离散数学--31-2一阶逻辑共39页文档
离散数学一阶逻辑
个体词,谓词
简单的命题被分解成个体词与 谓词.
① 6是合数； ②王宏是程序员； ③小李比小赵高2厘米。
个体词相关的基本概念
1. 个体词:是可以独立存在的客体. 2. 个体常项:用小写的英文字母 a,b,c,d…. 3. 个体变项:用小写的英文字母 x,y,z…. 4. 个体域:个体的取值范围. 5. 全总个体域:指宇宙中的一切事物.
例题
1. 2是素数且是偶数. ① F(x): x是素数; ② G(x): x是偶数; ③ a:2 ④ 符号化为F(a)^G(a) 2. 如果2大于3,则2大于4. ① L(x,y): x大于y. ② a:2; b:3; c:4 ③ 符号化为L(a,b)->L(a,c)
量词
1. 量词:表示数量的词.
例题
1. 对任意的x，存在着y，使得 x+y=5. ① H(x,y)表示x+y=5 ② 可符号化成：x y H(x,y) ③ 不可符号化成： y x H(x,y)
2. P40. 例题2.2、2.3、2.4、2.5
第二章 一阶逻辑
1.一阶逻辑的基本概念
2.一阶逻辑合式公式及解释
3.一阶逻辑等值式 4.一阶逻辑推理理论
指导变项, 辖域, 约束出现,自由出现 定义2.5 在合式公式xA和xA中，称x为指 导变项，称A为相应量词的辖域。 在辖域中，x的所有出现称为约束 出现（即x受相应量词指导变项的 约束），A中不是约束出现的其他 变项的出现称为自由出现。
谓词和命题的关系
通常，n元谓词不是命题，因其真值无法确定。 如： L(x,y)。并没说明其谓词的意思。 当其谓词已为常项，其还不是命题。 如： L(x,y)： x小于y 。其真值仍无法确定。 只有当其谓词为常项，且n元个体词全为常量时， L(a,b)才是命题。 如：a=2, b=3, 其真值可唯一确定。 通常，将不带个体变项的谓词叫0元谓词。此时其不 一定是命题。只有当谓词为常项时，才是命题。 命题逻辑中的联结词在一阶逻辑中均可使用。
离散数学第2章一阶逻辑
2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
综上，有如下结论： (1)谓词中个体词的顺序不能随意变更。 (2)一元谓词用以描述一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。 (3)0元谓词就是一般命题。 (4)具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的， 前者是有真值的，而后者不是命题，它的 真值是不确定的。 (5)一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的 个体变项都用个体域中某个具体的个体取代后， 就成为一个命题。而且，个体变项在不同的个体域 中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大 的影响。
26
2.2.1 一阶逻辑公式的语言翻译 2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
例2.2.1 用一阶逻辑符号化下述语句. (1)天下乌鸦一般黑。 (2)没有人登上过木星。 (3)在美国留学的学生未必都是亚洲人。 (4)每个实数都存在比它大的另外的实数。 (5)尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明 (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使 得对任意的x，只要|x-a|<δ ，就有 |f(x)-f(a)|<ε 成立。
27
2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
解： (1)设F(x):x是乌鸦；G(x,y):x与y一般黑 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) 或者 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) (2)设H(x):x是人；M(x):x登上过木星。 (x)(H(x)M(x)) 或 (x)(H(x) M(x)) (3)设H(x)：是亚洲人；A(x):是在美国留学的学生。 (x)(A(x) H(x)); 或者： (x)(A(x) H(x)) (4)设R(x):x是实数；L(x,y):x小于y (x)(R(x) (y)(R(y) L(x,y))); (5)设M(x):x是人；C(x):x很聪明 (x)(M(x)C(x)) (x)((M(x) C(x)); (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使得对任意的x，只 要|x-a|<δ ，就有|f(x)-f(a)|<ε 成立。 (ε )((ε >0)(δ )((δ >0) (x)(( |x-a|<δ (|f(x)-f(a)|<ε )))) 28
《离散数学》-一阶逻辑-基本概念
《离散数学》-⼀阶逻辑-基本概念⼀阶逻辑这个⼀块属于离散数学的内容，它的功能就是将⾃然事物给符号化以为体系的确⽴奠定语⾔基础。
回想⽆论学汉语还是英语的语法，我们都是从句⼦的主⼲学起，那么数学作为⼀门语⾔，它的句⼦当然也有所谓的主⼲。
个体词：个体次是所研究对象可以独⽴存在的具体的或者抽象的客体。
具体⽽特定的客体个体成为个体常项，⼀般⽤⼩写字母a、b、c表⽰。
⽽将抽象或泛指的个体词成为个体变项，⼀般⽤英⽂字母x、y、z表⽰，并称个体变项的取值范围为个体域。
举例说明：(1)“5是素数”，5、素数都是个体词语，5是个体常项⽽素数是个体变项.(2)“x>y”，x、y都是个体变项.谓词：这⾥似乎类似于⾃然语⾔中谓语动词，往往是形容“⼀个动作”，但是在这⾥，谓词是形容“⼀种关系”，当然和个体词类似，根据这种描绘个体之间的关系的确定与否(具体或者抽象泛指)，我们也可以把谓词分为常项和变项。
举例说明:（1） X是有理数。
“是有理数”是常项谓词。
（2） X与y有具体关系L。
这⾥及其迷惑⼈的是语句“有具体关系L”，但是本质上关系L还是抽象的不确定的，因此这⾥“有具体关系L”是变项谓词。
下⾯要做的就是将这种描述关系的语句进⾏符号化，这⾥其实有点类似于函数的概念，因为谓词描述的是个体之间的关系，因此它必须依赖于个体。
我们⽤F、G、H来进⾏符号化的表⽰。
F(a)、F(x)分别表⽰个体常项a、个体变项x满⾜的性质F(a)和F(x).更⼀般的情况，P(x1,x2,x3…xn)表⽰个体x1,x2,…xn具有关系P。
对于不含个体变项的谓词，我们成为0元谓词。
Ex1：将下列命题在⼀阶逻辑中⽤0元谓词符号化，并讨论他们的真值(1) 只有2是素数，4才是素数。
G(2)表⽰2是素数，G(4)表⽰4是素数，则我们将这个命题符号化的结果： G(2) —> G(4)，由于命题的条件为假，因此该命题为真。
(2) 如果5⼤于4，则4⼤于6G(5,4)表⽰“5⼤于4”，命题符号化之后的结果： G(5,4) —> G(4,6)，条件为真结论为假，因此命题为假。
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
数理逻辑部分第2章一阶逻辑2.1 一阶逻辑基本概念个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，…0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项量词: 表示数量的词全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等如x 表示对个体域中所有的x存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等如x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) x (F(x)G(x))(2) x (F(x)G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)))或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特别要求，用全总个体域量词顺序一般不能随便颠倒否定式的使用思考：①没有不呼吸的人②不是所有的人都喜欢吃糖③不是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应如何符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1(2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1(3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1(4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1(5) 量词符号：,(6) 联结词符号：, , , ,(7) 括号与逗号：(, ), ，定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n是任意的n个项，则(t1, t2, …, t n) 是项.(3) 所有的项都是有限次使用(1), (2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数还是项定义设R(x1, x2, …, x n)是任意的n元谓词，t1,t2,…, t n是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, t n)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B),(A B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.请举出几个合式公式的例子.定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的.例如, 在公式x(F(x,y)G(x,z)) 中,A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x为指导变元, A中x的两次出现均为约束出现，y与z均为自由出现.闭式: 不含自由出现的个体变项的公式.给定公式A=x(F(x)G(x))成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1代入得A=x(x>2x>1) 真命题成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2代入得A=x(x>1x>2) 假命题问: xF(x)x F(x) 有成真解释吗？xF(x)x F(x) 有成假解释吗？被解释的公式不一定全部包含解释中的4部分.闭式在任何解释下都是命题，注意不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题.永真式（逻辑有效式）：无成假赋值矛盾式（永假式）：无成真赋值可满足式：至少有一个成真赋值几点说明：永真式为可满足式，但反之不真谓词公式的可满足性（永真性,永假性)是不可判定的利用代换实例可判某些公式的类型定义设A0是含命题变项p1, p2, …,p n的命题公式，A1,A2,…,A n是n个谓词公式，用A i处处代替A0中的p i (1i n)，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等都是p q的换实例，x(F(x)G(x)) 等不是p q 的代换实例.定理重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式.2.3 一阶逻辑等值式等值式定义若A B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A B，并称A B为等值式.基本等值式:命题逻辑中16组基本等值式的代换实例如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等消去量词等值式设D={a1,a2,…,a n}xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)量词否定等值式设A(x)是含x自由出现的公式xA(x)x A(x)xA(x)x A(x)量词分配等值式x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)注意：对无分配律，对无分配律例将下面命题用两种形式符号化(1) 没有不犯错误的人(2) 不是所有的人都爱看电影解(1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))请给出演算过程，并说明理由.(2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))给出演算过程，并说明理由.前束范式定义设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B, 则称A为前束范式, 其中Q i(1i k)为或，B为不含量词的公式.例如，x y(F(x)(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))是前束范式, 而x(F(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))不是前束范式.定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式注意:公式的前束范式不惟一求公式的前束范式的方法: 利用重要等值式、置换规则、换名规则、代替规则进行等值演算.换名规则: 将量词辖域中出现的某个约束出现的个体变项及对应的指导变项，改成其他辖域中未曾出现过的个体变项符号，公式中其余部分不变，则所得公式与原来的公式等值.代替规则: 对某自由出现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号不同的符号去代替，则所得公式与原来的公式等值.例求下列公式的前束范式(1) x(M(x)F(x))解x(M(x)F(x))x(M(x)F(x)) （量词否定等值式）x(M(x)F(x))两步结果都是前束范式，说明前束范式不惟一.(2) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x) （量词否定等值式）x(F(x)G(x)) （量词分配等值式）另有一种形式xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)xF(x)y G(y) ( 换名规则) x y(F(x)G(y)) ( 量词辖域扩张)两种形式是等值的(3) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)x(F(x)G(x)) （为什么？）或x y(F(x)G(y)) （为什么？）(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))解xF(x)y(G(x,y)H(y))zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）z y(F(z)(G(x,y)H(y))) （为什么？）或xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则）x y(F(x)(G(z,y)H(y)))(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))解用换名规则, 也可用代替规则, 这里用代替规则x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))x y(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))注意：x与y不能颠倒。
离散数学近世代数代数结构
重点：
代数结构的判定与构造，代数结构关系：同态、同构 难点：
同态基本定理
第六页，共39页
代数运算、代数结构
S是非空集合，映射 f: SnS称为S上的n元运算。 写法: f(a,b)=c可改写为: a f b=c 例如，在集合R上，对任意两个数所进行的普通加法
什么是代数结构
由集合以及集合上的运算组成的数学结构 称为代数结构（也称为代数系统）. 代数结构是抽象代数的一个主要内容. 研究的中心问题：
集合上的抽象运算及运算的性质和结构。
第三页，共39页
关于代数结构
研究意义：研究抽象代数结构的基本特征和基本结构，
不仅能深化代数结构的理论研究，也能扩展其应用领 域。
∴★是满足结合律的.
第十二页，共39页
交换律
设有代数系统(S，*)，如果对于a，b S，有a*b =
b*a，则称此代数系统的运算“ * ”满足交换律。
例：在整合集合 I 上定义运算 ：
对任何
其中的 +a ，,b 分I别,a 是通b 常a 数b 的 ( 加a 法 b 和)乘法。 可以满足交换律吗？第十Leabharlann ，共39页代数系统的基本概念
如果两个代数系统有相同个数的运算符，每个相对应的 运算符的元数是相同的，则称这两个代数系统是同类
型的。 定义：两个代数系统(U，)与(U，*) ，如果满足下
列条件： ① U U； ② 若a U，bU，则a*b =a b；则称(U，*)是
(U，)的子系统或子代数 。
第二十三页，共39页
定理：设代数系统(U，)，运算“ ”满足结合律，且 存在幺元 e，那么对任意固定的 xU，若 x 有逆元，则
离散数学课件第二章 一阶逻辑
§2.1
一阶逻辑的基本概念
原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系
和数量关系。
要反映这种内在联系，就要对命题逻 辑进行分析 , 分析出其中的个体词、谓词和 量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出 正确的推理形式和规则，这就是一阶(谓词) 逻辑的研究内容。 办法：将命题再次细分。
解决这个问题的方法： 在表示命题时，既表示出主语，也表示 出谓语，就可以解决上述问题。这就提出了 谓词的概念(谓词是用来刻划个体词的性质 或事物之间的关系的词,谓词S(x)相当于一 个函数).
§2.1 一阶逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词和命题函数 在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词和个体两部分。
主语 谓语 宾语
讨论对象 对象的性质或关系
讨论对象
个体词（组）
谓词
个体词（组）
1、定义：在原子命题中，所描述的对象称为个体；用 以描述个体的性质或个体间关系的部分，称为谓词。
例2.1：分析下列个命题中的个体和谓词
如何表示？
2.1.3 命题函数 谓词本身并不是命题，只有谓词的括号内填入足够 的个体，才变成命题。 设 H(x) 是谓词 表示 x “能够到达山顶” ， l 表示个体李四， t 表示老虎， c 表示汽车， 那么H（l）， H（t）， H（c），等分别表示各 个不同的命题：但它们有一个共同的形式， 即 H（x） 当 x 分别取 l、 t、 c 时 就表示“李四能够到达山顶”，“老虎能够到达山 顶”，“汽车能够到达山顶”。
Discrete Mathematics
刘师少
Tel： 86613747（h） E-mail： lss@
授课:
51学时
教学目标:
知识、能力、素质
第二章 一阶逻辑
第二章 离散数学一阶逻辑
§2.1 一阶逻辑的基本概念
2-1.1 客体与客体变元
一 阶 逻 辑
定义：能够独立存在的事物，称之为客 体，也称之为个体。它可以是具体的，也 可以是抽象的事物。通常用小写英文字母 a、b、c、...表示。 例如，小张、小李、8、a、沈阳、社会主 义等等都是客体。 定义：用小写英文字母x、y、z...表示任何 客体，则称这些字母为客体变元。 注意：客体变元本身不是客体。
3/26/2009 11:15 AM Discrete Math, Min Zhang 21
§2.2 一阶逻辑公式及解释
2-2.1 原子谓词公式（原子公式） 一阶逻辑涉及到的符号： （1）个体变元符号 （2）个体常元符号 （3）运算符号 （4）谓词符号 （5）量词符号 （6）联结词符号 （7）逗号和圆括号
3/26/2009 11:15 AM Discrete Math, Min Zhang 10
一 阶 逻 辑
定义：量词后边要有一个客体变元，指明对哪 个客体变元量化，称此客体变元是量词后的指导 变元。 例如 x(读作“任意x”)，x(读作“存在x”)，其 中的x就是量词后的指导变元。
3/26/2009 11:15 AM
3/26/2009 11:15 AM Discrete Math, Min Zhang 19
本节小结
一 阶 逻 辑
本节需要掌握以下内容： 命题逻辑的局限性； 客体与客体变元的区别； 谓词的含义以及对命题函数的理解； 论域的理解； 量词的种类及含义，什么是指导变元； 会正确的命题符号化 客体函数与谓词的区别。 作业：P59-1(4)(5)(8)(9)
Discrete Math, Min Zhang
离散数学一阶逻辑
解释
定义 解释I由下面4部分组成： (a) 非空个体域DI (b) DI中一些特定元素的集合{a1,, ai ,} (c) DI上特定函数集合{ fin | i, n 1} (d) DI上特定谓词的集合 {Fi n | i, n 1}
说明： 在解释的定义中引进了元语言符号, 如ai , fin , Fi n 等 被解释的公式A中的个体变项均取值于DI 若A中含个体常项ai，就解释成 ai
例将命题符号化:(1) 每个自然数都是实数. (2) 有的自然数是实数.
解(1) ∀x(N(x) →R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数
(2) ∃x(N(x) ∧R(x)) 其中特性谓词N(x)：x是自然数 ; R(x)：x是实数
17
6. 多个量词同时出现时,不能随意颠倒它们 的顺序，颠倒后会改变原命题的含义.
25
合式公式
定义 合式公式（谓词公式，简称公式）定义如下： (1) 原子公式是合式公式. (2) 若A是合式公式，则 (A)也是合式公式 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是合式公式 (4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式 (5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串 才是合式公式.
第三章 一阶逻辑
1
一阶逻辑基本概念
一阶逻辑命题符号化 一阶逻辑公式、解释
2
谓词逻辑（一阶逻辑）的引入
著名的三段论论证： 所有的人都将死去。 苏格拉底是人。 所以：苏格拉底将死去。
从人们的实践经验可知，这是一个有效的推论。 但在命题逻辑中却无法判断它的正确性。 因为在命题逻辑中只能将推理中的三个简单命
(2) x G(x) 真值为0 (b) (1) x F(x) 真值为1
第4章一阶逻辑基本概念离散数学
由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以命题为假。
例题
将命题“这只大红书柜摆满了那些古书。”符号化.
(1)设 F(x,y)：x摆满了y，R(x)：x是大红书柜
Q(y)：y是古书， a：这只，
b：那些
符号化为：R(a)∧Q(b)∧F(a,b)
词。
–n=1时，一元谓词——表示x1具有性质P。 –n≥2时，多元谓词——表示x1,x2,…,xn具有关系P。
0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、G(a,b)、
P(a1,a2,…,an)。
n元谓词是命题吗？ 思考 不是，只有用谓词常项取代P，用个体常项取代
x1,x2,…,xn时，才能使n元谓词变为命题。
定在某个个体域上进行，否则，在由一切事物构成的全总 个体域上考虑问题时，需要增加一个指出个体变量变化范 围的特性谓词。 (2)量词的使用及作用范围。 (3)正确地语义。
例题
解：没有提出个体域，所以认为是全总个体域。 （1）所有的人长着黑头发。
令F(x):x长着黑头发， M(x):x是人。命题符号化为 x(M(x)→F(x))。
苏格拉底三段论
P：所有的人都是要死的； Q：苏格拉底是人。 R：苏格拉底是要死的。 可见，P，Q，R为不同的命题，无法体现三者相互之间 的联系。
问题在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是体现 在原子命题之间，而是体现在构成原子命题的内部成分 之间。对此，命题逻辑将无能为力。
本章内容
1
一阶逻辑命题符号化
示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。
–可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 –可以是无穷集合，如N,Z,R,…。
离散数学(第二版)第2章一阶逻辑
F表示“……是学生”； G表示“……整除……”； H表示“……位于……与……之间”。
第二章 一 阶 逻 辑
这时F、G、H表示的是具体的谓词，称为谓词常元， 否则，称为谓词变元。显然，单独的一个谓词(即使是谓词 常元)并不能构成一个完整的句子，必须以个体词取代 “……”方能构成一个句子。通常我们用小写的英文字母a、 b、c(可加下标)等表示个体。这样，“小王是学生”可符号 化为F(a)，其中a表示小王。若用b表示小李，则F(b)就表示 “小李是学生”。若用c1表示2，用c2表示6，则G(c1，c2)就 表示“2整除6”。
第二章 一 阶 逻 辑
事实上，在一般的简单命题中，常有一些表示数量的词 语，诸如“所有的”、“有一些”等等，用来表示谓词中 的变量取自论域中的全体或部分个体，例如下面的两个陈 述句：
“对所有的x∈D，论断F(x)为真。” “对某些x∈D，论断F(x)为真。” 在谓词逻辑中，我们用量词把它们形式化。
x y(F(x)∧G(y)∧ H(x，y)) x(F(x)∧ y (G(y)∧ H(x，y)))
第二章 一 阶 逻 辑
(4) 本命题的意思是：对于每个x，如果x是病人，就存 在着医生y，使得x相信y。因此，本命题符号化为：
x(F(x)→ y(G(y)∧H(x，y))) 【例2.1.5】将下列命题形式化为一阶逻辑中的命题： (1) 任意一个整数x，均有另一个整数y，使得x+y等于0。 (2) 存在这样的实数x，它与任何实数y的乘积均为y。
离散数学第二章一阶逻辑
(2) ∀x∀y(x+0=y →y+0=x) 真命题 (3) ∀x∀y∃z(x+y=z) 真命题 (4) ∀x∀y(x+y=x*y) 假命题 (5)x+y=y+z,它的真值不确定,因而不是命题. 注)非闭式,在有的解释中不是命题.
定义:设A为一公式(谓词公式),如果A在任何解释下都是 真的,则称A为逻辑有效式(永真式);如果A在任何解释下 都是假的,则称A是矛盾式(永假式);若至少存在一个解 释使A为真,则称A是可满足式. 2.代换实例 设A0是含命题变项p1,p2,…,pn的命题公式,A1,A2,…,An 是n个谓词公式,用Ai(1≤i≤n)处处代换pi,所得公式A 称为A0的代换实例. 例如:F(x)→G(x),∀xF(x)→∃xG(x)等都是p→q的代换实例; 命题公式中的重言式的代换实例在谓词公式中可仍称为重言式 ,这样的重言式都是逻辑有效式. 命题公式中的矛盾式的代换实例仍为矛盾式.
例2.7 给定解释I如下: 1)DI={2,3} 2)DI中特定元素a=2 3)函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2 4)谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(i,j)=1,i,j=2,3 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0 在解释I下,求下列各式的真值 (1) ∀ ∀x(F(x)∧G(x,a)) (2)∃x(F(f(x))∧G(x,f(x))) ∃ (3)∀x∃yL(x,y) ∀ ∃
例2.2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)凡有理数均可表成分数; (2)有的有理数是整数; 要求:1)个体域为有理数集合, 2)个体域为实数集合, 3)个体域为全总个体域. 解: 1)个体域为有理数集合(不用引入特性谓词): (1) 设 F(x):x可表成分数; 则命题符号化为∀xF(x). ∀ (2) 设 G(x):x是整数;则命题符号化为∃xG(x). 2)个体域为实数集合(引入特性谓词):令 R(x):x是有理数; (1) 设F(x):x可表成分数;则命题符号化为∀x(R(x)→F(x)) (2) 设G(x):x是整数;则命题符号化为∃x(R(x)∧G(x))。
离散数学 第二章 一阶逻辑
一阶逻辑中命题符号化( 一阶逻辑中命题符号化(续)
例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 人都爱美; 分别取(a) 为人类集合 为人类集合, 分别取 D为人类集合 (b) D为全总个体域 . 为全总个体域 爱美, 解:(a) (1) 设G(x):x爱美 符号化为 x G(x) : 爱美 (2) 设G(x):x用左手写字 符号化为 x G(x) 用左手写字, : 用左手写字 (b) 设F(x):x为人,G(x):同(a)中 为人, : 为人 : 中 (1) x (F(x)→G(x)) → (2) x (F(x)∧G(x)) 这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用. 这是两个基本公式 注意这两个基本公式的使用
21
代换实例( 代换实例(续)
如下: 例1 给定解释I 如下: (a) 个体域 D=N (b) a = 2 (c) f ( x , y ) = x + y, g ( x , y ) = xy (d) 谓词 F ( x , y ) : x = y 下的涵义,并讨论真值 说明下列公式在 I 下的涵义 并讨论真值 (1) xF(g(x,a),x) x(2x=x) 假命题 (2) xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) → xy(x+2=y→y+2=x) → 假命题
18
解释 (续) 续
被解释的公式不一定全部包含解释中的4部分 被解释的公式不一定全部包含解释中的 部分. 部分 闭式在任何解释下都是命题, 闭式在任何解释下都是命题, 注意不是闭式的公式在某些解释下也可能是命 题.
19
公式的分类
永真式(逻辑有效式) 永真式(逻辑有效式):无成假赋值 矛盾式(永假式) 矛盾式(永假式):无成真赋值 可满足式: 可满足式:至少有一个成真赋值 几点说明: 几点说明: 永真式为可满足式, 永真式为可满足式,但反之不真 谓词公式的可满足性(永真性,永假性) 谓词公式的可满足性(永真性,永假性)是不可判 定的 利用代换实例可判某些公式的类型
离散数学2 一阶逻辑讲解
均以全总个体域为个体域，
(3) 在引入特性谓词后，使用全称量词用“ ”， 使用存在量词用“ ”，
凡人都是要死的， （前提） 苏格拉底是人， （前提）
所以苏格拉底是要死的。（结论）
这是著名的“苏格拉底三段论”，
若用 p, q, r 分别表示以上3个命题，
推理形式为( p q) r ，不是重言式。
例如：判断以下推理是否正确：
凡人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 命题逻辑的局限性：
个体词：每一个实数
“所有”是什么？
谓词： ···的平方是非负的 量词：所有
（6）有一个比21000大的素数。
个体词：一个素数 谓词： ···比21000大
“有一个”是什么？ 量词：有一个
n元谓词(用 F ( x1, x2 , , xn ) 表示)
表示含n个体变项的谓词。 (n 1)
如F(x, y)：x 比 y 高。 其中F(x, y) 是二元谓词，x, y 为个体词。
(1) 所有的人都是要死的。 (2) 有的人活百岁以上。 第二种情况：个体域D为全总个体域 (1)对所有个体而言，如果它是人，则它是要死
的。
x(M (x) F (x))
(2) 存在着个体，它是人并且活百岁以上。
x(M (x) F (x))
注意：使用量词时，应注意以下6点： (1) 在不同个体域中，
则命题符号化为： L(a,b) （ L a,c）
例2 将下列命题用0元谓词符号化
(3)如果张明比李民高， 李民比赵亮高，则张明比赵亮高。
解： H(x, y) : x比y高 a : 张明;b : 李民;c : 赵亮
离散数学第四章一阶逻辑基本概念
在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。
因而命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一些简单而常见的推理。
考虑下面的推理:凡偶数都能被2整除；6是偶数。
所以，6能被2整除。
这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在命题逻辑中却无法判断它的正确性。
因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为p，q，r，将推理的形式结构符号化为(p∧q)→r由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。
为了克服命题逻辑的局限性，就应该将简单命题再细分，分析出个体词，谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系，这就是一阶逻辑所研究的内容。
一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。
4.1 一阶逻辑的符号化下面直接仿照1.1来对谓词逻辑进行符号化。
个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。
下面讨论这三个要素。
一、个体词个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。
例如，小王，小李，中国，，3等都可以作为个体词。
将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，一般用小写英文字母a，b，c…表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变项，常用x，y，z…表示。
称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。
个体域可以是有穷集合，例如，{1，2，3}，{a，b，c，d}，{a，b，c，…，x，y，z}，…；也可以是无穷集合，例如，自然数集合N={0，1，2，…}，实数集合R={x|x是实数}…。
有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的，称它为全总个体域。
本书在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。
二、谓词谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。
考虑下面四个命题(或命题公式):(1)是无理数。
(2)x是有理数。
(3)小王与小李同岁。
(4)x与y具有关系L.在(1)中，是个体常项，“…是无理数”是谓词，记为F，并用F()表示(1)中命题。
离散数学一阶逻辑命题符号化ppt课件
凡偶数都能被2整除. 6是偶数. 所以, 6能被2整除.
这个推理是数学中的真命题, 是正确的, 但在命题逻辑中却无 法判断其正确性, 用p,q,r分别表示以上三个命题. 则得到推理的形式结构为:
(p∧q)→r
由于上式不是重言式, 因而不能由它判断推理的正确性. 原因 在于各命题的内在联系没有表示出来. 为了克服命题逻辑的局限性, 应该将原子命题再细分, 分析出 个体词, 谓词和量词, 以便达到表达出命题的内在联系和命题 之间的逻辑关系. 这就是一阶逻辑所研究的内容.
解
(1) 令M(x): x 为实数 ; F(x): x能写成整数之比. 则
x (M(x)→ F(x))
不是 x (M(x) ∧ F(x))
假命题
(2) 令M(x): x 为素数; G(x): x为偶数. 则
x (M(x)∧G(x))
不是 x (M(x) → G(x))
真命题
(3) 令M(x): x 是人; H(x): x登上过木星. 则
2. 谓词: 用来刻划个体词的性质或个体词之间相互关系的词. 例如: (1) 在命题“是无理数”中, “…是无理数”是谓词.
(2) 在命题“x 是有理数”中, “…是有理数”是谓词. (3) 在命题“小王与小李同岁”中, “…与…同岁”是谓词. (4) 在命题“x与y具有关系L”中, “…与…具有关系L”是谓词. 注 ① 常用大写字母F, G, H 等来表示谓词. ② 表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项; 表示抽象或泛指的性质或关系的谓词称为谓词变项. ③ F(a): 表示个体常项a具有性质F (F是谓词常项或变项); F(x): 表示个体变项x具有性质F (F同上); F(a,b): 表示个体常项a, b具有关系F (同上); F(x,y): 表示个体变项 x, y具有关系F (同上) . 一般地, 用P(x1,x2,…,xn)表示含n(n≥1)个个体变项x1,x2,…,xn 的n元谓词. 它可看成以个体域为定义域, 以{0,1}为值域的n元函数关系. 当P取常项, 且(x1,x2,…,xn)取定常项(a1,a2,…,an)时, P(a1,a2,…,an)是一个命 题.
离散数学2 一阶逻辑共103页文档
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3) 多个量词出现时, 不能随意交换顺序
如 在个体域R中, 记H(x,y): x+y=10
xy H(x,y)
真值为1
yx H(x,y)
真值为0
(4) 命题的符号化不惟一
如例5 (1) x (F(x)y(G(y)H(x,y)))
(3) xy(F(x)G(y)H(x,y))
(4) xy(F(x)G(y)L(x,y))
课件
5
谓词
谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项: 表示具体性质或相互之间关系的谓词 谓词变项: 表示抽象性质或相互之间关系的谓词 谓词用F,G,H,P等表示
n元谓词P(x1, x2,…, xn): 含n个命题变项的谓词, 是定义在 个体域上, 值域为{0,1}的n元函数
一元谓词: 表示事物的性质
课件
8
量词
量词: 表示数量的词 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如 x 表示对个体域中所有的x x F(x) 表示所有的x具有性质F
存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如 x 表示在个体域中存在x x F(x) 表示存在x具有性质F
课件
9
一阶逻辑命题符号化
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化:
多元谓词(n2): 表示事物之间的关系
0元谓词: 不含个体变项的谓词,即命题常项或命题变项
课件
6
实例
例1 (1) 4是偶数 4是个体常项, “是偶数”是谓词常项, 符号化为: F(4)
(2) 小王和小李同岁 小王, 小李是个体常项, 同岁是谓词常项. 记a:小王, b: 小李, G(x,y): x与y同岁, 符号化为: G(a,b)
课件
13
一阶语言L
定义3.1 一阶语言L 的字母表定义如下：
(1) 个体常项：a, b, c, …, ai, bi, ci, …, i 1 (2) 个体变项：x, y, z, …, xi, yi, zi, …, i 1 (3) 函数符号：f, g, h, …, fi, gi, hi, …, i 1 (4) 谓词符号：F, G, H, …, Fi, Gi, Hi, …, i 1 (5) 量词符号：,
(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字
个体域分别取(a) 人类集合, (b) 全总个体域 .
解: (a) (1) 设F(x): x爱美, 符号化为 x F(x)
(2) 设G(x): x用左手写字, 符号化为 x G(x)
(b) 设M(x): x为人， F(x), G(x)同(a)中
(1) x (M(x)F(x))
第3章 一阶逻辑
• 3.1 一阶逻辑基本概念 • 3.2 一阶逻辑等值演算
课件
1
3.1 一阶逻辑基本概念
• 3.1.1 命题逻辑的局限性
• 3.1.2 个体词、谓词与量词
– 个体常项、个体变项、个体域、全总个体域 – 谓词常项、谓词变项 – 全称量词、存在量词
• 3.1.3 一阶逻辑命题符号化
课件
(3) x< y x,y是命题变项, < 是谓词常项, 符号化为: L(x,y)
(4) x具有某种性质P x是命题变项, P是谓词变项, 符号化为: P(x)
课件
7
实例
例2 将下述命题用0元谓词符号化, 并讨论它们的真值: (1) 2是无理数, 而 3 是有理数 (2) 如果2>3，则3<4 解 (1) 设F(x): x是无理数, G(x): x是有理数 符号化为 F( 2)G( 3) 真值为0 (2) 设 F(x,y): x>y, G(x,y): x<y, 符号化为 F(2,3)G(3,4) 真值为1
课件
4
个体词与个体域
个体词: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体 个体常项: 表示具体事物的个体词, 用a, b, c等表示 个体变项: 表示抽象事物的个体词, 用x, y, z等表示 个体域: 个体变项的取值范围 全总个体域: 宇宙间一切事物
例如 “若x是偶数, 则x能被2整除.” x、 偶数和2是个体词, 偶数和2是个体常项, x是个体变项 个体域可以是自然数集N, 整数集Z,…, 也可以是全总个 体域
H(x,y): x比y跑得快, L(x,y): x和y跑得一样快
(1) xy(F(x)G(y)H(x,y))
(2) x(F(x)(y (G(y)H(x,y)))
(3) xy(F(x)G(y)H(x,y))
(4) xy(F(x)G(y)L(x,y))
课件
12
注意
(1) 一元谓词和多元谓词的使用
(2) 全称量词和存在量词的区别
(2) x G(x) 真值为0 (b) (1) x F(x) 真值为1
(2) x G(x) 真值为1
课件
11
实例
例5 将下面命题符号化:
(1) 兔子比乌龟跑得快
(2) 有的兔子比所有的乌龟跑得快
(3) 并不是所有的兔子都比乌龟跑得快
(4) 不存在跑得一样快的兔子和乌龟
解 用全总个体域, 令F(x): x是兔子, G(y): y是乌龟,
2
3.1 一阶逻辑基本概念(续)
• 3.1.4 一阶逻辑公式与分类
– 一阶语言L （字母表、项、原子公式、合式 公式）
– 辖域和指导变元、约束出现和自由出现 – 闭式 – 一阶语言L 的解释 – 永真式、矛盾式、可满足式 – 代换实例
课件
3
命题逻辑的局限性
• 苏格拉底三段论 • （1）所有的人都是要死的。P • （2）苏格拉底是人。Q • （3） 苏格拉底是要死的。R • 应当有：PQR • 但当P,Q取1，而R取0时，真值为0
(6) 联结词符号：, , , ,
(7) 括号与逗号：( ), ，
课件
14
一阶语言L (续)
定义3.2 L 的项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项.
(2) 若(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn是任意 的n个项，则(t1, t2, …, tn) 是项.
(2) x (M(x)G(x))
M(x)称作特性谓词
课件
10
实例
例4 将下列命题符号化, 并讨论其真值: (1) 对任意的x, 均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) (2) 存在x, 使得x+5=3 分别取(a) 个体域D1=N, (b) 个体域D2=R 解 记F(x): x2-3x+2=(x-1)(x-2), G(x): x+5=3 (a) (1) x F(x) 真值为1