N ＝m l +m 2+…+m n 种不同的方法。
本原理也称为加法原理2、分步计数原理：完成一件事,需要分成n 个步骤,做第l 步有m 1种不同的方法．做第2步有m 2种不同的方法……做第n 步有m n 种不同方法,那么完成这件事共有N ＝m l ×m 2×…×m n 种不同的方法． 本原理也称为乘法原理．注： 1 分类互斥、分步互依； 2 在运用分步计数原理时,当完成每一步的方法数均为m,要用n 步完成有m n 种情形,既若“p 选择q ”则是q p .3、排列：一般地,从n 个不同元素中取出m m ≤n 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
用符号m n A 表示．注意：①排列的定义中包含两部分内容,一是“取出元素”,二是“按—定的顺序排列”．②排列的一个重要特征,是每一个排列不仅与选取的元素有关,而且与这些元素的排列顺序有关,选取的元素不同或者元素相同、排列顺序不同,都是不同的排列。
4、排列数公式：1 mn A =n n-1 n-2 … n-m+1 。
n 、m ∈N *,且m ≤n,这个公式叫做排公式。
2 阶乘、及全排列的阶乘表示①阶乘：自然数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘,用n 表示,即A 22＝2?1。
规定：0 =1②全排列的阶乘表示：nn A ＝n · n-1 · n-2 ····3·2·1=n5、组合：一般地说,从n 个不同的元素中取出m m ≤n 个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
注：①如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序如何都是相同的组合．组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”,“并成一组”即表示与顺序无关。
小学数学数学排列组合
小学数学数学排列组合作为小学生数学的基础知识之一，排列组合不仅在学校中占据重要地位，而且在日常生活中也随处可见。
那么，什么是排列组合呢？为什么它如此重要？本文将以通俗易懂的语言为您详细解答。
排列和组合都是数学中的一种计数方法，用于解决有关选择不同元素进行排列或组合的问题。
在开始深入了解排列组合之前，让我们先来看一下简单的排列问题。
排列是指从一组元素中按一定的顺序选择几个元素排列成一列。
例如，假设有4个不同的字母A、B、C、D，我们要选择其中2个字母进行排列。
那么，共有哪些可能的排列方式呢？根据排列的定义，我们可以把问题分解为两个步骤。
首先，选择第一个字母，我们有4个选项；然后，选择第二个字母，由于第一个字母已经选择了一个，所以我们只有3个选项。
因此，总共有4乘以3等于12种可能的排列方式。
而组合则是指从一组元素中选择几个元素，不考虑顺序的方式。
换句话说，组合只关心元素的选择，而不关心元素的排列顺序。
以同样的例子，如果我们要选择两个字母进行组合，那么可能的组合有哪些呢？同样地，我们可以分解为两个步骤。
首先，选择第一个字母，我们有4个选项；然后，选择第二个字母，由于组合中不考虑顺序，所以我们只能从剩下的3个字母中再选择一个。
因此，总共有4乘以3除以2（2的阶乘）等于6种可能的组合方式。
通过上述例子，我们可以看出，排列和组合在实际问题中的应用非常广泛。
无论是排列还是组合，都在解决实际问题中发挥着重要作用。
比如，假设一次抽奖活动中，有10个人参加抽奖，我们要从中选出3个人作为幸运儿。
那么，有多少种可能的结果呢？通过排列组合的知识，我们可以知道，总共有10个人中选择3个的排列方式，即10乘以9乘以8等于720种可能的结果。
排列组合的应用不仅仅限于数学问题，在日常生活中也随处可见。
比如，想象一下，您去餐厅点餐，菜单上有5种主菜和3种甜点可供选择。
如果您想要尝试一种主菜和一种甜点，那么一共有多少种搭配方式呢？按照组合的定义，我们可以通过5种主菜中选择一种，再从3种甜点中选择一种，从而得到总共有15种不同的搭配方式。
排列组合基础知识
关于排列组合的一些基础知识1. 排列：从n个元素中取出m个（m≦n），并按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
2. 组合：从n个元素中取出m个（m≦n），并按照一定的方式进行组合，称为从n个元素中取出m个元素的组合。
3. 排列的公式：A(n,m)=n×（n-1）×（n-2）×...×（n-m+1）。
4. 组合的公式：C(n,m)=n×（n-1）×（n-2）×...×（n-m+1）÷m×（m-1）×（m-2）×...×2×1。
5. 重复排列：在排列时允许相同的元素重复出现，每个元素出现的次数与排列的顺序有关，这种排列称为重复排列。
6. 重复组合：在组合时允许相同的元素重复出现，每个元素出现的次数与组合的方式无关，这种组合称为重复组合。
7. 排列数的性质：若A(n,m)=0，则m<0或m>n；若0≦m≦n，则A(n,m)=A(n,n-m)；若n=m则A(n,m)=1。
8. 组合数的性质：若C(n,m)=0，则m<0或m>n；若0≦m≦n，则C(n,m)=C(n,n-m)；若n=m则C(n,m)=1。
9. 插空法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，一部分暂时不取，然后对剩下的元素进行排列或组合，这种方法称为插空法。
10. 捆绑法：在排列或组合时，先将几个元素捆绑在一起，作为一个元素处理，然后再对其他元素进行排列或组合的方法称为捆绑法。
11. 插板法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，一部分暂时不取，然后对剩下的元素进行排列或组合，这种方法称为插板法。
12. 隔板法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，中间插入隔板，使得每部分元素的个数等于规定的个数，这种方法称为隔板法。
排列与组合基础知识
排列与组合基础知识与习题一.基础知识（一）计数原理1 .加法原理：完成一件事，共有n 类办法，在第一类中有^种有不同的方法，在第2类中有m 2种不同的方法……在第n 类型有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2++m n 种不同的方法.2 .乘法原理：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m i 种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法......做第n 步有m n 种不同的方法；那么完成这件事共有N=m 1Mm2M …父m n 种不同的方法.3 .提示：分类计数原理与分类”有关，要注意类与类之间所具有的独立性和并列性；分 步计数原理与分步”有关，要注意步与步之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重不漏.（二）排列与组合1 .排列定义：从n 个不同的元素中任取m （m 寸!）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2 .排列计算公式：A nm =n （n-1）…（n-m+1）（m <n,n,m =N ）;规定0=13 .组合定义：从n 个不同的元素中任取m （men ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.m4 .组合计算公式：c m=A=n —A m m!（n-m ）! 两个公式：①cmf n t ②c m :*c m=C n ¥5.排列与组合的区别：排列有顺序关系，组合无顺序关系.（三）含有相同元素的排列问题设重集S={a 1，a 2,…，a n ）有k 个不同元素，其中重复数为♦口；■■,g,则S 的排列个数 n!n 1!n 2!...n k !例如：设数字3、2、2,求其排列个数n=a=3例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数n=3!=1.1!2!3!二.典型例题例1（排列问题）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.例1答案：（1）＜法一＞要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A：种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A；种站法，根据乘法原理，共有站法：A4A5=480.＜法二＞由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A；种站法，然后中间4人有箱种站法，根据乘法原理，共有站法：A〉A：=480.＜法三＞若对甲没有限制条件共有A：种站法，甲在两端共2A5种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：A：-2A/=480.（2）＜法一＞（捆绑法）先把甲、乙作为一个整体”，和其余4人进行全排列有A；种站法，再把甲、乙进行全排列，有A；种站法，根据乘法原理，共有A；A；=240.＜法二＞先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A：种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A5种方法，最后让甲、乙全排列，有A；种方法，共有A4A5A；=240.（3）＜法一＞（插空法）第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A4种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A；种站法，故共有站法为A：A2=480.＜法二＞（间接法）6个人全排列有A：种站法，由（2）已知甲、乙相邻有A；A；=240种站法，所以不相邻的站法有A；-应A=480⑷＜法一＞先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A 4种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A 2种，故共有A ：-(3A 2)=144(种)站法.＜法二＞先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A 4种,然后把甲、乙及中间2人看作一个大”元素与余下2人作全排列有A 3种方法，最后对甲、乙进行排列，有A 2种方法，故共有A 2A 3A 2=144(种)站法.作全排列，有A 4种，根据分步乘法计数原理，共有A 2A 4=48(种)站法.＜法二＞首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A 2种站法，然后考虑中间4个位 置，由剩下的4人去站，有A 4种站法，由分步乘法计数原理共有A 2A 4=48(种)站法.(6)＜法一'＞甲在左端的站法有A 5种，乙在右端的站法有A 5种，且甲在左端而乙在右种，共有A 6-2A 5+A 4=504(种)站法. (5)＜法一＞首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有•7种22 再让其他4人在中间位置端的站法有＜法二＞以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A 5种站法，②甲在中间4个位置之 ,而乙不在右端有 4 A 1 A 1 A 种，故共有A 5+A 14A 4 =504(种)站法. 例2(组合问题)男运动员6名，女运动员比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名，女运动员2名；(3)队长中至少有1人参加；例2答案：(1)第一步：选3名男运动员, 4名，其中男女队长各1人.选派5人外出 (2)至少有1名女运动员； (4)既要有队长，又要有女运动员.有C 3种选法.第二步：选2名女运动员，有C 4种(2)至少1名女运动员”的反面为全是男运动员”.从10人中任选5人有C 5o 种选法，其中全是男运动员的选法有C 5种.所以至少有1名女运动员”的选法为C 5O -C 6=246.选法.共有36 C（3）＜法一＞可分类求解：只有男队长”的选法为C 4;只有女队长”的选法为C 4;男、 女队长都入选”的选法为C 3;所以共有2c 8+C 8=196种选法.＜法二＞（间接法）从10人中任选5人有C 5o 种选法.其中不选队长的方法有C 5种.所 以至少1名队长”的选法为C 5o -C 5=196种.（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C 9种选法.不选女队长时，必选男队长，共有 C 4种选法.其中不含女运动员的选法有C 4种，所以不选女队长时的选法共有C 4-C 4种选 法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C 4+C 4-C 5=191种.例3（综合问题）4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？例3答案：（1）为保证恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由乘法原理， 共有C 4c 4c 3*2=144种.（2）恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，恰有1个盒内有2个球”与恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有C 2种方法.4个球放进2个盒子可分成（3,1）、（2,2）两类，第八2八2一类有序不均匀分组有C 4C 1A2种方法；第二类有序均匀分组有口42A 2种方法.故共有 A 2三.当堂测试1 .从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，24 c 34 c C i A 2+ 22 A 22 C22 24Ac =84种.则不同的组队方案共有（）A.70种B.80种C.100种D.140种2.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.48种B.12种C.18种D.36种3.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A.48B.12C.180D.1624.甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的组合与排列问题
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的组合与排列问题高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与概率一、排列与组合基础知识在学习排列组合与概率之前，我们首先需要了解一些基础的排列与组合知识。
1. 排列排列是从一组元素中选取出若干元素按照一定的顺序排列的方式。
这些元素可以是数字、字母、物品等。
如果从 n 个元素中选取 m 个进行排列，则表示为 P(n, m) 或 nPm，排列的公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!2. 组合组合是从一组元素中选取出若干元素而不考虑顺序的方式。
与排列不同，组合只关心元素的选择而不涉及元素的顺序。
如果从 n 个元素中选取 m 个进行组合，则表示为 C(n, m) 或 nCm，组合的公式为：C(n, m) = n! / [m! * (n - m)!]二、排列组合的应用排列组合的应用广泛，不仅限于数学领域，在实际生活中也能见到许多与排列组合相关的问题。
下面列举几个常见的应用场景：1. 抽奖问题在抽奖活动中，我们常会遇到从一堆奖品中抽取若干个奖品的问题，这就涉及到组合的应用。
2. 选课问题学校的选课系统通常会要求学生从众多课程中选择若干门进行学习，这就是一个排列问题。
3. 组队问题在进行体育竞赛或其他集体活动时，我们需要将一群人分成几个小组，这就是一个组合问题。
三、排列组合的公式总结在实际应用中，我们常常需要用到排列组合的公式来解决问题。
下面是一些常见的排列组合公式：1. 排列公式：- 样本不放回排列：P(n, m) = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - m + 1)- 样本放回排列：P(n, m) = n^m2. 组合公式：- C(n, m) = C(n, n - m)- C(n, m) = P(n, m) / m!- C(n, m) * C(m, k) = C(n, k) * C(n - k, m - k)四、概率与排列组合的关系排列组合与概率有着密切的关系，概率问题常常需要借助排列组合的概念来求解。
排列组合基础知识
PMN＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积 当N＝M时 即M的阶层
排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.
解答排列、组合问题的思维模式有二：
其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；
去除3个位置 剩下4个位置供甲选择 C4取1＝4， 剩下6个位置 先安中间位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5开始，剩下的5个位置满足P原则 即5×P55＝5×120＝600 总数是4×600＝2400
第2种情况：甲不在排头排尾， 甲排在中间位置
则 剩下的6个位置满足P66＝720
所以该题结果是56×6＝336
3、
七个同学排成一横排照相.
（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？ （3600）
---------------------------------------------
【解析】
这个题目我们分2步完成
第一步： 先给甲排 应该排在中间的5个位置中的一个 即C5取1＝5
总和 M＝M1+M2+M3=32640
5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.
（1）“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？ （152096）
【解析】 也就是说被抽查的5件中有3件合格的 ，即是从98件合格的取出来的
所以 即C2取2×C98取3＝152096
【解析】
这个题目非常好,无论怎么安排甲出现在乙的左边 和出现在乙的右边的概率是一样的。 所以我们不考虑左右问题 则总数是P77＝5040 ,根据左右概率相等的原则 则排在左边的情况种数是5040÷2＝2520
排列与组合基础知识
排列与组合基础知识有关排列与组合的基本理论和公式：加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类中办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同方法。
那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法，这一原理叫做加法原理。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法，这一原理叫做乘法原理。
公式：阶乘公式!(1)(2)321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅，规定0！＝1；全排列公式!n n P n = 选排列公式!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =---+=-、m m m n n m P C P = 圆排列：n 个不同元素不分首位围成一个圆圈达到圆排列，则排列数为：!(1)!n n n =- 组合数公式(1)(2)(1)!!!()!m mn n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-、规定01n C = m n m n n C C -=、11m m m n n n C C C -+=+、0122n n n n n n C C C C ++++=）提示：（1）全排列问题和选排列问题，都可根据乘法原理推导出来。
（2）书写方式：r n P 记为P （n,r ）；rn C 记为C （n,r ）。
加法原理例题：图1中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4＋2＋3＝9）乘法原理例题：图2中从A 点走到B 点共有多少种方法？（答案：4×6＝24）加法原理与乘法原理综合：图3、图4中从A 走到B 共有多少种方法？（答案：28、42）A B 图1 A B图2A B 图3A B 图4注意：在信息学奥赛中，有许多只需计数而不需具体方案的问题，都可以通过思维转换或方法转换，最后变为两类问题：一类是转变为排列组合问题，另一类是转变为递推公式问题。
排列组合基础知识
排列组合基础知识
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
！阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r
举例：
Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）
Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1。
高中一年级数学上册排列组合课件
以3个元素中2个相邻为例，可以将这两个元素捆绑在一起作为一个元素，再与第三个元 素进行排列，总的排列方式为2的2次方种。
难点三：分组排列问题
总结词
掌握分组排列的原理和方法是解决这类问题的关键。
详细描述
分组排列是指将元素分成若干组进行排列的方式，解决这 类问题需要明确每组元素的内部排列以及不同组之间的排 列。
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的排列数。
排列的计算公式
A(n,m) = n! / (n-m)!
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元 素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的组合数。
组合的计算公式
C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]
排列与组合的差异
排列需要考虑取出元素的顺序 ，而组合则不考虑取出元素的 顺序。
排列过程中，相邻元素之间有 “先后顺序”，而组合过程中 ，相邻元素之间没有“先后顺 序”。
在使用排列数公式和组合数公 式时，排列数公式中需要除以 (n-m)!，而组合数公式中不需 要除以(n-m)!。
解析：本题考查的是 排列组合中的分组分 配问题。先分组，再 排列。分组的方法为 C(6，3)种，再对两组 进行排列，即A(3，3) 种。
答案：C(6，3)×A(3 ，3)=120种。
练习题三：拓展题
01
02
总结词：考查排列组合 与计数原理的综合应用
详细描述
排列组合基本知识
基本知识排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合．(一)两个基本原理是排列和组合的基础(1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法．(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．(二)排列和排列数(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法．(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列,当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！(三)组合和组合数(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的．一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
基础知识07 -- 排列组合
=(−1)n-2 (D2−2D1)
=(−1)n-2
Dn =nDn-1+(−1)n-2 看这个结果便可，最后答案用两个公式都能得出解
D4=4×2+1=9
D5=5×9−1=44（答案）
圆周上有 n 个点，任意两点间连一条弦，而且没有3条弦交于一点的情况，问在圆内一共有 多少三角形。
C(n,3)+4*C(n,4)+5*C(n,5)+C(n,6) 解释： C(N,3)是三个顶点都在圆上的情况 4*C(N,4)是两个顶点在圆上的情况(一个四边形中有四个)，就是说还有一个点是由于线条交 错形成的 5*C(N,5)是只有一个顶点在圆上(同理,一个五边形中有无个) C(N,6)是顶点都不在圆上的(一个六边形中有1个)
排列组合公式 注意，m 在上（要取得数），n 在下（总数） Pmn=n!/n-m)!
Cmn=Pmn/m! 性质： Cmn＝Cn-m,n cm,n+1=Cm,n+Cm-1,n 鄙人的一点解释：排列其实就是乘法原理，组合就是把排列的结果除以要拿的数量 n 的阶 乘。
由3个 a，5个 b 和2个 c 构成的所有字符串中，包含子串“abc”的共有（D）个。 A. 40320 B. 39600 C. 840 D. 780 E. 60 原文答案：8*7!/2!/4!-4*C(5,2)-4*5=8*3*5*7-40-20=840-60=780 现：8*7!/(2!*4!)- 6!/(2!*3!)=780 当 abc 在第一位时,后面一共有105种排列
用 Dn 表示 n 个元素序列的错位排列的个数。 D1=0, D2=1, D3=2, D4=9,
排列组合的基础知识你记得吗？
排列组合的基础知识你记得吗？
排列基础
［分类：加法J排列：与顺序有关
基5出知识：(分步：乘法1组合：与顺序无关
排列公式：4, = P： = E^ = n(n-l)(n-2)...(n-m + l)
C- = c∏-m = n! = n(n-l)(n - 2)…(n - m + l)
组合公式：”一° ^ (n-m)!m! - m(m-l) (m-2)...2×l
例：媪=从下标开始乘，乘上标那么多个数，依次递减= 10×9×8 = 720
3 = 分子同力" _ 10×9×8
10-从卜•标开始依次递减乘到1—3×2×1 一'"(不要硬算，上下约分巧算)
真题演练
例(2018联考)某学院从9名同学中选出4名同学去四个不同的乡镇甲、乙、丙、丁参加三下乡社会实践活动，其中有两名同学不能去乡镇丁，则分配方案共有多少种？
A.2352
B.2452
C.2552
D.2652
解析
”有两名同学不能去乡镇丁"正面分析情况较多，考虑从反面入手。
有两名同学不能去乡镇丁的情况数;总情况数-这两名同学去乡镇丁的情况数
=另- C}Al= 9X8X7X6 - 2×8×7×6= 8×7× (9×6 -2X6)= 56× 42 = 2352种。
故正确答案为A o。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
排列组合基础知识
一、两大原理
1.加法原理
（1）定义：做一件事，完成它有n类方法，在第一类方法中有n中不同的方法，
1
第二类方法中有n种不同的方法......第n类方法中n
种不同的方法，那么完成这
n
件
2
事共有N n
n2 ... n 种不同的方法。
1
n
（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。
（3）特点：分成几类，就有几项相加。
例1. 从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车；一天中动车有 3 班，汽车有 2 班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？
如上图，从甲地到乙地共有3+2 种方法。
2.乘法原理
（1）定义做一件事，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有m中不同的方法，做
1
第二个步骤有m种不同的方法......做第n个步骤有m
种不同的方法，那么完成这件
n
2
事共有N m
m2 ...m 种不同的方法。
1
n
（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。
（3）特点：分成几步，就有几项相乘。
例 2. 从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙
地，一天中火车 2 班，汽车 3 班。
那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方法？
解：由上图可知共有的可能路线为：火车1—汽车1，火车2—汽车 1
火车1—汽车2，火车2—汽车 2
火车1—汽车3，火车2—汽车 3
所以共有2 4 8 种方式。
二、排列组合
3.排列
（1）排列的定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（m n ）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。
（2）使用排列的三条件
①n个不同元素；
②任取m 个；
③讲究顺序。
4.组合
（1）组合的定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（m n ）元素并为一组，叫做从n个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。
（2）使用三条件
①n个不同元素；
②任取m 个；
③并为一组，不讲顺序。
排列与组合的共同点：都是“从n个不同元素中任取m 个元素”；
排列与组合的不同点：排列与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关。
也就是说：组合是选择的结果，而排列是选择后再排列的结果。
3 排列数的定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（m n ）元素所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m 个元素的排列数，记为m
A 。
n
例 1. 从甲、乙、丙三个中任取 2 个人分别参加明天上午和下午的比赛。
问共有多
少种方式？
解：由上图可知，共有 6 种方式。
需要注意：此题相当于从 3 个不同的元素中任取 2 个元素，并按一定的顺序排列，所有共有的排列数为 2 2
A ，即A 6 3 2，其中上标 2 是相乘的项数，下标是相
3 3
乘中的最大那一项3，而且之后的每项总是比前一项少1。
例2. 从a, b, c, d四个元素中任取 2 个排成一列共有多少种可能？
解所以的可能排列为：ab, ba, ac, ca, ad, da,bc, cb, bd, db, cd,dc. 共有12 种，即2
A ，其中上标 2 是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4，而且之
12 4 3 4
后的每项总是比前一项少1。
例3. 从a, b, c, d四个元素中任取 3 个排成一列共有多少种可
能？解所以的可能排列为：abc, acb,bac,bca,cab, cba,
abd, adb, bad, bda, dab,dba,
acd, adc, cad, cda, dac,dca.
bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb
共有24 种，即 3 24 4 3 2
A ，其中上标 3 是相乘的项数，下标是相乘中的最
4
大那一项4，而且之后的每项总是比前一项少 1
由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式
n!m
A n n( )....( n ，其中上标m 表示相乘的项数，
n 1)( n 2 m 1)
(n m)!
其中n! n(n 1) 2 1。
0 A n A n n
尤其：A 1, , !
n n
1
n 。
5 组合数的定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（m n ）元素所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m 个元素的组合数，记为m
C 。
n
例4. 从甲、乙、丙三个中任取 2 个人参加某项比赛。
问共有多少种方式？
解：可能的组合为：甲乙，甲丙，乙丙。
所以共有 3 种
需要注意：此题相当于从 3 个不同的元素中任取 2 个元素并成一组，所有共有的组合数为 2 2
C ，即C 3。
这个结果与例 1 比较发现
3 3
2
3 2 A 2
3
C 3 。
3 2 1
2
A
2
例2. 从a, b, c, d四个元素中任取 2 个并成一组，共有多少种可能？
2
解所以的可能排列为：ab, ac, ad, bc, bd, cd. 共有6 种，即 6
C 。
这个结果与例
4
2 比较发现
2
4 3 A 2
4
C 6 。
4 2 1
2
A
2
例6. 从a, b, c, d四个元素中任取 3 个并成一组，共有多少种可能？
解所以的可能排列为：abc, abd, acd, bcd。
共有4 种，即 4
3
C 。
这个结果与
4
例3 比较发现
3
3
4
4 3 2 A
C 4 。
4 3 2 1
3
A
3
由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式
m
n C
m
A
n
m
A
m
n(n
1)...(n
1) (2)
m
m(m
1
1)
尤其：0 1 n m n
C n 1,C n,C 1,C C
n n n n
m
我们这本书用n
m 表示
m
C 。
n
下面3 题要求学解题过程
5.甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛，
(1) 列出所有各场比赛的上方；
（2）列出所有冠军的可能情况。
6.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇
数？A.226 B.246 C.264 D.288
7.旅行社有豪华游 5 种和普通游 4 种，某单位欲从中选择 4 种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。
A.60
B.100
C.120 D140。