习题课三

Φ a
a b
0 I 0 l I a b 0 l I 0 sin t a b l dr ln ln 2 r 2 a 2 a
0 I 0 l a b dΦ i ln cos t dt 2 a
0 I vl 1 1 动 ( ) 2 a vt a b vt
I I 0 sin t
dS a
0 I B 2 x
x
dx
b
c
O
x
通过矩形线框的磁通量为：
0 I 0 I a Φ Bds b adx ln 3 2 3 2 x 由互感系数的定义知： M Φ 0a ln 3 I 2
b
(2) 互感电动势为：
0 a 0 a dI dI M M ln 3 (ln 3) I 0 cos t dt 2 dt 2
第十二次作业 答 案
13-15 由安培环路定理得导体内部的磁场为： 0 Ir 1 B 2 0 I 2 r 2 wm B dV 2 rdr 2 2 4 2 0 8 R 2 R
2 2 2 I r I R W 0 0 2 4 2 rdr 0 16 8 R
A Y
方向是逆时针
I
20
y B 5
O
x
dx 10
X
3-8 载流长直导线与矩形回路ABCD共面，且导线平 行于AB，如图。求下列情况下ABCD中的感应电动势： (1) 长直导线中电流恒定，t 时刻ABCD以垂直于导 线的速度 v从图示初始位置远离导线匀速平移到某一 位置时。 (2) 长直导线中电流 I＝I0sin t，ABCD不动。 (3) 长直导线中电流I＝I0sin t，ABCD以垂直于导 线的速度v远离导线匀速运动，初始位置也如图。
Φ BS B r 2
dΦ dr i 2 r B 0.4 V dt dt i dS dS 2 0 . 5 m /s i B dt B dt
3-6 有两个长度相同，匝数相同，截面积不同的长 直螺线管，通以相同大小的电流。现在将小螺线管完 全放入大螺线管里（两者轴线重合），且使两者产生 的磁场方向一致，则小螺线管内的磁能密度是原来的 4 倍；若使两螺线管产生的磁场方向相反，则小 螺线管内的磁能密度为 0 （忽略边缘效应）。
i AB CD
0 I vl 1 1 ( ) 2 a vt a b vt
I
aA b D l
方向为顺时针方向。 (2) 选面积元dS = ldr a b 0 I 0 l I a b Φ a l dr ln 2 r 2 a
r v
B
C
dr
Φ 0.05
0.15
0 I 0 I 2(0.15 x) dx (0.15ln 3 0.1) 2 x
Φ 0.05
0.15
0 I 0 I 2(0.15 x) dx (0.15ln 3 0.1) 2 x
2.6 108 I
dΦ 8 8 dI 5.2 10 ( V) i 2.6 10 dt dt
I aA b D l B C
v
解：(1) 任意时刻 t，AB、CD边到导线的距离分别 为 a +v t 和 a +b + v t 0 I 0 I BAB BCD 2 (a vt ) 2 (a b vt )
AB l vBAB (A B)
CD l vBCD (D C)
2、动生电动势 i ( v B) dl
3、感生电动势
B i l Ek dl s dS t
感生电场
4、自感
自感系数 自感电动势
Ψm L I
5、互感 互感系数
dI L L dt
Ψ 21 M 21 I1
Ψ 12 M 12 I2
B 0nI
B2 wm 2 0
wm B2 4wm 源自m同向： B 2B反向： B 0
0 wm
3-7 如图所示，长直导线AB中的电流 I沿导线向上， 并以 dI/dt＝2A/s的变化率均匀增长。导线附近放一个 与之共面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位 置及线框尺寸如图（设a =10cm, b=20cm, c = 5.0cm） 所示。求此线框中产生的感应电动势的大小和方向。 A Y 0 I 解： dx 处 的B 2 x I 0.15 0 I Φ s B dS 0.05 y dx b 2 x y 0.15 x y y 2(0.15 x ) O x dx X 0.1 0.2 a B c
2 Φ N2 N L S r2 I l l 2 L1 Wm1 1 r1 1 2 L2 Wm 2 2 r2 2
Wm 1 LI 2 2
3-3 在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁 场，如图所示，B的大小以速率dB/ d t变化，有一长 度为l0的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1（ab） 和2（a b）。则金属棒在这两个位置时棒内的感应 电动势的大小关系为： (A) 2 1 0 (B) 2 1 × ×
第十一次作 业
13-9
答案
dΦ i E dl E 2 r dt
Φ
B r 2 (r R)
B R (r R)
2
r dB E 2 dt
(r R),
(r R)
R 2 dB E 2r dt
r dB r 0.1m R, E 5.0 104 V/m 2 dt
0 I 0 vl 1 1 (3) ( ) sin t 2 a vt a b v t 0 I 0 l a b vt ln cos t 2 a vt
r dB r 0.5m R, E 6.25 104 V/m 2 dt
R 2 dB r 0.1m R, E 3.125 104 V/m 2r dt
13-11 设电流为I，与螺线管共轴的圆周上各点B大小相 等，方向沿圆周切线，由安培环路定理得 I L B dl B 2 r 0 N I 0 N I B 2 r r
D 0 r E
B 0 r H
习 题 课（三） 3-1 自感为0.25H的线圈中，当电流在(1/16)s 内由 2A均匀减小到零时，线圈中自感电动势的大小为：
(A) 7.8 103 V
(C) 8.0 V
(B) 2.0 V (D) 3.1102 V

i
02 di 0.25 8.0 V L 1/ 16 dt
Φ B dS Bhdr
s R1
2 1
R2
0 N I h R dr 0 N I h R2 ln R 2 r 2 R1 0 N 2 I h R2 NΦ ln 2 R1 0 N 2 h R2 L ln I 2 R1
dr
r
R2
R1
h
13-13 1) 由于载流直导线的 磁场的对称性，通过矩形线 框的磁通量等于导线右侧从 b/3到b的正方形内的磁通量 选面积元 dS= adx
1 1 Bl12 2 1 2 Bl 22 2
Oa Ob
× × × × × × × × ×
a
l2 b
× ×
O×
l1

1 1 2 2 1 2 Bl1 Bl2 2 2
×
×
×
×
3-5 一半径 r =10cm的圆形闭合导线回路置于均匀磁 场 B（B = 0.80T）中，B与回路平面正交。若圆形回路 的半径从 t = 0开始以恒定的速率drdt = 80cm/s收缩， 则在这 t = 0时刻，闭合回路中的感应电动势大小 为 0.4 V ；如要求感应电动势保持这一数值，则闭合 回路面积应以dS/dt = 0.5 m2/s 的恒定速率收缩。
M 21 M12 M
dI 互感电动势 21 M 1 dt dI 2 12 M dt
6、磁场能量
自感磁能 磁能密度 磁场能量 7、位移电流
1 2 W自 LI 2
1 B2 1 wm H 2 2 2
1 B2 Wm dV V 2
dΦe D Id dS S dt t
8、麦克斯韦方程组
电磁场的普遍规律，它预言了电磁的存在。
E dl
L
S
B dS t
D dS qi内
S i
D L H dl S ( jc t ) dS
介质方程
B dS 0
S
13-16 设平行板电容器极板面积为S，间距为d
U D DS 0 ES 0 S d C
0
d
S
dΦD d dU Id (CU ) C 3 (A) dt dt dt
★ 本章重要内容回顾
1、电磁感应
电磁感应定律
dΦm i dt
楞次定律 感应电流的磁场总是要阻碍引起感 应电流的磁通量的变化
3-2 有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相 同，半径分别为 r1和r2。管内充满均匀介质，其磁导 率分别为 1和 2。设r1 r2 = 1 2， 1 2 = 2 1，当 将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数 之比 L1 L2与磁能之比Wm1 Wm2分别为： (A) L1 L2= 1 1， Wm1 Wm2 = 1 1 (B) L1 L2= 1 2， Wm1 Wm2 = 1 1 (C) L1 L2= 1 2， Wm1 Wm2 = 1 2 (D) L1 L2= 2 1， Wm1 Wm2 = 2 1
(C) 2 1 (D) 2 1 0