高中数学《概率》第二节 古典概型(
古典概型的概率公式
古典概型的概率公式古典概型是概率学中最基础也是最重要的概念。
它定义了概率学的基本理论，提出了许多有趣的假设和结论，也服务于数学和计算机科学的发展。
简而言之，古典概型就是通过观察事件是否发生来计算概率的方法，即在一定条件下某事件发生的条件概率，用数学形式来表达就是古典概率公式。
古典概型的概率公式是：P（A）=n（A）/n（S），其中P为概率，A为某事件，S为试验空间，n（A）/n（S）为该事件发生的概率。
其中，n（A）表示满足A条件的结果的数目，n（S）表示满足S条件的结果的总数。
古典概型的概率公式提出的基本概念是：若实验开展了n次，其中A事件发生m次，则A事件发生的概率等于m除以n：P （A）=m/n。
古代概率公式比较简单，却蕴含着丰富的数学内涵。
在概率论的基本原理分布定理的框架下，古典概型的概率公式可以用来计算试验空间中某事件发生的期望值、方差、及独立事件之间的关系。
古典概型概率公式也为基于古典概型的相关概率学的理论发展提供了基础，形成了一套完整的概率学理论体系，为后来新兴的概率学分支研究提供了基础。
古典概型概率公式也为其他科学领域提供了参考和指导，特别是在计算机技术和信息处理方面更是如此。
古典概型概率公式可以用来建立合理的评估模型，用来估计某事件发生的可能性，也可以用来估计系统中各个组件的可靠度，以及各个系统模型的可信度。
这些估计的结果可以用来衡量分析系统的性能，基于此可以设计出更高效，稳定，可靠的系统。
此外，古典概型的概率公式还可以应用于更多的领域，比如统计、金融学、决策理论、运筹学、社会科学等。
在这些领域，古典概型概率公式通常被用于研究不确定风险及结果，以做出明智的抉择，帮助采取最佳决策。
总之，古典概型的概率公式和它所涵盖的概率学理论，是目前所有概率学的基础。
它有助于更好地理解不确定事件的发展趋势，也为更加明智的决策提供了指导。
古典概型的概率公式也可以用于许多领域，从数学建模到计算机技术等，都有其重要作用，它已成为概率学及其相关领域的重要理论和工具支持。
概率的两种模型(高三数学精品课件)
19世纪法国著名数学家拉普拉斯说：“对于生活中的大 部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几 乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分 我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推 法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上。 因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的……”
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题型一 古典概型问题
设计游戏1：
一个不透明的箱子中有6个除了颜色不同无其他区别的小球， 其中4个蓝球，2位红球。
试设计一时训练 1：
9.在长为 1 的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于 1 的概率为（ ） 2
A、 1 B、 1 C、 3 D、 7
题型三 古典概型与几何概型的综合问题
已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R. (1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数 中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；
(2)若a是从区间[0,3]内任取的一个数，b是从区间[0,2]内任 取的一个数，求已知方程有实数根的概率.
第 36 练 概率的两类模型
火眼真睛（区分古典概型和几何概型）
1、古典概型（classical probability model)
一次试验中可能出现的每一 个基本结果称为基本事件
(elementary event).
（1）所有基本事件只有有限个； （2）每个基本事件的发生都是等可能的。
满足上面两个条件的随机实验的概率模 型称为古典概型
2、古典概型的概率计算公式
P( A) m n
其中n是试验中所有基本事件的个数，m是事件A 包含的基本事件的个数（m n).
利用几何概型求概率:
1.几何概型适用条件： (1)基本事件有无限多个（无限性）； (2)事件都是等可能发生的（等可能性）. 2.适用情况：
高中数学知识点精讲精析 古典概型的特征和概率计算公式
3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式1．基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.2．等可能性事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．3．古典概型的特点：⑴所有的基本事件只有有限个；⑵每个基本事件发生的概率相等，⑶不需要通过大量重复的试验，只要通过对一次试验可能出现的结果进行分析即可．4．古典概型的概率公：:如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每个等可能基本事件发生的概率都是1n ，如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P(A)= mn．5．从集合的角度来理解古典概型的概率：把一次试验中等可能出现的所有结果组成全集I ，把事件A 发生的结果组成集合A ，则A 是I 的一个子集，则有P(A) =card(A)card(t)．6．古典概型的公式推导如：在20瓶饮料中，有1瓶已经过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少？在20瓶饮料中，有2瓶已经过了保质期了呢？（1/20,2/20=1/10）在n 瓶饮料中，有m 瓶已经过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是多少?(m/n)假设有n 个等可能基本事件，某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率是多少？分析：有n 个等可能基本事件，则每个基本事件发生的概率是多少？答：1/n 事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率是多少？答：nm 1⨯公式：假设有n 个等可能基本事件，某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率nm A P =)(1．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件空间； （2）求这个试验的基本事件的总数；（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?分析：理解并运用各定义.解：（1）这个试验的基本事件空间Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}；（2）基本事件的总数是8.（3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）.2.甲．乙两人做出拳游戏（锤子．剪刀．布），求：（1）平局的概率；（2）甲赢的概率；（3）乙赢的概率.分析：研究此试验是否为古典概型，如果是，基本事件总数n，事件A包含的基本事件数m各为多少.解：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的.所以一次游戏（试验）是古典概型.它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况.设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.由图3－2－1容易得到：图3－2－1（1）平局含3个基本事件（图中的△）；（2）甲赢含3个基本事件（图中的⊙）；（3）乙赢含3个基本事件（图中的※）.由古典概率的计算公式，可得P （A ）3193==； P （B ）3193==； P （C ）3193==. 3.甲．乙两个均匀的正方体玩具，各个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，将这两个玩具同时掷一次.（1）若甲上的数字为十位数，乙上的数字为个位数，问可以组成多少个不同的数，其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?（2）两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.分析：（1）准确求出基本事件总数n 和事件A 包含的基本事件个数m . （2）可采用列表的方法求m ．n .解：（1）甲有6种不同的结果，乙也有6种不同的结果，故基本事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果，若十位数字与个位数字相同，十位数字确定后，个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果，即概率为61366=. （2）两个玩具同时掷的结果可能出现的情况如下表.①每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为 Ω={（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A ={（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}.事件A 由4个基本事件组成.因而P （A ）3264==. ②有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（a 1，a 1），（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 2，a 1），（a 2，a 2），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2），（b 1，b 1）}，由9个基本事件组成.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ={（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）}.事件B 由4个基本事件组成，因而P （B ）=94. 4.判断下列命题的真假．⑴掷两枚硬币，可能出现“两个正面”．“两个反面”．“一正一反”3种等可能的结果； ⑵某口袋中装有大小和形状完全一样的三个红球．两个黑球和一个白球，那么每一种颜色的球被模到的可能相同；⑶从-3，-2，-1，0，1，2，3中任取一个数，则此数小于0与不小于0的可能相同； ⑷分别从3名男生和4名女生中各选取一名代表，那么某个同学当选的可能性相同．解：以上命题均不正确．⑴如果仅考虑这三种结果，则它们不是等可能的，若要是等可能的，则有(正，正)，(正，反)，(反，正)和(反，反)4种结果，故本小题总是错的；⑵应是摸到每一个球的可能相同，而三种颜色的球的数量是不相同的； ⑶小于0的有3个，而不小于0的有4个；⑷分别从男生和女生中各选取一个人，对男生或女生内部来说是等可能的，而对所有的同学来说男生是3选1，而女生是4选1，显然每个被选取的可能性不同．说明：对硬币的问题，我们不管抛掷是否有先后顺序，还是一起抛掷的，都必须看成有 先后顺序，否则它们就不是等可能的．若先后抛掷n 次或一次抛掷n 枚，基本事件总数都应是2n个．5.将骰子先后抛掷两次，求：⑴向上的点数之和为几的概率最大？最大值是多少？ ⑵向上的点数之和是5的倍数的概率是多少？ ⑶个向上的点数中至少有一个是6点的概率？ ⑷两个点数中有2或3的的概率；⑸第一次得到的点数比第二次的点数大的概率． 解：将骰子先后抛掷两次，得到的点数情况如下表：统计向上点数和的情况如下：⑴向上点数之和是7的概率最大，最大值是636 = 16；⑵向上的点数之和是5的倍数的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(4，6)，(5，5)，(6，4)7个，⑶至少有一个是6点的共有11个，则其概率为1136；⑷两个点数之和是2的倍数或是3的倍数，按列计算，有2+6+6+2+2+2=20个，其概率为2036 = 59；⑹去掉相等的共有6个，剩下的一半是前面的数字大，一半是后面的数字大，有15个，其概率为1536 = 512．说明：⑴骰子问题与硬币问题一样，都要考虑先后顺序，且n 个骰子的基本事件总数是2n；⑵当基本事件总数不大时，用枚举法较方便；⑶若能用一个表格来表示这些问题，可使问题直观明了．6.从数字1，2，3，4，5中任取2个，组成没有重复数字的两位数．试求： ⑴这个两位数是5的倍数的概率； ⑵这个两位数是偶数的概率； ⑶这个两位数大于40的概率．解：“从数字1，2，3，4，5中任取2个，组成没有重复数字的两位数”，共有基本事件总数5×4=20个．⑴设事件A 为“这个两位数是5的倍数”，则事件A 包含的基本事件为：个位数字是5，共有4个， ∴P(A)= 420 =15；⑵设事件B 为“这个两位数是偶数” 则事件B 包含的基本事件为：个位数字是2或4，共有8个， ∴P(A)= 820 =25；⑶设事件C 为“这个两位数大于40” 则事件C 包含的基本事件为：个十位数字是4或5，也有8个， ∴P(A)= 820 =25．说明：⑴数字问题要考虑先后顺序；⑵常把问题转换成个位数或首位数的问题，学会用到分类讨论的思想；⑶若含有0，还要考虑0不能在首位的特殊要求，这是最容易出错的地方．7.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球． ⑴摸出的两只球都是白球的概率是多少? ⑵摸出的两只球是一白一黑的概率是多少?解：从中摸出两球，可分有先后顺序(有序)和无先后顺序(无序)两种情况．设摸出的2只球都是白球的事件为A ，一白一黑的事件为B ．有序：从5只球中摸出2只球，其基本事件总数为5×4=20． ⑴摸到2只白球的基本事件数是3×2=6，∴P(A)=620 =310；⑵摸到1只白球和一只黑球的基本事件数是(先白后黑)3×2 +(先黑后白)2×3 =12， ∴P(A)=1220 =35．无序：从5只球中摸出2只球，其基本事件总数为5×42=10．⑴摸到2只白球的基本事件数是3×2 2=3 ∴P(A)= 310；⑵摸到1只白球和一只黑球的基本事件数是3×2 =6， ∴P(A)=610 =35．说明：某些摸球问题是否考虑先后顺序，对问题的答案没有区别，但必须正确理解题意． 8．袋中有红．黄．白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算下列事件的概率： （1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色； 解：基本事件有3327=个，是等可能的，（1）记“三次颜色各不相同”为A ，332()279A P A ==； （2）记“三种颜色不全相同”为B ，2738()279P B -==； （3）记“三次取出的球无红色或无黄色”为C ，332215()279P C +-==； 9．将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率。
人教B版高中数学必修二课件 《概率》统计与概率PPT(古典概型)
解:样本空间为{(红,白),(红,黄),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,白)},第 一次摸出红球,第二次摸出白球,只包含(红,白)一个基本事件,所以 所求概率是.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
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古典概型的概率计算
例2将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察朝上的面
的点数.
(1)一共有多少种不同的结果?
(2)点数之和为5的结果有多少种?
(3)点数之和为5的概率是多少?
解:(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次,朝上的面的点数
有1,2,3,4,5,6,共6种结果,故先后将这枚骰子抛掷两次,一共有
所选两个国家都是亚洲国家包含的基本事件有
(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个. 故所求事件的概率
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,所有的基本事件有
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3), 共9个,包含A1但不包括B1的基本事件有(A1,B2),(A1,B3),共2个.
3.做一做:下列对古典概型的说法,正确的是( )
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现
的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④求从含有3件
次品7件正品的10件产品中任取一件为正品的概率为古典概型问题.
A.②④
B.①③④ C.仅①④ D.仅③④
答案:B
高中数学中几种常见的概率模型
高中数学中几种常见的概率模型高中数学中几种常见的概率模型：古典概型、几何概型、贝努利概型、超几何分布概型1、古典概型：也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的；古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
2、几何概型：是概率模型之一，别名几何概率模型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果都是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两个特征，无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。
3、贝努利模型：为纪念瑞士科学家雅各布·贝努利而命名。
对随机试验中某事件是否发生，实验的可能结果只有两个，这个只有两个可能结果的实验被称为贝努利实验；重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变。
“独立是指是指各次试验的结果是相互独立的。
基于n重贝努利试验建立的模型，即为贝努利模型。
4、超几何分布：是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。
超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N) 。
人教版高中数学必修3《古典概型》教案
人教版高中数学必修3《古典概型》教案古典概型一、教材分析教材的地位和作用：本节课是高中数学必修3第三章概率的第二节，古典概型的第一课时。
本节课在教材中起着承前启后的作用。
古典概型的引入避免了大量的重复试验，而且得到的概率是精确值。
古典概型是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。
学好古典概型为后续学习几何概型奠定了知识和方法基础，同时有助于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，并解释生活中的一些概率问题。
二、学情分析认知分析：本节课是在学生学习了统计、随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下学习的新知识。
学生已经了解了概率的基本性质，知道了互斥事件与对立事件的概率加法公式能力分析：我校学生基础比较薄弱，自学能力较差，对抽象的知识理解较困难。
作为高二的学生他们具备一定的观察、类比、分析、归纳能力，但对知识的理解和方法的掌握上存在一些问题。
情感分析：问卷调查显示，多数学生对概率的学习有一定的兴趣，但对抽象的定义和公式存在惧怕心理。
并且学生习惯了小组合作学习。
三、教学目标新课程强调获得知识的过程比知识本身更有价值。
新课标重视过程教学、情感教学。
根据新课程标准，结合学生心理发展的需求，制定以下三维教学目标：知识与技能目标：正确理解两个概念：基本事件与古典概型，掌握古典概型的概率计算公式。
过程与方法目标：创设情境，设计一些具有实际生活背景的问题，引导学生积极思考。
进一步发展学生的观察、类比、分析、归纳能力，让学生体会从特殊到一般的数学方法情感态度与价值观目标：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的兴趣和热情；感受数学的应用价值，并尝试用数学的视野去关注生活中的数学问题。
四、教学重难点及突破难点的关键教学重点：理解古典概型及其概率计算公式教学难点：如何正确运用古典概型的概率计算公式关键：通过实例，特别是举一些破坏古典概型两个特征的例子，以突破古典概型识别的难点。
高中古典概型的概率公式
高中古典概型的概率公式高中数学中，概率是一个重要的概念，我们常用古典概型来计算事件的概率。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
这里介绍高中古典概型的概率公式。
1. 古典概型的定义首先我们来回顾一下古典概型的定义。
古典概型是指在同等条件下，事件发生的可能性相等。
比如掷一枚骰子，每个点数的概率都相等。
这就是古典概型。
2. 古典概型的概率公式对于古典概型，我们可以用公式来计算事件的概率。
公式如下：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件 A 中元素的个数，n(S) 表示样本空间中元素的个数。
例如，掷一枚骰子，求点数为 3 的概率。
这个事件的样本空间为 {1, 2, 3, 4, 5, 6}，其中点数为 3 的元素个数为 1，样本空间的元素个数为 6。
因此，点数为 3 的概率为：P(点数为 3) = 1 / 6又例如，从一副扑克牌中抽出一张牌，求抽到黑桃的概率。
这个事件的样本空间为 52 张牌，其中黑桃牌的个数为 13 张，因此，抽到黑桃的概率为：P(抽到黑桃) = 13 / 52 = 1 / 43. 古典概型的应用古典概型的应用非常广泛，我们可以用它来计算各种事件的概率。
比如掷硬币、抽扑克牌、摇色子等等。
下面举一个例子。
假设有一个装有 5 个红球和 3 个蓝球的盒子。
现在从盒子中任取 2 个球，求取出的球都是红球的概率。
这个问题可以用古典概型来解决。
首先，样本空间中元素的个数为：n(S) = C(8, 2) = 28其中，C(n, m) 表示从 n 个元素中取出 m 个元素的组合数。
在这个问题中，从 8 个球中取出 2 个球的组合数为 28。
接着，事件中元素的个数为：n(A) = C(5, 2) = 10其中，从 5 个红球中取出 2 个红球的组合数为 10。
因此，取出的球都是红球的概率为：P(取出的球都是红球) = n(A) / n(S) = 10 / 28 = 5 / 144. 总结古典概型是解决概率问题的一种常用方法。
人教版高中数学A版高中数学必修二《随机事件与概率》概率(古典概型)
本例条件不变，若甲取一个球，取后放回，然后乙取，求甲、乙两人拿到的球至少 有一个黑球的概率． 解析：从5个小球中有放回地取2个，所有可能的情形有(a，a)，(a，b)，(a，c)， (a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(c，c)， (c，d)，(c，e)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，d)，(d，e)，(e，a)，(e，b)，(e，c)， (e，d)，(e，e)，共有25种不同的情形，其中至少有一个黑球的情形有(a，a)，(a， b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c， b)，(d，a)，(d，b)，(e，a)，(e，b)，共有16种不同的情形， ∴至少有一个黑球的概率P＝1265.
知识梳理 样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则 P(A)＝nk＝nnΩA ， 其中，n(A)与n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个 数．
[自主检测] 1．下列是古典概型的是( ) A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时 B．求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率，将取出的正整数作为基本事件 时 C．从甲地到乙地共 n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，
共11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝2111.
本题考查分层抽样以及古典概型概率求解的综合运用，在求解古典概型问题时，要 认真分析条件，确保隐含条件挖掘到位．
新高考 核心考点与题型 概率 第2讲 古典概型 - 解析
第2讲 古典概型【考情考向分析】全国卷对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查．在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题。
知 识 梳 理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特征(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.如从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.如向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；3.如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n .4.古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数.[微点提醒]概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∪， 即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.考点一 基本事件及古典概型的判断【例1】 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？ (2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型. (2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A ：“摸到白球”，B ：“摸到黑球”，C ：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型. 规律方法 古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x ，y )可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识.【变式】 甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1张. (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况.(2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 解 (1)设(i ，j )表示(甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，则甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种.(2)由(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，∪甲胜的概率p ＝512，∪512≠12，∪此游戏不公平.考点二 简单的古典概型的概率【例2】 (1)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( ) A.12B.14C.13D.16(2)设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为________.解析 (1)两名同学分3本不同的书，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∪一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.(2)袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，基本事件总数n ＝6×6＝36，取出此2球所得分数之和为3分，包含第一次抽到红球，第二次抽到黄球或者第一次抽到黄球，第二次抽到红球，基本事件个数m ＝2×3＋3×2＝12，所以取出此2球所得分数之和为3分的概率p ＝m n ＝1236＝13.规律方法 计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n ；(2)计算事件A 所包含的基本事件的个数m ；(3)代入公式求出概率p .【变式1】 同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( ) A.13B.12C.23D.56【变式2】用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数， 若用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字，则出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5的五位数的概率为________.解析 (1)从四首歌中任选两首共有C 24＝6种选法，不选取《爱你一万年》的方法有C 23＝3种，故所求的概率为p ＝36＝12.(2)用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，基本事件总数n ＝A 55，用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字，出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5的五位数有：12543，13542，23541，34521，24531，14532，共6个，∪出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5的五位数的概率p ＝6A 55＝120.考点三 古典概型的交汇问题多维探究角度1 古典概型与平面向量的交汇【例1】 设平面向量a ＝(m ，1)，b ＝(2，n )，其中m ，n ∪{1，2，3，4}，记“a ∪(a －b )”为事件A ，则事件A 发生的概率为( ) A.18B.14C.13D.12解析 有序数对(m ，n )的所有可能情况为4×4＝16个，由a ∪(a －b )得m 2－2m ＋1－n ＝0，即n ＝(m －1)2.由于m ，n ∪{1，2，3，4}，故事件A 包含的基本事件为(2，1)和(3，4)，共2个，所以P (A )＝216＝18.角度2 古典概型与解析几何的交汇【例2】 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________.解析 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有6×6＝36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b2≤2，即a ≤b 的数组(a ，b )有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率为2136＝712.角度3 古典概型与函数的交汇【例3】 已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( ) A.79B.13C.59D.23解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，由题意知f ′(x )＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a 2－b 2)>0，∪a >b ，有序数对(a ，b )所有结果为3×3＝9种，其中满足a >b 有(1，0)，(2，0)，(3，0)，(2，1)，(3，1)，(3，2)共6种，故所求概率p ＝69＝23.角度4 古典概型与统计的交汇【例4】某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注：分组区间为[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.解 (1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45. (2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.则从5人中任意选取2人共有C 25＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C 23＝3种，则至少有一名男生有C 25－C 23＝7种.故至少有一名男生的概率为p ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710. 规律方法 求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件； (2)判断事件是否为古典概型； (3)选用合适的方法确定基本事件个数； (4)代入古典概型的概率公式求解.【变式】 已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n 人，成绩分为A (优秀)，B (良好)，C (及格)三个等级，设x ，y 分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A 等级的共有14＋40＋10＝64人，数学成绩为B 等级且物理成绩为C 等级的共有8人.已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07.(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a ，b 的值；(2)已知a ≥7，b ≥6，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率. (1)由题意知14n＝0.07，解得n ＝200，∪14＋a ＋28200×100%＝30%，解得a ＝18，易知a ＋b ＝30，所以b ＝12.(2)由14＋a ＋28>10＋b ＋34得a >b ＋2，又a ＋b ＝30且a ≥7，b ≥6，则(a ，b )的所有可能结果为(7，23)，(8，22)，(9，21)，…，(24，6)，共18种，而a >b ＋2的可能结果为(17，13)，(18，12)，…，(24，6)，共8种，则所求概率p ＝818＝49.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23B.12C.13D.16解析 从A ，B 中任意取一个数，共有C 12·C 13＝6种情形，两数和等于4的情形只有(2，2)，(3，1)两种，∪p ＝26＝13. 2.设m ，n ∪{0，1，2，3，4}，向量a ＝(－1，－2)，b ＝(m ，n )，则a ∪b 的概率为( ) A.225B.325C.320D.15解析 a ∪b ∪－2m ＝－n ∪2m ＝n ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝4，因此概率为35×5＝325.3.某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在平面直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点在直线2x －y ＝1上的概率为( ) A.112B.19C.536D.16解析 先后投掷一枚骰子两次，共有6×6＝36种结果，满足题意的结果有3种，即(1，1)，(2，3)，(3，5)，所以所求概率为336＝112.4.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( ) A.13B.14C.15D.16解析 分别用A ，B ，C 表示齐王的上、中、下等马，用a ，b ，c 表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc 共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba ，Ca ，Cb 共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为13.5.将一个骰子连续掷3次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( ) A.112B.19C.115D.118解析 一个骰子连续掷3次，落地时向上的点数可能出现的组合数为63＝216种.落地时向上的点数依次成等差数列，当向上点数若不同，则为(1，2，3)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，4，6)，(3，4，5)，(4，5，6)，共有2×6＝12种情况；当向上点数相同，共有6种情况.故落地时向上的点数依次成等差数列的概率为12＋6216＝112. 二、填空题6.小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位是数字4，5，6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是________.解析 小明输入密码后两位的所有情况有C 14·C 13＝12种，而能成功登陆的密码只有一种，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112. 7.若m 是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，则椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率为________.解析 m 是集合{1，3，5，7，9，11}中任意选取的一个元素，∪基本事件总数为6，又满足椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的m 的取值有1，3，11，共有3个，∪椭圆x 2m ＋y 22＝1的焦距为整数的概率p ＝36＝12.8.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.解析 甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C 24，乙同学的选法种数为C 24，则两同学的选法种数为C 24·C 24，两同学各自所选水果相同的选法种数为C 24，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为p ＝C 24C 24C 24＝16.三、解答题9.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. 解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8，8，9，10，故x －＝8＋8＋9＋104＝354，s 2＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8－3542×2＋⎝⎛⎭⎫9－3542＋⎝⎛⎭⎫10－3542＝1116.(2)当X ＝9时，记甲组四名同学分别为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学分别为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，B 4}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 2，B 4}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 3，B 4}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 4，B 4}，共16个.设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C ，则事件C 中包含的基本事件为{A 1，B 4}，{A 2，B 4}，{A 3，B 2}，{A 4，B 2}，共4个.故P (C )＝416＝14.10.某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A ，记“参赛女生有2人”为事件B ，“参赛女生有3人”为事件C .则P (B )＝C 23C 23C 46＝35，P (C )＝C 33C 13C 46＝15.由互斥事件的概率加法公式，得P (A )＝P (B )＋P (C )＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1，其中a ∪{2，4}，b ∪{1，3}，从f (x )中随机抽取1个，则它在(－∞，－1]上是减函数的概率为( ) A.12B.34C.16D.0解析 f (x )共有四种等可能基本事件即(a ，b )取(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，记事件A 为f (x )在(－∞，－1]上是减函数，由条件知f (x )是开口向上的函数，对称轴是x ＝－ba ≥－1，事件A 共有三种(2，1)，(4，1)，(4，3)等可能基本事件，所以P (A )＝34.12.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是( ) A.34B.13C.310D.25解析 6元分成整数元有3份， 可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，故概率为410＝25.13.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是__________.解析 从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换，基本事件总数为n ＝C 23·C 23＝9，从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，第一次调换后，对调后的位置关系有三种：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，第二次调换后甲在乙的左边对应的关系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲丙乙、丙甲乙，∪经过两次这样的调换后，甲在乙的左边包含的基本事件个数m ＝6，∪经过这样的调换后，甲在乙左边的概率：p ＝m n ＝69＝23.14.某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg 的包裹收费10元；质量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元. 该公司对近60天， 每天揽件数量统计如下表：(1)某人打算将A (0.3 kg)，B (1.8 kg)，C (1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？ 解 (1)由题意，寄出方式有以下三种可能：所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为13.(2)由题目中的天数得出频率，如下：若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司每日利润为260×5－3×100＝1 000(元)；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司每日利润为235×5－2×100＝975(元).综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.。
高中古典概型的概率公式
高中古典概型的概率公式
在高中数学中，我们学习了很多概率相关的知识，其中古典概型是最基础的一种。
古典概型是指在一次试验中，每个基本事件的概率相等的概率模型。
在这种模型中，我们可以通过概率公式来计算事件发生的概率。
古典概型的概率公式为：P(A) = m/n，其中P(A)表示事件A发生的概率，m表示事件A中有多少种有利的基本事件，n表示试验中所有基本事件的总数。
例如，我们抛一枚硬币，事件A为正面朝上，那么事件A发生的概率就是1/2，因为硬币正反面各一种基本事件，有利的基本事件只有一种。
再例如，我们从一副扑克牌中随机抽取一张牌，事件A为抽到红桃A，那么事件A发生的概率就是1/52，因为一副扑克牌中有52张牌，其中红桃A只有一张。
在实际应用中，古典概型的概率公式可以帮助我们计算各种事件的概率。
例如，在赌场中，我们可以通过古典概型的概率公式来计算各种赌博游戏的胜率，从而决定是否参与游戏。
古典概型的概率公式还可以帮助我们理解一些概率谬论。
例如，大数定律就是指在独立重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生
的频率趋近于事件的概率。
这个定律的实际意义是，当我们进行足够多次的试验时，古典概型的概率公式才能真正反映出事件发生的概率。
古典概型的概率公式是高中数学中最基础的概率计算方法之一，它可以帮助我们计算各种事件的概率，理解概率谬论，以及在实际应用中做出正确的决策。
古典概型及其概率计算公式-高中数学知识点讲解
古典概型及其概率计算公式
1．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
1如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
푛
如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为P（A）=푚
푛=
퐴中所含的基本事件数
基本事件总数
．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n 与事件A 中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A 是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）=푚
푛求出事件A 的概率．
3．解题方法技巧：
1/ 2
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
2/ 2。
2、概率的几种定义(古典概型).
性大小, 因此在大量重复试验中 常用频率作为概率的近似值.
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2、频率的稳定性，例如抛硬币(验 证出现正面的概率占0.5，打字机
键盘设计，信息编码(使用频率较
高的字母用较短的码), 密码的破 译。
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3、概率的统计定义 如果随着试验次数 事件A发生的频率在区间 的增大， 上某
个数字p附近摆动，则称事件A发
率问题，可以将365天看作盒子 ， 个人看作
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个球。
设A=“n个人生日各不相同”
故所求概率为： （生日各不相同的概率） 所以 个人中至少有两人生日 相同的概率为：
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经计算可得下述结果：
从表中可看出，在仅有64人的班 级里“至少有两人生日相同”这 事件的概率与1相差无几。
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例4 公平抽签问题：
概率，并称为几何概率。
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例:约会问题 甲乙二人约定在[0，T] 时段内去某地会面，规定先到者等 候一段时间 再离去，试求 事件A=“甲乙将会面”的概率。
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解：分别以x,y表示甲乙到达会面地
点的时间，则样本点是坐标平面上 一个点 ，而样本空间 是边长为 T的正方形，由于二人到达时刻的任 意性，样本点在S中均匀分布，属几 何概型。
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解：(1) 这是一个古典概型问题， 由于每个球可落 入 个盒子中的 任一个盒子，故有
种不同放法(重复排列）
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事件Ａ中样本点数取决于ｎ个球 放入ｎ个盒子中的顺序，故Ａ包 含的样本点数为：
所以
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(2) 事件B与事件A的差异仅在于各 含一球的n个盒子没有指定，所以 B的样本点数为：
所以
15
(3) 下面我们来求 事件 C所含样
1.2
随机事件的概率
《随机事件与概率》概率(古典概型)
概率在金融中的应用
投资组合优化
根据不同资产的历史回报率和 风险，计算投资组合的预期收 益和风险，以选择最优的投资
组合。
保险产品设计
根据历史数据和风险概率，设计不 同费率和保障范围的保险产品。
信用评估
通过分析借款人的历史信用记录和 还款情况，评估借款人违约的概率 。
概率在医学中的应用
临床试验
通过随机对照试验，评估新药的 有效性和副作用发生的概率。
疾病诊断
根据患者的临床表现和医学检查 数据，医生可以初步判断患者患
某种疾病的概率。
遗传疾病风险评估
根据家族病史和基因检测结果， 评估个体患遗传疾病的风险概率
。
04
概率与统计
概率与统计的联系
概率是统计的基础
概率论是研究随机现象的数学理论，为统计推断提供了基础。统计是通过收集、整理和分析数据来推断未知的信 息，而概率提供了对数据进行推断的数学方法。
概率论的公理化
目前，概率论的公理化仍然是一个活跃的研究领域。未来，概率论的公 理化将进一步完善，以更好地描述和解释随机现象。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考题与练习题
思考题
请举例说明古典概型在实际生活中的应用。
练习题
请计算以下事件的概率：在一个包含 5 个 白球和 3 个黑球的盒子里，随机抽取一个
白球的概率是多少？
THANKS
设定参数
为模拟程序设定所需的参数，如模拟次数、事件 发生条件等。
模拟结果的统计分析
数据收集
运行模拟程序，收集模拟产生的数据。
统计分析
对收集到的数据进行统计分析，如计算平均值、中位数、标准差等 。
结果展示
以图表或报告的形式展示分析结果，如频率分布图、直方图、饼图 等。
高中数学古典概型知识点总结
高中数学古典概型知识点总结高中数学中的古典概型是指基于样本空间，利用等可能性原理计算事件发生概率的方法。
以下是一些关键的知识点总结：1. 样本空间：在进行古典概型的计算时，首先要确定问题的样本空间。
样本空间是指所有可能的结果组成的集合。
2. 事件：在样本空间中，可以定义各种事件，也就是对应某个或某些结果的子集。
常见的事件有简单事件（只包含一个结果）和复合事件（包含多个结果）。
3. 等可能性原理：古典概型的核心思想是等可能性原理，即各个结果发生的概率是相等的。
根据等可能性原理，可以得出事件发生的概率。
4. 计算概率：根据等可能性原理，可以使用计数方法来计算事件发生的概率。
例如，若样本空间中有n个等可能结果，而事件A 包含m个结果，则事件A发生的概率为P(A) = m/n。
5. 排列与组合：在古典概型的计算中，经常需要使用排列与组合的概念。
排列是指从n个元素中选取r个元素并按照一定顺序排列，而组合是指从n个元素中选取r个元素，不考虑顺序。
排列与组合的计算公式如下：- 排列：P(n,r) = n! / (n-r)!- 组合：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)6. 互斥事件与对立事件：互斥事件指两个或多个事件不可能同时发生，而对立事件指两个事件中只有一个会发生。
在古典概型中，可以利用互斥事件和对立事件的概念来计算复杂事件的概率。
7. 概率的性质：概率具有一些重要的性质，包括非负性（概率不会小于0）、正则性（全样本空间的概率为1）、可加性（若事件A 与事件B互斥，则它们的概率之和等于各自的概率和）等。
以上是高中数学中古典概型的一些关键知识点总结。
通过掌握这些知识点，可以更好地理解和应用古典概型方法进行概率计算。
高中数学 第3章 概率 §2 2.1 古典概型的特征和概率计算公式数学教案
§2古典概型2．1 古典概型的特征和概率计算公式(1)①试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；②每一个试验结果出现的可能性相同．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．(2)试验的每一个可能结果称为基本事件．2．古典概型的概率公式对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成的．如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n.思考：若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？[提示] 不一定是，还要看每个事件发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是．1．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则P (A )＝k n. A ．②④ B ．①③④C ．①④D ．③④B [根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.]2．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [基本事件共有{计算机，数学}、{计算机，航空模型}、{数学，航空模型}三个．]3．在国庆阅兵中，某兵种A ，B ，C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B 先于A ，C 通过的概率为( )A.16B.13C.12D.23B [用(A ，B ，C )表示A ，B ，C 通过主席台的次序，则所有可能的次序有：(A ，B ，C )，(A ，C ，B )，(B ，A ，C )，(B ，C ，A )，(C ，A ，B )，(C ，B ，A )，共6种，其中B 先于A ，C 通过的有：(B ，C ，A )和(B ，A ，C )，共2种，故所求概率P ＝26＝13.] 4．下列试验是古典概型的为 ________(填序号)．①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；②同时掷两枚骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．①②④ [①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，三天中是否降雨受多方面因素影响．]基本事件的计数问题个数．(1)从字母a ，b ，c 中任意取出两个字母的试验；(2)从装有形状、大小完全一样且分别标有1,2,3,4,5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验．[解] (1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件．分别是A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{b，c}，共3个．(2)从袋中取两个球的等可能结果为球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，球3和球5，球4和球5.故共有10个基本事件．确定基本事件空间的方法随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定基本事件空间必须明确事件发生的条件，根据题意，按一定的次序列出问题的答案.求基本事件时，一定要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.[跟进训练]1．(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为________．(2)袋中有2个标号分别为1,2的白球和2个标号分别为3,4的黑球．这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，求基本事件的个数．(1)4[用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种结果．故填4.](2)4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：共24个基本事件．古典概型的判定【例2】下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取得偶数的概率．[思路探究] 根据直观印象判断两个试验的基本事件数是否有限，每个基本事件是否等可能发生即可．[解] (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型的两大特征1．有限性：在一次试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个．2．等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．[跟进训练]2．(1)在数轴上0～3之间任取一点，求此点的坐标小于1的概率．此试验是否为古典概型？为什么？(2)从1,2,3,4四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是2的概率，此试验是古典概型吗？试说明理由．[解] (1)在数轴上0～3之间任取一点，此点可以在0～3之间的任一位置，且在每个位置上的可能性是相同的，具备等可能性．但试验结果有无限多个，不满足古典概型试验结果的有限性．因此不属于古典概型．(2)此试验是古典概型，因为此试验的所有基本事件共有6个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型． 古典概型概率的求法1．掷一枚骰子共有多少种不同的结果？提示：共有6种不同的结果．2．掷一枚骰子，落地时向上的点数为偶数，包含几种结果？ 提示：2,4,6共三种结果．3．掷一枚均匀的骰子，落地时向上的点数为偶数的概率怎样求？提示：记事件A 为落地时向上的点数为偶数，则P (A )＝A 中包含的基本事件数基本事件总数.【例3】 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．[思路探究] 用列举法列出试验的所有可能结果以及事件所包含的可能结果，然后利用公式求解．[解] (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6，任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P (A )＝615＝25. (2)基本事件同(1)．用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815. 古典概型问题的解题方法与步骤1．判断所求概率的问题是否属于古典概型；2．利用列举法、列表法或树状图法列举出所有可能出现的基本事件，计算其总数n ；3．从所列出的基本事件中查出所求概率的事件A 包含的基本事件数m ；4．利用公式P (A )＝m n求解． [跟进训练]3．(1)一个不透明的盒子里有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．那么甲赢的概率是( )A.1325B.1225C.12 D ．以上均不对(2)用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色．求：①3个矩形颜色都相同的概率；②3个矩形颜色都不同的概率．(1)A [选A.甲先摸出一个球，放回后乙再摸一个球，结果共有25种：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)．其中和为偶数的有13种，所以甲赢的概率是1325.] (2)解：由题意知，所有可能的基本事件共有27个，如图所示： ①记“3个矩形都涂同一颜色”为事件A ，由图知，事件A 所包含的基本事件有3个，故P (A )＝327＝19. ②记“3个矩形颜色都不同”为事件B ，由图知，事件B 所包含的基本事件有6个，故P (B )＝627＝29. 1．古典概型是一种最基本的概型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝m n时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出m ，n .2．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏．3．对于用直接方法难以解决的问题，可以先求其对立事件的概率，再求所求概率.1．思考辨析(1)从[0,10]上任取一个不大于5的实数的试验为古典概型．( )(2)在古典概型中，试验中的基本事件都是有限的，且事件的发生都是等可能的．( )[解析] (1)×，可能结果有无限个．(2)√，根据古典概型的特征知正确．[答案] (1)×(2)√2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率为____．13[基本事件为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6个，其中甲站在中间的为乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为26＝13.]3．广州亚运会要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为________．38[8名懂外文的志愿者中随机选1名有8个基本事件，“选到懂日文的志愿者”包含3个基本事件，因此所求概率为38 .]4．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是多少？[解] 总的事件数为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种，其中和为5的一共有(1,4)，(2,3)，所以P＝210＝0.2.。
高中数学必修二课件：古典概型
②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；
③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每 个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；①和③中的样本空间中的样本 点个数不是有限的，故不是古典概型；④由于硬币质地不均匀，样本点发生的 可能性不相等，故④不是古典概型．故选A.
平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤．甲赢的含义是甲出锤且乙出 剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况．乙赢的含义是乙出锤且甲出 剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况．
设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.
由图容易得到： (1)平局含3个基本事件(图中的△)； (2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙)； (3)乙赢含3个基本事件(图中的※)． 由古典概型的概率计算公式，可得： P(A)＝39＝13，P(B)＝39＝13，P(C)＝39＝13.
答：该试验的基本事件是“出现正面向上”和“出现反面向上 ”．由于该 硬币质地不均匀，故P(出现正面向上)≠P(出现反面向上)，从而两个基本事件出 现的可能性不同.
课时学案
题型一 古典概型的判断
例1 (1)下列试验中是古典概型的是( B ) A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外其他完全相同，从中任 取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…， 命中0环
【解析】 共有(a1，a2)，(a1，b)，(a2，b)三个基本事件． 设A＝{恰有一件次品}，则A含(a1，b)，(a2，b)两个基本事件． 故P(A)＝23.
精品高中数学专题：概率
第二讲 概 率1． 基本事件的定义一次试验中可能出现的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件． 基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件都可以表示成基本事件的和． 2． 古典概型(1)古典概型我们把具有：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等，以上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (2)古典概率模型的概率求法如果一次试验中基本事件共有n 个，那么每一个基本事件发生的概率都是1n ，如果某个事件A 包含了其中的m 个基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝mn .3． 几何概型(1)几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． (2)几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).4． 互斥事件与对立事件的关系(1)对立是互斥，互斥未必对立；(2)如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A ，B 中有一个发生)的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．(3)在一次试验中，对立事件A 和A 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (A )＝1－P (A )．1． (2013·安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910答案 D解析 由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.2． (2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78 答案 C解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎨⎧0≤X ≤40≤y ≤4|x －y |≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34.3． (2013·福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为________．答案 13解析 由3a －1<0得a <13.由几何概型概率公式得P ＝13.4． (2012·广东改编)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．答案 19解析 个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.5． (2012·安徽改编)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率是________．答案 25解析 设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共6个．∴其概率为615＝25.题型一 古典概型例1 (1)(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．(2)设集合P ＝{a 1，a 2，a 3，…，a 10}，则从集合P 的全部子集中任取一个，取出含有3个元素的子集的概率是( )A.310B.112C.4564D.15128审题破题 (1)利用古典概型概率的计算公式求解；(2)利用集合知识求出P 的全部子集个数和含3个元素的子集个数．答案 (1)2063(2)D解析 (1)P ＝4×57×9＝2063.(2)集合P 的全部子集个数为210＝1 024，含三个元素的子集个数为10×9×86.∴P ＝10×9×86×210＝15128.反思归纳 古典概型是最基本的概率问题，可以直接利用公式P (A )＝mn 求出事件的概率，解题关键是求基本事件总数和事件A 所包含的基本事件个数．变式训练1 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种． 从中选出的2名教师性别相同的结果为：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝25.题型二 几何概型例2 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，cosπx 2的值介于0到12之间的概率为 ( )A.13B.2π C.12 D.23(2)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( )A.π4B.π－22C.π6 D.4－π4审题破题 (1)将cos π2x 的条件转化为x 的条件；(2)D 为正方形区域，点满足的条件为D内的一个圆外． 答案 (1)A (2)D解析 (1)在区间[－1,1]上随机取一个实数x ，cosπx 2的值位于[0,1]区间，若使cos πx 2的值位于⎣⎡⎦⎤0，12区间，取到的实数x 应在区间⎣⎡⎦⎤－1，－23∪⎣⎡⎦⎤23，1内，根据几何概型的计算公式，可知P ＝2×132＝13.(2)如图，不等式⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的区域D 为正方形OABC .以O 为圆心，以2为半径作圆弧AMC ，则阴影部分内的点到原 点O 的距离大于2，∴P ＝S 阴影S 正方形＝2×2－14·π·222×2＝4－π4.反思归纳 几何概型中基本事件总数是无限的，计算几何概型要抓住问题的测度(长度、面积、体积)，利用公式计算．变式训练2 (1)如图，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率为______．答案 1－32解析 弦长不超过1， 即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的， 事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32.(2)在体积为V 的三棱锥S —ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S —APC 的体积大于V3的概率为________．答案 23解析 ∵V S —ABC V S —APC ＝S △ABC S △APC ＝ABAP ，∴V S —APC ＝AP AB ·V >V 3，AP >13AB ，所以所求概率为23.题型三 互斥事件、对立事件的概率例3 班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．审题破题 “不全是男生”包括“二个女生”，“一男一女”两种情况，将所求事件分解为两个互斥事件的和．解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人是一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A 的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P (A )＝525＝15＝0.2.反思归纳 运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解． 变式训练3 一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求 (1)取出的小球是红球或黑球的概率； (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．解 方法一 (1)从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，而任取1球共有12种取法．∴任取1球是红球或黑球的概率为P 1＝912＝34.(2)从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是白球有2种取法， ∴任取1球是红球或黑球或白球的概率P 2＝5＋4＋212＝1112.方法二 记事件A ＝{任取1球为红球}， B ＝{任取1球为黑球}，C ＝{任取1球为白球}， D ＝{任取1球为绿球}，则P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112.(1)取出1球为红球或黑球的概率为P 1＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P 2＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112.(或P 2＝1－P (D )＝1－112＝1112)．典例 (12分)(2012·湖南)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 规范解答解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14.[9分]因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝320＋310＋14＝710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[12分]评分细则 (1)x ，y 计算正确得2分；若只有x ，y 的值而无计算过程得1分；(2)将事件A 正确拆分得1分；P (A 1)、P (A 2)、P (A 3)少一个扣0.5分；(3)没有指明A 1、A 2、A 3互斥扣1分．阅卷老师提醒 (1)对复杂事件概率的计算要对事件进行拆分，转化为几个互斥事件的和；(2)事件拆分要不重不漏，否则易造成失分；(3)求概率时步骤要完备，每个小事件的概率要计算出来．1． 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 A解析 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.2． 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e >32的概率是( )A.118B.536C.16D.13答案 C 解析 e ＝ 1－b 2a 2>32⇒b a <12⇒a >2b ，符合a >2b 的情况有：当b ＝1时，有a ＝3,4,5,6四种情况：当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况，总共有6种情况．所以概率为66×6＝16.3． 盒子内装有红球、白球、黑球三种，其数量分别为3、2、1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为 ( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红、黑球各一个 答案 D解析 红、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球；红、黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含其他事件，所以不对立．4． 盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．答案 35解析 红色球分别用A 1，A 2，A 3表示，黄色球分别用B 1，B 2表示．从中随机取出2个球：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(A 1，A 2)，(A 2，A 3)，(A 1，A 3)共10种取法.2个球颜色不同共6种，故所求概率为610＝35.5． 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________． 答案 1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝⎛⎭⎫122π×12＝34，去打篮球的概率P 2＝π×⎝⎛⎭⎫142π×12＝116，∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.6． 在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素x ，恰使式子lg x 有意义的概率为________．答案 45解析 由于Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫34m ＋1<0，得－1<m <4，若使lg x 有意义，必须使x >0. 在数轴上表示为，故所求概率为45.专题限时规范训练一、选择题1． 某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为 ( )A ．0.5B ．0.3C ．0.6D ．0.9答案 A解析 依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 2． 从数字1,2,3,4,5中随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率是( )A.13B.16125C.18125D.19125答案 D解析 个位数字依次为1,2,3,4,5时，前两位数字之和依次为8,7,6,5,4，且依次有3,4,5,4,3种结果，故组成的三位数各位数字之和等于9的概率P (A )＝3＋4＋5＋4＋3125＝19125.3． 一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.9100B.350C.3100D.29 答案 A解析 任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(1，i )(i ＝0,1,2，…，9)；(2，i )(i ＝0,1,2，…，9)；…；(9，i )(i ＝0,1,2，…9)．故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种，故所求概率为9100.4． 在集合{(x ，y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}内任取一个元素，能使不等式x 5＋y2－1≤0成立的概率为( )A.14B.34C.13D.23 答案 A解析 集合{(x ，y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线x ＝0，x＝5，y ＝0，y ＝4所围成的长为5，宽为4的矩形，而不等式x 5＋y2－1≤0和集合{(x ，y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}表示的公共区域是以5为底、2为高的一个直角三角形，由几何概型公式可以求得概率为12×5×25×4＝14.5． 口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率为( )A ．0.45B ．0.67C ．0.64D ．0.32答案 D解析 摸出红球的概率为45100＝0.45，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.6． 任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的概率为( ) A.2536B.16C.14D.112答案 D解析 P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，∴P ＝36×6＝112. 7． 记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤16}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －4≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为( )A.12πB.1πC.14D.π－24π答案 A解析 区域Ω1为圆心在原点，半径为4的圆，区域Ω2为等腰直角三角形，两腰长为4，所以P ＝SΩ2SΩ1＝816π＝12π，故选A. 8． A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是 ( )A.29B.13C.89D ．1 答案 C解析 有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种，满足A ∩B ＝B 的情形有①(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，此时B ＝∅；②(2,1)，此时B ＝{1}；③(3,2)，此时B ＝{1,2}．所以A ∩B ＝B 的概率为P ＝89. 二、填空题9． 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y为整数的概率是________． 答案 12解析 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x ，y 记作有序实数对(x ，y )，共包含16个基本事件，其中x y为整数的有 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求的概率为816＝12. 10．在区间[－6,6]内任取一个元素x 0，若抛物线y ＝x 2在x ＝x 0处的切线的倾斜角为α，则α∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4的概率为________．答案 1112解析 当α∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，斜率k ≥1或k ≤－1，又y ′＝2x ，所以x 0≥12或x 0≤－12，所以P ＝1112. 11．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．答案 23解析 如图可设l AB＝1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23. 12．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a ，b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)>0成立的概率是________．答案 932解析 f (1)＝－1＋a －b >0，即a －b >1，如图，A (1,0)，B (4,0)，C (4,3)，S △ABC ＝92， P ＝S △ABC S 矩＝924×4＝932. 三、解答题13．已知集合A ＝{x |x 2＋3x －4<0}，B ＝{x |x ＋2x －4<0}． (1)在区间(－4,5)上任取一个实数x ，求“x ∈A ∩B ”的概率；(2)设(a ，b )为有序实数对，其中a ，b 分别是集合A ，B 中任取的一个整数，求“a －b ∈A ∪B ”的概率．解 (1)由已知得A ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |－4<x <1}，B ＝{x |x ＋2x －4<0}＝{x |－2<x <4}， 显然A ∩B ＝{x |－2<x <1}．设事件“x ∈A ∩B ”的概率为P 1，由几何概型的概率公式得P 1＝39＝13. (2)依题意，得(a ，b )的所有可能的结果一共有以下20种：(－3，－1)，(－3,0)，(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，又A ∪B ＝{x |－4<x <4}，因此“a －b ∈A ∪B ”的所有可能的结果一共有以下14种：(－3，－1)，(－3,0)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)．所以“a －b ∈A ∪B ”的概率P 2＝1420＝710. 14．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解 (1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3； 从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2； 从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1. 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，所以P (B )＝315＝15.。
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高中数学《概率》第二节古典概型（第一课时）
一、地位作用：本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的。
古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。
学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题。
二、重点、难点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。
如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。
三、教学目的
1：知识与技能
(1)理解古典概型及其概率计算公式，
(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
2：过程与方法
根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。
3：情感态度与价值观
概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。
适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。
使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。
四、教学过程：
（一）、引入：在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验：试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十数），最后由科代表汇总；
试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成60次（最好是整十数），最后由科代表汇总。
在课上，学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受。
教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问题？
1．用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？
不好，要求出某一随机事件的概率，需要进行大量的试验，并且求出来的结果是频率，而不是概率。
2．根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？
（二）、思考交流：在试验一中随机事件只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他们都是互斥的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两种随机事件的可能性相等，即它们
的概率都是1
2
；
在试验二中随机事件有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且他们都是互斥的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种随机事件的可能性相等，即它
们的概率都是1
6。
我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。
基本事件有如下的两个特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
特点（2）的理解：在试验一中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在试验二中，随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”、“4点”和“6点”共同组成。
例1 从字母,,,a b c d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？
观察对比，发现两个模拟试验和例1的共同特点：
试验一中所有可能出现的基本事件有“正面朝上”和“反面朝上”2个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是12
； 试验二中所有可能出现的基本事件有“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是
16； 根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为： A A P 所包含的基本事件的个数（）＝基本事件的总数
归纳：
在使用古典概型的概率公式时，应该注意：
（1）要判断该概率模型是不是古典概型；
（2）要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。
除了画树状图，还有什么方法求基本事件的个数呢？
例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A ，B ，C ，D 四个选项中选择一个正确答案。
如果考生掌握了考差的内容，他可以选择唯一正确的答案。
假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？
分析：
解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型。
如果考生掌握或者掌握了部分考察内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型。
（三）|练习及作业布置
三、板书 例古典概型概率例§3.2.1 古典概型
试验一
试验二
基本事件1古典概型树状图计算公式例2
3列表。