2018成都树德中学数学自主招生考试真题_201906012149321
2018成都名校自主招生数学模拟试题一
4
8
D 为线段 AB 下方抛物线上一点，直线 AD、BD 分别与直线 y 2 交于 F、E 两点，若
ABE CFE ，则直线 BE 的解析式为____________________.
23、（原创）如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB、BC 上，若 ADE 、BEF 、 CDF 的面积分别为 5 、3 、 4 ， DEF 的面积为 S ，则 S 5 x 2 3x S 的最大值为 ______.
99 99 1 99
S 1 _____________. 99!
07、（原创）若正数
x、y
满足
x2
y2
x y3
x2 y xy2 x3 y3
1 的最大值为______.
08、已知 ABC 的三边长分别为 AB 2 a2 576 ，BC a2 14a 625 ，AC a2 14a 625 ， 其中 a 7 .则 ABC 的面积为________.
外接圆与 AOB 的外接圆相交于 A、E 两点.求证： OE EC 。
27、已知方程 x3 1 2 3m x2 5n 2 3m x 5n 0 .
（1）若 n m 0 ，求方程的根； （2）找出一组正整数 n、m ，使得方程的三个根均为整数； （3）证明:只有一组正整数 n、m ，使得方程的三个根均为整数。
，则 abc 的值为___________. 433
14、已知实数 a、b、c、d 互不相等，并且满足 a 1 b 1 c 1 d 1 x ，则 x 的值为
bcd
a
__________.
【考试必备】2018-2019年最新成都市树德中学初升高自主招生考试数学模拟精品试卷【含解析】【
17．若一次函数 y＝(2m－1)x＋3－2m 的图象经过 一、二、四 象限，则 m 的取值范围是________．
18．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察， 第 n个图形有________个小圆.(用含 n的代数式表示) 三、解答题（本大题 7个小题，共 90分）
1．下列事件中，必然事件是( ) A．掷一枚硬币，正面朝上 B．a是实数，|a|≥0 C．某运动员跳高的最好成绩是 20.1米 D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品
2、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是 （）
A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变 换
3．如果□×3ab＝3a2b，则□内应填的代数式( )
照 2∶5∶3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被
录取，应该录取谁？
22．（本题 12分）如图，已知直线 AB与 x轴交于点 C，与双曲 线 y＝kx交于 A(3，230)、B(－5，a)两点．AD⊥x轴于点 D，BE∥x 轴且与 y轴交于点 E.
(1)求点 B的坐标及直线 AB的解析式； (2)判断四边形 CBED的形状，并说明理由．
不可割，则与圆周合体而无所失矣”。试用这个方法解决问题：如图，
⊙的内接多边形周长为 3 ，⊙ 的外切多边形周长为 3.4，则下列各
数中与此圆的周长最接近的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6、今年 5月，我校举行“庆五 四”歌咏比赛，有 17位同学参加选 拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前 8名进入决赛，若知道某同学 分数，要判断他能否进入决赛，只需知道 17位同学分数的（ ）
2018-2019学年成都市青羊区树德中学八年级(上)期末数学试卷(含解析)
2018-2019学年成都市青羊区树德中学八年级（上）期末数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．3的平方根是（）A．﹣1.732 B．1.732 C．D．±2．如果点（m﹣1，﹣1）与点（5，﹣1）关于y轴对称，则m＝（）A．4 B．﹣4 C．5 D．﹣53．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、64．下列命题是真命题的是（）A．同位角相等B．三角形的一个外角等于它的两个内角之和C．相等的角都是对顶角D．如果a∥b，b∥c，那么a∥c5．一次函数y＝1﹣x的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差s2如下表：甲乙丙丁11.1 11.1 10.9 10.9平均数（米）方差s2 1.1 1.2 1.3 1.4若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．估计的大小在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间8．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△DEF≌△ABC B．∠F＝∠ACB C．AC＝DF D．BE＝EC9．已知函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（2，﹣1），则关于x，y的二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．10．如图，表示甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．甲、乙两人前往目的地所行驶的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程是（）A．0.5千米B．1千米C．1.5千米D．2千米二、填空题（每小题4分，共16分）11．36的算术平方根为；的相反数为．12．在平面直角坐标系中，点N（﹣5，a）在直线y＝2x+1上，则a＝．13．若x≤3，化简＝．14．（4分）等腰三角形底边长为10，底边上的中线为3，则它的腰长为．三、解答题（共54分）15．（12分）（1）计算：．（2）解方程组．16．（6分）某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调査，过程如下，请补充完整．（1）收集数据从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：甲班：65，75，75，80，60，50，75，90，85，65乙班：90，55，80，70，55，70，95，80，65，70（2）整理描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 成绩x人数班级甲班 1 3 3 2 1乙班 2 1 m 2 n在表中：m＝，n＝；（3）分析数据①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：班级平均数中位数众数甲班75 x 75乙班73 70 y在表中：x＝，y＝；②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有人．17．（8分）2台大型收割机和5台小型收割机均工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大型收割机和2台小型收割机均工作5小时共收割小麦8公顷．1台大型收割机和一台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷？18．（8分）如图：已知△ABC在直角坐标系中的位置．（1）写出△ABC各顶点的坐标；（2）若把△ABC向上平移3个单位再向右平移2个单位得到△A′B′C′，画出△A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标；（3）求出△ABC的面积．19．（10分）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形ABCD沿AC折叠，得到△ACD′，CD′与AB交于点F．（1）求AF的长；（2）重叠部分△AFC的面积为多少？20．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象l1分别与x轴，y轴交于A、B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C（m，）．（1）求m的值及l2的解析式；（2）求得S△AOC﹣S△BOC的值为；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3且l1，l2，l3可以围成三角形，直接写出k的取值范围．B卷（50分）一、填空题（每小题4分，共20分）21．若实数x，y满足y＝++3，则x+y＝．22．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+2y＝8的解，则k的值为k＝．23．用⊕表示一种运算，它的含义是：A⊕B＝．如果3⊕4＝，则x＝；3⊕5＝．24．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x 轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n∁n D n的面积是．25．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，点P、点D在射线OB上，且OC＝2，OD＝3，则CP+PM+DM 的最小值是．二、解答题（共30分）26．（8分）已知：x＝，y＝（1）求x2+y2﹣2xy的值（2）若x的整数部分是m，y的小数部分是n，求5m2+（x﹣n）2﹣y的值．27．（10分）如图1，某物流公司恰好位于连接A，B两地的一条公路旁的C处．某一天，该公司同时派出甲．乙两辆货车以各自的速度匀速行驶．其中，甲车从公司出发直达B地；乙车从公司出发开往A地，并在A地用1h配货，然后掉头按原速度开往B地．图2是甲．乙两车之间的距离S（km）与他们出发后的时间x（h）之间函数关系的部分图象．（1）由图象可知，甲车速度为km/h；乙车速度为km/h．（2）已知最终乙车比甲车早到B地0.5h，求甲车出发1.5h后直至到达B地的过程中，S与x的函数关系式及x的取值范围，并在图2中补全函数图象．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+和直线l2：y＝﹣x+b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．（1）求△ABC的面积；（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，点F 的坐标，并求出此时PF+OP的最小值；（3）将△OBC沿直线l1平移，平移后记为△O1B1C1，直线O1B1交l2于点M，直线B1C1交x轴于点N，当△B1MN 为等腰三角形时，请直接写出点C1的横坐标．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵，∴3的平方根是．故选：D．2．【解答】解：∵点（m﹣1，﹣1）与点（5，﹣1）关于y轴对称，∴m﹣1＝﹣5，解得m＝﹣4．故选：B．3．【解答】解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，故A选项错误；B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；C、∵32+42＝52，∴组成直角三角形，故C选项正确；D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．故选：C．4．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，本说法是假命题；B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，本说法是假命题；C、相等的角不一定都是对顶角，本说法是假命题；D、如果a∥b，b∥c，那么a∥c，是真命题；故选：D．5．【解答】解：∵一次函数y＝1﹣x＝﹣x+1，∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．6．【解答】解：从平均数看，成绩好的同学有甲、乙，从方差看甲、乙两人中，甲方差小，即甲发挥稳定，故选：A．7．【解答】解：∵3＜＜4，∴在3到4之间，故选：B．8．【解答】解：由平移的性质可知：△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB，AC＝DF，BC＝EF，∴BE＝CF，故A，B，C正确，故选：D．9．【解答】解：函数y＝ax﹣3和y＝kx的图象交于点P（2，﹣1），则关于x，y的二元一次方程组的解是，故选：B．10．【解答】解：由甲的图象可知甲的速度为：12÷24＝0.5千米/分，由乙的图象可知乙的速度为：12÷（18﹣6）＝1千米/分，所以每分钟乙比甲多行驶的路程是0.5千米．故选：A．二、填空题11．【解答】解：36的算术平方根为6；的相反数为．故答案为：6；﹣．12．【解答】解：当x＝﹣5时，a＝2×（﹣5）+1＝﹣9．故答案为：﹣9．13．【解答】解：由题意可知：x﹣3≤0，∴原式＝|x﹣3|＝3﹣x，故答案为：3﹣x14．【解答】解：如图所示：AB＝AC，AD为BC边的中线，AD＝3，BC＝10，∴BD＝CD＝5，AD⊥BC，在Rt△ABD中，BD＝5，AD＝3，根据勾股定理得：AB＝＝＝，则等腰三角形的腰长为．故答案为：．三、解答题15．【解答】解：（1）原式＝9﹣1﹣（3﹣2）＝8﹣1＝7；（2），②×2+①得6x＝9，解得x＝，把x＝代入②得﹣y＝1，解得y＝，所以方程组的解为．16．【解答】解：（2）由收集的数据得知：m＝3，n＝2，故答案为：3，2；（3）①甲班成绩为：50、60、65、65、75、75、75、80、85、90，∴甲班成绩的中位数x＝＝75，乙班成绩70分出现次数最多，所以的众数y＝70，故答案为：75，70；②估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有50×＝20（人）；故答案为：20．17．【解答】解：设1台大型收割机和1台小型收割机工作1小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意可得，解得．答：1台大型收割机工作1小时收割小麦0.4公顷，1台小型收割机工作1小时收割小麦0.2公顷．18．【解答】解：（1）A（﹣2，﹣2），B（4，1），C（0，3）；（2）如图所示：△A′B′C′，即为所求，A′（0，1），B′（6，4），C′（2，6）；（3）△ABC的面积为：6×5﹣×6×3﹣×4×2﹣×2×5＝12．19．【解答】解：（1）由折叠可得，∠ACF＝∠ACD，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∠B＝90°，∴∠CAF＝∠ACD，∴∠ACF＝∠CAF，∴AF＝CF，设BF＝x，则AF＝CF＝8﹣x，∵∠B＝90°，∴在Rt△BCF中，BF2+CB2＝CF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AF＝8﹣3＝5；（2）∵AF＝5，BC＝4，CB⊥AF，∴S△AFC＝AF×BC＝×5×4＝10．20．【解答】解：（1）把C（m，）代入一次函数y＝﹣x+5，可得，＝﹣m+5，解得m＝，∴C（，）．设l2的解析式为y＝ax，将点C（，）代入，得＝a，解得a＝，∴l2的解析式为y＝x；（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝，CE＝，y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，∴A（10，0），B（0，5），∴AO＝10，BO＝5，∴S△AOC﹣S△BOC＝×10×﹣×5×＝．故答案为；（3）一次函数y＝kx+1的图象为l3，如果l1，l2，l3不能围成三角形，那么可分三种情况：①l3经过点C（，）时，k+1＝，解得k＝；②l2，l3平行时，k＝；③l1，l3平行时，k＝﹣；故l1，l2，l3可以围成三角形时，k的取值范围是k≠且 k≠且 k≠﹣．一、填空题21．【解答】解：根据题意得，5﹣x≥0且x﹣5≥0，解得x≤5且x≥5，∴x＝5，y＝3，∴x+y＝5+3＝8．故答案为：8．22．【解答】解：根据题意，得由（1）+（2），得2x＝4k即x＝2k （4）由（1）﹣（2），得2y＝2k即y＝k （5）将（4）、（5）代入（3），得2k+2k＝8，解得k＝223．【解答】解：∵A⊕B＝，3⊕4＝，∴，解得，x＝8，∴3⊕5＝＝，故答案为：8；．24．【解答】解：∵直线l为正比例函数y＝x的图象，∴∠D1OA1＝45°，∴D1A1＝OA1＝1，∴正方形A1B1C1D1的面积＝1＝（）1﹣1，由勾股定理得，OD1＝，D1A2＝，∴A2B2＝A2O＝，∴正方形A2B2C2D2的面积＝＝（）2﹣1，同理，A3D3＝OA3＝，∴正方形A3B3C3D3的面积＝＝（）3﹣1，…由规律可知，正方形A n B n∁n D n的面积＝（）n﹣1，故答案为：（）n﹣1．25．【解答】解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝3，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝∠COD＝∠COD′＝45°，∴CP+PM+MD＝C′P+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，则C′T＝OT＝，∴D′T＝4，∴C′D′＝，∴CP+PM+DM的最小值是．故答案为：．二、解答题26．【解答】解：（1）∵x＝＝2﹣，y＝＝2+，∴x+y＝4，xy＝1，∴x2+y2﹣2xy＝（x+y）2﹣4xy＝42﹣4×1＝12；（2）∵1＜＜2，∴0＜2﹣＜1，3＜2+＜4，∵x的整数部分为m，y的小数部分为n，∴m＝0，n＝2+﹣3＝﹣1，∴5m2+（x﹣n）2﹣y＝5×02+[（2﹣）﹣（﹣1）]2﹣（2+）＝19﹣13．27．【解答】解：（1）∵乙在A地用1h配货，∴0.5小时～1.5小时为甲独自行驶，∴甲的速度＝（100﹣60）÷（1.5﹣0.5）＝40km/h，乙的速度为：60÷0.5﹣40＝80km/h；故答案为：40，80；（2）设从1.5小时后两车相遇的时间为t小时，由题意得，80t﹣40t＝100，解得t＝2.5，1.5+2.5＝4，此过程中，S＝40（x﹣1.5）+100﹣80（x﹣1.5）＝﹣40x+160（1.5≤x≤4），设甲车到达B地的时间为m，由题意得，80（m﹣0.5）﹣100＝40m，解得m＝3.5，3.5+1.5＝5小时，5﹣0.5＝4.5小时，乙车到达B地前，S＝80（x﹣4）﹣40（x﹣4）＝40x﹣160（4＜x≤4.5），乙车到达B地后，S＝40（5﹣x）＝﹣40x+200（4.5＜x≤5），综上所述，S＝，补全函数图形如图所示．28．【解答】解：（1）由题意知：b＝∴直线l2：y＝﹣x+当y＝0时，x＝1∴C（1，0）∵直线l1：y＝∴当y＝0时，＝0，∴x＝﹣3∴A（﹣3，0）∴S△ABC＝×[1﹣（﹣3）]×＝2；（2）在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2＝32+（）2＝12在Rt△BOC中，BC2＝OC2+OB2＝12+（）2＝4∵在△ABC中，AB2+BC2＝12+4＝16＝AC2∴△ABC是直角三角形，∴AB⊥BC作C点关于直线AB的对称点C′（﹣1，2），连接C'E交直线l1于F，∵C'（﹣1，2） E（5，0）∴直线C'E：y＝﹣x+解得：∴F（1，）作二、四象限的角平分线l3，过点P作PQ⊥l3于Q，则PQ＝OP，∴PF+OP＝FP+PQ，当F，P，Q三点共线时最小，即过F作PQ⊥l3于Q交y轴于P，作FG∥OB交直线l3于G．此时△FQG为等腰直角三角形，斜边FG＝，∴PF+OP的最小值为：FQ＝FG＝+（3）①如图2中，当B1M＝B1N时，∵点C1中直线y＝x﹣上运动，设C1（m，m﹣），B1O1交x轴于E，则EB1＝+m﹣＝+m，OE＝＝+m，MB1＝NB1＝2OE＝+m，∴M（m﹣1，+m++m），把点M坐标代入直线y＝﹣x+，得到：+m++m＝﹣（m﹣1）+，解得m＝．②如图3中当MN＝MB1时，同法可得M（m﹣1，+m），把点M代入y＝﹣x+得到，+m＝﹣（m﹣1）+，解得，m＝．③如图4中，当B1M＝B1N时，同法可得M（m﹣1，﹣+m﹣m），把点M代入y＝﹣x+得到，﹣+m﹣m＝﹣（m﹣1）+，解得m＝．④如图5中，当NM＝NB1时，同法可得M（m﹣1，+m），把点M代入y＝﹣x+得到，﹣（+m）＝﹣（m﹣1）+，解得m＝4，综上所述，C1的横坐标为：或或或4。
成都树德中学小升初选拔考试数学试卷word版附详细解答
成都树德中学小升初选拔考试数学试卷姓名_________考试日期_________一、选择题1.甲数是10的35，乙数的27是2，丙数是5个53，则( ).A.甲数＞乙数＞丙数B.乙数＞丙数＞甲数C.甲数＞丙数＞乙数D.丙数＞乙数＞甲数2.某学校合唱队与舞蹈队的人数之比为3︰2，如果将合唱队队员10人调到舞蹈队，则人数之比为7︰8，合唱队原有( )人.A.40B.48C.44D.45 3.下午4点10分，钟面上时针和分针所形成的锐角是( ). A.55° B.60° C.65° D.64.5° 4.一件商品先降价15％，又涨价15％，则( ).A.现价比原价低B.现价比原价高C.一样高D.无法判断5.2018年小明把1000元钱按年利率3.15％存入银行，计算他两年后所得的利息，列式应该是().A.1000×3.15%×2+1000B.(1000×3.15%+1000)×2C.1000×3.15%×2D.1000×3.15%6.定义新运算“⊕”为：A ⊕B=2A+4B ，如果4⊕m=15，那么m 的值为( ). A.1 B.3 C.34D.747.一部滑动的电梯从一楼到二楼要23分钟，一个人步行从一楼到二楼要34分钟.如果这个人在运行的电梯上从一楼步行到二楼，则需要( )分钟A.12B.112C.1712D.6178.在含盐10％的90克盐水中加入10克盐，这时盐的质量占盐水质量的( ). A.21.1% B.19% C.20% D.23.5%二、填空题9.2小时15分钟的15是________分钟；6.02公顷=________平方米.10.一个三角形的最小的度数是50°，那么它最大的一个角的度数应该不超过______度，这是一个________三角形.(按角分类三角形）11.有一个分数，如果分子加2，这个分数等于12,如果分母加1，这个分数就等于37，这个分数是________.12.一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要________天完成.13.在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次；如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每4分钟相遇一次.两人中速度较慢的跑一圈需要________分钟.14.图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是________厘米.(π取3.14）15.如图，三角形ABC 的面积是48平方厘米，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、CD 的中点，则三角形DEF 的面积是________平方厘米. 三、计算题 16.直接写出得数3−125= 5+72%= (67+56+35)÷1210=3.6×(14−29)=211×58+611×58=17.简便计算AECD FB15题图14题图(2)[(514−4.25)×58]+38+3.3÷156(3)33×(11×3+13×5+15×7+…+131×33)(4)(12+14+16+18) −(13+16+19+112) +(14+18+112+116)−(15+110+115+120)四、解答题18.小明看一本书，第一天看了全书的35％，第二天比第一天少看56页，这时还有一半没看，这本书共有多少页？19.如图，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积.FE C20.按照国家相关规定，个人工资收入3500元以内免个人所得税，3500元至5000元收3％的个人所得税，5000元至8000元收10％的个人所得税，刘叔叔上个月缴了175元的个人所得税，刘叔叔上个月的工资是多少元？21.大超市和小超市出售同一种商品，大超市的进价比小超市的进价便宜10％，大超市按30％的利润率定价，小超市按28％的利润率定价，大超市的定价比小超市的定价便宜22元.请问：(1)大超市这种商品的进价是多少元？(2)大超市每件商品赚多少元？小超市每件商品赚多少元？22.某蓄水池有甲、丙两根进水管和乙、丁两个出水管.要灌满一池水，单开甲管需要3个小时，单开丙管需要5个小时.要排一池水，单开乙管需要4个小时，单开丁管需的水，如果按照甲、乙、丙、丁的顺序，循环开各水管，每要6个小时.现在池中有16次每管开1个小时，则多长时间后水开始溢出水池？成都树德中学小升初选拔考试数学试卷姓名_________考试日期_________一、选择题1.甲数是10的35，乙数的27是2，丙数是5个53，则( ).A.甲数＞乙数＞丙数B.乙数＞丙数＞甲数C.甲数＞丙数＞乙数D.丙数＞乙数＞甲数1.解：【分数计算】甲=10×35=6，乙=2÷27=7，丙=53×5=253＞7，故丙数＞乙数＞甲数，选D .2.某学校合唱队与舞蹈队的人数之比为3︰2，如果将合唱队队员10人调到舞蹈队，则人数之比为7︰8，合唱队原有( )人.A.40B.48C.44D.45 2.解：【比的应用】总人数=10÷(35−715)=75人，合唱队人数=75×35=45人，故选D .3.下午4点10分，钟面上时针和分针所形成的锐角是( ). A.55° B.60° C.65° D.64.5°3．解：【时钟夹角】时针每分钟旋转0.5度，分针每分钟旋转6度，0.5×(4×60+10) −6×10=65°，故选C .4.一件商品先降价15％，又涨价15％，则( ).A.现价比原价低B.现价比原价高C.一样高D.无法判断4.解：【百分率】令原价为1，则最终价格为1×(1−15%)(1+15%)=0.9775，比原价低，故选A .5.2018年小明把1000元钱按年利率3.15％存入银行，计算他两年后所得的利息，列式应该是().A.1000×3.15%×2+1000B.(1000×3.15%+1000)×2C.1000×3.15%×2D.1000×3.15%6.定义新运算“⊕”为：A ⊕B=2A+4B ，如果4⊕m=15，那么m 的值为( ). A.1 B.3 C.34D.746.解：【定义新运算】4⊕m=2×4+4m=15，解得m=74，故选D .7.一部滑动的电梯从一楼到二楼要23分钟，一个人步行从一楼到二楼要34分钟.如果这个人在运行的电梯上从一楼步行到二楼，则需要( )分钟A.12B.112C.1712D.6177.解：【扶梯问题】令一二楼间距为1，则电梯速度为1÷23=32，步行速度为1÷34=43，故需时1÷(32+43)=617分钟，选D .8.在含盐10％的90克盐水中加入10克盐，这时盐的质量占盐水质量的( ). A.21.1% B.19% C.20% D.23.5% 8.解：【浓度问题】(90×10%+10)÷(90+10)×100%=19%，故选B . 二、填空题9.2小时15分钟的15是________分钟；6.02公顷=________平方米.9.解：【单位换算】2小时15分钟=135分钟，135×15=27分钟；1公顷=10000平方米，6.02公顷=60200平方米.10.一个三角形的最小的度数是50°，那么它最大的一个角的度数应该不超过________度，这是一个________三角形.(按角分类三角形）10.解：【三角形内角和】最大的一个角的度数应该不超过180−50×2=80度，这是一个锐角三角形.11.有一个分数，如果分子加2，这个分数等于12,如果分母加1，这个分数就等于37，这个分数是________.11.解：【分数】设这个分数为ba，则有12a=b+2，b=37(a+1)，联立两等式可解得a=34，b=15，故这个分数是1534.12.一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要________天完成. 12.解：【工程问题】乙工效=112−121=128，1÷128=28天，即乙单独做需要28天完成.13.在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次；如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每4分钟相遇一次.两人中速度较慢的跑一圈需要________分钟.13.解：【环形跑道】令环形跑道的长度为1，两人的速度分别为a 、b(a ＞b)，依题意有12(a −b)=1，4(a +b)=1，解得a=16，b=112，1÷112=12分钟，故两人中速度较慢的跑一圈需要12分钟.14.图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是________厘米.(π取3.14）14.解：【园的周长】大圆直径=1×6=6厘米，故阴影部分的周长=6π+2π×1×7=20π=62.8厘米.15.如图，三角形ABC 的面积是48平方厘米，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、CD 的中点，则三角形DEF 的面积是________平方厘米.15.解：【底高模型】∵D 、E 、F 分别是BC 、AC 、CD 的中点，∴S △DEF =12S △DEC =14S △ACD =18S △ABC=6平方厘米.三、计算题 16.直接写出得数3−125=1355+72%=5.72 (67+56+35)÷1210=4811225655AECD FB15题图14题图17.简便计算(1)0.125×64×0.25×0.5(1)原式=0.125×8×4×2×0.25×0.5=0.125×8×0.25×4×0.5×2=1×1×1=1 (2)[(514−4.25)×58]+38+3.3÷156(2)原式=[(514−414)×58]+38+3310×611=58+38+95=245(3)33×(11×3+13×5+15×7+…+131×33)(3)原式=332×(21×3+23×5+25×7+…+231×33)=332×(11−13+13−15+15−17+…+131−133)=332×(11−133)=16(4)(12+14+16+18) −(13+16+19+112) +(14+18+112+116)−(15+110+115+120)(4)令a=1+12+13+14=1+612+412+312=2512原式=12a −13a +14a −15a=3060a −2060a +1560a −1260a=1360a =1360×2512=65144四、解答题18.小明看一本书，第一天看了全书的35％，第二天比第一天少看56页，这时还有一半没看，这本书共有多少页？ 18.解：【分数应用】第二天看了全书的1−35%−12=15%答：这本书共有280页.19.如图，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积.19.解：【组合图形面积】 【底高模型法】过I 作△EFI 的高IN ，过I 作△BEI 的高IM ，则IN=IM ∴S △BEI ∶S △EFI =BE ∶EF=(12+8)∶12=5∶3 ∴S △EFI =25S △BEF =38×12×(8+12)×12=45(平方厘米)【相似三角形法】∵FG ∥CE ，∴△FGI ∽△EBI ，∴GI EI =FGBE =128+12=35∴S △EFI =58S △GEF =58×12×12×12=45(平方厘米) 答：图中阴影部分的面积为45平方厘米.20.按照国家相关规定，个人工资收入3500元以内免个人所得税，3500元至5000元收3％的个人所得税，5000元至8000元收10％的个人所得税，刘叔叔上个月缴了175元的个人所得税，刘叔叔上个月的工资是多少元？ 20.解：【阶梯计税】∵(5000-3500)×3%=45＜175，∴工资收入超过5000元 (175−45)÷10%=1300FECN答：刘叔叔上个月的工资是6300元.21.大超市和小超市出售同一种商品，大超市的进价比小超市的进价便宜10％，大超市按30％的利润率定价，小超市按28％的利润率定价，大超市的定价比小超市的定价便宜22元.请问：(1)大超市这种商品的进价是多少元？(2)大超市每件商品赚多少元？小超市每件商品赚多少元？ 21.解：【商品利润】 (1)设小超市的进价为x 元x ×(1−10%)(1+30%)+22=x ×(1+28%) 解得x =200x ×(1−10%)=200×90%=180(元) 答：大超市这种商品的进价是180元. (2)180×30%=54(元)，200×28%=56(元)答：大超市每件商品赚54元；小超市每件商品赚56元.22.某蓄水池有甲、丙两根进水管和乙、丁两个出水管.要灌满一池水，单开甲管需要3个小时，单开丙管需要5个小时.要排一池水，单开乙管需要4个小时，单开丁管需要6个小时.现在池中有16的水，如果按照甲、乙、丙、丁的顺序，循环开各水管，每次每管开1个小时，则多长时间后水开始溢出水池？ 22.解：【周期性工程问题】甲注水工效=1÷3=13，丙注水工效=1÷5=15乙排水工效=1÷4=14，丁排水工效=1÷6=16甲、乙、丙、丁依次各开1小时注水：13−14+15−16=7601173025个周期即4×5=20小时后还需要注水量=1−16−760×5=14 14÷13=0.75小时，即5个周期后，甲管再开0.75小时就可注满水池 20+0.75=20.75(小时)答：20.75小时后水开始溢出水池.。
四川省成都市树德中学2018届高三上学期10月段考数学试卷理科 含解析
2018-2018学年四川省成都市树德中学高三（上）10月段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=Z，集合A={1，6}，A∪B={2，0，1，6}，那么（∁U A）∩B=（）A．∅B．{3，4，5}C．{2，0}D．{1，6}2．复数Z=（i为虚数单位）所对应复平面内的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知a，b是平面α内的两条不同直线，直线l在平面α外，则l⊥a，l⊥b是l⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若[x]表示不超过x的最大整数，如[2，6]=2，[﹣2，6]=﹣3，执行如图所示的程序框图，记输出的值为S0，则=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（）A．B．﹣C．D．﹣6．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a nB．a9•a10＞0﹣1C．S2＞S17D．S19≥07．某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等5名志愿者中选2名担任翻译，2名担任向导，还有1名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有（）A．20 B．22 C．24 D．368．已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）9．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A． B．C．D．11．设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足||=||，则的值为（）A．B．2 C．D．112．在锐角△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=ac，则﹣的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，）C．（1，）D．（，）二.填空题（每小题5分，共20分）13．二项式（ax﹣1）5（a＞0）的展开式的第四项的系数为﹣40，则a的值为．14．已知正数x，y满足x+y﹣xy=0，则3x+2y的最小值为．15．过直线y=x上的一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1、l2，当直线l1、l2关于y=x对称时，l1、l2所成的角为．16．已知函数f（x）=x2﹣2tx﹣4t﹣4，g（x）=﹣（t+2）2，两个函数图象的公切线恰为3条，则实数t的取值范围为．三.解答题（共70分）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．18．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调50“”对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4K2=．19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足|2+|=|2﹣|，求直线在y轴上截距的取值范围．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；（3）当0≤x≤1时关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=，曲线C的参数方程为：（1）写出直线l和曲线C的普通方程；（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，定点P（﹣1，2），求线段|AB|和|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x﹣2|＞3的解集与关于x的不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集相同．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）=a+b的最大值．2018-2018学年四川省成都市树德中学高三（上）10月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=Z，集合A={1，6}，A∪B={2，0，1，6}，那么（∁U A）∩B=（）A．∅B．{3，4，5}C．{2，0}D．{1，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案【解答】解：全集U=Z，集合A={1，6}，A∪B={2，0，1，6}，∴集合B⊆A∪B，并且一定有0，2，∴∁U A也一定有0，2，∴（∁U A）∩B={0，2}．故选：C．2．复数Z=（i为虚数单位）所对应复平面内的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得Z所对应点的坐标得答案．【解答】解：由Z==，得复数Z=所对应复平面内的点的坐标为（），在第三象限．故选：C．3．已知a，b是平面α内的两条不同直线，直线l在平面α外，则l⊥a，l⊥b是l⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面垂直的判定定理和定义，结合充要条件的定义，可得结论．【解答】解：若l⊥α，则l⊥a，l⊥b，故l⊥a，l⊥b是l⊥α的必要条件；但l⊥a，l⊥b时，l⊥a不一定成立，故l⊥a，l⊥b是l⊥α的不充分条件；综上可得：l⊥a，l⊥b是l⊥α的必要不充分条件，故选：B4．若[x]表示不超过x的最大整数，如[2，6]=2，[﹣2，6]=﹣3，执行如图所示的程序框图，记输出的值为S0，则=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件n＞4，计算输出S的值，即可得出结论．【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=1+[]=1，n=1+1=2；第二次运行S=1+[]=1，n=2+1=3；第三次运行S=1+[]=2，n=3+1=4；第四次运行S=2+[]=3，n=4+1=5．满足条件n＞4，退出循环，输出S=3．∴=﹣1．故选：A．5．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的解析式g（x），由于平移后的图象关于原点对称，故g（0）=0，解得答案．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到g（x）=sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象，由于平移后的图象关于原点对称，故g（0）=sin（+φ）=0，由|φ|＜得：φ=﹣，故选：D6．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）B．a9•a10＞0A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1C．S2＞S17D．S19≥0【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】由∀n∈N*，都有S n≤S10，a10≥0，a11≤0，再根据等差数列的性质即可判断．【解答】解：∵∀n∈N*，都有S n≤S10，∴a10≥0，a11≤0，∴a9+a11≥0，∴S2≥S17，S19≥0，故选：D．7．某公司庆祝活动需从甲、乙、丙等5名志愿者中选2名担任翻译，2名担任向导，还有1名机动人员，为来参加活动的外事人员提供服务，并且翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，则不同的选法有（）A．20 B．22 C．24 D．36【考点】计数原理的应用．【分析】翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，甲、乙、丙全排，即可得出结论．【解答】解：∵翻译和向导都必须有一人选自甲、乙、丙，∴有A33A22=24种方法，故选C．8．已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【考点】直线的斜率．【分析】由题意可得，线段PQ的中点为M（x0，y0）到两直线的距离相等，利用，可得x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线BM（不包括端点B）时，即可得出．【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M （x0，y0），∴，化为x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则k OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k OM＜﹣．∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥，画出该三棱锥的直观图，求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为1的正方体中一三棱锥P﹣ABC，如图所示；∴该三棱锥的体积为××12×1=．故选：A．10．已知函数f（x）=，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A． B．C．D．【考点】其他不等式的解法．【分析】根据函数的表达式求出f（x）的单调性和奇偶性，通过讨论x的符号，从而求出x 的范围即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴x＞0时，f（x）=﹣，和随着x的增大而减小，故x＞0时，f（x）是减函数，而f（x）在R是偶函数，故x＜0时，f（x）是增函数，若f（x）＞f（2x﹣1）成立，则|x|＜|2x﹣1|，解得：x＞1或x＜，又1+≠0，解得x≠﹣1，故选：D．11．设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足||=||，则的值为（）A．B．2 C．D．1【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】利用||=||，可知∠F1PF2=90°，设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨设m＞n，可得m2+n2=4c2，求出，，再求出平方倒数的和，即可得到结论．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨设m＞n，由||=||，可知∠F1PF2=90°∴m2+n2=4c2，∵，∴∴=故选A．12．在锐角△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=ac，则﹣的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，）C．（1，）D．（，）【考点】余弦定理．【分析】根据正弦定理化简已知式子，由二倍角的余弦公式变形、和差化积公式和诱导公式化简后，由内角的范围和正弦函数的性质求出A与B关系，由锐角三角形的条件求出B的范围，利用商得关系、两角差的正弦公式化简所求的式子，由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围．【解答】解：∵b2﹣a2=ac，∴由正弦定理得，sin2B﹣sin2A=sinAsinC，=sinAsinC，可得：=sinAsinC，由和差化积公式得cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B），代入上式得，﹣sin（A+B）sin（A﹣B）=sinAsinC，∵sin（A+B）=sinC≠0，∴﹣sin（A﹣B）=sinA，即sin（B﹣A）=sinA，在△ABC中，B﹣A=A，得B=2A，则C=π﹣3A，∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，则＜B＜，∴﹣===，由＜B＜，得，sinB∈（，1），则∈（1，），∴﹣取值范围是（1，），故选：B．二.填空题（每小题5分，共20分）13．二项式（ax﹣1）5（a＞0）的展开式的第四项的系数为﹣40，则a的值为2．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令r=3，求出第四项的系数，列出方程求a的值．【解答】解：二项式（ax﹣1）5 的通项公式为：T r=•（ax）5﹣r•（﹣1）r，+1故第四项为﹣•（ax）2=﹣10a2x2，令﹣10a2=﹣40，解得a=±2，又a＞0，故取a=2．故答案为：2．14．已知正数x，y满足x+y﹣xy=0，则3x+2y的最小值为5+2．【考点】基本不等式．【分析】得到+﹣=1，根据基本不等式的性质求出3x+2y的最小值即可．【解答】解：∵x+y﹣xy=0，∴+﹣=1，故3x+2y=（3x+2y）（+）=++5≥2+5=5+2，当且仅当=时“=”成立，故答案为：5+2．15．过直线y=x上的一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1、l2，当直线l1、l2关于y=x对称时，l1、l2所成的角为60°．【考点】圆的切线方程．【分析】过圆心M作直线l：y=x的垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角．【解答】解：圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的圆心（5，1），过（5，1）与y=x垂直的直线方程：x+y﹣6=0，它与y=x的交点N（3，3），N到（5，1）距离是2，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为60°．故答案为：60°．16．已知函数f（x）=x2﹣2tx﹣4t﹣4，g（x）=﹣（t+2）2，两个函数图象的公切线恰为3条，则实数t的取值范围为（，+∞）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），分别求出f（x），g（x）导数，可得切线的方程，由同一直线可得即可化为﹣+=0，即8x23﹣4tx22+1=0有3个非零实根，令h（x）=8x3﹣4tx2+1，有3个非零零点，h（0）=1，求出h（x）导数，对t讨论，分t=0，t＞0，t＜0，求出单调区间和极值，即可得到所求范围．【解答】解：设切点为（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），则f′（x1）=2x1﹣2t，g′（x2）=﹣，切线方程为y﹣f（x1）=f′（x1）（x﹣x1），即y=（2x1﹣2t）x﹣x12﹣4t﹣4；y﹣g（x2）=g′（x2）（x﹣x2），即y=﹣x+﹣t2﹣4t﹣4．即2x1﹣2t=﹣，且﹣x12﹣4t﹣4=﹣t2﹣4t﹣4．即有x1=t﹣，x12=t2﹣，即可化为﹣+=0，即8x 23﹣4tx 22+1=0有3个非零实根，令h （x ）=8x 3﹣4tx 2+1，有3个非零零点，h （0）=1，h ′（x ）=24x 2﹣8tx=24x （x ﹣），当t=0时，h ′（x ）=24x 2＞0，h （x ）递增，不符合条件；当t ＞0，当x ＜0或x ＞时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，0＜x ＜时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减，h （x ）极大值为为h （0）=1＞0，h （x ）极小值为h （）=1﹣t 3，由1﹣t 3＜0，解得t ＞，若t ＜0，则当x ＞0或x ＜时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，＜x ＜0时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减，h （x ）极大值为为h （0）=1＞0，h （x ）极小值为h （）=1﹣t 3＞0，不符要求．故t ＞，故答案为：（，+∞）．三.解答题（共70分）17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设a n b n =，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（ I ）分n=1与n ≥2讨论，从而判断出{a n }是等比数列，从而求通项公式；（ II ）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．【解答】解：（ I ）∵，①当n=1时，a 1=a 1﹣，∴a 1=1，当n ≥2时，∵S n ﹣1=a n ﹣1﹣，② ①﹣②得：a n=a n﹣a n，﹣1即：a n=3a n（n≥2），﹣1又∵a1=1，a2=3，∴对n∈N*都成立，故{a n}是等比数列，∴．（II）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n=．18．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调（）由以上统计数据填下面乘列联表，并问是否有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4K2=．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望．22＜6.635…所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．…（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，…，，，，…ξ所以ξ的期望值是．…19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG，可证四边形BEGA为平行四边形，又正方形ABCD，可证四边形CDGE为平行四边形，得CE∥DG，由DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，即证明CE∥平面PAD．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），由，令x=1，则可得=（1，1，2），设PD与平面PCE所成角为a，由向量的夹角公式即可得解．（Ⅲ）设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），由，可得，由•=0，可解a，然后求得的值．【解答】（本小题共14分）解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，所以BE∥AG且BE=AG，所以四边形BEGA为平行四边形．所以EG∥AB，且EG=AB．因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，所以EG∥CD，且EG=CD．所以四边形CDGE为平行四边形．所以CE∥DG．因为DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．…（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），所以=（4，4，﹣4），=（4，0，﹣2），=（0，4，﹣4）．设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），所以，可得．令x=1，则，所以=（1，1，2）．设PD与平面PCE所成角为a，则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．所以PD与平面PCE所成角的正弦值是．…（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则，=（4，﹣4，2）．设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则．令x=2，则，所以=（2，，a﹣4）．因为平面DEF⊥平面PCE，所以•=0，即2++2a﹣8=0，所以a=＜4，点．所以．…20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足|2+|=|2﹣|，求直线在y轴上截距的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆C的方程为： +=1（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e==，a+c=3，b2=a2﹣c2，解出即可得出．（2）设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由|2+|=|2﹣|，可得=0．x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，把根与系数的关系代入化简与△＞0联立解出即可得出．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为： +=1（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e==，由椭圆C上的点到右焦点的最大距离3，得a+c=3，解得c=1，a=2，∴b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程是+=1．（2）设直线l的方程为y=kx+m，联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=，∵|2+|=|2﹣|，∴=0．∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，化为km（x1+x2）+（1+k2）x1•x2+m2=0，∴km（﹣）+（1+k2）×+m2=0，化简得7m2=12+12k2．将k2=﹣1代入3+4k2＞m2．可得m2，又由7m2=12+12k2≥12．从而∴m2，解得m≥，或m≤﹣，．所以实数m的取值范围是∪．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；（3）当0≤x≤1时关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对f（x）求导，根据条件知f'（0）=0，所以1﹣b=0；（2）当a=1时，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定义域为（﹣1，+∞）；令f'（x）=0，则导函数零点x+1=1，故x=0；当x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）因为f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，对a进行分类讨论根据函数的单调性求得参数a使得不等式f（x）≥0；【解答】解：（1）对f（x）求导得：f'（x）=﹣aln（x+1）+根据条件知f'（0）=0，所以1﹣b=0，故b=1．（2）当a=1时，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定义域为（﹣1，+∞）f'（x）=﹣ln（x+1）+﹣1=﹣ln（x+1）+﹣2令f'（x）=0，则导函数零点x+1=1，故x=0；当x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）由（1）知，f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1f'（x）=﹣aln（x+1）+﹣1f''（x）=﹣①当a时，因为0≤x≤1，有f''（x）≥0，于是f'（x）在[0，1]上单调递增，从而f'（x）≥f'（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递增，即f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0；②当a≥0时，因为0≤x≤1，有f''（x）＜0，于是f'（x）在[0，1]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0而且仅有f（0）=0；③当﹣＜a＜0时，令m=min{1，﹣ }，当0≤x≤m时，f''（x）＜0，于是f'（x）在[0，m]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0；综上：所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=，曲线C的参数方程为：（1）写出直线l和曲线C的普通方程；（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，定点P（﹣1，2），求线段|AB|和|PA|•|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=，展开可得：ρ（sinθ+cosθ）=，利用互化公式可得直角坐标方程．曲线C的参数方程为：，可得x2=4（1+sin2t）=y，x∈．（2）直线l的参数方程为：，代入曲线C的方程可得：t﹣2=0，可得|AB|=|t1﹣t2|=，|PA|•|PB|=|t1t2|．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=，展开可得：ρ（sinθ+cosθ）=，可得直角坐标方程：x+y﹣1=0．曲线C的参数方程为：，x2=4（1+sin2t）=y，x∈．（2）直线l的参数方程为：，代入曲线C的方程可得：t﹣2=0，∴t1+t2=﹣，t1•t2=﹣2．∴|AB|=|t1﹣t2|===，|PA|•|PB|=|t1t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x﹣2|＞3的解集与关于x的不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集相同．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）=a+b的最大值．【考点】一般形式的柯西不等式；一元二次不等式的解法．【分析】（1）求出不等式|x﹣2|＞3的解集，即得不等式x2﹣ax+b＞0的解集，利用一元二次方程根与系数的关系求出a和b的值，（2）根据柯西不等式即可求出最大值．【解答】解：（1）不等式|x﹣2|＞3的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，所以不等式x2﹣ax﹣b ＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，所以﹣1，5是方程x2﹣ax﹣b=0的两根，所以，解得a=4，b=5．（2）函数f（x）=a+b的定义域为[3，44]，由柯西不等式得：[f（x）]2=（4+5）2≤[（16+25）（x﹣3+44﹣x）]2，．又因为f（x）≥0，所以f（x）≤4，当且仅当5=4时等号成立，即x=时，f（x）=41．所以函数f（x）的最大值为41．2018年1月11日。
四川省成都市成都树德中学2018-2019学年七年级下学期数学期中考试试卷及参考答案
22. 23. 24. 25.
26.;（2b-4）2=0.
23. 如图，点D在AB上，点E在AC上，AD=AE，∠B=∠C，
求证：AB=AC．
24. 如图，已知AB∥CD，Ð1=Ð2，试说明：ÐE=ÐF.
25. 如图，DACB和DDCE均为等腰直角三角形，且ÐACB=ÐDCE=90°，点A，D，E在同一直线上,CM为DDCE中DE 边上的高，连接BE.
（1） 求证：AM=AB； （2） 判断EB与EH的数量关系并加以证明； （3） 如图2，过点H作HG⊥AD于点G，连接BH.若AB=4，当点E在何位置时，梯形ABHG的面积等于 ？ 参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.
15. 如图， AD 是△ ABC 的高， AE是中线， 若 AD=5， CE=4， 则△AEB 的面积为________．
16. 若4x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则k=________． 17. 若a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，且a+3b+4c=16，则a+b+c的值为________. 18. 如图，在矩形ABCD中，将四边形ABFE沿EF折叠得到四边形HGFE.已知∠CFG=40°，则∠DEF=________.
3. 花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，那么0.000037毫克可用科学记数法表示为( )
A.
毫克 B .
毫克 C .
毫克 D .
毫克
4. 在下列图形中，由条件∠1+∠2＝180°不能得到AB∥CD的是( )
成都树德中学(原成都九中)2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
成都树德中学（原成都九中）2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用． 2． ABC ∆中，“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 3． 已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数， 若(0,2]x ∀∈使得不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．(-∞C ．D ．)+∞ 4． 设,,a b c 分别是ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是（ ）A ．平行B ． 重合C ． 垂直D ．相交但不垂直5． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80D ．S 21＝846． 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11AC 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为36p ， 则正方体棱长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力．7． 若函数21,1,()ln ,1,x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1()2y f x x =+的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8． 如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A 射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）ABCD9．图1是由哪个平面图形旋转得到的（）A．B．C．D．10．函数2()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[]2,4 C ．(,2]-∞ D ．[]0,2 11．“3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．12．设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）A ．5-BC ．6- D【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想． 14．已知n S 是数列1{}2n n -的前n 项和，若不等式1|12n n n S λ-+<+｜对一切n N *∈恒成立，则λ的取值范围是___________．【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力． 15．已知,a b 为常数，若()()224+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，,则5a b -=_________.16．已知x ，y 为实数，代数式2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+的最小值是 .【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.三、解答题（本大共6小题，共70分。
四川省成都市树德中学自主招生考试数学试卷
四川省成都市树德中学自主招生考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中有且只有一个是正确的．1．（5分）2x3+x2﹣13x+6的因式是（）A．2x﹣1B．x+2C．x﹣3D．x2+12．（5分）计算1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2009+2010﹣2011﹣2012＝（）A．0B．﹣1C．2012D．﹣20123．（5分）简化，所得结果正确的是（）A．＝1++B．＝1﹣+C．＝1+﹣D．＝1﹣﹣4．（5分）设b＜a＜0，，则等于（）A．B．﹣C．﹣3D．35．（5分）如图，AD是圆内接△ABC的边BC上的高，AE是圆的直径，AB＝，AC＝1，则AE•AD＝（）A．B．C．2D．6．（5分）关于x的方程：k（k+1）（k﹣2）x2﹣2（k+1）（k+2）x+k+2＝0只有一个实数解（两个相同的也只算一个），则实数k可取不同值的个数为（）A．2B．3C．4D．57．（5分）a、b都是自然数，且123456789＝（11111+a）（11111﹣b），则（）A．a﹣b是奇数B．a﹣b是4的倍数C．a﹣b是2的倍数，但不一定是4的倍数D．a﹣b是2的倍数，但不是4的倍数8．（5分）已知abc≠0，而且，那么直线y＝px+p一定通过（）A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限9．（5分）如图，在等腰直角△ABC中，CA＝CB＝3，D是BC上一点，且＝，点M是斜边AB上一动点，则△CMD的周长的最小值是（）A．1+B．1+C．1+2D．1+10．（5分）如果对于某一特定范围内的x的任意允许值，P＝|10﹣2x|+|10﹣3x|+|10﹣4x|+|10﹣5x|+…+|10﹣10x|为定值，则此定值是（）A．20B．30C．40D．5011．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，现有以下结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b≥m（am+b）．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个12．（5分）已知方程：x3﹣3x2+（m+2）x﹣m＝0的三个互不相等的实数根为一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜1B．m＞C．＜m＜1D．1＜m＜二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）由小到大排列各分数：，，，，，是．14．（4分）记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[﹣0.3]＝﹣1．则[]＝．15．（4分）已知△ABC三内角A、B、C满足：A≥B≥C，且A＝2C，则角B的取值范围是．16．（4分）已知x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10都是正整数，且x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10＝24，若x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72+x82+x92+x102的最大值与最小值的和是．三、解答题：本大题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题：①若a2+ab+c＞0，且c＞1，则0＜b＜2；②若c＞1且0＜b＜2，则a2+ab+c＞0；③若0＜b＜2，且a2+ab+c＞0，则c＞1．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定．18．（9分）计算下列各题（1）（1﹣）0+（）﹣2++2|sin60°﹣1|；（2）++++（3）+++…+．19．（8分）n为大于2的正整数，大家知道：1+2+3+…+n＝，请看下面的计算：∵（n+1）3﹣n3＝3n2+3n+1∴n＝1时，23﹣13＝3×12+3×1+1n＝2时，33﹣23＝3×22+3×2+1n＝3时，43﹣33＝3×32+3×3+1…n＝n时，（n+1）3﹣n3＝3n2+3n+1把以上的n个等式相加得：（n+1）3﹣1＝3（12+22+32+…+n2）+3（1+2+3+…+n）+n所以，3（12+22+32+…+n2）＝（n+1）3﹣（n+1）﹣3，即12+22+32+…+n2＝n（n+1）（2n+1）类比上述方法，求13+23+33…+n3．20．（12分）如图，在边长为2的正△ABC内有一点P，它到三边BC、AB、AC的距离分别是PD、PE、PF．求：（1）PD+PE+PF的值；（2）PD2+PE2+PF2的最小值；（3）△DEF面积的最大值．21．（12分）如图．已知A、B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0）．直线AB与反比例函数的图象交于点C和点D（﹣1，a）．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）求∠ACO的度数；（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长．22．（12分）如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB＝4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．（1）若PC＝PD，求PB的长．（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2＝4？如果存在，问这样的P点有几个并求出PB的值；如果不存在，说明理由．（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．23．（12分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用y表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的关系式：y＝（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？（2）一个数学难题，需要55（或以上）的接受能力，上课开始30分钟内，求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟？（3）如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，填写下表：参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中有且只有一个是正确的．1．A；2．D；3．C；4．C；5．A；6．C；7．B；8．B；9．D；10．B；11．B；12．C；二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．＜＜＜＜＜；14．﹣1；15．45°≤B≤72°；16．300；三、解答题：本大题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．；18．；19．n2（n+1）2．；20．（1）．（2）1．（3）．；21．；22．；23．53.5；59；59；47；32；17。
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(9)2018 数学自招真题
一、选择题（每小题5 分，共30 分）
1、在△ABC 中，若,则△ABC 是（）
A.直角三角形
B.顶角为锐角的等腰三角形
C.等边三角形
D.含有60°的任意三角形
2、的值为（）
A.是正数
B.是负数
C.是非负数
D.可为正也可为负
3、若,则的值为（）
A.2017
B.2018
C.2019
D.2020
4、已知n 是奇数，m 是偶数，方程有整数解。
则（）
A. 均为偶数
B. 均为奇数
C. 是偶数是奇数
D. 是奇数是偶数
5、如图Rt△ABC 中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E、F，则△的面积为（）
A. B. C. D.
6、不超过的最大整数是（）
B.2701
C.2702
D.2703
A.2700
二、填空题
7、设x，y 都是有理数，且满足方程，那么x-y 的值是
.
8、已知实数，满足= .
9、如图，设点P 在函数的图像上，PC⊥x 轴于点C，交函数的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交函数
的图像于点B，若四边形PAOB 的面积为4，则m-n= .
10、已知有理数x 满足：的最小值为.
11、若69，90，125 除以正整数n 有相同的余数，则正整数n 为.
12、已知关于x 的方程的根都是整数，那么符合条件的所有整数a 的和为.
13、在△ABC 中，BC=2,高AD=2，点P、E、F 分别在边BC、AC、AB 上，四边形PEAF 是平行四边形，则
的最大值为.
14、已知抛物线与x 轴交于B、C 两点，A 点在抛物线上，且以BC 为直径的圆经过点A，A 在x 轴上方，则点A 的横坐标为.
15、如图，一段抛物线：，记为，它与x 轴交于点O，，将绕点旋转180°得，交x 轴于点；将绕点旋转180°得，交x 轴于点；…如此进行下去。
若P（2018，m）在抛物线上，则m+n= .
16、某学习小组由教师和学生组成，以下三个条件：（i）男学生人数多于女学生人数；（ii）女学生人数多于教师人数；（iii）教师人数得两倍多于男学生人数，该小组人数得最小值为
.
17、对于任意的实数m、n 定义符号max 的含义为：，如max(3,2)=3,max(1,2)=2，则
的最小值为.
18、在四边形ABCD 中，AD=DC=2，∠DAB=∠DCB=90°，BC，AD 的延长线交于P，求的最小值.
三、解答题（共4 个小题，19、20 各10 分，21、22 各14 分，共48 分）
19、解下列方程组
（1）（2）
20、一次函数y=x-1 与函数的图像交于点A，一次函数y=x-1 与x 坐标轴分别交于B 两点，连结AO，若。
（1）求m；
（2）直线过A 点，分别与x、y 的正半轴交于M、N。
当直线与函数相切时，△MON 的面积。
21、已知二次函数
（1）若二次函数与x 轴交于不同的两点，且交点的横坐标分别为，满足，求解有序实数对（a,b）。
（2）当时，若恒成立，求解有序实数对（a,b）。
22、已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三象是，依此类推.
（1）第10 个1 是这列数的第几项；
（2）该列数的第2018 项为多少？
（3 ）求满足如下条件的最小整数N ：N>100 且该列数的前N 项和为 2 的整数幂。
（参考公式：
）。