高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.3幂函数学案新人教B版必修12

3．3 幂函数1．掌握幂函数的概念、图象和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时的五类幂函数的图象、性质及其特点．(易混点)3．能利用幂函数的性质来解决实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 幂函数的概念阅读教材P 108前6自然段，完成下列问题．一般地，函数y ＝x α(α∈R )叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)【解析】 (1)√.函数y ＝符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x不是幂函数；【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 幂函数的概念阅读教材P 108第7自然段至P 109“例1”以上部分，完成下列问题． 1．幂函数的图象图3­3­12．幂函数的性质幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)【解析】 设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12＝x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B. 【答案】 B[小组合作型](1)( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2, 2)，则f (9)＝________.【精彩点拨】 (1)由幂函数y ＝x α的定义，从“底数只有x ，且x α的系数必须为1，指数α只能是常数”这三个方面判断．(2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f (9)的值． (3)利用幂函数的概念可得到关于m 的关系式，解之即可．【自主解答】 (1)根据幂函数定义可知，只有y ＝x －2是幂函数，所以选B. (2)由题意，令y ＝f (x )＝x α，由于图象过点(2，2)，得2＝2α，α＝12，∴y=f (x )=x 12,∴f (9)=3.数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，12m 2＋m <0，∴m ＝－1.【答案】 (1)B (2)3 (3)－11．只有形如y ＝x α(其中α为任意实数，x 为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．2．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．[再练一题]1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________. 【解析】 设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)， ∴4α＝3×2α，【答案】 13已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )图3­3­2A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12【精彩点拨】 (1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值，再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式．【自主解答】 (1)考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n >0时，对于y ＝x n，n 越大，y ＝x n增幅越快，n <0时看|n |的大小．根据幂函数y ＝x n的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.【答案】 B(2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，所以m ＝1,2.＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3.幂函数的性质如下：1 在区间 0，＋∞ 上都有定义，并且图象都通过点 1，1 .2 若α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞ 上是增函数.当0<α<1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上.,3 若α<0，则幂函数在区间 0，＋∞ 上是减函数，在第一象限内为双曲线形，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴.[再练一题]2．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．【解】 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1.∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．[探究共研型]探究1 y ＝x α在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？【提示】 当a >1时，函数y ＝a x 单调递增；当0<a <1时，函数y ＝a x单调递减．当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．探究2 23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 【提示】 23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.探究3 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 【提示】 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x－0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.比较下列各组中幂值的大小．【精彩点拨】 比较幂的大小关键要看是底数相同还是指数相同，若底数相同则利用指数函数的单调性，若指数相同，则利用幂函数的单调性，若底数和指数都不相同，则利用中间数比较大小．【自主解答】 (1)∵函数y ＝3x 是增函数，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7. (2)∵函数y ＝x 3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.又∵y ＝1.8x是增函数，且12>13，比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3 3 中的[再练一题]3．比较下列各组数的大小．【解】1．给出四个说法：①当α＝0时，y＝xα的图象是一个点；②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数y＝xα在第一象限为减函数，则α<0.其中，正确的说法个数是( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；③④正确．【答案】 B2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )【解析】A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．【答案】 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3【解析】 当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.【答案】 A4．函数y ＝x 13的图象是( )【解析】 显然代数表达式“－f (x )＝f (－x )”说明函数是奇函数．同时当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x .【答案】 B5．比较下列各组数的大小：【解】。