一元二次不等式的解集

△=0
y
△<0
y
有两相等实根 b x1=x2= 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
b {x|x≠ } 2a
R Φ
Φ
2.解不等式:
（） 1 x 3x 4;
2
(2)( x 1)( x x 30) 0;
1 4 .解不等式 x (a ) x 1 0 (a 0) a
2
分析：此不等式可以分解为
1 x a ( x ) 0 a
故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。
1 1 a x a ( x ) 0 令 a 可得： 解：原不等式可化为： a a
2 2 2 2
题型3:有关恒成立求参数取值范围
例1. 若函数 f(x) =
2
x2 2 ax a
1 的定义域为 R，
则a的取值范围为___
2
x2 2 ax a
2
1 2
0
x 2ax a 0
(2a) 4a 0 a(a 1) 01 a 0.
当 x (1 ， 2) 时，不等式 x mx 4 0 恒成立，
2
则m的取值范围是 ___ 构造函数：
2] f ( x) x mx 4, x [1，
2
， 2) 时， 不等式 由于当 x (1
x mx 4 0 恒成立
2
f (1) 0, f (2) 0
x2 x 1 0, g(m)在[2,2]上单调递增，
只要g (2) 2( x2 x 1) 6 0，即x2 x 2 0，
1 x 2.即所求x的取值范围.
解题回顾:将解关于x的不等式转化为关于字母m的函数式， 借助函数f(m)的几何背景，充分运用的条件，是解决此题的 最佳方案．
； ,
a 当a 4即 0时,原不等式解集为 x x R且x 2
,
a a 2 16 x1 2 显然 x1 x 2
∴原不等式的解集为
a a 2 16 x2 2
a a 2 16 a a 2 16 x x 或 x 〈 2 2
思考题
已知二次不等式ax bx c 0的解集是：
2
{x | x 2或x 3}， 则ax bx c 0的解集？
2
题型2:解含参数的一元二次不等式
例 解下列不等式:
1)
ax2 5ax 6a 0(a 0)
2)
x ax 4 02 Nhomakorabea3)
x2 (a 1) x a 0 (a 0)
1
1 1 a 当a 1或0 a 1时， 故原不等式的解集为 x | a x a a 1 当a 1或a 1时，a a 故原不等式的解集为 1 1 a 故原不等式的解集为 当 1 a 0或a 1时， x | x a a a
2
故 a0
a 1 a a2 a2 a2 若 0－ ，即－1a0，则应有 f（ － ）＝ － ＋1＝1－ 0 恒成立，故 2 2 2 4 2 4
－1a0
5 综上，有－ a 2
小结:
利用三个“二次”的关系,运用数形结合, 分类讨论和等价转换的思想方法解决有 关含参数的一元二次不等式问题.
[解一]构造二次不等式( x 2)( x 4) 0，使其解为2 x 4。
由( x 2)( x 4) 0得x2 6x 8 0.
它与 1 2 x qx p 0同解， p
p 0.
x2 pqx p2 0
pq 6,
3 2 比较系数得{ 2 解得p 2 2, q . p 8. 2
2
3．归纳解一元二次不等式的步骤：
（1）二次项系数化为正数； （2）解对应的一元二次方程； （3）根据一元二次方程的根， 结合不等号的方向画图； （4）写出不等式的解集．
题型1:已知不等式的解集,讨论字母系数的二次 不等式问题
1 2 例: 若 x qx p 0的解集A {x 2 x 4}, 求实数p, q的值 p
2
例2、不等式ax2 +（a-1）x+ a-1＜0对所有实数 x∈R都成立，求a的取值范围.
分析：开口向下，且与x轴无交点 。 解：由题目条件知：
（1）a = 0时，不等式为-x-1 ＜0 不符合题意 (2) a ＜ 0，且△ ＜ 0. 因此a ＜ -1/3。
1 a | a 3
x | x 2或x 3
x | 2 x 3
2) 解不等式
x ax 4 0
2
分析: 本题中由于 x 2 的系数大于0,故只需考虑 与根的情况。
2 解：∵ a 16
∴ 当a 4,4即 0时 原不等式解集为
，
R
当a 4或a 4即 0时， 此时两根分别为 ；
综上所述：a的取值范围是
例3.
设函数 f ( x) mx mx 1.
2
(1)若对于一切实数x, f ( x) 0恒成立，求m的取值范围.
解 ： 要求mx 2 mx 1 0恒成立.
当m 0时，显然恒成立；
当m 0时，应有m 0， m 4m 0,
2
解之得 4 m 0.
2
4)
1 x (a ) x 1 0 (a 0) a
1) 解不等式
ax2 5ax 6a 0(a 0)
分析：本题二次项系数含有参数,故需对二次项系数进行分类讨论 解

a( x 5x 6) ax 2x 3 0
2
当 a 0 时 解集为 当 a 0时 解集为
1 m 4 0,4 2m 4 0
m 5
1 若不等式 x ＋ax＋10 对于一切 x（0， ）成立， 2
2
则a的取值范围是 ?
a 解：设 f（x）＝x ＋ax＋1，则对称轴为 x＝ － 2 a 1 1 1 若 － ，即 a－1 时，则 f（x）在〔0， 〕上是减函数，应有 f（ ）0 2 2 2 2 5 － x－1 2 a 1 若 － 0，即 a0 时，则 f（x）在〔0， 〕上是增函数，应有 f（0）＝10 恒成立， 2 2
1、复习:
一元二次不等式ax bx c 0(a 0)与
2
相应的函数y ax bx c(a 0)、相应
2
的方程ax 2 bx c 0(a 0)之间有什么 关系？
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac △>0 y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x O x1 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) x O 没有实根 x
1 2 [解二由题设知 ] p 0，且方程 x qx p 0两根为2和4. p
得 pq 6，p 8.
2
3 2 解出p 2 2, q 2
解题回顾: 解决此类问题大致有两种方法:一是待定 系数法(如解一),它是由解集构造不等式,再比较 系数,确定字母的值;二是将不等式转化为方程 后,利用韦达定理,求得结果(如解二)
综合两种情况可得m的取值范围为 4 m 0.
(2)若对于m [2, 2], f ( x) m 5恒成立，求x的取值范围.
解：将f ( x) m 5变换成关于m的不等式m( x2 x 1) 6 0.
则命题等价于：m [2, 2]时，g (m) m( x2 x 1) 6 0恒成立，
解题回顾:
1.含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式 其解题过程实质一样,结合二次函数的图象和一元二次方 程分三级讨论:1)讨论二次项前系数的符号; 2)讨论判别式
的符号;
3)当 0时,讨论方程两根x1与x的大小关系 2 2.分类标准要明确,分类要做到不重不漏.
练习解关于 . x的不等式 (1)x -（2m + 1 ）x + m + m < 0; (2)56 x - ax - a < 0.