12.3.1等腰三角形1
12.3.1等腰三角形的性质
D
C
=40°(三角形内角和定理) 又∵AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底 边上的高互相重合）. ∴∠BAD=∠CAD=50°
A
χ
如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上, 且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
A
12
∴ ∠ 2=20°
∠BAC=40° B D C
用一用
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两 个底角相等（等边 对等角） 2.等腰三角形顶角 的平分线，底边上 的中线和底边上的 高互相重合（等腰 三角形三线合一）
3.在三角形ABC中，AB=AC=5cm，AD=4cm, 且BD=CD，求点A到线段BC的距离。 解：∵AB=AC（已知） ∴△ABC是等腰三角形 ∵BD=CD（已知） ∴BD⊥CD（等腰三角形 三线合一） ∴线段AD的长度 就是点A到线段BC的 距离即为4 cm B D C A 12
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD （已知） ∴ BD=CD ，AD⊥BC（三线合一） B ∵AB=AC， AD⊥BC （已知） ∴ BD=CD ，∠BAD=∠CAD （三线合一）
A
D
C
1.等边三角形两条平分线所夹的锐角的度数是
（
C ） A、30°
C、60°
度
B、45° D、90°
2.等边三角形的两条高所夹的角为
底边上的高互相重合。
A 1 2
已知： △ABC中，AB = AC, AD是∠BAC角平分线 求证： AD 平分 BC，并且 AD ⊥ BC
证明：∵AD是∠BAC角平分线，∴∠1＝∠2
12.3.1等腰三角形教学设计
12.3.1等腰三角形（一）教学设计说明安徽省淮南市洞山中学周丽1、教学内容分析《等腰三角形》是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册第十二章第3节的内容，本课时是本节内容的第1课时。
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还有许多特殊的性质。
由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛，而等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关，因此教科书把《等腰三角形》安排在《轴对称》这章中。
本节课就是以轴对称图形为切入点，研究等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，并进一步利用三角形的全等证明这些性质。
教材让学生通过剪纸来认识等腰三角形，再通过折纸猜测、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，是一个由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识的过程。
这种“观察——发现——猜想——论证”的数学思想方法是今后研究几何图形的基本数学思想方法。
“等边对等角”是今后证明两角相等常用方法之一，“三线合一”是今后证明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直的重要依据.而且这两条性质在今后要学习圆和正多边形时应用也非常广泛。
因此，本节课在教材中处于非常重要的地位，起着承上启下的作用。
二、教学目标分析由以上对本节课教学内容的分析，依据课程标准的要求（了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合），结合我班学生的实际情况，制定了以下教学目标：知识技能：1、理解并掌握等腰三角形的性质。
2、运用等腰三角形的性质进行证明和计算。
数学思考：1、经历操作、发现、猜想、证明的过程，感受数学思考过程的条理性。
2、引导学生初步学会几何证明题的思路，培养学生的逻辑思维能力。
加强学生对符号语言、图形语言与文字语言之间相互关系的理解与应用。
：1、初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用已有的知识解决新的问题。
体验解决问题方法的多样性。
12.3.1 等腰三角形的判定-
再 见
B C
A
D
总结归纳
1、等腰三角形的判定定理及其推论的内容是什么？ 、等腰三角形的判定定理及其推论的内容是什么？ 2、等腰三角形的判定方法有下列几种: 、等腰三角形的判定方法有下列几种 定义， ①定义，②判定定理 ______________ 3、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是 、 条件和结论刚好相反。 条件和结论刚好相反 ________________。 4、运用等腰三角形的判定定理时，应注意 、运用等腰三角形的判定定理时， 在同一个三角形中 ______________
12.3.1 等腰三角形的判定
执教人：简艳辉
我们在上一节学习了等腰三角形的性质。 我们在上一节学习了等腰三角形的性质。 现在你能回答我一些问题吗？ 现在你能回答我一些问题吗？
1、等腰三角形的性质定理是什么？
等腰三角形的两个底角相等。（可以简 称：等边对等角）
2、这个定理的逆命题是什么？
如果一个三角形有两个角相等，那么这个 三角形是等腰三角形。
求证： 例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 已知：如图，∠CAE是⊿ABC的外角，∠1=∠2， AD∥BC。 求证：AB=AC 分析：从求证看：要证AB=AC， 需证∠B=∠C，从已知看： 因为∠1=∠2，AD∥BC 可以找出∠B，∠C与的关系。 B
A E 1 2 D
C
证明： 证明： ∵ AD∥BC ∥ E ∴ ∠1=∠B（两直线平行 同位 ∠ （两直线平行,同位 A 1 角相等） 角相等） 2 ∠2=∠C（两直线平行 内错 ∠ （两直线平行,内错 角相等） 角相等） ∵ ∠1=∠2 ∠ B ∴ ∠B=∠C ∠ ∴ AB=AC（等边对等角） （等边对等角）
八年级数学上册：12.3.1等腰三角形(1)教学设计
一个角的度数，都可求其它角的度数，及分类讨论的数学思想。
。（2）两个角在一3．个等三腰角形A中BC运除用两等腰腰相三等角外形，的它“的等角边有对什等么角性”。质？用语
思维能力和证明能力。 言描述等腰三角形的这条性质并给与证明。
4．等腰 ABC中，AD 有几种角色？各是什么？用语言
描述等腰三角形的这条性质并给与证明。
足时，可考虑利用等角和倍角列方程求解.
《12.3.1等腰三角形》⑴教学设计案例
《12.3.1等腰三角形》⑴教学设计案例《12.3.1等腰三角形》⑴教学设计案例一、教学内容分析本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“12.3.1等腰三角形”的第1课时．本节课的主要内容是利用等腰三角形的轴对称性，探索、证明和运用等腰三角形的“等边对等角”“三线合一”等性质．学生在小学已经接触过等腰三角形，对于等腰三角形并不陌生．因此，教科书直接通过一个“探究”栏目，让学生自己剪出一个三角形．接下来安排的“思考”栏目是前面“探究”栏目的继续，利用轴对称变换的性质，可以很容易地引导学生得出等腰三角形的两个性质：“等边对等角”和“三线合一”．最后，通过推理证明论证性质，并简单运用．从而充分体现了一个观察、实验、猜想、论证的研究几何图形问题的全过程．二、教学目标分析知识技能：1．掌握等腰三角形的性质．2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．数学思考：角形，对于等腰三角形并不陌生．因此，本节从操作实验探究入手，一方面可以激发学生的兴趣，另一方面可以使学生从实验得出证明这等腰三角形性质正确的方法。
教学中，要注意引导学生把实验结果抽象为数学语言，并从中得出辅助线的添加方法．对于性质1的证明，有了前面的“探究”“思考”的铺垫，如何添加辅助线也就是水到渠成的了；而对于性质2的证明，实际上要证明三个命题，教学时务必认真、细致地引导学生用符号语言表示出这三个命题，已知什么，要证什么．而学生对理解辅助线的作法有一定的困难，所以教学中要给学生提供充分从事数学活动的机会，让学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法．五、教学媒体资源的选择与运用创设情境、利用多媒体展示，采用合作交流、探索分析等方法，由抽象变形象、从特殊到一般，加强知识前后联系，从而达到支持课堂教学的目的．六、教学实施过程设计㈠、情景激趣，活动引入(课件展示)【活动1】观察感知，认识等腰三角形由折纸、剪纸，得到等腰三角形的有关概念，感知等腰三角形的对称性．问⑴把一张长方形的纸片对折，并剪下阴影部分(教科书图12.3-1)，再把它展开，得到一个什么图形？问⑵上述过程中得到的△ABC有什么特点？问⑶除了剪纸的方法，还可以怎样作出一个等腰三角形？【师生行为】学生动手剪纸，观察．教师在学生观察的同时提出问题．学生讨论问⑶时，教师在学生充分发表自己的想法基础上给出画图方法，并画出图形，介绍腰、底、顶角、底角．在本次活动中，教师应重点关注：⑴学生在活动中的参与意识及回答问题的勇气；⑵学生是否能利用轴对称性得出相关的结论．【设计意图】这个问题是激发学生的学习兴趣，为学生提供参与数学活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲．㈡、自主探究，获取新知(课件展示)【活动2】探索等腰三角形的性质问⑴活动1中剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？？问⑵把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填写表格．问⑶你能猜一猜等腰三角形有什么性质吗？说说你的猜想．【师生行为】教师在学生的猜想基础上，引导学生观察、完善，归纳出等腰三角形的性质1和性质2．在本次活动中，教师应重点关注：⑴学生能否从轴对称的概念出发折纸判断；⑵学生能否用规范清晰的数学语言说出自己的猜想；⑶学生能否归纳全面⑷学生在活动和交流中表现出来的参与意识如何．【设计意图】通过学生观察，教师的引导，归纳出等腰三角形的两条性质，在这个过程中培养学生自主探究学习的品质．㈢、理论验证，强化新知(课件展示)【活动3】等腰三角形的性质1、2的证明问⑴等腰三角形的性质1(等腰三角形的两个底角相等)的条件和结论分别是什么？问⑵用数学符号如何表达条件和结论？①等腰三角形的两个相等。
人教版八年级上册13.3等腰三角形12.3.1：等腰三角形(1)教学设计
人教版八年级上册13.3等腰三角形12.3.1：等腰三角形(1)教学设计本次教学设计的教学内容是人教版八年级上册13.3等腰三角形12.3.1：等腰三角形(1)。
本次教学的目标是让学生能够区分等腰三角形和非等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，能够通过等腰三角形的性质解决实际问题。
教学目标知识与技能•区分等腰三角形和非等腰三角形•理解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的判定方法•能够通过等腰三角形的性质解决实际问题过程与方法•学习突破：引发学生学习的主动性和创造性•拓宽视野：增强学生的概念、知识的深度和广度•能力培养：提高学生的观察能力和解决问题的能力情感、态度、价值观•珍惜学习机会，主动学习•感受到学习的乐趣，提高自信心•培养勇于探索的品质，培养好奇心教学重点•理解等腰三角形的性质•掌握等腰三角形的判定方法教学难点•能够通过等腰三角形的性质解决实际问题教学过程1. 学习愿景•以幻灯片展示一些知名建筑物或艺术作品，要求学生找出其中的等腰三角形，并思考为何这些作品会采用等腰三角形。
2. 基础知识回顾•复习三角形的基础知识，包括直角三角形和等边三角形。
•回顾等腰三角形的定义和性质，包括等腰三角形两边两角相等，底角对的两边相等。
3. 学习新知•讲解等腰三角形的判定方法，即判断一条边是否等于另外两条边之一。
•通过图形演示和计算，深入理解等腰三角形的性质。
4. 练习与巩固•给学生发放题目，并利用分组交流的方式解决问题。
•给出一些实际问题，例如利用等腰三角形来设计舞台布景，让学生运用所学知识解决问题。
5. 拓展应用•介绍若干个著名的等腰三角形应用案例，例如以此来设计寺庙大门、电影片头或标志性建筑。
课堂效果评价在课堂过程中，我们将采用以下方法进行评价：•学生思考问题的速度和深度是否提高。
•学生的意见是否得到体现，并且学生的互动是否积极。
•学生答错问题的情况是否得到及时纠正。
•课后学生的学习情况和态度。
总结通过本次教学，学生可以更深入地理解等腰三角形的概念和性质，掌握等腰三角形的判定方法，以及能够运用所学知识来解决实际问题。
人教版八年级上册12.3.1《等腰三角形》课件
教材分析
（二）教学目标分析 根据新课标的要求和本节课内容特点，考虑到 八年级学生的知识水平，我制定了如下的三维教学 目标：
知识与技能
1、 理解等腰 三角形的概念， 掌握等腰三角 形的两条性质。 2、 初步运用 等腰三角形的 性质去解决几 何问题。
过程与方法
经历学生动手折 叠，同学相互比 较的过程，让学 生自主参与探索 形成结论。
知 识 升 华
课 堂 小 结
教学过程分析
（一） 创设情境： 我们在小学已经学过了等腰三角形，你能说说生 活中有哪些是等腰三角形呢？可能有学生回答 我国的国旗上的五角星有五个等腰三角形。 （师借此渗透爱国主义情感教育）这样摆放的 等腰三角形美丽吗？你能折出一个等腰三角形 吗？ 今天我们就来学习 12.3.1等腰三角形（板书）。
【设计意图】通过猜想到证明这一过程，让学生理解数学知识的缜密、严谨， 由长方形纸中的折痕来启发学生如何添加辅助线。 老师及时以不同的表扬方式对学生进行鼓励，增加他们的自信心。
教学过程分析
（三）形成结论： 由此得出等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等。 （可简称“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高相互重合。（可简称“三线合一”） 对于性质2的证明，你还有别的辅助线吗？ 同学们有的作BC的高，也有的作顶角平分线，你能证 明这一性质吗？还有的运用轴对称性质解释说明。
教法分析
另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教 学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的 学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。
学法分析
从心理特征来说，初中阶段的学生思维能力， 观察能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这 一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解， 希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特 点，一方面运用生动的现象，引发学生的兴趣，使 他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创 造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的 主动性。
12.3.1等腰三角形(1)
三、小结：
1．等腰三角形的定义
2．等腰三角形的性质
四、作业：
书P56页，1、2、3、4、6、7
课后反馈
1.边没明确腰、底
例.等腰△ABC中，AB=2BC,且三角形周长为40.求AB的长.
2.内角没明确是顶角还是底角
例.（1）已知等腰三角形有一个内角为70°，求其余两个内角的度数.
（2）已知等腰三角形有一个内角为100°，求其余两个内角的度数.
3.腰上的高分形内和形外
例：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，求这个等腰三角形顶角的度数
几何语言：∵在△ABC中AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D
∴AD⊥BC于D，BD=DC（还可以有在已知高线或中线的条件下的另两种不同的表达方式）
说明：性质1揭示由三角形边的关系推出的角的关系，同时也提供了一种证明角等的新方法.
性质2是知一得二，同时这条性质还说明等腰三角形的对称轴就是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高线）所在的直线。同时性质1、2除了可通过动手操作得到外，也可以进行证明。（见课本50页）
教学重点
等腰三角形的性质.
教学难点
综合应用等腰三角形的性质.
教学手段
学生活动，讲练结合
教学过程
一、引入
看书P49页探究，并完成后面的思考。
二、新课：
1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图：△ABC中AB=AC，则AB、AC是腰，BC是底边，
例2、如图，在△ABC中AB=AC，点F在AC上，在BA延长线上截取AE=AF
求证：EF⊥BC
12.3.1等腰三角形(1)课件
在△ABC中， ∠A=36°， ∠ABC=∠C=72°
你能将自己在本节课的收获和同学们共同分享？
等腰三角形 性质1：等边对等角 性质2：“三线合一”
5、等腰直角三角形斜边上的高把直角 分成两个角，则这两个角的度数为 45 ° .
1、 在下列的等腰三角形中，分别求出它们的 底角的度数 ．
⌒ 40°
70°70°
30°
45°
2、已知等腰三角形的一个角等于75°，求另外 两个角的度数．
40 ° ⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______. ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 70°,40°或55°,55° __________________.
学习目标
1.理解并记忆等腰三角形的概念及相关的边角 意义； 2.学会等腰三角形性质的两种表述方法及简单 应用； 3.掌握“等边对等角”定理及综合应用。 4.学会用代数方法（列方程）解几何问题。
问题 ：你知道什么样的三角形是等腰三角形吗？
A
腰
顶 角
腰
底角 B
底角 底边
C
有两边相等的三角形叫做等腰三角形
性质1 等腰三角形的两个底角相等。 (等边对等角)
已知： Δ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A
B
C
证明：等腰三角形的两个底角相等 已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. 作顶角的平分线
A
证明：作顶角的平分线AD
∴∠ 1= ∠ 2 在△BAD和△CAD中， AB=AC ( 已知 ), ∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 )，
35 °，35 ° ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.
《12.3.1 等腰三角形》教学设计
《12.3.1 等腰三角形》教学设计教学目标（1）、知识与技能：①理解掌握等腰三角形的性质②运用等腰三角形的性质进行证明和计算③观察等腰三角形的对称性，发展形象思维（2）、过程与方程①通过实践观察证明等腰三角形的性质，发展学生推理能力，培养学生的探究习惯。
②通过运用等腰三角形的性质解决有关问题，提高运用知识和技能，解决问题能力。
③能感受数学思考过程的条理性，发展学生能力推理和语言表达能力，并体会从特殊到一般的认识问题的方法。
（3）情感目标①通过师生共同活动增强师生之间的情感交流，培养学生团结协作的团队精神，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神。
②让学生体验猜想得到证实的成就感，在解题中感受到生活中数学的存在，体验数学充满探索和创造，建立学习的信心。
教学重点与教学难点教学重点：（1）理解等腰三角形的性质及推理（2）运用等腰三角形的性质进行应用教学难点：等腰三角形的性质证明教学过程分析一、导入新课1、同学们，我们在农村在盖瓦房时，有一个环节上房架子，我们看到房架子是一个什么样的三角形？你发现房架子的边和角有什么特点呢？以“悬而未解”的问题质疑，调动学生积极性，激发好奇心，激发学生求知欲。
2、常见的轴对称图形有哪些？（投影展示：圆、线段、角、长方形、等腰三角形）教师投影出示等腰三角形，让学生判定是不是轴对称图形呢？鼓励学生对新问题进行思考与猜想。
二、探究新知探究一（1）、把一个长方形纸片对折，并剪下阴影部分（如教材图12.3—1）再把它展开得到一个什么图形？AD学生动手剪纸、观察，教师在学生观察的同时提出问题（2）上述过程中得到三角形ABC有什么特点？（3）除了剪纸的方法，还可以怎样做出一个等腰三角形？学生讨论问题（3）教师在学生充分发表自己想法基础上给出画图方法，并画出图形。
探究二：（1）活动（1）中剪出等腰三角形是轴对称图形吗？（2）把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填写表格探究三：⑴等腰三角形性质的条件和结论分别是什么？⑵用数学符号如何表达条件和结论？⑶如何证明？⑷受性质1启发，你能证明性质2与等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，地边上的高相互重合吗？学生独立思考解答教师适时给予适当的指导。
23 12.3.1 等腰三角形的性质
怎么 办？
探究: 探究: 思考题:撑伞时, 思考题:撑伞时,把 两侧的伞骨” 伞“两侧的伞骨” 和支架分别看作AB AB、 和支架分别看作AB、 AC和DB、DC,ห้องสมุดไป่ตู้终有 AC和DB、DC,始终有 B AB＝AC,DB＝DC,请 AB＝AC,DB＝DC,请 大家考虑伞杆AD AD与 大家考虑伞杆AD与B、 两点的连线BC BC有何 C两点的连线BC有何 关系？ 关系？ A
C
D
AD是顶角 是顶角 平分线
性质2 等腰三角形的顶 性质2：等腰三角形的顶 角平分线、底边上的中线、 角平分线、底边上的中线、底 边上的高相互重合. 相互重合 边上的高相互重合.
AD是底边 是底边 上的高
三线合一” (“三线合一”) 三线合一
“三线合一”的数学语言 三线合一” 三线合一
(1)若AD是角平分线， AD是高 是高， (1)若AD是角平分线，则AD是高，是中线 是角平分线
A 12
B
D
C
等腰三角形的性质
1 等腰三角形 一休学数学 的两个底角相等 ABC中 已知AB=AC AB=AC， 在△ABC中，已知AB=AC，且 等边对等角） （等边对等角） 要证∠1=∠2，如何去证？ 要证∠1=∠2，如何去证？这 2等腰三角形顶 角的平分线， 角的平分线，底 边上的中线和底 边上的高互相重 合（等腰三角形 三线合一” “三线合一”） 道题因被墨水遮去了 一个条件， 一个条件，一休无从 下手， 下手，现在请同学们 帮一休补上这个条件， 帮一休补上这个条件， 使一休能做出这道题。 使一休能做出这道题。
你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想. 你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想.
归纳: 归纳:等腰三角形的性质
12.3.1等腰三角形课件
12.3 等腰三角形（1） 等腰三角形（ ）
1、等腰三角形的定义. 2、等腰三角形是不是轴对 称图形?它的对成轴在哪？
A
B
D
C
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 的三角形叫做等腰三角形
A
顶 角
腰
腰
B
C
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰 和底边的夹角叫做底角. 和底边的夹角叫做底角
已知：如图，△ABC中，AB=AC。 已知：如图， 中 。 求证： 求证：∠B=∠C ∠ 证明：作顶角的角平分线AD 证明：作顶角的角平分线 ， 在△BAD和△CAD中， 和 中 AB=AC（已知） （已知） ∠1=∠2（辅助线作法） ∠ （辅助线作法） AD=AD（公共边） （公共边） ∴△BAD≌△CAD（SAS） B ≌ （ ） ∴∠B=∠C（ 全等三角形的 ∴∠ ∠ （ 对应角相等） 对应角相等）
A
B
D
C
例题1
如图,在 如图 在△ABC中,AB=AC,点D在AC上, 中 点 在 上 各角的度数. 且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数 求 各角的度数
解:∵AB=AC,BD=BC=AD ∵ ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∴∠ ∠ ∠ ， ∠ A=∠ABD（等边对等角）. ∠ （等边对等角） A=x,则 设 ∠ A=x,则 ∠BDC=∠ A+∠ABD=2x, ∠ ∠ 从而 : ∠ABC=∠C=∠BDC=2x. ∠ ∠ 于是在△ 于是在△ABC 中,有 有 ∠ A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° ∠ ∠ ° 解得: x=36 ° 解得 在△ABC 中,∠A= 36 °, ∠ABC=∠C =72°. ∠ ∠ °
课题：12.3.1等腰三角形(第1课时)
徐闻县和安中学数学教研组◆八年级数学导学案◆◆我们的约定：我的课堂我作主！执笔：林朝清校审：陈招页◆◆◆课题：12.3.1等腰三角形（第1课时）1、了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质。
2、运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
一、新课导学※学习探究探究任务一：等腰三角形的概念（P49）1、做一做：怎样能折出等腰三角形呢？在折的过程中你能发现等腰三角形的性质吗2、有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫3、如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称？探究任务二：等腰三角形的性质（P50）4、如图,在△ABC中，AB=AC,求证：∠B=∠C，证明：归纳总结等腰三角形的性质1：等腰三角形的_______________________。
（简写成______________）5、已知：如图,在△ABC中，AB=AC,且BD=DC，求证：（1）∠1=∠2，（2）AD⊥BC归纳总结等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
图形符号表示为：如图,在△ABC中,（1）如果AB=AC,且∠1=∠2，那么= ，且。
（2）如果AB=AC,且BD=DC，那么= ，且。
（3）如果AB=AC,且AD⊥BC，那么= ，且。
●跟踪训练1.已知：如图，∠B、∠C是等腰三角形的两个底角，∠B＝70°，则∠C＝°，∠A＝°.2.已知：如图，AB＝AC，∠A＝50°，则∠B＝°，∠C＝°.3.已知：如图，△ABC是等腰三角形，其中ACDCABABCBD八年级数学导学案设计 林朝清 共2页，这是第2页 ◆◆◆。
12.3.1 等腰三角形的性质 课件
练习1:小试牛刀 练习1:小试牛刀 1: 1.如图 如图（ 在等腰△ABC中 1.如图（1）在等腰△ABC中， 36° AB =AC, ∠A = 36°,则∠B =＿＿＿∠C= ＿＿＿ D 72° 72° ° °
A C Ａ B
图 1
A
C
图2
B
B
图3
C
变式练习： 变式练习： 2.如图 如图（ 在等腰△ABC中 AC=BC， 2.如图（2）在等腰△ABC中，AC=BC，且∠A = 80° ° 50° 50°, 则∠B = ＿＿＿ ，∠C= ＿＿＿ 50° ° 3.如图 如图（ 在等腰△ABC中 =55° 3.如图（3）在等腰△ABC中,AB=AC,∠B =55°， 70° 则∠DAC= ＿＿＿
B
A C
D
探索: 探索:
AC和AB有什么关系 这个三角形有 和 有什么关系 有什么关系?这个三角形有 什么特点? 什么特点
活动2：认识等腰三角形
定义： 定义：有两条边相等的三 角形叫做等腰三角形. 角形叫做等腰三角形.
腰
A
顶 角
腰
B
C
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰 一边叫做底边 两腰的夹角叫做顶角 底边， 顶角， 一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰 底角. 和底边的夹角叫做底角 和底边的夹角叫做底角
活动5:等腰三角形性质定理的运用(课本P50）
例1.在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ ABC各角的度数. 解: ∵ AB=AC,BD=BC=AD, ∴ ∠ ABC= ∠ C= ∠ BDC A 等边对等角) 等边对等角 ∠ A= ∠ ABD (等边对等角 设A=X,则 则 ∠ BDC= ∠ A+ ∠ ABD=2X X 从而∠ 从而∠ ABC= ∠ C= ∠BDC=2X X 于是在△ ABC中,有 于是在△ 中有 ∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C=X+2X+2X=1800 X X X 解得 X=360 在△ ABC中, ∠ A=360 ∠ABC= ∠ C=720 中
24 12.3.1 等腰三角形的判定
B C E 1 A） ） 2 D
B A D C
归纳: 归纳:等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等， 如果一个三角形有两个角相等，那么 这两个角所对的边也相等． 这两个角所对的边也相等． （简写成“等角对等边”） A 简写成“等角对等边”
B C
∵ ∠B=∠C （已知） 已知） ∴ AB=AC （等角对等边） 等角对等边）
应用: 应用:
第十二章 轴对称
12.3.1 等腰三角形的判定
义务教育课程标准实验教科书——人教版——八年级上册
回顾: 回顾:
等腰三角形有哪些什么性质？ 等腰三角形有哪些什么性质？ 1.等腰三角形的两底角相等． 1.等腰三角形的两底角相等． 等腰三角形的两底角相等 （简写成 “等边对等角”） 等边对等角” ∵AB=AC（已知） （已知） ∴∠B=∠ （等边对等角） ∴∠ ∠C（等边对等角）
B C A
2.等腰三角形的顶角的平分线、 2.等腰三角形的顶角的平分线、底边上 等腰三角形的顶角的平分线 的中线、底边上的高互相重合．（ ．（简写 的中线、底边上的高互相重合．（简写 三线合一” 成“三线合一” ） A
∵AB=AC，BD=CD ， ∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC ∴∠ ∠ ， ⊥ ∵AB=AC，∠BAD=∠CAD ， ∠ ∴ BD=CD ，AD⊥BC ⊥ ∵AB=AC， AD⊥BC ， ⊥ ∴ BD=CD ，∠BAD=∠CAD ∠
八年级数学上册教案 12.3.1.1 等腰三角形(一)
12．3．1.1 等腰三角形（一）（一）教学知识点1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．（二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2．探索并掌握等腰三角形的性质．（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．教学重点1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．教学难点等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．AICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A 点可以取直线L 上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本P49探究中的方法，•剪出一个等腰三角形． ……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想．1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，我们来总结等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为 ,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．D CA B[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看例题．[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到 ∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． [例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）． 设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ． 于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°． [师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本P56练习 1、2、3．（二）阅读课本P49～P51，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）课本P56─1、3、4、8题． （二）1．预习课本P141～P143． 2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究D CABDCA B如右图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如右图，在△ADP 和△ADC 中12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ． ∴AE=CE ． 备课资料 参考练习 一、选择题1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高; B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线; D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm ，并且它的周长为16cm ． 求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为xcm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得 2（x+2）+x=16． 解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4cm 、6cm 和6cm ．教后记：E DC A B P。
等腰三角形性质(一)
12.3.1 等腰三角形性质辽宁省铁岭县莲花中学贺平平一、教案目标1.知识与能力理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．2.过程与方法在探索等腰三角形的性质和判定的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．培养学生添加辅助线解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．二、教案重点理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．三、教案难点等腰三角形性质和判定的探索和应用．四、教案方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．五、教案工具长方形的纸片、剪刀六、教案过程Ⅰ．创设情境前面的学习中，认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质．这节课从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？Ⅱ．自主探究(分组活动)活动如图（1），把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？DC BA图（1）学生活动设计：学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC 的特点，可以发现AB =AC ． 教师活动设计：让学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图（2）：C B图（2）△ABC 中，若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，AB 、AC 是腰、BC 是底边、∠A 是顶角，∠B 和∠C 是底角．Ⅲ。
互动探究探究1：实践观察，认识等腰三角形（结合课件）以上活动所得三角形的两边相等吗？此三角形称为。
小结：填出等腰三角形各部分名称探究2：等腰三角形的性质问题1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．问题2．折叠或量，看看等腰三角形的两底角有什么关系？问题3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？问题4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？1、学生通过刚才自主探究，大胆猜想以上问题的结果。
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你还能用其他 方法证明吗?
AD=AD
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠ B= ∠C
已知:如图,在△ ABC中,AB=AC,AD是底边BC上的中线 求证: ∠ BAD= ∠ CAD,AD⊥ BC A
B
D
C
等腰三角形“三线合一”性质用几何符号语言 表示为： A
（1）∵AB=AC，AD平分∠BAC
例1 如图:在△ABC中，AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD, 求△ABC各角的度数。 A D B C 解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C ∵ BD=BC ∴ ∠C=∠BDC ∴∠ABC=∠C=∠BDC ∵ BD=AD ∴∠A=∠ABD 设∠A=x， 则∠ABD =x 则∠BDC=∠A+∠ABD=2x, 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x， ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， 即: x+2x+2x=180° 解得 x=36° ∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°。
B
D
C
通过这节课的学习你学到 关于等腰三角形的哪些知识？
70 °,40 ⒈等腰三角形一个底角为70°,则其余两角为______. °
⒉等腰三角形一个角为70°,则其余两角为 70°,40°或55°,55° __________________.
35 °，35 ° ⒊等腰三角形一个角为110°,则其余两角为___________.
如图：△ABC是等腰直角三角形，AB=AC， ∠BAC=90°，AD是底边BC上的高，求∠B、 ∠C、∠BAD、∠DAC的度数。 A
现象
①折叠的两部分互相重合 ② ∠ B= ∠ C ③ BD=CD ④ ∠ BAD= ∠ CAD ⑤ ∠ ADB= ∠ ADC=90°
结论
是轴对称图形 两个底角相等 B
A
D
C
AD为底边BC上的中线 AD为顶角∠ BAC的平分线 AD为底边BC上的高
等腰三角形的性质:
性质1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角);
AD BC ∴________⊥_______, (2) ∵AB=AC，AD⊥BC , BD CD ______=_______
B
D
BAD CAD BD CD ∴∠_____=∠____, ______=_______ C (3) ∵AB=AC，BD=CD， AD BC BAD CAD ∴ ∠_____=∠____,_____∠C
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的 中线、底边上的高相互重合 (三线合一)。
14
如何用所学的知识验 证等腰三角形的性质1?
A 已知： △ ABC中，AB=AC.
1 2
求证： ∠B= ∠C.
证明： 作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中， AB=AC ∠ 1= ∠ 2 B D C
12.3.1等腰三角形
探究
如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部 分,再把它展开,得到的△ABC有什么特点? B
A D C
14.3.1 等腰三角形
A 顶 角
腰
腰
几何符号语言:
底角 底角 底边 C B
△ ABC中,AB=AC
等腰三角形:有两边相等的三角形
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕 对折,你能发现什么现象?