06 静电场中的导体和介质

当 r R1 和 r R2 时：
r
q 2 S E dS E 4 r
E
q 4 0 r
2
0
q 4 0 r 2 (r R1 ) E 0( R1 r R2 ) 2 q 4 0 r (r R2 )
6-1
例1: 点电荷 q 处于导体球壳的中心，球壳不带电， 内、外半径分别为 R1 和 R2 ，求这一带电体系产生 的电场和电荷在空间的分布。 电荷只能分布于球壳的内、 外表面，在导体内作一同心 球面高斯面。
当 R1 r R2 和 r R2 时： 当 r R1 时：
E0
r
R2 q S D dS S ( DdS cos 0 ) S DdS D S dS 2 D 4 r q自 q 0( r R1 ) q D 0 r E E q 2 ( R1 r R2 ) 2 4 r 4 0 r r
q2
q q1 S E dS 0
R1 q1
q R2 q
q1 q
0
r
根据电荷守恒定律： q2
q
6-1
例 2: 点电荷 q 处于导体球壳的中心，球壳接地，内 外半径分别为 R1 和 R2 ，求这一带电体系产生的电 场和电荷在空间的分布。
解：电场方向：沿半径向外。 当 R1 r R2 时： E 当 r R1 时：
导体内电场强度 外电场强度 感应电荷电场强度
6-1
二. 导体处于静电平衡时的特征
2）导体内部没有电荷，电荷只能分布于导体 表面。
证明：假设导体内部某点有电荷，在导体内作一 极小高斯面包围该点，则
q S E dS 0
0
S
另，由于导体内部场强处 处为零，有
S E dS 0
6-2
二. 介质的极化
3. 极化的分类： （1）有极分子的取向极化 电场对电偶极子的取向作 用：电偶极子在均匀电场 中受到的力矩总是力图使 电偶极子的偶极矩转到电 场的方向上去。
F
q

q
E
F
E
无外场时
有外场时的取向极化
取向极化的结果：出现极化电荷（图中为左右两 个侧面。 6-2
q (4 0 r )(r R1 ) E 0( R1 r R2 ) 0(r R ) 2
2
R2 R1 q1
q q
q2
r
电荷只能分布于球壳的内、外表 面。在导体内作一同心球面高斯 面 qq
E dS 0
S
在球壳外作一同心球面高斯面
0
1
S E S 0
E 0
面的电荷面密度 再证大小。如图作一筒状极 小高斯面
E
E内 0
二. 导体处于静电平衡时的特征
4）导体外部距导体表面很近的一点的场强垂直 于导体表面向外，大小为：
E 0
说明 1 ：本场强为空间所 有电荷的场强。 说明 2 ：对比无限大带电 面的场强：
q内 q自 q束 q自 0 S E dS q自 S E dS 0 0 0 0 , r 1 S ( 0 E ) dS q自 D 0 E
6-3
一. 有介质时的高斯定理
S D dS q自 其中 D 叫做电位移，且 D E 0 r E 其中 叫做绝对电容率，
6-1


E 0
三. 有导体存在时静电场的分析与计算
例1: 点电荷 q 处于导体球壳的中心，球壳不带电， 内、外半径分别为 R1 和 R2 ，求这一带电体系产生 的电场和电荷在空间的分布。 解：电场方向：沿半径向外。 当 R1 r R2 时： E
0
R1
q R2 q
6-1 静电场中导体
一. 静电平衡
1. 定义：导体上的自由电荷不作宏观运动的状态。 例如：静电感应
+
++ + +
感应电荷
6-1
二. 导体处于静电平衡时的特征
1）导体内部场强处处为零。
E0 ＇ E E 0
+ + + + + + + +
E0
＇ E E0 E 0
6-1
E内 0
二. 导体处于静电平衡时的特征
4）导体外部距导体表面很近的一点的场强垂直 于导体表面向外，大小为：
E 0 其中 为该点处导体表
E内 0
S E dS S ( EdS cos ) 上底 EdS E 上底 dS
r 0
叫做相对电容率。
6-3
一. 有介质时的高斯定理
S D dS q自
D E 0 r E
其中

r 0
叫做绝对电容率， 叫做相对电容率。
说明 1 ：真空可被看成一种特殊介质（其特殊之处 在于非由原子或分子组成，因而不产生束缚电荷）， 0 其绝对电容率为 ，相对电容率为 1 。
P1
A
P2
B
6-1
例 3: 两块金属平板 A、B 平行放置，且间距很小， 令两板分别带电 qA 和 qB，求四个板面上的电荷面密 度，设两板面积均为 S 。
1 2 3 4 0 1 2 3 4 0
q A 1S 2 S qB 3 S 4 S
q A qB 1 4 2S 2 3 q A qB 2S
讨论 1 ：若
1 2 3 4
q A qB
1 4 0 qA 2 3 S
即电荷只分布在两板内表面。
A
B
6-1
例 3: 两块金属平板 A、B 平行放置，且间距很小， 令两板分别带电 qA 和 qB，求四个板面上的电荷面密 度，设两板面积均为 S 。
q A qB 1 4 2S 2 3 q A qB 2S
讨论 2 ：若
1 2 3 4
q A qB
qA 1 4 S 2 3 0
即电荷只分布在两板外表面。
A
B
6-1
例 4: 在一接地的导体球外有一电量为 q 的点电荷，已 知球的半径为 R ，点电荷与球心的距离为 L ，求导体 球的带电。
二. 介质的极化
3. 极化的分类： （1）有极分子的取向极化
（2）无极分子的位移极化
E
无外场时 有外场时的位移极化
位移极化的结果：出现极化电荷（图中为左右 两个侧面。 总结：不论介质在电场中发生取向极化还是位移极 化，都将出现极化电荷（不一定在介质表面）。 6-2
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
1 2 3 4 0 1 2 3 4 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 3 4 0 （1）
对 B 板内一点 P2 ，其电场为
1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 3 4 0 （2）
q1 q
q q1 q2 S E dS 0
0
q2 0
即球 壳总 带电 不为 零！
6-1
例 3: 两块金属平板 A、B 平行放置，且间距很小， 令两板分别带电 qA 和 qB，求四个板面上的电荷面密 度，设两板面积均为 S 。 解：对 A 板内一点 P1 ，其电场为（设向右为正）
解：球接地，表明球电势与大 地电势相等，但绝不表明球不 带电！
q L
R
qo
q
dq Vo 0 球面 4 0 L 4 0 R q 1 q q 球面 dq 4 0 L 4 0 R 4 0 L 4 0 R R q q 0 L 6-1 q
E内 0
E 2 0
6-1
二. 导体处于静电平衡时的特征
5）孤立导体（距其它物体足够远的导体）的电荷 面密度随表面曲率的增大而增大（证明略）。
例如：
推论：孤立导体表面附近的电场强度 随表面曲率的增大而增大。
尖端放电：带电导体的尖端附近的电场特别大，可 使尖端附近的空气发生电离，从而产生放电。
一. 有介质时的高斯定理
有介质存在时，高斯 S E dS 定理的形式为：

q内
0

பைடு நூலகம்
q自 q束
0
说明：由于束缚电荷通常不易求出，故有介质时的 高斯定理通常采用以下的等价形式（证明略），在 这一形式中，束缚电荷不再出现。
S D dS q自 其中 D 叫做电位移，且 D E 0 r E 其中 叫做绝对电容率，
r 0
叫做相对电容率。
说明 2 ：研究表明：导体除自由电荷之外的部分 不产生束缚电荷，若被看成介质，则其绝对电容 率为 0 ，相对电容率为 1 ，即等同于“真空”。
6-3
例 1: 半径为 R1 、带电为 q 的导体球为一内外半径 分别为 R1 和 R2 、相对电容率为 r 的介质球壳所包 围，求空间的电场和束缚电荷分布。 解：电场方向：沿半径向外。
（1）
（2）
1 2 3 4
另由电量关系： （3） （4）
q A qB 1 4 2 S 2 3 q A qB 2S
A
B
6-1
例 3: 两块金属平板 A、B 平行放置，且间距很小， 令两板分别带电 qA 和 qB，求四个板面上的电荷面密 度，设两板面积均为 S 。
H