高中排列组合基础题

排列、组合问题基本题型及解法

同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.

一、相邻问题“捆绑法”

将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？ 分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有33A ＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有22A ＝2种，所以共有6×2＝12种排法. 二、不相邻问题“插空法”

该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.

例2 7个同学并排站成一排，其中只有A 、B 是女同学，如果要求A 、B 不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.

分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是55A ＝120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有24A ＝2

种方法.则共有52

54A A ＝440种排法.

三、定位问题“优先法”

指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.

例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有 种.

分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有14A 种排法.然后将其余5个

排在余下的5个位置上，有55A 种方法.则共15

45A A ＝480种排法.还可以优先排两端

（位置优先）. 四、同元问题“隔板法”

例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？ 分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： ×× × ××× ××××

一种插法对应于一种分法，则共有39C ＝84种分法. 五、先分组后排列

对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.

例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）

（A ）210个 （B ）300个 （C ）464个 （D ）600个

分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、13

33A A 个，合计300个，所以选B

例6 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?

【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有325555C C A 种，

其中0居首位的有314

544C C A 种，故符合条件的五位数共有325314

555544C C A C C A ＝11040个.

【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的.

①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325

545C C A 个；

②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有14A 种排法，

再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有3141

5444C C A A 种排法.

综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545C C A ＋3141

5444C C A A ＝11040个. 例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3

的自然数？

【解】设A ＝{满足题设条件，且百位数字是3的自然数}，B ＝{满足题设条件，且比20000大的自然数}，则原题即求()card U B A I ð，画韦恩图如图，阴影部分 即U B A I ð，从图中看出()()card card U B A B A B =-I I ð

. 又A B B I Ø，由性质2，有()()()card card card .B A B B A B -=-I I

()card B 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000

()1444card A A B =.

()card A B I 即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自

然数的个数，易知()1333card A A A B =I ，

所以()1413

4433card A A A A U B A =-I ð＝78.即可组成78个符合已知条件的自然数.

典型例题

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来

排列，故有3

9A 个；

当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，

百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有2

81814A A A ⋅⋅（个）．

∴ 没有重复数字的四位偶数有

229617925042

8181439=+=⋅⋅+A A A A 个．

例2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？

解：（1）先排歌唱节目有5

5A 种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有46A 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：55A 46

A ＝43200. （2）先排舞蹈节目有4

4A 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌

唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：4

4A 55A ＝2880种方法。

例3 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．

分析与解法1：6六门课总的排法是66A ，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有5

5

A 种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一节有5

5A 种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包括体育排

在第一书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有4

4A 种排法，因此符合条件的排法应是：