8.3 对偶问题及其经济意义
管理运筹学03对偶问题
收购方的意愿： min w 15 y1 24 y2 5 y3
Ⅰ 设备A 设备B 调试工序 利润（元） 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 D 15时 24时 5时
原 问 题
max z 2 x1 x 2 s.t. 5 x 2 15 6 x1 2 x 2 24 x1 x 2 5 x1, x 2 0
其它形式 的对偶
?
2．限定向量b
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z 的LP约束“
”
min z
的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题） 约束条件右端项 目标函数变量的系数 目标函数变量的系数 约束条件右端项 目标函数 max 目标函数 min 约 m个 m个 束 变 ≤ ≥0 条 量 ≥ ≤0 件 = 无约束 n个 n个 约 变 束 ≥0 ≥ 量 条 ≤0 ≤ 件 = 无约束
w Yb YA C Y 0
一 般 规 律
3个约束 2个变量
2个约束 3个变量
C (c1 , c2 )
x1 X x2
Y (y1,y2 ,y3 )
A (aij )
b1 b b2 b3
特点：
1． max
min
价值向量C
min w 15 y1 24 y2 5 y3 s.t 6y y 2 对
2 3
收 购
5y 2y y 1
1 2 3
y ,y ,y 0
1 2 3
厂 家
偶 问 题
原问题
对偶问题
max s.t.
《运筹学对偶问题》课件 (2)
欢迎来到《运筹学对偶问题》PPT课件，本课程将探讨偶问题与对偶问题的定 义、线性、非线性和整数规划的对偶问题，以及对偶理论的应用与经济解释。
对偶问题与对偶问题的定义
什么是对偶问题？
探索如何将原始问题转化为对偶问题，实现问题的 优化与平衡。
对偶问题的定义
详细解释对偶问题的概念和特点，以及与原始问题 之间的关系。
非凸规划的对偶问题
探讨非凸规划问题的对偶性质和求解策略，分析其优缺点。
应用案例
介绍非线性规划对偶问题在实际问题中的应用案例和成果。
整数规划的对偶问题
整数规划的对偶问题
讨论整数规划问题的对偶性质和对偶问题的求解方 法。
二进制分解方法
介绍二进制分解方法在整数规划问题中的应用和优 化策略。
对偶理论的应用
1
交通运输规划
2
研究对偶理论在交通运输规划中的应用，
并分析其对交通流的优化作用。
3
供应链管理
探讨对偶理论在供应链管理中的应用， 优化供应链的效率和降低成本。
金融风险管理
应用对偶理论来管理金融风险，提高资 产配置和风险控制的效果。
对偶问题的经济解释
经济效益
分析对偶问题在经济领域的 应用，帮助优化资源的配置 和提高企业效益。
线性规划的对偶问题
1
松弛变量法
学习如何使用松弛变量法来求解线性规划问题的对偶问题，并了解其优缺点。
பைடு நூலகம்
2
对偶单纯形法
探索对偶单纯形法在求解线性规划问题中的应用，以及如何进行优化。
3
对偶理论的应用
研究对偶理论在实际问题中的实用性，并举例说明其应用。
非线性规划的对偶问题
线性规划的对偶理论2-对偶问题的性质
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
对偶问题的原理和应用
对偶问题的原理和应用1. 对偶问题的概述对偶问题是线性规划领域的一个重要概念，它通过将原始问题转化为对偶形式，从另一个角度来解决问题。
对偶问题在优化领域有着广泛的应用，尤其在线性规划中起到了重要的作用。
2. 对偶问题的原理对偶问题的转化是基于线性规划的标准形式进行的。
假设我们有一个原始线性规划问题：最小化：c T x约束条件：$Ax \\geq b$ 变量约束：$x \\geq 0$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束条件的右侧常数向量。
对于原始问题，我们可以定义一个对偶问题。
对偶问题的定义如下：最大化：b T y约束条件：$A^Ty \\leq c$ 变量约束：$y \\geq 0$其中，y是对偶问题的变量向量。
对偶问题的目标函数和约束条件是原始问题的线性组合，并且满足一定的对偶性质。
3. 对偶问题的求解方法对偶问题的求解方法有两种：一种是通过求解原始问题得到对偶问题的最优解，另一种是通过求解对偶问题得到原始问题的最优解。
这两种方法都可以有效地解决线性规划问题。
3.1 原始问题到对偶问题的转换原始问题到对偶问题的转换可以通过拉格朗日对偶性定理来实现。
该定理表明，原始问题的最优解与对偶问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解原始问题的对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
3.2 对偶问题到原始问题的转换对偶问题到原始问题的转换可以通过对偶定理来实现。
该定理表明，对偶问题的最优解与原始问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
4. 对偶问题的应用对偶问题在实际应用中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
4.1 线性规划问题对偶问题在线性规划中得到了广泛的应用。
通过将原始问题转化为对偶形式，我们可以使用对偶问题的求解方法来求解线性规划问题。
对偶问题可以提供原始问题的最优解，并且可以帮助我们理解原始问题的性质和结构。
4.2 经济学和管理学对偶问题在经济学和管理学中也有重要的应用。
8.3 对偶问题及其经济意义
下面用单纯形法求原问题的解：
原问题的解为：x1 20 ，x2 30 时取到最优值为 S 3360 对偶问题的解为：y1 48 ， y2 2 ，y3 0 时取到最优值为W 3360 。
对偶问题解的给出实际上就给出这3种资源在最优解下“资 源”增加1个单位时“效益”的增量：
① y1 48 ，就意味着原料增加1个单位（1桶牛奶）时利润 增长48（元），我们把这种约束称为紧约束。
对偶规划问题的对称形式定义如果线性规划问题线性规划问题?????????21022112222212111212111njxbxaxaxabxaxaxabxaxaxajmnmnmmnnnn??????????????????????????21022112222211211221111miycyayayacyayayacyayayainmmnnnmmmm?????????????????称问题是原问题的对偶问题其中1y2ymy
试写出下列线性规划问题的对偶问题：
max S 3x1 x2 2x3
3x1 2x2 x3 10
ST
x1
x3 8
xi 0i 2,3
解： 首先将已知的线性规划问题写成问题（Ⅰ）的形式
max S 3x1 x2 2x3
3x1 2x2 x3 10
ST
x1
x3 8
xi
2．对偶规划问题的对称形式 定义 如果线性规划问题（Ⅰ）
线性规划问题（Ⅱ）
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm x j 0 ( j 1，2， ，n )
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
运筹学对偶问题
（B）
minW 20y1 10 y2 5y3 s.t. 3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
比较
（A）
（B）
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
当原问题的约束条件的符号不完全相同时，也存在 对偶问题，这种对偶问题称为非对称对偶问题。
例
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1
0,
x
为自
2
由
变
量
分析：
为求对偶问题，可先做过渡，将问题对称化：
对称化
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm x1 0, x2 0, xn 0
则以下线性规划问题：
（B）
minW b1 y1 b2 y2 bm ym s.t.
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
max Z 4x1 5x2 s.t. 3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
4x1 3x2 10
x1 x1
x2 x2
5 5
x1 x2 5
设x 2 x 3 x 4 , x3 0, x 4 0
min W ' 20 y1 '10 y2 '5 y3 '5 y4 ' s.t. 3 y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3 y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
对偶定理运筹学
对偶定理是运筹学中最基本的概念之一，它在线性规划中起着非常重要的作用。
在线性规划问题中，存在原始问题和对偶问题两种形式，它们之间通过对偶定理建立了密切的联系。
对偶定理的核心思想是将原始线性规划问题转化为对偶问题，并且通过对偶问题来分析原始问题，从而得到有关原始问题的有效信息。
具体来说，对偶定理可以帮助我们在求解原始问题时，通过求解对偶问题来获得额外的信息和优化结果。
在运筹学中，对偶定理的应用主要体现在以下几个方面：
1. 最优性分析：对偶定理可以帮助我们分析原始问题的最优解以及对应的对偶问题，从而验证原始问题的最优性和对偶问题的最优性，并且可以相互印证，增强了问题解的可靠性。
2. 敏感度分析：对偶定理也可以用于进行敏感度分析，通过对对偶问题的解进行改变，可以评估原始问题解对参数变化的敏感程度，从而指导决策者进行风险评估和决策制定。
3. 经济学解释：对偶问题的解可以提供经济学上的解释和意义，比如对偶问题中的对偶变量可以表示资源的单位价值，对偶问题的约束条件可以反映出资源的受限性，这些信息可以为管理决策提供重要参
考。
总之，对偶定理在运筹学中具有重要的作用，通过对原始问题和对偶问题的分析，可以为决策者提供更全面的信息，帮助其做出更加合理的决策。
因此，对偶定理是线性规划理论中不可或缺的重要内容。
运筹学--线性规划的对偶理论
对偶单纯形法求解思路
对偶单纯形法
20
对偶单纯形法
21
对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是所有线性规划问题的通用 解法，它只能从检验数已经符合最优化条件的 基本解开始求解。
22
对偶单纯形法
1- 约束条件为“≥”
初始解可以是非可行解。当检验数都为负数时，就 可以进行基变换，不需要加入人工变量。
2- 变量多于约束条件
对于变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶单 纯形法计算可以减少计算工作量。 变量少，约束条件很多的线性规划问题，可以将其 变换为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。
23
对偶单纯形法示例1
24
对偶单纯形法示例1
25
对偶单纯形法示例1
26
灵敏度分析
线性规划问题的最优解，是在设定问题模型中 的������������������、������������、������������都为已知常数的前提下求解得到 的。 对于许多实际问题，这些系数都是采用经验法 或统计、预测方法得到的估计值。
这里需注意区分xi是最优表中的基变量还是非 基变量：
如果xi为非基变量，如产品C的原材料消耗系数pi发 生变化时，判断和求解的方法与前一种情况相同， 即检查xi的检验数是否满足最优条件；
59
灵敏度分析示例1
如果xi是基变量（例如产品A或产品B的资源消耗系 数p1或p2发生变化），那么p������的变化将引起基矩阵B 的变化。B的变化将影响单纯形法迭代过程中几乎 所有的计算项目，问题只能重新迭代。
32
灵敏度分析示例1
33
《对偶解的经济解释》课件
目录
• 对偶解的基本概念 • 对偶解在经济学中的应用 • 对偶解的求解方法 • 对偶解的经济学意义 • 对偶解的发展前景
01
对偶解的基本概念
Chapter
对偶问题的定义
01
对偶问题：在优化问题中，原问题与对偶问题具有密切的关系，对偶问题通过对 原问题的约束条件和目标函数进行变换，形成与原问题等价或近似等价的问题。
02
对偶问题在形式上与原问题相反，通常将原问题的约束条件变为目标函数，同时 调整其他参数和约束条件。
对偶问题的特点
对偶性
对偶问题与原问题存在着最优解 的对偶关系，即当原问题达到最 优解时，对偶问题也达到最优解
，反之亦然。
互补性
对偶问题的目标函数与原问题的约 束条件在数学上具有互补性，即它 们的和等于某个常数。
非线性规划的对偶解法具有许多优点，如能够处理非 线性问题和多约束问题等。同时，它也有一些局限性 ，如对于某些非凸问题可能存在局部最优解而非全局 最优解的问题。
04
对偶解的经济学意义
Chapter
对偶解与资源配置效率
总结词
资源配置效率的提高是经济学追求的重要目标之一，对偶解在资源配置效率方面 有着重要的应用。
Chapter
对偶解在经济学中的新应用
01
02
03
金融市场分析
利用对偶解方法分析金融 市场的复杂系统，预测市 场趋势和风险。
产业组织理论
研究产业内企业间的竞争 与合作，分析市场结构、 企业策略和绩效。
劳动经济学
探讨劳动力市场供需关系 、工资决定机制和就业问 题，分析劳动力市场的对 偶性。
对偶解在其他领域的应用
详细描述
【经济贸易】对偶的经济意义和影子价格
时市场调整wi，使 aij w j c j i 1 （2）当 c a w 时，公司将全部卖出原料，
m j
m
使xj=0，市场要调整wi，使 bi wi 最小。
i 1
i 1
ij
j
m
对偶问题的形式
s.t.
min b j w j
i 1
m
a wi c
i 1 ij
m
j
wi 0 ,
2 2
3 24 <= 1 16 <=
Machine 1 time(hours) Decision variables Objective function Constrains: product A x product b y 2 24
Machine 2 time(hours) 1 16 Total profit 64 Slack 6 0 7 0
Min S(x,y)=1.5x+0.7y S.T. 5x+2y>=60 3x+2y>=40 5x+y>=35 x>=0 y>=0 Max f(z1,z2,z3)=60z1+40z2+35z3
5z1+3z2+5z3<=1.5 2z1+2z2+z3<=0.7 z1,z2,z3>=0
对偶问题
要出售给某学校营养品，已知A的单价不能 超过1.5 元/斤，B的单价不能超过0.7元/斤， A与B的碳、蛋、脂含量应达到60、40、35。 又知A与B的碳、蛋、脂含量分别为：5、3、 5，2、2、1，试求市场如何控制碳、蛋、 脂的单位成本才能使销售商能购买原料并 卖出所有的营养品？
对偶的经济意义和影子价格
线性规划的对偶问题及其经济含义
线性规划的对偶问题及其经济含义信息工程学院数学12112421001崔旭在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每一个线性规划问题(称为原始问题)都有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。
对偶理论主要研究经济学中的相互确定关系，涉及到经济学的诸多方面。
产出与成本的对偶、效用与支出的对偶，是经济学中典型的对偶关系。
当然，经济系统中还有许多其他这样的对偶关系。
对偶理论有许多重要应用：在原始的和对偶的两个线性规划中求解任何一个规划时，会自动地给出另一个规划的最优解；当对偶问题比原始问题有较少约束时，求解对偶规划比求解原始规划要方便得多；对偶规划中的变量就是影子价格。
对偶定理：有一对对偶的线性规划问题，若其一有一个有限的最优解，则另一个也有最优解，且相应的目标函数值相等。
若任一个问题具有无界解，则另一个问题无可行解。
对称形式的对偶：原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。
例如：原问题：minz=CX AX>=b X>=0对偶问题：max=Yb YA<=C X>=0对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
弱对偶性定理：若()0Y分别是原问题和对偶问题的可行解，则有X和()0C()()00b≥X Y最优性定理：若()0Y分别是原问题和对偶问题的可行解，且有X和()0()0CX=()0bY，则()0Y分别是原问题和对偶问题的最优解。
X和()0最优对偶变量（影子价格）的经济解释：由对偶定理可知，当达到最优解时，原问题和对偶问题的目标函数值相等。
如果在得到最优解时，某种资源并未完全利用，其剩余量就是该约束中剩余变量的取值，那么该约束相对应的影子价格一定为零。
因为在得到最优解时，这种资源并不紧缺，故此时再增加这种资源不会带来任何效益。
反之，如果某种资源的影子价格大于零，就说明再增加这种资源的可获量，还回带来一定的经济效益，即在原问题的最优解中，这种资源必定已被全部利用，相应的约束条件必然保持等式。
对偶问题课件ppt
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将原问题转化为 求拉格朗日函数的极值问题。该方法在处理无约束优化问 题时具有简单易行、适用范围广等优点。
牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代 算法，通过不断迭代和修正解的近似 值，逐步逼近方程的根。
VS
总结词：约束优化问题的对偶问题可 以简化和加速计算过程，通过对偶变 换将约束优化问题转化为对偶问题， 提高求解效率。
机器学习中的对偶问题
在机器学习中，许多算法都涉及到对偶问题 的应用。例如，支持向量机（SVM）算法 中的最大间隔问题就是一个典型的对偶问题 。通过对偶变换，可以将原问题转化为对偶 问题，简化模型复杂度，提高学习效率和精 度。
对于约束优化问题，可以通过对 偶算法（如序列二次规划法）求
解对偶问题，得到最优解。
机器学习中对偶问题的应用案例
对偶问题在机器学习中的应用
在机器学习中，许多算法可以转化为对偶问题，如支持向量机、神经网络等。
应用案例
以支持向量机为例，其原始问题是求解一个二次规划问题，而其对偶问题则是求解一系 列线性方程组。通过对偶变换，可以将原始问题转化为对偶问题，从而简化计算过程。
总结词：线性规划问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将原问题转化为对偶问题 ，提高求解效率。
最小二乘问题
最小二乘问题是一种数学优化技术，旨在找到一组数据的最优拟合直线或曲线。对偶问题在最小二乘问题中也有广泛应用， 通过对偶变换，将最小二乘问题转化为对偶问题，简化计算过程，提高求解效率。
解决方案
对于线性规划问题，可以 通过对偶算法（如对偶单 纯形法）求解对偶问题， 得到最优解。
运筹学-对偶问题
对偶问题的应用场景
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以达到 最优目标。
运输问题
如何制定运输计划，使得运输成本最低且满足运 输需求。
生产计划问题
如何制定生产计划，使得生产成本最低且满足市 场需求。
投资组合优化问题
如何选择投资组合，使得投资收益最大且风险最 小。
02
对偶问题在运筹学中的重要性
对偶问题的理论完善与深化
对偶理论的数学基础
进一步深入研究对偶理论的数学基础，包括对偶映射、对偶函 数、对偶不等式等，为解决对偶问题提供更坚实的理论基础。
对偶问题的转化与求解
研究如何将复杂的对偶问题转化为更容易求解的形式，或 者设计有效的求解方法，以提高对偶问题的求解效率。
对偶理论与实际应用的结合
在对偶理论不断完善的基础上，进一步探索如何将其应用于实际问题 中，以解决实际问题的优化问题，提高决策的科学性和效率。
在整数规划中，对偶问题通常 是指将原问题的约束条件或目 标函数进行一些变换，使得原 问题与对偶问题在结构上存在 一定的对称性。
对偶问题的性质
02
01
03
对偶问题的最优解与原问题的最优解具有密切关系。
在线性规划中，如果原问题是最大化问题，则对偶问 题是最小化问题，反之亦然。
在整数规划中，对偶问题的约束条件和目标函数通常 与原问题存在一定的对称性。
02 求解步骤
03 1. 定义原问题和对偶问题。
04
2. 利用状态转移方程和最优子结构性质，求解对偶问 题。
05 3. 利用对偶问题的解，求解原问题。
博弈论中的对偶策略
1. 定义博弈中的策略空间和支付 函数。
求解步骤
2. 构造对偶问题。
对偶问题知识点总结
对偶问题知识点总结一、偶问题的基本概念1.1 对偶问题的概念偶问题是指一个原始问题和与之对应的对偶问题。
两者之间存在一种特定的对偶关系，通过对原始问题的对偶问题进行求解，可以得到原始问题的最优解。
这种对偶关系是优化问题中一种非常重要的结构，能够有效地帮助我们理解和解决各种优化问题。
1.2 偶问题的性质偶问题通常具有一些特定的性质，比如强对偶性、对偶可行性和对偶最优性等。
其中，强对偶性是指原始问题与对偶问题之间存在严格的对偶关系；对偶可行性是指原始问题的解与对偶问题的解满足一定的条件；对偶最优性是指对偶问题的最优解能够推导出原始问题的最优解。
这些性质帮助我们理解偶问题的本质，并为解决优化问题提供了理论基础。
1.3 偶问题的应用偶问题的理论和方法被广泛应用于各种优化问题中，如线性规划、非线性规划、凸优化等。
通过对原始问题和对偶问题进行转化和求解，可以得到更优的解决方案，从而提高了优化问题的求解效率和准确性。
因此，理解和掌握偶问题的知识对于优化领域的研究和实践具有重要意义。
二、偶问题的基本理论2.1 强对偶定理强对偶定理是偶问题理论中的一个重要定理，它表明对于任意一个凸优化问题，其原始问题和对偶问题之间一定存在强对偶关系。
这一定理为我们解决优化问题提供了一个基本的理论框架，使得我们可以通过求解对偶问题来得到原始问题的最优解。
2.2 对偶问题的转化对偶问题的转化是指通过一定的变换，将原始问题转化为对偶问题，或者将对偶问题转化为原始问题。
这种转化能够帮助我们更好地理解问题的结构和性质，并为问题的求解提供了一种有效的途径。
2.3 对偶问题的求解对偶问题的求解是偶问题理论中的一个重要问题，通常可以通过拉格朗日对偶、广义拉格朗日、KKT条件等方法来进行求解。
这些方法都具有一定的理论基础和实际应用价值，能够帮助我们解决各种类型的偶问题。
三、偶问题的应用案例3.1 线性规划问题在线性规划问题中，偶问题理论得到了广泛的应用。
对偶问题的原理及应用
对偶问题的原理及应用1. 前言对偶问题是优化领域中一种重要的问题转化和求解方法，它通过转化原始问题为对偶问题，进而解决原始问题或者获得问题的一些有用信息。
本文将介绍对偶问题的原理以及其在优化问题中的应用。
2. 对偶问题的原理对偶问题是数学规划中一类常用的问题转化方法，它通过对原始问题进行变换，得到一个与原始问题等价的新问题。
对偶问题从不同的角度来看待原始问题，从而为求解或优化原始问题提供了一种新的视角。
对于一个标准形式的原始优化问题，其数学表示可以写成：minimize c^T xsubject to Ax <= bx >= 0其中，x是优化变量，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
对偶问题则可以表示为：maximize b^T ysubject to A^T y <= cy >= 0其中，y是对偶变量。
对偶问题的目标函数与原始问题的约束函数形式相似，而对偶问题的约束函数则与原始问题的目标函数形式相似。
3. 对偶问题的应用对偶问题在优化领域中的应用非常广泛，下面将介绍对偶问题在线性规划、凸优化和机器学习等领域的具体应用。
3.1 线性规划线性规划是对偶问题应用最为广泛的领域之一。
在线性规划中，对偶问题能够提供原始问题的下界，并且可以通过对偶问题的求解得到原始问题的最优解。
此外，在有些情况下，原始问题与对偶问题之间存在强对偶性，即原始问题与对偶问题的最优解相等。
3.2 凸优化对偶问题在凸优化中也有很多应用。
凸优化问题具有许多良好的性质，其中之一就是对偶问题的存在性和强对偶性。
通过对偶问题的求解，可以获得凸优化问题的最优解，并且可以通过对偶变量的解释来获得关于原始问题的一些有用信息。
3.3 机器学习对偶问题在机器学习中也有广泛的应用。
例如，在支持向量机（SVM）中，对偶问题的求解可以将原始问题转化为一个更简单的形式，从而提高求解效率。
此外，对偶问题还可以提供关于支持向量和间隔的有用信息，从而帮助理解和解释模型的性质。
对偶问题的概念
对偶问题的概念
对偶问题是指在数学中，将一个问题中的某些概念和关系进行逆转，从而得到一个新的问题。
这个新问题与原问题有着相同的结构，但是问题的角度和方向却完全不同。
对偶问题的解法和结论也与原问题不同，但是它们之间有着密切的联系。
对偶问题的概念最早出现在欧几里得几何学中。
在欧几里得几何学中，对偶问题是指将点和线的概念进行逆转，从而得到一个新的几何系统。
在这个新的几何系统中，点和线的角色互换了，点变成了线，线变成了点。
这个新的几何系统被称为对偶几何。
在现代数学中，对偶问题的概念被广泛应用于各个领域。
例如，在图论中，对偶问题是指将一个图的面和边进行逆转，从而得到一个新的图。
在拓扑学中，对偶问题是指将一个空间的维度进行逆转，从而得到一个新的空间。
在线性规划中，对偶问题是指将一个线性规划问题进行逆转，从而得到一个新的线性规划问题。
对偶问题的研究不仅有助于深入理解数学中的基本概念和结构，还有助于解决实际问题。
例如，在计算机科学中，对偶问题被广泛应用于图像处理、计算几何、机器学习等领域。
通过对偶问题的研究，可以得到更加高效和优化的算法和模型，从而提高计算机科学的应用效果。
对偶问题在经济活动中的应用
湖北民族学院理学院毕业论文(设计) 开题报告题目对偶问题在经济活动中的应用专业数学与应用数学班级0209409学号*********学生姓名谌小洋指导教师时凌2013年5月24日三、设计（论文）方案通过对偶理论以及社会生产生活中相关现象的探究，发现对偶单纯形法能有效的解决最优化问题，是生产生活更方便。
本文通过对对偶问题及对偶单纯形法的介绍，并对其结果中所体现的经济现象中的影子价格做相应的解释，以实例完成一整套方法的应用，展现该方法在经济活动实例分析中的应用价值。
四、重点难点及创新之处本文的重点在于对偶理论以及对偶理论在社会经济到横祸中的应用，并对其结果中所体现的经济现象中的影子价格做相应的解释，从而完成一整套的方法应用，体现对偶单纯形法在经济活动实例中的应用价值。
五、应收集资料及参考文献（不低于15篇）［1 ］黄培青．运筹学：管理中的定量方法［M］．上海 :上海交通大学出版社，2000．［2 ］胡运权．运筹学基础及运用［M］．第四版 .北京 :高等教育出版社，2004．［3 ］程理民．运筹学模型与方法教程［M］．北京: 清华大学出版社，2003．［4 ］刘满凤．运筹学模型与方法教程例题分析与题解［M］．北京：清华大学出版社，2004．［5 ］郭耀煌．运筹学原理与方法［M］．西安 :西南交通大学出版社，1998.［6 ］刁在钧. 运筹学.[M].第三版.北京: 高等教育出版社 2007 ［7 ］邓成梁. 运筹学的原理和方法［M］.第二版.武汉：华中科技大学出版社，2001.［8 ］胡运权.运筹学教程［M］.北京：清华大学出版社，1998. ［9 ］耿吉第.影子价格的经济含义及其应用［J］.数量经济技术研究，1994，（06）：46-47.［10］林丰岩.影子价格在企业管理中的应用［J］.价值工程，2006，（7）：15-17.［11］邓成梁.经济管理数学［M］.第二版.华中理工大学出版社，2003.［12］徐光辉.运筹学与基础手册［M］.北京：科学出版社，1993. ［13］陶树人.技术经济学［M］.北京：经济管理出版社，1992. ［14］甘应爱.运筹学［M］.北京：清华大学出版社，1990. ［15］J.富兰克林著，俞建，顾悦译.数理经济学方法［M］.贵州人民出版社，1985［16］何建坤.实用线性规划及其计算机程序［M］.清华大学出版社，1985.六、进度安排（1）四月上旬完成相关资料的查阅立即准备工作。
对偶问题实例
对偶问题实例对偶问题是线性规划问题的一种特殊形式，它与原问题具有相同的最优解。
下面是一个对偶问题的实例：原问题：假设有一家公司生产两种产品 A 和 B，它们需要使用两种资源 X 和 Y。
生产一个单位的产品 A 需要使用 2 单位的资源 X 和 3 单位的资源 Y，而生产一个单位的产品 B 需要使用 3 单位的资源 X 和 4 单位的资源 Y。
公司每天可获得的资源 X 最多为 18 单位，资源 Y 最多为 24 单位。
产品 A 的单位利润为 5 元，产品 B 的单位利润为 6 元。
问该公司应该如何安排生产计划，以获得最大的总利润。
这个问题可以用线性规划来解决，目标函数是最大化总利润，约束条件是资源的限制。
对偶问题：现在假设有另一家公司想要购买该公司的资源 X 和 Y。
资源 X 的单位价格为 p1，资源 Y 的单位价格为 p2。
问该公司应该如何制定购买计划，以最小化购买资源的总成本。
这个问题可以用线性规划来解决，目标函数是最小化总成本，约束条件是购买的资源数量不能超过该公司的可用资源数量。
原问题和对偶问题是线性规划中的一对对偶问题，它们的最优解之间存在着一种对偶关系。
通过解决对偶问题，可以得到原问题的最优解。
在这个例子中，对偶问题的最优解就是资源 X 和 Y 的单位价格，即 p1 和 p2。
通过求解对偶问题，可以得到 p1=2.5，p2=2，这意味着资源 X 的单位价格为 2.5 元，资源 Y 的单位价格为 2 元。
因此，该公司应该按照这个价格购买资源，以最小化购买资源的总成本。
同时，通过对偶问题的最优解，也可以得到原问题的最优解，即该公司应该生产 4 个单位的产品 A 和 2 个单位的产品 B，以获得最大的总利润。
对偶理论与经济模型的关系
对偶理论与经济模型的关系对偶理论是数学中的一个重要概念，它在经济学领域也有着广泛的应用。
对偶理论提供了一种全新的视角，帮助经济学家更好地理解和分析经济现象。
本文将探讨对偶理论与经济模型之间的关系，以及对偶理论在经济学中的应用。
### 对偶理论简介对偶理论最早起源于数学领域，是线性规划理论的重要组成部分。
在数学中，对偶理论是指对一个优化问题的原始形式和对偶形式之间的关系。
通过对偶理论，我们可以将原始问题转化为对偶问题，从而更容易求解原始问题。
对偶理论在数学优化、凸分析等领域有着广泛的应用。
### 对偶理论与经济模型在经济学中，经济模型是经济学家用来描述和解释经济现象的简化形式。
经济模型通常包括假设、变量、参数和方程等要素，通过这些要素构建出一个描述经济关系的框架。
经济模型可以帮助我们理解经济现象背后的规律，并进行政策分析和预测。
对偶理论与经济模型之间的关系在于，对偶理论为经济学家提供了一种新的思维方式和分析工具。
通过对偶理论，经济学家可以将一个经济模型转化为对偶形式，从而更好地理解模型中的经济关系。
对偶理论可以帮助经济学家简化复杂的经济模型，找到模型中隐藏的规律，并提出更有效的政策建议。
### 对偶理论在经济学中的应用对偶理论在经济学中有着广泛的应用，特别是在微观经济学和宏观经济学领域。
在微观经济学中，对偶理论常常用于分析生产函数、成本函数等经济关系。
通过对偶理论，经济学家可以推导出企业的最优生产方案、最优成本结构等决策结果，为企业经营提供理论支持。
在宏观经济学中，对偶理论常常用于分析经济增长、通货膨胀等宏观经济现象。
通过对偶理论，经济学家可以建立宏观经济模型，分析经济政策对经济增长和通货膨胀的影响，为政府决策提供参考依据。
### 结语对偶理论作为数学中的重要概念，在经济学中也有着重要的应用。
通过对偶理论，经济学家可以更好地理解和分析经济现象，提出更有效的政策建议。
对偶理论为经济学研究提供了新的思维方式和分析工具，推动了经济学理论的发展。
对偶问题的分析精品文档
第i个约束条件类型为“ ≤ ”第i个变量≥ 0
第i个约束条件类型为“ ≥ ”第i个变量≤ 0
第i个约束条件类型为“ = ”第i个变量是自由变量
决策变量数： n个 第j 个变量≥ 0 第j 个变量≤ 0 第j 个变量是自由变量
约束条件数： n 第i个约束条件类型为“ ≥ ” 第i个约束条件类型为“ ≤ ” 第i个约束条件类型为“ = ”
0 x4 -3 -1 -2 -1 1 0
0
x5
-4
[-2]
1 -3 0 1
σj
-2 -3 -4 0 0
0 x4 -1 -2 x1 2
0
[-5/2]
1/2 1 -1/2
1 -1/2 3/2 0 -1/2
σj
0 -4 -1 0 -1
-3 x2 2/5 0 -2 x1 11/5 1
1 -1/5 -2/5 1/5 0 7/5 -1/5 -2/5
设备A
产品甲 3
产品乙 2
设备能力 （h）
65
设备B
2
1
40
设备C
0
3
75
利润（元/件） 1500
2500
2
3.1线性规划对偶问题
一、对偶问题： 它的对偶问题就是一个价格系统，使在平衡了
劳动力和原材料的直接成本后，所确定的价格系统 最具有竞争力
若另外一个工厂要求租用该厂的设备 A、B、C ， 那么该厂应如何确定合理的租金。
x4
400
2
1
0
0
x5
250
0
(1)
0
σj
50 100* 0
0
x3
50 (1)
0
1
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上面的问题可以用下列线性规划的数学模型表示：
Min W 12 y1 8y2 16 y3 12 y4
2 y1 y2 4 y3 0 y4 20 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 300
y1
,
y2 ,
y3 ,
y4
0
若把制药厂利润最大的问题称为原问题，则想租用四种设 备租金最小的问题称为原问题的对偶问题；反之也成立，所以 是互为对偶问题。
② y2 2 ，就意味着劳动时间增加1个单位（1小时） 时利润增长2（元），我们把这种约束称为紧约束。
③ y3 0 ，就意味着增加车间甲的能力显然不会使利润增长， 所以这个约束是非紧约束。
这里，“效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学 上称为影子价格，即1桶牛奶的影子价格为48元，1小时劳动的影子 价格为2元，车间甲的影子价格为零。
【分析】首先原问题的数学模型
max S 72 x1 64 x2
x1 x2 50 ST 132x1x1180x02 480
xi 0i 1,2,3
对偶问题的模型：
min W 50 y1 480 y2 100 y3
y1 12 y2 3y3 72
ST
y1
8y2
64
yi 0i 1,2
2．对偶规划问题的对称形式 定义 如果线性规划问题（Ⅰ）
线性规划问题（Ⅱ）
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2 a2n xn
b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm x j 0 ( j 1，2， ，n )
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
a12y1a
22 y2
am2
ym
c2
a1n y1 a2n y2 amn ym cn
yi 0 (i 1，2， ，m )
作业：
习题8 6
a12y1a
22 y2
am2
ym
c2
a1n y1 a2n y2 amn ym cn yi 0 (i 1，2， ，m )
称问题（Ⅱ）是原问题（Ⅰ）的对偶问题，其中 y1 ， y2 ，…， ym
为对偶变量。
引进直观表达问题（Ⅰ）和问题（Ⅱ）这一对偶问题的表，称为对偶表。
例8.3.1
少于200元，即
2 y1 y2 4 y3 0 y4 200
②公司租用该制药厂用以生产每千克药品Ⅱ所需租金不应少于
300元，即
2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 300
③公司在考虑自身利益时，其目标是使付出的租金总额为最小，即
Min W 12 y1 8y2 16 y3 12 y4
下面用单纯形法求原问题的解：
原问题的解为：x1 20 ，x2 30 时取到最优值为 S 3360 对偶问题的解为：y1 48 ， y2 2 ，y3 0 时取到最优值为W 3360 。
对偶问题解的给出实际上就给出这3种资源在最优解下“资 源”增加1个单位时“效益”的增量：
① y1 48 ，就意味着原料增加1个单位（1桶牛奶）时利润 增长48（元），我们把这种约束称为紧约束。
0i
1,2,3
对偶表为表8.12。
利用对偶表，按列就可写出原问题的对偶规划问题为：
min w 10 y1 8y2
3y1 y2 3
y12y1y2
1 2
yi 0i 1,2
训练题：写出下列线性规划问题的对偶问题
（1） max S x1 2x2 x3
2x1x12
x2 x2
x3 6
（1）问应如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？
（2）现在假定该制药厂决定在计划期内不生产药品Ⅰ、Ⅱ，而将 生产设备的有效台时全部租给某公司，那么该公司应对设备 A、B、C、D每小时付多少租金，才能使成本最小，而又能为制药厂 所接受？
【分析】（1）设x1 ，x2 分别表示在计划期内药品Ⅰ和Ⅱ的产量（千克），
4
x
j
0 j
1,2,3
（2） min S 3x1 x2 x3 x4
2 3x1
x1
2x2 x2 x4
x3 6
4
x j 0( j 1,2,3,4)
8．3．2 影子价格
【案例8.5】 一奶制品加工厂用牛奶生产A1 , A2 两种奶制品， 1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤 A1 ，或者在 乙车间用8小时加工成4公斤 A2 。根据市场需求，生产的 A1 , A2 全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2 获利16元．现在
试写出下列线性规划问题的对偶问题：
max S 3x1 x2 2x3
3x1 2x2 x3 10
ST
x1
x3 8
xi 0i 1,2,3
解： 首先将已知的线性规划问题写成问题（Ⅰ）的形式
max S 3x1 x2 2x3
3x1 2x2 x3 10
ST
x1
x3 8
xi
加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时 间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1 ，乙车间的 加工能力没有限制．试为该厂制订一个生产计划，使每天获利 最大，并进一步讨论以下2个附加问题：
（1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？
（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工 人的工资最多是每小时几元？
8．3 对偶问题及其经济意义
1．对偶问题的提出
【案例8.4】某制药厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种药品，
这些药品分别需要在 A、B、C、D
四种不同的设备上加工．按工艺规定，每千克药品Ⅰ和Ⅱ在各 台设备上所需要的加工台时数如表8.10．已知各设备在计划期内有 效台时数（1台设备工作1小时称为1台时）分别是12、8、16和 12．该制药厂每生产1千克药品Ⅰ可得利润200元，每生产1千克药 品Ⅱ可得利润300元．
8.3 小结
1．对偶规划问题与原问题的关系 原问题（Ⅰ）
对偶问题（Ⅱ）
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a
22 x2 a
2n xn
Hale Waihona Puke 2 am1x1 am2 x2 amn xn bm x j 0 ( j 1，2， ，n )
2．影子价格的经济含义
Max S 200 x1 300 x2
2x1 2x2 12
4x1x1
2x2
8 16
4x2 12
x1, x2 0
（2）设公司租用该制药厂四种设备的租金（元/小时）分别为
y1 、 y2 、 y3 和 y4 。在考虑租用设备的定价时，能使该制药厂接受
的条件是：
①公司租用该制药厂用以生产每千克药品Ⅰ所需租金不应