2020年晋城市高中必修一数学上期末一模试卷(带答案)
2020年高中必修一数学上期末一模试卷及答案(1)
2020年高中必修一数学上期末一模试卷及答案(1)一、选择题1.已知函数()ln ln(2)f x x x =+-,则A .()f x 在(0,2)单调递增B .()f x 在(0,2)单调递减C .()y =f x 的图像关于直线x=1对称D .()y =f x 的图像关于点(1,0)对称2.已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称,当[0,)2x π∈时,()1cos f x x =-,则当5(,3]2x ππ∈时,()f x 的解析式为( ) A .()1sin f x x =-- B .()1sin f x x =- C .()1cos f x x =-- D .()1cos f x x =-3.已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --<0成立,则实数a 的取值范围为( ) A .(-∞,2)B .13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .(-∞,2]D .13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭4.设4log 3a =,8log 6b =,0.12c =,则( ) A .a b c >>B .b a c >>C .c a b >>D .c b a >>5.函数y =a |x |(a >1)的图像是( ) A .B .C .D .6.若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是( ) A .()1,+∞B .(1,8)C .(4,8)D .[4,8)7.已知函数2()2log x f x x =+,2()2log x g x x -=+,2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ,b ,c ,则a ,b ,c 的大小关系为( ).A .b a c <<B .c b a <<C .c a b <<D .a b c <<8.若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( ) A .2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C .(),3-∞D .2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭9.把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位,所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称;已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--,当[]0,1x ∈时,()()1h x g x =-;若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点,则正数k 的取值范围是( ) A .()3log 2,1B .[)3log 2,1C .61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦10.设函数()f x 是定义为R 的偶函数,且()f x 对任意的x ∈R ,都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时, ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若在区间(]2,6-内关于x的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根,则a 的取值范围是 ( ) A .()1,2B .()2,+∞C .()31,4D .()34,211.函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时,()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A .()1,3B .()1,1-C .()()1,01,3-UD .()()1,00,1-U12.已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数,若()()2g x f x =-是奇函数,且()20g =,则不等式()0xf x ≤的解集是( )A .][(),22,-∞-⋃+∞B .][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C .][(),42,-∞-⋃-+∞D .][(),40,-∞-⋃+∞二、填空题13.对于函数f (x ),若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0,则称x 0是f (x )的一个不动点,已知f (x )=x 2+ax +4在[1,3]恒有两个不同的不动点,则实数a 的取值范围______.14.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数,且当0x …时,11()42x x f x =-+,则此函数的值域为__________.15.函数20.5log y x =的单调递增区间是________16.若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值,则实数m 的取值范围是______;17.函数()()4log 521x f x x =-+-的定义域为________. 18.已知a >b >1.若log a b+log b a=52,a b =b a ,则a= ,b= . 19.设是两个非空集合,定义运算.已知,,则________.20.已知函数()f x 为R 上的增函数,且对任意x ∈R 都有()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦,则()4f =______. 三、解答题21.已知函数31()31x xf x -=+. (1)证明:()f x 为奇函数;(2)判断()f x 的单调性,并加以证明; (3)求()f x 的值域.22.王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题,目前中国668个城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中,且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升,有关数据显示,某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表:(1)有下列函数模型:①2016x y a b -=⋅;②sin2016xy a b π=+;③lg()y a x b =+.(0,1)a b >>试从以上函数模型中,选择模型________(填模型序号),近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y (万吨)与年份x 的函数关系,并直接写出所选函数模型解析式;(2)若不加以控制,任由包装垃圾如此增长下去,从哪年开始,该城市的包装垃圾将超过40万吨?(参考数据:lg 20.3010,=lg30.4771=) 23.已知函数()f x 是二次函数,(1)0f -=,(3)(1)4f f -==. (1)求()f x 的解析式;(2)函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,试探究,是否存在()n n ∈Z ,函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点,若存在,求出一个符合题意的n ,若不存在,请说明由. 24.某上市公司股票在30天内每股的交易价格P (元)关于时间t (天)的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ,该股票在30天内的日交易量Q (万股)关于时间t(天)的函数为一次函数,其图象过点(4,36)和点(10,30). (1)求出日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式;(2)用y (万元)表示该股票日交易额,写出y 关于t 的函数关系式,并求在这30天内第几天日交易额最大,最大值为多少?25.已知函数()224x x a f x =-+,()()log 0,1a g x x a a =>≠.(1)若函数()f x 在区间[]1,m -上不具有单调性,求实数m 的取值范围; (2)若()()11f g =,设()112t f x =,()2t g x =,当()0,1x ∈时,试比较1t ,2t 的大小. 26.药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:人工种植药材时,某种药材在一定的条件下,每株药材的年平均生长量(v 单位:千克)是每平方米种植株数x 的函数.当x 不超过4时,v 的值为2;当420x <≤时,v 是x 的一次函数,其中当x 为10时,v 的值为4;当x 为20时,v 的值为0.()1当020x <≤时,求函数v 关于x 的函数表达式;()2当每平方米种植株数x 为何值时,每平方米药材的年生长总量(单位:千克)取得最大值?并求出这个最大值.(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】由题意知,(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=,所以()f x 的图象关于直线1x =对称,故C 正确,D 错误;又()ln[(2)]f x x x =-(02x <<),由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以A ,B 错误,故选C .【名师点睛】如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x +=-,那么函数的图象有对称轴2a bx +=;如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x -=-+,那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+. 2.C解析:C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以()()0f x f x π++-=,且()()f x f x -=-,所以()()f x f x π+=,故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数,所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+,即()1cos f x x =--,5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式,考查函数的图象与性质,涉及对称性与周期性,属于中档题.3.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析:由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点:分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠,都有()()12120f x f x x x -<-成立,得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.4.D解析:D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log a =log b =,结合对数函数的性质,求得1a b <<,又由指数函数的性质,求得0.121c =>,即可求解,得到答案.【详解】由题意,对数的运算公式,可得24222log 31log 3log 3log log 42a ====28222log 61log 6log 6log log 83b ====,2<<,所以222log log log 21<<=,即1a b <<,由指数函数的性质,可得0.10221c =>=, 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质,以及指数函数的图象与性质的应用,其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质,求得,,a b c 的范围是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.5.B解析:B 【解析】因为||0x ≥,所以1x a ≥,且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数,应选答案B .6.D解析:D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式,解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数, 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选:D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数,考查基本分析判断能力,属中档题.7.D解析:D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+,2()2log x x g x -=+,2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-,2x y -=-,2x y -=的交点,再通过数形结合得到a ,b ,c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=,则2log 2x x =-.令12()2log 0xg x x -=-=,则2log 2x x -=-.令2()2log 10x x h x =-=,则22log 1x x =,21log 22xx x -==. 所以函数2()2log x x f x =+,2()2log x x g x -=+,2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-,2x y -=-,2x y -=的交点,如图所示,可知01a b <<<,1c >, ∴a b c <<.故选:D . 【点睛】本题主要考查函数的零点问题,考查对数函数和指数函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.A解析:A 【解析】 【分析】利用函数()y f x =是(),-∞+∞上的增函数,保证每支都是增函数,还要使得两支函数在分界点1x =处的函数值大小,即()23141a a -⨯-≤,然后列不等式可解出实数a 的取值范围. 【详解】由于函数()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则函数()34y a x a =--在(),1-∞上是增函数,所以,30a ->,即3a <; 且有()23141a a -⨯-≤,即351a -≤,得25a≥, 因此,实数a 的取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭,故选A.【点睛】本题考查分段函数的单调性与参数,在求解分段函数的单调性时,要注意以下两点: (1)确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致; (2)结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系.9.C解析:C 【解析】分析:由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质,然后数形结合得到关于k 的不等式组,求解不等式组即可求得最终结果.详解:曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位,得()21log y f x x =-=, 所以g (x )=2x ,h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1),则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时,()21xh x =-,y =kf (x )-h (x )有五个零点,等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示,由图像知kf (3)<1且kf (5)>1,即:22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩,求解不等式组可得:61log 22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.点睛:本题主要考查函数图象的平移变换,函数的周期性,函数的奇偶性,数形结合解题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.D解析:D【解析】∵对于任意的x ∈R ,都有f (x −2)=f (2+x ),∴函数f (x )是一个周期函数,且T =4.又∵当x ∈[−2,0]时,f (x )=1 2x⎛⎫ ⎪⎝⎭−1,且函数f (x )是定义在R 上的偶函数,若在区间(−2,6]内关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解, 则函数y =f (x )与y =()log 2a x +在区间(−2,6]上有三个不同的交点,如下图所示:又f (−2)=f (2)=3,则对于函数y =()log 2a x +,由题意可得,当x =2时的函数值小于3,当x =6时的函数值大于3,即4a log <3,且8a log >3,由此解得:34<a <2, 故答案为(34,2).点睛:方程根的问题转化为函数的交点,利用周期性,奇偶性画出所研究区间的图像限制关键点处的大小很容易得解11.C解析:C 【解析】若[20]x ∈-,,则[02]x -∈,,此时1f x x f x -=--Q (),()是偶函数,1f x x f x ∴-=--=()(), 即1[20]f x x x =--∈-(),,, 若[24]x ∈, ,则4[20]x -∈-,, ∵函数的周期是4,4413f x f x x x ∴=-=---=-()()(),即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩,(),, ,作出函数f x ()在[13]-, 上图象如图, 若03x ≤<,则不等式0xf x ()> 等价为0f x ()> ,此时13x <<,若10x -≤≤ ,则不等式0xfx ()>等价为0f x ()< ,此时1x -<<0 , 综上不等式0xf x ()> 在[13]-, 上的解集为1310.⋃-(,)(,)故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解,利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式,利用数形结合是解决本题的关键.12.C解析:C 【解析】 【分析】由()()2g x f x =-是奇函数,可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称,再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4,-2,0,画出()f x 的大致形状,数形结合得出答案. 【详解】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的,且()()200g g ==,()()()4220f g g -=-=-=,()()200f g -==,画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知,当4x ≤-或2x ≥-时,()0xf x ≤,故选C. 【点睛】本题主要考查了函数性质的应用,作出函数简图,考查了学生数形结合的能力,属于中档题.二、填空题13.【解析】【分析】不动点实际上就是方程f (x0)=x0的实数根二次函数f (x )=x2+ax+4有不动点是指方程x=x2+ax+4有实根即方程x=x2+ax+4有两个不同实根然后根据根列出不等式解答即可解析:10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】不动点实际上就是方程f (x 0)=x 0的实数根,二次函数f (x )=x 2+ax +4有不动点,是指方程x =x 2+ax +4有实根,即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根,然后根据根列出不等式解答即可. 【详解】解:根据题意,f (x )=x 2+ax +4在[1,3]恒有两个不同的不动点,得x =x 2+ax +4在[1,3]有两个实数根,即x 2+(a ﹣1)x +4=0在[1,3]有两个不同实数根,令g (x )=x 2+(a ﹣1)x +4在[1,3]有两个不同交点,∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩,即24031001132(1)160a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩, 解得:a ∈10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭; 故答案为:10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用,属于中档题.14.【解析】【分析】可求出时函数值的取值范围再由奇函数性质得出时的范围合并后可得值域【详解】设当时所以所以故当时因为是定义在上的奇函数所以当时故函数的值域是故答案为:【点睛】本题考查指数函数的性质考查函解析:11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】可求出0x ≥时函数值的取值范围,再由奇函数性质得出0x ≤时的范围,合并后可得值域. 【详解】设12x t =,当0x ≥时,21x ≥,所以01t <≤,221124y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭, 所以104y ≤≤,故当0x ≥时,()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 因为()y f x =是定义在R 上的奇函数,所以当0x <时,()1,04f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为:11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查指数函数的性质,考查函数的奇偶性,求奇函数的值域,可只求出0x ≥时的函数值范围,再由对称性得出0x ≤时的范围,然后求并集即可.15.【解析】【分析】先求得函数的定义域然后利用同增异减来求得复合函数的单调区间【详解】依题意即解得当时为减函数为减函数根据复合函数单调性同增异减可知函数的单调递增区间是【点睛】本小题主要考查复合函数的单 解析:[)1,0-【解析】 【分析】先求得函数的定义域,然后利用“同增异减”来求得复合函数的单调区间. 【详解】依题意220.50log 0x x ⎧>⎨≥⎩,即201x <≤,解得[)(]1,00,1x ∈-U .当[)1,0x ∈-时,2x 为减函数,0.5log x 为减函数,根据复合函数单调性“同增异减”可知,函数y =递增区间是[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查复合函数的单调区间的求法,考查函数定义域的求法,属于基础题.16.【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为: 解析:[)5,+∞【解析】 【分析】根据条件可化为分段函数,根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可. 【详解】当1x <时,()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+, 当12x ≤<时,()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+, 且()112f m =+,当23x ≤<时,()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-, 且()27f =,当3x ≥时,()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++, 且()32f m =+,若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值,根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩,解得5m ≥,故实数m 的取值范围为[)5,+∞ 故答案为:[)5,+∞ 【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围,考查了分类讨论的思想,属于中档题.17.【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题;常见的形式有:1分式函数分母不能为0;2偶次 解析:[)0,5【解析】 【分析】根据题意,列出不等式组50210x x ->⎧⎨-≥⎩,解出即可.【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义,需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩,解得05x <≤,即函数的定义域为[)0,5,故答案为[)0,5. 【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题,属于基础题;常见的形式有:1、分式函数分母不能为0;2、偶次根式下大于等于0;3、对数函数的真数部分大于0;4、0的0次方无意义;5、对于正切函数tan y x =,需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等,当同时出现时,取其交集.18.【解析】试题分析:设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析:42【解析】试题分析:设log ,1b a t t =>则,因为21522t t a b t +=⇒=⇒=, 因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算,对数运算. 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时,要注意log 1b a >,若没注意到log 1b a >,方程5log log 2a b b a +=的根有两个,由于增根导致错误 19.01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得:A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A ∪B=x|x≥0A∩B= 解析:【解析】 【分析】分别确定集合A ,B ,然后求解即可.【详解】 求解函数的定义域可得:,求解函数的值域可得,则,结合新定义的运算可知:,表示为区间形式即.【点睛】本题主要考查集合的表示及其应用,新定义知识的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为:【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知 解析:82【解析】 【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出()f x 的解析式,从而即可求解出()4f 的值. 【详解】令()3xf x t -=,所以()3xf x t =+,又因为()4f t =,所以34t t +=,又因为34ty t =+-是R 上的增函数且1314+=,所以1t =, 所以()31xf x =+,所以()443182f =+=.故答案为:82. 【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值,难度一般.已知()()f g x 的解析式,可考虑用换元的方法(令()g x t =)求解出()f x 的解析式.三、解答题21.(1)证明见详解;(2)函数()f x 在R 上单调递,证明见详解;(3)(1,1)- 【解析】 【分析】(1)判断()f x 的定义域,用奇函数的定义证明可得答案;(2)判断()f x 在R 上单调递增,用函数单调性的定义证明可得答案;(2)由312()13131x x xf x -==-++,可得30x >,可得231x +及231x -+的取值范围,可得()f x 的值域.【详解】证明:(1)易得函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称,且3113()()3131x xx x f x f x -----===-++,故()f x 为奇函数;(2)函数()f x 在R 上单调递增,理由如下:在R 中任取12x x <,则1233x x -<0,131x +>0,231x +>0,可得1212121212123131222(33)()()(1)(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++<0 故12()()0f x f x -<,函数()f x 在R 上单调递增;(3)由312()13131x x x f x -==-++,易得30x >,311x +>,故231x +0<<2,231x +-2<-<0,故2131x -+-1<<1,故()f x 的值域为(1,1)-. 【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域,综合性大,属于中档题.22.(1)①,2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭;(2)2022年【解析】 【分析】(1)由题意可得函数单调递增,且增长速度越来越快,则选模型①,再结合题设数据求解即可;(2)由题意有201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭,再两边同时取对数求解即可.【详解】解:(1)依题意,函数单调递增,且增长速度越来越快,故模型①符合,设2016x y a b-=⋅,将2016x =,4y =和2017x =,6y =代入得201620162017201646a b a b --⎧=⋅⎨=⋅⎩;解得432a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 故函数模型解析式为:2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.经检验,2018x =和2019x =也符合.综上:2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭;(2)令201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭,解得20163102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,两边同时取对数得:20163lg lg102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,3(2016)lg 12x ⎛⎫-≥⎪⎝⎭, 11(2016)3lg 3lg 2lg 2x -≥=-⎛⎫ ⎪⎝⎭, 120162021.7lg3lg 2x ∴≥+≈-.综上:从2022年开始,该城市的包装垃圾将超过40万吨. 【点睛】本题考查了函数的综合应用,重点考查了阅读能力及对数据的处理能力,属中档题. 23.(1)2()(1)f x x =+;(2)存在,1-.【解析】 【分析】(1)由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 由(1)0f -=可设出抛物线的解析式为2()(1)f x a x =+,再利用(1)4f =求得a 的值;(2)利用零点存在定理,证明(0)(1)0h h ⋅<即可得到n 的值. 【详解】(1)由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 又因为(1)0f -=,所以(1,0)-是()f x 的顶点, 所以设2()(1)f x a x =+,因为(1)4f =,即2(11)4a +=,所以设1a = 所以2()(1)f x x =+(2)由(1)知2()(1)ln(||1)h x x x =+-+因为2(1)(11)ln(|1|1)ln(2)0h -=-+--+=-<2(0)(01)ln(|0|1)10h =+-+=>即(0)(1)0h h ⋅<因为函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断, 由零点存在性定理,所以函数()h x 在(1,0)-上存在零点. 所以存在1n =-使得函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点. 【点睛】本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理,考查函数与方程思想考查逻辑推理能力和运算求解能力.24.(1)40Q t =-+,030t <≤,t ∈N (2)在30天中的第15天,日交易额最大为125万元. 【解析】 【分析】(1)设出一次函数解析式,利用待定系数法求得一次函数解析式. (2)求得日交易额的分段函数解析式,结合二次函数的性质,求得最大值. 【详解】(1)设Q ct d =+,把所给两组数据()()4,36,10,30代入可求得1c =-,40d =. ∴40Q t =-+,030t <≤,t N ∈(3)首先日交易额y (万元)=日交易量Q (万股)⨯每股交易价格P (元)()()1240,020,51840,2030,10t t t t N y t t t t N ⎧⎛⎫+-+≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩, ∴()()22115125,020,516040,2030,10t t t N y t t t N ⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩ 当020t ≤≤时,当15t =时,max 125y =万元 当20t 30<≤时,y 随x 的增大而减小故在30天中的第15天,日交易额最大为125万元. 【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式,考查分段函数的最值,考查二次函数的性质,属于中档题.25.(1)()1,+∞;(2)12t t > 【解析】 【分析】(1)根据二次函数的单调性得到答案.(2)计算得到2a =,再计算()2110x t ->=,22log 0t x =<,得到答案. 【详解】(1)函数()224x x a f x =-+的对称轴为1x =,函数()f x 在区间[]1,m -上不具有单调性,故1m >,即()1,m ∈+∞. (2)()()11f g =,即24log 10a a -+==,故2a =. 当()0,1x ∈时,()()212212110x x x t f x -+=-=>=;()22log 0t g x x ==<. 故12t t > 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数,比较函数值大小,意在考查学生对于函数性质的综合应用.26.(1)2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩;(2) 10株时,最大值40千克【解析】 【分析】当420x <≤时,设v ax b =+,然后代入两组数值,解二元一次方程组可得参数a 、b 的值,即可得到函数v 关于x 的函数表达式;第()2题设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克,然后列出()f x 表达式,再分段求出()f x 的最大值,综合两段的最大值可得最终结果.【详解】(1)由题意得,当04x <≤时,2v =; 当420x <≤时,设v ax b =+,由已知得200104a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得258a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,所以285v x =-+,故函数2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩.(2)设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克,依题意及()1可得()22,0428,4205x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩,当04x <≤时,()f x 为增函数,故()()4428max f x f ==⨯=; 当420x <≤时,()()222222820(10)40555f x x x x x x =-+=--=--+,此时()()1040max f x f ==.综上所述,可知当每平方米种植10株时,药材的年生长总量取得最大值40千克. 【点睛】本题主要考查应用函数解决实际问题的能力,考查了理解能力,以及实际问题转化为数学问题的能力,本题属中档题.。
2020年高中必修一数学上期末第一次模拟试卷带答案(1)
2020年高中必修一数学上期末第一次模拟试卷带答案(1)一、选择题1.已知a =21.3,b =40.7,c =log 38,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a c b <<B .b c a <<C .c a b <<D .c b a <<2.已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称,当[0,)2x π∈时,()1cos f x x =-,则当5(,3]2x ππ∈时,()f x 的解析式为( ) A .()1sin f x x =-- B .()1sin f x x =- C .()1cos f x x =-- D .()1cos f x x =- 3.设23a log =,3b =,23c e =,则a b c ,,的大小关系是( ) A .a b c <<B .b a c <<C .b c a <<D . a c b <<4.已知二次函数()f x 的二次项系数为a ,且不等式()2f x x >-的解集为()1,3,若方程()60f x a +=,有两个相等的根,则实数a =( )A .-15B .1C .1或-15D .1-或-155.函数y =11x -在[2,3]上的最小值为( ) A .2 B .12 C .13D .-126.若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是( ) A .()1,+∞B .(1,8)C .(4,8)D .[4,8)7.若x 0=cosx 0,则( ) A .x 0∈(3π,2π) B .x 0∈(4π,3π) C .x 0∈(6π,4π) D .x 0∈(0,6π) 8.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A .B .C .D .9.设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A .()()1,00,1-⋃B .()(),11,-∞-⋃+∞C .()()1,01,-⋃+∞D .()(),10,1-∞-⋃10.函数ln x y x=的图象大致是( )A .B .C .D .11.若函数y x a a -a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a 56+log a 485=( )A .1B .2C .3D .412.偶函数()f x 满足()()2f x f x =-,且当[]1,0x ∈-时,()cos 12xf x π=-,若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点,则实数a 的取值范围是( ) A .()3,5B .()2,4C .11,42⎛⎫⎪⎝⎭D .11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13.已知函数12()log f x x a =+,2()2g x x x =-,对任意的11[,2]4x ∈,总存在2[1,2]x ∈-,使得12()()f x g x =,则实数a 的取值范围是______________.14.已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩,其中a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ,2x ,…,n x ,记121==+++∑nin i xx x x L ,则1ni i x ==∑__________.15.若集合{||1|2}A x x =-<,2|04x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,则A B =I ______. 16.若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上,则函数()f x 的反函数1()f x -=________. 17.若存在实数(),m n m n <,使得[],x m n ∈时,函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ,其中0a >且1a ≠,则实数t 的取值范围是______.18.已知函数222y x x -=+,[]1,x m ∈-.若该函数的值域为[]1,10,则m =________.19.已知正实数a 满足8(9)a a a a =,则log (3)a a 的值为_____________.20.高斯是德国的著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R ,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]y x =称为高斯函数,例如:[3,4]4-=-,[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+,则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21.已知函数()(lg x f x =.(1)判断函数()f x 的奇偶性;(2)若()()1210f m f m -++≤,求实数m 的取值范围. 22.已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭,其中m 为实数. (1)若1m =,求证:函数()f x 在()1,+∞上为减函数; (2)若()f x 为奇函数,求实数m 的值.23.已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性;(2)解不等式()()2341xxf f +≤+.24.某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下,充分利用自身资源,大力发展养殖业,以增加收入.政府计划共投入72万元,全部用于甲、乙两个合作社,每个合作社至少要投入15万元,其中甲合作社养鱼,乙合作社养鸡,在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M 、养鸡的收益N 与投入a(单位:万元)满足25,1536,49,3657,a M a ⎧⎪=⎨<⎪⎩剟…1202N a =+.设甲合作社的投入为x (单位:万元),两个合作社的总收益为()f x (单位:万元). (1)若两个合作社的投入相等,求总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个合作社的投入,才能使总收益最大? 25.设全集U =R ,集合{}13A x x =-≤<,{}242B x x x =-≤-. (1)求()U A C B ⋂;(2)若函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合C ,满足A C ⊆,求实数a 的取值范围.26.已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ,b ,c 的大小.【详解】1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<Q ,c a b ∴<<. 故选:C . 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.2.C解析:C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以()()0f x f x π++-=, 且()()f x f x -=-,所以()()f x f x π+=,故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数,所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+,即()1cos f x x =--,5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式,考查函数的图象与性质,涉及对称性与周期性,属于中档题.3.A解析:A【解析】 【分析】根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】 因为23a log =,3b =,23c e = 令()2f x log x =,()g x x =函数图像如下图所示:则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <3b =23c e = 则66327b ==,626443 2.753.1c e e ⎛⎫⎪==>≈ ⎪⎝⎭所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.4.A解析:A 【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++,可知1、3为方程()20f x x +=的两根,且0a <,利用韦达定理可将b 、c 用a 表示,再由方程()60f x a +=有两个相等的根,由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3,即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3,则0a <.由题意可知,1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根,由韦达定理得2134b a +-=+=,133ca=⨯=,42b a ∴=--,3c a =, ()()2423f x ax a x a ∴=-++,由题意知,关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根, 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根,则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=,0a <Q ,解得15a =-,故选:A. 【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识,考查二次不等式解集与方程之间的关系,解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.5.B解析:B 【解析】 y =11x -在[2,3]上单调递减,所以x=3时取最小值为12,选B. 6.D解析:D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式,解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数, 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选:D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数,考查基本分析判断能力,属中档题.7.C解析:C 【解析】 【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点,构造函数()cos f x x x =-,利用零点存在性定理,判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示,由图可知,两个函数图像只有一个交点,构造函数()cos f x x x =-,30.5230.8660.343066f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭,20.7850.7070.078044f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭,根据零点存在性定理可知,()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选:C【点睛】本小题主要考查方程的根,函数的零点问题的求解,考查零点存在性定理的运用,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.8.A解析:A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性,分类讨论,结合二次函数的图象与性质,利用排除法,即可求解,得到答案.由题意,若,则在上单调递减,又由函数开口向下,其图象的对称轴在轴左侧,排除C ,D.若,则在上是增函数,函数图象开口向上,且对称轴在轴右侧,因此B 项不正确,只有选项A 满足. 【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质,其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质,合理进行排除判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.9.C解析:C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩,解得1a >或10a -<<,即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞,故选C. 10.C解析:C 【解析】 分析:讨论函数ln x y x=性质,即可得到正确答案.详解:函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ,ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q ()(), ∴排除B , 当0x >时,2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减, 故排除A,D , 故选C .点睛:本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用.解析:C 【解析】 【分析】先分析得到a >1,再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a -a x ≥0,a x ≤a ,定义域为[0,1], 所以a >1,y[0,1]上单调递减,值域是[0,1], 所以f (0)1,f (1)=0, 所以a =2,所log a56+log a 485=log 256+log 2485=log 28=3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算,考查函数的单调性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.12.D解析:D 【解析】试题分析:由()()2f x f x =-,可知函数()f x 图像关于1x =对称,又因为()f x 为偶函数,所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2,要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点,即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知,0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-,故D 正确. 考点:函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.二、填空题13.【解析】分析:对于多元变量任意存在的问题可转化为求值域问题首先求函数的值域然后利用函数的值域是函数值域的子集列出不等式求得结果详解:由条件可知函数的值域是函数值域的子集当时当时所以解得故填:点睛:本 解析:[0,1]【解析】分析:对于多元变量任意存在的问题,可转化为求值域问题,首先求函数()(),f x g x 的值域,然后利用函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集,列出不等式,求得结果. 详解:由条件可知函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集,当11,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()[]1,2f x a a ∈-++,当[]21,2x ∈-时,()[]1,3g x ∈- ,所以1123a a -+≥-⎧⎨+≤⎩,解得01a ≤≤,故填:[]0,1. 点睛:本题考查函数中多元变量任意存在的问题,一般来说都转化为子集问题,若是任意1x D ∈,存在2x E ∈,满足()()12f x g x >,即转化为()()min min f x g x >,若是任意1x D ∈,任意2x E ∈,满足()()12f x g x >,即转化为()()min max f x g x >,本题意在考查转化与化归的能力.14.【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以 解析:1-【解析】 【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解. 【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像交点的横坐标因为lg y x =和10x y =互为反函数,所以函数lg y x =和10xy =图像关于y x =对称所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像的两个交点也关于y x =对称所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩根据中点坐标公式可得4a b +=所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++=解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x = 所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1- 【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.15.【解析】【分析】先分别求解出绝对值不等式分式不等式的解集作为集合然后根据交集概念求解的结果【详解】因为所以所以;又因为所以所以所以;则故答案为:【点睛】解分式不等式的方法:首先将分式不等式转化为整式 解析:()1,2-【解析】 【分析】先分别求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合,A B ,然后根据交集概念求解A B I 的结果.【详解】因为12x -<,所以13x -<<,所以()1,3A =-;又因为204x x -<+,所以()()4204x x x ⎧+-<⎨≠-⎩,所以42x -<<,所以()4,2B =-; 则()1,2A B =-I . 故答案为:()1,2-. 【点睛】解分式不等式的方法:首先将分式不等式转化为整式不等式,若对应的整式不等式为高次可因式分解的不等式,可采用数轴穿根法求解集.16.【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为:【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式 解析:2(0)x x ≥【解析】 【分析】根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式,利用反函数的求法,即可求解. 【详解】因为点(4,2)在幂函数()()f x x R αα=∈的图象上,所以24α=,解得12α=,所以幂函数的解析式为12y x =, 则2x y =,所以原函数的反函数为12()(0)f x x x -=≥.故答案为:12()(0)f x x x -=≥【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求法,以及反函数的求法,其中熟记反函数的求法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.17.【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得:令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为:【解析:10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由已知可构造()2log xa a t x +=有两不同实数根,利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】()2()log x a f x a t =+Q 为增函数,且[],x m n ∈时,函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ,(),()f m m f n n ∴==,∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根,即2x x a a t =+有两解, 整理得:20x x a a t -+=, 令,0xm a m => ,20m m t ∴-+=有两个不同的正数根, ∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩即可,解得104t <<, 故答案为:10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性,对数方程,一元二次方程有两正根,属于中档题.18.4【解析】【分析】根据二次函数的单调性结合值域分析最值即可求解【详解】二次函数的图像的对称轴为函数在递减在递增且当时函数取得最小值1又因为当时所以当时且解得或(舍)故故答案为:4【点睛】此题考查二次解析:4 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性结合值域,分析最值即可求解. 【详解】二次函数222y x x -=+的图像的对称轴为1x =, 函数在(),1x ∈-∞递减,在[)1,x ∈+∞递增, 且当1x =时,函数()f x 取得最小值1,又因为当1x =-时,5y =,所以当x m =时,10y =,且1m >-, 解得4m =或2-(舍),故4m =. 故答案为:4 【点睛】此题考查二次函数值域问题,根据二次函数的值域求参数的取值.19.【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题 解析:916【解析】 【分析】将已知等式8(9)aaa a =,两边同取以e 为底的对数,求出ln a ,利用换底公式,即可求解. 【详解】8(9)a a a a =,8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==,160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q , ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】本题考查指对数之间的关系,考查对数的运算以及应用换底公式求值,属于中档题.20.【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为:【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题 解析:{}1,0,1-【解析】【分析】求出函数()f x 的值域,由高斯函数的定义即可得解. 【详解】2(1)212192()2151551x x x x e f x e e e +-=-=--=-+++Q , 11x e +>Q ,1011xe∴<<+, 2201xe∴-<-<+, 19195515x e ∴-<-<+,所以19(),55f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,{}[()]1,0,1f x ∴∈-,故答案为:{}1,0,1- 【点睛】本题主要考查了函数值域的求法,属于中档题.三、解答题21.(1)奇函数;(2)(],2-∞- 【解析】 【分析】(1)根据函数奇偶性的定义,求出函数的定义域及()f x 与()f x -的关系,可得答案; (2)由(1)知函数()f x 是奇函数,将原不等式化简为()()121f m f m -≤--,判断出()f x 的单调性,可得关于m 的不等式,可得m 的取值范围.【详解】解:(1)函数()f x 的定义域是R ,因为()(lg f x x -=-+,所以()()((lg lg lg10x x f x f x =+-=-=+,即()()f x f x -=-,所以函数()f x 是奇函数.(2)由(1)知函数()f x 是奇函数,所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--,设lg y u =,u x =,x ∈R .因为lg y u =是增函数,由定义法可证u x =在R 上是增函数,则函数()f x 是R 上的增函数.所以121m m -≤--,解得2m ≤-,故实数m 的取值范围是(],2-∞-. 【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用,属于中档题. 22.(1)证明见解析(2)0m =或2m = 【解析】 【分析】(1)对于1x ∀,()21,x ∈+∞,且12x x <,计算()()120f x f x ->得到证明.(2)根据奇函数得到()()0f x f x -+=,代入化简得到()22211x m x --=-,计算得到答案. 【详解】(1)当1m =时,()221log 1log 11x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 对于1x ∀,()21,x ∈+∞,且12x x <,()()12122212log log 11x x f x f x x x -=---1212122121221log log 1x x x x x x x x x x ⎛⎫--=⋅= ⎪--⎝⎭因为12x x <,所以12x x ->-,所以121122x x x x x x ->-, 又因1x ,()21,x ∈+∞,且12x x <,所以()1222110x x x x x -=->,即1211221x x x x x x ->-,所以1212122log 0x x x x x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭,()()120f x f x ->. 所以函数()f x 在()1,+∞上为减函数. (2)()221log 1log 11m x m f x x x +-⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 若()f x 为奇函数,则()()f x f x -=-,即()()0f x f x -+=. 所以211log log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭211log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2(1)1log 11x m x m x x --+-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭2222(1)log 01x m x ⎛⎫--== ⎪-⎝⎭, 所以()22211x m x --=-,所以()211m -=,0m =或2m =. 【点睛】本题考查了单调性的证明,根据奇偶性求参数,意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 23.(1)证明见解析;(2){|1}x x ≤. 【解析】 【分析】(1)根据函数为定义在R 上的奇函数得(0)0f =,结合(1)1f =求得()f x 的解析式,再利用单调性的定义进行证明;(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+,解指数不等式即可得答案. 【详解】 (1)因为函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,所以(0)0f = 则有0001111ba b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩解得20a b =⎧⎨=⎩,即22()1xf x x =+ 12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <()()()()()()2212211212222212122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()()()122122122111x x x x xx --=++因为12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <,所以()()2212110x x ++>,1210x x ->,210x x ->所以()()120f x f x ->即()()12f x f x > , 所以()f x 在(1,)+∞上单调递减 .(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+ 不等式可化为22220x x x ⋅--≤,即(()()21220xx+-≤ 解得22x ≤,即1x ≤ 所以不等式的解集为{|1}x x ≤ 【点睛】本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式,考查函数与方程思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意不等式的解集要写成集合的形式. 24.(1)87万元;(2)甲合作社投入16万元,乙合作社投入56万元 【解析】 【分析】(1)先求出36x =,再求总收益;(2)(2)设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤,乙合作社投入72x -万元,再对x 分类讨论利用函数求出如何安排甲、乙两个合作社的投入,才能使总收益最大. 【详解】(1)两个合作社的投入相等,则36x =,1(36)253620872f =++⨯+=(万元)(2)设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤,乙合作社投入72x -万元.当1536x ≤≤时,11()25(72)208122f x x x =+-+=-+,令t =6t ≤≤,则总收益2211()481(4)8922g t t t t =-++=--+,当4t =即16x =时,总收益取最大值为89; 当3657x <≤时,11()49(72)2010522f x x x =+-+=-+, ()f x 在(36,57]上单调递减,所以()(36)87f x f <=.因为8987>,所以在甲合作社投入16万元,乙合作社投入56万元时,总收益最大,最大总收益为89万元. 【点睛】本题主要考查函数的应用和最值的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.25.(1){}23x x <<(2)()2,+∞ 【解析】 【分析】(1)先化简集合B ,再根据集合的交并补运算求解即可;(2)函数()lg(2)f x x a =+定义域对应集合可化简为2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,又A C ⊆,故由包含关系建立不等式即可求解; 【详解】(1)由题知,{}2B x x =≤,{}2U C B x x ∴=>{}13A x x =-≤<Q(){}23UA CB x x ∴⋂=<<(2)函数()lg(2)f x x a =+的定义域为集合2a C x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,A C ⊆Q ,12a∴-<-, 2a ∴>.故实数a 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本题考查集合的交并补的混合运算,由集合的包含关系求参数范围,属于基础题 26.(1)(,5)-∞;(2)()0,1. 【解析】 【分析】 (1)由(5)8(2)f f =求得a 的值,再利用指数函数的单调性解不等式,即可得答案; (2)作出函数|()1|y f x =-与y t =的图象,利用两个图象有两个交点,可得实数t 的取值范围. 【详解】(1)∵(5)8(2)f f = ∴5328a a a==则2a = 即()2x f x =,则函数()f x 是增函数由(23)(2)f m f m -<+,得232m m -<+ 得5m <,即实数m 的取值范围是(,5)-∞.(2)()2x f x =,由题知21xy =-图象与y t =图象有两个不同交点, 由图知:(0,1)t ∈【点睛】本题考查指数函数的解析式求解、单调性应用、图象交点问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.。
2020年高中必修一数学上期末第一次模拟试卷(带答案)
2020年高中必修一数学上期末第一次模拟试卷(带答案)一、选择题1.已知函数22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩,关于x 的方程(),f x m m R =∈,有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++的取值范围为( ) A .(0,+)∞B .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .(1,+)∞2.已知函数()ln ln(2)f x x x =+-,则 A .()f x 在(0,2)单调递增 B .()f x 在(0,2)单调递减C .()y =f x 的图像关于直线x=1对称D .()y =f x 的图像关于点(1,0)对称3.设集合{}1|21x A x -=≥,{}3|log ,B y y x x A ==∈,则B A =ð( )A .()0,1B .[)0,1C .(]0,1D .[]0,14.设函数()f x 的定义域为R ,满足(1) 2 ()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞,都有8()9f x ≥-,则m 的取值范围是 A .9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B .7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C .5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5.已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤,则()()3y f f x =-的零点个数为( )A .3B .4C .5D .66.已知函数()y f x =是偶函数,(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数,则( ) A .(1)(2)(0)f f f -<< B .(1)(0)(2)f f f -<< C .(0)(1)(2)f f f <-<D .(2)(1)(0)f f f <-<7.已知函数()0.5log f x x =,则函数()22f x x -的单调减区间为( )A .(],1-∞B .[)1,+∞C .(]0,1D .[)1,28.已知函数f (x )=x (e x +ae ﹣x )(x ∈R ),若函数f (x )是偶函数,记a=m ,若函数f (x )为奇函数,记a=n ,则m+2n 的值为( ) A .0B .1C .2D .﹣19.曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是( ) A .53(,]124B .5(,)12+∞ C .13(,)34D .53(,)(,)124-∞⋃+∞ 10.函数y =11x -在[2,3]上的最小值为( ) A .2 B .12C .13D .-1211.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )A .B .C .D .12.已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A .5B .7C .9D .11二、填空题13.若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2a,则a 的值为____________. 14.已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩,>,,若存在互不相等实数a b c d 、、、,有()()()()f a f b f c f d ===,则+++a b c d 的取值范围是______.15.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+,不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立,则实数m 的最大值是 ____________16.已知()f x 为奇函数,且在[)0,+∞上是减函数,若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立,则实数a 的取值范围是___________.17.已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ,且在区间[)0,+∞上单调递减,则不等式()0xf x >的解集为______.18.若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上,则函数()f x 的反函数1()f x -=________. 19.2()2f x x x =+(0x ≥)的反函数1()f x -=________20.已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩,若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、,则()a b c +的取值范围为______;三、解答题21.已知函数2()ln(3)f x x ax =-+.(1)若()f x 在(,1]-∞上单调递减,求实数a 的取值范围; (2)当3a =时,解不等式()x f e x ≥.22.已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭,其中m 为实数. (1)若1m =,求证:函数()f x 在()1,+∞上为减函数; (2)若()f x 为奇函数,求实数m 的值. 23.已知幂函数35()()m f x xm N -+=∈为偶函数,且在区间(0,)+∞上单调递增.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)设函数()()21g x f x x λ=+-,若()0<g x 对任意[1,2]x ∈恒成立,求实数λ的取值范围.24.为保障城市蔬菜供应,某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入2万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜.根据以往的经验,发现种西红柿的年收入()f x 、种黄瓜的年收入()g x 与大棚投入x分别满足()8f x =+1()124g x x =+.设甲大棚的投入为a ,每年两个大棚的总收入为()F a .(投入与收入的单位均为万元)(Ⅰ)求(8)F 的值.(Ⅱ)试问:如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使年总收人()F a 最大?并求最大年总收入.25.已知集合{}121A x a x a =-<<+,{}01B x x =<<. (1)若B A ⊆,求实数a 的取值范围; (2)若A B =∅I ,求实数a 的取值范围.26.某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下,充分利用自身资源,大力发展养殖业,以增加收入.政府计划共投入72万元,全部用于甲、乙两个合作社,每个合作社至少要投入15万元,其中甲合作社养鱼,乙合作社养鸡,在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M 、养鸡的收益N 与投入a(单位:万元)满足25,1536,49,3657,a M a ⎧⎪=⎨<⎪⎩剟…1202N a =+.设甲合作社的投入为x (单位:万元),两个合作社的总收益为()f x (单位:万元). (1)若两个合作社的投入相等,求总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个合作社的投入,才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】由题意作函数()y f x =与y m =的图象,从而可得122x x +=-,240log 2x <…,341x x =g ,从而得解【详解】解:因为22log ,0()2,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩,,可作函数图象如下所示: 依题意关于x 的方程(),f x m m R =∈,有四个不同的实数解1234,,,x x x x ,即函数()y f x =与y m =的图象有四个不同的交点,由图可知令1234110122x x x x <-<<<<<<<, 则122x x +=-,2324log log x x -=,即2324log log 0x x +=,所以341x x =,则341x x =,()41,2x ∈ 所以12344412x x x x x x +++=-++,()41,2x ∈ 因为1y x x =+,在()1,2x ∈上单调递增,所以52,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即44152,2x x⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 1234441120,2x x x x x x ⎛⎫∴+++=-++∈ ⎪⎝⎭故选:B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用.属于中档题2.C解析:C 【解析】由题意知,(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=,所以()f x 的图象关于直线1x =对称,故C 正确,D 错误;又()ln[(2)]f x x x =-(02x <<),由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以A ,B 错误,故选C .【名师点睛】如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x +=-,那么函数的图象有对称轴2a bx +=;如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x -=-+,那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+. 3.B解析:B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求B A ð得解. 【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥,{}|0B y y =≥.所以{|01}B A x x =≤<ð. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算,考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.B解析:B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题,考查函数平移伸缩,恒成立问题,需准确求出函数每一段解析式,分析出临界点位置,精准运算得到解决. 【详解】(0,1]x ∈Q 时,()=(1)f x x x -,(+1)= ()f x 2f x ,()2(1)f x f x ∴=-,即()f x 右移1个单位,图像变为原来的2倍.如图所示:当23x <≤时,()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---,令84(2)(3)9x x --=-,整理得:2945560x x -+=,1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==(舍),(,]x m ∴∈-∞时,8()9f x ≥-成立,即73m ≤,7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦,故选B .【点睛】易错警示:图像解析式求解过程容易求反,画错示意图,画成向左侧扩大到2倍,导致题目出错,需加深对抽象函数表达式的理解,平时应加强这方面练习,提高抽象概括、数学建模能力.5.C解析:C 【解析】 【分析】 由题意,函数()()3y ff x =-的零点个数,即方程()()3f f x =的实数根个数,设()t f x =,则()3f t =,作出()f x 的图象,结合图象可知,方程()3f t =有三个实根,进而可得答案. 【详解】 由题意,函数()()3y ff x =-的零点个数,即方程()()3f f x =的实数根个数,设()t f x =,则()3f t =,作出()f x 的图象,如图所示,结合图象可知,方程()3f t =有三个实根11t =-,214t =,34t =, 则()1f x =- 有一个解,()14f x =有一个解,()4f x =有三个解, 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,其中解答中合理利用换元法,结合图象,求得方程()3f t =的根,进而求得方程的零点个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及数形结合思想的应用.6.C解析:C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数,转化出()y f x =的一个单调区间,再结合偶函数关于y 轴对称得[]02,上的单调性,结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数,令2t x =-,则[]20t ,∈-,即()f t 在[]20-,上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-,上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数,()y f x ∴=在[]02,上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用,先求出函数的单调区间,然后结合奇偶性进行判定大小,较为基础.7.C【解析】函数()0.5log f x x =为减函数,且0x >, 令2t 2x x =-,有t 0>,解得02x <<.又2t 2x x =-为开口向下的抛物线,对称轴为1x =,所以2t 2x x =-在(]0,1上单调递增,在[)1,2上单调递减,根据复合函数“同增异减”的原则函数()22f x x -的单调减区间为(]0,1.故选C.点睛:形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数,() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增,外层函数()y f x =单增时,函数()()y f g x =也单增; 当内层函数()y g x =单增,外层函数()y f x =单减时,函数()()y f g x =也单减; 当内层函数()y g x =单减,外层函数()y f x =单增时,函数()()y f g x =也单减; 当内层函数()y g x =单减,外层函数()y f x =单减时,函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.8.B解析:B 【解析】试题分析:利用函数f (x )=x (e x +ae ﹣x )是偶函数,得到g (x )=e x +ae ﹣x 为奇函数,然后利用g (0)=0,可以解得m .函数f (x )=x (e x +ae ﹣x )是奇函数,所以g (x )=e x +ae ﹣x 为偶函数,可得n ,即可得出结论.解:设g (x )=e x +ae ﹣x ,因为函数f (x )=x (e x +ae ﹣x )是偶函数,所以g (x )=e x +ae ﹣x 为奇函数.又因为函数f (x )的定义域为R ,所以g (0)=0, 即g (0)=1+a=0,解得a=﹣1,所以m=﹣1.因为函数f (x )=x (e x +ae ﹣x )是奇函数,所以g (x )=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以(e ﹣x +ae x )=e x +ae ﹣x 即(1﹣a )(e ﹣x ﹣e x )=0对任意的x 都成立 所以a=1,所以n=1, 所以m+2n=1 故选B .考点:函数奇偶性的性质.9.A解析:A试题分析:241(22)y x x =-+-≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分,直线24y kx k =-+过定点()2,4,直线与半圆相切时斜率512k =,过点()2,1-时斜率34k =,结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点:1.直线与圆的位置关系;2.数形结合法10.B解析:B 【解析】 y =11x -在[2,3]上单调递减,所以x=3时取最小值为12,选B. 11.A解析:A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性,分类讨论,结合二次函数的图象与性质,利用排除法,即可求解,得到答案. 【详解】 由题意,若,则在上单调递减,又由函数开口向下,其图象的对称轴在轴左侧,排除C ,D.若,则在上是增函数,函数图象开口向上,且对称轴在轴右侧,因此B 项不正确,只有选项A 满足. 【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质,其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质,合理进行排除判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.12.B解析:B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.二、填空题13.或【解析】【分析】【详解】若∴函数在区间上单调递减所以由题意得又故若∴函数在区间上单调递增所以由题意得又故答案:或解析:12或32 【解析】 【分析】 【详解】若01a <<,∴函数()x f x a =在区间[1,2]上单调递减,所以2max min (),()f x a f x a ==,由题意得22a a a -=,又01a <<,故12a =.若1a >,∴函数()x f x a =在区间[1,2]上单调递增,所以2max min (),()f x a f x a ==,由题意得22a a a -=,又1a >,故32a =. 答案:12或3214.【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析:341112,1e e e ⎡⎫+--⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】不妨设,0,,0a b c d ≤>,根据二次函数对称性求得+a b 的值.根据绝对值的定义求得,c d 的关系式,将d 转化为c 来表示,根据c 的取值范围,求得+++a b c d 的取值范围. 【详解】不妨设,0,,0a b c d ≤>,画出函数()f x 的图像如下图所示.二次函数221y x x =--+的对称轴为1x =-,所以2a b +=-.不妨设c d <,则由2ln 2ln c d +=+得2ln 2ln c d --=+,得44,e cd e d c--==,结合图像可知12ln 2c ≤+<,解得(43,c e e --⎤∈⎦,所以(()4432,e a b c d c c e e c ---⎤+++=-++∈⎦,由于42e y x x-=-++在(43,e e --⎤⎦上为减函数,故4341112,21e e e c c e -⎡⎫+--++∈⎢⎣-⎪⎭.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质,考查二次函数的图像,考查含有绝对值函数的图像,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.15.【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析:13-【解析】 【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性,再化简不等式()()1f x f x m -≤+,分类讨论分离不等式,最后根据函数最值求m 取值范围,即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数,又()()f x f x -=,所以函数()f x 为偶函数,因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立,等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立,即1x x m -≥+,平方化简得()2211m x m +≤-,当10m +=时,x R ∈; 当10m +>时,12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立,11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-; 当10m +<时,12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立,1123m m m -≥∴≥(舍); 综上113m -≤≤-,因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式,然后根据函数的单调性去掉“f ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.16.【解析】【分析】根据为奇函数且在上是减函数可知即令根据函数在上单调递增求解的取值范围即可【详解】为奇函数且在上是减函数在上是减函数∴即令则在上单调递增若使得不等式在上都成立则需故答案为:【点睛】本题 解析:0a ≤【解析】 【分析】根据()f x 为奇函数,且在[)0,+∞上是减函数,可知12ax x -≤-,即11a x≤-,令11y x =-,根据函数11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增,求解a 的取值范围,即可. 【详解】 Q ()f x 为奇函数,且在[)0,+∞上是减函数∴()f x 在R 上是减函数.∴12ax x -≤-,即11a x≤-. 令11y x =-,则11y x=-在[]1,2x ∈上单调递增. 若使得不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立. 则需min111101a x ⎛⎫≤-=-= ⎪⎝⎭. 故答案为:0a ≤ 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用,属于中档题.17.【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图:则不等式等价为或即或即解析:()(),20,2-∞-⋃【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象,利用数形结合进行求解即可. 【详解】Q 偶函数()f x 的图象过点()2,0P ,且在区间[)0,+∞上单调递减,∴函数()f x 的图象过点()2,0-,且在区间(),0-∞上单调递增,作出函数()f x 的图象大致如图:则不等式()0xf x >等价为()00x f x >⎧>⎨⎩或()00x f x <⎧<⎨⎩,即02x <<或2x <-,即不等式的解集为()(),20,2-∞-⋃, 故答案为()(),20,2-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算,根据函数奇偶性和单调性的性质作出()f x 的图象是解决本题的关键.18.【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为:【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式 解析:2(0)x x ≥【解析】 【分析】根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式,利用反函数的求法,即可求解. 【详解】因为点(4,2)在幂函数()()f x x R αα=∈的图象上,所以24α=,解得12α=,所以幂函数的解析式为12y x =, 则2x y =,所以原函数的反函数为12()(0)f x x x -=≥.故答案为:12()(0)f x x x -=≥【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求法,以及反函数的求法,其中熟记反函数的求法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.19.()【解析】【分析】设()求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设()所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对1(0x ≥) 【解析】 【分析】设()22f x y x x ==+(0x ≥),求出x =()1f x -.【详解】设()22f x y x x ==+(0x ≥),所以2+20,x x y x -=∴=±因为x≥0,所以x =()11f x -=.因为x≥0,所以y≥0,所以反函数()11f x -=,0x ()≥.1,0x ()≥ 【点睛】本题主要考查反函数的求法,考查函数的值域的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20.【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为:【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属解析:)22,2e e ⎡--⎣【解析】 【分析】画出()f x 的图像,根据图像求出+a b 以及c 的取值范围,由此求得()a b c +的取值范围. 【详解】函数()f x 的图像如下图所示,由图可知1,22a ba b +=-+=-.令2ln 11,x x e -==,令ln 10,x x e -==,所以2e c e <≤,所以)2()22,2a b c c e e ⎡+=-∈--⎣.故答案为:)22,2e e ⎡--⎣【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.三、解答题21.(1)24a ≤<;(2){0x x ≤或}ln3x ≥ 【解析】 【分析】(1)根据复合函数单调性的性质,结合二次函数性质即可求得a 的取值范围.(2)将3a =代入函数解析式,结合不等式可变形为关于x e 的不等式,解不等式即可求解. 【详解】(1)()f x Q 在(,1]-∞上单调递减,根据复合函数单调性的性质可知23y x ax =-+需单调递减则12130aa ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩解得24a ≤<.(2)将3a =代入函数解析式可得2()ln(33)f x x x =-+则由()xf e x ≥,代入可得()2ln 33x x e e x -+≥同取对数可得233x x x e e e -+≥ 即2(e )430x xe -+≥, 所以()(e 1)30x xe --≥ 即e 1x ≤或3x e ≥0x ∴≤或ln x ≥3,所以原不等式的解集为{}0ln 3x x x ≤≥或 【点睛】本题考查了对数型复合函数单调性与二次函数单调性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法,属于中档题.22.(1)证明见解析(2)0m =或2m = 【解析】 【分析】(1)对于1x ∀,()21,x ∈+∞,且12x x <,计算()()120f x f x ->得到证明.(2)根据奇函数得到()()0f x f x -+=,代入化简得到()22211x m x --=-,计算得到答案. 【详解】(1)当1m =时,()221log 1log 11x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 对于1x ∀,()21,x ∈+∞,且12x x <,()()12122212log log 11x x f x f x x x -=---1212122121221log log 1x x x x x x x x x x ⎛⎫--=⋅= ⎪--⎝⎭因为12x x <,所以12x x ->-,所以121122x x x x x x ->-, 又因1x ,()21,x ∈+∞,且12x x <,所以()1222110x x x x x -=->, 即1211221x x x x x x ->-,所以1212122log 0x x x x x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭,()()120f x f x ->.所以函数()f x 在()1,+∞上为减函数. (2)()221log 1log 11m x m f x x x +-⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 若()f x 为奇函数,则()()f x f x -=-,即()()0f x f x -+=. 所以211log log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭211log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2(1)1log 11x m x m x x --+-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭2222(1)log 01x m x ⎛⎫--== ⎪-⎝⎭, 所以()22211x m x --=-,所以()211m -=,0m =或2m =. 【点睛】本题考查了单调性的证明,根据奇偶性求参数,意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 23.(Ⅰ)2()f x x =(Ⅱ)3,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】【分析】(I )根据幂函数的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性,求得m 的值,进而求得()f x 的解析式.(II )先求得()g x 的解析式,由不等式()0<g x 分离常数λ得到122xx λ<-,结合函数122xy x =-在区间[]1,2上的单调性,求得λ的取值范围. 【详解】 (Ⅰ)∵幂函数35()()m f x x m -+=∈N 为偶函数,且在区间(0,)+∞上单调递增,350m ∴-+>,且35m -+为偶数. 又N m ∈,解得1m =,2()f x x ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知2()()2121g x f x x x x λλ=+-=+-. 当[1,2]x ∈时,由()0<g x 得122xx λ<-. 易知函数122xy x =-在[1,2]上单调递减, min 1123222224x x λ⎛⎫∴<-=-=- ⎪⨯⎝⎭.∴实数λ的取值范围是3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性,考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略,属于中档题.24.(Ⅰ)39万元(Ⅱ)甲大棚投入18万元,乙大棚投入2万元时,最大年总收入为44.5万元. 【解析】 【分析】(I )根据题意求得()F a 的表达式,由此求得()8F 的值.(II )求得()F a 的定义域,利用换元法,结合二次函数的性质,求得()F a 的最大值,以及甲、乙两个大棚的投入. 【详解】(Ⅰ)由题意知11()8(20)122544F a a a =+-+=-+,所以1(8)825394F =-⨯+=(万元).(Ⅱ)依题意得2,218202a a a ⎧⇒⎨-⎩…剟….故1()25(218)4F a a a =-+剟.令t =t ∈,2211()25(5744G t t t =-++=--+,显然在上()G t 单调递增,所以当t =18a =时,()F a 取得最大值,max ()44.5F a =.所以当甲大棚投入18万元,乙大棚投入2万元时,年总收入最大,且最大年总收入为44.5万元. 【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用,考查含有根式的函数的最值的求法,属于中档题.25.(1)[]0,1;(2)[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . 【解析】 【分析】(1)由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解不等式即得解;(2)对集合A 分两种情况讨论即得实数a的取值范围. 【详解】(1)若B A ⊆,则10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩„…解得01a ≤≤.故实数a 的取值范围是[]0,1.(2)①当A =∅时,有121a a -≥+,解得2a ≤-,满足A B =∅I . ②当A ≠∅时,有121a a -<+,解得 2.a >- 又A B =∅Q I ,则有210a +≤或11a -≥,解得12a ≤-或2a ≥, 122a ∴-<≤-或2a ≥.综上可知,实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U .【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.26.(1)87万元;(2)甲合作社投入16万元,乙合作社投入56万元 【解析】 【分析】(1)先求出36x =,再求总收益;(2)(2)设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤,乙合作社投入72x -万元,再对x 分类讨论利用函数求出如何安排甲、乙两个合作社的投入,才能使总收益最大. 【详解】(1)两个合作社的投入相等,则36x =,1(36)253620872f =++⨯+=(万元)(2)设甲合作社投入x 万元(1557)x ≤≤,乙合作社投入72x -万元.当1536x ≤≤时,11()25(72)208122f x x x =+-+=-+,令t =6t ≤≤,则总收益2211()481(4)8922g t t t t =-++=--+,当4t =即16x =时,总收益取最大值为89; 当3657x <≤时,11()49(72)2010522f x x x =+-+=-+, ()f x 在(36,57]上单调递减,所以()(36)87f x f <=.因为8987>,所以在甲合作社投入16万元,乙合作社投入56万元时,总收益最大,最大总收益为89万元. 【点睛】本题主要考查函数的应用和最值的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.。
2020年高中必修一数学上期末一模试题(及答案)
2020年高中必修一数学上期末一模试题(及答案)一、选择题1.设集合{}1|21x A x -=≥,{}3|log ,B y y x x A ==∈,则B A =ð( )A .()0,1B .[)0,1C .(]0,1D .[]0,12.若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是( ) A .()1,+∞ B .(1,8) C .(4,8)D .[4,8)3.已知131log 4a =,154b=,136c =,则( ) A .a b c >>B .a c b >>C .c a b >>D .b c a >>4.已知函数2()log f x x =,正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =,若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2,则,m n 的值分别为A .12,2 B.2C .14,2 D .14,4 5.已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤,则()()3y f f x =-的零点个数为( ) A .3B .4C .5D .66.用二分法求方程的近似解,求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示:则当精确度为0.1时,方程3290x x +-=的近似解可取为 A .1.6B .1.7C .1.8D .1.97.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:(1)(3)0f x f x ++-=,且(1)0f ≠,若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点,则(2019)f =( )A .1B .-1C .-3D .38.函数ln x y x=的图象大致是( )A .B .C .D .9.已知全集为R ,函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+,且R A B ⊆ð,则a 的取值范围是( )A .210a -≤≤B .210a -<<C .2a ≤-或10a ≥D .2a <-或10a >10.函数21y x x =-++的定义域是( ) A .(-1,2]B .[-1,2]C .(-1 ,2)D .[-1,2)11.已知函数f (x )=x (e x +ae ﹣x )(x ∈R ),若函数f (x )是偶函数,记a=m ,若函数f (x )为奇函数,记a=n ,则m+2n 的值为( ) A .0B .1C .2D .﹣112.函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( ) A .B .C .D .二、填空题13.已知()f x 是定义域为R 的单调函数,且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦,则52(log )f =__________.14.已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ,其中x ∈R 且0x ≠,则函数()f x 的解析式为__________15.已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞,则实数m 的值为__________16.()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+,若(0,3)x ∈时,()lg f x x x =+,则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________.17.己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01,上的最大值是2,则实数a =______.18.设,,x y z R +∈,满足236x y z ==,则112x z y+-的最小值为__________. 19.函数{}()min 2f x x =-,其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>,若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点,则实数m 的取值范围是______________.20.函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______ 三、解答题21.已知函数132()log 2ax f x x-=-的图象关于原点对称,其中a 为常数. (1)求a 的值;(2)若当(7,)x ∈+∞时,13()log (2)f x x m +-<恒成立.求实数m 的取值范围. 22.已知函数()f x 对任意实数x ,y 都满足()()()f xy f x f y =,且()11f -=-,()1279f =,当1x >时,()()0,1f x ∈. (1)判断函数()f x 的奇偶性;(2)判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性,并给出证明; (3)若()1f a +≤,求实数a 的取值范围.23.已知函数2,,()lg 1,,x x m f x x x m ⎧⎪=⎨+>⎪⎩„其中01m <„.(Ⅰ)当0m =时,求函数()2y f x =-的零点个数;(Ⅱ)当函数2()3()y f x f x =-的零点恰有3个时,求实数m 的取值范围.24.设函数()()2log xxf x a b=-,且()()211,2log 12f f ==.(1)求a b ,的值; (2)求函数()f x 的零点;(3)设()xxg x a b =-,求()g x 在[]0,4上的值域.25.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.(1)求a ,b 的值;(2)判断函数()f x 的单调性,并用定义证明;(3)当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()2(21)0f kx f x +->恒成立,求实数k 的取值范围.26.如图,OAB ∆是等腰直角三角形,ABO 90∠=o,且直角边长为,记OAB ∆位于直线()0x t t =>左侧的图形面积为()f t ,试求函数()f t 的解析式.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求B A ð得解. 【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥,{}|0B y y =≥.所以{|01}B A x x =≤<ð. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算,考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.D解析:D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式,解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数,所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选:D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数,考查基本分析判断能力,属中档题.3.C解析:C 【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式,判断出0b <,然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小,即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=,所以551log log 104b =<=,又因为(133331log log 4log 3,log 4a ==∈,所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭,所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以c a b >>. 故选:C. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小,难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时,注意数值的正负,对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较.4.A解析:A 【解析】试题分析:画出函数图像,因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =,且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2,所以()()f m f n ==2,由2()log 2f x x ==解得12,2x =,即,m n 的值分别为12,2.故选A .考点:本题主要考查对数函数的图象和性质.点评:基础题,数形结合,画出函数图像,分析建立m,n 的方程.解析:C 【解析】 【分析】 由题意,函数()()3y ff x =-的零点个数,即方程()()3f f x =的实数根个数,设()t f x =,则()3f t =,作出()f x 的图象,结合图象可知,方程()3f t =有三个实根,进而可得答案. 【详解】 由题意,函数()()3y ff x =-的零点个数,即方程()()3f f x =的实数根个数,设()t f x =,则()3f t =,作出()f x 的图象,如图所示,结合图象可知,方程()3f t =有三个实根11t =-,214t =,34t =, 则()1f x =- 有一个解,()14f x =有一个解,()4f x =有三个解, 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,其中解答中合理利用换元法,结合图象,求得方程()3f t =的根,进而求得方程的零点个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及数形结合思想的应用.6.C解析:C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<,()1.81250.57930f =>,由精确度为0.1可知1.75 1.8≈,1.8125 1.8≈,故方程的一个近似解为1.8,选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找,零点的寻找依据二分法(即每次取区间的中点,把零点位置精确到原来区间的一半内),最后依据精确度四舍五入,如果最终零点所在区间的端点的近似值相同,则近似值即为所求的近似解.解析:C 【解析】 【分析】由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数,则(2019)(1)f f =-,要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点,即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解,结合图像可得(1)3f =,即可得到答案.【详解】Q ()f x 为定义在R 上的奇函数,∴()()f x f x -=-,又Q (1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=,(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴, ∴()f x 在R 上为周期函数,周期为4,∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-Q 函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点,即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解,令6()m x x = ,则5()6m x x '=,所以(,0)x ∈-∞为函数6()m x x =减区间,(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间,令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-,则()x ϕ为余弦函数,由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下:由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点,则(0)(0)m ϕ=,解得(1)3f =∴(2019)(1)3f f =-=-,故答案选C . 【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题,解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件,属于中档题.8.C解析:C 【解析】分析:讨论函数ln x y x=性质,即可得到正确答案.详解:函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ,ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q ()(), ∴排除B , 当0x >时,2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x===' 函数在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减, 故排除A,D , 故选C .点睛:本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用.9.C解析:C 【解析】 【分析】由()()620x x -->可得{}|26=<<A x x ,{}44R C B x a x a 或=-+,再通过A 为R C B 的子集可得结果.【详解】由()()ln 62y x x =--可知,()()62026x x x -->⇒<<,所以{}|26=<<A x x ,{}44R C B x a x a 或=-+,因为R A C B ⊆,所以6424a a 或≤-≥+,即102a a ≥≤-或,故选C. 【点睛】本题考查不等式的解集和对数函数的定义域,以及集合之间的交集和补集的运算;若集合的元素已知,求解集合的交集、并集、补集时,可根据交集、并集、补集的定义求解.10.A解析:A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可. 【详解】 由题意得:2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得:﹣1<x≤2,故函数的定义域是(﹣1,2],故选A . 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题,考查二次根式的性质,是一道基础题.常见的求定义域的类型有:对数,要求真数大于0即可;偶次根式,要求被开方数大于等于0;分式,要求分母不等于0,零次幂,要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.11.B解析:B 【解析】试题分析:利用函数f (x )=x (e x +ae ﹣x )是偶函数,得到g (x )=e x +ae ﹣x 为奇函数,然后利用g (0)=0,可以解得m .函数f (x )=x (e x +ae ﹣x )是奇函数,所以g (x )=e x +ae ﹣x 为偶函数,可得n ,即可得出结论.解:设g (x )=e x +ae ﹣x ,因为函数f (x )=x (e x +ae ﹣x )是偶函数,所以g (x )=e x +ae ﹣x 为奇函数.又因为函数f (x )的定义域为R ,所以g (0)=0, 即g (0)=1+a=0,解得a=﹣1,所以m=﹣1.因为函数f (x )=x (e x +ae ﹣x )是奇函数,所以g (x )=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以(e ﹣x +ae x )=e x +ae ﹣x 即(1﹣a )(e ﹣x ﹣e x )=0对任意的x 都成立 所以a=1,所以n=1, 所以m+2n=1 故选B .考点:函数奇偶性的性质.12.A解析:A 【解析】函数有意义,则:10,1x x +>∴>-, 由函数的解析式可得:()()21002ln 0102f =⨯-+=,则选项BD 错误; 且211111112ln 1ln ln 402222848f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--⨯-+=-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则选项C 错误; 本题选择A 选项.点睛:函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.二、填空题13.【解析】【分析】由已知可得=a 恒成立且f (a )=求出a =1后将x =log25代入可得答案【详解】∵函数f (x )是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f =∴=a 恒成立且f (a )=即f (x )=﹣+af (a )解析:23 【解析】 【分析】由已知可得()221x f x ++=a 恒成立,且f (a )=13,求出a =1后,将x =log 25代入可得答案. 【详解】∵函数f (x )是R 上的单调函数,且对任意实数x ,都有f[()221xf x ++]=13, ∴()221x f x ++=a 恒成立,且f (a )=13,即f (x )=﹣x 221++a ,f (a )=﹣x 221++a =13, 解得:a =1,∴f (x )=﹣x 221++1, ∴f (log 25)=23, 故答案为:23. 【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题,正确理解对任意实数x ,都有()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立是解答的关键,属于中档题.14.【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……(1)与已知方程……(2)联立(1)(2)的方程组可得令则所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查了函 解析:()11(1)31f x x x =-≠-- 【解析】 【分析】用x -代换x ,可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,联立方程组,求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭,再结合换元法,即可求解.由题意,用x -代换解析式中的x ,可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,…….(1) 与已知方程1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ,……(2) 联立(1)(2)的方程组,可得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 令1,1x t t x +=≠,则11x t =-,所以()1131f t t =--,所以()11(1)31f x x x =-≠--. 故答案为:()11(1)31f x x x =-≠--. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解,解答中用x -代换x ,联立方程组,求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解答的关键,着重考查了函数与方程思想,以及换元思想的应用,属于中档试题.15.1【解析】【分析】根据二次函数的值域为结合二次函数的性质列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的值域为所以满足解得即实数的值为1故答案为:1【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用其中解答中解析:1 【解析】 【分析】根据二次函数的值域为[0,)+∞,结合二次函数的性质,列出不等式组,即可求解. 【详解】由题意,函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞,所以满足24400m m ⎧∆=-=⎨>⎩,解得1m =.即实数m 的值为1. 故答案为:1. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.16.【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题 解析:()6lg(6)f x x x =---+【分析】首先根据题意得到(6)()f x f x +=-,再设(6,3)x ∈--,代入解析式即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+,所以[3(3)][3(3)]f x f x ++=-+,即(6)()()f x f x f x +=-=-. 设(6,3)x ∈--,所以6(0,3)x +∈.(6)6lg(6)()f x x x f x +=+++=-,所以()6lg(6)f x x x =---+. 故答案为:()6lg(6)f x x x =---+ 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题,同时考查了学生的转化能力,属于中档题.17.或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为;当时;当即(舍去)或(舍去);当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与解析:1-或2. 【解析】 【分析】由函数对称轴与区间关系,分类讨论求出最大值且等于2,解关于a 的方程,即可求解. 【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+,对称轴方程为为x a =;当0a ≤时,max ()(0)12,1f x f a a ==-==-;当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=,即210,a a a --==(舍去),或a = 当1a ≥时,max ()(1)2f x f a ===, 综上1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查二次函数的图像与最值,考查分类讨论思想,属于中档题.18.【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析:【解析】令236x y z t ===,将,,x y z 用t 表示,转化为求关于t 函数的最值. 【详解】,,x y z R +∈,令1236x y z t ==>=,则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==,21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当x =.故答案为: 【点睛】本题考查指对数间的关系,以及对数换底公式,注意基本不等式的应用,属于中档题.19.【解析】【分析】【详解】试题分析:由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f (x )=|x ﹣2|当或时此时f (x )=2∵f (4﹣2)=解析:02m <<【解析】 【分析】 【详解】试题分析:由{},min ,{,a a ba b b a b≤=>可知{}()min 2f x x =-是求两个函数中较小的一个,分别画出两个函数的图象,保留较小的部分,即由2x ≥-可得x 2﹣8x +4≤0,解可得44x -≤≤+当44x -≤+2x ≥-,此时f (x )=|x ﹣2|当4x +>或04x ≤-<2x -<,此时f (x )=∵f (4﹣2其图象如图所示,02m <<时,y =m 与y =f (x )的图象有3个交点故答案为02m <<考点:本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用,考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.点评:本小题通过分别画出两个函数的图象,保留较小的部分,可以很容易的得到函数的图象,从而数形结合可以轻松解题.20.4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为:4【点睛】本题主要考 解析:4 【解析】 【分析】设()2sin 1xg x x x =++,则()g x 是奇函数,设出()g x 的最大值M ,则最小值为M -,求出2sin 21=+++xy x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】∵函数2sin 21=+++xy x x , ∴设()2sin 1x g x x x =++,则()()2sin 1xg x x g x x --=-=-+, ∴()g x 是奇函数, 设()g x 的最大值M ,根据奇函数图象关于原点对称的性质,∴()g x 的最小值为M -, 又()max max 22g x y M =+=+,()min min 22g x y M =+=-, ∴max min 224y y M M +=++-=, 故答案为:4.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题,求出()2sin 1xg x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键,属于中档题.三、解答题21.(1)1a =-(2)2m ≥- 【解析】 【分析】(1)根据奇函数性质()()f x f x -=-和对数的运算性质即可解得; (2)根据对数函数的单调性即可求出. 【详解】解:(1)∵函数()f x 的图象关于原点对称, ∴函数()f x 为奇函数, ∴()()f x f x -=-, 即111333222log log log 222ax ax xx x ax ----=-=+--, 2222ax x x ax ---∴=+-,即222414a x x -=-解得:1a =-或1a =, 当1a =时,()11332()log log 21x f x x -==--,不合题意; 故1a =-;(2)111133332()log (2)log log (2)log (2)2xf x x x x x ++-=+-=+-, ∵函数13log (2)y x =+为减函数,∴当7x >时,1133log (2)log (27)2x +<+=-,∵(7,)x ∈+∞时,13()log (2)f x x m +-<恒成立,∴2m ≥-. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性,函数恒成立的问题,属于中档题.22.(1)()f x 为奇函数;(2)()f x 在(),0-∞上单调递减,证明见解析;(3)[)4,1--. 【解析】 【分析】(1)令1y =-,代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性;(2)先证明当0x >时,()0f x >,再利用已知和单调函数的定义,证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性,根据函数的奇偶性,即可得到函数()f x 在(),0-∞上的单调性;(3)先利用赋值法求得()3f -=再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解:(1)令1y =-,则()()()1f x f x f -=-. ∵()11f -=-,∴()()f x f x -=- ∴函数()f x 为奇函数;(2)函数()f x 在(),0-∞上单调递减. 证明如下:由函数()f x 为奇函数得()()111f f =--=当()0,1x ∈时,11x>,()10,1f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()111f x f x =>⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当0x >时,()0f x >, 设120x x <<,则211x x >,∴2101x f x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭, 于是()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.∵函数()f x 为奇函数,∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减.(3)∵()1279f =,且()()()()327393f f f f ==⎡⎤⎣⎦,∴()3f = 又∵函数()f x 为奇函数,∴()3f -= ∵()1f a +≤()()13f a f +≤-,函数()f x 在(),0-∞上单调递减.又当0x ≥时,()0f x ≥.∴310a -≤+<,即41a -≤<-, 故a 的取值范围为[)4,1--. 【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用,函数奇偶性的定义和判断方法,函数单调性定义及其证明,利用函数的单调性解不等式的方法23.(Ⅰ)零点3个. (Ⅱ)10,100⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(I )当0m =时,由()20f x -=,结合分段函数解析式,求得函数的零点,由此判断出()2y f x =-的零点的个数.(II )令2()3()0f x f x -=,解得()0f x =(根据分段函数解析式可知()0f x >,故舍去.)或()3f x =.结合分段函数解析式,求得()3f x =的根,结合分段函数()f x 的分段点,求得m 的取值范围. 【详解】(Ⅰ)当0m =时,2,0,()lg 1,0.x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩„ 令()20y f x =-=,得()2f x =, 则|lg |12x +=或||22x =. 解|lg |12x +=,得10x =或110, 解||22x =,得1x =-或1x =(舍).所以当0m =时,函数()2y f x =-的零点为1-,110,10,共3个. (Ⅱ)令2()3()0f x f x -=,得()0f x =或()3f x =.由题易知()0f x >恒成立.所以()3f x =必须有3个实根,即|lg |13x +=和||23x =共有3个根. ①解||23x =,得2log 3x =-或2log 31x =>(舍),故有1个根. ②解|lg |13x +=,得100x =或1100x =, 要使得两根都满足题意,则有1100m <. 又01m <„,所以10100m <„. 所以实数m 的取值范围为10,100⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查分段函数零点个数的判断,考查根据函数零点个数求参数的取值范围,属于中档题.24.(1)4,2a b ==(2)2log x =(3)()[]0,240g x ∈【解析】 【分析】(1)由()()211,2log 12f f ==解出即可(2)令()0f x =得421x x -=,即()22210x x --=,然后解出即可(3)()42xxg x =-,令2x t =,转化为二次函数【详解】(1)由已知得()()()()222221log 12log log 12f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩,即22212a b a b -=⎧⎨-=⎩, 解得4,2a b ==;(2)由(1)知()()2log 42xxf x =-,令()0f x =得421xx -=,即()22210xx --=,解得2x =,又120,22x x >∴=,解得21log 2x =; (3)由(1)知()42xxg x =-,令2x t =,则()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭,[]1,16t ∈, 因为()g t 在[]1,16t ∈上单调递增所以()[]0,240g x ∈,25.(1)2a =,1b =;(2)单调递减,见解析;(3)(,1)-∞- 【解析】 【分析】(1)根据(0)0f =得到1b =,根据(1)(1)f f -=-计算得到2a =,得到答案. (2)化简得到11()221x f x =++,12x x <,计算()()210f x f x -<,得到是减函数. (3)化简得到212kx x <-,参数分离212x k x -<,求函数212()xg x x -=的最小值得到答案. 【详解】(1)因为()f x 在定义域R 上是奇函数.所以(0)0f =,即102b a-+=+,所以1b =.又由(1)(1)f f -=-,即111214a a-+-=++, 所以2a =,检验知,当2a =,1b =时,原函数是奇函数.(2)()f x 在R 上单调递减.证明:由(1)知11211()22221xx xf x +-==+++, 任取12,x x R ∈,设12x x <,则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++, 因为函数2xy =在R 上是增函数,且12x x <,所以12220x x -<,又()()1221210x x ++>,所以()()210f x f x -<,即()()21f x f x <, 所以函数()f x 在R 上单调递减.(3)因为()f x 是奇函数,从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)(12)f kx f x f x >--=-,因为()f x 在R 上是减函数,由上式推得212kx x <-,即对一切1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有212x k x -<恒成立,设221211()2()x g x x x x -==-⋅, 令1t x =,1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦则有2()2h t t t =-,1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,所以min min ()()(1)1g x h t h ===-, 所以1k <-,即k 的取值范围为(,1)-∞-. 【点睛】本题考查了函数解析式,单调性,恒成立问题,将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.26.()221,022144,2424,4t t f t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩【解析】 【分析】分02t <≤、24t <≤和4t >三种情况讨论,当02t <≤时,直线x t =左边为直角边长为t 的等腰直角三角形;当24t <≤时,由AOB ∆的面积减去直角边长为4t -的等腰直角三角形面积得出()f t ;当4t >时,直线x t =左边为AOB ∆.综合可得出函数()y f t =的解析式. 【详解】等腰直角三角形OAB ∆中,ABO 90∠=o,且直角边长为4OA =,当02t <≤时,设直线x t =与OA 、OB 分别交于点C 、D ,则OC CD t ==,()212f t t∴=;当24t <≤时,设直线x t =与OA 、AB 分别交于点E 、F ,则4EF EA t ==-,()()221112222444222f t t t t ∴=⨯⨯--=-+-.当4t >时,()4f t =.综上所述,()221,022144,2424,4t t f t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩.【点睛】本题考查分段函数解析式的求解,解题时要注意对自变量的取值进行分类讨论,注意处理好各段的端点,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.。
2020年高一数学上期末一模试卷带答案
2020年高一数学上期末一模试卷带答案一、选择题1.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,∞+上是增函数,若对任意[)x 1,∞∈+,都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .[]2,0-B .(],8∞--C .[)2,∞+D .(],0∞- 2.设集合{}1|21x A x -=≥,{}3|log ,B y y x x A ==∈,则B A =ð( )A .()0,1B .[)0,1C .(]0,1D .[]0,13.已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且)的定义域和值域都是[0,1],则a=( ) A .12BC.2D .24.已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --<0成立,则实数a 的取值范围为( ) A .(-∞,2)B .13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .(-∞,2]D .13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车,酒精含量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车,80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL .如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车?( )(参考数据:lg 0.2≈﹣0.7,1g 0.3≈﹣0.5,1g 0.7≈﹣0.15,1g 0.8≈﹣0.1) A .1B .3C .5D .76.函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为( ) A .(),1-∞ B .()2,+∞ C .(),0-∞D .()1,+∞7.已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩0x x >≤,则()()3y f f x =-的零点个数为( )A .3B .4C .5D .68.已知函数()y f x =是偶函数,(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数,则( ) A .(1)(2)(0)f f f -<< B .(1)(0)(2)f f f -<< C .(0)(1)(2)f f f <-<D .(2)(1)(0)f f f <-<9.已知()y f x =是以π为周期的偶函数,且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()1sin f x x =-,则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x =( ) A .1sin x +B .1sin x -C .1sin x --D .1sin x -+10.若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈,则f (log 43)=( ) A .13B .14C .3D .411.曲线241(22)y x x =-+-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是( ) A .53(,]124B .5(,)12+∞ C .13(,)34D .53(,)(,)124-∞⋃+∞ 12.函数f (x )是定义在R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数且f (2)=0,则使f (x )<0的x 的取值范围( ) A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-2,2)二、填空题13.若155325a b c ===,则111a b c+-=__________. 14.已知()f x 是定义域为R 的单调函数,且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦,则52(log )f =__________.15.通过研究函数()4221021=-+-f x x x x 在x ∈R 内的零点个数,进一步研究得函数()221021=+--n g x x x x (3n >,n N ∈且n 为奇数)在x ∈R 内零点有__________个16.()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+,若(0,3)x ∈时,()lg f x x x =+,则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________. 17.若函数cos ()2||x f x x x =++,则11(lg 2)lg (lg 5)lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 18.若函数()121xf x a =++是奇函数,则实数a 的值是_________. 19.设是两个非空集合,定义运算.已知,,则________.20.定义在R 上的奇函数()f x ,满足0x >时,()()1f x x x =-,则当0x ≤时,()f x =______. 三、解答题21.已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数,且当(),0x ∈-∞时,()11xf x x+=-. ()1求函数()f x 在R 上的解析式;()2判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.22.已知函数2()()21xx a f x a R -=∈+是奇函数.(1)求实数a 的值;(2)用定义法证明函数()f x 在R 上是减函数;(3)若对于任意实数t ,不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立,求实数k 的取值范围.23.已知函数()x xk f x a ka -=+,(k Z ∈,0a >且1a ≠).(1)若1132f ⎛⎫=⎪⎝⎭,求1(2)f 的值; (2)若()k f x 为定义在R 上的奇函数,且01a <<,是否存在实数λ,使得(cos 2)(2sin 5)0k k f x f x λ+->对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立若存在,请写出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.24.为保障城市蔬菜供应,某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入2万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜.根据以往的经验,发现种西红柿的年收入()f x 、种黄瓜的年收入()g x 与大棚投入x 分别满足()8f x =+1()124g x x =+.设甲大棚的投入为a ,每年两个大棚的总收入为()F a .(投入与收入的单位均为万元)(Ⅰ)求(8)F 的值.(Ⅱ)试问:如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使年总收人()F a 最大?并求最大年总收入.25.已知函数()log (1)2a f x x =-+(0a >,且1a ≠),过点(3,3). (1)求实数a 的值;(2)解关于x 的不等式()()123122xx f f +-<-.26.已知函数()xf x a =(0a >,且1a ≠),且(5)8(2)f f =. (1)若(23)(2)f m f m -<+,求实数m 的取值范围; (2)若方程|()1|f x t -=有两个解,求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质,可知函数在(],0-∞上是减函数,根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立,可得:21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立,可得a 的范围. 【详解】()f x Q 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时,取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项:A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题,关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系,得到关于自变量的不等式.2.B解析:B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求B A ð得解. 【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥,{}|0B y y =≥.所以{|01}B A x x =≤<ð. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算,考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.A【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0,1],可得f(x)为增函数,但在[0,1]上为减函数,得0<a<1,把x=1代入即可求出a 的值.【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0,1],可得f(x)为增函数, 但在[0,1]上为减函数,∴0<a<1,当x=1时,1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a , 故选A .本题考查了函数的值与及定义域的求法,属于基础题,关键是先判断出函数的单调性. 点评:做此题时要仔细观察、分析,分析出(0)=0f ,这样避免了讨论.不然的话,需要讨论函数的单调性.4.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析:由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点:分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠,都有()()12120f x f x x x -<-成立,得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.解析:C 【解析】 【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律,再根据能驾车的要求,列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】因为1小时后血液中酒精含量为(1-30%)mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为(1-30%)x mg /mL 的,由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车, 所以()3002%1.x-<,0.70.2x <,两边取对数得,lg 0.7lg 0.2x < ,lg 0.214lg 0.73x >= ,所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选:C 【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法,还考查了转化化归的思想及运算求解的能力,属于基础题.6.C解析:C 【解析】 【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域,然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->,解得0x <或2x >,函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U . 内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数,在区间()2,+∞上为增函数, 外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数,由复合函数同增异减法可知,函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞. 故选:C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解,解题时应先求出函数的定义域,考查计算能力,属于中等题.7.C解析:C 【解析】 【分析】 由题意,函数()()3y ff x =-的零点个数,即方程()()3f f x =的实数根个数,设()t f x =,则()3f t =,作出()f x 的图象,结合图象可知,方程()3f t =有三个实根,进而可得答案. 【详解】 由题意,函数()()3y ff x =-的零点个数,即方程()()3f f x =的实数根个数,设()t f x =,则()3f t =,作出()f x 的图象,如图所示,结合图象可知,方程()3f t =有三个实根11t =-,214t =,34t =, 则()1f x =- 有一个解,()14f x =有一个解,()4f x =有三个解, 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,其中解答中合理利用换元法,结合图象,求得方程()3f t =的根,进而求得方程的零点个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及数形结合思想的应用.8.C解析:C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数,转化出()y f x =的一个单调区间,再结合偶函数关于y 轴对称得[]02,上的单调性,结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数,令2t x =-,则[]20t ,∈-,即()f t 在[]20-,上是减函数()y f x ∴=在[]20-,上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数,()y f x ∴=在[]02,上是增函数()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用,先求出函数的单调区间,然后结合奇偶性进行判定大小,较为基础.9.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期,所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()3πf x f x =-, 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数,所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-,故选B.10.C解析:C 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式,化简得结果. 【详解】f (log 43)=log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值,考查基本求解能力,属基础题.11.A解析:A 【解析】试题分析:1(22)y x =-≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分,直线24y kx k =-+过定点()2,4,直线与半圆相切时斜率512k =,过点()2,1-时斜率34k =,结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点:1.直线与圆的位置关系;2.数形结合法12.D解析:D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质,求出函数()0f x <在(-∞,0]上的解集,再根据对称性即可得出答案. 【详解】由函数()f x 为偶函数,所以()()220f f -==,又因为函数()f x 在(-∞,0]是减函数,所以函数()0f x <在(-∞,0]上的解集为(]2,0-,由偶函数的性质图像关于y 轴对称,可得在(0,+ ∞)上()0f x <的解集为(0,2),综上可得,()0f x <的解集为(-2,2). 故选:D. 【点睛】本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.二、填空题13.1【解析】故答案为解析:1 【解析】155325a b c ===因为,1553log 25,log 25,log 25a b c ∴===,252525111log 15log 5log 3a b c∴+-=+-25log 251==,故答案为1. 14.【解析】【分析】由已知可得=a 恒成立且f (a )=求出a =1后将x =log25代入可得答案【详解】∵函数f (x )是R 上的单调函数且对任意实数x 都有f =∴=a 恒成立且f (a )=即f (x )=﹣+af (a )解析:23 【解析】 【分析】由已知可得()221x f x ++=a 恒成立,且f (a )=13,求出a =1后,将x =log 25代入可得答案. 【详解】∵函数f (x )是R 上的单调函数,且对任意实数x ,都有f[()221x f x ++]=13,∴()221x f x ++=a 恒成立,且f (a )=13,即f (x )=﹣x 221++a ,f (a )=﹣x 221++a =13, 解得:a =1,∴f (x )=﹣x 221++1, ∴f (log 25)=23, 故答案为:23. 【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题,正确理解对任意实数x ,都有()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立是解答的关键,属于中档题.15.3【解析】【分析】令(为奇数)作出两个函数的图象后可判断零点的个数【详解】由题意令则零点的个数就是图象交点的个数如图所示:由图象可知与的图象在第一象限有一个交点在第三象限有一个交点因为当为正奇数时的解析:3 【解析】 【分析】令()2n s x x =(n 为奇数,3n >),()21021h x x x =-++,作出()s x 、()h x 两个函数的图象后可判断()g x 零点的个数. 【详解】由题意,令()*2,,5n s x x n N n =∈≥,()21021h x x x =-++,则()()()g x s x h x =-,()g x 零点的个数就是()(),s x h x 图象交点的个数,如图所示:由图象可知,()s x 与()h x 的图象在第一象限有一个交点,在第三象限有一个交点, 因为当n 为正奇数时()2ns x x =的变化速度远大于()h x 的变化速度,故在第三象限内,()s x 、()h x 的图象还有一个交点,故()(),s x h x 图象交点的个数为3,所以()g x 零点的个数为3. 故答案为:3. 【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定,其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想的应用,属于中档试题.16.【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题 解析:()6lg(6)f x x x =---+【解析】 【分析】首先根据题意得到(6)()f x f x +=-,再设(6,3)x ∈--,代入解析式即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+,所以[3(3)][3(3)]f x f x ++=-+,即(6)()()f x f x f x +=-=-. 设(6,3)x ∈--,所以6(0,3)x +∈.(6)6lg(6)()f x x x f x +=+++=-,所以()6lg(6)f x x x =---+. 故答案为:()6lg(6)f x x x =---+ 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题,同时考查了学生的转化能力,属于中档题.17.10【解析】【分析】由得由此即可得到本题答案【详解】由得所以则所以故答案为:10【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值解析:10 【解析】 【分析】 由cos ()2||xf x x x=++,得()()42||f x f x x +-=+,由此即可得到本题答案. 【详解】 由cos ()2||xf x x x =++,得cos()cos ()2||2||x x f x x x x x--=+-+=+--,所以()()42||f x f x x +-=+,则(lg 2)(lg 2)42|lg 2|42lg 2f f +-=+=+,(lg5)(lg5)42|lg5|42lg5f f +-=+=+,所以,11(lg 2)lg (lg 5)lg 42lg 242lg 51025f f f f ⎛⎫⎛⎫+++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:10 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值.18.【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为:【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键解析:12- 【解析】 【分析】由函数()f x 是奇函数,得到()010021f a =+=+,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,函数()121x f x a =++是奇函数,所以()010021f a =+=+,解得12a =-, 当12a =-时,函数()11212xf x =-+满足()()f x f x -=-, 所以12a =-. 故答案为:12-.【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题,其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.19.01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得:A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A ∪B=x|x≥0A∩B= 解析:【解析】 【分析】分别确定集合A ,B ,然后求解即可.【详解】 求解函数的定义域可得:,求解函数的值域可得,则,结合新定义的运算可知:,表示为区间形式即.【点睛】本题主要考查集合的表示及其应用,新定义知识的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解:根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得:当时;故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析:()1x x +【解析】 【分析】由奇函数的性质得()00f =,设0x <,则0x ->,由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+,综合2种情况即可得答案.【详解】解:根据题意,()f x 为定义在R 上的奇函数,则()00f =, 设0x <,则0x ->,则()()()1f x x x -=-+, 又由函数为奇函数,则()()()1f x f x x x =--=+, 综合可得:当0x ≤时,()()1f x x x =+; 故答案为()1x x + 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用,注意()00f =,属于基础题.三、解答题21.(1)()1,010,01,01xx x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩(2)函数()f x 在()0,+∞上为增函数,详见解析【解析】 【分析】()1根据题意,由奇函数的性质可得()00f =,设0x >,则0x -<,结合函数的奇偶性与奇偶性分析可得()f x 在()0,+∞上的解析式,综合可得答案; ()2根据题意,设120x x <<,由作差法分析可得答案.【详解】解:()1根据题意,()f x 为定义在R 上的函数()f x 是奇函数,则()00f =,设0x >,则0x -<,则()11xf x x--=+, 又由()f x 为R 上的奇函数,则()()11xf x f x x-=-=-+, 则()1,010,01,01xx x f x x x x x+⎧<⎪-⎪==⎨⎪-⎪->+⎩;()2函数()f x 在()0,+∞上为增函数;证明:根据题意,设120x x <<,则()()()()()1212211212211221111111111x x x x x x f x f x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-----=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭, 又由120x x <<,则()120x x -<,且()110x +>,()210x +>; 则()()120f x f x ->,即函数()f x 在()0,+∞上为增函数. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用,涉及掌握函数奇偶性、单调性的定义. 22.(1) 1a =;(2)证明见解析;(3) 13k k ≥≤-或 【解析】 【分析】(1)根据函数是奇函数,由(0)0f =,可得a 的值; (2)用定义法进行证明,可得函数()f x 在R 上是减函数;(3)根据函数的单调性与奇偶性的性质,将不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤进行化简求值,可得k 的范围. 【详解】解:(1)由函数2()()21xx a f x a R -=∈+是奇函数,可得:(0)0f =,即:1(0)02a f -==,1a =; (2)由(1)得:12()21xx f x -=+,任取12x x R ∈,且12x x <,则122112121212122(22)()()=2121(21)(21)xx x x x x x x f x f x -----=++++,Q 12x x <,∴21220x x ->,即:2112122(22)()()=(21)(201)x x x x f x f x --++>, 12()()f x f x >,即()f x 在R 上是减函数;(3)Q ()f x 是奇函数,∴不等式()2(1)0f t kt f t -+-≤恒成立等价为()2(1)(1)f t kt f t f t -≤--=-恒成立,Q ()f x 在R 上是减函数,∴21t kt t -≥-,2(1)10t k t -++≥恒成立,设2()(1)1g t t k t =-++,可得当0∆≤时,()0g t ≥恒成立, 可得2(1)40k +-≥,解得13k k ≥≤-或, 故k 的取值范围为:13k k ≥≤-或. 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断与证明及函数恒成立问题,体现了等价转化的数学思想,属于中档题.23.(1)47;(2)存在,3λ< 【解析】 【分析】(1)由指数幂的运算求解即可.(2)由函数()k f x 的性质可将问题转化为cos252sin x x λ<-对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,分离变量后利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】解:(1)由已知11221132f a a -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 21112229a a a a --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭,17a a -∴+=, ()2122249a aa a --∴+=++=,2247a a -∴+=,即221(2)47f a a -=+=.(2)若()k f x 为定义在R 上的奇函数, 则(0)10k f k =+=,解得1k =-,01a <<Q ,()x xk f x a a -∴=-,在R 上为减函数,则(cos 2)(2sin 5)0k k f x f x λ+->,可化为(cos 2)(2sin 5)(52sin )k k k f x f x f x λλ>--=-, 即cos252sin x x λ<-对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,即25cos 22sin 42sin 2sin 2sin sin x x x x x xλ-+<==+,对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立, 令sin ,t x =[0,1]t ∈,则2y t t=+为减函数, 当1t =时,y 取最小值为3, 所以3λ<. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,重点考查了均值不等式,属中档题.24.(Ⅰ)39万元(Ⅱ)甲大棚投入18万元,乙大棚投入2万元时,最大年总收入为44.5万元. 【解析】 【分析】(I )根据题意求得()F a 的表达式,由此求得()8F 的值.(II )求得()F a 的定义域,利用换元法,结合二次函数的性质,求得()F a 的最大值,以及甲、乙两个大棚的投入. 【详解】(Ⅰ)由题意知11()8(20)122544F a a a =+-+=-+,所以1(8)825394F =-⨯+=(万元). (Ⅱ)依题意得2,218202a a a ⎧⇒⎨-⎩…剟….故1()25(218)4F a a a =-+剟.令t =t ∈,2211()25(5744G t t t =-++=--+,显然在上()G t 单调递增,所以当t =18a =时,()F a 取得最大值,max ()44.5F a =.所以当甲大棚投入18万元,乙大棚投入2万元时,年总收入最大,且最大年总收入为44.5万元. 【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用,考查含有根式的函数的最值的求法,属于中档题.25.(1)2(2){}2log 5x|2<x < 【解析】 【分析】(1)将点(3,3)代入函数计算得到答案.(2)根据函数的单调性和定义域得到1123122x x +<-<-,解得答案. 【详解】(1)()()3log 3123,log 21,2a a f a =-+=∴=∴=∴ ()()2log 12f x x =-+. (2)()()2log 12f x x =-+Q 的定义域为{}|1x x >,并在其定义域内单调递增, ∴()()1123122,123122xx xx f f ++-<-∴<-<-,不等式的解集为{}22<log 5x x <.【点睛】本题考查了函数解析式,利用函数单调性解不等式,意在考查学生对于函数知识的综合应用.26.(1)(,5)-∞;(2)()0,1. 【解析】 【分析】 (1)由(5)8(2)f f =求得a 的值,再利用指数函数的单调性解不等式,即可得答案; (2)作出函数|()1|y f x =-与y t =的图象,利用两个图象有两个交点,可得实数t 的取值范围. 【详解】 (1)∵(5)8(2)f f = ∴5328a a a==则2a = 即()2x f x =,则函数()f x 是增函数由(23)(2)f m f m -<+,得232m m -<+ 得5m <,即实数m 的取值范围是(,5)-∞.(2)()2x f x =,由题知21xy =-图象与y t =图象有两个不同交点, 由图知:(0,1)t ∈【点睛】本题考查指数函数的解析式求解、单调性应用、图象交点问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力.。
2020年高一数学上期末一模试题带答案
2020年高一数学上期末一模试题带答案一、选择题1.设a b c ,,均为正数,且122log aa =,121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭.则( ) A .a b c << B .c b a << C .c a b << D .b a c <<2.设6log 3a =,lg5b =,14log 7c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A .a b c <<B .a b c >>C .b a c >>D .c a b >>3.已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --<0成立,则实数a 的取值范围为( ) A .(-∞,2)B .13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .(-∞,2]D .13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭4.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“⊕”如下:当a b ≥时,a b a ⊕=;当a b <时,2a b b ⊕=,已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-,则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是( )A .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5.已知函数2()2log x f x x =+,2()2log x g x x -=+,2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ,b ,c ,则a ,b ,c 的大小关系为( ). A .b a c << B .c b a << C .c a b <<D .a b c <<6.已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称,且当01x ≤≤时,3()f x x =,则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .278-B .18-C .18 D .2787.设函数()f x 的定义域为R ,满足(1) 2 ()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞,都有8()9f x ≥-,则m 的取值范围是 A .9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8.若x 0=cosx 0,则( )A .x 0∈(3π,2π) B .x 0∈(4π,3π) C .x 0∈(6π,4π) D .x 0∈(0,6π) 9.已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=,若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x (1,2,3,2022i =L ),则1232022x x x x ++++=L ( ) A .1010 B .2020 C .1011 D .202210.函数ln x y x=的图象大致是( )A .B .C .D .11.函数21y x x =-+的定义域是( ) A .(-1,2]B .[-1,2]C .(-1 ,2)D .[-1,2)12.下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为( ) A .1ln||y x = B .3y x = C .||2x y =D .cos y x =二、填空题13.若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2a,则a 的值为____________.14.如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数,且图像不经过原点,则实数m =___________.15.()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+,若(0,3)x ∈时,()lg f x x x =+,则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________. 16.求值: 233125128100log lg += ________ 17.设,,x y z R +∈,满足236x y z ==,则112x z y+-的最小值为__________. 18.已知函数()f x 满足:()()1f x f x +=-,当11x -<≤时,()x f x e =,则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 19.已知函数222y x x -=+,[]1,x m ∈-.若该函数的值域为[]1,10,则m =________.20.已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩,其中0a >且1a ≠,若()f x 的值域为[)3,+∞,则实数a 的取值范围是______.三、解答题21.已知函数2()ln(3)f x x ax =-+.(1)若()f x 在(,1]-∞上单调递减,求实数a 的取值范围; (2)当3a =时,解不等式()x f e x ≥.22.已知函数()221f x x ax =-+满足()()2f x f x =-.(1)求a 的值; (2)若不等式()24x xf m ≥对任意的[)1,x ∈+∞恒成立,求实数m 的取值范围;(3)若函数()()()22log log 1g x f x k x =--有4个零点,求实数k 的取值范围. 23.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+,()20201f =,且当1x >时,()0f x >. (1)求()1f ;(2)求证:()f x 在定义域内单调递增; (3)求解不等式12f<. 24.随着我国经济的飞速发展,人们的生活水平也同步上升,许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明,人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查,调查显示两种产品投资收益如下: ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比; ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益,分别是0.2万元和0.4万元.(1)分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式; (2)假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财,你该如何分配资金,才能让你的收益最大?最大收益是多少?25.已知函数()log (1)2a f x x =-+(0a >,且1a ≠),过点(3,3). (1)求实数a 的值;(2)解关于x 的不等式()()123122xx f f +-<-.26.某地区今年1月,2月,3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型2y ax bx c =++,乙选择了模型•xy p q r =+,其中y 为患病人数,x 为月份数,a b c p q r ,,,,,都是常数.结果4月,5月,6月份的患病人数分别为66,82,115,你认为谁选择的模型较好?【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】试题分析:在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2log y x =,12log y x =的图象,2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ,从图象可以看出.考点:指数函数、对数函数图象和性质的应用.【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型,就要考虑用数形结合求解,在同一坐标系中画出两函数图象的交点,函数图象的交点的横坐标即为方程的解.2.A解析:A 【解析】 【分析】构造函数()log 2x xf x =,利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-,则()f x 在()1,+∞上是增函数, 又()6a f =,()10b f =,()14c f =,故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较,考查对数函数的单调性,考查构造函数法,属于中档题.3.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析:由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点:分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠,都有()()12120f x f x x x -<-成立,得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.4.C解析:C 【解析】当21x -≤≤时,()1224f x x x =⋅-⨯=-; 当12x <≤时,()23224f x x x x =⋅-⨯=-;所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩,易知,()4f x x =-在[]2,1-单调递增,()34f x x =-在(]1,2单调递增,且21x -≤≤时,()max 3f x =-,12x <≤时,()min 3f x =-,则()f x 在[]22-,上单调递增, 所以()()13f m f m +≤得:21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩,解得1223m ≤≤,故选C .点睛:新定义的题关键是读懂题意,根据条件,得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩,通过单调性分析,得到()f x 在[]22-,上单调递增,解不等式()()13f m f m +≤,要符合定义域和单调性的双重要求,则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩,解得答案.5.D解析:D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+,2()2log x x g x -=+,2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-,2x y -=-,2x y -=的交点,再通过数形结合得到a ,b ,c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=,则2log 2x x =-.令12()2log 0xg x x -=-=,则2log 2x x -=-.令2()2log 10x x h x =-=,则22log 1x x =,21log 22xx x -==. 所以函数2()2log x x f x =+,2()2log x x g x -=+,2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-,2x y -=-,2x y -=的交点,如图所示,可知01a b <<<,1c >, ∴a b c <<.故选:D . 【点睛】本题主要考查函数的零点问题,考查对数函数和指数函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.B解析:B 【解析】 【分析】利用题意得到,()()f x f x -=-和2421D kx k =+,再利用换元法得到()()4f x f x =+,进而得到()f x 的周期,最后利用赋值法得到1322f f 骣骣琪琪=琪琪桫桫18=,331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,最后利用周期性求解即可.【详解】()f x 为定义域R 的奇函数,得到()()f x f x -=-①;又由()f x 的图像关于直线1x =对称,得到2421D kx k =+②; 在②式中,用1x -替代x 得到()()2f x f x -=,又由②得()()22f x f x -=--; 再利用①式,()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式,用4x +替代x 得到()()4f x f x =+,则()f x 是周期为4的周期函数;当01x ≤≤时,3()f x x =,得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=,331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由于()f x 是周期为4的周期函数,331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭, 答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性,单调性和周期性,以及考查函数的赋值求解问题,属于中档题7.B解析:B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题,考查函数平移伸缩,恒成立问题,需准确求出函数每一段解析式,分析出临界点位置,精准运算得到解决. 【详解】(0,1]x ∈Q 时,()=(1)f x x x -,(+1)= ()f x 2f x ,()2(1)f x f x ∴=-,即()f x 右移1个单位,图像变为原来的2倍.如图所示:当23x <≤时,()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---,令84(2)(3)9x x --=-,整理得:2945560x x -+=,1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==(舍),(,]x m ∴∈-∞时,8()9f x ≥-成立,即73m ≤,7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦,故选B .【点睛】易错警示:图像解析式求解过程容易求反,画错示意图,画成向左侧扩大到2倍,导致题目出错,需加深对抽象函数表达式的理解,平时应加强这方面练习,提高抽象概括、数学建模能力.8.C解析:C 【解析】 【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点,构造函数()cos f x x x =-,利用零点存在性定理,判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示,由图可知,两个函数图像只有一个交点,构造函数()cos f x x x =-,30.5230.8660.343066f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭,20.7850.7070.078044f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭,根据零点存在性定理可知,()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选:C【点睛】本小题主要考查方程的根,函数的零点问题的求解,考查零点存在性定理的运用,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.9.C解析:C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ,()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称, ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称, ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x (1,2,3,2022i =L ), 有1011组关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选:C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和,重点考查函数的对称性,属于中档题型.10.C解析:C 【解析】 分析:讨论函数ln x y x=性质,即可得到正确答案.详解:函数ln x y x=的定义域为{|0}x x ≠ ,ln ln x x f x f x xxx--==-=-Q ()(), ∴排除B , 当0x >时,2ln ln 1-ln ,,x x xy y xx x ===' 函数在()0,e 上单调递增,在(),e +∞上单调递减, 故排除A,D , 故选C .点睛:本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用.11.A解析:A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可. 【详解】由题意得:2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得:﹣1<x≤2,故函数的定义域是(﹣1,2],故选A .【点睛】本题考查了求函数的定义域问题,考查二次根式的性质,是一道基础题.常见的求定义域的类型有:对数,要求真数大于0即可;偶次根式,要求被开方数大于等于0;分式,要求分母不等于0,零次幂,要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.12.A解析:A【解析】本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln ||y x =,||2x y =,cos y x =是偶函数,3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数,单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈0x >时,||2x y =变形为2x y =,由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增0x >时,1ln||y x =变形为1ln y x =,可看成1ln ,y t t x ==的复合,易知ln (0)y t t =>为增函数,1(0)t x x=>为减函数,所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数 故选择A 二、填空题13.或【解析】【分析】【详解】若∴函数在区间上单调递减所以由题意得又故若∴函数在区间上单调递增所以由题意得又故答案:或 解析:12或32【解析】【分析】【详解】 若01a <<,∴函数()xf x a =在区间[1,2]上单调递减,所以2max min (),()f x a f x a ==,由题意得22a a a -=,又01a <<,故12a =.若1a >,∴函数()x f x a =在区间[1,2]上单调递增,所以2max min (),()f x a f x a ==,由题意得22a a a -=,又1a >,故32a =.答案:12或3214.3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当时其图象不过原点符合题意;当时其图象经过原点不合题意综上所述:故 解析:3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得3m =,或6m =,然后代入解析式,看指数的符号,负号就符合,正号就不符合.【详解】因为函数()22279919m m y m m x --=-+是幂函数, 所以29191m m -+=,即29180m m -+=,所以(3)(6)0m m --=,所以3m =或6m =-,当3m =时,12()f x x -=,其图象不过原点,符合题意; 当5m =时,21()f x x =,其图象经过原点,不合题意.综上所述:3m =.故答案为:3【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质,属于基础题.15.【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题解析:()6lg(6)f x x x =---+【解析】【分析】首先根据题意得到(6)()f x f x +=-,再设(6,3)x ∈--,代入解析式即可.【详解】因为()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+,所以[3(3)][3(3)]f x f x ++=-+,即(6)()()f x f x f x +=-=-.设(6,3)x ∈--,所以6(0,3)x +∈.(6)6lg(6)()f x x x f x +=+++=-,所以()6lg(6)f x x x =---+.故答案为:()6lg(6)f x x x =---+【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题,同时考查了学生的转化能力,属于中档题. 16.【解析】由题意结合对数指数的运算法则有: 解析:32- 【解析】由题意结合对数、指数的运算法则有:()2log 31532lg 3210022=-+-=-. 17.【解析】【分析】令将用表示转化为求关于函数的最值【详解】令则当且仅当时等号成立故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系以及对数换底公式注意基本不等式的应用属于中档题解析:【解析】【分析】令236x y z t ===,将,,x y z 用t 表示,转化为求关于t 函数的最值.【详解】,,x y z R +∈,令1236x y z t ==>=,则236log ,log ,log ,x t y t z t ===11log 3,log 6t t y z==,21122log log 2t x t z y+-=+≥当且仅当2x =时等号成立.故答案为:【点睛】本题考查指对数间的关系,以及对数换底公式,注意基本不等式的应用,属于中档题. 18.【解析】【分析】由已知条件得出是以2为周期的函数根据函数周期性化简再代入求值即可【详解】因为所以所以是以2为周期的函数因为当时所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系这类题目往往是奇【解析】【分析】由已知条件,得出()f x 是以2为周期的函数,根据函数周期性,化简92f ⎛⎫⎪⎝⎭,再代入求值即可.因为()()1f x f x +=-, 所以()()()21f x f x f x +=-+=,所以()f x 是以2为周期的函数,因为当11x -<≤时,()xf x e = ,所以129114222f f f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为.【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系,这类题目往往是奇偶性和周期性相结合一起运用. 19.4【解析】【分析】根据二次函数的单调性结合值域分析最值即可求解【详解】二次函数的图像的对称轴为函数在递减在递增且当时函数取得最小值1又因为当时所以当时且解得或(舍)故故答案为:4【点睛】此题考查二次 解析:4【解析】【分析】根据二次函数的单调性结合值域,分析最值即可求解.【详解】二次函数222y x x -=+的图像的对称轴为1x =,函数在(),1x ∈-∞递减,在[)1,x ∈+∞递增,且当1x =时,函数()f x 取得最小值1,又因为当1x =-时,5y =,所以当x m =时,10y =,且1m >-,解得4m =或2-(舍),故4m =.故答案为:4【点睛】此题考查二次函数值域问题,根据二次函数的值域求参数的取值. 20.【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质可得值域讨论两种情况即可得到所求a 的范围【详解】函数函数当时时时递减可得的值域为可得解得;当时时时递增可得则的值域为成立恒成立综上可得故答案为:【点 解析:()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】运用一次函数和指数函数的图象和性质,可得值域,讨论1a >,01a <<两种情况,即可得到所求a 的范围.函数函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩, 当01a <<时,2x ≤时,()53f x x =-≥,2x >时,()22x f x a a =++递减,可得()22222a f x a a +<<++, ()f x 的值域为[)3,+∞,可得223a +≥, 解得112a ≤<; 当1a >时,2x ≤时,()53f x x =-≥,2x >时,()22x f x a a =++递增,可得()2225f x a a >++>, 则()f x 的值域为[)3,+∞成立,1a >恒成立. 综上可得()1,11,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为:()1,11,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查函数方程的转化思想和函数的值域的问题解法,注意运用数形结合和分类讨论的思想方法,考查推理和运算能力,属于中档题. 三、解答题21.(1)24a ≤<;(2){0x x ≤或}ln3x ≥【解析】【分析】(1)根据复合函数单调性的性质,结合二次函数性质即可求得a 的取值范围.(2)将3a =代入函数解析式,结合不等式可变形为关于x e 的不等式,解不等式即可求解.【详解】(1)()f x Q 在(,1]-∞上单调递减,根据复合函数单调性的性质可知23y x ax =-+需单调递减则12130a a ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩解得24a ≤<.(2)将3a =代入函数解析式可得2()ln(33)f x x x =-+则由()x f e x ≥,代入可得()2ln 33x x e e x -+≥同取对数可得233x x x e e e -+≥即2(e )430x x e -+≥,所以()(e 1)30x x e --≥即e 1x ≤或3x e ≥ 0x ∴≤或ln x ≥3, 所以原不等式的解集为{}0ln 3x x x ≤≥或【点睛】本题考查了对数型复合函数单调性与二次函数单调性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法,属于中档题.22.(1)1;(2)1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦;(3)1k >-. 【解析】【分析】(1)由题得()f x 的图像关于1x =对称,所以1a =;(2)令2x t =,则原不等式可化为()2112m t t ⎛⎫≤-≥ ⎪⎝⎭恒成立,再求函数的最值得解;(3)令2log (0)t x t =≥,可得11t =或21t k =+,分析即得解.【详解】(1)∵()()2f x f x =-,∴()f x 的图像关于1x =对称,∴1a =.(2)令2(2)x t t =≥,则原不等式可化为()2112m t t ⎛⎫≤-≥ ⎪⎝⎭恒成立. ∴2min 1114m t ⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭,∴m 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. (3)令2log (0)t x t =≥,则()y g x =可化为()()()22111y t k t k t t k =-+++=---, 由()()110t t k ---=可得11t =或21t k =+,∵()y g x =有4个零点,121=|log |t x =有两个解,∴221=|log |t k x =+有两个零点,∴10,1k k +>∴>-.【点睛】本题主要考查二次函数的对称性的应用,考查不等式的恒成立问题和对数函数的零点问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23.(1)0;(2)证明见解析;(3)()()1,02019,2020x ∈-U【解析】【分析】(1)取1x y ==,代入即可求得()1f ;(2)任取210x x >>,可确定()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭,根据单调性定义得到结论; (3)利用12f =将所求不等式变为f f <,结合定义域和函数单调性可构造不等式组求得结果.【详解】 (1)取1x y ==,则()()()111f f f =+,解得:()10f =(2)任取210x x >>则()()()221111x f x f x f x f x x ⎛⎫-=⋅-= ⎪⎝⎭()()221111x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭210x x >>Q 211x x ∴> 210x f x ⎛⎫∴> ⎪⎝⎭,即()()210f x f x -> ()f x ∴在定义域内单调递增(3)()20201f f f =+=Q12f ∴=12f f ∴<=由(2)知()f x 为增函数220190x x ⎧->⎪∴< 解得:()()1,02019,2020x ∈-U【点睛】本题考查抽象函数单调性的证明、利用单调性求解函数不等式的问题;关键是能够通过单调性的定义证明得到函数单调性,进而根据函数单调性将函数值的比较转化为自变量的比较;易错点是忽略函数定义域的要求,造成求解错误.24.(1)()) 05f x x =≥,()()2 05g x x x =≥;(2) 当投资A 产品116万元,B 产品15916万元时,收益最大为16140. 【解析】【分析】(1)设出函数解析式,待定系数即可求得;(2)构造全部收益关于x 的函数,求函数的最大值即可.【详解】(1)由题可设:()f x k =,又其过点()1,0.2,解得:10.2k =同理可设:()2g x k x =,又其过点()1,0.4,解得:20.4k =故())0f x x =≥,()()2 05g x x x =≥ (2)设10万元中投资A 产品x ,投资B 产品10x -,故: 总收益()()10y f x g x =+-()2105x - 7a +t =,则t ⎡∈⎣,则: 221455y t t =-++ =2211615440t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ 故当且仅当14t =,即116x =时,取得最大值为16140. 综上所述,当投资A 产品116万元,B 产品15916万元时,收益最大为16140. 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、以及实际问题与函数的结合,属函数基础题.25.(1)2(2){}2log 5x|2<x <【解析】【分析】(1)将点(3,3)代入函数计算得到答案.(2)根据函数的单调性和定义域得到1123122x x +<-<-,解得答案.【详解】(1)()()3log 3123,log 21,2a a f a =-+=∴=∴=∴ ()()2log 12f x x =-+. (2)()()2log 12f x x =-+Q 的定义域为{}|1x x >,并在其定义域内单调递增, ∴()()1123122,123122x x x x f f ++-<-∴<-<-,不等式的解集为{}22<log 5x x <.【点睛】本题考查了函数解析式,利用函数单调性解不等式,意在考查学生对于函数知识的综合应用.26.乙选择的模型较好.【解析】【分析】由二次函数为2y ax bx c =++,利用待定系数法求出解析式,计算456x =、、时的函数值;再求出函数•x y p q r =+的解析式,计算456x =、、时的函数值,最后与真实值进行比较,可决定选择哪一个函数式好.【详解】依题意,得222•1?152•2?254•3?358a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩, 即5242549358a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解得1152a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴甲:2152y x x =-+,又123•52•54•58p q r p q r p q r ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩①②③, 2132••2••4p q p q p q p q --=--=①②,④②③,⑤, 2q ÷=⑤④,,将2q =代入④式,得1p =将21q p ==,代入①式,得50r =, ∴乙:2250x y =+计算当4x =时,126466y y ==,;当5x =时,127282y y ==,;当6x =时,1282114y y ==,.可见,乙选择的模型与实际数据接近,乙选择的模型较好.【点睛】本题考查了根据实际问题选择函数类型的应用问题,也考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题,意在考查灵活运用所学知识解决实际问题的能力,是中档题。
2020届山西省晋城市高三第一次模拟考试数学(理)试题(原卷版)
晋城市2020年高三第一次模拟考试试题数学(理科)考生注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择題)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|ln 1}A x x =<,{|12}B x x =-<<,则A B =I ( ) A. (0,)e B. (1,2)-C. (1,)e -D. (0,2)2.已知复数z =,则复数z 的共轭复数z =( )A.12i -B.12C.12i +D.12+ 3.已知tan 3α=,则2cos sin 2αα+=( )A.B.710C. D. 710-4.设,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,则3z x y =-的最小值为( )A. 0B. -4C. -8D. -65.甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则( )A. 甲得分的平均数比乙的大B. 乙的成绩更稳定C. 甲得分的中位数比乙的大D. 甲的成绩更稳定6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()ln f x a x a =+,若()4f e -=,则(0)(1)f f +=( ) A. -1B. 0C. -2D. 17.函数()ln cos sin x xf x x x⋅=+在[)(],00,ππ-⋂的图像大致为( )A. B.C. D.8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为( )A. 4B. 3C. 2D. 259.已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点,F 是抛物线C 的焦点,O 为坐标原点,若||2PF =,3PFO π∠=,则抛物线C 的方程为( )A. 26y x =B. 22y x =C. 2y x =D. 24y x =10.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,8AB =,6AD =,异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为15,则该长方体外接球的表面积为( )A. 98πB. 196πC. 784πD.13723π 11.双曲线()2210mx ny mn +=<的渐近线于圆()2259x y -+=相切,且该双曲线过点352,2P ⎛ ⎝⎭,则该双曲线的虚轴长为( ) A. 3 B. 4 C. 6D. 812.在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,ABC ∆的面积为S ,若222sin()SA C b c +=-,则1tan 2tan()C B C +-的最小值为( )A.2B. 2C. 1D. 22第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知向量(1,)a m =r ,2222b =-r ,若a b ⊥r r ,则m =__________.14.712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中,x 项的系数是__________.(用数字作答)15.若函数()sin cos f x x a x =-图像的一条对称轴方程为3x π=,则a =__________.16.若111ln 20x x y --+=,22242ln 20x y +--=,则221212()()x x y y -+-的最小值为__________,此时2x =_______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n kn k =++.(1)求{}n a 的通项公式; (2)若11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表:某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况,得到的部分数据如下表所示:(1)求新能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性相关系数r ,并判断y 与x 是否线性相关;(2)请将上述22⨯列联表补充完整,并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关;(3)若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例,从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人,记选到女性车主的人数为X ,求X 的数学期望与方差.参考公式:()()niix x y y r --=∑,22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++25≈,若0.9r >,则可判断y 与x 线性相关.附表:20()P K k ≥0.10 0.050.025 0.010 0.0010k2.7063.8415.0246.635 10.82819.如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,AB CD ∥,60BAD ∠=︒,1CD =,2AD =,4AB =,点G 在线段AB 上,3AG GB =,11AA =.(1)证明:1D G ∥平面11BB C C . (2)求二面角11A D G A --的余弦值.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距为c ,圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点,直线2y =与椭圆C 只有一个公共点. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ,且与椭圆C 分别交于,P Q 两点,试问:x 轴上是否存在定点R ,使得RP RQ ⋅u u u r u u u r为定值?若存在,求出该定值和点R 的坐标;若不存在,请说明理由.21.已知函数()f x 的定义域为R 且满足2()()f x f x x -+=,当0x ≥时,'()f x x <. (1)判断()f x 在(,0]-∞上的单调性并加以证明;(2)若方程()f x x =有实数根0x ,则称0x 为函数()f x 的一个不动点,设正数0x 为函数()(1)1x x g x xe a e x =+-++的一个不动点,且0001()(1)2f x f x x +≥-+,求a 的取值范围. 22.在直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos()23πρθ+=.(1)求C普通方程和l 的直角坐标方程;(2)直线l 与x 轴的交点为P ,经过点P 的直线m 与曲线C 交于,A B 两点,若||||PA PB +=m 的倾斜角.23.已知函数()|31||33|f x x x =-++. (1)求不等式()10f x ≥的解集;(2)正数,a b 满足2a b +=.。
2020年山西省晋城市高级中学高一数学理模拟试题含解析
2020年山西省晋城市高级中学高一数学理模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知<0,那么角是( ).(A)第一或第二象限角 (B)第二或第三象限角(C)第三或第四象限角 (D)第一或第四象限角参考答案:C2. 函数的图象为()参考答案:A3. 若不论取何实数,直线恒过一定点,则该定点的坐标为()A.B.C.D.参考答案:A略4. 角α的始边在x轴正半轴、终边过点P(3,4),则sinα的值为A. B. C.D.参考答案:D略5. 设点M是线段BC的中点,点A在BC外,,,则()A.2 B.4 C.8 D.1参考答案:A6.参考答案:D略7. 一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,则截面不可能的图形为( ).参考答案:D8. (5分)已知函数f(x)=,若方程f(x)+2a﹣1=0恰有4个实数根,则实数a的取值范围是()A.(﹣,0] B.[﹣,0] C.[1,)D.(1,]参考答案:A考点:根的存在性及根的个数判断.专题:函数的性质及应用.分析:作出函数的图象,方程f(x)+2a﹣1=0有4个不同的实根,转化为函数y=f(x)与函数y=1﹣2a的图象有4个不同的交点,结合图形即可得到答案.解答:由f(x)=,要使方程f(x)+2a﹣1=0有4个不同的实根,即函数y=f(x)与函数y=1﹣2a的图象有4个不同的交点,如图,由图可知,使函数y=f(x)与函数y=1﹣2a的图象有4个不同的交点的1﹣2a的范围是[1,2),∴实数a的取值范围是(﹣,0].故选A.点评:本题考查了根的存在性与根的个数的判断,考查了函数的零点与方程根的关系,考查了数学转化思想和数形结合的解题思想,是中档题.9. 已知,且,则的最小值为( )A. 3B. 5C. 7D. 9参考答案:C【分析】运用乘1法,可得由x+y=(x+1)+y﹣1=[(x+1)+y]?()﹣1,化简整理再由基本不等式即可得到最小值.【详解】由x+y=(x+1)+y﹣1=[(x+1)+y]?1﹣1=[(x+1)+y]?2()﹣1=2(2 1≥3+47.当且仅当x,y=4取得最小值7.故选:C.【点睛】本题考查基本不等式的运用:求最值,注意乘1法和满足的条件:一正二定三等,考查运算能力,属于中档题.10. 函数y=log2(x+2)的定义域是()A.(﹣∞,﹣2)B.(﹣∞,﹣2] C.(﹣2,+∞)D.[﹣2,+∞)参考答案:C【分析】根据对数函数的真数大于0,列出不等式求出解集即可.【解答】解:函数y=log2(x+2),∴x+2>0,解得x>﹣2,∴函数y的定义域是(﹣2,+∞).故选:C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f(x)=,则f(ln3)= .参考答案:e【考点】函数的值.【专题】函数的性质及应用.【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可得到结论.【解答】解:∵1<ln3<2,∴2<ln3+1<3,由分段函数的表达式可知,f(ln3)=f(1+ln3)=f(ln3e)=,故答案为:e.【点评】本题主要考查函数值的计算,利用分段函数的表达式直接代入即可,比较基础.12. 已知函数,则f(f(3))= .参考答案:3【考点】函数的值.【分析】由已知得f(3)=23=8,从而f(f(3))=f(8),由此能求出结果.【解答】解:∵函数,∴f(3)=23=8,f(f(3))=f(8)=log28=3.故答案为:3.【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.13. 已知函数的定义域为,则实数的取值范围是__________.参考答案:函数的定义域为,∴恒成立,当时,恒成立,满足题意;当时,,即,解得;综上,实数的取值范围是.故答案为:.14. 方程sinx=lgx的解的个数为.参考答案:3【考点】57:函数与方程的综合运用.【分析】此题关键在于画出函数的图象,特别要注意y=lgx过点(10,1)与y=sinx的最大值为1;结合图象易知答案.【解答】解:画出函数y=sinx和y=lgx的图象,结合图象易知这两个函数的图象有3交点.【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用,以及数形结合的思想,属于基础题.15. 设向量,,且,则x=______.参考答案:-3【分析】根据即可得出,进行数量积的坐标运算即可求出x.【详解】∵;∴;∴x=﹣3;故答案为:﹣3.【点睛】考查向量垂直的充要条件,以及向量数量积的坐标运算,属于基础题.16. 里氏震级M的计算公式为:,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大震幅,是相应的标准地震的震幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大震幅是1000,此时标准地震的震幅为0.001,则此次地震的震级为______________级;9级地震的最大震幅是5级地震最大震幅的______________倍.参考答案:6;10000略17. (5分)给出定义:若m﹣<x≤m+(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记作{x}=m.在此基础上给出下列关于函数f(x)=|x﹣{x}|的四个命题:①函数y=f(x)的定义域为R,值域为;②函数y=f(x)的图象关于直线x=(k∈Z)对称;③函数y=f(x)是偶函数;④函数y=f(x)在上是增函数.其中正确的命题的序号是.参考答案:①②③考点:命题的真假判断与应用.专题:函数的性质及应用.分析:本题为新定义问题,因为m为整数,故可取m为几个特殊的整数进行研究,进而得到函数的图象的草图,结合图象分析得到答案.解答:由题意x﹣{x}=x﹣m,f(x)=|x﹣{x}|=|x﹣m|,m=0时,﹣<x≤,f(x)=|x|,m=1时,1﹣<x≤1+,f(x)=|x﹣1|,m=2时,2﹣<x≤2+,f(x)=|x﹣2|,…画出函数的图象如图所示,由图象可知正确命题为①②③,故答案为:①②③点评:本题是新定义问题,考查函数的性质,可结合图象进行研究,体现数形结合思想.三、解答题:本大题共5小题,共72分。
2020年高中必修一数学上期末第一次模拟试卷(附答案)(1)
2020年高中必修一数学上期末第一次模拟试卷(附答案)(1)一、选择题1.已知函数()ln ln(2)f x x x =+-,则A .()f x 在(0,2)单调递增B .()f x 在(0,2)单调递减C .()y =f x 的图像关于直线x=1对称D .()y =f x 的图像关于点(1,0)对称2.已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称,当[0,)2x π∈时,()1cos f x x =-,则当5(,3]2x ππ∈时,()f x 的解析式为( ) A .()1sin f x x =-- B .()1sin f x x =- C .()1cos f x x =-- D .()1cos f x x =-3.已知函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --<0成立,则实数a 的取值范围为( ) A .(-∞,2)B .13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .(-∞,2]D .13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭4.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“⊕”如下:当a b ≥时,a b a ⊕=;当a b <时,2a b b ⊕=,已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-,则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是( )A .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5.设23a log =,b =23c e=,则a b c ,,的大小关系是( ) A .a b c <<B .b a c <<C .b c a <<D . a c b <<6.已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称,且当01x ≤≤时,3()f x x =,则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .278-B .18-C .18D .278 7.已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=,若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x (1,2,3,2022i =L ),则1232022x x x x ++++=L ( ) A .1010 B .2020 C .1011D .20228.已知函数()y f x =是偶函数,(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数,则( )A .(1)(2)(0)f f f -<<B .(1)(0)(2)f f f -<<C .(0)(1)(2)f f f <-<D .(2)(1)(0)f f f <-<9.已知函数()0.5log f x x =,则函数()22f x x -的单调减区间为( )A .(],1-∞B .[)1,+∞C .(]0,1D .[)1,210.定义在[]7,7-上的奇函数()f x ,当07x <≤时,()26xf x x =+-,则不等式()0f x >的解集为A .(]2,7B .()(]2,02,7-UC .()()2,02,-+∞UD .[)(]7,22,7--U11.曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是( ) A .53(,]124B .5(,)12+∞ C .13(,)34D .53(,)(,)124-∞⋃+∞ 12.函数f (x )是定义在R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数且f (2)=0,则使f (x )<0的x 的取值范围( ) A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-2,2)二、填空题13.已知函数()1352=++f x ax bx (a ,b 为常数),若()35f -=,则()3f 的值为______14.已知f (x )是定义域在R 上的偶函数,且f (x )在[0,+∞)上是减函数,如果f (m ﹣2)>f (2m ﹣3),那么实数m 的取值范围是_____. 15.函数()()4log 5f x x =-+________.16.函数{}()min 2f x x =-,其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>,若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点,则实数m 的取值范围是______________.17.0.11.1a =,12log 2b =,ln 2c =,则a ,b ,c 从小到大的关系是________. 18.2()2f x x x =+(0x ≥)的反函数1()f x -=________19.若存在实数(),m n m n <,使得[],x m n ∈时,函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ,其中0a >且1a ≠,则实数t 的取值范围是______.20.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数,则()()2f x f ≤的解集是________.三、解答题21.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32mg/m ,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为31.94mg/m .设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ,则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r ,可由函数模型()0.5001)*(5n p n r r r r p R n N +-∈⋅=-∈,给出,其中n 是指改良工艺的次数.(1)试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08mg/m ,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. (参考数据:取lg 20.3=)22.已知函数()212xxk f x -=+(x ∈R ) (1)若函数()f x 为奇函数,求实数k 的值;(2)在(1)的条件下,若不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立,求实数a的取值范围. 23.计算或化简:(1)112320412730.1log 321664π-⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2)6log 3332log 27log 2log 36lg 2lg 5-⋅---.24.攀枝花是一座资源富集的城市,矿产资源储量巨大,已发现矿种76种,探明储量39种,其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%,占全球的11%和35%,因此其素有“钒钛之都”的美称.攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料,由大数据测得该产品的性能指标值y (y 值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x (单位:克)的关系为:当0≤x <7时,y 是x 的二次函数;当x ≥7时,1()3x m y -=.测得部分数据如表:(1)求y 关于x 的函数关系式y =f (x );(2)求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳.25.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.(1)求a ,b 的值;(2)判断函数()f x 的单调性,并用定义证明;(3)当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()2(21)0f kx f x +->恒成立,求实数k 的取值范围.26.设全集为R ,集合A ={x |3≤x <7},B ={x |2<x <6},求∁R (A ∪B ),∁R (A ∩B ),(∁R A )∩B ,A ∪(∁R B ).【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】由题意知,(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=,所以()f x 的图象关于直线1x =对称,故C 正确,D 错误;又()ln[(2)]f x x x =-(02x <<),由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以A ,B 错误,故选C .【名师点睛】如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x +=-,那么函数的图象有对称轴2a bx +=;如果函数()f x ,x D ∀∈,满足x D ∀∈,恒有()()f a x f b x -=-+,那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+. 2.C解析:C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以()()0f x f x π++-=, 且()()f x f x -=-,所以()()f x f x π+=,故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数,所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+,即()1cos f x x =--,5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C【点睛】本题考查求函数的表达式,考查函数的图象与性质,涉及对称性与周期性,属于中档题.3.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析:由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点:分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠,都有()()12120f x f x x x -<-成立,得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.4.C解析:C 【解析】当21x -≤≤时,()1224f x x x =⋅-⨯=-; 当12x <≤时,()23224f x x x x =⋅-⨯=-;所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩, 易知,()4f x x =-在[]2,1-单调递增,()34f x x =-在(]1,2单调递增, 且21x -≤≤时,()max 3f x =-,12x <≤时,()min 3f x =-,则()f x 在[]22-,上单调递增, 所以()()13f m f m +≤得:21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩,解得1223m ≤≤,故选C .点睛:新定义的题关键是读懂题意,根据条件,得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩,通过单调性分析,得到()f x 在[]22-,上单调递增,解不等式()()13f m f m +≤,要符合定义域和单调性的双重要求,则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩,解得答案.5.A解析:A 【解析】 【分析】根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】 因为23a log =,3b=,23c e = 令()2f x log x =,()g x x =函数图像如下图所示:则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <3b =23c e = 则66327b ==,626443 2.753.1c e e ⎛⎫⎪==>≈ ⎪⎝⎭所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.6.B解析:B 【解析】 【分析】利用题意得到,()()f x f x -=-和2421D kx k =+,再利用换元法得到()()4f x f x =+,进而得到()f x 的周期,最后利用赋值法得到1322f f 骣骣琪琪=琪琪桫桫18=,331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数,得到()()f x f x -=-①;又由()f x 的图像关于直线1x =对称,得到2421D kx k =+②; 在②式中,用1x -替代x 得到()()2f x f x -=,又由②得()()22f x f x -=--; 再利用①式,()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式,用4x +替代x 得到()()4f x f x =+,则()f x 是周期为4的周期函数;当01x ≤≤时,3()f x x =,得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=,331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由于()f x 是周期为4的周期函数,331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭, 答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性,单调性和周期性,以及考查函数的赋值求解问题,属于中档题7.C解析:C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ,()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称, ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x (1,2,3,2022i =L ), 有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称,122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选:C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和,重点考查函数的对称性,属于中档题型.8.C解析:C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数,转化出()y f x =的一个单调区间,再结合偶函数关于y 轴对称得[]02,上的单调性,结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数,令2t x =-,则[]20t ,∈-,即()f t 在[]20-,上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-,上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数,()y f x ∴=在[]02,上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用,先求出函数的单调区间,然后结合奇偶性进行判定大小,较为基础.9.C解析:C 【解析】函数()0.5log f x x =为减函数,且0x >, 令2t 2x x =-,有t 0>,解得02x <<.又2t 2x x =-为开口向下的抛物线,对称轴为1x =,所以2t 2x x =-在(]0,1上单调递增,在[)1,2上单调递减,根据复合函数“同增异减”的原则函数()22f x x -的单调减区间为(]0,1.故选C.点睛:形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数,() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增,外层函数()y f x =单增时,函数()()y f g x =也单增; 当内层函数()y g x =单增,外层函数()y f x =单减时,函数()()y f g x =也单减; 当内层函数()y g x =单减,外层函数()y f x =单增时,函数()()y f g x =也单减; 当内层函数()y g x =单减,外层函数()y f x =单减时,函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.10.B解析:B 【解析】 【分析】当07x <≤时,()f x 为单调增函数,且(2)0f =,则()0f x >的解集为(]2,7,再结合()f x 为奇函数,所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃.【详解】当07x <≤时,()26xf x x =+-,所以()f x 在(0,7]上单调递增,因为2(2)2260f =+-=,所以当07x <≤时,()0f x >等价于()(2)f x f >,即27x <≤,因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数,所以70x -≤< 时,()f x 在[7,0)-上单调递增,且(2)(2)0f f -=-=,所以()0f x >等价于()(2)f x f >-,即20x -<<,所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃ 【点睛】本题考查函数的奇偶性,单调性及不等式的解法,属基础题.应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同,偶函数在其对称的区间上单调性相反.11.A解析:A 【解析】试题分析:1(22)y x =-≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分,直线24y kx k =-+过定点()2,4,直线与半圆相切时斜率512k =,过点()2,1-时斜率34k =,结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点:1.直线与圆的位置关系;2.数形结合法12.D解析:D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质,求出函数()0f x <在(-∞,0]上的解集,再根据对称性即可得出答案. 【详解】由函数()f x 为偶函数,所以()()220f f -==,又因为函数()f x 在(-∞,0]是减函数,所以函数()0f x <在(-∞,0]上的解集为(]2,0-,由偶函数的性质图像关于y 轴对称,可得在(0,+ ∞)上()0f x <的解集为(0,2),综上可得,()0f x <的解集为(-2,2). 故选:D. 【点睛】本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.二、填空题13.【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数(为常数)且所以所以又由故答案为:【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析:1-【解析】 【分析】由()35f -=,求得1532723a b -⋅-+=,进而求解()3f 的值,得到答案. 【详解】由题意,函数()1352=++f x ax bx (a ,b 为常数),且()35f -=, 所以()15332725f a b -=-⋅-+=,所以153273a b -⋅-=, 又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为:1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解,其中解答中根据函数的解析式,准确运算是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.14.(﹣∞1)(+∞)【解析】【分析】因为先根据f (x )是定义域在R 上的偶函数将f (m ﹣2)>f (2m ﹣3)转化为再利用f (x )在区间0+∞)上是减函数求解【详解】因为f (x )是定义域在R 上的偶函数且f解析:(﹣∞,1)U (53,+∞) 【解析】 【分析】因为先根据f (x )是定义域在R 上的偶函数,将 f (m ﹣2)>f (2m ﹣3),转化为()()223f m f m ->-,再利用f (x )在区间[0,+∞)上是减函数求解.【详解】因为f (x )是定义域在R 上的偶函数,且 f (m ﹣2)>f (2m ﹣3), 所以()()223fm f m ->- ,又因为f (x )在区间[0,+∞)上是减函数, 所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|, 所以3m 2﹣8m +5>0, 所以(m ﹣1)(3m ﹣5)>0, 解得m <1或m 53>, 故答案为:(﹣∞,1)U (53,+∞). 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.15.【解析】【分析】根据题意列出不等式组解出即可【详解】要使函数有意义需满足解得即函数的定义域为故答案为【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题属于基础题;常见的形式有:1分式函数分母不能为0;2偶次 解析:[)0,5【解析】 【分析】根据题意,列出不等式组50210xx ->⎧⎨-≥⎩,解出即可. 【详解】要使函数()()4log 5f x x =-+有意义,需满足50210x x ->⎧⎨-≥⎩,解得05x <≤,即函数的定义域为[)0,5,故答案为[)0,5.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题,属于基础题;常见的形式有:1、分式函数分母不能为0;2、偶次根式下大于等于0;3、对数函数的真数部分大于0;4、0的0次方无意义;5、对于正切函数tan y x =,需满足,2x k k Z ππ≠+∈等等,当同时出现时,取其交集.16.【解析】【分析】【详解】试题分析:由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f (x )=|x ﹣2|当或时此时f (x )=2∵f (4﹣2)= 解析:0232m <<-【解析】 【分析】 【详解】试题分析:由{},min ,{,a a ba b b a b≤=>可知{}()min 2,2f x x x =-是求两个函数中较小的一个,分别画出两个函数的图象,保留较小的部分,即由22x x ≥-可得x 2﹣8x +4≤0,解可得423423x -≤≤+当423423x -≤≤+时,22x x ≥-,此时f (x )=|x ﹣2| 当423x +>或0433x ≤-<时,22x x -<,此时f (x )=2x ∵f (4﹣23)=232-其图象如图所示,0232m -<<时,y =m 与y =f (x )的图象有3个交点 故答案为0232m -<<考点:本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用,考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.点评:本小题通过分别画出两个函数的图象,保留较小的部分,可以很容易的得到函数的图象,从而数形结合可以轻松解题.17.【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解得到答案【详解】由题意根据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以abc 从小到大的关系是故答案为:【点睛 解析:b c a <<【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质,分别求得实数,,a b c 的取值范围,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,根据指数函数的性质,可得0.101.111.1a >==,由对数函数的运算公式及性质,可得12112211log log ()222b ===,1ln 2ln 2c =>=,且ln 2ln 1c e =<=, 所以a ,b ,c 从小到大的关系是b c a <<. 故答案为:b c a <<. 【点睛】 本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质,求得实数,,a b c 的取值范围是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.18.()【解析】【分析】设()求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设()所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对1(0x ≥) 【解析】 【分析】设()22f x y x x ==+(0x ≥),求出x =()1f x -.【详解】设()22f x y x x ==+(0x ≥),所以2+20,x x y x -=∴=±因为x≥0,所以x =()11f x -=.因为x≥0,所以y≥0,所以反函数()11f x -=,0x ()≥.1,0x ()≥【点睛】本题主要考查反函数的求法,考查函数的值域的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19.【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得:令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为:【解析:10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由已知可构造()2log xa a t x +=有两不同实数根,利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】()2()log x a f x a t =+Q 为增函数,且[],x m n ∈时,函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ,(),()f m m f n n ∴==,∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根,即2x x a a t =+有两解, 整理得:20x x a a t -+=, 令,0xm a m => ,20m m t ∴-+=有两个不同的正数根, ∴只需140t t ∆=->⎧⎨>⎩即可,解得104t <<, 故答案为:10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性,对数方程,一元二次方程有两正根,属于中档题.20.【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为:【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解析:(][)22-∞-⋃+∞,, 【解析】 【分析】由题意先确定函数()f x 在(),0-∞上是增函数,再将不等式转化为()()112f f ⨯≤即可求得x 的取值范围. 【详解】Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数,∴函数()f x 在区间(),0-∞上是增函数()()2f x f ≤Q()()2f x f ∴≤2x ∴≥ 2x ∴≥或2x -≤∴解集为(][),22,-∞-+∞U故答案为:(][),22,-∞-+∞U 【点睛】本题考查偶函数与单调性结合解抽象函数不等式问题,直观想象能力,属于中等题型.三、解答题21.(1)()0.50.5*20.065n n r n N -=-⨯∈ (2)6次【解析】 【分析】(1)先阅读题意,再解方程求出函数模型对应的解析式即可; (2)结合题意解指数不等式即可. 【详解】解:(1)由题意得02r =,1 1.94r =, 所以当1n =时,()0.510015pr r r r +=--⋅,即0.51.942(2 1.94)5p+=--⋅,解得0.5p =-,所以0.50.520.065*()n n r n -=-⨯∈N , 故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N .(2)由题意可得,0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤, 整理得,0505..1950..206n -≥,即0.50.5532n -≥, 两边同时取常用对数,得lg3205055.lg .n -≥, 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-,将lg 20.3=代入,得5lg 230211 5.31lg 27⨯+=+≈-,又因为*n ∈N ,所以6n ≥.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标. 【点睛】本题考查了函数的应用,重点考查了阅读能力及解决问题的能力,属中档题. 22.(1)1k =(2)30a -≤≤ 【解析】 【分析】(1)根据()00f =计算得到1k =,再验证得到答案.(2)化简得到()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立,确定函数单调递减,利用单调性得到240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立,计算得到答案. 【详解】(1)因为()f x 为奇函数且定义域为R ,则()00f =,即002021k -=+,所以1k =.当1k =时因为()f x 为奇函数,()()12212121x x x x f x f x -----===-++,满足条件()f x 为奇函数.(2)不等式()()240f ax f x +-≥对[]1,2x ∈-恒成立即()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立,因为()f x 为奇函数,所以()()24f x f ax -≥-对[]1,2x ∈-恒成立(*)在R 上任取1x ,2x ,且12x x <,则()()()21121212122221212()()12121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++, 因为21x x >,所以1120x +>,2120x +>,21220x x ->, 所以()()120f x f x ->,即()()12f x f x >, 所以函数()f x 在区间(1,)-+∞上单调递减; 所以(*)可化为24x ax -≤-对[]1,2x ∈-恒成立, 即240x ax +-≤对[]1,2x ∈-恒成立. 令()24g x x ax =+-,因为()g x 的图象是开口向上的抛物线,所以由()0g x ≤有对[]1,2x ∈-恒成立可得:()()10,20,g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即140,4240,a a --≤⎧⎨+-≤⎩解得:30a -≤≤,所以实数a 的取值范围是30a -≤≤. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性,单调性,恒成立问题,意在考查学生的综合应用能力. 23.(1)99;(2)3-. 【解析】 【分析】(1)直接根据指数与对数的性质运算即可; (2)直接利用对数运算性质即可得出. 【详解】(1)原式21123325249131log 216104-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦7351001442=++-- 99=.(2)原式323log 313=---31422=-- 3=-.【点睛】本题主要考查了指数对数运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.24.(1)2884071()73x x x x y x -⎧-+-≤⎪=⎨≥⎪⎩,<,;(2)当4x =时产品的性能达到最佳【解析】 【分析】(1)二次函数可设解析式为2y ax bx c =++,代入已知数据可求得函数解析式;(2)分段函数分段求出最大值后比较可得. 【详解】(1)当0≤x <7时,y 是x 的二次函数,可设y =ax 2+bx +c (a ≠0), 由x =0,y =﹣4可得c =﹣4,由x =2,y =8,得4a +2b =12①, 由x =6,y =8,可得36a +6b =12②,联立①②解得a =﹣1,b =8, 即有y =﹣x 2+8x ﹣4; 当x ≥7时,1()3x my -=,由x =10,19y =,可得m =8,即有81()3x y -=;综上可得2884071()73x x x x y x -⎧-+-≤⎪=⎨≥⎪⎩,<,.(2)当0≤x <7时,y =﹣x 2+8x ﹣4=﹣(x ﹣4)2+12, 即有x =4时,取得最大值12; 当x ≥7时,81()3x y -=递减,可得y ≤3,当x =7时,取得最大值3.综上可得当x =4时产品的性能达到最佳. 【点睛】本题考查函数模型的应用,考查分段函数模型的实际应用.解题时要注意根据分段函数定义分段求解.25.(1)2a =,1b =;(2)单调递减,见解析;(3)(,1)-∞- 【解析】 【分析】(1)根据(0)0f =得到1b =,根据(1)(1)f f -=-计算得到2a =,得到答案. (2)化简得到11()221x f x =++,12x x <,计算()()210f x f x -<,得到是减函数. (3)化简得到212kx x <-,参数分离212x k x -<,求函数212()xg x x -=的最小值得到答案. 【详解】(1)因为()f x 在定义域R 上是奇函数.所以(0)0f =,即102b a-+=+,所以1b =.又由(1)(1)f f -=-,即111214a a-+-=++, 所以2a =,检验知,当2a =,1b =时,原函数是奇函数.(2)()f x 在R 上单调递减.证明:由(1)知11211()22221xx xf x +-==+++, 任取12,x x R ∈,设12x x <,则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++, 因为函数2xy =在R 上是增函数,且12x x <,所以12220x x -<,又()()1221210x x ++>,所以()()210f x f x -<,即()()21f x f x <, 所以函数()f x 在R 上单调递减.(3)因为()f x 是奇函数,从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)(12)f kx f x f x >--=-,因为()f x 在R 上是减函数,由上式推得212kx x <-,即对一切1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有212x k x -<恒成立,设221211()2()x g x x x x -==-⋅, 令1t x =,1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦则有2()2h t t t =-,1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,所以min min ()()(1)1g x h t h ===-,所以1k <-,即k 的取值范围为(,1)-∞-. 【点睛】本题考查了函数解析式,单调性,恒成立问题,将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键. 26.见解析 【解析】 【分析】根据题意,在数轴上表示出集合,A B ,再根据集合的运算,即可得到求解. 【详解】 解:如图所示.∴A ∪B ={x |2<x <7}, A ∩B ={x |3≤x <6}.∴∁R (A ∪B )={x |x ≤2或x ≥7}, ∁R (A ∩B )={x |x ≥6或x <3}. 又∵∁R A ={x |x <3或x ≥7},∴(∁R A )∩B ={x |2<x <3}. 又∵∁R B ={x |x ≤2或x ≥6},∴A ∪(∁R B )={x |x ≤2或x ≥3}. 【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集与补集的混合运算问题,其中解答中正确在数轴上作出集合,A B ,再根据集合的交集、并集和补集的基本运算求解是解答的关键,同时在数轴上画出集合时,要注意集合的端点的虚实,着重考查了数形结合思想的应用,以及推理与运算能力.。
2020年高中必修一数学上期末一模试题(附答案)
2020年高中必修一数学上期末一模试题(附答案)一、选择题1.已知()f x 是偶函数,它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-,则x 的取值范围是( )A .1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭B .()10,10,10骣琪??琪桫C .1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D .()()0,110,⋃+∞2.已知0.2633,log 4,log 2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为 ( )A .c a b <<B .c b a <<C .b a c <<D .b c a <<3.若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是( ) A .()1,+∞B .(1,8)C .(4,8)D .[4,8)4.若函数*12*log (1),()3,x x x N f x x N⎧+∈⎪=⎨⎪∉⎩,则((0))f f =( ) A .0B .-1C .13D .15.函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A .B .C .D .6.已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称,且当01x ≤≤时,3()f x x =,则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .278-B .18-C .18 D .2787.设函数()f x 的定义域为R ,满足(1) 2 ()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞,都有8()9f x ≥-,则m 的取值范围是 A .9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8.若x 0=cosx 0,则( )A .x 0∈(3π,2π) B .x 0∈(4π,3π) C .x 0∈(6π,4π) D .x 0∈(0,6π)9.若函数y a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a 56+log a 485=( )A .1B .2C .3D .410.设()f x 是R 上的周期为2的函数,且对任意的实数x ,恒有()()0f x f x --=,当[]1,0x ∈-时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根,则实数a 的取值范围是( ) A .[]3,5B .()3,5C .[]4,6D .()4,611.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A .y =xB .y =lg xC .y =2xD .y12.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中,min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =,假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等,若再过min m 甲桶中的水只有4a升,则m 的值为( ) A .10B .9C .8D .5二、填空题13.若函数()(0,1)xf x a a a =>≠且在[1,2]上的最大值比最小值大2a,则a 的值为____________.14.已知()f x 是定义域为R 的单调函数,且对任意实数x 都有21()213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦,则52(log )f =__________.15.已知log log log 22a a ax yx y +-=,则x y的值为_________________. 16.已知()|1||1|f x x x =+--,()ag x x x=+,对于任意的m R ∈,总存在0x R ∈,使得()0f x m =或()0g x m =,则实数a 的取值范围是____________.17.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=,且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+,不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立,则实数m 的最大值是 ____________18.已知()f x 为奇函数,且在[)0,+∞上是减函数,若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立,则实数a 的取值范围是___________.19.设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减,若()()1f m f m -<,则实数m 的取值范围是________.20.已知sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <>则1111()()66f f -+为_____三、解答题21.已知二次函数()f x 满足:()()22f x f x +=-,()f x 的最小值为1,且在y 轴上的截距为4.(1)求此二次函数()f x 的解析式;(2)若存在区间[](),0a b a >,使得函数()f x 的定义域和值域都是区间[],a b ,则称区间[],a b 为函数()f x 的“不变区间”.试求函数()f x 的不变区间;(3)若对于任意的[]10,3x ∈,总存在[]210,100x ∈,使得()1222lg 1lg mf x x x <+-,求m 的取值范围.22.设()()12log 10f x ax =-,a 为常数.若()32f =-.(1)求a 的值;(2)若对于区间[]3,4上的每一个x 的值,不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立,求实数m 的取值范围 .23.设函数()()2log xxf x a b=-,且()()211,2log 12f f ==.(1)求a b ,的值; (2)求函数()f x 的零点;(3)设()xxg x a b =-,求()g x 在[]0,4上的值域.24.已知函数21()f x x x=-是定义在(0,)+∞上的函数. (1)用定义法证明函数()f x 的单调性;(2)若关于x 的不等式()220f x x m ++<恒成立,求实数m 的取值范围.25.义域为R 的函数()f x 满足:对任意实数x,y 均有()()()2f x y f x f y +=++,且()22f =,又当1x >时,()0f x >.(1)求()()0.1f f -的值,并证明:当1x <时,()0f x <; (2)若不等式()()()222221240f a a x a x ----++<对任意[] 1,3x ∈恒成立,求实数a 的取值范围.26.已知函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈是偶函数.(1)求k 的值;(2)若不等式()102x a f x --≥对(],0x ∈-∞恒成立,求实数a 的取值范围. (注:如果求解过程中涉及复合函数单调性,可直接用结论,不需证明)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <,再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <,利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数,由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <, 又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数,则lg 1x <,即1lg 1x -<<,解得11010x <<. 故选:C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式,同时也涉及了对数函数单调性的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.2.B解析:B 【解析】先比较三个数与零的大小关系,确定三个数的正负,然后将它们与1进行大小比较,得知1a >,0,1b c <<,再利用换底公式得出b 、c 的大小,从而得出三个数的大小关系.【详解】函数3xy =在R 上是增函数,则0.20331a =>=,函数6log y x =在()0,∞+上是增函数,则666log 1log 4log 6<<,即60log 41<<, 即01b <<,同理可得01c <<,由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===, 且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==,即01c b <<<,因此,c b a <<,故选A . 【点睛】本题考查比较数的大小,这三个数的结构不一致,这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较,一般中间值是0与1,步骤如下:①首先比较各数与零的大小,确定正负,其中正数比负数大;②其次利用指数函数或对数函数的单调性,将各数与1进行大小比较,或者找其他中间值来比较,从而最终确定三个数的大小关系.3.D解析:D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式,解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数, 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选:D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数,考查基本分析判断能力,属中档题.4.B解析:B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值.因为0N *∉,所以0(0)3=1f =,((0))(1)f f f =,因为1N *∈,所以(1)=1f -,故((0))1f f =-,故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数,属于中档题.5.C解析:C 【解析】 【分析】根据函数()2sin f x x x =是奇函数,且函数过点[],0π,从而得出结论.【详解】由于函数()2sin f x x x =是奇函数,故它的图象关于原点轴对称,可以排除B 和D ;又函数过点(),0π,可以排除A ,所以只有C 符合. 故选:C . 【点睛】本题主要考查奇函数的图象和性质,正弦函数与x 轴的交点,属于基础题.6.B解析:B 【解析】 【分析】利用题意得到,()()f x f x -=-和2421D kx k =+,再利用换元法得到()()4f x f x =+,进而得到()f x 的周期,最后利用赋值法得到1322f f 骣骣琪琪=琪琪桫桫18=,331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数,得到()()f x f x -=-①;又由()f x 的图像关于直线1x =对称,得到2421D kx k =+②; 在②式中,用1x -替代x 得到()()2f x f x -=,又由②得()()22f x f x -=--; 再利用①式,()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =--()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式,用4x +替代x 得到()()4f x f x =+,则()f x 是周期为4的周期函数;当01x ≤≤时,3()f x x =,得1128f ⎛⎫=⎪⎝⎭11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=,331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由于()f x 是周期为4的周期函数,331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭, 答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性,单调性和周期性,以及考查函数的赋值求解问题,属于中档题7.B解析:B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题,考查函数平移伸缩,恒成立问题,需准确求出函数每一段解析式,分析出临界点位置,精准运算得到解决. 【详解】(0,1]x ∈Q 时,()=(1)f x x x -,(+1)= ()f x 2f x ,()2(1)f x f x ∴=-,即()f x 右移1个单位,图像变为原来的2倍.如图所示:当23x <≤时,()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---,令84(2)(3)9x x --=-,整理得:2945560x x -+=,1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==(舍),(,]x m ∴∈-∞时,8()9f x ≥-成立,即73m ≤,7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦,故选B .【点睛】易错警示:图像解析式求解过程容易求反,画错示意图,画成向左侧扩大到2倍,导致题目出错,需加深对抽象函数表达式的理解,平时应加强这方面练习,提高抽象概括、数学建模能力.8.C解析:C 【解析】 【分析】画出,cos y x y x ==的图像判断出两个函数图像只有一个交点,构造函数()cos f x x x =-,利用零点存在性定理,判断出()f x 零点0x 所在的区间【详解】画出,cos y x y x ==的图像如下图所示,由图可知,两个函数图像只有一个交点,构造函数()cos f x x x =-,30.5230.8660.343066f ππ⎛⎫=-≈-=-<⎪⎝⎭,20.7850.7070.078044f ππ⎛⎫=-≈-=> ⎪⎝⎭,根据零点存在性定理可知,()f x 的唯一零点0x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选:C【点睛】本小题主要考查方程的根,函数的零点问题的求解,考查零点存在性定理的运用,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.9.C解析:C 【解析】 【分析】先分析得到a >1,再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a -a x ≥0,a x ≤a ,定义域为[0,1], 所以a >1,y x a a -[0,1]上单调递减,值域是[0,1],所以f (0)=1a -=1,f (1)=0, 所以a =2,所log a56+log a 485=log 256+log 2485=log 28=3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算,考查函数的单调性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.10.D解析:D 【解析】由()()0f x f x --=,知()f x 是偶函数,当[]1,0x ∈-时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且()f x 是R 上的周期为2的函数,作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象,关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根,即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点,所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩,解得46a <<.故选D.点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.11.D解析:D【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D .考点:对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用.12.D解析:D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==,由55122n nae a e =⇒=,代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=,联立两个等式可得512{12mn n e e ==,由此解得5m =,应选答案D 。
2020届山西省晋城市高三第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届山西省晋城市高三第一次模拟考试试题数学(理)一、单选题1.已知集合{|ln 1}A x x =<,{|12}B x x =-<<,则A B =I ( ) A .(0,)e B .(1,2)-C .(1,)e -D .(0,2)【答案】D【解析】解不等式ln 1x <,化简集合A ,根据交集定义即可求解. 【详解】因为{|ln 1}A x x =<{|0}x x e =<<,所以{|02}A B x x ⋂=<<. 故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算,解对数不等式是解题的关键,属于基础题. 2.已知复数z =,则复数z 的共轭复数z =( )A 12iB .12 C .12i + D .12+ 【答案】A【解析】复数z 实数化,即可求解. 【详解】因为2i z ===,所以122z i =-.故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,考查共轭复数定义,属于基础题. 3.已知tan 3α=,则2cos sin 2αα+=( )A .10B .710C .10-D .710-【答案】B【解析】利用“1”的变换,所求式子化为关于sin ,cos αα的齐次分式,化弦为切,即可求解.【详解】22222cos 2sin cos 12tan 7cos sin 2cos sin 1tan 10ααααααααα+++===++. 故选:B 【点睛】本题考查同角间三角函关系,弦切互化是解题的关键,属于基础题.4.设,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩,则3z x y =-的最小值为( )A .0B .-4C .-8D .-6【答案】D【解析】作出可行域,利用数形结合即可求解. 【详解】作出可行域,如下图所示:当目标函数3z x y =-经过(0,2)A 时, z 取得最小值-6.故选:D【点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域,以及线性目标函数的最小值,属于基础题.5.甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则( )A .甲得分的平均数比乙的大B .乙的成绩更稳定C .甲得分的中位数比乙的大D .甲的成绩更稳定【答案】B【解析】根据图形中的数据,可求出甲乙的平均数,中位数,分析数据的离散程度,确定方差大小,即可求解. 【详解】甲、乙得分的平均数均为13,中位数均为13, 甲得分的方差明显比乙大. 故选:B 【点睛】本题考查数据的处理以及数据的分析,属于基础题.6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()ln f x a x a =+,若()4f e -=,则(0)(1)f f +=( ) A .-1 B .0C .-2D .1【答案】C【解析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数,可得(0)0f =,由()4f e -=可得()4f e =-,求出a ,即可得出结论.【详解】因为()f x 是奇函数,所以()()24f e f e a -=-=-=, 可得2a =-.所以当0x >时,()2ln 2f x x =--, 所以(1)2f =-,又(0)0f =,所以(0)(1)2f f +=-. 故选:C 【点睛】本题考查奇函数的对称性,属于基础题.7.函数()ln cos sin x xf x x x⋅=+在[)(],00,ππ-⋂的图像大致为( )A .B .C .D .【答案】D【解析】先求出函数()f x 为奇函数,再通过特殊值确定答案. 【详解】函数的定义域关于原点对称. 因为()()ln cos sin x xf x f x x x-=-=-+g ,所以()f x 为奇函数. 又因为()10f ±=.0,(02())3f f ππ±=>.()0f π<, 故选:D . 【点睛】本题主要考查图象的确定问题,考查函数奇偶性的判定,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长为( )A .4B .23C .2D .25【答案】C【解析】由三视图可得直观图为四棱锥,即可求出结论. 【详解】根据三视图,还原直观图如图所示,最长棱为1122AC AB ==. 故选:C【点睛】本题考查三视图应用,三视图还原成直观图是解题的关键,属于基础题.9.已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点,F 是抛物线C 的焦点,O 为坐标原点,若||2PF =,3PFO π∠=,则抛物线C 的方程为( )A .26y x = B .22y x =C .2y x =D .24y x =【答案】A【解析】||2PF =,3PFO π∠=,可求出P 点的坐标,代入抛物线方程,即可求解.【详解】过P 向x 轴作垂线,设垂足为Q , ∵3PFO π∠=,||2PF =,∴||3PQ =||1QF =,(1,3)2pP -±, 将P 点的坐标代入22y px =,得3p =,故C 的方程为26y x =. 故选:A 【点睛】本题考查抛物线的标准方程,属于基础题.10.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,8AB =,6AD =,异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为15,则该长方体外接球的表面积为( )A .98πB .196πC .784πD .13723π 【答案】B【解析】先做出BD 与1AC 所成角的角下图中的∠BOE ,设,,CE x OE BE =用x 表示,然后用余弦定理求出x ,求出长方体的对角线,即长方体的外接球的直径,可求出答案. 【详解】连AC 与BD 交于O 点,则O 为AC 中点, 取1CC 中点E ,连,BE OE ,则1//AC OE EOB ∴∠为异面直线BD 与1AC 所成角,设,CE x =则236BE x =+,8AB =,6AD =,25,25OB OC OE x ===+在OBE ∆中,由余弦定理得2222362cos BE x OB OE OB OE EOB =+=+-⨯⨯∠222362525225x x x +=++-+,解得26x =1246CC x ==,所以长方体的对角线长为36649614++= 所以长方体的外接球的半径为7, 所以长方体外接球的表面积为196π. 故选:B【点睛】本题考查异面直线所成的角,余弦定理,以及长方体外接球的表面积,做出空间角,解三角形是解题的关键,属于较难题.11.双曲线()2210mx ny mn +=<的渐近线于圆()2259x y -+=相切,且该双曲线过点2,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则该双曲线的虚轴长为( )A .3B .4C .6D .8【答案】D【解析】221(0)mx ny mn +=<的渐近线与圆22:(5)9E x y -+=相切等价于圆心(5,0)到渐近线的距离等于半径3r =,推出mn 的方程,结合点在双曲线上,求解m ,n 然后求解双曲线的虚轴长.【详解】双曲线221(0)mx ny mn +=<0-=. 圆22:(5)9E x y -+=的圆心(5,0),半径3r =.Q 渐近线与圆22:(5)9E x y -+=相切,∴3=,即16||9||m n =,①该双曲线过点P , 45414nm ∴+=, ② 解①②可得19n =,116m =-, 双曲线221916y x -=,该双曲线的虚轴长为8.故选:D . 【点睛】熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键,是中档题.12.在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,ABC ∆的面积为S ,若222sin()SA C b c +=-,则1tan 2tan()C B C +-的最小值为( )A B .2C .1D .【答案】A【解析】222sin()SA C b c+=-结合面积公式,可得出22b c ac =+,由余弦定理得出2cos a c B c -=,再用正弦定理化边为角,得出2B C =,把所求式子用角C 表示,并求出角C 范围,最后用基本不等式求最值. 【详解】因为222sin()SA C b c +=-,即222sin S B b c =-,所以22sin sin ac BB b c=-,因为sin 0B ≠, 所以22b c ac =+,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-, 可得2cos a c B c -=,再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C -=,因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C -=+-=-, 所以sin()sin B C C -=,所以B C C -=或B C C π-+=, 得2B C =或B π=(舍去).因为ABC ∆是锐角三角形,所以02022032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩,得64C ππ<<,即tan C ∈,所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥-当且仅当tan 2C =,取等号. 故选:A 【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形,考查基本不等式求最值,属于较难题.二、填空题13.已知向量(1,)a m =r,,22b =-r ,若a b ⊥r r ,则m =__________.【答案】1【解析】根据垂直向量的坐标关系,即可求解. 【详解】由1(022m ⨯+⨯-=,得1m =. 故答案为:1 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示,属于基础题.14.712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,x 项的系数是__________.(用数字作答)【答案】560-【解析】分析:先求出二项式712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式,令x 的指数等于1,求出r 的值,即可求得展开式中x 项的系数.详解:712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项为()()()71772177212rrrrrr r r T C x x C x ----+=-=-,7213r r -=⇒=,展开式x 项的系数为()334712560C -⨯=-故答案为560-.点睛:本题主要考查二项展开式定理的通项与系数,属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=;(可以考查某一项,也可考查某一项的系数)(2)考查各项系数和和各项的二项式系数和;(3)二项展开式定理的应用.15.若函数()sin cos f x x a x =-图像的一条对称轴方程为3x π=,则a =__________.【答案】【解析】利用对称轴的点纵坐标为函数的最大或最小值,即可求解. 【详解】|()|3f π=,得a =.故答案为:-【点睛】本题考查正弦型函数性质的应用,属于基础题.16.若111ln 20x x y --+=,22242ln 20x y +--=,则221212()()x x y y -+-的最小值为__________,此时2x =_______. 【答案】45125【解析】设1122(,),(,)A x y x y ,点A 在函数ln 2y x x =-+图像上,点B 在直线242ln 20x y +--=上,221212()()x x y y -+-为,A B 两点距离的平方,转化为函数ln 2y x x =-+图像上的点到直线242ln 20x y +--=的距离平方最小,利用数形结合方法,即可求出2||AB 的最小值. 【详解】设1122(,),(,)A x y x y ,点A 在函数ln 2y x x =-+图像上, 点B 在直线242ln 20x y +--=上,221212()()x x y y -+-221212()()x x y y -+-的最小值可转化为函数ln 2y x x =-+图像上的点与直线242ln 20x y +--=上的点的距离的最小值的平方,由ln 2y x x =-+,可得1'1y x=-, 与直线242ln 20x y +--=平行的直线的斜率为12-, 令1112x -=-,得2x =,所以切点坐标为(2,ln 2), 切点到直线242ln 20x y +--=的距离d == 即221212()()x x y y -+-的最小值为45, 过切点与直线242ln 20x y +--= 垂直的直线24ln 20x y --+=,由242ln 2024ln 20x y x y +--=⎧⎨--+=⎩,得2125x =.【点睛】本题考查导数几何意义的应用,解题的关键是要把问题转化为点到直线的距离,属于难题.三、解答题17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n kn k =++.(1)求{}n a 的通项公式; (2)若11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1) 42n a n =- (2) 84n nT n =+【解析】(1)根据前n 项和为n S 与通项的关系,即可求出结论; (2)用裂项相消法,求出数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】(1)当1n =时,1122a S k ==+,当2n ≥时,2212[2(1)(1)]42n n n a S S n kn k n k n k n k -=-=++--+-+=-+{}n a 是等差数列,41222k k ⨯-+=+,得0k =所以42n a n =- (2)因为111111()(42)(42)82121n n n b a a n n n n +===--+-+, 所以11111111(1)()()8383582121n T n n =-+-++--+L 11(1)82184n n n =-=++ 【点睛】本题考查由数列的前n 项和求通项,考查用裂项相消法求数列的前n 项和,属于中档题. 18.“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表:某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况,得到的部分数据如下表所示:(1)求新能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性相关系数r ,并判断y 与x 是否线性相关;(2)请将上述22⨯列联表补充完整,并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关;(3)若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例,从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人,记选到女性车主的人数为X ,求X 的数学期望与方差.参考公式:()()niix x y y r --=∑,22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.25≈,若0.9r >,则可判断y 与x 线性相关.附表:【答案】(1) 0.94r ≈,y 与x 线性相关. (2)见解析,有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.(3) 数学期望20.方差12【解析】(1)根据已知数据以及给定公式,求出相关系数,再判断y 与x 是否线性相关; (2)由调查数据,即可补充列联表,代入2K 公式,结合附表数据,即可得结论; (3)应用二项分布的期望和方差公式,即可求解. 【详解】 (1)依题意,2014201520162017201820165x ++++==,810132524165y ++++==故51()()(2)(8)(1)(6)192847iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑521()411410ii x x =-=+++=∑,521()643698164254i i y y =-=++++=∑,则5()()0.940.9iix x y y r --===≈>∑故y 与x 线性相关.(2)依题意,完善表格如下:2230(18426)15 3.75 2.70620102464K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关. (3)依题意,该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为42105=, 则2(50,)5X B :, 所以250205EX =⨯=, 2250(1)1255DX =⨯⨯-=.【点睛】本题考查判断变量间是否线性相关,考查列联表独立性检验,以及二项分布期望,方差,考查计算能力,属于中档题.19.如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,AB CD ∥,60BAD ∠=︒,1CD =,2AD =,4AB =,点G 在线段AB 上,3AG GB =,11AA =.(1)证明:1D G ∥平面11BB C C . (2)求二面角11A D G A --的余弦值.【答案】(1)见解析531【解析】(1)连接1C B ,证明11GB CD D C P P 得到四边形11GBC D 为平行四边形,故11D G C B P 得到证明.(2)作DH AB ⊥于H ,以D 点为坐标原点,分别以DH ,DC ,1DD 所在直线为x轴,y 轴,z 轴,计算平面11A D G 的法向量为(3,33m =u r,平面1AD G 的法向量为(3n =r,计算夹角得到答案.【详解】(1)证明:连接1C B ,因为底面ABCD 为梯形,AB CD ∥,44AB CD ==,3AG GB =,则11GB CD D C P P ,且111GB D C ==,所以四边形11GBC D 为平行四边形,则11D G C B P .又1C B ⊂平面11BB C C ,1D G ⊄平面11BB C C ,所以1D G ∥平面11BB C C.(2)作DH AB ⊥于H ,以D 点为坐标原点,分别以DH ,DC ,1DD 所 在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -,则()10,0,1D ,)13,1,1A -,()3,1,0A-,()10,0,1D ,)3,2,0G,所以)113,1,0D A =-u u u u r ,()13,2,1D G =-u u u u r,()0,3,0AG =u u u r.设平面11A D G 的法向量为()111,,m x y z =u r,则1111111130,320,D A m x y D G m x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u u v v u u u u v v 令11x =,得(3,33m =u r . 设平面1AD G 的法向量为()222,,n x y z =r,则2122230,320,AG n y D G n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v vu u u u v v 令21x =,得(3n =r . 所以531cos ,31431m n ==⨯u r r 因为二面角11A D G A --531. 【点睛】本题考查了线面平行,二面角,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距为c ,圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点,直线2y =与椭圆C 只有一个公共点. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ,且与椭圆C 分别交于,P O 两点,试问:x 轴上是否存在定点R ,使得RP RQ ⋅u u u r u u u r为定值?若存在,求出该定值和点R 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)22184x y +=(2)在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭,使得RP RQ u u u r u u u r g 为定值74- 【解析】(1)根据已知求出,a b 即得椭圆C 的标准方程;(2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为()2y k x =+,设(),0R m ,利用韦达定理和向量的数量积求出52m =-,此时RP RQ u u u r u u u r g 为定值74-;当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为2x =-,求出此时点R 也满足前面的结论,即得解. 【详解】(1)依题意,得2c b ==, 则222448a b c =+=+=,故椭圆的标准方程为22184x y +=.()2①当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为()2y k x =+,代人椭圆C 的方程,可得()2222218880k k x x k +++-=设()11,P x y ,()22,Q x y ,则2122821k x x k -+=+,21228821k x x k -=+ 设(),0R m ,则()()1122,,RP RQ x m y x m y =--u u u r u u u rg g()()1212x m x m y y =--+=()()()122112224x m x k x x x m x +--+++⎡⎤⎣⎦()()22222228288421211k k k m k m k k k --++=+-++()2222284821m m k m k +++-=+ 若()2222284821mm k m k +++-+为定值,则22812842m m m -=++,解得52m =- 此时()222228487214mm k m k +++-=-+R 点的坐标为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭②当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为2x =-,代人22184x y +=,得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设((,2,P Q --,若5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭,则11,,22RP RQ ⎛⎛== ⎝⎝u u u r u u u r74RP RQ =-u u u r u u u r g综上所述,在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫⎪⎝⎭,使得RP RQ u u u r u u u r g 为定值74-【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法,考查椭圆中的定点定值问题,意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平.21.已知函数()f x 的定义域为R 且满足2()()f x f x x -+=,当0x ≥时,'()f x x <.(1)判断()f x 在(,0]-∞上的单调性并加以证明;(2)若方程()f x x =有实数根0x ,则称0x 为函数()f x 的一个不动点,设正数0x 为函数()(1)1x xg x xe a e x =+-++的一个不动点,且0001()(1)2f x f x x +≥-+,求a 的取值范围.【答案】(1) 单调递减. 见解析(2) )+∞(或)+∞). 【解析】(1)根据已知条件'()f x x <,构造函数2()()2x x f x ϕ=-,可证()x ϕ在[0,)+∞上单调递减.,再通过()x ϕ的奇偶性,可得出2()()2x x f x ϕ=-在(,0]-∞上单调递减,即可判断()f x 在(,0]-∞上的单调性;(2)0001()(1)2f x f x x +≥-+转为为(1)中的()x ϕ两个函数值,利用()x ϕ的单调性,求出0x 的范围,再根据不动点的定义转化为()g x x =在1(0,]2有解,,分离参数11x x a x e +=+-,转化为研究y a =与函数1()1x x m x x e +=+-在1(0,]2有交点,通过两次求导得出1()1x x m x x e +=+-在1(0,]2单调性,即可求出在a 的范围.【详解】(1)令2()()2x x f x ϕ=-,则'()'()x f x x ϕ=-,∵当0x ≥时,'()f x x <,∴'()0x ϕ<,∴2()()2x x f x ϕ=-在[0,)+∞上单调递减,又∵2()()f x f x x -+=,∴22()()()()022x x x x f x f x ϕϕ+-=-+--=,∴()x ϕ为奇函数,∴2()()2x x f x ϕ=-在(,0]-∞上单调递减.又∵22x y =在(,0]-∞上单调递减,∴2()()2x f x x ϕ=+在(,0]-∞上单调递减.(2)由(1)可知,2()()2x x f x ϕ=-在R 上单调递减.∵0001()(1)2f x f x x +≥-+,∴00()(1)x x ϕϕ≥-, ∴001x x ≤-,故012x ≤.∵正数0x 为函数()g x 上的一个不动点,∴方程()g x x =在1(0,]2上有解,即方程(1)10x xxe a e +-+=在1(0,]2上有解,整理得:1(1)11111x x x x xxe x e x x a x e e e +-+++===+---. 令1()1x x m x x e +=+-,2(2)'()(1)x x x e e x m x e --=-,设()2x h x e x =--,1(0,]2x ∈,则'()10xh x e =->,∴()h x 在1(0,]2上单调递增,又15()022h =<, ∴()20xh x e x =--<,∴2(2)'()0(1)x x x e e x m x e --=<-, ∴()m x 在1(0,]2上单调递减,∴12()()222e m x m e +≥=-(或()m x ≥),即a的取值范围是)+∞(或)+∞). 【点睛】本题考查利用导数研究函数性质的综合应用,构造函数法判断函数的单调性,注意审题,对于新定义问题转化为函数的零点,并用分离参数法研究函数的零点问题,属于难题.22.在直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为cos()23πρθ+=.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程;(2)直线l 与x 轴的交点为P ,经过点P 的直线m 与曲线C 交于,A B两点,若||||PA PB +=m 的倾斜角.【答案】(1) 226x y +=,40x --= (2)6π或56π. 【解析】(1)利用22sin cos 1αα+=消去参数化曲线C 为普通方程,运用cos ,sin x y ρθρθ==,即可化直线l 极坐标方程为直角坐标方程;(2)将直线方程化为具有几何意义的参数方程,代入曲线C 方程,利用根与系数关系结合直线参数的几何意义,即可求解. 【详解】(1)曲线C 的普通方程为226x y +=,因为cos()23πρθ+=,所以cos sin 40ρθθ-=,直线l的直角坐标方程为40x --=. (2)点P 的坐标为(4,0), 设直线m 的参数方程为4cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩(t 为参数,θ为倾斜角),联立直线m 与曲线C 的方程得28cos 100t t θ++=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ,则121228cos 1064cos 400t t t t θθ+=-⎧⎪=⎨⎪∆=->⎩,所以1212||||||||||8|cos |PA PB t t t t θ+=+=+==,得cos θ=,且满足>0∆, 故直线m 的倾斜角为6π或56π. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化,极坐标方程和直角坐标方程互化,考查直线参数方程参数灵活应用,属于中档题.23.已知函数()|31||33|f x x x =-++. (1)求不等式()10f x ≥的解集; (2)正数,a b 满足2a b +=.【答案】(1) 4(,2][,)3-∞-+∞U (2)证明见解析【解析】(1)分类讨论,去绝对值,解一元一次不等式,即可求解; (2)要证不等式两边平方,等价转化证明()f x a b ≥++,即证min ()f x a b ≥++根据绝对值的不等式求出min ()f x ,运用基本不等式即可证明结论. 【详解】(1)当1x <-时,()13336210f x x x x =---=--≥, 解得2x -≤,所以2x -≤; 当113x -≤≤时,()1333410f x x x =-++=≥,x φ∈; 当13x >时,()31336210f x x x x =-++=+≥, 解得43x ≥,所以43x ≥.综上,不等式()10f x ≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞U .(2)证明:因为,a b≥等价于()f x a b ≥++对任意的x ∈R 恒成立.21又因为()|31||33|4f x x x =-++≥,且2a b +=1,12a b +≤=,当且仅当1a b ==时等号成立.成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式,证明不等式恒成立,转化为函数的最值与不等式关系,考查用基本不等式证明不等式,属于中档题.。
2020年高中必修一数学上期末一模试题(带答案)
2020年高中必修一数学上期末一模试题(带答案)一、选择题1.已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称,当[0,)2x π∈时,()1cos f x x =-,则当5(,3]2x ππ∈时,()f x 的解析式为( ) A .()1sin f x x =-- B .()1sin f x x =- C .()1cos f x x =-- D .()1cos f x x =- 2.函数y =a |x |(a >1)的图像是( ) A .B .C .D .3.已知二次函数()f x 的二次项系数为a ,且不等式()2f x x >-的解集为()1,3,若方程()60f x a +=,有两个相等的根,则实数a =( )A .-15B .1C .1或-15D .1-或-154.已知函数ln ()xf x x=,若(2)a f =,(3)b f =,(5)c f =,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .b c a <<B .b a c <<C .a c b <<D .c a b <<5.设函数()f x 的定义域为R ,满足(1) 2 ()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞,都有8()9f x ≥-,则m 的取值范围是 A .9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6.函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位,得到函数图像C ,函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称,那么()g x =( ) A .(1)f x +B .(1)f x -C .()1f x +D .()1f x -7.已知函数()2x xe ef x --=,x ∈R ,若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,都有()()sin 10f f m θ+->成立,则实数m 的取值范围是( )A .()0,1B .()0,2C .(),1-∞D .(]1-∞, 8.若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞,且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x -<-,则实数a 的取值范围为( )A .1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B .1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C .1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D .1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9.已知01a <<,则方程log xa a x =根的个数为( ) A .1个B .2个C .3个D .1个或2个或3根10.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A .y =x B .y =lg xC .y =2xD .y11.函数y =11x -在[2,3]上的最小值为( ) A .2 B .12 C .13D .-1212.已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数,若()()2g x f x =-是奇函数,且()20g =,则不等式()0xf x ≤的解集是( )A .][(),22,-∞-⋃+∞B .][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C .][(),42,-∞-⋃-+∞D .][(),40,-∞-⋃+∞二、填空题13.已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立,则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= .14.函数{}()min 2f x x =-,其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>,若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点,则实数m 的取值范围是______________.15.对于函数()y f x =,若存在定义域D 内某个区间[a ,b ],使得()y f x =在[a ,b ]上的值域也为[a ,b ],则称函数()y f x =在定义域D 上封闭,如果函数4()1xf x x=-+在R 上封闭,则b a -=____. 16.函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______ 17.已知函数()f x 满足:()()1f x f x +=-,当11x -<≤时,()x f x e =,则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 18.若存在实数(),m n m n <,使得[],x m n ∈时,函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ,其中0a >且1a ≠,则实数t 的取值范围是______.19.已知函数2,01,()1(1),13,2x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩则关于x 的方程4()0xf x k -=的所有根的和的最大值是_______.20.若函数()()22f x x x a x a =+--在区间[]3,0-上不是单调函数,则实数a 的取值范围是______.三、解答题21.已知函数()21log 1x f x x +=-. (1)判断()f x 的奇偶性并证明; (2)若对于[]2,4x ∈,恒有()2log (1)(7)mf x x x >-⋅-成立,求实数m 的取值范围.22.已知函数()()2lg 1x f x x =++.(1)判断函数()f x 的奇偶性;(2)若()()1210f m f m -++≤,求实数m 的取值范围.23.已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >,1a ≠),且()31f =. (1)求a 的值,并判定()f x 在定义域内的单调性,请说明理由; (2)对于[]2,6x ∈,()()()log 17amf x x x >--恒成立,求实数m 的取值范围.24.药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:人工种植药材时,某种药材在一定的条件下,每株药材的年平均生长量(v 单位:千克)是每平方米种植株数x 的函数.当x 不超过4时,v 的值为2;当420x <≤时,v 是x 的一次函数,其中当x 为10时,v 的值为4;当x 为20时,v 的值为0.()1当020x <≤时,求函数v 关于x 的函数表达式;()2当每平方米种植株数x 为何值时,每平方米药材的年生长总量(单位:千克)取得最大值?并求出这个最大值.(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数) 25.记关于的不等式的解集为,不等式的解集为.(1)若,求集合; (2)若且,求的取值范围.26.已知函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈是偶函数.(1)求k 的值; (2)若不等式()102x a f x --≥对(],0x ∈-∞恒成立,求实数a 的取值范围. (注:如果求解过程中涉及复合函数单调性,可直接用结论,不需证明)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】 当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称,所以()()0f x f x π++-=, 且()()f x f x -=-,所以()()f x f x π+=,故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时,30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数,所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+,即()1cos f x x =--,5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式,考查函数的图象与性质,涉及对称性与周期性,属于中档题.2.B解析:B 【解析】因为||0x ≥,所以1x a ≥,且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数,应选答案B .3.A解析:A 【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++,可知1、3为方程()20f x x +=的两根,且0a <,利用韦达定理可将b 、c 用a 表示,再由方程()60f x a +=有两个相等的根,由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3,即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3,则0a <.由题意可知,1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根,由韦达定理得2134b a +-=+=,133ca=⨯=,42b a ∴=--,3c a =, ()()2423f x ax a x a ∴=-++,由题意知,关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根, 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根,则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=,0a <Q ,解得15a =-,故选:A. 【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识,考查二次不等式解集与方程之间的关系,解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.4.D解析:D 【解析】 【分析】 可以得出11ln 32,ln 251010a c ==,从而得出c <a ,同样的方法得出a <b ,从而得出a ,b ,c 的大小关系. 【详解】()ln 2ln 322210a f ===, ()1ln 255ln 5510c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==,又因为()ln 2ln8226a f ===,()ln 3ln 9336b f ===,再由对数函数的单调性得到a<b,∴c <a ,且a <b ;∴c <a <b . 故选D . 【点睛】考查对数的运算性质,对数函数的单调性.比较两数的大小常见方法有:做差和0比较,做商和1比较,或者构造函数利用函数的单调性得到结果.5.B解析:B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题,考查函数平移伸缩,恒成立问题,需准确求出函数每一段解析式,分析出临界点位置,精准运算得到解决. 【详解】(0,1]x ∈Q 时,()=(1)f x x x -,(+1)= ()f x 2f x ,()2(1)f x f x ∴=-,即()f x 右移1个单位,图像变为原来的2倍.如图所示:当23x <≤时,()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---,令84(2)(3)9x x --=-,整理得:2945560x x -+=,1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==(舍),(,]x m ∴∈-∞时,8()9f x ≥-成立,即73m ≤,7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦,故选B .【点睛】易错警示:图像解析式求解过程容易求反,画错示意图,画成向左侧扩大到2倍,导致题目出错,需加深对抽象函数表达式的理解,平时应加强这方面练习,提高抽象概括、数学建模能力.6.D解析:D 【解析】 【分析】首先设出()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y ,求得其关于直线y x =的对称点为(,)y x ,根据图象变换,得到函数()f x 的图象上的点为(,1)x y +,之后应用点在函数图象上的条件,求得对应的函数解析式,得到结果. 【详解】设()y g x =图象上任意一点的坐标为(,)x y , 则其关于直线y x =的对称点为(,)y x , 再将点(,)y x 向左平移一个单位,得到(1,)y x +, 其关于直线y x =的对称点为(,1)x y +,该点在函数()f x 的图象上,所以有1()y f x +=, 所以有()1y f x =-,即()()1g x f x =-, 故选:D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题,涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法,两个会反函数的函数图象关于直线y x =对称,属于简单题目.7.D解析:D 【解析】试题分析:求函数f (x )定义域,及f (﹣x )便得到f (x )为奇函数,并能够通过求f′(x )判断f (x )在R 上单调递增,从而得到sinθ>m ﹣1,也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ>m ﹣1成立,根据0<sinθ≤1,即可得出m 的取值范围. 详解:f (x )的定义域为R ,f (﹣x )=﹣f (x ); f′(x )=e x +e ﹣x >0; ∴f (x )在R 上单调递增;由f (sinθ)+f (1﹣m )>0得,f (sinθ)>f (m ﹣1); ∴sin θ>m ﹣1; 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1<sinθ成立;∵0<sinθ≤1; ∴m ﹣1≤0;∴实数m 的取值范围是(﹣∞,1]. 故选:D .点睛:本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用,注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质;对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式,但是直接解不等式非常麻烦的问题,可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等,以及函数零点等,直接根据这些性质得到不等式的解集.8.A解析:A 【解析】 【分析】由已知可知,()f x 在()1,-+∞上单调递减,结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解. 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞,且12x x ≠,都有()()12120f x f x xx -<-,∴()f x 在()1,-+∞上单调递减, ∵对称轴12x a=, ∴0112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩,解可得102a -≤<,故选A . 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用,解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化,属于中档题.9.B解析:B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象,图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =,()log a g x x =图象如下图:由图象可知:()(),f x g x 有两个交点,所以方程log xa a x =根的个数为2.故选:B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用,着重考查了数形结合的思想,难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数;(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围10.D解析:D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D .考点:对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用.11.B解析:B 【解析】 y =11x -在[2,3]上单调递减,所以x=3时取最小值为12,选B. 12.C解析:C 【解析】 【分析】由()()2g x f x =-是奇函数,可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称,再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4,-2,0,画出()f x 的大致形状,数形结合得出答案. 【详解】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的,且()()200g g ==,()()()4220f g g -=-=-=,()()200f g -==,画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知,当4x ≤-或2x ≥-时,()0xf x ≤,故选C. 【点睛】本题主要考查了函数性质的应用,作出函数简图,考查了学生数形结合的能力,属于中档题.二、填空题13.7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析:7【分析】 【详解】 设, 则,因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x , 所以,,故答案为7.14.【解析】【分析】【详解】试题分析:由可知是求两个函数中较小的一个分别画出两个函数的图象保留较小的部分即由可得x2﹣8x+4≤0解可得当时此时f (x )=|x ﹣2|当或时此时f (x )=2∵f (4﹣2)= 解析:0232m <<【解析】 【分析】 【详解】试题分析:由{},min ,{,a a b a b b a b≤=>可知{}()min 2,2f x x x =-是求两个函数中较小的一个,分别画出两个函数的图象,保留较小的部分,即由22x x ≥-可得x 2﹣8x +4≤0,解可得423423x -≤≤+当423423x -≤+22x x ≥-,此时f (x )=|x ﹣2| 当423x +>或0433x ≤-<22x x -<,此时f (x )=x ∵f (4﹣332其图象如图所示,0232m <<时,y =m 与y =f (x )的图象有3个交点 故答案为0232m <<考点:本小题主要考查新定义下函数的图象和性质的应用,考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用.点评:本小题通过分别画出两个函数的图象,保留较小的部分,可以很容易的得到函数的图象,从而数形结合可以轻松解题.15.6【解析】【分析】利用定义证明函数的奇偶性以及单调性结合题设条件列出方程组求解即可【详解】则函数在R 上为奇函数设即结合奇函数的性质得函数在R 上为减函数并且由题意可知:由于函数在R 上封闭故有解得:所以解析:6 【解析】 【分析】利用定义证明函数()y f x =的奇偶性以及单调性,结合题设条件,列出方程组,求解即可. 【详解】44()()11x xf x f x x x--=-==-+-+,则函数()f x 在R 上为奇函数设120x x ≤<,4()1xf x x=-+ ()()()2112121212444()()01111x x x x f x f x x x x x --=-+=>++++,即12()()f x f x > 结合奇函数的性质得函数()f x 在R 上为减函数,并且(0)0f = 由题意可知:0,0a b <>由于函数()f x 在R 上封闭,故有4141()()a bab f a b f b aa b-=-⎧⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩-=+⎪⎪⎩ ,解得:3,3a b =-=所以6b a -= 故答案为:6【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性以及单调性,属于中档题.16.4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为:4【点睛】本题主要考解析:4 【解析】 【分析】 设()2sin 1xg x x x =++,则()g x 是奇函数,设出()g x 的最大值M ,则最小值为M -,求出2sin 21=+++xy x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】∵函数2sin 21=+++xy x x , ∴设()2sin 1x g x x x =++,则()()2sin 1xg x x g x x --=-=-+, ∴()g x 是奇函数, 设()g x 的最大值M ,根据奇函数图象关于原点对称的性质,∴()g x 的最小值为M -, 又()max max 22g x y M =+=+,()min min 22g x y M =+=-, ∴max min 224y y M M +=++-=, 故答案为:4. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题,求出()2sin 1xg x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键,属于中档题.17.【解析】【分析】由已知条件得出是以2为周期的函数根据函数周期性化简再代入求值即可【详解】因为所以所以是以2为周期的函数因为当时所以故答案为:【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系这类题目往往是奇【解析】 【分析】由已知条件,得出()f x 是以2为周期的函数,根据函数周期性,化简92f ⎛⎫⎪⎝⎭,再代入求值即可. 【详解】因为()()1f x f x +=-,所以()()()21f x f x f x +=-+=,所以()f x 是以2为周期的函数, 因为当11x -<≤时,()xf x e = ,所以129114222f f f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为. 【点睛】本题主要考查函数的周期性和递推关系,这类题目往往是奇偶性和周期性相结合一起运用.18.【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得:令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为:【解析:10,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由已知可构造()2log xa a t x +=有两不同实数根,利用二次方程解出t 的范围即可.【详解】()2()log x a f x a t =+Q 为增函数,且[],x m n ∈时,函数()()2log xa f x at =+的值域也为[],m n ,(),()f m m f n n ∴==,∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,()2log x a a t x ∴+=有两不同实根,即2x x a a t =+有两解, 整理得:20x x a a t -+=, 令,0xm a m => ,20m m t ∴-+=有两个不同的正数根,∴只需1400t t ∆=->⎧⎨>⎩即可,解得104t <<, 故答案为:10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性,对数方程,一元二次方程有两正根,属于中档题.19.5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解:由可得:设由函数的性质与图像可得当k 等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为:当时解析:5 【解析】 【分析】将2,01,()1(1),13,2xx f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩化简为2,01,1()2,12,412,23,16x x x x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩同时设4()()x f x g x =,可得()g x 的函数解析式,可得当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大,可得答案. 【详解】解:由2,01,()1(1),13,2xx f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩可得:2,01,1()2,12,412,23,16x x x x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩设4()()xf xg x =,8,01,1()8,12,418,23,16x x xx g x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=⨯<≤⎨⎪⎪⨯<≤⎪⎩由()g x 函数的性质与图像可得,当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大, 此时根分别为:当01x <≤时,188x =,11x =, 当12x <≤时,21848x ⨯=,253x =, 当23x <≤时,318816x ⨯=,373x =,此时所有根的和的最大值为:1235x x x ++=, 故答案为:5. 【点睛】本题主要考查分段函数的图像与性质,注意分段函数需分对分段区间进行讨论,属于中档题.20.【解析】【分析】将函数转化为分段函数对参数分类讨论【详解】转化为分段函数:为更好说明问题不妨设:其对称轴为;其对称轴为①当时因为的对称轴显然不在则只需的对称轴位于该区间即解得:满足题意②当时此时函数 解析:()()9,00,3-⋃【解析】 【分析】将函数转化为分段函数,对参数a 分类讨论. 【详解】()()22f x x x a x a =+--,转化为分段函数: ()222232,2,x ax a x af x x ax a x a⎧-+≥=⎨+-<⎩. 为更好说明问题,不妨设:()2232h x x ax a =-+,其对称轴为3a x =; ()222g x x ax a =+-,其对称轴为x a =-.①当0a >时, 因为()h x 的对称轴3ax =显然不在[]3,0-,则 只需()g x 的对称轴位于该区间,即()3,0a -∈-, 解得:()0,3a ∈,满足题意. ②当0a =时,()223,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,此时函数在区间[]3,0-是单调函数,不满足题意. ③当0a <时,因为()g x 的对称轴x a =-显然不在[]3,0- 只需()h x 的对称轴位于该区间即可,即()3,03a∈- 解得:()9,0a ∈-,满足题意. 综上所述:()()9,00,3a ∈-⋃. 故答案为:()()9,00,3-⋃. 【点睛】本题考查分段函数的单调性,难点在于对参数a 进行分类讨论.三、解答题21.(1)奇函数,证明见解析;(2)015m << 【解析】 【分析】(1)先求出函数定义域,再利用函数奇偶性的定义判断即可;(2)由题意,101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∀∈恒成立,转化为0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立,求出函数()()()17g x x x =+-的最小值进而得解. 【详解】 (1)因为101x x +>-,解得1x <-或1x >, 所以函数()f x 为奇函数,证明如下:由(1)知函数()f x 的定义域关于原点对称,又因为1222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-+⎛⎫-====- ⎪--+-⎝⎭, 所以函数()f x 为奇函数; (2)若对于[]2,4x ∈,2()log (1)(7)mf x x x >--恒成立,即221log log 1(1)(7)x mx x x +>---对[]2,4x ∈恒成立, 即101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∈恒成立, 因为[]2,4x ∈,所以107mx x+>>-恒成立, 即0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立,设函数()()()17g x x x =+-,求得()g x 在[]2,4上的最小值是15, 所以015m <<. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及不等式的恒成立问题,考查分离变量法的运用,考查分析问题及解决问题的能力,难度不大. 22.(1)奇函数;(2)(],2-∞- 【解析】 【分析】(1)根据函数奇偶性的定义,求出函数的定义域及()f x 与()f x -的关系,可得答案; (2)由(1)知函数()f x 是奇函数,将原不等式化简为()()121f m f m -≤--,判断出()f x 的单调性,可得关于m 的不等式,可得m 的取值范围.【详解】解:(1)函数()f x 的定义域是R ,因为()(lg f x x -=-+,所以()()((lg lg lg10x x f x f x =+-=-=+,即()()f x f x -=-,所以函数()f x 是奇函数.(2)由(1)知函数()f x 是奇函数,所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--,设lg y u =,u x =,x ∈R .因为lg y u =是增函数,由定义法可证u x =在R 上是增函数,则函数()f x 是R 上的增函数.所以121m m -≤--,解得2m ≤-,故实数m 的取值范围是(],2-∞-. 【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用,属于中档题. 23.(1)2a =,单调递减,理由见解析;(2) 07m << 【解析】 【分析】(1)代入(3)1f =解得a ,可由复合函数单调性得出函数的单调性,也可用定义证明; (2)由对数函数的单调性化简不等式,再由分母为正可直接去分母变为整式不等式,从而转化为求函数的最值. 【详解】(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==,所以2a =. 函数()f x 的定义域为()1,+∞,()()()222212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭. 因为211y x =+-在()1,+∞上是单调递减, (注:未用定义法证明不扣分)所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数. (2)由(1)可知()()()221log log 117x mf x x x x +=>---,[]2,6x ∈,所以()()10117x mx x x +>>---. 所以()()()2201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立.当[]2,6x ∈时,函数()2316y x =--+的最小值min 7y =.所以07m <<. 【点睛】本题考查对数函数的性质,考查不等式恒成立,解题关键是问题的转化.由对数不等式转化为整式不等式,再转化为求函数最值.24.(1)2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩;(2) 10株时,最大值40千克【解析】 【分析】当420x <≤时,设v ax b =+,然后代入两组数值,解二元一次方程组可得参数a 、b 的值,即可得到函数v 关于x 的函数表达式;第()2题设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克,然后列出()f x 表达式,再分段求出()f x 的最大值,综合两段的最大值可得最终结果.【详解】(1)由题意得,当04x <≤时,2v =; 当420x <≤时,设v ax b =+,由已知得200104a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得258a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,所以285v x =-+,故函数2,0428,4205x v x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩.(2)设药材每平方米的年生长总量为()f x 千克,依题意及()1可得()22,0428,4205x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩,当04x <≤时,()f x 为增函数,故()()4428max f x f ==⨯=; 当420x <≤时,()()222222820(10)40555f x x x x x x =-+=--=--+,此时()()1040max f x f ==.综上所述,可知当每平方米种植10株时,药材的年生长总量取得最大值40千克. 【点睛】本题主要考查应用函数解决实际问题的能力,考查了理解能力,以及实际问题转化为数学问题的能力,本题属中档题. 25.(1)(2)【解析】 试题分析:(1)当时,利用分式不等式的解法,求得;(2)根据一元二次不等式的求解方法,解得,由于,故.,则.试题解析:(1)当时, 原不等式为:集合(2)易知:,;由,则,∴的取值范围为26.(1)12k =-(2)(]9,log 2-∞ 【解析】【分析】(1)由偶函数定义()()f x f x -=,代入解析式求解即可;(2)题设条件可等价转化为()9log 91xa x ≤+-对(],0x ∈-∞恒成立,因此设()()9log 91x g x x =+-,求出其在(],0x ∈-∞上的最小值即可得出结论.【详解】(1)∵函数()()()9log 91xkx R x k f =++∈ 是偶函数.∴()()f x f x -=, ∴()()99log 91log 91xx kx kx -+-=++,∴()()999912log 91log 91log 91x xxx kx x --+-=+-+==+,∴12k =-. (2)由(1)知,()()91log 912xf x x =+-, 不等式1()02f x x a --≥即为()9log 91x a x ≤+-, 令()()9log 91xg x x =+-,(],0x ∈-∞,则()()()99991log 91log log 199x xxxx g x -+=+-==+, 又函数()g x 在(],0-∞上单调递减,所以()()9min 0log 2g x g ==, ∴a 的取值范围是(]9,log 2-∞. 【点睛】本题考查函数奇偶性的定义运用以及不等式恒成立问题,属于中档题.解决不等式恒成立问题时,一般首选参变分离法,将恒成立问题转化为最值问题求解.。
2020年高中必修一数学上期末模拟试题含答案(1)
2020年高中必修一数学上期末模拟试题含答案(1)一、选择题1.已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且)的定义域和值域都是[0,1],则a=( ) A .12B .2C .22D .22.若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是( ) A .()1,+∞B .(1,8)C .(4,8)D .[4,8)3.函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A .B .C .D .4.已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=,若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x (1,2,3,2022i =L ),则1232022x x x x ++++=L ( ) A .1010 B .2020 C .1011D .20225.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:(1)(3)0f x f x ++-=,且(1)0f ≠,若函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点,则(2019)f =( )A .1B .-1C .-3D .36.已知函数()y f x =是偶函数,(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数,则( ) A .(1)(2)(0)f f f -<< B .(1)(0)(2)f f f -<< C .(0)(1)(2)f f f <-<D .(2)(1)(0)f f f <-<7.若函数y x a a -a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a 56+log a 485=( ) A .1B .2C .3D .48.设()f x 是R 上的周期为2的函数,且对任意的实数x ,恒有()()0f x f x --=,当[]1,0x ∈-时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根,则实数a 的取值范围是( )A .[]3,5B .()3,5C .[]4,6D .()4,6 9.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数,()[]g x x =为取整函数,0x 是函数()2ln f x x x=-的零点,则()0g x 等于( )A .1B .2C .3D .410.曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是( ) A .53(,]124B .5(,)12+∞ C .13(,)34D .53(,)(,)124-∞⋃+∞ 11.已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数,若()()2g x f x =-是奇函数,且()20g =,则不等式()0xf x ≤的解集是( )A .][(),22,-∞-⋃+∞ B .][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C .][(),42,-∞-⋃-+∞D .][(),40,-∞-⋃+∞12.已知函数()()f x g x x =+,对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-,且(1)1g -=,则(1)g =( )A .1-B .3-C .3D .1二、填空题13.已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______. 14.若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是______.15.若函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增,则m 的取值范围是__________.16.函数y =________17.已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩,其中a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ,2x ,…,n x ,记121==+++∑nin i xx x x L ,则1ni i x ==∑__________.18.若当0ln2x ≤≤时,不等式()()2220x xxx a e e ee ---+++≥恒成立,则实数a 的取值范围是_____. 19.函数2sin 21=+++xy x x 的最大值和最小值之和为______ 20.已知a >b >1.若log a b+log b a=52,a b =b a ,则a= ,b= . 三、解答题21.王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题,目前中国668个城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中,且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升,有关数据显示,某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表:(1)有下列函数模型:①2016x y a b -=⋅;②sin2016xy a b π=+;③lg()y a x b =+.(0,1)a b >>试从以上函数模型中,选择模型________(填模型序号),近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y (万吨)与年份x 的函数关系,并直接写出所选函数模型解析式;(2)若不加以控制,任由包装垃圾如此增长下去,从哪年开始,该城市的包装垃圾将超过40万吨?(参考数据:lg 20.3010,=lg30.4771=)22.已知函数()()sin ωφf x A x B =++(0A >,0>ω,2πϕ<),在同一个周期内,当6xπ=时,()f x ,当23x π=时,()f x 取得最小值-.(1)求函数()f x 的解析式,并求()f x 在[0,π]上的单调递增区间. (2)将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到函数()g x 的图象,方程()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有2个不同的实数解,求实数a 的取值范围.23.已知函数()f x =(1)判断函数()f x 在区间[0,)+∞上的单调性,并用定义证明;(2)函数2()()log 2g x f x x =+-在区间(1,2)内是否有零点?若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确到0.3);若没有零点,说明理由.(参考数据: 1.25 1.118≈, 1.5 1.225≈, 1.75 1.323≈,2log 1.250.322≈,2log 1.50.585≈,2log 1.750.807≈)24.已知函数2()log (421)x xf x a a =+⋅++,x ∈R .(Ⅰ)若1a =,求方程()3f x =的解集;(Ⅱ)若方程()f x x =有两个不同的实数根,求实数a 的取值范围. 25.设函数()3x f x =,且(2)18f a +=,函数()34()ax x g x x R =-∈. (1)求()g x 的解析式;(2)若方程()g x -b=0在 [-2,2]上有两个不同的解,求实数b 的取值范围. 26.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v (单位:千克/年)是养殖密度x (单位:尾/立方米)的函数.当x 不超过4(尾/立方米)时,v 的值为2(千克/年);当420x ≤≤时,v 是x 的一次函数;当x 达到20(尾/立方米)时,因缺氧等原因,v 的值为0(千克/年).(1)当020x <≤时,求函数()v x 的表达式;(2)当养殖密度x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)()()f x x v x =⋅可以达到最大,并求出最大值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0,1],可得f(x)为增函数,但在[0,1]上为减函数,得0<a<1,把x=1代入即可求出a 的值.【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0,1],可得f(x)为增函数, 但在[0,1]上为减函数,∴0<a<1,当x=1时,1(1)log ()=-log 2=111a a f =+,解得1=2a , 故选A .本题考查了函数的值与及定义域的求法,属于基础题,关键是先判断出函数的单调性. 点评:做此题时要仔细观察、分析,分析出(0)=0f ,这样避免了讨论.不然的话,需要讨论函数的单调性.2.D解析:D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式,解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数, 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选:D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数,考查基本分析判断能力,属中档题.3.C解析:C 【解析】 【分析】根据函数()2sin f x x x =是奇函数,且函数过点[],0π,从而得出结论.【详解】由于函数()2sin f x x x =是奇函数,故它的图象关于原点轴对称,可以排除B 和D ;又函数过点(),0π,可以排除A ,所以只有C 符合. 故选:C . 【点睛】本题主要考查奇函数的图象和性质,正弦函数与x 轴的交点,属于基础题.4.C解析:C 【解析】函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ,()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称, ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称, ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x (1,2,3,2022i =L ), 有1011组关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选:C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和,重点考查函数的对称性,属于中档题型.5.C解析:C 【解析】 【分析】由(1)(3)0f x f x ++-=结合()f x 为奇函数可得()f x 为周期为4的周期函数,则(2019)(1)f f =-,要使函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点,即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有唯一解,结合图像可得(1)3f =,即可得到答案.【详解】Q ()f x 为定义在R 上的奇函数,∴()()f x f x -=-,又Q (1)(3)0(13)(33)0f x f x f x f x ++-=⇔+++--=,(4)()0(4)()()f x f x f x f x f x ++-=⇔+=--=∴, ∴()f x 在R 上为周期函数,周期为4, ∴(2019)(50541)(1)(1)f f f f =⨯-=-=-Q 函数6()(1)cos 43g x x f x =-+⋅-有且只有唯一的零点,即6(1)cos 43x f x ⋅-=只有令6()m x x = ,则5()6m x x '=,所以(,0)x ∈-∞为函数6()m x x =减区间,(0,)x ∈+∞为函数6()m x x =增区间,令()(1)cos 43x f x ϕ=⋅-,则()x ϕ为余弦函数,由此可得函数()m x 与函数()x ϕ的大致图像如下:由图分析要使函数()m x 与函数()x ϕ只有唯一交点,则(0)(0)m ϕ=,解得(1)3f =∴(2019)(1)3f f =-=-,故答案选C . 【点睛】本题主要考查奇函数、周期函数的性质以及函数的零点问题,解题的关键是周期函数的判定以及函数唯一零点的条件,属于中档题.6.C解析:C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数,转化出()y f x =的一个单调区间,再结合偶函数关于y 轴对称得[]02,上的单调性,结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数,令2t x =-,则[]20t ,∈-,即()f t 在[]20-,上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-,上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数,()y f x ∴=在[]02,上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用,先求出函数的单调区间,然后结合奇偶性进行判定大小,较为基础.7.C解析:C 【解析】 【分析】先分析得到a >1,再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a -a x ≥0,a x ≤a ,定义域为[0,1], 所以a >1,y =x a a -在定义域为[0,1]上单调递减,值域是[0,1], 所以f (0)=1a -=1,f (1)=0, 所以a =2,所log a56+log a 485=log 256+log 2485=log 28=3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算,考查函数的单调性的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.8.D解析:D 【解析】由()()0f x f x --=,知()f x 是偶函数,当[]1,0x ∈-时,()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且()f x 是R 上的周期为2的函数,作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象,关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根,即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点,所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩,解得46a <<.故选D.点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.9.B解析:B 【解析】 【分析】根据零点存在定理判断023x <<,从而可得结果. 【详解】 因为()2ln f x x x=-在定义域内递增, 且()2ln 210f =-<,()23ln 303f =->, 由零点存在性定理可得023x <<,根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =, 故选:B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用,属于简单题.应用零点存在定理解题时,要注意两点:(1)函数是否为单调函数;(2)函数是否连续.10.A解析:A 【解析】试题分析:1(22)y x =-≤≤对应的图形为以()0,1为圆心2为半径的圆的上半部分,直线24y kx k =-+过定点()2,4,直线与半圆相切时斜率512k =,过点()2,1-时斜率34k =,结合图形可知实数k 的范围是53(,]124考点:1.直线与圆的位置关系;2.数形结合法11.C解析:C【解析】 【分析】由()()2g x f x =-是奇函数,可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称,再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4,-2,0,画出()f x 的大致形状,数形结合得出答案. 【详解】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的,且()()200g g ==,()()()4220f g g -=-=-=,()()200f g -==,画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知,当4x ≤-或2x ≥-时,()0xf x ≤,故选C. 【点睛】本题主要考查了函数性质的应用,作出函数简图,考查了学生数形结合的能力,属于中档题.12.B解析:B 【解析】由题意,f (﹣x )+f (x )=0可知f (x )是奇函数, ∵()()f x g x x =+,g (﹣1)=1, 即f (﹣1)=1+1=2 那么f (1)=﹣2. 故得f (1)=g (1)+1=﹣2, ∴g (1)=﹣3, 故选:B二、填空题13.【解析】当时解得;当时恒成立解得:合并解集为故填:解析:3{|}2x x ≤【解析】当20x +≥时,()()()22525x x f x x x +++≤⇔++≤,解得 322x -≤≤;当20x +<时,()()()22525x x f x x x +++≤⇔-+≤,恒成立,解得:2x <-,合并解集为32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ ,故填:32x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. 14.【解析】【分析】令可得从而将问题转化为和的图象有两个不同交点作出图形可求出答案【详解】由题意令则则和的图象有两个不同交点作出的图象如下图是过点的直线当直线斜率时和的图象有两个交点故答案为:【点睛】本 解析:()0,1【解析】 【分析】令()0f x =,可得1mx x =-,从而将问题转化为y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点,作出图形,可求出答案. 【详解】由题意,令()10f x mx x =--=,则1mx x =-, 则y mx =和1y x =-的图象有两个不同交点, 作出1y x =-的图象,如下图,y mx =是过点()0,0O 的直线,当直线斜率()0,1m ∈时,y mx =和1y x =-的图象有两个交点. 故答案为:()0,1.【点睛】本题考查函数零点问题,考查函数图象的应用,考查学生的计算求解能力,属于中档题.15.【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征可求得的取值范围【详解】∵函数在上单调递增∴函数在区间上为增函数∴解得∴实数的取值范围是故答案为【点睛】解答此类问题时要注意两点:一是根 解析:(0,3]【分析】由题意根据函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数及分段函数的特征,可求得m 的取值范围. 【详解】∵函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),-∞+∞上单调递增,∴函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数, ∴01212m m >⎧⎨-≤+=⎩,解得03m <≤, ∴实数m 的取值范围是(0,3]. 故答案为(0,3]. 【点睛】解答此类问题时要注意两点:一是根据函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增;二是要注意在分界点处的函数值的大小,这一点容易忽视,属于中档题.16.【解析】【分析】先求得函数的定义域然后利用同增异减来求得复合函数的单调区间【详解】依题意即解得当时为减函数为减函数根据复合函数单调性同增异减可知函数的单调递增区间是【点睛】本小题主要考查复合函数的单 解析:[)1,0-【解析】 【分析】先求得函数的定义域,然后利用“同增异减”来求得复合函数的单调区间. 【详解】依题意220.50log 0x x ⎧>⎨≥⎩,即201x <≤,解得[)(]1,00,1x ∈-U .当[)1,0x ∈-时,2x 为减函数,0.5log x 为减函数,根据复合函数单调性“同增异减”可知,函数y =递增区间是[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查复合函数的单调区间的求法,考查函数定义域的求法,属于基础题.17.【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以 解析:1-【解析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解. 【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像交点的横坐标因为lg y x =和10x y =互为反函数,所以函数lg y x =和10xy =图像关于y x =对称所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10x y =图像的两个交点也关于y x =对称 所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩根据中点坐标公式可得4a b +=所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++=解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x = 所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1- 【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.18.【解析】【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式然后用分离参数法转化为求函数最值【详解】设是增函数当时不等式化为即不等式在上恒成立时显然成立对上恒成立由对勾函数性质知在是减函数时∴即综上故答案为:【 解析:25[,)6-+∞ 【解析】 【分析】用换元法把不等式转化为二次不等式.然后用分离参数法转化为求函数最值. 【详解】设x x t e e -=-,1xxx xt e e e e -=-=-是增函数,当0ln2x ≤≤时,302t ≤≤, 不等式()()2220x xxx a e eee ---+++≥化为2220at t +++≥,即240t at ++≥,不等式240t at ++≥在3[0,]2t ∈上恒成立,0t =时,显然成立,3(0,]2t ∈,4a t t -≤+对3[0,]2t ∈上恒成立,由对勾函数性质知4y t t=+在3(0,]2是减函数,32t =时,min 256y =,∴256a -≤,即256a ≥-.综上,256a ≥-.故答案为:25[,)6-+∞. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题,解题方法是转化与化归,首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式,再用分离参数法转化为求函数最值.19.4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为:4【点睛】本题主要考解析:4 【解析】 【分析】 设()2sin 1xg x x x =++,则()g x 是奇函数,设出()g x 的最大值M ,则最小值为M -,求出2sin 21=+++xy x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】∵函数2sin 21=+++xy x x , ∴设()2sin 1x g x x x =++,则()()2sin 1xg x x g x x --=-=-+, ∴()g x 是奇函数, 设()g x 的最大值M ,根据奇函数图象关于原点对称的性质,∴()g x 的最小值为M -, 又()max max 22g x y M =+=+,()min min 22g x y M =+=-, ∴max min 224y y M M +=++-=, 故答案为:4.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题,求出()2sin 1xg x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键,属于中档题.20.【解析】试题分析:设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析:42【解析】试题分析:设log ,1b a t t =>则,因为21522t t a b t +=⇒=⇒=, 因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算,对数运算. 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时,要注意log 1b a >,若没注意到log 1b a >,方程5log log 2a b b a +=的根有两个,由于增根导致错误 三、解答题21.(1)①,2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭;(2)2022年【解析】 【分析】(1)由题意可得函数单调递增,且增长速度越来越快,则选模型①,再结合题设数据求解即可;(2)由题意有201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭,再两边同时取对数求解即可.【详解】解:(1)依题意,函数单调递增,且增长速度越来越快,故模型①符合,设2016x y a b-=⋅,将2016x =,4y =和2017x =,6y =代入得201620162017201646a b a b --⎧=⋅⎨=⋅⎩;解得432a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 故函数模型解析式为:2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.经检验,2018x =和2019x =也符合.综上:2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭;(2)令201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭,解得20163102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,两边同时取对数得:20163lg lg102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,3(2016)lg 12x ⎛⎫-≥⎪⎝⎭, 11(2016)3lg 3lg 2lg 2x -≥=-⎛⎫ ⎪⎝⎭, 120162021.7lg3lg 2x ∴≥+≈-.综上:从2022年开始,该城市的包装垃圾将超过40万吨. 【点睛】本题考查了函数的综合应用,重点考查了阅读能力及对数据的处理能力,属中档题.22.(1)()262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2π,π3轾犏犏臌;(2)a ∈⎣ 【解析】 【分析】(1)由最大值和最小值求得,A B ,由最大值点和最小值点的横坐标求得周期,得ω,再由函数值(最大或最小值均可)求得ϕ,得解析式; (2)由图象变换得()g x 的解析式,确定()g x 在[0,]2π上的单调性,而()g x a =有两个解,即()g x 的图象与直线y a =有两个不同交点,由此可得. 【详解】(1)由题意知,22A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩解得A =,2B =. 又22362T πππ=-=,可得2ω=.由6322f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 解得6π=ϕ.所以()262f x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭, 由222262k x k πππππ-≤+≤+,解得36k x k ππππ-≤≤+,k ∈Z .又[]0,x π∈,所以()f x 的单调增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2π,π3轾犏犏臌. (2)函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到函数()g x 的图象,得到函数()g x 的表达式为()23x g x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, ()g x 在[0,]12π是递增,在[,]122ππ上递减,要使得()g x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同的实数解, 即()y g x =的图像与y a =有两个不同的交点,所以a ∈⎣. 【点睛】本题考查求三角函数解析式,考查图象变换,考查三角函数的性质.“五点法”是解题关键,正弦函数的性质是解题基础. 23.(1)见解析;(2)有,1.5 【解析】 【分析】(1)由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数f (x )在区间[)0,+∞上的单调性.(2)结合函数单调性,由零点存在性定理得出连续函数()g x 在区间()1,2上有且仅有一个零点,由二分法即可得出零点的近似值(精确到0.3). 【详解】(1)函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数, 设[)12,0,x x ∈+∞,且12x x <, 则()()120f x f x -===<,所以()()12f x f x <,故函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数.(2)()2log 2g x x =-是增函数,又因为()21log 1210g =-=-<,()22log 2210g =-=>, 所以连续函数()g x 在区间()1,2上有且仅有一个零点0x因为()21.5log 1.52 1.2250.58520.190g -≈+-=-<, 所以()0 1.5,2x ∈又因为()21.75log 1.752 1.3230.80720.130g =-≈+-=->, 所以()0 1.5,1.75x ∈又1.75 1.50.250.3-=<,所以()g x 零点的近似值为1.5. 【点睛】本题考查了用定义证明函数单调性,零点存在性定理的应用,二分法求零点的近似值,属于中档题.24.(Ⅰ){}1(Ⅱ)13a -<<-【解析】 【分析】(Ⅰ)将1a =代入直接求解即可;(Ⅱ)设2x t =,得到()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解,利用二次函数的性质列不等式组求解即可. 【详解】(Ⅰ)当1a =时,()()2log 4223xxf x =++=,所以34222x x ++=, 所以4260x x +-=,因此()()23220xx+-=,得22x = 解得1x =, 所以解集为{}1.(Ⅱ)因为方程()2log 421x xa a x +⋅++=有两个不同的实数根, 即4212x x x a a +⋅++=,设2x t =,()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解,令()()()211f t t a t a =+-++,由已知可得()()()2001021410f a a a ⎧>⎪-⎪->⎨⎪⎪=--+>⎩n 解得1323a -<<-. 【点睛】本题主要考查了对数函数与指数函数的复合函数的处理方式,考查了函数与方程的思想,属于中档题.25.(1)()24x xg x =-,(2)31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 【解析】试题分析:(1);本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可, (2)对于同时含有2,xxa a 的表达式,通常可以令进行换元,但换元的过程中一定要注意新元的取值范围,换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系,从而解决问题.试题解析:解:(1)∵()3xf x =,且(2)18f a +=∴⇒∵∴(2)法一:方程为令,则144t ≤≤- 且方程为在有两个不同的解.设2211()24y t t t =-=--+,y b =两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,方程有两不同解. 法二: 方程为,令,则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解.设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦1=1-40413{0416(4)012b b f b f b ∆>⇒<⎛⎫∴≤⇒≥⎪⎝⎭≤⇒≥- 解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭考点:求函数的解析式,求参数的取值范围【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法,换元法及赋值消元法等;已知函数的类型(如一次函数,二次函数,指数函数等),就可用待定系数法;已知复合函数的解析式,可用换元法,此时要注意自变量的取值范围;求分段函数的解析式时,一定要明确自变量的所属范围,以便于选择与之对应的对应关系,避免出错. 26.(1)=**2,04,{15,420,82x x N x x x N <≤∈-+≤≤∈(2)当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为12.5千克/立方米. 【解析】 【分析】 【详解】(1)由题意:当04x <≤时,()2v x =; 当420x <≤时,设,显然在[4,20]是减函数,由已知得200{42a b a b +=+=,解得18{52a b =-=故函数=**2,04,{15,420,82x x N x x x N <≤∈-+≤≤∈(2)依题意并由(1)可得*2*2,04,{15,420,.82x x x N x x x x N <≤∈-+≤≤∈ 当04x ≤≤时,为增函数,故()max (4)f x f ==428⨯=;当420x ≤≤时,()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+,()max (10)12.5f x f ==. 所以,当020x <≤时,的最大值为12.5. 当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为12.5千克/立方米.。
2020年高中必修一数学上期末第一次模拟试卷及答案
2020年高中必修一数学上期末第一次模拟试卷及答案一、选择题1.已知()f x 在R 上是奇函数,且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时,则 A .-2B .2C .-98D .982.设a b c ,,均为正数,且122log aa =,121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭,21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭.则( ) A .a b c <<B .c b a <<C .c a b <<D .b a c <<3.已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =,则(2)f -=( )A .4B .3C .2D .14.设4log 3a =,8log 6b =,0.12c =,则( ) A .a b c >>B .b a c >>C .c a b >>D .c b a >>5.若函数f(x)=a |2x -4|(a>0,a≠1)满足f(1)=19,则f(x)的单调递减区间是( ) A .(-∞,2] B .[2,+∞) C .[-2,+∞)D .(-∞,-2]6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车,酒精含量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车,80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL .如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车?( )(参考数据:lg 0.2≈﹣0.7,1g 0.3≈﹣0.5,1g 0.7≈﹣0.15,1g 0.8≈﹣0.1) A .1B .3C .5D .77.已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=,若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x (1,2,3,2022i =L ),则1232022x x x x ++++=L ( ) A .1010 B .2020 C .1011D .20228.已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤,则()()3y f f x =-的零点个数为( )A .3B .4C .5D .69.某工厂产生的废气必须经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P (单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为0ktP P e -=⋅(k 为常数,0P 为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,那么要能够按规定排放废气,还需要过滤n 小时,则正整数n 的最小值为( )(参考数据:取5log 20.43=) A .8B .9C .10D .1410.已知函数f (x )=12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( )A .4B .-2C .2D .111.函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时,()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A .()1,3 B .()1,1-C .()()1,01,3-UD .()()1,00,1-U12.函数y =11x -在[2,3]上的最小值为( ) A .2 B .12C .13D .-12二、填空题13.已知a ,b R ∈,集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤,且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数,b D ∈,则220153a b -+的取值范围是_________. 14.已知f (x )是定义域在R 上的偶函数,且f (x )在[0,+∞)上是减函数,如果f (m ﹣2)>f (2m ﹣3),那么实数m 的取值范围是_____.15.已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩,>,,若存在互不相等实数a b c d 、、、,有()()()()f a f b f c f d ===,则+++a b c d 的取值范围是______.16.已知()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩,其中a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,如果关于x 的方程()f x x =的所有解分别为1x ,2x ,…,n x ,记121==+++∑nin i xx x x L ,则1ni i x ==∑__________.17.已知函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩,满足对任意的实数12x x ≠,都有1212()()0f x f x x x -<-成立,则实数a 的取值范围为__________.18.已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩,若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、,则()a b c +的取值范围为______;19.已知sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <>则1111()()66f f -+为_____20.定义在R 上的奇函数()f x ,满足0x >时,()()1f x x x =-,则当0x ≤时,()f x =______. 三、解答题21.已知函数22()log (3)log (1)f x x x =-++. (1)求该函数的定义域;(2)若函数()y f x m =-仅存在两个零点12,x x ,试比较12x x +与m 的大小关系. 22.已知集合{}24A x x =-≤≤,函数()()2log 31xf x =-的定义域为集合B .(1)求A B U ;(2)若集合{}21C x m x m =-≤≤+,且()C A B ⊆⋂,求实数m 的取值范围. 23.已知函数()f x x =.(1)判断函数()f x 在区间[0,)+∞上的单调性,并用定义证明;(2)函数2()()log 2g x f x x =+-在区间(1,2)内是否有零点?若有零点,用“二分法”求零点的近似值(精确到0.3);若没有零点,说明理由.(参考数据: 1.25 1.118≈, 1.5 1.225≈, 1.75 1.323≈,2log 1.250.322≈,2log 1.50.585≈,2log 1.750.807≈)24.已知函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,且(1)1f =. (1)用定义证明()f x 在(1,)+∞的单调性;(2)解不等式()()2341xxf f +≤+. 25.已知.(1)若函数的定义域为,求实数的取值范围; (2)若函数在区间上是递增的,求实数的取值范围.26.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.(1)求a ,b 的值;(2)判断函数()f x 的单调性,并用定义证明;(3)当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()2(21)0f kx f x +->恒成立,求实数k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1).又f(x)为奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2,即f(2 019)=-2. 故选A2.A解析:A 【解析】试题分析:在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2log y x =,12log y x =的图象,2x y =与12log y x =的交点的横坐标为a ,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ,12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ,从图象可以看出.考点:指数函数、对数函数图象和性质的应用.【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型,就要考虑用数形结合求解,在同一坐标系中画出两函数图象的交点,函数图象的交点的横坐标即为方程的解.3.D解析:D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+,则()g x 是R 上的奇函数,利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值.【详解】令3()g x ax bx =+ ,则()g x 是R 上的奇函数,又(2)3f =,所以(2)35g +=, 所以(2)2g =,()22g -=-,所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=,故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用,属于中档题.4.D解析:D 【解析】 【分析】由对数的运算化简可得2log 3a =,32log 6b =,结合对数函数的性质,求得1a b <<,又由指数函数的性质,求得0.121c =>,即可求解,得到答案.【详解】由题意,对数的运算公式,可得24222log 31log 3log 3log 3log 42a ====, 328222log 61log 6log 6log 6log 83b ====, 又由3362<<,所以3222log 3log 6log 21<<=,即1a b <<,由指数函数的性质,可得0.10221c =>=, 所以c b a >>. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质,以及指数函数的图象与性质的应用,其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质,求得,,a b c 的范围是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.5.B解析:B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.6.C解析:C 【解析】 【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律,再根据能驾车的要求,列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】因为1小时后血液中酒精含量为(1-30%)mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为(1-30%)x mg /mL 的,由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车, 所以()3002%1.x-<,0.70.2x <,两边取对数得,lg 0.7lg 0.2x < ,lg 0.214lg 0.73x >= ,所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选:C 【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法,还考查了转化化归的思想及运算求解的能力,属于基础题.7.C解析:C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ,()f x ∴关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称, ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称,()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x (1,2,3,2022i =L ), 有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称,122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选:C 【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和,重点考查函数的对称性,属于中档题型.8.C解析:C 【解析】 【分析】 由题意,函数()()3y ff x =-的零点个数,即方程()()3f f x =的实数根个数,设()t f x =,则()3f t =,作出()f x 的图象,结合图象可知,方程()3f t =有三个实根,进而可得答案. 【详解】 由题意,函数()()3y ff x =-的零点个数,即方程()()3f f x =的实数根个数,设()t f x =,则()3f t =,作出()f x 的图象,如图所示,结合图象可知,方程()3f t =有三个实根11t =-,214t =,34t =, 则()1f x =- 有一个解,()14f x =有一个解,()4f x =有三个解, 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,其中解答中合理利用换元法,结合图象,求得方程()3f t =的根,进而求得方程的零点个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及数形结合思想的应用.9.C解析:C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=,可得出ln 54k =,然后解不等式1200kt e -≤,解出t 的取值范围,即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意,前4个小时消除了80%的污染物,因为0ktP P e -=⋅,所以()400180%kP Pe --=,所以40.2k e -=,即4ln0.2ln5k -==-,所以ln 54k =, 则由000.5%ktP P e -=,得ln 5ln 0.0054t =-, 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=, 故正整数n 的最小值为14410-=.故选:C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用,涉及指数不等式的求解,考查运算求解能力,属于中等题.10.B解析:B 【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选B. 11.C解析:C 【解析】若[20]x ∈-,,则[02]x -∈,,此时1f x x f x -=--Q (),()是偶函数,1f x x f x ∴-=--=()(), 即1[20]f x x x =--∈-(),,, 若[24]x ∈, ,则4[20]x -∈-,, ∵函数的周期是4,4413f x f x x x ∴=-=---=-()()(),即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩,(),, ,作出函数f x ()在[13]-, 上图象如图, 若03x ≤<,则不等式0xf x ()> 等价为0f x ()> ,此时13x <<, 若10x -≤≤ ,则不等式0xfx ()>等价为0f x ()< ,此时1x -<<0 , 综上不等式0xf x ()> 在[13]-, 上的解集为1310.⋃-(,)(,)故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解,利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式,利用数形结合是解决本题的关键.12.B解析:B 【解析】 y =11x -在[2,3]上单调递减,所以x=3时取最小值为12,选B. 二、填空题13.【解析】【分析】由函数是偶函数求出这样可求得集合得的取值范围从而可得结论【详解】∵函数是偶函数∴即平方后整理得∴∴由得∴故答案为:【点睛】本题考查函数的奇偶性考查解一元二次不等式解题关键是由函数的奇 解析:[2015,2019]【解析】 【分析】由函数()f x 是偶函数,求出a ,这样可求得集合D ,得b 的取值范围,从而可得结论. 【详解】∵函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数,∴()()f x f x -=,即1122b bx a a x a a ---+-=--+-, x a x a -=+,平方后整理得0ax =,∴0a =,∴2{|20}{|20}D x x x x x =+≤=-≤≤, 由b D ∈,得20b -≤≤. ∴22015201532019a b ≤-+≤. 故答案为:[2015,2019]. 【点睛】本题考查函数的奇偶性,考查解一元二次不等式.解题关键是由函数的奇偶性求出参数a .14.(﹣∞1)(+∞)【解析】【分析】因为先根据f (x )是定义域在R 上的偶函数将f (m ﹣2)>f (2m ﹣3)转化为再利用f (x )在区间0+∞)上是减函数求解【详解】因为f (x )是定义域在R 上的偶函数且f解析:(﹣∞,1)U (53,+∞) 【解析】 【分析】因为先根据f (x )是定义域在R 上的偶函数,将 f (m ﹣2)>f (2m ﹣3),转化为()()223f m f m ->-,再利用f (x )在区间[0,+∞)上是减函数求解.【详解】因为f (x )是定义域在R 上的偶函数,且 f (m ﹣2)>f (2m ﹣3), 所以()()223fm f m ->- ,又因为f (x )在区间[0,+∞)上是减函数, 所以|m ﹣2|<|2m ﹣3|, 所以3m 2﹣8m +5>0, 所以(m ﹣1)(3m ﹣5)>0, 解得m <1或m 53>, 故答案为:(﹣∞,1)U (53,+∞). 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.15.【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析:341112,1e e e ⎡⎫+--⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】不妨设,0,,0a b c d ≤>,根据二次函数对称性求得+a b 的值.根据绝对值的定义求得,c d 的关系式,将d 转化为c 来表示,根据c 的取值范围,求得+++a b c d 的取值范围. 【详解】不妨设,0,,0a b c d ≤>,画出函数()f x 的图像如下图所示.二次函数221y x x =--+的对称轴为1x =-,所以2a b +=-.不妨设c d <,则由2ln 2ln c d +=+得2ln 2ln c d --=+,得44,e cd e d c--==,结合图像可知12ln 2c ≤+<,解得(43,c e e --⎤∈⎦,所以(()4432,e a b c d c c e e c ---⎤+++=-++∈⎦,由于42e y x x-=-++在(43,e e --⎤⎦上为减函数,故4341112,21e e e c c e -⎡⎫+--++∈⎢⎣-⎪⎭.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质,考查二次函数的图像,考查含有绝对值函数的图像,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.16.【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以 解析:1-【解析】 【分析】根据互为反函数的两个图像与性质,可求得a ,b 的等量关系,代入解析式可得分段函数()f x .分别解方程()f x x =,求得方程的解,即可得解. 【详解】a 是方程lg 4x x +=的解,b 是方程104x x +=的解,则a ,b 分别为函数4y x =-+与函数lg y x =和10xy =图像交点的横坐标因为lg y x =和10x y =互为反函数,所以函数lg y x =和10xy =图像关于y x =对称所以函数4y x =-+与函数lg y x =和10x y =图像的两个交点也关于y x =对称 所以函数4y x =-+与y x =的交点满足4y x y x =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩根据中点坐标公式可得4a b +=所以函数()242,02,0x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩当0x ≤时,()242f x x x =++,关于x 的方程()f x x =,即242x x x ++=解得2,1x x =-=-当0x >时,()2f x =,关于x 的方程()f x x =,即2x = 所以()()12121ni i x ==-+-+=-∑故答案为:1- 【点睛】本题考查了函数与方程的关系,互为反函数的两个函数的图像与性质,分段函数求自变量,属于中档题.17.【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数∵函数故计算得出:点睛:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段解析:13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】若对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立,则函数()f x 在R 上为减函数,∵函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩,故22012(2)12a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-≤- ⎪⎪⎝⎭⎩, 计算得出:13,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 点睛:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间[,]a b 上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值;(3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性对应关系,而且要注意内外函数对应自变量取值范围.18.【解析】【分析】画出的图像根据图像求出以及的取值范围由此求得的取值范围【详解】函数的图像如下图所示由图可知令令所以所以故答案为:【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质考查数形结合的数学思想方法属解析:)22,2e e ⎡--⎣【解析】 【分析】画出()f x 的图像,根据图像求出+a b 以及c 的取值范围,由此求得()a b c +的取值范围. 【详解】函数()f x的图像如下图所示,由图可知1,22a ba b +=-+=-.令2ln 11,x x e -==,令ln 10,x x e -==,所以2e c e <≤,所以)2()22,2a b c c e e ⎡+=-∈--⎣. 故答案为:)22,2e e ⎡--⎣【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.19.0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题解析:0 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式,代入求值即可求解. 【详解】 因为sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <> 则11111()sin()sin 6662f ππ-=-==,11511()()()sin()66662f f f π==-=-=-, 所以1111()()066f f -+=.【点睛】本题主要考查了分段函数求值,属于中档题.20.【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解:根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得:当时;故答案为【点睛】本题考查函数的奇 解析:()1x x +【解析】 【分析】由奇函数的性质得()00f =,设0x <,则0x ->,由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+,综合2种情况即可得答案.【详解】解:根据题意,()f x 为定义在R 上的奇函数,则()00f =, 设0x <,则0x ->,则()()()1f x x x -=-+, 又由函数为奇函数,则()()()1f x f x x x =--=+, 综合可得:当0x ≤时,()()1f x x x =+; 故答案为()1x x + 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用,注意()00f =,属于基础题.三、解答题21.(1)(1,3)- (2)12x x m +> 【解析】 【分析】(1)根据对数真数大于零列不等式组,解不等式组求得函数的定义域.(2)化简()f x 表达式为对数函数与二次函数结合的形式,结合二次函数的性质,求得12x x +以及m 的取值范围,从而比较出12x x +与m 的大小关系.【详解】 (1)依题意可知301310x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩,故该函数的定义域为(1,3)-;(2)2222()log (23)log ((1)4)f x x x x =-++=--+,故函数关于直线1x =成轴对称且最大值为2log 42=, ∴122x x +=,2m <,∴12x x m +>. 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法,考查对数型复合函数对称性和最值,属于基础题. 22.(1){}2x x ≥-;(2)(]2,3 【解析】 【分析】(1)由对数函数指数函数的性质求出集合B ,然后由并集定义计算;(2)在(1)基础上求出A B I ,根据子集的定义,列出m 的不等关系得结论. 【详解】(1)由310x ->,解得0x >, 所以{}0B x x =>. 故{}2A B x x ⋃=≥-. (2)由{}04A B x x ⋂=<≤. 因为()C A B ⊆⋂,所以20,1 4.m m ->⎧⎨+≤⎩所以23m <≤,即m 的取值范围是(]2,3. 【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域,考查集合的交并集运算,考查集合的包含关系.正确求出函数的定义域是本题的难点. 23.(1)见解析;(2)有,1.5 【解析】 【分析】(1)由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数f (x )在区间[)0,+∞上的单调性.(2)结合函数单调性,由零点存在性定理得出连续函数()g x 在区间()1,2上有且仅有一个零点,由二分法即可得出零点的近似值(精确到0.3). 【详解】(1)函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数, 设[)12,0,x x ∈+∞,且12x x <, 则()()120f x f x -===<,所以()()12f x f x <,故函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数. (2)()2log 2g x x =-是增函数,又因为()21log 1210g =-=-<,()22log 2210g =-=>, 所以连续函数()g x 在区间()1,2上有且仅有一个零点0x因为()21.5log 1.52 1.2250.58520.190g -≈+-=-<, 所以()0 1.5,2x ∈又因为()21.75log 1.752 1.3230.80720.130g =-≈+-=->, 所以()0 1.5,1.75x ∈又1.75 1.50.250.3-=<,所以()g x 零点的近似值为1.5. 【点睛】本题考查了用定义证明函数单调性,零点存在性定理的应用,二分法求零点的近似值,属于中档题.24.(1)证明见解析;(2){|1}x x ≤. 【解析】 【分析】(1)根据函数为定义在R 上的奇函数得(0)0f =,结合(1)1f =求得()f x 的解析式,再利用单调性的定义进行证明;(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+,解指数不等式即可得答案. 【详解】 (1)因为函数2()(,)1ax bf x a b x +=∈+R 为在R 上的奇函数,所以(0)0f = 则有0001111ba b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩解得20a b =⎧⎨=⎩,即22()1xf x x =+12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <()()()()()()2212211212222212122121221111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()122122122111x x x x xx --=++因为12,(1,)x x ∀∈+∞,且12x x <,所以()()2212110x x ++>,1210x x ->,210x x ->所以()()120f x f x ->即()()12f x f x > , 所以()f x 在(1,)+∞上单调递减 .(2)因为231x +>,411x +>,由(1)可得2341x x +≥+ 不等式可化为22220x x x ⋅--≤,即(()()21220xx+-≤ 解得22x ≤,即1x ≤ 所以不等式的解集为{|1}x x ≤ 【点睛】本题考查奇函数的应用、单调性的定义证明、利用单调性解不等式,考查函数与方程思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意不等式的解集要写成集合的形式. 25.(1)(2)【解析】试题分析:(1)由于函数定义域为全体实数,故恒成立,即有,解得;(2)由于在定义域上是减函数,故根据复合函数单调性有函数在上为减函数,结合函数的定义域有,解得.试题解析:(1)由函数的定义域为可得:不等式的解集为,∴解得,∴所求的取值范围是(2)由函数在区间上是递增的得: 区间上是递减的, 且在区间上恒成立;则,解得26.(1)2a =,1b =;(2)单调递减,见解析;(3)(,1)-∞-【解析】 【分析】(1)根据(0)0f =得到1b =,根据(1)(1)f f -=-计算得到2a =,得到答案. (2)化简得到11()221x f x =++,12x x <,计算()()210f x f x -<,得到是减函数. (3)化简得到212kx x <-,参数分离212x k x-<,求函数212()xg x x -=的最小值得到答案. 【详解】(1)因为()f x 在定义域R 上是奇函数.所以(0)0f =,即102b a-+=+,所以1b =.又由(1)(1)f f -=-,即111214a a-+-=++, 所以2a =,检验知,当2a =,1b =时,原函数是奇函数.(2)()f x 在R 上单调递减.证明:由(1)知11211()22221x x xf x +-==+++, 任取12,x x R ∈,设12x x <,则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++, 因为函数2xy =在R 上是增函数,且12x x <,所以12220x x -<,又()()1221210x x ++>,所以()()210f x f x -<,即()()21f x f x <, 所以函数()f x 在R 上单调递减.(3)因为()f x 是奇函数,从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)(12)f kx f x f x >--=-,因为()f x 在R 上是减函数,由上式推得212kx x <-,即对一切1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有212x k x -<恒成立,设221211()2()x g x x x x -==-⋅, 令1t x =,1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦则有2()2h t t t =-,1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,所以min min ()()(1)1g x h t h ===-, 所以1k <-,即k 的取值范围为(,1)-∞-. 【点睛】本题考查了函数解析式,单调性,恒成立问题,将恒成立问题通过参数分离转化为最值问题是解题的关键.。
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2020年晋城市高中必修一数学上期末一模试卷(带答案)一、选择题1.已知函数1()ln(1)f x x x=+-;则()y f x =的图像大致为( )A .B .C .D .2.设6log 3a =,lg5b =,14log 7c =,则,,a b c 的大小关系是( ) A .a b c <<B .a b c >>C .b a c >>D .c a b >>3.已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且)的定义域和值域都是[0,1],则a=( ) A .12B 2C .22D .24.若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是( ) A .()1,+∞B .(1,8)C .(4,8)D .[4,8)5.已知函数2()2log x f x x =+,2()2log x g x x -=+,2()2log 1x h x x =⋅-的零点分别为a ,b ,c ,则a ,b ,c 的大小关系为( ). A .b a c << B .c b a << C .c a b <<D .a b c <<6.已知01a <<,则方程log xa a x =根的个数为( ) A .1个B .2个C .3个D .1个或2个或3根7.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中,min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =,假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等,若再过min m 甲桶中的水只有4a升,则m 的值为( ) A .10B .9C .8D .58.已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数,()[]g x x =为取整函数,0x 是函数()2ln f x x x=-的零点,则()0g x 等于( )A .1B .2C .3D .49.已知函数f (x )=x (e x +ae ﹣x )(x ∈R ),若函数f (x )是偶函数,记a=m ,若函数f (x )为奇函数,记a=n ,则m+2n 的值为( ) A .0B .1C .2D .﹣110.曲线1(22)y x =-≤≤与直线24y kx k =-+有两个不同的交点时实数k 的范围是( ) A .53(,]124B .5(,)12+∞ C .13(,)34D .53(,)(,)124-∞⋃+∞ 11.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则()UP Q ⋃=A .{1}B .{3,5}C .{1,2,4,6}D .{1,2,3,4,5}12.已知函数()()f x g x x =+,对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-,且(1)1g -=,则(1)g =( )A .1-B .3-C .3D .1二、填空题13.已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数,则m =__________. 14.已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ,其中x ∈R 且0x ≠,则函数()f x 的解析式为__________15.函数y =________16.若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上,则函数()f x 的反函数1()f x -=________.17.0.11.1a =,12log 2b =,ln 2c =,则a ,b ,c 从小到大的关系是________. 18.已知函数(2),2()11,22xa x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩,满足对任意的实数12x x ≠,都有1212()()0f x f x x x -<-成立,则实数a 的取值范围为__________.19.已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭,若幂函数()af x x =为奇函数,且在()0,∞+上递减,则a的取值集合为______. 20.已知函数1,0()ln 1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩,若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解()a b c a b c <<、、,则()a b c +的取值范围为______;三、解答题21.某种商品的销售价格会因诸多因素而上下浮动,经过调研得知:2019年9月份第x(130x ≤≤,x +∈N )天的单件销售价格(单位:元20,115()50,1530x x f x x x +≤<⎧=⎨-≤≤⎩,第x 天的销售量(单位:件)()(g x m x m =-为常数),且第20天该商品的销售收入为600元(销售收入=销售价格⨯销售量). (1)求m 的值;(2)该月第几天的销售收入最高?最高为多少? 22.计算或化简:(1)1123021273log 161664π⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2)6log 2332log 27log 2log 36lg 2lg 5+⋅-++.23.已知函数()(lg x f x =.(1)判断函数()f x 的奇偶性;(2)若()()1210f m f m -++≤,求实数m 的取值范围.24.为弘扬中华传统文化,学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古诗词”的阅读活动. 根据调查,小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下:小明阅读“经典名著”的阅读量()f t (单位:字)与时间t (单位:分钟)满足二次函数关系,部分数据如下表所示;()f t 0 2700 5200 7500阅读“古诗词”的阅读量()g t (单位:字)与时间t (单位:分钟)满足如图1所示的关系.(1)请分别写出函数()f t 和()g t 的解析式;(2)在每天的一小时课外阅读活动中,小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间,使每天的阅读量最大,最大值是多少?25.已知全集U=R,集合{}240,A x x x =-≤{}22(22)20B x x m x m m =-+++≤. (Ⅰ)若3m =,求U C B 和AB ;(Ⅱ)若B A ⊆,求实数m 的取值范围.26.已知()log a f x x =,()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ,()1h x x x=+. (1)当[)1,x ∈+∞时,证明:()1h x x x=+为单调递增函数; (2)当[]1,2x ∈,且()()()F x g x f x =-有最小值2时,求a 的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】试题分析:设()ln(1)g x x x =+-,则()1xg x x'=-+,∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数,∴()()00g x g <=,1()0()f x g x =<,得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ,C ,又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩,得1x >-且0x ≠,故排除D.综上,符合的只有选项B.故选B. 考点:1、函数图象;2、对数函数的性质. 2.A解析:A 【解析】 【分析】构造函数()log 2x xf x =,利用单调性比较大小即可. 【详解】构造函数()21log 1log 212log xx x f x x==-=-,则()f x 在()1,+∞上是增函数, 又()6a f =,()10b f =,()14c f =,故a b c <<. 故选A 【点睛】本题考查实数大小的比较,考查对数函数的单调性,考查构造函数法,属于中档题.3.A解析:A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0,1],可得f(x)为增函数,但在[0,1]上为减函数,得0<a<1,把x=1代入即可求出a 的值.【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0,1],可得f(x)为增函数, 但在[0,1]上为减函数,∴0<a<1,当x=1时,1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a , 故选A .本题考查了函数的值与及定义域的求法,属于基础题,关键是先判断出函数的单调性.点评:做此题时要仔细观察、分析,分析出(0)=0f ,这样避免了讨论.不然的话,需要讨论函数的单调性.4.D解析:D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式,解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数, 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选:D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数,考查基本分析判断能力,属中档题.5.D解析:D 【解析】 【分析】函数2()2log x x f x =+,2()2log x x g x -=+,2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log x y =与函数2x y =-,2x y -=-,2x y -=的交点,再通过数形结合得到a ,b ,c 的大小关系. 【详解】令2()2log 0x f x x =+=,则2log 2x x =-.令12()2log 0x g x x -=-=,则2log 2x x -=-. 令2()2log 10x x h x =-=,则22log 1x x =,21log 22x x x -==. 所以函数2()2log x x f x =+,2()2log x x g x -=+,2()2log 1x x h x =-的零点可以转化为求函数2log y x =与函数2log x y =与函数2x y =-,2x y -=-,2x y -=的交点,如图所示,可知01a b <<<,1c >, ∴a b c <<.故选:D . 【点睛】本题主要考查函数的零点问题,考查对数函数和指数函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.B解析:B 【解析】 【分析】在同一平面直角坐标系中作出()xf x a =与()log a g x x =的图象,图象的交点数目即为方程log xa a x =根的个数. 【详解】作出()xf x a =,()log a g x x =图象如下图:由图象可知:()(),f x g x 有两个交点,所以方程log xa a x =根的个数为2.故选:B . 【点睛】本题考查函数与方程的应用,着重考查了数形结合的思想,难度一般.(1)函数()()()h x f x g x =-的零点数⇔方程()()f x g x =根的个数⇔()f x 与()g x 图象的交点数;(2)利用数形结合可解决零点个数、方程根个数、函数性质研究、求不等式解集或参数范围等问题.7.D解析:D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==,由55122n nae a e =⇒=,代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=,联立两个等式可得512{12mn n e e ==,由此解得5m =,应选答案D 。