一元二次不等式(学生版)

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一元二次不等式及其解法

§9.2一元二次不等式及其解法对应学生用书第120页1.一元二次不等式的定义形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫作一元二次不等式.2.一元二次不等式的解与解集一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫作这个一元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.(1)定义的简单应用:判断一个不等式是否为一元二次不等式,应严格按照定义去判断,即未知数只有1个,未知数的最高次数是2,且最高次项的系数不能为0.(2)解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.3.三个“二次”间的关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0( a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c>0( a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2+bx+c<0( a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件(1)不等式ax 2+bx+c>0对任意实数x 恒成立⇔{a =b =0,c >0或{a >0,Δ<0.(2)不等式ax 2+bx+c<0对任意实数x 恒成立⇔{a =b =0,c <0或{a <0,Δ<0.【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)(1)a>b ⇔ac 2>bc 2.( ) (2)若不等式ax 2+bx+c<0的解集为(x 1,x 2),则必有a>0.( ) (3)若方程ax 2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax 2+bx+c>0的解集为R . ( ) (4)不等式ax 2+bx+c ≤0在R 上恒成立的条件是a<0且Δ=b 2-4ac ≤0.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×【对接教材】2.(北师大版必修5P87习题T4改编)已知不等式x 2-mx+2>0的解集为{x|x<1或x>2},则实数m 的值为( ).A .2B .-3C .1D .3答案 D解析因为不等式x 2-mx+2>0的解集为{x|x<1或x>2}, 所以1,2是关于x 的方程x 2-mx+2=0的实数根, 所以m=1+2=3.故选D .【易错自纠】3.关于x 的不等式x 2+ax-3<0的解集为(-3,1),则不等式ax 2+x-3<0的解集为( ).A .(1,2)B .(-1,2)C .(-12,1) D .(-32,1)答案 D解析由题意知,-3,1是关于x 的方程x 2+ax-3=0的两根,可得-3+1=-a ,解得a=2, 故所求不等式为2x 2+x-3<0,即(2x+3)(x-1)<0, 解得-32<x<1,所以不等式的解集为(-32,1). 故选D .4.若关于x 的不等式x 2-(m+2)x+2m<0的解集中恰有4个正整数,则实数m 的取值范围为( ).A .(6,7]B .(6,7)C .[6,7)D .(6,+∞)答案 A解析原不等式可化为(x-2)(x-m )<0, 若m ≤2,则不等式的解是m<x<2,此时不等式的解集中不可能有4个正整数,所以m>2, 所以不等式的解是2<x<m ,所以不等式的解集中的4个正整数分别是3,4,5,6, 故实数m 的取值范围是(6,7].【真题演练】5.(2019年天津卷)已知a ∈R .设函数f (x )={x 2-2ax +2a(x ≤1),x -alnx(x >1).若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立,则a的取值范围为( ). A .[0,1]B .[0,2]C .[0,e]D .[1,e]答案 C解析当x ≤1时,f (x )=x 2-2ax+2a ,函数f (x )图象的对称轴为直线x=a ,又f (x )≥0在R 上恒成立, 所以当a ≥1时,f (x )min =f (1)=1>0恒成立, 当a<1时,f (x )min =f (a )=2a-a 2≥0,∴ 0≤a<1. 综上,a ≥0.当x>1时,f (x )=x-a ln x ,所以f (x )≥0在R 上恒成立,即a ≤xlnx恒成立. 设g (x )=xlnx,则g'(x )=lnx -1(lnx)2.令g'(x )=0,得x=e,所以当1<x<e 时,g'(x )<0;当x>e 时,g'(x )>0. 所以g (x )min =g (e)=e,所以a ≤e .综上,a 的取值范围是0≤a ≤e,即[0,e].故选C .对应学生用书第121页一元二次不等式的求解【考向变换】考向1 不含参数的一元二次不等式解不等式:(1)3+2x-x 2≥0;(2)1-2xx+1>0. 解析 (1)原不等式可化为x 2-2x-3≤0,即(x-3)(x+1)≤0,故所求不等式的解集为{x|-1≤x ≤3}. (2)原不等式可化为(1-2x )(x+1)>0,解得-1<x<12,故所求不等式的解集为{x|-1<x <12}.变—把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式判—计算对应方程的判别式求—求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根写—利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集【追踪训练1】解不等式:3x -52x -3≤2. 解析原不等式可化为x -12x -3≥0,即{x -1≥0,2x -3>0或{x -1≤0,2x -3<0,解得x>32或x ≤1.故所求不等式的解集为{x|x >32或x ≤1}.考向2 含参数的一元二次不等式已知函数f (x )=ax 2-(a+1)x+1. (1)当a=-2时,解关于x 的不等式f (x )<0; (2)当a>0时,解关于x 的不等式f (x )>0. 解析 (1)当a=-2时,f (x )=-2x 2+x+1<0, 即2x 2-x-1>0,解得x<-12或x>1,∴不等式的解集为{x|x <-12或x >1}.(2)当a>0时,由f (x )>0,得ax 2-(a+1)x+1>0, 即(ax-1)(x-1)>0,①当1a =1,即a=1时,解得x ≠1;②当1a >1,即0<a<1时,解得x<1或x>1a ; ③当1a <1,即a>1时,解得x<1a 或x>1.综上所述,当a=1时,不等式的解集为{x|x ≠1}; 当0<a<1时,不等式的解集为{x|x <1或x >1a}; 当a>1时,不等式的解集为{x|x <1a或x >1}.点拨解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项系数含有参数,则应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.(3)当确定方程无根时,可直接写出解集;当确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式的解集.【追踪训练2】解关于x 的不等式ax -1x -3>0. 解析不等式等价于(ax-1)(x-3)>0. 当a<0时,不等式的解集为{x|1a<x <3}; 当a=0时,不等式的解集为{x|x<3};当0<a<13时,不等式的解集为{x|x <3或x >1a}; 当a=13时,不等式的解集为{x|x ≠3};当a>13时,不等式的解集为{x|x >3或x <1a}.一元二次不等式恒成立问题【考向变换】考向1 在实数集R 上恒成立问题若一元二次不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ).A .(-3,0]B .[-3,0)C .[-3,0]D .(-3,0)答案 D解析因为2kx 2+kx-38<0为一元二次不等式,所以k ≠0.又2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立, 则{2k <0,Δ=k 2-4×2k ×(-38)<0,解得-3<k<0.点拨对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外,问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.【追踪训练3】设a 为常数,对于任意x ∈R,ax 2+ax+1>0恒成立,则实数a 的取值范围是( ). A .(0,4) B .[0,4)C .(0,+∞)D .(-∞,4)答案 B解析对于任意x ∈R,ax 2+ax+1>0恒成立, 则{a >0,Δ=a 2-4a <0或a=0,所以0≤a<4.考向2 在给定区间上恒成立问题(一题多解)设函数f (x )=mx 2-mx-1(m ≠0),若对于任意x ∈[1,3],f (x )<-m+5恒成立,求m 的取值范围. 解析要使f (x )<-m+5在[1,3]上恒成立,则mx 2-mx+m-6<0,即m (x -12)2+34m-6<0在x ∈[1,3]上恒成立. (法一)令g (x )=m (x -12)2+34m-6,x ∈[1,3],当m>0时,g (x )在[1,3]上是增函数,所以g (x )max =g (3)=7m-6<0,所以m<67,则0<m<67; 当m<0时,g (x )在[1,3]上是减函数,所以g (x )max =g (1)=m-6<0,所以m<6,所以m<0. 综上所述,m 的取值范围是{m|0<m <67或m <0}. (法二)因为x 2-x+1=(x -12)2+34>0, 又因为m (x 2-x+1)-6<0,所以m<6x 2-x+1.因为函数y=6x 2-x+1=6(x -12)2+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m<67即可.因为m ≠0,所以m 的取值范围是{m|0<m <67或m <0}.点拨解决恒成立问题时一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.【追踪训练4】若对任意m ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(m-4)x+4-2m 的值恒大于零,求x 的取值范围. 解析 f (x )=x 2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x 2-4x+4, 令g (m )=(x-2)m+x 2-4x+4,由题意知,在[-1,1]上,g (m )的值恒大于零,所以{g(-1)=(x -2)×(-1)+x 2-4x +4>0,g(1)=(x -2)×1+x 2-4x +4>0,解得x<1或x>3.故x 的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).对应学生用书第122页转化与化归思想在分式不等式中的应用解分式不等式的关键是先将给定不等式移项、通分,整理成一边为商式,另一边为0的形式,再通过等价转化成整式不等式(组)的形式进行求解.注意分母不为零.已知函数f (x )=2ax -bx -1(a ,b ∈R). (1)若关于x 的不等式2ax-b>0的解集为(12,+∞),求f (x )<0的解集; (2)若a=12,求不等式f (x )>0的解集.解析 (1)∵不等式2ax-b>0的解集为(12,+∞),∴a>0,a=b>0,∴f (x )<0,即a(2x -1)x -1<0,∴a (2x-1)(x-1)<0,解得12<x<1, ∴f (x )<0的解集为(12,1).(2)当a=12时,不等式f (x )>0,即f (x )=x -bx -1>0, ∴(x-b )(x-1)>0,当b>1时,不等式f (x )>0的解集为(-∞,1)∪(b ,+∞); 当b=1时,不等式f (x )>0的解集为{x|x ≠1}; 当b<1时,不等式f (x )>0的解集为(-∞,b )∪(1,+∞).对于分式不等式或高次不等式,常用的方法是穿针引线法,首先分解因式,判断各个因式的正负,然后根据各个因式的零点分析求解.【突破训练】(2021辽宁辽阳模拟)不等式x+61-x ≥0的解集为( ).A .{x|-6≤x ≤1}B .{x|x ≥1或x ≤-6}C .{x|-6≤x<1}D .{x|x>1或x ≤-6}答案 C 解析不等式x+61-x≥0等价于{(x +6)(1-x)≥0,1-x ≠0,解得-6≤x<1.对应《精练案》第56页1.(2021山东聊城期中)一元二次不等式(x-1)(x+2)<0的解集为( ).A .{x|x<-2或x>1}B .{x|x<-1或x>2}C .{x|-2<x<1}D .{x|-1<x<2}答案 C解析 (x-1)(x+2)<0, 即{x -1>0,x +2<0或{x -1<0,x +2>0,解得-2<x<1.∴一元二次不等式(x-1)(x+2)<0的解集为{x|-2<x<1}.故选C .2.(2021山东临沂期中)若不等式4x 2+ax+4>0的解集为R,则实数a 的取值范围是( ).A .(-16,0)B .(-16,0]C .(-∞,0)D .(-8,8)答案 D解析 ∵不等式4x 2+ax+4>0的解集为R,∴Δ=a 2-4×4×4<0,解得-8<a<8, ∴实数a 的取值范围是(-8,8).故选D .3.(2021河北沧州模拟)已知不等式x 2+bx+c ≤0的解集是[1,2],则b+c 的值为( ).A .-1B .1C .-2D .2答案 A解析因为不等式x 2+bx+c ≤0的解集是[1,2], 所以关于x 的方程x 2+bx+c=0的实数根为1和2, 所以{1+2=-b,1×2=c,即{b =-3,c =2,所以b+c=-3+2=-1. 故选A .4.(2021福建泉州模拟)设f (x )=x 2+bx+1,且f (-1)=f (3),则f (x )>0的解集是( ).A .(-∞,-1)∪(3,+∞)B .RC .{x|x ≠1}D .{x|x=1}答案 C解析 ∵f (x )=x 2+bx+1,且f (-1)=f (3),∴-b 2=-1+32,解得b=-2.∴f (x )=x 2-2x+1=(x-1)2, ∴f (x )>0的解集为{x|x ≠1}.5.(2021重庆南开检测)已知集合A={x|0≤x ≤1},B={x|x 2-2(m+1)x+m<0},若A ⊆B ,则实数m 的取值范围是( ).A .(-∞,-1)B .(-1,0)C .[-1,0)D .(-∞,0) 答案 B解析令f (x )=x 2-2(m+1)x+m , 若要满足A ⊆B ,则需满足{f(0)<0,f(1)<0,即{m <0,1-2(m +1)+m <0,解得-1<m<0.6.(2021陕西延安期中)已知不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x 2+bx+a<0的解集为( ).A .{x|-1<x <12} B .{x|x <-1或x >12}C .{x|-2<x<1}D .{x|x<-2或x>1}答案 A解析 ∵不等式ax 2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},∴关于x 的方程ax 2+bx+2=0的两根分别为-1,2,且a<0,即{-1+2=-ba,(-1)×2=2a,解得{a =-1,b =1,则所求不等式可化为2x 2+x-1<0, 解得{x|-1<x <12}. 故选A .7.(2021广东东莞期中)已知函数y=lg[(a 2-1)x 2-2(a-1)x+3]的值域为R,则实数a 的取值范围是( ).A .[-2,1)B .[-2,-1]C .(-2,1)D .(-∞,-2)∪[1,+∞)答案 B解析 ∵函数y=lg[(a 2-1)x 2-2(a-1)x+3]的值域为R,∴当a 2-1=0时,a=1或a=-1,验证可知a=1时不成立,a=-1时成立;当a 2-1≠0时,{a 2-1>0,Δ=4(a -1)2-12(a 2-1)≥0,解得-2≤a<-1.综上,-2≤a ≤-1,∴实数a 的取值范围是[-2,-1].故选B .8.(2021江苏南通期中)对于实数x ,规定[x ]表示不大于x 的最大整数,那么不等式4[x ]2-36[x ]+45<0成立的x的范围是( ). A .(32,152) B .[2,8] C .[2,8) D .[2,7]答案 C解析由4[x ]2-36[x ]+45<0,得32<[x ]<152, 又[x ]表示不大于x 的最大整数,所以2≤x<8.9.(2021重庆南开检测)二次不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),若f (x )=cx 2+bx+a ,则( ).A .f (2)>f (0)>f (1)B .f (2)>f (1)>f (0)C .f (0)>f (1)>f (2)D .f (0)>f (2)>f (1)答案 A解析因为不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞), 所以1和2是关于x 的方程ax 2+bx+c=0的两实数解,且a>0, 所以{1+2=-b a,1×2=c a ,解得{b =-3a,c =2a,所以f (x )=cx 2+bx+a=a (2x 2-3x+1),所以f (x )是二次函数,且其图象开口向上,对称轴是直线x=34, 且|1-34|<|0-34|<|2-34|, 所以f (1)<f (0)<f (2). 故选A .10.(2021湖南长沙模拟)定义运算:{x,xy ≥0,y,xy <0.例如=3,(-=4.则函数f (x )=x x-x 2)的最大值为 .答案 4解析由已知得f (x )=x x-x 2)={x 2,x 2(2x -x 2)≥0,2x -x 2,x 2(2x -x 2)<0={x 2,0≤x ≤2,2x -x 2,x <0或x >2,易知函数f (x )的最大值为4.11.(2021湖北黄冈调考)设A :x x -1<0,B :0<x<m ,若B 是A 成立的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为 .答案 (1,+∞) 解析由题意得,xx -1<0,则0<x<1.要使得B 是A 成立的必要不充分条件,则(0,1)⫋(0,m ), 所以m>1.12.(2021江西抚州模拟)若关于x 的不等式x 2+mx-4>0在区间[2,4]上有解,则实数m 的取值范围为( ).A .(-3,+∞)B .(0,+∞)C .(-∞,0)D .(-∞,-3) 答案 A解析因为关于x 的不等式x 2+mx-4>0在区间[2,4]上有解,所以22+2m-4>0或42+4m-4>0, 解得m>0或m>-3,所以实数m 的取值范围是(-3,+∞). 故选A .13.(2021河北张家口模拟)已知使不等式2ax 2+ax-3>0对任意的a ∈[1,3]恒成立的x 的取值集合为A ,使不等式mx 2+(m-1)x-m>0对任意的x ∈[1,3]恒成立的m 的取值集合为B ,则有( ). A .A ⊆(R B )B .A ⊆BC .B ⊆(R A )D .B ⊆A答案 D解析令f (a )=(2x 2+x )a-3,因为f (a )>0对任意的a ∈[1,3]恒成立,所以{f(3)>0,f(1)>0,解得x<-32或x>1,即A=(-∞,-32)∪(1,+∞),又mx 2+(m-1)x-m>0,即m (x 2+x-1)>x.因为当x ∈[1,3]时,x 2+x-1>0,所以m>xx 2+x -1对任意x ∈[1,3]恒成立,又y=xx 2+x -1=1x -1x +1在[1,3]上单调递减,故y max =1,故m>1,即B=(1,+∞).综上,B ⊆A.14.(2021广东佛山模拟)(1)解关于x 的不等式ax 2-3x+2>5-ax (a ∈R).(2)若对于m ∈[-2,2],不等式mx 2-mx-1<-m+5恒成立,求x 的取值范围.解析 (1)不等式ax 2-3x+2>5-ax 可化为ax 2+(a-3)x-3>0,即(x+1)(ax-3)>0,①当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}. ②当a ≠0时,方程的两根为-1和3a ,当a>0时,不等式的解集为{x|x <-1或x >3a}, 当a<0时,a.若3a>-1,即a<-3,原不等式的解集为{x|-1<x <3a }; b.若3a<-1,即-3<a<0,原不等式的解集为{x|3a<x <-1}; c .若3a =-1,即a=-3,原不等式的解集为⌀,综上所得,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}; 当a>0时,原不等式的解集为{x|x <-1或x >3a}; 当a<-3时,原不等式的解集为{x|-1<x <3a}; 当-3<a<0时,原不等式的解集为{x|3a<x <-1}; 当a=-3时,原不等式的解集为⌀.(2)若对于m ∈[-2,2],不等式mx 2-mx-1<-m+5恒成立,即mx 2-mx+m-6<0恒成立,所以(x 2-x+1)m-6<0恒成立,令函数f (m )=(x 2-x+1)m-6,m ∈[-2,2], 因为(x 2-x+1)=(x -12)2+34>0恒成立, 所以函数f (m )=(x 2-x+1)m-6在m ∈[-2,2]上单调递增, 所以只需要函数的最大值小于0即可, 所以f (2)=(x 2-x+1)×2-6<0,即x 2-x-2<0, 解得-1<x<2,即x 的取值范围是(-1,2).15.(2021思明区校级月考)已知函数f (x )=ax 2+(b-8)x-a-ab ,f (x )>0的解集为(-3,2),(1)求f (x )的解析式;(2)当x>-1时,求y=f(x)-21x+1的最大值; (3)若不等式ax 2+kx-b>0的解集为A ,且(1,4)⊆A ,求实数k 的取值范围.解析 (1)由题可知{a <0,f(-3)=0,f(2)=0,解得{a =-3,b =5. 则f (x )=-3x 2-3x+18.(2)由(1)知,y=f(x)-21x+1=-3x 2-3x -3x+1, 令t=x+1,x>-1,则t>0,y=-3(t +1t -1)≤-3,当且仅当t=1t,即t=1时,等号成立,则x=0, 故y=f(x)-21x+1的最大值为-3. (3)由题可知,不等式ax 2+kx-b>0在x ∈(1,4)上恒成立, 即kx>3x 2+5在x ∈(1,4)上恒成立, 即k>3x+5x 在x ∈(1,4)上恒成立.令g (x )=3x+5x ,则g'(x )=3x 2-5x 2, 令g'(x )=0,解得x=√153, 当x ∈(1,√153)时,g'(x )<0,当x ∈(√153,4)时,g'(x )>0. ∵g (1)=8,g (4)=534,∴g (x )max =g (4)=534,则k ≥534.。

8-2解不等式.题库学生版

不等式要求层次重难点一元二次不等式 C 解一元二次不等式（一）知识内容1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a>为例）：判别式24b ac ∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a>的图象x2x1Oyxx1=x2Oyx O xy一元二次方程20 ax bx c++= (0)a≠的根有两相异实根12,x x=242b b aca-±-12()x x<有两相等实根122bx xa==-没有实根一元二次不等式的解20ax bx c++>(0)a>{1x x x<或}2x x>{Rx x∈，且2bxa⎫≠-⎬⎭实数集R 20ax bx c++<(0)a>{}12x x x x<<∅∅例题精讲高考要求板块一：解一元二次不等式解不等式<教师备案>有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．（二）主要方法1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．（三）典例分析：1.二次不等式与分式不等式求解【例1】（2008北京文10）不等式112x x ->+的解集是．【变式】 ⑴（安徽淮南第八中学普通高中数学必修5模块考试试卷）不等式2230x x --+≤的解集为（）A ．{|31}x x x -或≥≤B ．{|13}x x -≤≤C ．{|31}x x -≤≤D ．{|31}x x x -或≤≥【变式】 ⑴（2008新课标山东文7）不等式252(1)x x +-≥的解集是（） A ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭ ，，D ．(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，，2.含绝对值的不等式问题【例2】（2008四川延理4）已知n *∈N ，则不等式220.011nn -<+的解集为（） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥，D ．{}|202n n n *∈N ≥，【例3】（2009全国Ⅰ3）不等式111x x +<-的解集为（） A ．{}{}|01|1x x x x <<> B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<<D ．{}|0x x <【变式】（2009广东湛江高三月考）关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是 _．【例4】若不等式121x a x+-+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________．【例5】 ⑶（2008新课标山东理16）若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值范围为．3.含参数不等式问题【例6】（安徽省涡阳一中2008年必修5数学期中考试卷）若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <-【变式】（江苏省西亭高级中学必修5模块考试试卷）⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 .⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______．【例7】若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（）A ．0a >B ．18a >-C ．18a > D ．0a <【例8】若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1)-∞，，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集为（）A ．()()12-∞-+∞ ，，B ．(12)-，C ．(12)，D ．()()12-∞+∞ ，，【例9】（2009天津卷理）01b a <<+，若关于x 的不等式22()()x b ax ->的解集中的整数恰有3个，则（）A ．10a -<的解集是{}|x x αβ<<，其中1βα>>，则不等式()()220a ax bx c cx bx a ++++<的解集是．4.解不等式与分类讨论【例11】设m ∈R ，解关于x 的不等式22230m x mx +-<．【变式】解关于x 的不等式()()3110()m x x m +-+>∈⎡⎤⎣⎦R ．【备注】解含参数的不等式,进行讨论时要注意对所含字母的分类要做到不重不漏.【例12】求不等式22(1)40ax a x -++>的解集．【例13】解关于x 的不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-【变式】解关于x 的不等式223()0x a a x a -++>．【例14】解不等式()21410m x x +-+≤.【点评】对于二次项系数也含有参数的一元二次不等式，首先应判定二次项系数是否为零，分别加以讨论，然后在二次项系数不为零的条件下，求出判别式0∆=的零点，分类进行讨论.5.与二次方程或可化为二次方程的解的问题结合，【例15】（湖南省益阳市箴言中学2008年必修五模块综合检测）关于x 的方程2210ax x +-=至少有一个正的实根，则a 的取值范围是（）A ．a ≥0B ．10a -≤≤C ．0a >或10a -<<D ．1a -≥【例16】已知关于x 的方程2(3)4210m x mx m +-+-=的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是（）A ．30m -<D ．0m <或3m >【例17】有如下几个命题：①如果1x ，2x 是方程20ax bx c ++=的两个实根且12x x <，那么不等式20ax bx c ++<的解集为12{|}x x x x <<；②当240b ac ∆=-<时，二次不等式20ax bx c ++>的解集为∅；③0x a x b --≤与不等式()()0x a x b --≤的解集相同； ④2231x x x -<-与223(1)x x x -<-的解集相同．其中正确命题的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．0【例18】若关于x 的方程9(4)340x x a +++=有解，求实数a 的取值范围.【例19】（2008新课标广东理14）已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围是．6.恒成立问题【例20】若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______．【变式】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．0a ≤B ．4a <-C ．40a -<<D ．40a -<≤【变式】若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围．【点评】对于有关二次不等式20ax bx c ++>（或0<）的问题，可设函数2()f x ax bx c =++，由a 的符【例21】 ⑴不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为（）A ．0B ．2-C ．52- D ．3-⑵（2009重庆5）不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(][)14-∞-+∞ ，， B ．(][)25-∞-+∞ ，， C ．[12]，D ．(][)12-∞∞ ，，【变式】对任意[11]a ∈-，，函数2()(4)42f x x a x a=+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为_________．【例22】若不等式lg 21lg()axa x <+在[1,2]x ∈时恒成立，试求a 的取值范围．【点评】将参数a 从不等式lg 21lg()axa x <+中分离出来是解决问题的关键．【例23】若(]1x ∈-∞-，，()21390x x a a ++->恒成立，求实数a 的取值范围.【例24】设()222f x x ax =-+，当[)1x ∈-+∞，时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围.【例25】设对所有实数x ，不等式()()2222224112log 2log log 014a a ax x aa a ++++>+恒成立，求a 的取值范围.图1-1yx O【例26】已知不等式22412ax x x a +---≥对任意实数恒成立，求实数a 的取值范围．【例27】已知关于x 的不等式20x x t ++>对x ∈R 恒成立，则t 的取值范围是．【例28】如果|1||9|x x a +++>对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是（）A ．{|8}a a C ．{|8}a a ≥D ．{|8}a a ≤【例29】（2005年辽宁卷）在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a【例30】设不等式2220x ax a -++≤的解集为M ，如果[1,4]M ⊆，求实数a 的取值范围．【点评】若将本题改为：[1,4]M ⊆，求a 的取值范围，则本题等价于：当[1,4]x ∈时，2220x ax a -++≤恒成立，求a 的取值范围．可以通过讨论对应二次函数的对称轴，或者在不等式中将a 解出，通过求出对应的代数式的取值范围解决此问题．仅用第二种方法略解如下：2222(12)20x ax a x a x -++=-++≤，故2(21)2x a x -+≥，∵[1,4]x ∈，∴2110x ->≥，从而要满足题意，只需2221x a x +-≥，对[1,4]x ∈恒成立即可．故要求2221x x +-在[1,4]x ∈时的最大值，令21[1,7]t x =-∈，则2221(1)22291194()21424t x t t t x t t t+++++===++-，由对勾函数的单调性知：上式在1t =或7t =时取到最大值．比较知：当1t =时，上式有最大值3，故当3a ≥时，有2220x ax a -++≤对[1,4]x ∈恒成立．即a 的取值范围为[3,)+∞．（一）典例分析：1.利用函数单调性解不等式【例31】解不等式：21log (6)2x x x --->．【变式】解关于x 的不等式：23log (34)0x x x ---<．2.解不等式与函数综合问题【例32】已知函数32()()f x x ax b a b =-++∈R ，⑴若函数()f x 图象上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：33a -<<；⑵若[]01x ∈，，函数()y f x =图象上任意一点处的切线的斜率为k ，试讨论1k ≤的充要条件．【备注】为了缩小讨论范围，本题可以一开始将1x =代入2321x ax -+≤中，解得12a ≤≤，再进行讨论．本题讨论过程中的充要条件的得出结合二次函数的图象会比较容易理解，配图略．【例33】 ⑴ 求函数22()123lg(1521)f x x x x x =---+-的定义域．⑵ (福建省上杭二中08－09学年单元质量检查必修5数学试题)如果关于x 的不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是．⑶ (福建省上杭二中08－09学年单元质量检查必修5数学试题)设()321f x ax a =-+，若存在0(1,1)x ∈-，使0()0f x =，则实数a 的取值范围是（） A ．115a -< C ．1a <- D ．15a >板块二：解不等式综合问题【例34】已知函数2()1(1)f x x g x x =+++，若不等式(3)(392)0x x x f m f ⋅+--<对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．【例35】已知不等式()11112log 1122123a a n n n +++>-+++ 对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围.【例36】已知二次函数2()f x ax x =+，如果[0,1]x ∈时|()|1f x ≤，求实数a 的取值范围．【点评】在闭区间[0,1]上使|()|1f x ≤分离出a ，然后讨论关于1x的二次函数在[1,)+∞上的单调性．【例37】设二次函数()()20f x ax bx c a b c a =++∈≠R ，，，满足条件：⑴ 当x ∈R 时，()()42f x f x -=-，且()f x x ≥；⑵ 当()02x ∈，时，()212x f x +⎛⎫⎪⎝⎭≤ ⑶ ()f x 在R 上的最小值为0.求最大的()1m m >，使得存在t ∈R ，只要[]1x m ∈，，就有()f x t x +≤.【点评】本题所用方法为先根据已知条件求出m 小于某个数，再验证m 是否可取到此值，若能取到，则此值为m 的最大值．【例38】（2009新课标江苏卷20）设a 为实数，函数()()22f x x x a x a =+--． ⑴若()01f ≥，求a 的取值范围； ⑵求()f x 的最小值．【变式】 ⑶设函数()()()h x f x x a =∈+∞，，，直接写出．．．．（不需给出演算步骤）不等式()1h x ≥的解集．【备注】本题是江苏卷的文理科必做题的最后一题，江苏文理不分卷，但根据学生的不同有些学生另有选做题，包括选考内容与排列组合、空间向量等．本题⑶问相当有难度，思路分析如下：22()32()h x x ax a x a =-+>，22()13210h x x ax a ⇔-+-≥≥．对应的一元二次方程223210x ax a -+-=的判别式24(32)a ∆=-，①当0∆≤，即6622a ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭，，时，不等式的解集为()a +∞，； ②当0∆>，即6622a ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，时，记小根21323a a x --=，大根22323a a x +-=，当2a x ≥，即22a ≥时，不等式的解集为()a +∞，；当12x a x <≤，即2222a -<≤时，不等式的解集为2[)x +∞，；当1a x <，即22a <-时，不等式的解集为12(][)a x x +∞ ，，．综上可得答案．【例39】 (2008广东惠州模拟)已知集合(){}121212|00D x x x x x x k =>>+=，，，(其中k 为正常数). ⑴ 设12u x x =，求u 的取值范围；⑵ 求证：当1k ≥时不等式212121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤对任意()12x x D ∈，恒成立；⑶ 求使不等式212121122k x x x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥对任意()12x x D ∈，恒成立的2k 的范围.好学者智，善思者康 400-810-2680 8-2解不等式 .题库 page 11 of 11 【例40】如果()f x 在某个区间I 内满足：对任意的12x x I ∈，，都有12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥，则称()f x 在I 上为下凸函数；已知函数1()ln f x a x x=-． ⑴证明：当0a >时，()f x 在(0)+∞，上为下凸函数； ⑵若()f x '为()f x 的导函数，且122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，|()|1f x '<，求实数a 的取值范围．【例41】（2009湖北21）在R 上定义运算()()1:43p q p c q b bc ⊗⊗=---+（b 、c 为实常数）．记()212f x x c =-，()22f x x b =-，x ∈R ．令()()()12f x f x f x =⊗．⑴如果函数()f x 在1x =处有极值43-，试确定b 、c 的值； ⑴求曲线()y f x =上斜率为c 的切线与该曲线的公共点； ⑵令()()g x f x '=，记函数()g x 在区间[]11-，上的最大值为M ．若1b >，证明对任意的c ，都有2M >．【例42】设()()20f x ax bx c a =++≠，若(0)1f ≤，(1)f ≤1，(1)1f -≤，试证明：对于任意11x -≤≤，有()54f x ≤．。

苏教版数学必修五：3.2一元二次不等式(1)【学生版】

课题：§3.2 一元二次不等式(1) 总第____课时班级_______________ 姓名_______________【学习目标】1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数方程的联系;2．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式;3．体会三个二次关系及数形结合的数学思想.【重点难点】重点是一元二次不等式的解法难点是三个二次关系的理解【学习过程】一、自主学习与交流反馈：画出函数65)(2--=x x x f 的图像回答问题:(1)函数的零点为 ;(2)观察函数图像,不等式0)(>x f 的解集为 .二、知识建构：对一元二次不等式02>++c bx ax （a >0）有: 判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆ 方程02=++c bx ax 的根二次函数c bx ax y ++=2的图象02>++c bx ax 的解集02<++c bx ax 的解集三、例题例1 解下列不等式:（1） 01272>+-x x （2）0322≥+-x x（3）0122<+-x x （4）0222<+-x x例2 解不等式21212≤-+<-x x例 3 若02>++c bx ax 的解集为{}βα<<x x )0(βα<<，求不等式02<++a bx cx 的解集.四、巩固练习1．不等式0)3)(1(>--x x 的解集为 .2．不等式0422>-+-x x 的解集为 .3．x 是什么实数时,函数2514y x x =-++的值是:(1)0; (2)正数; (3)负数.4．解关于x 的不等式－6＜x 2－5x ＜24.5．解下列不等式:(1)01242>-+x x ; (2)01692≤+-x x(3)231x x <- (4)1)2)(2(>+-x x6．若不等式ax 2+bx +2>0的解集是}3121|{<<-x x ，则b a -的值是．课堂心得：。

第7讲二次函数与一元二次方程、不等式(学生版)-2023年新高一(初升高)暑期数学衔接(新人教版)

第07讲二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系．2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【基础知识】一、一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.二、二次函数的零点1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．四、解一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2.计算对应方程的判别式；3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．五、解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．六、简单分数不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R>0，＝b2－4ac<0；2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R>0，＝b2－4ac≤0；3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0<0，≤0.【考点剖析】考点一：一元二次不等式的解法例1．(2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末)解下列不等式：(1)2430x x++>；(2)294604<-+-x x.考点二：三个二次关系的应用例2．(2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是()A ．12x x ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭B ．1142x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣C ．14x x ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．1124x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣考点三：含参数的一元二次不等式的解法例3．解关于x 的不等式2220ax x a +-+>考点四：简单分数不等式的解法例4．(多选)(2022学年湖南省怀化市高一上学期期末)集合201x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭也可以写成()A ．()(){}210x x x -+D ．()1,2-考点五：一元二次不等式恒成立问题例5．(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知关于x 的不等式2680kx kx k -++>对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是()A ．01k ≤≤B ．01k ≤<C ．0k <或1k >D ．0k ≤或1k >【真题演练】1．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)不等式()()220x x +->的解集是()A ．{2}x x >∣B ．{2}x x <-∣C ．{2∣<-x x 或2}x >D ．{22}x x -<<∣2.(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月检测)一元二次不等式22(21)90kx k x +++>对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是()A ．(0,1)B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)+∞3.(2022学年重庆市石柱中学校高一上学期第一次月考)已知函数()()2245413y k k x k x =+-+-+的图象都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围()A ．{}119k k ≤0D ．2x 2－3x ＋4<15.(多选)(2022学年江苏省南京市第一中学高一上学期10月月考)对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式()()110ax x -+<的解集可能是()A ．1|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|1x x ≠-C ．1|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．R6.(2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期月考)已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.7.(2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考)(1)若不等式250x bx c -+<的解集为{}13x x -<<，求b c +的值.(2)不等式2504x x -≥+的解集为A ，求集合A .8.(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期月考)求下列不等式的解集．(1)214450x x -+-≥；(2)()()231x x x x >+-+【过关检测】1.(2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考)不等式22150x x -++≤的解集为()A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭2.(2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考)若不等式22221463x mx m x x ++<++对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是()A ．()1,3B ．(),1-∞C ．()(),13,-∞⋃+∞D ．()3,+∞3.(2022学年广东省化州市第三中学高一下学期3月考试)已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b +的值为()．A ．1B ．1-C ．0D ．2-4.(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为()A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-5.(多选)(2022学年福建省晋江市第一中学高一上学期月考)已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤或}4x ≥，则下列结论中，正确结论的序号是()A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>6.(多选)(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-，则下列说法正确的是()A ．0a C ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()3,1-D ．关于x 的不等式230bx cx a ++>解集为()(),31,-∞-⋃+∞7.(2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考)若不等式230ax ax ++≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___________．8.(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期中)若不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则不等式20cx bx a ++>的解集是________．9.(2019-2020学年天津市红桥区高一上学期期中)求下列不等式的解集．．：(1)2280x x -->；(2)240x -≥.10.(2022学年北京市第五中学高一3月第一次阶段检测)请回答下列问题：(1)若关于x 的不等式()22320x x a a R -+>∈的解集为{|1x x <或}x b >，求a ，b 的值.(2)求关于x 的不等式()2325ax x ax a R -+>-Î的解集.。

第13讲拓展一一元二次(分式)不等式解法(学生版)-(人教A版数学必修一讲义)

有两个相等的实数根
没有实数根
( )的解集
( )的解集
知识点03：一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程，计算判别式：
① 时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
② 时，求根；
③ 时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
知识点04：解分式不等式
2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式
二次函数 ( 的图象
一元二次方程
( )的根
有两个不相等的实数根， ( )
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式．
【变式2】（2023春·辽宁沈阳·高二新民市高级中学校考阶段练习）已知不等式的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)解不等式．
题型05一元二次不等式（含参）的求解
（首项系数含参从0开始讨论）
【典例1】（2023春·四川泸州·高二校考阶段练习）已知函数，解不等式 .
1、分式不等式定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中 , 为整式且的不等式称为分式不等式。
2、分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
二、题型精讲
题型01一元二次不等式（不含参）的求解（首项系数为正）
【典例1】（2023·上海金山·统考二模）若实数满足不等式，则的取值范围是__________.

一元二次不等式苏玲玲学生版

不等式类型及其解法：一．一元二次不等式的解法类型1：解一元二次不等式（开口，判别式，求根，画图，写解集） 1.解下列不等式：（1）022<--x x ；（2）0322>-+-x x 。

（3）)2(3)2(2+<+x x x （4）21212≤-+≤-x x2.（湖南）不等式x 2-5x+6≤0的解集为______. 类型2：解含参数的一元二次不等式的问题含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏。

若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应的方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集。

分类讨论：讨论自己求自己先交后并，讨论别人求自己不交不并，各写各的。

二次不等式常用的分类方法有三种：（一）、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例1解不等式06522>+-a ax x ，0≠a（二）、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2：解不等式042>++ax x练习：解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122（三）、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例3 解不等式：()0122>+++x a ax练习1：解不等式()00652≠>+-a a ax ax类型3：已知不等式的解集求参数（恒成立问题：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

） 1．若不等式012>-+bx ax 的解集是}43|{<<x x ，则实数.__________,==b a 2.若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 3.若不等式13642222<++++x x mmx x 的解集为R ，求实数m 的取值范围.二：解分式不等式（1）解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式，分母不为零。

考点05一元二次方程、不等式(2种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型新高考版

考点05一元二次方程、不等式（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．【知识点】1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解的对应关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根不等式的解集{x |x ≠－b2a}R 2．分式不等式与整式不等式(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔ ；(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔ .3．简单的绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为，|x |<a (a >0)的解集为．【核心题型】题型一　一元二次不等式的解法对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．命题点1　不含参数的不等式【例题1】（2024·青海·一模）已知集合(){}2lg 23A x y x x ==-++，{}240B x x =-<，则A B È=（）A ．()1,3-B ．()1,2-C ．()2,3-D ．()2,2-【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合{}2|680,{|13}M x x x N x x =-+<=<£，则M N Ç=（）A ．{|23}x x ££B ．{|23}x x <£C ．{|24}x x <£D ．{|13}x x <£【变式2】（2024·山东济宁·一模）设集合{}2|60A x x x =--<，{|}B x a x a =-££，若A B Í，则实数a 的取值范围是．【变式3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合{}{}24,11A xx B x a x a =£=-££+∣∣，若A B Ç=Æ，则a 的取值范围是.命题点2　含参数的一元二次不等式【例题2】（2024·云南红河·二模）已知,a b 均为正实数，则“11a b>”是“2223a b ab +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式1】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间[]05，内随机取一个实数a ，则关于x 的不等式()2220x a x a +--<仅有2个整数解的概率为（）A ．25B ．310C ．15D ．110【变式2】（2023·江西南昌·三模）函数22e ,0()(2)2,0x ax x f x x a x a x ì->=í-+-+£î，若关于x 的不等式()0f x ³的解集为[2,)-+¥，则实数a 的取值范围是（）A ．e 2,2æù-çúèûB ．e 0,2éùêúëûC ．20,4éùêúëûe D ．2e {0},4¥éö+÷êëøU 【变式3】．（2023·湖南·模拟预测）若关于x 的不等式()277x a a x +<+的解集恰有50个整数元素，则a 的取值范围是，这50个整数元素之和为．题型二　一元二次不等式恒成立问题恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．命题点1　在R 上恒成立问题【例题3】（2024·浙江·模拟预测）若不等式()2620kx k x +-+>的解为全体实数，则实数k的取值范围是（）A ．218k ££B ．182k -<<-C ．218k <<D ．02k <<【变式1】（23-24高三上·河南·期中）“关于x 的不等式()()2232340a x a x ---+³的解集为R ”是“392a <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】（2023·福建厦门·二模）“()0,4b Î”是“R x "Î，210bx bx -+>成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式2210ax ax +-<恒成立”的一个充分不必要条件是（）A ．10a -£<B ．0a £C ．10a -<£D ．10a -<<命题点2　在给定区间上恒成立问题【例题4】（2023·浙江宁波·一模）已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x £在[]1,5x Î上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【变式1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题p ：任意1,22x éùÎêúëû，使222log log 30x m x -×-£为真命题，则实数m 的取值范围为（）A ．(],2-¥B ．(],2-¥-C ．[]22-,D ．[)2,-+¥【变式2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当0x >时，不等式：2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()8,8-B ．(],8¥-C ．(),8¥-D ．()8,+¥【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数2()f x x ax b =++，若对任意[1,5],()2x f x Î£，则所有满足条件的有序数对(,)a b 是．命题点3　在给定参数范围内的恒成立问题【例题5】（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若210mx -<对于[]0,2m Î恒成立，则实数x 的取值范围为．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）设函数()f x 是定义在(,)-¥+¥上的增函数．若不等式()21(2)--<-f ax x f a 对于任意[0,1]a Î恒成立，求实数x 的取值范围.【变式2】（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）若对于任意[]1,1m Î-，任意R y Î，使得不等式()23613x m x y y +--<-+-成立，则实数x 的取值范围是．【变式3】（2023高三·全国·专题练习）若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m Î-恒成立，实数x 的取值范围是 .【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合{}{}2450,34A x x x B x a x a =--³=-<<+，若A B =U R ，则实数a 的取值范围为（）A ．{}1a a >B ．{}12a a <<C ．{}2a a <D ．{}12a a ££2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式()2620kx k x +-+>的解为全体实数，则实数k 的取值范围是（）A ．218k ££B ．182k -<<-C ．218k <<D ．02k <<3．（2024·云南红河·二模）已知,a b 均为正实数，则“11a b>”是“2223a b ab +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024高三·全国·专题练习）若不等式()()222240a x a x -+--<对一切x ÎR 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-¥B ．[]22-,C ．(]2,2-D ．(),2-¥-5．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）条件p 是q 的充分不必要条件是（）A ．函数()y f x =定义域为A ，p ：()0f x ¢³在A 上成立.q ：()y f x =为增函数；B ．p ：2R,30x x x a "Î-+>成立，q ：12a a +-最小值为4；C ．p :函数2()2441f x ax x =+-在区间(1,1)-恰有一个零点，q : 1184a -<<；D ．p :函数()cos 2cos sin 2sin f x x x j j =+为偶函数（x ÎR ），q :π(Z)k k j =Î6．（2024高三·全国·专题练习）已知,a b ÎR 且0ab ¹，若()()()20x a x b x a b ----³在0x ³上恒成立，则（）A ．0a C ．0b <D ．0b >二、多选题1．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知0a >，0b >，且27a b +=，若223a b t +£恒成立，则实数t 的值可能为（）A ．20B ．21C ．49D ．502．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（）A ．若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0B ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为RC ．不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0D ．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集三、填空题1．（23-24高三下·上海·阶段练习）设0a >，若关于x 的不等式20x ax -<的解集是区间()0,1的真子集，则a 的取值范围是．2．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知集合(){}(){}2log 32,540A x x B x x x =-<=--³，则A B =I .四、解答题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2f x x a =-，且()f x b £的解集为[]1,3-．(1)求a 和b 的值；(2)若()f x x t £-在[]1,0-上恒成立，求实数t 的取值范围．2．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数x 的不等式：2(1)0x a x a -++<．（2）解关于实数x 的不等式：210x ax -+<．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()21f x x =+．(1)求不等式()()11f x f x -->的解集；(2)若()()()1h x f x f x =+-，且存在x ÎR 使不等式()221a a h x +-³成立，求实数a 的取值范围．综合提升练一、单选题1．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的2(0,),10x x mx Î+¥-+>恒成立，则m 的取值范围是（）A ．(2,2)-B ．(2,)+¥C ．(,2)-¥D ．(,2]-¥2．（2023高三·全国·专题练习）已知命题p ：“∀x ∈R ，(a ＋1)x 2－2(a ＋1)x ＋3>0”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．－1<a <2B ．a ≥1C ．a <－1D ．－1≤a <23．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合{{}2N 40A x y B y y =Î==-£∣，∣，则集合A B Ç中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（23-24高三上·重庆长寿·期末）已知函数2()2f x ax x a =-+，对1,22x éùÎêúëû都有()0f x ³成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,¥+B ．4,5¥éö+÷êëøC ．4,15éùêúëûD ．4,5¥æù-çúèû5．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）已知命题0:p x $ÎR ，()200110x a x +-+<，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为（）A ．13a ££B ．13a -<<C ．13a -££D ．02a ££6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件q ：“不等式()()224210a x a x -++-³的解集是空集”，则条件p ： “21a -£<”是条件q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2024·天津河西·一模）“2x x £”是“11x³”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2023·广东广州·三模）定义{},max ,,p p q p q q p q³ì=í<î，设函数(){}2max 22,2x f x x ax a =--+，若R x $Î使得()0f x £成立，则实数a 的取值范围为（）．A ．(][),01,-¥+¥U B ．[][)1,01,-È+¥C ．()(),11,-¥-È+¥D ．[]1,1-二、多选题1．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知R a Î，关于x 的一元二次不等式()()220ax x -+>的解集可能是（）A ．2x x a ì>íî或}2x <-B ．{}2x x >-C ．22x x a ìü-<<íýîþD ．22x x a ìü<<-íýîþ2．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（）A ．不等式24510x x -+>的解集是114x x x ìü><íýîþ或B ．不等式2260x x --£的解集是322x x x ìü£-³íýîþ或C ．若不等式28210ax ax ++<恒成立，则a 的取值范围是ÆD ．若关于x 的不等式2230x px +-<的解集是(),1q ，则p q +的值为12-3．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若()()240ax x b -+³对任意(],0x Î-¥恒成立，其中a ，b 是整数，则+a b 的可能取值为（）A ．7-B ．5-C ．6-D ．17-三、填空题1．（2024高三·全国·专题练习）已知R a Î，函数()2222,022,0x x a x f x x x a x ì++-£=í-+->î若对任意[)–3,x Î+¥，()f x x £恒成立，则a 的取值范围是．2．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“x $ÎR ，()()221110a x a x -+--³”为假命题，则a 的取值范围为 .3．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）设集合2{|41}A x x =£，{|ln 0}B x x =<，则A B =I .四、解答题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2x －6≥0}，M ＝A ∩B .(1)求集合M ；(2)已知集合C ＝{x |a －1≤x ≤7－a ，a ∈R }，若M ∩C ＝M ，求实数a 的取值范围．2．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =(1)求()f x 的解析式；(2)在区间[1,1]-上，函数()y f x =的图象恒在直线y m =的上方，试确定实数m 的取值范围．3．（2024高三·全国·专题练习）设函数()f x ax =，其中0a >．解不等式()1f x £；4．（2024高三·全国·专题练习）已知f (x )＝2,02,0xx x x ìïíï<î…求f (f (x ))≥1的解集．5．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数()f x 满足()()()()2213221R f x f x x a x a x +-=+--+Î．(1)讨论()f x 的奇偶性；(2)设函数()()()ln 1h x x f x x éù=+³ëû，求证：[)(){}1,yy h x ¥+Í=∣．拓展冲刺练一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =Î-<，则()A B =R I ð（）A ．{}34x x -<£B ．{}34x x -£<C ．{}4x x ³D ．{}45x x £<2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间[]05，内随机取一个实数a ，则关于x 的不等式()2220x a x a +--<仅有2个整数解的概率为（）A ．25B ．310C ．15D ．1103．（2023·福建厦门·二模）不等式2210ax x -+>（R a Î）恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．2a >B ．1a ³C ．1a >D ．102a <<4．（2023·全国·模拟预测）已知函数()3sin f x x x =+，若不等式()220f x ax -+³恒成立，则实数a 的最大值为（）A B ．2C ．D ．4二、多选题5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量,a b r r 满足||2a =r ，||4b =r ，且对任意的实数t ，都有b ta b a +³-r r r恒成立，则下列结论正确的是（）A ．4a b -r r 与b r垂直B ．(3)27a b b +×=r rrC ．14a b a b l l -+-rr r r 的最小值为D ．12a b a b l l ---r rr r 的最大值为6．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若关于x 的不等式()277x a a x +<+的解集恰有50个整数元素，则下列各选项正确的是（）A ．a 的值可能为-43B ．这50个整数元素之和可能为-925C ．a 的值可能为57.5D ．这50个整数元素之和可能为1625三、填空题7．（2022高三上·河南·专题练习）已知:11p x -<，()2:10q x a x a -++£，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是．8．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知二次函数()()1y ax x a =--．甲同学：0y >的解集为()1,,a a æö-¥+¥ç÷èøU ；乙同学：0y <的解集为()1,,a a æö-¥+¥ç÷èøU ；丙同学：y 的对称轴大于零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则a 的范围为．9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数2()f x x ax b =++，若对任意[]()1,5,2x f x Î£，则所有满足条件的有序数对(),a b 是．10．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的x ÎR ，不等式()()()2222714613817x x m x x x x -+³-+-+恒成立，则实数m 的取值范围为．四、解答题11．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）解关于x 的不等式：()()2220R ax a x a -++<Î.12．（2024高三·全国·专题练习）设函数()21f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于[]1,3x Î，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围．13．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数21()32ln 2f x x x x =-+.(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(2)（ⅰ）若对于任意12,[1,3]x x Î，都有12()()22f x f x m -£-，求实数m 的取值范围;（ⅱ）设21()()2g x f x x =+，且12()()0g x g x +=，求证:1272x x +>.14．（23-24高三上·天津南开·期中）设函数2()(0,1)x xa b f x a a a -=>¹且是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点31,2æöç÷èø.(1)求a ，b 的值；(2)设2()()(),g x x p x q p q =--<，若(),(())()0x f g x f mxg x ¢"Î-+£R （()g x ¢为函数()g x 的导数），试写出符合上述条件的函数()g x 的一个解析式，并说明你的理由．。

秋季05-高一数学拓展版-一元二次不等式-学生版

教师姓名学生姓名年级高一上课时间学科数学课题名称一元二次不等式一元二次不等式一．知识梳理：1.一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．20cx bx a -+>有如下解法：由221100ax bx c a b c x x ⎛⎫⎛⎫-+>⇒-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y x =，则1,12y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，参考上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为()()2,12,3--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--”的解集____________1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥01，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．2．若不等式022>-+ax x 在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,523 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,523C ．(1，＋∞) D.⎥⎦⎤⎝⎛-∞-523,3．设[x]表示不超过x 的最大整数（例如：[5.5]=5，[一5.5]=﹣6），则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集为（）A ．（2，3）B ．[2，4）C ．[2，3]D ．（2，3]4．解不等式0453*******≥++--x x x x。

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一元二次不等式
例1：解下列不等式：
(1)04432>++-x x ； (2)
042412≥++x x ； (3))2(3)3)(12(2+>-+x x x ； (4)⎪⎩⎪⎨⎧>++<++-0
120222x x x x 例2：已知不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，求不等式02>++a bx cx 的解集例3：已知实数m 是常数，解关于x 的不等式：()0222>--+x m mx
例4：已知函数1)2(2+--=x x k y 的函数值恒大于零，求实数k 的取值范围
例5：设关于x 的不等式0622<+++m m mx x 的解集为M ，M ⊆)2,1(，求实数m 的取值范围
例6：已知同时满足不等式022>--x x 和05)25(22<+++a x a x 的x 的整数值只有2-，求实数a 的取值范围
例7：(1)方程03)1(2=-+-+a x a x 有一个根大于1，另一个根小于1，求实数a 的取值范围；
(2)设方程)(02)13(722R a a a x a x ∈=--++-的两个实数根分别为21,x x ，且21021<<<<x x ，求a 的取值范围
课后练习
1、解下列不等式(组)：
(1)01572≤++x x ；(2)⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>15
44222x x x x ；(3))0(01)1(2><++-a x a a x 2、若1=x 在不等式0222<-+kx x k 的解集内，求k 的取值范围
3、设关于x 的二次方程0)42()1(2=+-+-m x m x m 有两个正数根，求实数m 的取值范围
4、已知不等式4632>+-x ax 的解集为}1|{b x x x ><或，(1)求b a ,；(2)解不等式：0)(2<++-bc x b ac ax
5、若关于x 的不等式
049)1(2)1(20
8222>++-+-+-m x m x m x x 对一切x 都成立，求实数m 的
取值范围 6、(1)若关于x 的不等式32
-≤--a ax x 的解集不是空集，求a 的取值范围；
(2)当)2,1(∈x 时，不等式042≤++mx x 恒成立。

求m 的取值范围
7、设集合},0)1(|{2R x a x a x x A ∈<++-=，},103|{2R x x x x B ∈+<=，
若B A ⊆，求实数a 的取值范围
8、某种商品每件60元，不收税时，每年销售80万件，若政府收附加税，每销售100元要征收R 元(即税率为R%)，则每年的销售量将减少
320R 件，要使每年在此项经营中收取税金不少于128万元，求R 的取值范围。