高三数学导数的四则运算法则PPT优秀课件
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导数的运算法则PPT教学课件
• 能利用给出的基本初等函数的导数公式表 和导数的四则运算法则求简单函数的导数
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
导数运算法则PPT优秀课件
因为两切线重合, 2x 1x 1 2 2(xx 2 22 42) x x2 1 0 2或 x x1 2 2 0.
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
作业:
(1)
y
1 x2
4 x3
;
(3)
y
1 cos2
; x
(2)
y
1 x2 (1 x2)2
;
(4) y 6x3 x; 1 x2
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
-4t3+16t2.
4
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
导数的四则运算法则 课件)
②[cf (x)]′＝__c_f_′_(x_)__．
(3)商的导数gfxx′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
3．(1)2xx′＝________；(2)(xex)′＝________．
1－xln 2 (1) 2x
(2)(1＋x)ex
[(1)2xx′＝2x－x2·x22xln 2＝1－2xxln 2；
(2)y′＝(xtan
x)′＝xcsoisn
x′
x
＝xsin
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x
＝sin xccooss2xx＋x．
类型 3 导数计算的综合应用 【 例 3 】 (1) 曲 线 y ＝ 3(x2 ＋ x)ex 在 (0 ， 0) 处 的 切 线 方 程 为 ________． (2)设 f (x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数 a，b，c，d， 使得 f ′(x)＝xcos x．
又∵f ′(x)＝xcos x，
a－d＝0， ∴aa－x＋cxb－＋dc＝＝0x，， 即－ a＝c＝1，0，
b＋c＝0，
解得 a＝d＝1，b＝c＝0．
含参数的函数的求导问题 (1)求导是对自变量的求导，要分清解析式中的自变量和参变量． (2)函数 f (x)中含有 f ′(a)时，通常将导数 f ′(x)中的 x 取 a，求出 f ′(a) 的具体值，代入函数 f (x)中，从而确定函数的解析式． (3)函数式中含有参数的，一般利用待定系数法、导数的运算法 则确定参数的值即可．
[跟进训练]
1．求下列函数的导数：
5.2.2导数的运算法则课件(人教版)
导数的四则运算法则
复习回顾
基本初等函数的导数公式
公 式1.若f ( x ) c， 则f ' ( x ) 0;
公 式2.若f ( x ) x ， 则f ' ( x ) nx
n
n 1
;
公 式3.若f ( x ) sin x， 则f ' ( x ) cos x;
公 式4.若f ( x ) cos x， 则f ' ( x ) sin x;
巩固练习
例2 求导数：
2sin
3
（1） = e ； （2） = 2 ;
巩固练习
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需
净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用(单位：元)为
5284
c( x )
(80 x 100)
100 x
(2)98％
巩固练习 练习：求下列函数的导数:
1 2
x
2
(1) y 2 x x ;
(2) y
;
2
x x
1 x
(3) y tan x;
ln x
(4) y (2 x 3)(3 x 2)； (5) y x tan x;
(6) y
x
1
2
1
4 5 3
2
x ;
解：(1) y ( )'( 2 )' x x ' 2 3
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
复习回顾
基本初等函数的导数公式
公 式1.若f ( x ) c， 则f ' ( x ) 0;
公 式2.若f ( x ) x ， 则f ' ( x ) nx
n
n 1
;
公 式3.若f ( x ) sin x， 则f ' ( x ) cos x;
公 式4.若f ( x ) cos x， 则f ' ( x ) sin x;
巩固练习
例2 求导数：
2sin
3
（1） = e ； （2） = 2 ;
巩固练习
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需
净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用(单位：元)为
5284
c( x )
(80 x 100)
100 x
(2)98％
巩固练习 练习：求下列函数的导数:
1 2
x
2
(1) y 2 x x ;
(2) y
;
2
x x
1 x
(3) y tan x;
ln x
(4) y (2 x 3)(3 x 2)； (5) y x tan x;
(6) y
x
1
2
1
4 5 3
2
x ;
解：(1) y ( )'( 2 )' x x ' 2 3
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
《导数的四则运算》PPT课件_OK
x+x2+x3+…+xn的导数.
解：(1) x
x2
x3
xn
x(1
xn) (x
1),
1 x
Pn (
x)
(x
x2
x3
xn
)
(
x xn1 1 x
)
( x xn1 )(1 x) ( x xn1 )(1 x) 1 (n 1)xn nxn1
(1 x)2
(1 x)2
.
(2)Sn [Pn ( x)]
Y=(x+1)(x+2)(x+3)
9
• 猜想:函数f1 (X) ·f2(x) ·f3(x) … fn(x) 的导数
10
讨论函数f 1 (x) + f 2(x)+ f3(x)+… + f n(x) 的导数并证明.
11
例３求曲线y=2x+x3在x= -1处的切线方 程
y=5x+2
12
例 4在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的 切线所对应的切点．
如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是
l的方程.
17
所以
2x1x12
2
2 x22
x2 a
,
消去x2得方程:2x12+2x1+1+a=0.
若判别式△=4－4×2(1+a)=0时,即a=-1/2时解得
x1=-1/2,此时点P与Q重合.
即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得 公切线方程为y=x-1/4.
y [u( x x) v( x x)] [u( x) v( x)] [u( x x) u( x)] [v( x x) v( x)] u v; y u v ,
新教材高中数学第五章导数的四则运算法则简单复合函数的导数ppt课件新人教A版选择性必修第二册
4.(2020·广州高二检测)设函数f(x)的导数为f′(x),且满足f(x)=f′(1)x32x,则f(1)=________. 【解析】根据题意,f(x)=f′(1)x3-2x,则f′(x)=3f′(1)x2-2xln 2,当x=1时, 有f′(1)=3f′(1)-2ln 2,解得f′(1)=ln 2,则f(x)=ln 2×x3-2x,故f(1)= ln 2-2. 答案:ln 2-2
c 9,
【内化·悟】 运用导数解有关切线问题应特别注意什么? 提示:(Байду номын сангаас)导数的双重性;(2)切点坐标的双重性.
【类题·通】 关于求导法则的综合应用
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的 条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键, 务必做到准确. 易错警示:分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点.
x
2.函数f(x)=ex+xsin x-7x在x=0处的导数等于 ( )
A.-6
B.6
C.-4
D.-5
【解析】选A.f′(x)=(ex)′+(xsin x)′-(7x)′=ex+sin x+xcos x-7,
所以f′(0)=e0-7=-6.
3.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内.已知 曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________. 【解析】设P(x0,y0)(x0<0),由题意知y′｜x=x0 3 x-012 0=2, 即 x0=2 4,得x0=-2,所以y0=15,故点P的坐标为(-2,15). 答案:(-2,15)
高中数学导数运算法则PPT课件
代入 y0＝ex0，得 y0＝1， 即 P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得距离为 22.
第19页/共21页
例5.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1, y 2x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
教学目标 熟练运用导数的四则运算法则，并能灵活运
用
• 教学重点：熟练运用导数的四则运算法则
• 教学难点：商的导数的运用
第1页/共21页
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn , 则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第 二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第
第18页/共21页
练习：点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直线 y＝x 的最小距离．
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．
则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，
即 y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得 x0＝0，
利用点到直线的距离公式得距离为 22.
第19页/共21页
例5.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1, y 2x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①
教学目标 熟练运用导数的四则运算法则，并能灵活运
用
• 教学重点：熟练运用导数的四则运算法则
• 教学难点：商的导数的运用
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我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xn , 则f '(x) nxn1;
公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第 二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第
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练习：点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直线 y＝x 的最小距离．
解：根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 y＝ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的点，如图．
则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1，
即 y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得 x0＝0，
导数的四则运算法则课件
【错因】忽略 f′(x)与 f′(x0)的区别，f′(x)是导数，而 f′(x0)是函数值， 即常量，题中 f′－31是函数 f(x)的解析式中一次项 x 的系数，应用多项式 的求导法求导时，一次项部分的导数是一个常数．
【正解】因为 f(x)＝x2＋2f′－13x， 所以 f′(x)＝2x＋2f′－31， 所以 f′－13＝2×－31＋2f′－31， 所以 f′－13＝－2×－13＝23， 即 f′－31的值为23.
3．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x) 相切，则直线l的方程为__________．
【答案】x－y－1＝0 【解析】因为点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上，所以设切点为(x0， y0)．又因为 f′(x)＝1＋ln x，所以直线 l 的方程为 y＋1＝(1＋ln x0)x.所以由 yy00＝ ＋x10＝ln(x10＋，ln x0)x0，解得 x0＝1，y0＝0，所以直线 l 的方程为 y＝x－1， 即 x－y－1＝0.
B．(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex
C．lnx2x′＝(ln
x)′x2－(ln (ln x)2
x)(x2)′＝1x·x2－(ln(lxn)2x)·2x＝x－ln2x2xln
x
D．x3－1x′＝(x3)′－(x－1)′＝3x2＋x12
【答案】C
【解析】对于 A，(x2＋2x)′＝(x2)′＋(2x)′＝2x＋2xln 2，正确；对于 B，
在求导时，对于简单的和、差、商、积可以直接求导；但有些函数 表面形式为函数的商或积，直接求导比较烦琐且易出错，可先将函数化 简，然后再求导．
1．求下列函数的导数：
高数课件-求导的运算法则
（9） (secx) secx tan x ；
（11） (arcsin x) 1 ； 1 x2
（ 13）
(arctanx)
1 1 x2
；
2021-10-3
（2） (x ) x1 ；
（4）(loga
x)
1 x ln
a
，(ln
x
)
1 x
；
（6） (cosx) sin x ；
（8） (cot x) csc2 x ；
注 1.基本初等函數的導數公式和上述求導法則
是初等函數求導運算的基礎，必須熟練掌握
2.複合函數求導的鏈式法則是一元函數微分 學的理論基礎和精神支柱，要深刻理解 ，熟 練應用——注意不要漏層
3.對於分段函數求導問題：在定義域的各個部 分區間內部，仍按初等函數的求導法則處理， 在分界點處須用導數的定義仔細分析，即分別 求出在各分界點處的左、右導數，然後確定導 數是否存在。
2021-10-3
lim
x0
u x
u(x),
lim
x0
v x
v(x)
，
lim u
x0
lim v
x0
0，
且
u u(x x) u(x), v v(x x) v(x),
u(x x) u(x) u,v(x x) v(x) v.
⑵ ⑴⑶
yxyxyx[u[((x1ux)(xu)v((uxx]))[vu()x)uvx((vuvv(]((xxx)))ux(
例 3.2.9
设
y
shx
ex
ex 2
, 求 dy .
dx
解 dy (ex ) (ex ) ex ex (x) ex ex chx.
高等数学导数的四则运算法则(课堂PPT)
导数的定义 用定义求导数 导数的几何意义与物理意义 可导与连续的关系
2
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题 自由落体运动的路程S是时间t的函数：s(t ) 1 gt 2
2
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v s t
s s0 t t0
g 2 (t0
x x0
x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
6
y
x x0 ,割线MN就转化为切线MT
割线MN的斜率就转化为曲线在 M处的切线的斜率
o
y f (x)
N
CM
x0
T
xx
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
共性： lim y x0 x
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
21
例8 过M (3,8)做曲线 y x2的切线,写出切线方程.
解 易见点M (3,8)不在曲线y x2上.
设曲线y x2的过M点的切线的切点为P( x0, x02 )
曲线在P点的切线的斜率为f ( x0 ) 2 x0
v S S(t t) S(t)
t
t
平均速度 v与Δt的取值有关，一般不等于质点在时 刻t的速度v，但Δt的值愈小，v 愈接近于t时刻的速度
v(t)。因此,取极限t0,质点在时刻t的瞬时速度:
S(t t) S(t)
v v(t) Lim
t 0
t
4
3.曲线的切线问题
N
2
一、问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题 自由落体运动的路程S是时间t的函数：s(t ) 1 gt 2
2
如图, 求 t0时刻的瞬时速度,
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间
t
,
平均速度 v s t
s s0 t t0
g 2 (t0
x x0
x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
6
y
x x0 ,割线MN就转化为切线MT
割线MN的斜率就转化为曲线在 M处的切线的斜率
o
y f (x)
N
CM
x0
T
xx
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
共性： lim y x0 x
2
法线方程为 y 2 1 ( x 1), 即 2x 8 y 15 0.
42
21
例8 过M (3,8)做曲线 y x2的切线,写出切线方程.
解 易见点M (3,8)不在曲线y x2上.
设曲线y x2的过M点的切线的切点为P( x0, x02 )
曲线在P点的切线的斜率为f ( x0 ) 2 x0
v S S(t t) S(t)
t
t
平均速度 v与Δt的取值有关，一般不等于质点在时 刻t的速度v，但Δt的值愈小，v 愈接近于t时刻的速度
v(t)。因此,取极限t0,质点在时刻t的瞬时速度:
S(t t) S(t)
v v(t) Lim
t 0
t
4
3.曲线的切线问题
N
课件7：3.2.3 导数的四则运算法则
题型二 曲线的导数与切线 例2：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1),且在点(2, －1)处与直线y＝x－3相切,求a、b、c的值.
解：因为 y＝ax2＋bx＋c 过点(1,1),
所以 a＋b＋c＝1.
y′＝2axБайду номын сангаасb,
曲线在点(2,－1)的切线的斜率为 4a＋b＝1.
又曲线过点(2,－1),所以 4a＋2b＋c＝－1.
[gf（（xx））]′＝
g（x）f′（x）－f（x）g′（x）
______g_2（_x_）_____ (g(x)≠0)
两个函数商的导数等于分母上的 函数乘上分子的导数,减去分子乘 以分母的导数所得的差除以分母 的平方
典题例证•技法归纳 题型一 应用求导法则求导数 例 1：求下列函数的导数: (1)y＝x4＋3x3－2x－5; (2)y＝xlog3x; (3)y＝sixnx; (4)y＝x－sin2xcos2x.
题型三 导数的应用
例3：已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程; (2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积. 【解析】要充分理解函数导数的几何意义,并能熟练运用 导数的运算公式.
解：(1)因为 y′＝2x＋1,y′|x＝1＝3. 所以直线 l1 的方程为 y＝3x－3. 设直线 l2 过切点(b,b2＋b－2), 则 l2 的方程为 y＝(2b＋1)x－b2－2. 因为 l1⊥l2,所以 2b＋1＝－13,解得 b＝－23, 所以直线 l2 的方程为 y＝－13x－292.
3.2.3 导数的四则运算法则
新知初探•思维启动 导数的四则运算法则 设f(x)、 g(x)是可导的.
高三数学课件：导数的四则运算
y′ = −10x + 3
y′ = −2x +1
y′ = 12 x + 1
2.积的导数 积的导数: 积的导数 法则2:两个函数的积的导数 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 法则 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数 乘第二个函数 加上第一个函数乘第二个函数 的导数 ,即(uv)′ = u′v + uv′. 即 证: y = f ( x) = u( x)v( x),
• 例1 •
(1) y=(2+x)(3-x) (2)y=(2x2+3)(3x-2)课本p 课本 Nhomakorabea19 练习
• 例２ :求下列函数的导数
Y=(x+1)(x+2)(x+3)
• 猜想 函数f1 (X) ·f2(x) ·f3(x) … fn(x) 猜想:函数 函数 的导数
讨论函数f 讨论函数 1 (x) + f 2(x)+ f3(x)+… + f n(x) 的导数并证明. 的导数并证明
例３求曲线y=2x+x3在x= -1处的切线方 求曲线 处的切线方 程 y=5x+2 y=5x+2
在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小 例 4在曲线 上 求斜率最小 的切线所对应的切点． 的切线所对应的切点．
:由于 ,故当 故当x=2时 有最小值. 解:由于y′ = 3x2 −12x −1 = 3(x − 2)2 −13 ,故当x=2时, y′有最小值. 而当x=2时,y=-13,故斜率最小的切线所对应的切点 而当 时 故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12).
即:
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导数及其应用 第三章
3.2 导数的运算
第2课时 导数的四则运算法则
第三章
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
如何求得下列函数的导数呢？ 1．y＝x5＋x3－x2＋3； 2．y＝ex－sinx＋lnx； 3．y＝cos22x－sin22x.
给出下列结论：
①若 y＝x13，则 y′＝－x34；②若 y＝3 x，则 y′＝133 x；③
Cf(x)(其中
C
是常数)在点
x
处也可导．当
g(x)≠0
时， fx 在点 gx
x 处也可导．
• 已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处 切线的斜率为8，则a＝( )
• A．9 B．6
• C．－9 D．－6
• [答案] D
• [解析] ∵y′＝4x3＋2ax， • ∴曲线在点(－1，a＋2)处切线的斜率k＝－4
•求导法则的灵活运用
求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (2)y＝x－sin2x·cos2x. [解题提示] 在求导时能化简的先化简，再求导，也可根 据求导法则直接求导．
求下列函数的导数：
(1)y＝x(x2＋1x＋x13)；(2)y＝( x＋1)( 1x－1)．
[解析] (1)∵y＝x(x2＋1x＋x13)＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
(2)∵y＝
x·1x－
x＋ 1x－1＝－x12
1
＋x－2
，
∴y′＝－12x－12
－12x－23
＝－ 1 2
x(1＋1x).
•求导法则的综合应用
截距．
求曲线 y＝x＋ x在点(1,2)处的切线在 x 轴上的
[解题提示] 解答本题可先运用求导法则求出 y′，进而求 出 y′|x＝1，再用点斜式写出切线方程，令 y＝0，求出 x 的值， 即为切线在 x 轴上的截距．
(2)y′＝((x＋1)(x＋2))′＝(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′ ＝x＋2＋x＋1＝2x＋3
求下列函数的导数：
(1)y＝x22＋x33； (2)y＝x3·10x； (3)y＝cosx·lnx； (4)y＝sixn2x. [解析] (1)y＝x22＋x33＝2x－2＋3x－3， y′＝－4x－3－9x－4.
课堂典例探究
•求导法则的直接应用
求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝(x＋1)(x＋2)； (3)y＝xx－＋11； (4)y＝－sinx＋ex.
• [解题提示] 求函数的导数，若式子能化简， 可先化简再求导．
[解析] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－ (5x)′＋6′＝4x3－6x－5
• 若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经 过坐标原点，则α＝________.
• [答案] 2
• [解析] ∵y′＝αxα－1，∴在点(1,2)处的切线 斜率k＝α，则切线方程为y－2＝α(x－1)，又 切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.2－xx′x′＝6x－132x12 ＝6x－123 x
2x
2x
＝12x x－3.
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演讲人: XXX
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若 y＝x12，则 y′＝－2x－3；④若 f(x)＝3x，则 f′(1)＝3.其中正
确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
• [答案] C
[解析]
3
本题容易错选 D.(
1
x)′＝(x3
)′＝13x－23
＝13·31x2，
而不等于133 x.
一 导数的四则运算法则
若函数 f(x)、g(x)在点 x 处可导，则 f(x)＋g(x)、f(x)g(x)、
求下列函数的导数：f(x)＝xtanx－co2sx. [解析] f′(x)＝(xcsoisnxx－co2sx)′＝(xsicnoxs－x 2)′ ＝xsinx－2′cocsoxs＋2x xsinx－2sinx ＝sinx＋xcosxccoossx2＋x xsin2x－2sinx ＝sinxcoscxo＋s2xx－2sinx＝tanx＋coxs2x－2ctoasnxx.
－2a＝8，∴a＝－6.
• 函数y＝x2cosx的导数是( )
• A．y′＝2xcosx－x2sinx ＋x2sinx
B．y′＝2xcosx
• C．y′＝x2cosx－2xsinx D．y′＝xcosx－
x2sinx
• [答案] A
• [解析] ∵y＝x2cosx，
• ∴y′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx， 故选A.
3.2 导数的运算
第2课时 导数的四则运算法则
第三章
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
如何求得下列函数的导数呢？ 1．y＝x5＋x3－x2＋3； 2．y＝ex－sinx＋lnx； 3．y＝cos22x－sin22x.
给出下列结论：
①若 y＝x13，则 y′＝－x34；②若 y＝3 x，则 y′＝133 x；③
Cf(x)(其中
C
是常数)在点
x
处也可导．当
g(x)≠0
时， fx 在点 gx
x 处也可导．
• 已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处 切线的斜率为8，则a＝( )
• A．9 B．6
• C．－9 D．－6
• [答案] D
• [解析] ∵y′＝4x3＋2ax， • ∴曲线在点(－1，a＋2)处切线的斜率k＝－4
•求导法则的灵活运用
求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (2)y＝x－sin2x·cos2x. [解题提示] 在求导时能化简的先化简，再求导，也可根 据求导法则直接求导．
求下列函数的导数：
(1)y＝x(x2＋1x＋x13)；(2)y＝( x＋1)( 1x－1)．
[解析] (1)∵y＝x(x2＋1x＋x13)＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
(2)∵y＝
x·1x－
x＋ 1x－1＝－x12
1
＋x－2
，
∴y′＝－12x－12
－12x－23
＝－ 1 2
x(1＋1x).
•求导法则的综合应用
截距．
求曲线 y＝x＋ x在点(1,2)处的切线在 x 轴上的
[解题提示] 解答本题可先运用求导法则求出 y′，进而求 出 y′|x＝1，再用点斜式写出切线方程，令 y＝0，求出 x 的值， 即为切线在 x 轴上的截距．
(2)y′＝((x＋1)(x＋2))′＝(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′ ＝x＋2＋x＋1＝2x＋3
求下列函数的导数：
(1)y＝x22＋x33； (2)y＝x3·10x； (3)y＝cosx·lnx； (4)y＝sixn2x. [解析] (1)y＝x22＋x33＝2x－2＋3x－3， y′＝－4x－3－9x－4.
课堂典例探究
•求导法则的直接应用
求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝(x＋1)(x＋2)； (3)y＝xx－＋11； (4)y＝－sinx＋ex.
• [解题提示] 求函数的导数，若式子能化简， 可先化简再求导．
[解析] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－ (5x)′＋6′＝4x3－6x－5
• 若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经 过坐标原点，则α＝________.
• [答案] 2
• [解析] ∵y′＝αxα－1，∴在点(1,2)处的切线 斜率k＝α，则切线方程为y－2＝α(x－1)，又 切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.2－xx′x′＝6x－132x12 ＝6x－123 x
2x
2x
＝12x x－3.
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若 y＝x12，则 y′＝－2x－3；④若 f(x)＝3x，则 f′(1)＝3.其中正
确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
• [答案] C
[解析]
3
本题容易错选 D.(
1
x)′＝(x3
)′＝13x－23
＝13·31x2，
而不等于133 x.
一 导数的四则运算法则
若函数 f(x)、g(x)在点 x 处可导，则 f(x)＋g(x)、f(x)g(x)、
求下列函数的导数：f(x)＝xtanx－co2sx. [解析] f′(x)＝(xcsoisnxx－co2sx)′＝(xsicnoxs－x 2)′ ＝xsinx－2′cocsoxs＋2x xsinx－2sinx ＝sinx＋xcosxccoossx2＋x xsin2x－2sinx ＝sinxcoscxo＋s2xx－2sinx＝tanx＋coxs2x－2ctoasnxx.
－2a＝8，∴a＝－6.
• 函数y＝x2cosx的导数是( )
• A．y′＝2xcosx－x2sinx ＋x2sinx
B．y′＝2xcosx
• C．y′＝x2cosx－2xsinx D．y′＝xcosx－
x2sinx
• [答案] A
• [解析] ∵y＝x2cosx，
• ∴y′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx， 故选A.